Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения

Встановлено точні за порядком двосторонні оцінки розмірів носія розв'язку задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та анізотропним виродженням у випадку, коли початкові дані є фінітними та мають скінченну масу....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Дегтярев, С.П., Тедеев, А.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165528
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П. Дегтярев, А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1477–1486. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165528
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1655282020-02-15T01:27:10Z Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф. Статті Встановлено точні за порядком двосторонні оцінки розмірів носія розв'язку задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та анізотропним виродженням у випадку, коли початкові дані є фінітними та мають скінченну масу. We establish exact-order bilateral estimates for the size of the support of a solution of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic equation with anisotropic degeneration in the case where the initial data are finite and have finite mass. 2006 Article Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П. Дегтярев, А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1477–1486. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165528 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф. Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения Український математичний журнал
description	Встановлено точні за порядком двосторонні оцінки розмірів носія розв'язку задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та анізотропним виродженням у випадку, коли початкові дані є фінітними та мають скінченну масу.
format	Article
author	Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф.
author_facet	Дегтярев, С.П. Тедеев, А.Ф.
author_sort	Дегтярев, С.П.
title	Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения
title_short	Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения
title_full	Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения
title_fullStr	Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения
title_full_unstemmed	Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения
title_sort	двусторонние оценки носителя решения задачи коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165528
citation_txt	Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П. Дегтярев, А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1477–1486. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT degtârevsp dvustoronnieocenkinositelârešeniâzadačikošidlâanizotropnogokvazilinejnogovyroždaûŝegosâuravneniâ AT tedeevaf dvustoronnieocenkinositelârešeniâzadačikošidlâanizotropnogokvazilinejnogovyroždaûŝegosâuravneniâ
first_indexed	2025-07-14T18:51:39Z
last_indexed	2025-07-14T18:51:39Z
_version_	1837649471407652864
fulltext	UDK 517.9 S. P. Dehtqrev, A. F. Tedeev * (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck) DVUSTORONNYE OCENKY NOSYTELQ REÍENYQ ZADAÇY KOÍY DLQ ANYZOTROPNOHO KVAZYLYNEJNOHO VÁROÛDAGWEHOSQ URAVNENYQ We establish exact-order bilateral estimates for the size of a support of solution of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic equation with anisotropic degeneration in the case where initial data are finite and have finite masses. Vstanovleno toçni za porqdkom dvostoronni ocinky rozmiriv nosiq rozv’qzku zadaçi Koßi dlq pa- raboliçnoho rivnqnnq z podvijnog nelinijnistg ta anizotropnym vyrodΩennqm u vypadku, koly poçatkovi dani [ finitnymy ta magt\ skinçennu masu. 1. Postanovka zadaçy y osnovnoj rezul\tat. Rassmotrym sledugwug zadaçu Koßy dlq uravnenyq s anyzotropn¥m v¥roΩdenyem y dvojnoj nelynejnost\g otnosytel\no neyzvestnoj funkcyy u ( x, t ): ∂( ) ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     − − = ∑u u t x u x u xi i p ii N iβ 1 2 1 = 0, x ∈ RN, t > 0, (1) u u x u xβ β− ( ) = ( )1 00, , x ∈ RN . (2) Zdes\ 0 < β < 1, pi , i = 1, N , — zadann¥e poloΩytel\n¥e çysla, pryçem bez ohranyçenyq obwnosty sçytaem, çto p1 ≤ p2 ≤ … ≤ pN , u0 ( x ) — zadannaq neot- rycatel\naq funkcyq s kompaktn¥m nosytelem, pry πtom nosytel\ funkcyy u0 ( x ) soderΩytsq v mnoΩestve PD0 : supp ( u0 ) ⊂ PD0 = { x ∈ RN : \| xi \| < D0i , i = 1, N }, (3) hde D0i — zadann¥e poloΩytel\n¥e çysla. Budem predpolahat\, çto funkcyq u0 ( x ) ymeet koneçnug massu, t. e. µ = u x dx RN 0 β( )∫ < ∞. (4) Pod slab¥m reßenyem zadaçy (1), (2) m¥ ponymaem neotrycatel\nug yzmery- mug funkcyg u ( x, t ), opredelennug v oblasty RN × ( 0, ∞ ) y ymegwug sledu- gwye svojstva: 1) dlq lgboho ohranyçennoho otkr¥toho mnoΩestva Ω v RN , dlq lgboho t > 0 y poçty vsex t1 , t2 > 0 u dx dx p t i N i i − = ∫∫∑ 1 01 τ Ω < ∞, u dx dx p t t i N i i τ Ω ∫∫∑ = 1 2 1 < ∞; 2) funkcyq u uβ−1 xarakteryzuetsq svojstvom u uβ−1 ∈ C ( [ 0, ∞ ), L1 ( Ω ) ); 3) pry vsex t > 0 * Çastyçno podderΩan INTAS (proekt 03-51-5007). © S. P. DEHTQREV, A. F. TEDEEV, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1477 1478 S. P. DEHTQREV, A. F. TEDEEV u u x t dx u u dx dx p x x t i N i i i i β ϕ ϕ τ− − = ( ) +∫ ∫∫∑1 2 01 , Ω Ω = = u u x dx u u x dx d t 0 1 0 1 0 0β β τϕ ϕ τ τ− −( ) + ( )∫ ∫∫, , Ω Ω (5) dlq lgboj funkcyy ϕ ( x, t ) s nosytelem v Ω × [ 0, T ], 0 < t < T, takoj, çto ϕ ( x, t ) ∈ W1, ∞ ( [ 0, T ], L∞ ( Ω ) ) ∩ L∞ ( [ 0, T ], W0 1,∞( )Ω ). Budem rassmatryvat\ sluçaj, kohda uravnenye (1) opys¥vaet medlennug dyffuzyg vo vsex napravlenyqx, çto v¥raΩaetsq v predpoloΩenyy o paramet- rax zadaçy: 0 < β < 1, 1 + β < pi , i = 1, N . (6) Otmetym, çto v sluçae yzotropnoho uravnenyq (1), kohda vse pi = p, i = 1, N , qvlenye kompaktnosty nosytelq reßenyq zadaçy (1), (2) y povedenye nosytelq reßenyq yzuçalys\ odnym yz avtorom (sm. rabot¥ [1, 2] y ymegwugsq tam byb- lyohrafyg). V anyzotropnom sluçae estestvenno oΩydat\, çto povedenye nosy- telq reßenyq budet razlyçn¥m v napravlenyy razlyçn¥x koordynatn¥x osej. Cel\g dannoj stat\y qvlqetsq poluçenye dvustoronnyx ocenok razmerov nosy- telq reßenyq zadaçy (1), (2) v razlyçn¥x napravlenyqx v zavysymosty ot poka- zatelej β, pi y naçal\noj mass¥ µ. Pry πtom m¥ yspol\zuem metod, predlo- Ωenn¥j v [1 – 3], a takΩe metod ocenok rabot¥ [3]. Vvedem nekotor¥e oboznaçenyq y pryvedem vspomohatel\n¥e svedenyq. Pust\ p — srednee harmonyçeskoe pokazatelej pi , t. e. p = 1 1 1 1 N pii N = − ∑    . (7) Budem pol\zovat\sq vloΩenyem anyzotropn¥x prostranstv Soboleva, sledug- wym, v çastnosty, yz rabot¥ [4]. Pust\ funkcyq u ( x, t ) opredelena v oblasty Ω prostranstva RN , ymeet obobwenn¥e proyzvodn¥e pervoho porqdka v sm¥sle Soboleva y v¥polnen¥ uslovyq u \| ∂Ω = 0, u dxx p i i Ω∫ < ∞. Tohda pry p < N u N N uL x L N i N p i pi* / ( ) ( ) = ≤ − ∏Ω Ω 1 1 1 , (8) hde p* = N p / ( N – p ). Esly Ωe p > N, to sup Ω Ω u C ux L i N i pi ≤ ( ) = ∑ 1 . (9) Zdes\ y dalee çerez C oboznaçen¥ vse absolgtn¥e konstant¥. Yz ocenky (8) v¥vodytsq neravenstvo Nyrenberha – Hal\qrdo, kotoroe budet yspol\zovano nyΩe: u C u dx uL x p i N p Lq i i ( ) = ( ) −≤    ∫∑Ω Ω Ω 1 1 α α ε / , (10) hde α ∈ ( 0, 1 ) y opredelqetsq yz uslovyq 1 1 1 1 1 q p N = −    + ( − )α α ε , (11) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 DVUSTORONNYE OCENKY NOSYTELQ REÍENYQ ZADAÇY KOÍY … 1479 a konstanta C ne zavysyt ot oblasty Ω. Pokazately q y ε dolΩn¥ udovlet- vorqt\ sootnoßenyg 0 < ε < q, pryçem pry p < N dolΩno vypolnqt\sq q < p* . Otnosytel\no pokazatelej p i predpolahaem, çto yx znaçenyq ymegt ne slyßkom bol\ßoj razbros, a ymenno p N N p p p Ni + ( + ) + < < +    β β β β1 1 , i = 1, N . (12) Opredelym parametr¥ d = p – 1 – β, di = pi – 1 – β, k = N d + β p, (13) θi = Nd k N d d pp k Nd k Nd p k N i i i i iβ β β + ( − ) + − − +    − ( + ) 1 , (14) ωi = k Nd p k i i − , i = 1, N . (15) Otmetym, çto, v sylu opredelenyj (13) – (15), pry v¥polnenyy uslovyq (12) velyçyn¥ ωi y θi poloΩytel\n¥ y spravedlyv¥ sootnoßenyq ω = 1 1N ki i N ω β = ∑ = , θ = 1 1N d ki i N θ = ∑ = . Dlq prostot¥ yzloΩenyq m¥ ohranyçyvaemsq, kak otmeçeno v¥ße, neotry- catel\n¥my naçal\n¥my dann¥my y, sledovatel\no, rassmatryvaem neotryca- tel\n¥e reßenyq zadaçy (1), (2). Sformulyruem teper\ osnovnoj rezul\tat. Teorema 1. Pust\ dlq zadaçy (1), (2) v¥polnen¥ uslovyq (3), (4), (6) y (12). Tohda slaboe reßenye zadaçy (1), (2) ymeet kompaktn¥j nosytel\ pry vsex t > > 0, pryçem esly d i ( t ) — toçn¥e razmer¥ nosytelq v napravlenyy osy Oxi , t. e. di ( t ) — naymen\ßye poloΩytel\n¥e çysla, dlq kotor¥x supp ( u ( ⋅, t ) ) ⊂ { x ∈ RN : \| xi \| ≤ di ( t ) }, to spravedlyva ocenka di ( t ) ≤ Di ( t ) = 4D0i + C ti iµθ ω . (16) ∏ta ocenka qvlqetsq toçnoj po porqdkam t y µ , t. e. pry bol\ßyx t y µ di ( t ) ≥ C ti iµθ ω . Dokazatel\stvo πtoj teorem¥ pryvedeno v pp. 2 y 3. Zdes\ Ωe otmetym, çto v sluçae pi = p, i = 1, N , ocenka (16) sovpadaet s yzvestn¥my ocenkamy razmerov nosytelq dlq yzotropnoho sluçaq (sm. [2] y ymegwugsq tam byblyohrafyg). 2. Dokazatel\stvo ocenky (16). M¥ ne budem podrobno rassmatryvat\ su- westvovanye slaboho reßenyq zadaçy (1), (2), tak kak ono sleduet yz rabot¥ [5] . Pry πtom reßenye zadaçy Koßy poluçaetsq kak predel reßenyj zadaç Dyryxle s nulev¥my hranyçn¥my dann¥my v rasßyrqgwyxsq oblastqx. Slaboe reßenye zadaçy (1), (2) s naçal\n¥my dann¥my, udovletvorqgwymy uslovyg (4), moΩno rassmatryvat\ kak predel reßenyj so shlaΩenn¥my fynytn¥my neotrycatel\- n¥my naçal\n¥my dann¥my, udovletvorqgwymy, v çastnosty, uslovyg M = u x dx RN 0 1+ ( )∫ β < ∞. (17) Otmetym, çto dlq takyx naçal\n¥x dann¥x spravedlyva πnerhetyçeskaq ocenka ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1480 S. P. DEHTQREV, A. F. TEDEEV E ( t ) = sup , 0 1 01< < + = ( ) +∫ ∫∫∑ τ β τ t R x p R t i N u x t dx u dx d N i i N ≤ M. (18) Ocenku (16) razmerov nosytelq reßenyq çerez naçal\nug massu µ takΩe moΩno poluçyt\ na pryblyΩenyqx s posledugwym predel\n¥m perexodom. Po- πtomu, ne vvodq dopolnytel\n¥x oboznaçenyj dlq pryblyΩenyj naçal\noj funkcyy u0 ( x ) y reßenyq u ( x, t ), m¥ bez ohranyçenyq obwnosty budem sçy- tat\ sootnoßenyq (17) y (18) v¥polnenn¥my. Zametym takΩe sledugwee. Dlq poluçenyq nuΩn¥x nam nyΩe yntehral\- n¥x ocenok budem umnoΩat\ uravnenye (1) na probn¥e funkcyy s posledugwym yntehryrovanyem (yspol\zuq, po suwestvu, opredelenye slaboho reßenyq). Vse πty operacyy opravdan¥ na upomqnut¥x v¥ße pryblyΩenyqx, tak kak v¥polne- no, v çastnosty, (18). DokaΩem snaçala fynytnost\ nosytelq reßenyq. Pryvodymaq nyΩe lemma sleduet rassuΩdenyqm dokazatel\stva teorem¥ 1.1 yz [1]. Lemma 1. Pry uslovyy (17) reßenye zadaçy (1), (2) ymeet fynytn¥j nosy- tel\ pry vsex t > 0. Dokazatel\stvo. Pust\ Ri > 0 — zadann¥e çysla, pryçem Ri > 4D0i , hde D0i vzqto yz uslovyq (3). Pust\ Rni = Ri + 2– n – 1 Ri , rni = 1 2 2 1( − )− −R Ri n i , n = 0, 1, … . (19) Opredelym posledovatel\nost\ suΩagwyxsq kol\ceobrazn¥x oblastej: Sn = { x ∈ RN : rni < \| xi \| < Rni }. (20) Zametym, çto Sn + 1 ⊂ Sn , pryçem S0 = x R R x RN i i i∈ < <  : 4 3 2 (21) y pry n → ∞ S∞ = S x R R x Rn n N i i i= ∈ ≤ ≤ = ∞ 0 2∩ : . (22) Pust\, dalee ζn ( x ), n = 0, 1, … , — hladkye srezagwye funkcyy, ymegwye svojstva ζn ( x ) = 1, x ∈ Sn + 1 , ζn ( x ) = 0, x ∈ RN \ Sn , ∂ ∂ ≤ −ζn i n ix C R2 1 . ( Takye funkcyy moΩno lehko postroyt\ v vyde proyzvedenyq ζn ( x ) = = ζn i ii N x( ) = ( )∏ 1 . ) Pust\, nakonec, r > 0 fyksyrovano, r > pi , i = 1, N . UmnoΩym uravnenye (1) na u x t xn r( ) ( ), ζ y proyntehryruem po çastqm po Sn : 1 1 1 01+ ( ) ( ) ++ = ∫ ∫∫∑β ζ ζ τβu x t x dx u dx dn r S x p n r S t i N n i i n , = = − = − − = = ∫∫∑ ∑r u u u dx d r Fx p x n r nx S t i N i i N i i i i n 2 1 01 1 ζ ζ τ . (23) Ocenym slahaem¥e v pravoj çasty posledneho sootnoßenyq po neravenstvu Gnha s ε: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 DVUSTORONNYE OCENKY NOSYTELQ REÍENYQ ZADAÇY KOÍY … 1481 F u dx d C u dx di x p n r S t p n r p nx p S t i i n i i i i n ≤ +∫∫ ∫∫ −ε ζ τ ζ ζ τε 0 0 , hde ε v¥brano dostatoçno mal¥m. Sledovatel\no, perenosq slahaem¥e s ε v levug çast\ (19), s uçetom svojstv funkcyy ζn ( x ) poluçaem sup , 0 1 01< < + = ( ) ( ) +∫ ∫∫∑ τ β τ ζ ζ τ t n r S x p n r S t i N u x x dx u dx d n i i n ≤ C R u dx d np i p i N p n r p S t i i i i n 2 1 0= −∑ ∫∫ ζ τ . (24) Opredelym funkcyy vn ( x, t ) = u x t xn s( ) ( ), ζ , hde pokazatel\ s v¥bran dostatoç- no bol\ßym: s ( 1 + β ) > r, s pi > r. Otmetym, çto vnx p x p n sp p n s p nx p i i i i i i i i iC u u≤ +( )( − )ζ ζ ζ1 . Yz posledneho neravenstva y (24), v sylu svojstv funkcyj ζn ( x ) y oblastej Sn , sleduet, çto sup , 0 1 1 1 011 1 < < + + + = ( ) + + + ∫ ∫∫∑ τ β τ τ t n S n x p S t i N x dx dx d n i i n v v ≤ C R dx d np i p i N n p S t i i i n 2 1 0= ∑ ∫∫ v τ . (25) Prymenym k kaΩdomu yntehralu po dx po oblasty Sn v pravoj çasty nera- venstva (25) neravenstvo (10) s q = pi y ε = 1 + β, proyntehryruem rezul\tat po τ ot 0 do t, v¥nesem sup ,0 1 < < + ( )∫τ β τt nS x dx n v y prymenym neravenstvo Hel\de- ra. V rezul\tate poluçym v v vn p S t nx p S t k N b b t n S c i n k k n i i n i dx d C dx d t x dxτ τ τ τ β∫∫ ∫∫∑ ∫≤     ( )    = − < < + 0 01 1 0 1sup , , (26) hde bi = ai pi / p, ci = ( 1 – ai ) pi / ( 1 + β ), pryçem ai opredelqgtsq yz sootvet- stvugweho uslovyq (11). Neposredstvenn¥e v¥çyslenyq pokaz¥vagt, çto pry v¥polnenyy (12) bi ∈ ( 0, 1 ) y bi = di N / ( k + p ), bi + ci – 1 = di p / ( k + p ). Vvodq teper\ v rassmotrenye velyçyn¥ Yn = sup , 0 1 01< < + = ( ) +∫ ∫∫∑ τ β τ τ t n S nx p S t i N x dx dx d n i i n v v , yz sootnoßenyj (25) y (26) poluçaem Yn + 1 ≤ C t R Y np b i p i N n d p k pi i i i2 1 1 1 − = + ( + )∑ / . Sohlasno yteratyvnoj lemme 5.6 yz [6], Yn → 0 pry n → ∞, esly velyçyn¥ t R Y b i p d p k pi i i 1 0 − ( + )/ ≤ γ0 , γ0 > 0 dostatoçno mal¥. Poskol\ku v sylu (18) Y0 ≤ M, to Yn → 0 pry n → ∞ , esly Ri v¥bran¥ tak, çto Ri ≥ γ 0 1 04− ( + ) ( − ) +p d p k p p b p i i i i i iM t D/ / . Poslednee dokaz¥vaet lemmu 1. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1482 S. P. DEHTQREV, A. F. TEDEEV Otmetym, çto yz lemm¥ 1 umnoΩenyem uravnenyq (1) na srezagwug funk- cyg ζ ( x ), ravnug 1 v okrestnosty nosytelq u ( x, t ), t ∈ [ 0, T ], y posledug- wym yntehryrovanyem poluçaem u x t dx u x dx R RN N β β( ) = ( )∫ ∫, 0 = µ, t > 0. (27) Ocenym teper\ razmer¥ nosytelq reßenyq u ( x, t ) v termynax vremeny t y naçal\noj mass¥ µ. Predvarytel\no dokaΩem ewe odno vspomohatel\noe ut- verΩdenye, kotoroe analohyçno lemme 3.2 yz [3]. Pust\ Ri > 0, i = 1, N , θk > 0, k = 1, 2, 3, 4, θ > 0, pryçem θ1 < θ2 < θ3 < θ4 , θ2 – θ1 = A1 θ, θ4 – θ3 = A2 θ, A A A A1 1 1 2 2 1+ + +− − ≤ C. Oboznaçym Ri k( ) = Ri θk , k = 1 4, , y rassmotrym oblasty v RN : S1 = { x ∈ RN : Ri ( )1 < \| xi \| < Ri ( )4 }, S2 = { x ∈ RN : Ri ( )2 < \| xi \| < Ri ( )3 }, dlq kotor¥x S2 ⊂ S1 . Pust\ Ri ( )1 > 4D0i . Lemma 2. Dlq slaboho reßenyq u ( x, t ) zadaçy (1), (2) spravedlyva ocenka sup , sup , 0 1 1 0 2 1 < < + = < < ( ) ≤ ( )    ∫ ∑ ∫ τ β τ βτ τ t S i i N t S M u x dx C F u x dx i , (28) hde Fi = t Ri p si i( ) ( − )θ / 1 , Mi = f s i i1 − , si = αi ip p , fi = ( − )1 α β i ip , a çysla αi opredelqgtsq yz uslovyj 1 1 1 1 1 p p Ni i i= −    + ( − )α α β . (29) (Zametym, çto pry v¥polnenyy (12) 0 < si < 1, 1 < Mi .) Dokazatel\stvo. Opredelym posledovatel\nost\ velyçyn Rni = Ri ( )4 – – ( − ) −R Ri i n( ) ( )4 3 2 , rni = R R Ri i i n( ) ( ) ( )1 2 1 2+ ( − ) − , y posledovatel\nost\ rasßyrqg- wyxsq oblastej Cn = { x ∈ RN : rn i < \| xi \| < Rni }, n = 0, 1, 2, … . Otmetym, çto C0 = S2 y oblasty Cn stremqtsq k oblasty S1 . Opredelym, dalee, posledova- tel\nost\ srezagwyx funkcyj ζn ( x ) takyx, çto ζn ( x ) = 1, x ∈ Cn , ζn ( x ) = 0, x ∈ RN \ Cn + 1 , ∂ ∂ ≤ ( )−ζ θn i n ix C R2 1 . Pust\, kak y v lemme 1, vn ( x, t ) = u x t xn s( ) ( ), ζ , hde s dostatoçno velyko. Pol- nost\g analohyçno ocenke (25) yz lemm¥ 1 y uravnenyq (1) poluçaem sup , 0 1 011 1 < < + = ( ) + + + ∫ ∫∫∑ τ β τ τ t n C nx p C t i N x dx dx d n i i n v v ≤ C R dx d np i p i N n p C t i i i n 2 1 1 0 2 ( )= +∑ ∫∫ + θ τv . (30) Ocenym yntehral¥ po Cn + 2 v pravoj çasty (30) po neravenstvu (10) sledugwym obrazom: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 DVUSTORONNYE OCENKY NOSYTELQ REÍENYQ ZADAÇY KOÍY … 1483 v v vn p C n x p Ck N p p n C p i n k k n i i n i i dx d C dx+ + = + ( − ) + + + ∫ ∫∑ ∫≤            1 1 1 1 1 2 2 2 τ α β α β/ / , hde α i opredelqgtsq yz uslovyq (29). Yntehryruq poslednee neravenstvo po vremeny y prymenqq neravenstvo Hel\dera, poluçaem v v vn p C t s n x p C t k N s t n C f i n i k k n i n i dx d Ct dx d x dx+ − + = < < + + + + ∫∫ ∫∫∑ ∫≤       ( )      1 0 1 1 01 0 1 2 2 2 τ τ τ τ βsup , . (31) Prymenqq teper\ k kaΩdomu slahaemomu v pravoj çasty (30) ocenku (31) y ys- pol\zuq neravenstvo Gnha s δ / N, naxodym 2 1 0 1 012 2 np i p n p C t n x p C t k Ni i i n k k n R dx d N dx d ( ) ≤      + + =+ + ∫∫ ∫∫∑θ τ δ τv v + + C t R b x dx i p s i n t n C M i i n i δ τ β θ τ ( ) ( )      ( − ) < < + + ∫/ sup ,1 0 1 2 v , hde bi = 2 1p si i/ ( − ) . Sledovatel\no, v sylu posledneho neravenstva, yz neravenstva (30) ymeem sup , 0 1 011 1 < < + = ( ) + + + ∫ ∫∫∑ τ β τ τ t n C nx p C t i N x dx dx d n i i n v v ≤ ≤ δ τ τδ τ βv vn x p C t i N i i n i N t n C M i i n n i dx d C Fb x dx+ = = < < + + + ∫∫∑ ∑ ∫+ ( )      1 01 1 0 1 2 2 sup , . (32) Oboznaçaq yn = vnx p C t i N i i n dx dτ + ∫∫∑ = 101 y zameçaq, çto sup , sup , 0 1 0 2 1 < < + < < ( ) ≤ ( ) + ∫ ∫ τ β τ βτ τ t n C t S x dx u x dx n v ≡ A, yz sootnoßenyq (32) v¥vodym yn ≤ δ δy C Fb An i i n M i N i + = + ∑1 1 , n = 0, 1, … . Prymenqq poslednee neravenstvo, posledovatel\no po yndukcyy poluçaem y1 ≤ δ δδ n n i k k n i i M i N y C b b F A i + == + ( )    ∑∑1 01 . (33) Zametym, çto v sylu opredelenyq vn y ζn ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1484 S. P. DEHTQREV, A. F. TEDEEV yn ≤ D u dx d Dnp x p S t i N np i N i i i i 1 01 2 1 2 2 1 τ∫∫∑ ∑ = = ≤ , hde konstant¥ D1 y D2 ne zavysqt ot n. V¥byraq teper\ çyslo δ dostatoçno mal¥m tak, çtob¥ δ < 2– pi / 2, δ < 1 / 2bi , i = 1, N , vydym, çto δn yn + 1 → 0, n → → ∞, ( )= ∞∑ δbi k k 0 ≤ C. Takym obrazom, perexodq v (33) k predelu pry n → ∞ , poluçaem y1 ≤ C F u x dxi i N t S Mi = < < ∑ ∫ ( )    1 0 1 sup , τ β τ . Otsgda y yz ocenky (32) s n = 0 sleduet utverΩdenye lemm¥ 2. Perejdem neposredstvenno k dokazatel\stvu ocenky (16). Pust\ velyçyn¥ Ri , Rni , rni y oblasty Sn , S∞ opredelen¥, kak v lemme 1, sootnoßenyqmy (19) – (22), Ri > 4D0i , i = 1, N . Prymenym lemmu 2 k sosednym oblastqm Sn y Sn + 1 . Pry πtom Ri ( )1 = rni , Ri ( )2 = rn + 1i , Ri ( )3 = Rn + 1i, Ri ( )4 = Rni , y poπtomu parametr θ moΩno prynqt\ ravn¥m θ = 2– n . V sylu lemm¥ 2 poluçaem ocenku sup , sup ,/ 0 1 1 1 0 1 < < + ( − ) = < < ( ) ≤ ( )     + ∫ ∑ ∫ τ β τ βτ τ t S i p s i n i N t S M u x dx C t R b u x dx n i i n i , (34) hde bi = 2 1p si i/ ( − ) . S druhoj storon¥, yz neravenstva Hel\dera ymeem u x dx C u x dx R S S i i N n n β β β β β τ τ( ) ≤ ( )           + + ∫ ∫ ∏+ ( + ) = ( + ) , , / / 1 1 1 1 1 1 1 . Yspol\zuq v poslednem neravenstve ocenku (34) y oboznaçaq zn = sup , 0< < ( )∫ τ β τ t S u x dx n , poluçaem zn + 1 ≤ C t R R b z i p s k k N i N i R n M i i n i β β β β β β ββ β/ / / //( + ) ( − )( + ) = ( + ) = ( + )∏∑     ( + )1 1 1 1 1 1 1 11 . (35) Lehko proveryt\, çto pry v¥polnenyy (12) çysla Mi β / ( 1 + β ) > 1, y poπtomu, sohlasno lemme 5.6 yz [6], zn → 0 pry n → ∞, esly velyçyn¥ t R R z i p s k k N M i i i β β β β β β β/ / / / ( + ) ( − )( + ) = ( + ) ( + )−∏   1 1 1 1 1 1 0 1 1 dostatoçno mal¥. Poskol\ku z0 = sup , sup , , 0 0 0 0 < < < < ( ) ≤ ( ) = ( )∫ ∫ ∫ τ β τ β βτ τ τ t S t R R u x dx u x dx u x dx N N = µ, to dlq toho çtob¥ zn → 0, dostatoçno, çtob¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 DVUSTORONNYE OCENKY NOSYTELQ REÍENYQ ZADAÇY KOÍY … 1485 t R R i p s k k N M i i i β β β β β β βµ / / / / ( + ) ( − )( + ) = ( + ) ( + )−∏   1 1 1 1 1 1 1 1 ≤ γ0 , i = 1, N , (36) hde γ0 dostatoçno malo. PoloΩym teper\ Ri = Ri ( t ) = C ti iµθ ω , i = 1, N , (37) y podçynym Ri ( t ) uslovyg, dostatoçnomu dlq v¥polnenyq neravenstva (36) (posle vozvedenyq posledneho v stepen\ ( 1 + β ) / β ): R t R t C ti a k k N Di i( ) ( )    = = − ∏ 1 1/β µ , i = 1, N , (38) hde ai = pi / ( 1 – si ) = pi ( k + N ) / ( k – N di ), D i = Mi – ( 1 + β ) / β. Putem uravnyva- nyq stepenej µ y t v levoj y pravoj çastqx (38) y opredelqgtsq poloΩytel\- n¥e pokazately ωi y θi, opredelenn¥e v (14), (15) y udovletvorqgwye sootno- ßenyqm ω = β / k, θ = d / k. Takym obrazom, pry v¥bore v (36) velyçyn Ri ≥ 4D0i + Ri ( L t ) s L ≥ 1 nera- venstva (36) v¥polnen¥ y v sootnoßenyqx (35) zn → 0 pry n → ∞ . Sledova- tel\no, reßenye u ( x, t ) ≡ 0 v oblasty S∞ × [ 0, T ], çto y dokaz¥vaet ocenku (16). 3. Ocenka snyzu porqdkov razmera nosytelq. Dlq toho çtob¥ podtver- dyt\ toçn¥j xarakter ocenky (16), nam potrebuetsq sledugwaq teorema, koto- rug, yz-za ohranyçennoho obæema stat\y, pryvodym bez dokazatel\stva. ∏ta teo- rema daet ocenky vremeny Ωyzny reßenyq zadaçy (1), (2) y lokal\n¥e ocenky \|\| u \|\| ∞-norm¥ reßenyq pry rastuwyx, voobwe hovorq, naçal\n¥x dann¥x. Pust\ Bρ = { x ∈ RN : \| xi \| < ραi / 2, i = 1, N }, ρ > 0, hde αi = p di / d pi , pryçem αii N =∑ 1 = N. Pust\, dalee, v vr r k d B x dx= ( ) ≥ − ∫sup / ρ ρ ρ , M∞ = lim r r u →∞ 0 β . Oboznaçym κi = ( k – N di ) / p di > 0, i = 1, N , y opredelym funkcyg ω ( t ) = t t t t Nκ κ , , , . ≤ ≥    1 11 Teorema 2. Pust\ dlq zadaçy (1), (2) v¥polneno uslovye (6) y pravoe yz us- lovyj (12) y dlq nekotoroho r > 0 v¥polneno u r0 β < ∞. Tohda dlq suwest- vugweho na yntervale [ 0, T ], T = ω− ∞ ∞ ∞ ( ) ≠ ∞ ≠    1 0 0 C M M M / , , , , slaboho reßenyq zadaçy (1), (2) pry poçty vsex t > 0 spravedlyv¥ ocenky u t C u r r β β( ) ≤⋅, 0 , u t Cr t uB p d N k r p k r ( ) ≤⋅ ∞ −, , / / / 0 β , pryçem esly naçal\n¥e dann¥e u0 ( x ) ymegt koneçnug massu, t. e. udovletvo- rqgt uslovyg (4), to ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1486 S. P. DEHTQREV, A. F. TEDEEV u t CtR N k p k N( ) ≤⋅ ∞ −, , / /µ , t > 0. (39) Yz ocenky (39) lehko sleduet ocenka snyzu razmerov nosytelq reßenyq u ( x, t ). Pust\ t y µ dostatoçno velyky. Tohda, oboznaçaq S ( t ) = supp ( u ( ⋅, t ) ), ymeem µ = u dx u x t dx u t S t R R R N N N0 β β β∫ ∫= ( ) ≤ ( )( ) ( )⋅ ∞, , mes, . Sledovatel\no, v oboznaçenyqx teorem¥ 1 v sylu ocenky (39) d t S t Ct C D ti i N N k Nd k i i N ( ) ≥ ( ) ≥ ≥ ( ) = = ∏ ∏ 1 1 mes / /β µ . Takym obrazom, ny odna yz funkcyj di ( t ), i = 1, N , ne moΩet rasty medlennee, çem Di ( t ), tak kak summarno porqdok rosta di ( t ) y Di ( t ) odynakov (v sylu (16) y posledneho neravenstva), y ny odna yz dj ( t ) ne moΩet rasty b¥stree, çem Dj ( t ) v sylu (16). Teorema 1 dokazana. 1. Tedeev A. F. Uslovyq suwestvovanyq y nesuwestvovanyq v celom po vremeny kompaktnoho nosytelq reßenyj zadaçy Koßy dlq kvazylynejn¥x v¥roΩdagwyxsq parabolyçeskyx uravnenyj // Syb. mat. Ωurn. – 2004. – 45, # 1. – S. 189 – 200. 2. Andreucci D., Tedeev A. F. Finite speed of propagation for the thin-film equation and other higher- order parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces and Free Boundaries. – 2001. – 3. – P. 233 – 264. 3. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv. Different. Equat. – 2005. – 10, # 1. – P. 89 – 120. 4. Korolev A. H. Teorem¥ vloΩenyq anyzotropn¥x prostranstv Soboleva – Orlyça // Vestn. Mosk. un-ta. Ser. 1. Matematyka, mexanyka. – 1983. – # 1. – S. 32 – 37. 5. Bernis F. Existence results for double nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains // Math. Ann. – 1988. – 279. – P. 373 – 394. 6. Lad¥Ωenskaq O. A., Solonnykov V. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravne- nyq parabolyçeskoho typa. – M.: Nauka, 1967. – 736 s. Poluçeno 21.06.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11

Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения

Репозитарії

Схожі ресурси