Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією
Для лінійних параболічних систем з імпульсною дією встановлено коректність задачі Коші в нормованих просторах Діні.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165532 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією / М.І. Матійчук, В.М. Лучко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1525–1535. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165532 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655322020-02-15T01:27:18Z Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією Матвійчук, М.І. Лучко, В.М. Статті Для лінійних параболічних систем з імпульсною дією встановлено коректність задачі Коші в нормованих просторах Діні. For linear parabolic systems with pulse action, we establish the well-posedness of the Cauchy problem in normed Dini spaces. 2006 Article Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією / М.І. Матійчук, В.М. Лучко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1525–1535. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165532 517.956.4 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Матвійчук, М.І. Лучко, В.М. Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією Український математичний журнал |
| description |
Для лінійних параболічних систем з імпульсною дією встановлено коректність задачі Коші в нормованих просторах Діні. |
| format |
Article |
| author |
Матвійчук, М.І. Лучко, В.М. |
| author_facet |
Матвійчук, М.І. Лучко, В.М. |
| author_sort |
Матвійчук, М.І. |
| title |
Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією |
| title_short |
Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією |
| title_full |
Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією |
| title_fullStr |
Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією |
| title_full_unstemmed |
Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією |
| title_sort |
задача коші для параболічних систем з імпульсною дією |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165532 |
| citation_txt |
Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією / М.І. Матійчук, В.М. Лучко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1525–1535. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT matvíjčukmí zadačakošídlâparabolíčnihsistemzímpulʹsnoûdíêû AT lučkovm zadačakošídlâparabolíčnihsistemzímpulʹsnoûdíêû |
| first_indexed |
2025-07-14T18:52:04Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:52:04Z |
| _version_ |
1837649495136927744 |
| fulltext |
UDK 517.956.4
M. I. Matijçuk, V. M. Luçko (Çerniv. nac. un-t)
ZADAÇA KOÍI DLQ PARABOLIÇNYX SYSTEM
Z IMPUL|SNOG DI{G
For linear parabolic systems with pulse effect, we establish the correctness of the Cauchy problem in
normed Dini spaces.
Dlq linijnyx paraboliçnyx system z impul\snog di[g vstanovleno korektnist\ zadaçi Koßi v
normovanyx prostorax Dini.
Qkwo real\nyj proces opysu[t\sq systemog dyferencial\nyx rivnqn\ i pidlq-
ha[ impul\snij di] v rizni momenty çasu, to vynykagt\ matematyçni modeli z im-
pul\snog di[g. Zadaçi dlq system zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z im-
pul\snog di[g hlyboko vyvçeni u pracqx A.3M. Samojlenka i O.3M. Perestgka
[1] ta inßyx avtoriv.
Z inßoho boku, isnu[ zaverßena teoriq zadaçi Koßi ta krajovyx zadaç dlq
rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy paraboliçnoho typu [2 – 6]. Zadaçi z impul\s-
nog di[g dlq cyx rivnqn\ vyvçeni malo.
U cij statti vstanovleno korektnist\ zadaçi Koßi dlq paraboliçnyx system z
impul\snog di[g u maksymal\no ßyrokyx normovanyx prostorax Dini.
1. Postanovka zadaçi Koßi z impul\snog di[g. Funkciq Hrina. Rozhlq-
nemo v ßari Π = ×( , )t T En0 paraboliçnu systemu
∂
∂
u
t
= A t D u f t xk x
k
k b
( ) ( , )+
≤
∑
2
(1)
i budemo ßukaty ]] rozv’qzok pry t i≠ τ , qkyj zadovol\nq[ umovy
u t t= 0
= ϕ ( x ) ,
(2)
∆t tu t x
i
( , ) =τ = B u x a xi i i( , ) ( )τ + ≡ �i u( ) .
Tut A tk( ) — neperervni na [ t0, T ] kvadratni matryci vymiru N , f, B i, a i —
odnostovpcevi matryci, pryçomu a xi( ) , f t x( , ) neperervni po t i absolgtno
sumovni za arhumentom x, Bi — stali,
∆t tu
i=τ = u t x u t xi i i( , ) ( , )+ −0 , u t xi( , ) = lim ( , )
t i
u t x
→ −τ 0
,
t Ti0 1 2< < < … < < … <τ τ τ ( i — skinçenne çyslo).
V obrazax Fur’[
V t F u t x e u t x dxx
i x
En
( , ) ( , ) ( , )σ σ= = ∫
zadaçi (1), (2) vidpovida[ zadaça z impul\snog di[g i parametrom σ ∈En:
dV
dt
A t i V f tk
k
k b
= +
≤
∑ ( )( ) ˜( , )σ σ
2
, t i≠ τ , (3)
∆t t i i iV t B V t a
i
( , ) ( , ) ˜ ( )σ σ στ= = + ,
(4)
V V F xt t= = ≡ =
0 0( ) ( ) ˜ ( )σ ϕ ϕ σ .
Dlq neodnoridno] zadaçi (3), (4) rozhlqnemo vidpovidnu odnoridnu zadaçu
© M. I. MATIJÇUK, V. M. LUÇKO, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1525
1526 M. I. MATIJÇUK, V. M. LUÇKO
dV
dt
A t i Vk
k
k b
=
≤
∑ ( )( )σ
2
, t i≠ τ , (5)
∆t t i iV B V
i= =τ τ σ( , ) ,
(6)
V x0( ) ˜ ( )σ ϕ= .
Nexaj Q t( , , )τ σ — normal\na fundamental\na matrycq rozv’qzkiv zadaçi
Koßi
dQ
dt
A t i Qk
k
k b
=
≤
∑ ( )( )σ
2
, Q Et= =τ .
Todi matrycant V t t( , , )0 σ zadaçi (5), (6) vyznaça[t\sq formulog [1]
V t t Q t E B Qj k j k j j
k
( , , ) ( , , )( ) ( , , )′ = ++ + + + −
=
∏0 1
1
σ τ σ τ τ σν ν
ν
×
× ( ) ( , , )E B Q tj j+ ′+ −ν τ σ1 0 , (7)
de τ τ τ τj j j k j kt t T− + + +< ′ ≤ < < ≤ < … <1 0 1 , pryçomu V — nevyrodΩena mat-
rycq, qkwo takymy [ E Bj+ .
Rozv’qzok zadaçi (5), (6) z poçatkovog umovog
V t t= =
0 0v odnoznaçno vyzna-
ça[t\sq formulog
v v0( , ) ( , , ) ( )t V t tσ σ σ= 0 .
Dlq rozv’qzku neodnoridno] zadaçi (3), (4) otrymu[mo zobraΩennq
v( , )t σ =
V t t V t f d
t
t
( , , ) ( ) ( , , ) ˜( , )0 0
0
σ σ τ σ τ σ τv + ∫ +
+
t t
i i
i
V t a
0 < <
∑
τ
τ σ σ( , , ) ˜ ( ), t t≥ 0 . (8)
Qkwo systema rivnqn\ (1) rivnomirno paraboliçna, to norma matryci
Q t( , , )τ σ zadovol\nq[ nerivnist\ [2]
Q t( , , )τ σ ≤ Ce C tb− −0
2σ τ( ) .
Tomu dlq matrycanta V t t( , , )0 σ iz (7) dista[mo ocinku
V t t( , , )0 σ ≤ Ce E B
C t
j k
j k
b− −
+
+ +0
2( )τ σ
×
×
ν
τ τ σ
ν
τ σν ν
=
− −
+ −
−∏ + + − +
1
1
0 1
2
0
2k
C
j
t
e E B ej j
b
j
b( ) ( )
.
Zvidsy vyplyva[ nerivnist\
V t t( , , )0 σ ≤ C e E Bk
C t t
k
j
b− −
=
+∏ +0 0
2
0
( ) σ
ν
ν (9)
dlq t j0 < τ , t j k> +τ , σ ∈En.
Zastosu[mo do obox çastyn formuly (8) obernene peretvorennq Fur’[ i sko-
rysta[mos\ teoremog pro peretvorennq Fur’[ zhortky. V rezul\tati budemo ma-
ty rozv’qzok zadaçi (1), (2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
ZADAÇA KOÍI DLQ PARABOLIÇNYX SYSTEM … 1527
u t x( , ) =
E t
t
En n
G t t x d d G t x f d∫ ∫ ∫− + −( , , ) ( ) ( , , ) ( , )0
0
ξ ϕ ξ ξ τ τ ξ τ ξ ξ +
+
t t E
i i
i n
G t x a d
0 < <
∑ ∫ −
τ
τ ξ ξ ξ( , , ) ( ) . (10)
Tut G t x( , , )τ — funkciq Hrina zadaçi (1), (2), qka vyznaça[t\sq qk obernene pe-
retvorennq Fur’[ matrycanta
G t x( , , )τ = 1
2( )
( , , )
π
τ σ σσ
n
E
i x
n
e V t d∫ − , (11)
∆t t i iG t t x B G t x
i
( , , ) ( , , )0 0= =τ τ , (12)
de t t Ti i k0 1< < … < < … < < <+τ τ τ , x En∈ .
Teorema81 (pro korektnist\). Nexaj:
1) koefici[nty systemy (1) naleΩat\ klasu C( )Π , systema rivnomirno
paraboliçna, tobto xarakterystyçni koreni matryci A ik
k
k b
( )σ=∑ 2
zado -
vol\nqgt\ nerivnist\
Re ( , )λ σt ≤ – δ σ 2b, δ = const > 0, σ ∈En, t t T∈[ , ]0 ;
2) matryci ( )E Bj+ — nevyrodΩeni, det{ }E Bj+ ≠ 0.
Todi matrycq Hrina G t x( , , )τ zadaçi (1), (2) vyznaça[t\sq qk obernene pere-
tvorennq Fur’[ matrycanta V t( , , )τ σ formulog (11) i [ cilog funkci[g ar-
humentiv
x
t b( ) /− τ 1 2 , poxidni qko] zadovol\nqgt\ nerivnosti
D G t xx
m ( , , )τ ≤ C B t em k j
n m
b
C
x
t b
q
Φ ( )( )
| | | |
( ) /
−
− + −
−
τ τ2
1 2
,
de Φk j j
k
B E B( ) = + +=∏ νν 0
.
Rozv’qzok zadaçi (1), (2) vyznaça[t\sq formulog (10) dlq bud\-qkyx funkcij
f C∈ ( )( )α Π , ϕ, a C Ei n∈ ( ) i spravdΩugt\sq ocinky
D u t xx
m ( , ) ≤ C B
a
t
fm k j
i
i
i C E C E
i
n nΦ ( ) ( ) ( )
=
∑
+[ ]
−
+
1
0 ϕ
τ α .
Qkwo ϕ, a C Ei
b
n∈ ( , )( )2 ω , to u C b F∈ ( , )( )2 Π i dlq normy rozv’qzku vykonu-
[t\sq nerivnist\
u b
F
2 +α ≤ C B a fk j
i
i
i b bΦ ( )
=
+ +∑ + +
1
2 2
0
ω ω αϕ .
Nahada[mo, wo normog v prostori C b( , )( )2 ω Π [ velyçyna
u b2
ω = u
D u t x D u t
xb
k b
x
k k
2
2
+
−
−
≤
∑ sup
( , ) ( , )
Π
ξ ξ
ω ξ
,
a C( )( )ω Π — normovanyj prostir Dini, qkwo modul\ neperervnosti ω( )t zado-
vol\nq[ umovu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1528 M. I. MATIJÇUK, V. M. LUÇKO
F ( h ) =
0
1
h
d∫ −τ ω τ τ( ) < ∞ , h > 0.
2. Zadaça Koßi dlq rivnqn\ zi zminnymy koefici[ntamy. Rozhlqnemo za-
daçu Koßi z impul\snymy umovamy
∂
∂
u
t
= A t x D u f t xk x
k
k b
( , ) ( , )+
≤
∑
2
, t ≠ τi , (13)
u xt t= =
0
ϕ( ) , ∆t t i i iu B u x a x
i= = +τ τ( , ) ( ), (14)
Bi — stali matryci, t Tj0 1 2< < < … < < … <τ τ τ .
ZnaxodΩennq rozv’qzku zadaçi provodyt\sq za dopomohog metodyky iz [5],
qka bazu[t\sq na „zamoroΩuvanni” koefici[ntiv systemy (1).
Nexaj y y yn= …( , , )1 — dovil\no fiksovana toçka v En .
Zapyßemo totoΩnist\
∂
∂
u
t
= A t y D u F t x yk x
k
u
k b
( , ) ( , , )+
≤
∑
2
, (13 ′ )
de
F t x yu( , , ) ≡ A t x A t y D u f t xk k x
k
k b
( , ) ( , ) ( , )−[ ] +
≤
∑
2
.
Za umov 1, 2 teoremy31 dlq zadaçi
∂
∂
u
t
= A t y D uk x
k
k b
( , )
≤
∑
2
,
(15)
u t t= =
0
ϕ , ∆t t i iu B u x
i= =τ τ( , )
moΩna znajty za dopomohog peretvorennq Fur’[ matrycg Hrina
G t x y( , , , )τ = ( ) ( , , ; )2π τ σ σσ− −∫n i x
E
e V t y d
n
, (16)
de V t t y( , , ; )0 σ vyznaça[t\sq formulog (7), u qkij Q t j( , , )τ σ zamineno na nor-
mal\nu matrycg Q t yj( , , ; )τ σ systemy z parametrom
dV
dt
= A t y i Vk
k
k b
( , )( )σ
≤
∑
2
.
Systema (13 ′ ) rivnomirno paraboliçna i A t yk( , ) neperervni po t rivnomirno
wodo y i hel\derovi po y, tomu Q t y( , , ; )τ σ zadovol\nq[ nerivnist\ [2]
∆yQ t i y( , , ; )τ σ γ+ ≤ C y e c t c tb b
ω σ τ γ τ∆( ) − − + −1
2
2
2( ) ( ) ,
matrycant V t t y( , , ; )0 σ takoΩ zadovol\nq[ ocinku (9) i, krim c\oho,
∆yV t t y( , , ; )0 σ ≤ Ce B yt t
k j
b− − ( )( ) ( )0
2σ ωΦ ∆ .
Do intehrala (16), qkym vyznaça[t\sq matrycq Hrina zadaçi (15), moΩna zastosu-
vaty teoremu pro peretvorennq Fur’[ cilyx funkcij [2]. V rezul\tati budemo
maty
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
ZADAÇA KOÍI DLQ PARABOLIÇNYX SYSTEM … 1529
D G t t x yx
m ( , , ; )0 ≤ C B t em k j
n m c
x
t b
q
Φ ( )( )
| | | |
( ) /
−
− + −
−
τ τ2
1 2
,
(17)
∆y x
mD G t t x y( , , ; )0 ≤ C B y t em k j
n m c
x
t b
q
Φ ∆( ) ( )
| | | |
( ) /
ω τ τ( ) −
− + −
−
2
1 2
.
Qk i v praci [5], za dopomohog matryci Hrina na osnovi formuly (10) zadaçi
(17), (14) postavymo u vidpovidnist\ intehro-dyferencial\ne rivnqnnq
u ( t, x ) = G t t x y d G t x y a d
E t t E
i i
n i n
( , , , ) ( ) ( , , , ) ( )0
0
− + −∫ ∑ ∫
< <
ξ ϕ ξ ξ τ ξ ξ ξ
τ
+
+
t
t
u
E
d G t x y F y d
n
0
∫ ∫ −τ τ ξ τ ξ ξ( , , , ) ( , , ) . (18)
Dyferenciggçy ce spivvidnoßennq i pokladagçy potim y = x , otryma[mo sys-
temu intehral\nyx rivnqn\ wodo poxidnyx rozv’qzku
D u t xx
m ( , ) = F t x d K t x D u dm
k b t
t
mk
k
En
( , ) ( , , , ) ( , )+
≤
∑ ∫ ∫
2 0
τ τ ξ τ ξ ξξ , m b≤ 2 , (19)
de
F t xm( , ) = D G t t x x dx
m
En
( , , ; ) ( )0 −∫ ξ ϕ ξ ξ +
+
t t E
x
m
i
i n
D G t x x a d
0 < <
∑ ∫ −
τ
τ ξ ξ ξ( , , ; ) ( ) +
+
t
t
x
m
E
d D G t x x f d
n0
∫ ∫ −τ τ ξ τ ξ ξ( , , ; ) ( , ) ,
(20)
K t xme( , , , )τ ξ ≡ D G t x x A A xx
m
e e( , , ; ) ( , ) ( , )τ ξ τ ξ τ− −[ ] .
Operaciq Dx
m
oznaça[ dyferencigvannq funkci] G t x x( , , ; )τ ξ− po tret\omu
arhumentu x .
Na vidminu vid obmeΩen\ v teoremi31 na funkci] ϕ ta { ( )}a xi tut budemo pry-
puskaty, wo vony naleΩat\ klasu C En
( )( )ω . Cq umova zabezpeçyt\ sumovnist\
funkcij { }Fm , m b≤ 2 , a otΩe, i poxidnyx rozv’qzku. Dijsno, vykorystovug-
çy ocinky (17), iz (18) znaxodymo
F t xm( , ) ≤ C B e t t dk j c
E
c
x
t t
n
b
n
b
q
Φ ( ) ( )( ) /
ϕ ξ
ξ
∫
− −
−
−
−0
1 2
0
2 +
+
i
i
i c k j c kC a B C f
=
∑ +
1
0 0
0
Φ Φ( ) ≤ C B f ak j c c
i
i
i cΦ ( ) ϕ + +
=
∑
1
0
, m = 0 .
(21)
Pry m ≠ 0, vraxovugçy rivnist\ dlq dodankiv u (20)
D G t x x dx
m
En
( , , ; ) ( )τ ξ ϕ ξ ξ−∫ = D G x dx
m
En
ϕ ξ ϕ ξ( ) ( )−[ ]∫ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1530 M. I. MATIJÇUK, V. M. LUÇKO
dista[mo ocinku
F t xm( , ) ≤ C t t t t Bb m b
k jω ϕ ω−( ) − −
0
1 2
0
2/ /( ) ( )Φ +
+
i
i
i i
b
i
m b k j
a t
t
C f B
=
∑ −( )
−
+
1
2
2
0
ω
ω
ω τ
τ( )
( )/ Φ ≤
≤ C
a t
t
f Bm
i
i
i i
b
i
m b k j
=
∑ +[ ] −( )
−
+
1
2
2
0
ω ω
ω
ϕ ω τ
τ( )
( )/ Φ , 1 2≤ ≤m b . (22)
Qkwo A Ck x∈ ( )( )ω Π , to dlq funkcij K t xme( , , , )τ ξ iz (20) otrymu[mo nerivnist\
K t xme( , , , )τ ξ ≤ C t B t eb
k j
n e
b c t xω τ τ ρ τ ξ−( ) −
− +
−2 2Φ ( )( ) ( , , , )), m , e b≤ 2 . (23)
Systemu intehral\nyx rivnqn\ (19), qdro qko] K Kme= ( ) zadovol\nq[ neriv-
nist\ (23), doslidΩugt\ za dopomohog metodyky iz praci [7, c. 52]. Pry c\omu
budugt\ rezol\ventu
R t x( , , , )τ ξ =
= K t x d K t x y
t
En
( , , , ) ( , , , )τ ξ β β
ν τ
+
=
∞
∑ ∫ ∫
1
K y dy( )( , , , )ν β τ ξ , K K1 ≡ ,
dlq komponent R Rij= ( ) qko] takoΩ spravdΩu[t\sq nerivnist\ vyhlqdu (23), a
rozv’qzok systemy (19) vyznaça[t\sq formulog
D u t xx
m ( , ) =
= F t x d R t x ym
e b
t
me
En
( , ) ( , , , )+
≤
∑ ∫ ∫
2 0τ
β β F y dye( , )β , m b≤ 2 . (24)
Na osnovi zobraΩennq rozv’qzku (24) i ocinok (21) – (23) moΩna otrymaty take
tverdΩennq.
Teorema82 (pro korektnist\). Nexaj:
1) koefici[nty A t xk( , ) vyznaçeni v ßari Π = ( , ]t T0 i neperervni po t,
pryçomu Ak z k b= 2 rivnomirno wodo x En∈ ; za arhumentom x vony na-
leΩat\ klasu Dini Cx
( )( )ω Π , a systema (13) rivnomirno paraboliçna;
2) v impul\snyx umovax (14) matryci { }Bj — stali i taki, wo { }E Bj+ [
nevyrodΩenymy.
Qkwo funkci] ϕ( )x , { }ai , f t x( , ) naleΩat\ klasu Dini Cx
( )( )ω Π , to poxidni
rozv’qzku zadovol\nqgt\ nerivnist\
D u t x C B
a
t
t fx
m
m k j
i
i
i
i
m b i
b( , ) ( )
( ) /≤
+
−
−( ) +
=
∑Φ
1
2
2
0 ϕ
τ
ω τω ω
ω , m b≤ 2 . (25)
Qkwo ϕ, a C Ei
b
n∈ +( )( )2 ω , f Cx∈ ( )( )ω Π , to u C b F∈ ( , )( )2 Π i norma
u b
F
2 ≤ C f a Bb
i
i
i b k jϕ ω
ω
ω
2
1
2
0
+ +
=
∑ Φ ( ) ,
de F t d
t
( ) ( )= −∫ τ ω τ τ1
0
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
ZADAÇA KOÍI DLQ PARABOLIÇNYX SYSTEM … 1531
3. Fundamental\na matrycq rozv’qzkiv. U c\omu punkti doslidΩu[t\sq
fundamental\na matrycq rozv’qzkiv zadaçi Koßi z impul\snog di[g.
3.1. Vypadok systemy zi stalymy koefici[ntamy. Rozhlqnemo zadaçu
∂
∂
u
t
=
k b
k x
kA D u
≤
∑
2
= A D u( ) , (26)
u xt t= =
0
ϕ( ) , ∆t t i iu B u x
i= =τ τ( , ), t Tj0 1< < … < <τ τ , (27)
qkij v obrazax Fur’[ vidpovida[ zadaça
dV
dt
A V= ( )σ , ∆V B Vt i ii= =τ τ σ( , ). (28)
Normal\na matrycq systemy (26) Q t t eA t t( , , ) ( )( )
0
0σ σ= − .
Tomu matrycant zadaçi (28) zhidno z formulog (7) nabuva[ vyhlqdu
V t t( , , )0 σ = e E B e E B e
A t
j k
A
j
A tj k j k j k j( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
σ τ σ τ τ σ τ−
+
− −+ + + −+ … +1 0 ,
de
t tj j k j k0 1≤ < … < < <+ + +τ τ τ .
Qkwo matryci A i Bj komutugt\, to B e e Bj
At At
j= , a otΩe,
V t t( , , )0 σ = e E BA t t
j
j
i t t
( )( )
( , )
( )σ −
=
+∏0
0
1
, (29)
de i t t( , )0 — çyslo toçok τi na promiΩku [ , ]t t0 , tobto i t t k( , )0 = , qkwo
τ τk kt< < +1. Zokrema, qkwo rozbyttq [ , ]t t0 toçkamy τ0 0= t , τ τ1 < … < k
rivnomirne, τ τi i h= + −1 1( ) , a ( )E B+ — nevyrodΩena matrycq, to z (29) vy-
plyva[
V t t( , , )0 σ = e E B eA t t E B
t
h( ) ( )( )− ++
−
0
1
Ln
τ
, t > τ1 .
Cg formulu zapyßemo u vyhlqdi
V t t( , , )0 σ = e E B eA t E B
t
h( )( ) ( )( )σ τ
τ
1 0
1
− − ++
−{ }
Ln ×
× exp ( ) ln( ) ( )A
h
E B tσ τ+ +
−{ }1
1 .
Zvidsy vyplyva[, wo koly vlasni çysla µ σ1( , )h matryci A
h
E B( ) ln( )σ + +1
pry fiksovanyx σ ∈En magt\ vid’[mni dijsni çastyny, to V t t( , , )0 σ i vsi roz-
v’qzky systemy (28) prqmugt\ do nulq pry t → ∞ nezaleΩno vid znaku vlasnyx
çysel matryc\ A( )σ . Funkciq Hrina zadaçi (26), (27) zobraΩu[t\sq formulog
G t t x( , , )0 =
E
i x t A A h E B t
n
e e d∫ + − + + −−σ τ σ σ τ σ( ) ( ) ( ( ) ln( ))( )1 0
1
1 ×
× ( ) ( )E B e E B
t
h
+ − +
−{ }
ln
τ1
.
Nexaj vlasni çysla matryci A
h
E B( ) ln( )σ + +1
zadovol\nqgt\ nerivnist\
Re ( , )µ σ1 h ≤ – γ , γ = const > 0. (30)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1532 M. I. MATIJÇUK, V. M. LUÇKO
Systema rivnqn\ (26) paraboliçna, tomu
Re ( ( ))λ σA ≤ – δ σ δ2 1b+ , σ ∈En.
Qkwo do intehrala zastosuvaty teoremu pro peretvorennq Fur’[ cilyx funkcij
[2], to budemo maty ocinku
G t t x( , , )0 ≤
C
t
e e E Bn b
t
c
x
t
t
h
b
q
0
1 0
2
1
1 1 0
1 2 1
( )
( )/
( ) ( ) /
τ
γ τ τ
τ
−
+− −
−
−
− −{ }
.
Umova (30) realizu[t\sq za raxunok dosyt\ malyx znaçen\ h, tobto impul\sno]
di] v blyz\ki momenty çasu τ τ τ1 2, , ,… k . Zokrema, dlq vypadku odnoho rivnqnnq
N = 1, oçevydno, povynno buty B∈ −( , )1 0 , tak wo
Re ( ) ln( )A
h
E Bσ + +
1 = – δ σ δ2 1 1b B
h
+ − −ln( ) ≤ + δ1
1− −ln( )B
h
= – γ .
Dlq poxidnyx matryci Hrina spravdΩu[t\sq nerivnist\
D G t t xx
m ( , , )0 ≤ C t c
x
t
tm
n m
b
b
q
( ) exp
( )
( )/τ
τ
γ τ1 0
2
1
1 0
1 2 1− −
−
− −
− +
. (31)
OtΩe, matrycq Hrina ta ]] poxidni eksponencial\no spadagt\ do nulq pry
t → + ∞ (zadovol\nqgt\ ocinky Λ2 [2] ). Rozv’qzok zadaçi dlq systemy (26) z
umovamy u t t= =
0
ϕ , u Bu at ii i= = +τ τ vyznaça[t\sq formulog
u t x G t t x d G t x a d
E t t E
i i
n i n
( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( )= − + −∫ ∑ ∫
< <
0
0
ξ ϕ ξ ξ τ ξ ξ ξ
τ
,
z qko] na osnovi nerivnosti (31) otrymu[mo ocinku pro spadannq rozv’qzku pry
t → ∞ :
u t x( , ) ≤ C a ec
t t
i c
t
i
0
0
1ϕ
τ
γ τ+
< <
− −∑ ( ) .
3.2. Fundamental\na matrycq systemy zi zminnymy koefici[ntamy.
Rozv’qzok zadaçi (13), (14) znajdeno u vyhlqdi sumy intehraliv (24). Vydilymo
qdro obernenoho operatora ci[] linijno] zadaçi ta opyßemo joho vlastyvosti.
Qkwo v formuli (24) pominqty porqdok intehruvannq, to distanemo zobraΩennq
poxidnyx rozv’qzku
D u t xx
m ( , ) = D Z t t x dx
m
En
( , , , ) ( )0 ξ ϕ ξ ξ∫ +
+
t t E
x
m
i i
i n
D Z t x a d
0 < <
∑ ∫
τ
τ ξ ξ ξ( , , , ) ( ) +
+
0
t
x
m
E
d D Z t x f d
n
∫ ∫τ τ ξ τ ξ ξ( , , , ) ( , ) ,
de
D Z t t xx
m ( , , , )0 ξ = D G t t x xx
m ( , , , )0 − ξ +
+
e b t
t
me y
e
E
d R t x D G t y y dy
n≤
∑ ∫ ∫ −
2
0
0
β β ξ β ξ( , , , ) ( , , , ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
ZADAÇA KOÍI DLQ PARABOLIÇNYX SYSTEM … 1533
V ostannij formuli lyße pry umovax teoremy32 na koefici[nty systemy (13)
za osoblyvosti D G y yy
b
i
2 ( , , , )β τ ξ− pry β τ= ∈i t t[ , )0 [ rozbiΩnymy intehraly
�( , , , )t xiτ ξ =
e b
t
me y
e
i
Ei
i
n
d R t x y D G y y dy
=
∑ ∫ ∫ −
2 τ
β β β τ ξ( , , , ) ( , , , ) ,
de t ti i= −( ) /τ 2.
Ale qkwo koefici[nty A t xk( , ) z k b= 2 naleΩat\ klasu Cx
( )( )ω0 Π z mo-
dulem ω0( )t , qkyj zadovol\nq[ umovy
Φ ( t ) =
0
t
F
d∫ ( )τ
τ
τ < ∞ , F ( t ) =
0
0
1
t
d∫ −ω τ τ τ( ) < ∞ ,
to [7, c. 48]
∆y meR t x y( , , , )β ≤ C B
F y F t y
tk j
b
n b bΦ
∆ ∆
( )
( )( )/
( ) − + ( )( )[ ]
− +
β ω
β
2
2 2 ×
× e ec t x y y c t x y− + −+[ ]ρ β ρ β( , , , ) ( , , , )∆ . (32)
Zapyßemo �( , , , )t xτ ξ u vyhlqdi
� =
e b
t
E
me me
i
i
n
d R t x y R t x y
=
∑ ∫ ∫ −[ ]
2 τ
β β β( , , , ) ( , , , ) ×
× D G y y dy R t x D G y y dyy
e
i
e b
t
me
E
y
e
i
i
i
n
( , , ; ) ( , , , ) ( , , ; )β τ ξ β ξ β τ ξ
τ
− + −[
=
∑ ∫ ∫
2
+
+ D G y dy dy
e
i( , , ; )β τ ξ ξ β− ] .
Dlq ocinky dodankiv � skorysta[mosq nerivnostqmy (17) i (32). V rezul\tati
otryma[mo
�( , , , )t xiτ ξ ≤
≤ Φk j
e b
t
E
n b
b
B d e
t
F t
i
i
n
c
x y
t b
q
( )
( )
( ) /
=
+∑ ∫ ∫
− −
−
−
−( )
2
2
2
1 2
τ
β
β
β
β
F y e dy
c
y
i
b
q
i
n b
b
−( )
−
− −
−
+ξ
β τ
ξ
β τ( ) /
( )
1 2
2
2
.
Zvidsy, vraxovugçy nerivnist\
t
t i− ≥ −β τ
2
, F y e C Fi y
i
b−( ) ≤ −( )−ξ β τρ β τ ξ( , , , )
0
2 ,
znaxodymo
� ≤ C B F t t ek j i
b
i
n b
b C t xiΦ ( ) ( ) ( , , , )−( ) −
+
−τ τ ρ τ ξ2
2
2 1 , 0 < c1 < c .
Oznaçennq. Fundamental\nog matryceg rozv’qzkiv (f. m. r.) zadaçi (13),
(14) nazyva[t\sq matrycq Z t x Z t xij ij
N( , , , ) ( ( , , , ))τ ξ τ ξ= =1, stovpçyky qko] zado-
vol\nqgt\ systemu
∂
∂
=
≤
∑Z
t
A t x D Z
k b
k x
k
2
( , ) , t0 ≤ t ≠ τi ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1534 M. I. MATIJÇUK, V. M. LUÇKO
ta umovy
Z t t x x Et t( , , , ) ( )0 0
ξ δ ξ= = − ,
E — odynyçna matrycq, δ — funkciq Diraka,
∆t t i iZ t x B Z x
i
( , , , ) ( , , , )τ ξ τ τ ξτ= = ,
t Tj k0 1 2< < < … < < … <+τ τ τ .
Qkwo f. m. r. ßukaty u vyhlqdi
Z t x G t x W t x( , , , ) ( , , ; ) ( , , , )τ ξ τ ξ ξ τ ξ= − + , (33)
to dlq W otrymu[mo taku zadaçu:
∂
∂
= + −[ ] −
≤ ≤
∑ ∑W
t
A t x D W A t x A t D G t x
k b
k x
k
k b
k k x
k
2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , , , )ξ τ ξ ξ ≡
≡
k b
k x
k
WA t y D W F t x y K t x
≤
∑ + +
2
( , ) ( , , , , ) ( , , , )τ ξ τ ξ ,
∆t t i tW t x B W
i i
( , , , )τ ξ τ τ= == , W t t= =
0
0.
Cij zadaçi vidpovida[ intehro-dyferencial\ne rivnqnnq
W t t x( , , , )0 ξ =
t
t
E
d G t y y K t d
n0
0∫ ∫ −β β ζ β ζ ξ ζ( , , , ) ( , , , ) +
+
e b t
t
E
e e t
ed G t y y A A y D W t d
n≤
∑ ∫ ∫ − −[ ]
2
0
0
β β ζ β ζ β β ζ ξ ζ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) . (34)
Dyferencigvannqm obox çastyn (34) z nastupnog pidstanovkog parametra
y = x , qk i dlq rivnqnnq (18), oderΩu[mo systemu
D W t t xx
m ( , , , )0 ξ = Φm
e b t
t
me
E
t t x d R t x
n
( , , , ) ( , , , )0
2 0
ξ β β ζ+
≤
∑ ∫ ∫ ×
× D W t de
ξ β ζ ξ ζ( , , , )0 , m b≤ 2 ,
de
Φm =
t
t
x
m
E t
t
x
m
E
d D GK d d D G t x x
n n0
1
1
∫ ∫ ∫ ∫+ −β ξ β β ζ( , , , ) ×
× K t K t d( , , , ) ( , , , )β ζ ξ β ζ ξ ζ0 0−[ ] , t t t1 0
1
2
= −( ).
Qdro K t t x( , , , )0 ξ zadovol\nq[ nerivnist\ (23), a joho pryrist dopuska[ ocin-
ku
∆x K t t x( , , , )0 ξ ≤ C B
x
t t
e ek j n b b
c t t x x c t t xΦ ∆ ∆( )
( )( )/
( , , , ) ( , , , )ω ρ ξ ρ ξ( )
−
+[ ]+
− + −
0
2 2
0 0 .
Tomu dlq Φm spravdΩu[t\sq nerivnist\
Φm t t x( , , , )0 ξ ≤ C d e
t
e t
t
dj
t
t c t x
n m b
c t b
n b b
En0
1 0
2
0
2
0
2 2∫ ∫
−
+
−
+−
−( )
−
β
β
ω β
β
ζ
ρ β ζ ρ β ζ ξ( , , , )
( )/
( , , , )
( )/( ) ( )
+
+ C d
e t
t
e
t
dj
t
t c t x b
n m b
c t x
n b b
En1
00
2
2
0
2 2∫ ∫
−
+
−
+
−( )
− −
β
ω β
β β
ζ
ρ β ζ ρ β ζ( , , , )
( )/
( , , , )
( )/( ) ( )
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
ZADAÇA KOÍI DLQ PARABOLIÇNYX SYSTEM … 1535
Zvidsy
Φm t t x( , , , )0 ξ ≤ C B F t t t t ej k j
b n m b C t t xjΦ ( ) ( ) ( )/ ( , , , )−( ) − − + −
0
2
0
2 0ρ ξ
, (35)
m b≤ 2 , 0 < C < C1 .
Cg Ω nerivnist\ zadovol\nqgt\ poxidni D W t t xx
m ( , , , )0 ξ , qki pry umovi
A Hk ∈
2
vyznaçagt\sq za dopomohog rezol\venty ( Rij ) :
D W t t xx
m ( , , , )0 ξ = Φ Φm
e b t
t
me
E
et t x d R t x t d
n
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )0
2
0
0
ξ β β ζ β ζ ξ ζ+
≤
∑ ∫ ∫ .
Teorema83 (pro fundamental\nu matrycg rozv’qzkiv). Nexaj dlq koefici-
[ntiv systemy (13) ta impul\snyx umov (14) spravdΩugt\sq umovy 1, 2 teore-
my32, tobto A Hk ∈ 1, ϕ ω∈C( ) , a Ci ∈
( )ω , f C∈ ( )( )ω Π . Todi rozv’qzok zadaçi
odnoznaçno zobraΩu[t\sq intehralamy Stil\t\[sa z mirog Borelq
u ( t, x ) = P t x t d P t x d a
E t t
i i
En i n
( , , ; ) ( ) ( , , ; ) ( )0
0
ξ ϕ ξ τ ξ ξ
τ
∫ ∑ ∫+
< <
+
+ ∫ ∫ P t x d d f( , , , ) ( , )τ ξ ϕ τ ξ
Π
.
Qkwo A Hk ∈
2, ϕ ∈C En( ), a C Ei n∈ ( ) , f C∈ ( )( )ω Π , to f. m. r. vyznaça[t\-
sq formulog (33):
Z t x G t x W t x( , , , ) ( , , , ) ( , , , )τ ξ τ ξ ξ τ ξ= − + ,
a rozv’qzkom [ funkciq
u ( t, x ) = Z t t x d Z t x a d
E t t
i i
En i n
( , , , ) ( ) ( , , , ) ( )0
0
ξ ϕ ξ ξ τ ξ ξ ξ
τ
∫ ∑ ∫+
< <
+
+
0
t
E
d Z t x f d
n
∫ ∫τ τ ξ τ ξ ξ( , , , ) ( , ) ,
pryçomu W t x( , , , )τ ξ v konstrukci] Z ma[ menßu osoblyvist\: poxidni
D W t t xx
m ( , , , )0 ξ zadovol\nqgt\ nerivnist\ (35).
1. Samojlenko A. M., Perestgk M. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m vozdejst-
vyem. – Kyev: Vywa ßk., 1987. – 258 s.
2. ∏jdel\man S. D. Parabolyçeskye system¥. – M.: Nauka, 1964. – 444 s.
3. Yvasyßen S. D. Matryc¥ Hryna parabolyçeskyx zadaç. – Kyev: Vywa ßk., 1990. – 199 s.
4. Lad¥Ωenskaq O.A., Solonnykov V. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e
uravnenyq parabolyçeskoho typa. – M.: Nauka, 1967. – 736 s.
5. Matyjçuk M. Y., ∏jdel\man S. D. O parabolyçeskyx systemax s neprer¥vn¥my po Dyny
koπffycyentamy // Tr. sem. po funkcyon. analyzu. – VoroneΩ, 1967. – V¥p. 9. – S. 51 – 83.
6. Matyjçuk M. Y., ∏jdel\man S. D. Zadaça Koßy dlq parabolyçeskyx system, koπf-
fycyent¥ kotor¥x ymegt malug hladkost\ // Ukr. mat. Ωurn. – 1970. – 22, # 1. – S. 22 – 36.
7. Matijçuk M. I. Paraboliçni synhulqrni krajovi zadaçi. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra-
]ny, 1999. – 176 s.
OderΩano 05.12.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
|