О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости

Вивчено характер спектра, повноту i базисність системи власних вeктopів.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Вронский, Б.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165537
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости / Б.М. Вронский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1614–1623. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165537
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1655372020-02-15T01:27:19Z О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости Вронский, Б.М. Статті Вивчено характер спектра, повноту i базисність системи власних вeктopів. We study the structure of the spectrum and the completeness and basis property of a system of eigenvectors. 2006 Article О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости / Б.М. Вронский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1614–1623. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165537 517.9:532 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Вронский, Б.М. О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости Український математичний журнал
description	Вивчено характер спектра, повноту i базисність системи власних вeктopів.
format	Article
author	Вронский, Б.М.
author_facet	Вронский, Б.М.
author_sort	Вронский, Б.М.
title	О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости
title_short	О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости
title_full	О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости
title_fullStr	О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости
title_full_unstemmed	О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости
title_sort	о малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165537
citation_txt	О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости / Б.М. Вронский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1614–1623. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT vronskijbm omalyhkolebaniâhsžimaemojstratificirovannojžidkosti
first_indexed	2025-07-14T18:52:29Z
last_indexed	2025-07-14T18:52:29Z
_version_	1837649521807458304
fulltext	UDK 517.9:532 B. M. Vronskyj (Tavryç. nac. un-t, Symferopol\) O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY We study the character of the spectrum of small oscillations, the completeness and the basis property of a system of eigenvectors. Vyvçeno xarakter spektra, povnotu i bazysnist\ systemy vlasnyx vektoriv. 1. Postanovka zadaçy y pryvedenye ee k operatornoj forme. 1.1. Posta- novka naçal\no-kraevoj zadaçy. Pust\ nepodvyΩn¥j sosud celykom zapolnen ydeal\noj sΩymaemoj Ωydkost\g. Ûydkost\ predpolahaetsq stratyfycyro- vannoj, t. e. ee plotnost\ v sostoqnyy pokoq yzmenqetsq vdol\ vertykal\noj osy Oz po zakonu ρ ρ0 0= ( )z . Oblast\, zanqtug Ωydkost\g, oboznaçym çerez Ω, a ee hranycu (tverdug stenku) — çerez S. Sçytaem, çto systema naxodytsq pod dejstvyem syl¥ tqΩesty s uskorenyem � � g gk= − , hde � k — ort osy Oz. Budem rassmatryvat\ sluçaj ustojçyvoj stratyfykacyy; ona ymeet mesto pry v¥polnenyy uslovyj (sm. [1 – 4]) 0 < N− 2 ≤ N z2( ) ≤ N+ 2 < ∞ , (1) N z2( ) : = N z g c0 2 2 ( ) −     , N z0 2( ) : = – g z(ln ( ))ρ0 ′ , hde c — skorost\ zvuka v Ωydkosty. Velyçynu N z2( ) prynqto naz¥vat\ çasto- toj plavuçesty yly çastotoj Vqjsqlq – Brenta. Yz πtyx uslovyj sleduet, çto plotnost\ qvlqetsq ohranyçennoj, stroho po- loΩytel\noj funkcyej. Mal¥e dvyΩenyq system¥ opys¥vagtsq uravnenyqmy (sm. [1]) ∂ ∂ 2 2 � w t = – 1 1 0 0ρ ρ ρ∇ −p g k � ( v Ω ) , (2) ρ ρ ρ+ ′ +w wz 0 0 div � = 0 ( v Ω ) , (3) ρ ρ+ ′wz 0 = c p gwz − −2 0( )ρ ( v Ω ) , (4) kraev¥m uslovyem � � w n⋅ = 0 ( na S ) (5) y naçal\n¥my uslovyqmy � � w x( , )0 = � � w x0( ), ∂ ∂ � � w x t ( , )0 = � � w x1( ). (6) Zdes\ � � � w w x t= ( , ) — pole smewenyq çastyc Ωydkosty ot sostoqnyq ravnove- syq, p p x t= ( , ) � — otklonenye polq davlenyq ot ravnovesnoho, ρ ρ= ( , ) � x t — otklonenye polq plotnosty ot ravnovesnoho, � n — vneßnqq normal\ k S, � x = = ( , , )x x z1 2 — toçka v R 3. V zadaçe (2) – (6) uravnenye (2) qvlqetsq lynearyzovann¥m uravnenyem dvy- Ωenyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty, uslovye (3) — uravnenyem nerazr¥vnos- ty, uravnenye (4) — uravnenyem sostoqnyq ydeal\noho barotropnoho haza, krae- voe uslovye (5) v¥raΩaet uslovye neprotekanyq ydeal\noj Ωydkosty çerez tverdug stenku. 1.2. Metod ortohonal\noho proektyrovanyq. Naçal\no-kraevug zadaçu (2) – (6) pryvedem k dyfferencyal\nomu uravnenyg v nekotorom hyl\bertovom prostranstve. © B. M. VRONSKYJ, 2006 1614 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1615 Vvedem v rassmotrenye prostranstvo vektor-funkcyj → L 2 0( ; )Ω ρ so skalqr- n¥m proyzvedenyem ( , ) � � v u L2 = ρ0( )z u d � � v ⋅∫ Ω Ω . (7) Oboznaçym çerez → J0 0( ; )Ω ρ podprostranstvo → L2 0( ; )Ω ρ , poluçagweesq zam¥- kanyem po norme → L2 0( ; )Ω ρ mnoΩestva hladkyx funkcyj → J0 0( ; )Ω ρ = � � � � u C u u n S∈ = ⋅ ={ }1 0 0( ) : ,Ω Ωdiv v na . (8) Vvedem takΩe podprostranstvo kvazypotencyal\n¥x polej → G( ; )Ω ρ0 = → ∈ = ∇      � � v vL2 0 0 1( , ) :Ω Φρ ρ . (9) Skalqrn¥e funkcyy Φ Φ= ( , ) � x t , poroΩdagwye podprostranstvo → G( ; )Ω ρ0 , obrazugt prostranstvo, kotoroe budem oboznaçat\ W2 1 0 1( );Ω ρ− . Ska- lqrnoe proyzvedenye v nem zadaetsq formuloj ( ), ,Φ Ψ Ω1 = ρ0 1− ∇ ⋅∇∫ Φ Ψ Ω Ω d , (10) pryçem na funkcyy Φ Ω∈ −W2 1 0 1( );ρ nalahaetsq normyrugwee uslovye Φ Ω Ω d∫ = 0. Lemma+1. Prostranstvo → L 2 0( ; )Ω ρ dopuskaet ortohonal\noe razloΩenye → L2 0( ; )Ω ρ = → J0 0( ; )Ω ρ � → G( ; )Ω ρ0 . (11) Dokazatel\stvo pryvedeno v [2]. Yz (11) sleduet, çto lgboj vektor � w ∈ → L2 0( ; )Ω ρ moΩno predstavyt\ v vyde � w = � u z+ ∇−ρ0 1( ) Φ , � u ∈ → J0 0( ; )Ω ρ , ρ0 1− ∇( )z Φ ∈ → G( ; )Ω ρ0 . (12) V dal\nejßem yskom¥e funkcyy � � w x t( , ), ρ0 1− ∇p x t( , ) � pry lgbom t ≥ 0 budem sçytat\ πlementamy prostranstva → L2 0( ; )Ω ρ . Funkcyg � w budem yskat\ v vyde (12), a ρ0 1− ∇p — sçytat\ πlementom → G( ; )Ω ρ0 . Uslovye � � w n⋅ = 0 na S pozvo- lqet zaklgçyt\, çto ∂ ∂ Φ n = 0 na S. Ysklgçym yz system¥ uravnenyj (2) – (4) vse funkcyy, krome � � w x t( , ) (s po- mow\g sootnoßenyj (3), (4) v¥razym p y ρ çerez � � w x t( , )). Posle πtoho spro- ektyruem obe çasty uravnenyq (2) na → J0 0( ; )Ω ρ y → G( ; )Ω ρ0 . V rezul\tate polu- çym d u dt P N z u k P N z z z k P g z kz 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 1 � � � � + + ∂ ∂     + − ∇−( ) ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρΦ Φdiv = 0, d dt z P N z u k N z z z k g z kG z 2 2 0 1 0 2 0 2 0 0 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ− −∇ + + ∂ ∂ − ∇    Φ Φ Φ � � � div + + ρ ρ ρ ρ0 1 0 2 0 0 1− −∇ + ∂ ∂ − ∇   g u g z c zz Φ Φdiv( )( ) = 0, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1616 B. M. VRONSKYJ hde P0 y PG — proektor¥ na podprostranstva → J0 0( ; )Ω ρ y → G( ; )Ω ρ0 sootvet- stvenno. Vvedem v poslednem uravnenyy funkcyy Ψi , i = 1, 2, 3, takye, çto ΨiL∈ W2 1 0 1( );Ω ρ− y ρ0 1 1 − ∇Ψ = P g z kG( ( ) )( )− ∇−div ρ0 1 Φ � , ρ0 1 2 − ∇Ψ = P N z z z kG 0 2 0 ( ) ( )ρ ∂ ∂     Φ � , ρ0 1 3 − ∇Ψ = P N z u kG z( )( )0 2 � . Tohda poluçym systemu d u dt P N z u kz 2 2 0 0 2 � � + ( )( ) + + P N z z z k P g z k0 0 2 0 0 0 1( ) ( ) ( )( ( ) ) ρ ρ∂ ∂     + − ∇−Φ Φ � � div = 0, (13) d dt g uz 2 2 0 Φ + ρ + + g z c z ∂ ∂ − ∇ + + +−Φ Φ Ψ Ψ Ψ2 0 0 1 1 2 3ρ ρdiv( )( ) = 0. (14) 1.3. Operatornoe uravnenye zadaçy. Dlq perexoda ot system¥ (13), (14) k dyfferencyal\nomu uravnenyg v hyl\bertovom prostranstve vvedem operator¥ Aij y Bij , i, j = 1, 2, sledugwym obrazom: A u11 � = P N z u kG z( )( )0 2 � , A12Φ = P N z z z k0 0 2 0 ( ) ( )ρ ∂ ∂     Φ � , A u21 � = Ψ3 , A22Φ = Ψ2 , B u11 � = 0, B12Φ = P g z k0 0 1( ( ) )( )− ∇−div ρ Φ � , B u21 � = g uzρ0 , B22Φ = g z ∂ ∂ +Φ Ψ1, B0Φ = – c z2 0 0 1ρ ρdiv( )( )− ∇Φ . Teper\ systemu (13), (14) moΩno zapysat\ v vyde d U dt AU BU 2 2 + + = 0, U( )0 = U0 , ′U ( )0 = U1 , (15) U : = ( ), � u TΦ ∈ H : = → J0 0( ; )Ω ρ � W2 1 0 1( );Ω ρ− , U0 = ( ), � u T0 0Φ , U 1 = ( ), � u T1 1Φ . Skalqrnoe proyzvedenye v prostranstve H zadaetsq po formule ( ),U U H1 2 = ( ) ( ), , , � � u u L1 2 1 2 12 + Φ Φ Ω = ( )( ) ( )ρ ρ0 1 2 0 1 1 2z u u z d � �⋅ + ∇ ⋅∇−∫ Φ Φ Ω Ω . Operator¥ A y B yz (15) ymegt vyd A = A A A A 11 12 21 22     , B = 0 12 21 22 0 B B B B+     . Kak budet pokazano nyΩe, operator A ohranyçen y, sledovatel\no, moΩet b¥t\ rasßyren na vse prostranstvo. Oblast\g Ωe opredelenyq operatora B qvlqetsq ortohonal\naq summa D B D B( ) ( )21 0� , hde ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1617 D B( )21 = { � u ∈ → J0 0( ; )Ω ρ : u Wz ∈ 2 1( )}Ω , D B( )0 = W W2 1 0 1 2 3( ); ( )Ω Ωρ− ∩ . 1.4. Svojstva operatorov. Lemma+2. Operator A : H → H qvlqetsq ohranyçenn¥m y neotryca- tel\n¥m, pryçem A N z N z = =max ( ) :0 2 0 2 . Dokazatel\stvo sostoyt v postroenyy bylynejnoj form¥ ( ),AU U H1 2 , hde U1 , U2 — proyzvol\n¥e πlement¥ yz H, y prymenenyy opredelenyj opera- torov Aij , i, j = 1, 2, vektorov Ui y sootvetstvugwyx skalqrn¥x proyzvede- nyj. V rezul\tate moΩno poluçyt\ v¥raΩenye ( , )AU U H = ρ ρ0 0 2 0 1 2 ( ) ( ) ( )z N z u z z dz � + ∂ ∂ −∫ Φ Ω Ω ≥ 0, ysxodq yz kotoroho lehko pokazat\, çto A N≤ 0 2 . Vospol\zovavßys\ ravenst- vom σ ( )A11 = [ ],0 0 2N [5], poluçym A N= 0 2 . Lemma+3. Operator B 0 qvlqetsq neohranyçenn¥m, samosoprqΩenn¥m y poloΩytel\no opredelenn¥m v prostranstve W2 1 0 1( );Ω ρ− , D B( )0 = {Φ ∈ ∈ W2 3( ):Ω ∂ ∂ =  Φ n S0 ( )na . Dokazatel\stvo. Sostavym bylynejnug formu ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω , hde Φ1 , Φ2L∈ ∈ D ( B0 ) . Ymeem ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω = ρ ρ ρ0 1 2 0 0 1 1 2 − −∇ − ∇ ⋅∇∫ ( ) ( ) ( )( ( ))z c z z ddiv Φ Φ Ω Ω = = c z z z d2 0 0 1 1 0 1 2− ∇ ⋅ ∇( )   − −∫ div divρ ρ ρ( ) ( ) ( )( )Φ Φ Ω Ω + + ρ ρ ρ0 0 1 1 0 1 2( ) ( ) ( )( ) ( )z z z ddiv div− −∇ ∇  ∫ Φ Φ Ω Ω = = c z z z d2 0 0 1 1 0 1 2ρ ρ ρ( ) ( ) ( )( ) ( )div div− −∇ ∇∫ Φ Φ Ω Ω – – c z n dS S 2 0 1 1 2div( )( )ρ− ∇ ∂ ∂    ∫ Φ Φ = = c z z z d2 0 0 1 1 0 1 2ρ ρ ρ( ) ( ) ( )( ) ( )div div− −∇ ∇∫ Φ Φ Ω Ω = … = ( ), ,Φ Φ Ω1 0 2 1B . V v¥raΩenyy dlq ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω poloΩym Φ1 = Φ2 = ΦL∈ D B( )0 . V rezul\ta- te poluçym ( ), ,B0 1Φ Φ Ω = c z z d2 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω . Netrudno ubedyt\sq v tom, çto operator B0 qvlqetsq πllyptyçeskym. Dlq takyx operatorov v¥polnqetsq neravenstvo [6, c. 539] c W1 2 2 2Φ Ω( ) ≤ B L0 2 2 0 Φ Ω( ; )ρ ≤ c W2 2 2 2Φ Ω( ) , c1 , c2 > 0. (16) V¥raΩenye dlq B L0 2 2 0 Φ Ω( ; )ρ ymeet vyd ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1618 B. M. VRONSKYJ B L0 2 2 0 Φ Ω( ; )ρ = c z z d4 0 3 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω . Sravnyvaq v¥raΩenyq dlq ( ), ,B0 1Φ Φ Ω y B L0 2 2 0 Φ Ω( ; )ρ , a takΩe yspol\zuq pryvedennoe neravenstvo, pryxodym k v¥vodu, çto norma v πnerhetyçeskom prostranstve operatora B0 πkvyvalentna odnoj yz norm prostranstva W2 2( )Ω . Otsgda y yz teorem vloΩenyq S.LL. Soboleva sleduet, çto, vo-perv¥x, ( ), ,B0 1Φ Φ Ω = Φ B0 2 ≥ γ2 1 2Φ Ω, , t. e. operator B0 poloΩytel\no opredelen, y, vo-vtor¥x, lgboe mnoΩestvo, ohranyçennoe v norme πnerhetyçeskoho prost- ranstva operatora B0 , kompaktno v norme prostranstva W2 1 0 1( );Ω ρ− . Zameçanye. V processe dokazatel\stva lemm¥L3 m¥ prymenyly formulu Hryna v vyde div( ) � aF dΩ Ω ∫ = div div( )F a a F d � � + ⋅∇∫ Ω Ω = Fa dSn S ∫ dlq vektornoj � a = ∇−ρ0 1 1Φ y skalqrnoj F = ∇−div( )ρ0 1 2Φ funkcyj y uslo- vye ∂ ∂ =Φ n 0 na S. Opredelenye+1. � p — klass vpolne neprer¥vn¥x operatorov, s-çysla ko- tor¥x summyruem¥ so stepen\g p. Lemma+4. Operator B0 1− prynadleΩyt klassu � p pry p > 3 2/ . Dokazatel\stvo. Kompaktnost\ sleduet yz pred¥duwej lemm¥. Krome toho, yzvestno (sm. [7]), çto sobstvenn¥e znaçenyq operatora B0 1− ymegt asymp- totyçeskoe povedenye: λn B( )0 1− = c n o B0 1 2 3 1 1− − +/ ( ( )) pry n → ∞ , (17) t. e. operator B0 1− prynadleΩyt klassu � p pry p > 3 2/ . Lemma+5. Operator D A B:= + neotrycatelen. Dokazatel\stvo sleduet yz vyda kvadratyçnoj form¥ ( , )DU U : ( , )DU U = ρ ρ0 0 2 0 1 2 ( ) ( ) ( )z N z u z z dz � + ∂ ∂ −∫ Φ Ω Ω – – 2 0 0 0 1g z u z z z dzρ ρ ρ( ) ( ) ( )( )+ ∂ ∂     ∇−∫ Φ Φ Ω Ω div + + c z z d2 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω = = ρ ρ ρ ρ0 2 0 2 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ ( )z N z u z z g c u z z c z dz z+ ∂ ∂     + + ∂ ∂     − ∇          −∫ Φ Φ Φ Ω Ω div , v¥raΩenye dlq kotoroj poluçaetsq sposobom, analohyçn¥m yspol\zovannomu pry sostavlenyy formul dlq ( , )AU U y ( , )B0Φ Φ . Yz poluçennoho v¥raΩenyq sleduet, çto ( , )DU U ≥ 0 ∀ ∈U H , a πto oznaçaet, çto operator D ≥ 0 . 2. Sobstvenn¥e kolebanyq. Perejdem k yssledovanyg sobstvenn¥x kole- banyj system¥, t. e. k yzuçenyg svojstv reßenyj zadaçy (15), zavysqwyx ot vre- meny po zakonu exp( )i tω . V rezul\tate poluçym spektral\nug zadaçu λU AU BU= + , λ ω= 2 . (18) Poluçenn¥j operator D A B= + qvlqetsq, stroho hovorq, nezamknut¥m. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1619 NyΩe m¥ pryvedem yssleduemug zadaçu k zadaçe dlq zamknutoho operatora, kotor¥j qvlqetsq samosoprqΩenn¥m rasßyrenyem dlq operatora D. Dlq πtoho vmesto zadaçy (18) rassmotrym „smewennug” spektral\nug zadaçu vyda ( ) ( )λ + = +a U D aI U , λ µ+ =a : , D D aIa := + . (19) Zdes\ a — proyzvol\naq poloΩytel\naq konstanta. Operator Da qvlqetsq poloΩytel\no opredelenn¥m y dopuskaet rasßyre- nye do samosoprqΩennoho po Frydryxsu. UkaΩem konstrukcyg πtoho rasßyre- nyq. Lehko vydet\, çto ymeet mesto faktoryzacyq Da = A aI A B A B A B B aI 11 12 12 21 21 22 22 0 + + + + + +     = I B A aI Q Q I G I Ba t a 0 0 0 01 2 11 1 2/ /     + +         , (20) hde Q A B Ba= + −( ) / 12 12 1 2 , Q B A Bt a= +−1 2 21 21 / ( ) , G B A B Ba a= +− −1 2 22 22 1 2/ /( ) , B aI Ba = + 0. Sledugwee utverΩdenye v¥tekaet neposredstvenno yz svojstv vvedenn¥x v¥ße operatorov. Lemma+6. 1. Q Qt D B= ∗ ( )21 . 2. Operator G qvlqetsq neotrycatel\n¥m, symmetryçn¥m y, sledova- tel\no, dopuskagwym rasßyrenye do samosoprqΩennoho Ĝ . 3. Operator Ba ymeet te Ωe svojstva, çto y operator B0 . Yz predstavlenyq (20) sleduet, çto samosoprqΩennoe rasßyrenye operatora Da ymeet vyd ˆ ˆ/ /D I B A aI Q Q I G I B a a a =     + +        ∗ 0 0 0 01 2 11 1 2 . (21) Oblast\ opredelenyq πtoho operatora sostoyt yz vektorov ( , ) � u TΦ takyx, çto Φ ∈D Ba( )/1 2 , Q u I G B D Ba a ∗ + + ∈ � ( ˆ ) / /( )1 2 1 2Φ . V dal\nejßem vmesto zadaçy (19) budem rassmatryvat\ spektral\nug zadaçu dlq operatora D̂a : I B A aI Q Q I G I B u a a 0 0 0 01 2 11 1 2/ /ˆ     + +            ∗ � Φ = µ � u Φ     . (22) Zametym, çto operator Da (v otlyçye ot D ) qvlqetsq zamknut¥m. ∏to sle- duet yz ohranyçennoj obratymosty sostavlqgwyx eho mnoΩytelej. Yz fyzyçeskyx soobraΩenyj sleduet oΩydat\, çto spektr zadaçy sostoyt yz dvux çastej. Odna yz nyx (dyskretnaq çast\) obuslovlena sΩymaemost\g Ωyd- kosty y zanymaet promeΩutok [ ],N0 2 +∞ , druhaq (neprer¥vnaq) poroΩdena stratyfykacyej y raspoloΩena na otrezke [ ],0 0 2N . 2.1. Akustyçeskye kolebanyq. B udem sçytat\, çto λ > N0 2 . Uravnenye (22) zapyßem pokomponentno ( ) /aI A u QB ua+ + =11 1 2� � Φ µ , (23) B Q u I G Ba a 1 2 1 2/ /( )( ˆ )∗ + + = � Φ Φµ . Ot πtyx ravenstv s pomow\g zamen¥ Φ = −Ba 1 2/ ζ perejdem k systeme uravnenyj ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1620 B. M. VRONSKYJ ( )aI A u Q u+ + =11 � � ζ µ , (24) Q u I G Ba ∗ −+ + = � ( ˆ )ζ µ ζ1 . Poskol\ku λ > N0 2 , dlq „smewennoho” spektral\noho parametra µ v¥polneno uslovye µ > N a0 2 + : = Na 2 . Pry v¥polnenyy πtoho uslovyq operator-funkcyq ( )µI Aa− 11 , A aI Aa 11 11:= + ohranyçenno obratyma. Poπtomu yz system¥ (24) moΩno ysklgçyt\ funkcyg � u s pomow\g sootnoßenyq � u I A Qa= − −( )µ ζ11 1 . V rezul\tate poluçym zadaçu na sobstvenn¥e znaçenyq: L ( µ ) ζ : = ( ˆ ( ))I G B Fa+ − +−µ µ ζ1 = 0, (25) hde F Q I A Qa( ) : ( )µ µ= −∗ − 11 1 — analytyçeskaq operator-funkcyq. Lemma+7. Operator-funkcyq F ( µ ) yz (25) pry µ > Na 2 prynymaet zna- çenyq na mnoΩestve ohranyçenn¥x y samosoprqΩenn¥x operatorov. Dokazat\ nuΩno tol\ko ohranyçennost\. Dlq πtoho pokaΩem, çto operator¥ Q D Ba= − 12 1 2/ y Q B Da ∗ −= 1 2 21 / ohranyçen¥. Poskol\ku ony vzaymno soprq- Ωen¥, dostatoçno dokazat\ ohranyçennost\ Q. Ymeem Q A Ba= − 12 1 2/ + + B Ba12 1 2− / . Pervoe slahaemoe ohranyçeno (y daΩe kompaktno) v sylu svojstv operatorov A y Ba −1 2/ . PokaΩem, çto B Ba12 1 2− / takΩe ohranyçen. Dlq πtoho v¥çyslym B Ba12 1 2 2− / ζ : B Ba12 1 2 2− / ζ = ( )/ /,B B B Ba a12 1 2 12 1 2− −ζ ζ = ( ),B B12 12Φ Φ = = g z z d2 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω , ζ 2 = ( ),BaΦ Φ = c z z d2 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω . Otsgda sleduet B Ba12 1 2 2− / = g c 2 2 . Sledovatel\no, operator¥ Q y Q∗ ohranyçen¥ y dlq yx norm spravedlyv¥ ocenky Q = Q∗ ≤ λ1 1 2 1 2/ ( )B N g ca a − + , hde λ1 1( )Ba − — pervoe sobstvennoe znaçenye operatora Ba −1. Takym obrazom, oh- ranyçennost\ operator-funkcyy F( )µ dokazana. Lemma+8. Operator Ĝ qvlqetsq samosoprqΩenn¥m y kompaktn¥m. Dokazatel\stvo. SamosoprqΩennost\ sleduet yz struktur¥ operatora Ĝ y svojstv vxodqwyx v neho operatorov. PokaΩem eho polnug neprer¥vnost\. Dlq πtoho predstavym Ĝ v vyde summ¥ ˆ ˆ ˆG G GA B= + , hde ˆ : / /G B A BA a a= − −1 2 22 1 2, ˆ : / /G B B BB a a= − −1 2 22 1 2 . Operator ĜA neotrycatelen y prynadleΩyt prostran- stvu � p pry p > 3 2/ . Yzuçym svojstva operatora ĜB . Dlq πtoho sostavym v¥raΩenye dlq ( )ˆ ,GBζ ζ : ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1621 ( )ˆ ,GBζ ζ = – 2 0 1g z z ddiv( )( )ρ− ∇ ∂ ∂    ∫ Φ Φ Ω Ω . Yspol\zovav neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho, poluçym ( )ˆ ,GBζ ζ ≤ 2 1g Baζ ζ ζ( ),− . V¥berem posledovatel\nost\ { }ζn n= ∞ 1 takug, çto ζn → 0 (slabo) pry n → ∞ . Dlq nee suwestvuet c > 0 takoe, çto dlq vsex n ∈ N ζn = c z z dn 2 0 0 1 2 1 2 ρ ρ( ) ( )( ) / div − ∇    ∫ Φ Ω Ω < c y v sylu polnoj neprer¥vnosty operatora Ba −1 v¥polneno uslovye ( ),Ba n n −1ζ ζ = Ω Φ Ω∫ − ∇ρ0 1 2( ) )z dn → 0 pry n → ∞ . Teper\ v sylu ocenky dlq ( )ˆ ,GBζ ζ poluçym, çto ( )ˆ ,GBζ ζ → 0 pry n → ∞ dlq lgboj slabosxodqwejsq k nulg posledovatel\nosty { }ζn n= ∞ 1, otkuda sle- duet, çto ĜB prynadleΩyt �∞ . Krome toho, dokazano neravenstvo ĜB ≤ 2 2 1 1 2 1g c Baλ / ( )− . 2.2. Faktoryzacyq operatornoho puçka. Dlq yssledovanyq operator- funkcyy L ( µ ) yz (25) vospol\zuemsq teoremoj o faktoryzacyy yz [8, c. 178]. Pered tem kak prymenyt\ πtu teoremu, v¥polnym v (25) zamenu µ ν= 1/ spekt- ral\noho parametra. V rezul\tate poluçym operatorn¥j puçok M( )ν : = ν ν ν ν νI B G G Fa A B− + + +− −1 2 1 1ˆ ˆ ( ), ν∈ −[ ],0 2Na , (26) F1 1( )ν− : = Q I A Qa∗ −−( )ν 11 1 . Yspol\zovav ocenky dlq norm operatorov Q, Q∗, ĜB , ĜA , vxodqwyx v πtot puçok, y obwug teoremu o faktoryzacyy yz [8, c. 178], prydem k sledugwemu utverΩdenyg. Teorema+1 (dostatoçnoe uslovye faktoryzacyy). Pry v¥polnenyy uslovyq λ1( )Ba > max ,N g c g c g c a 2 2 4 2 2 2 44+ −               (27) operator-funkcyq M( )ν dopuskaet faktoryzacyg vyda M( )ν = M+( )ν × × ( )νI Z− , hde M+( )ν holomorfna y holomorfno obratyma v nekotoroj ok- restnosty otrezka [ ( ) ],− + −ε ε1 2 2 1Na , a operator Z podoben samosoprqΩen- nomu y takoj, çto σ( )Z ⊂ [ ( ) ],− + −ε ε1 2 2 1Na pry nekotorom v¥bore çysel ε1 y ε2 . S pomow\g metoda neopredelenn¥x koπffycyentov lehko proveryt\, çto Z M B I T Ba a= = +− − − 0 1 1 1( ) , hde T ∈ ∞� , t. e. Z — slabovozmuwenn¥j kompakt- n¥j operator, pryçem Ker Z = { }0 . 2.3. O polnote system¥ mod akustyçeskyx voln. Teorema+2. Esly v¥polneno uslovye faktoryzacyy (27), to zadaça (25) pry λ > N0 2 ymeet dyskretn¥j spektr { }λk k= ∞ 1, λ µ νk k ka Z a= − = −−( ) ( ( ) )1 , so- stoqwyj yz koneçnokratn¥x sobstvenn¥x znaçenyj s edynstvennoj predel\noj toçkoj λ = + ∞ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1622 B. M. VRONSKYJ Sootvetstvugwye ym sobstvenn¥e vektor¥ { }ζk k= ∞ 1 obrazugt polnug y mynymal\nug systemu v prostranstve W2 1 0 1( );Ω ρ− . Dokazatel\stvo. Poskol\ku operator-funkcyq M+( )ν obratyma, pry v¥- polnenyy uslovyq faktoryzacyy zadaça (25) πkvyvalentna zadaçe na sobstven- n¥e znaçenyq dlq slabovozmuwennoho vpolne neprer¥vnoho operatora Z. Os- talos\ prymenyt\ teoremu M.LV.LKeld¥ßa o slabovozmuwennom operatore (sm.L[9]) y sootnoßenyq meΩdu spektral\n¥my parametramy λ, µ y ν. Teorema+3. Esly v¥polneno uslovye faktoryzacyy (27), to reßenyqm zada- çy (24) { }λk k= ∞ 1 y { }ζk k= ∞ 1 pry λ > N0 2 sootvetstvugt mod¥ kolebanyj Uk = = ( , ) � uk k TΦ , k = 1, 2, … , ymegwye xarakter akustyçeskyx voln. A ymenno: pry normyrovke � uk L k2 2 1 2+ Φ Ω, = 1, k = 1, 2, … , ymegt mesto asymptotyçeskye formul¥ � uk L2 → 0, B k k k0 1 1 1− −Φ Φ Ωλ , → 0, k → ∞ . (28) Dokazatel\stvo. Zapyßem systemu (24), poloΩyv Φ Φ= k y λ λ= k , k = = 1, 2, … ( πlement¥ Φk y çysla λk postroen¥ po sobstvenn¥m vektoram y sobstvenn¥m znaçenyqm zadaçy (25)), y v¥polnyv zamenu Φk kB= − 0 1 2/ ζ . Posle nekotor¥x preobrazovanyj poluçym � uk = λ λk k kI A Q− − −−1 1 11 1( ) Φ , λ ζ ζk k kB0 1− − = Q u Sk k ∗ + � ζ , posle çeho perejdem k predelu pry k → ∞ . Yz pervoho yz sootnoßenyj ymeem � uk L2 0→ , a yz vtoroho — B k k k0 1 1 1 0− −− →ζ λ ζ ,Ω . Perexodq ot ζ k k Φ k , poluçaem utverΩdenye teorem¥. 2.4. Symmetryzator spektral\noj zadaçy. Vvedem v rassmotrenye ope- rator F po formule F = 1 2 1 π ν ν ν i M d t − = ∫ ( ) , λ1 1( )Ba − < t < Na −2 , (29) hde operator-funkcyq M ( ν ) opredelena v (26). V rabote [8] dlq operator- funkcyj takoho vyda dokazano sledugwee utverΩdenye. Lemma+9. Operator F qvlqetsq samosoprqΩenn¥m, ohranyçenn¥m y sym- metryzugwym sprava operator Z, t. e. ( )ZF ZF∗ = . Krome toho, rassuΩdenyq, analohyçn¥e pryvedenn¥m v [8], pozvolqgt doka- zat\ sledugwee utverΩdenye. Lemma+10. Operator F qvlqetsq poloΩytel\no opredelenn¥m y ymeet strukturu F I F= + 1, hde F p1 ∈� (pry p > 3). 2.5. Bazysnost\ system¥ mod akustyçeskyx voln. Predvarytel\no pryvedem sledugwee opredelenye. Opredelenye+2. Systema vektorov { }yk k= ∞ 1 naz¥vaetsq p -bazysom hyl\- bertova prostranstva H, esly vxodqwye v nee vektor¥ yk ymegt vyd y I K xk k= +( ) , hde K — vpolne neprer¥vn¥j operator yz klassa � p pry ne- kotorom p > 0, pryçem operator ( )I K+ ohranyçenno obratym, a vektor¥ { }xk k= ∞ 1 obrazugt ortonormyrovann¥j bazys prostranstva H . Nalyçye symmetryzatora F (y eho struktura, opysannaq v¥ße) operatora Z ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1623 pozvolqet, pry v¥polnenyy uslovyq (27), dokazat\ sledugwee utverΩdenye. Teorema+4. Pry v¥polnenyy uslovyq (27) systema sobstvenn¥x vektorov zadaçy (25) obrazuet p-bazys (pry p > 3) prostranstva W2 1 0 1( );Ω ρ− . Dokazatel\stvo sleduet yz πkvyvalentnosty, pry v¥polnenyy uslovyj πtoj teorem¥, zadaçy (25) zadaçe na sobstvenn¥e znaçenyq dlq slabovozmuwen- noho vpolne neprer¥vnoho operatora Z. Nalyçye Ωe symmetryzatora dlq Z pozvolqet pryvesty πtu zadaçu k zadaçe na sobstvenn¥e znaçenyq dlq samoso- prqΩennoho vpolne neprer¥vnoho operatora. 2.6. Voln¥, poroΩdenn¥e stratyfykacyej. Budem sçytat\, çto µ L∈ ∈ [ ],a Na 2 . Vernemsq k yssleduemoj systeme (24). Na otrezke [ ],a Na 2 operator b ( µ ) : = I G Ba+ − −ˆ µ 1 obratym vsgdu, za ys- klgçenyem koneçnoho çysla toçek. ∏to sleduet yz toho, çto po teoreme M.LV.LKeld¥ßa (sm. [8]) operator-funkcyq b ( µ ) obratyma vsgdu, za ysklgçe- nyem ne bolee çem sçetnoho mnoΩestva yzolyrovann¥x toçek s predel\noj toç- koj µ = ∞ . Na otrezke [ ],a Na 2 πtyx toçek ne bolee koneçnoho çysla, t. e. ut- verΩdenye ob obratymosty operatora b ( µ ) dokazano. V tex Ωe toçkax, hde operator b ( µ ) obratym, ymeem spektral\nug zadaçu λ � u = ( ( ))A QQ B u11 − +∗ λ � , (30) hde operator-funkcyq B ( µ ) prynymaet znaçenyq na mnoΩestve samosoprqΩen- n¥x vpolne neprer¥vn¥x operatorov. Dalee nam snova ponadobytsq rezul\tat rabot¥ [5] o predel\nom spektre operatora A11 y svqz\ meΩdu spektral\n¥my parametramy λ y µ . Opyraqs\ na nyx y na teorem¥ o kompaktnom y ohranyçennom vozmuwenyqx, moΩno doka- zat\ sledugwug teoremu. Teorema+5. Predel\n¥j spektr zadaçy (18) leΩyt na otrezke [ / ], ( )0 0 2 2N g c+ . Takym obrazom, provedenn¥e v dannoj stat\e yssledovanyq pokaz¥vagt, çto v sΩymaemoj stratyfycyrovannoj Ωydkosty suwestvugt vnutrennye voln¥ dvux typov. Perv¥e voln¥ poroΩden¥ sΩymaemost\g (sm. teoremu 2), a vtor¥e — stratyfykacyej (sm. teoremu 5). Avtor v¥raΩaet blahodarnost\ professoru N.LD.LKopaçevskomu za vnymanye k rabote y cenn¥e obsuΩdenyq. 1. Brexovskyx L. M., Honçarov V. V. Vvedenye v mexanyku sploßn¥x sred. – M.: Nauka, 1982. – 335 s. 2. Kopaçevskyj N. D., Temnov A. N. Kolebanyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty v bassejne proyzvol\noj form¥ // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1986. – 26, # 5. – S.L734 – 753. 3. Kopaçevskyj N. D., Temnov A. N. Kolebanyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty v cylyndry- çeskom bassejne pry postoqnnoj çastote plavuçesty // Vopros¥ volnov¥x dvyΩenyj Ωyd- kosty (sb. nauçn. tr.). – Krasnodar: Kuban. un-t, 1987. – S.L48 – 71. 4. Kopaçevskyj N. D., Temnov A. N. Kolebanyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty v cylyndry- çeskom bassejne pry proyzvol\noj çastote plavuçesty // Dyfferenc. uravnenyq. – 1988. – 24, # 10. – S. 1784 – 1796. 5. Kopaçevskyj N. D., Car\kov M. G. K voprosu o spektre operatora plavuçesty // Ûurn. v¥- çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1987. – # 3. – S. 548 – 551. 6. Berezanskyj G. M., Us H. F., Íeftel\ Z. H. Funkcyonal\n¥j analyz. – Kyev: Vywa ßk., 1990. – 600 s. 7. Suslyna T. A. Asymptotyka spektra nekotor¥x zadaç, svqzann¥x s kolebanyqmy Ωydkos- tej. – L., 1985. – 79Ls. – Dep. v VYNYTY, #L8058-V. 8. Markus A. S. Vvedenye v spektral\nug teoryg polynomyal\n¥x operatorn¥x puçkov. – Kyßynev: Ítyynca, 1986. – 260 s. 9. Keld¥ß M. V. O polnote sobstvenn¥x funkcyj nekotor¥x klassov nesamosoprqΩenn¥x lynejn¥x operatorov // Uspexy mat. nauk. – 1971. – 24, v¥p.L4 (160). – S. 15 – 41. Poluçeno 18.11.2005, posle dorabotky — 13.06.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12

О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости

Репозитарії

Схожі ресурси