Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів

У рамках теорії сингулярних збурень необмежених самоспряжених операторів встановлено зв'язок між оберненою задачею на власні значення та матрицями Якобі.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Кошманенко, В.Д., Тугай, Г.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165539
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів / В.Д. Кошманенко, Г.В. Тугай // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1651–1662. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165539
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1655392020-02-15T01:26:52Z Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів Кошманенко, В.Д. Тугай, Г.В. Статті У рамках теорії сингулярних збурень необмежених самоспряжених операторів встановлено зв'язок між оберненою задачею на власні значення та матрицями Якобі. We establish the relationship between the inverse eigenvalue problem and Jacobi matrices within the framework of the theory of singular perturbations of unbounded self-adjoint operators. 2006 Article Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів / В.Д. Кошманенко, Г.В. Тугай // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1651–1662. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165539 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Кошманенко, В.Д. Тугай, Г.В. Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів Український математичний журнал
description	У рамках теорії сингулярних збурень необмежених самоспряжених операторів встановлено зв'язок між оберненою задачею на власні значення та матрицями Якобі.
format	Article
author	Кошманенко, В.Д. Тугай, Г.В.
author_facet	Кошманенко, В.Д. Тугай, Г.В.
author_sort	Кошманенко, В.Д.
title	Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів
title_short	Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів
title_full	Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів
title_fullStr	Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів
title_full_unstemmed	Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів
title_sort	матриці якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165539
citation_txt	Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів / В.Д. Кошманенко, Г.В. Тугай // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1651–1662. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT košmanenkovd matricíâkobíasocíjovanízobernenoûzadačeûnavlasníznačennâvteoríísingulârnihzburenʹsamosprâženihoperatorív AT tugajgv matricíâkobíasocíjovanízobernenoûzadačeûnavlasníznačennâvteoríísingulârnihzburenʹsamosprâženihoperatorív
first_indexed	2025-07-14T18:52:39Z
last_indexed	2025-07-14T18:52:39Z
_version_	1837649530445627392
fulltext	UDK 517.9 V. D. Koßmanenko, H. V. Tuhaj (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) MATRYCI QKOBI, ASOCIJOVANI Z OBERNENOG ZADAÇEG NA VLASNI ZNAÇENNQ V TEORI} SYNHULQRNYX ZBUREN\| SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV* The connection between the inverse eigenvalue problem and the Jacobi matrices is established in the framework of the theory of singular perturbations of unbounded self-adjoint operators. U ramkax teori] synhulqrnyx zburen\ neobmeΩenyx samosprqΩenyx operatoriv vstanovleno zv’qzok miΩ obernenog zadaçeg na vlasni znaçennq ta matrycqmy Qkobi. 1. Vstup. Nexaj A ≥ 1 — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator z oblastg vyznaçennq dom A ≡ D ( A ) v kompleksnomu separabel\nomu prostori Hil\berta H zi skalqrnym dobutkom ( ⋅, ⋅ ) ta normog \|\| ⋅ \|\|. Operator Ã ≠ A nazyva[t\sq [1 – 4] (çysto) synhulqrno zburenym vidnosno A (pyßemo Ã ∈ Ps ( A ) ), qkwo mnoΩyna D = { ϕ ∈ D ( A ) ∩ D ( Ã) : A ϕ = Ãϕ } [ wil\nog v H. Zrozumilo, wo A i Ã magt\ spil\nyj symetryçnyj operator Ȧ = A Û D = Ã Û D iz netryvial\nymy indeksamy defektu n±( )Ȧ = dim Ker ( ± )˙ A i ≠ 0. Vidomo [5 – 9], wo nastupnyj variant oberneno] zadaçi na vlasni znaçennq [ rozv’qznym. A same, dlq dovil\no] poslidovnosti çysel Ej, j = 1, 2, … , ta po- slidovnosti vektoriv ψ j z umovog ( span { ψj } )cl ∩ dom ( A ) = { 0 } (cl — zamy- kannq) isnu[ poslidovnist\ synhulqrno zburenyx operatoriv An , n = 1, 2, … , wo zadovol\nqgt\ rivnqnnq na vlasni znaçennq: A En j j jψ ψ= , j ≤ n. U cij statti budemo doslidΩuvaty tak zvani slabko synhulqrno zbureni ope- ratory Ã z klasu Pws ( A ) [10]. Ce oznaça[, wo obraz riznyci rezol\vent opera- toriv A, Ã naleΩyt\ oblasti vyznaçennq operatora A1 / 2 : ran [ ( Ã – z ) – 1 – ( A – z ) – 1 ] ⊂ D ( A1 / 2 ). U c\omu vypadku [ dva varianty zobraΩennq dlq zburenoho operatora Ã . Qkwo Ã ne [ rozßyrennqm za Fridrixsom operatora Ȧ , to joho moΩna podaty u vyhlqdi uzahal\neno] sumy: Ã = A +̃ T, de operator T di[ v A-ßkali H– 1 ⊃ ⊃ H0 ≡ H ⊃ H1 hil\bertovyx prostoriv [11], T : H1 → H– 1 , pry c\omu rank T ∩ ∩ H = { 0 }. Tut H1 = D ( A1 / 2 ) v normi \|\| ϕ \|\| 1 : = \|\| A1 / 2 ϕ \|\|, a H – 1 — dual\nyj prostir do H1 vidnosno H . U bud\-qkomu vypadku operator Ã vyznaça[t\sq formulog Krejna dlq rezol\vent ( Ã – z ) – 1 = ( A – z ) – 1 + B – 1 ( z ), Im z ≠ 0, de operatorna funkciq B ( z ) zadovol\nq[ pevnu totoΩnist\ (dyv., napryklad, [12, 13]) i, holovne, rank B – 1 ( z ) ⊂ D ( A1 / 2 ) \ D ( A ). Zokrema, rezol\ventne zobra- Çastkovo pidtrymano DFG 436 UKR 113/67, 113/78 ta INTAS 00-257 proektamy. © V. D. KOÍMANENKO, H. V. TUHAJ, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1651 1652 V. D. KOÍMANENKO, H. V. TUHAJ Ωennq dlq Ã budemo vykorystovuvaty u vypadku, koly Ã = A∞ [ rozßyren- nqm za Fridrixsom symetryçnoho operatora Ȧ . Pry c\omu mnoΩyna D utvorg[ pravyl\nyj pidprostir v H1 , tobto ne [ wil\nog v H1 , i A∞ ≠ A. Pyßemo Ã Aws n∈ ( )P , qkwo riznycq rezol\vent ( Ã – z ) – 1 – ( A – z ) – 1 , Im z > > 0, [ operatorom ranhu n ≤ ∞. Nexaj Ej ∈ R, j = 1, 2, … , — deqka poslidovnist\ dijsnyx çysel, a ψj ∈ ∈ H1 ( A ) \ D ( A ) — dovil\na poslidovnist\ vektoriv, ortonormovanyx v H, taka, wo vykonu[t\sq umova span { ψj , j ≥ 1 } cl ∩ D ( A ) = { 0 }, (1) de cl poznaça[ zamykannq v H. Z rezul\tativ robit [5, 6] (dyv. takoΩ [8, 9]) vyplyva[, wo dlq koΩnoho skinçennoho n isnu[ [dynyj synhulqrno zburenyj samosprqΩenyj operator An ∈ Pws n A( ) , wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq, An ψj = Ej ψj , j = 1, … , n. (2) Bil\ß toho, pry neobtqΩlyvyx umovax isnu[ synhulqrno zburenyj operator Ã As n∈ ( )= ∞P , qkyj rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq dlq usix Ej i pry c\omu poslidovnist\ An zbiha[t\sq do n\oho v syl\nomu rezol\ventnomu sensi. Qk pravylo, operatory An magt\ vyhlqd An = A +̃ Tn i budugt\sq induktyv- no z vykorystannqm na koΩnomu kroci synhulqrnoho zburennq ranhu 1. Vynqt- kom [ vypadok, koly na qkomus\ kroci operator An [ rozßyrennqm za Fridrix- som deqkoho symetryçnoho operatora. Todi An vyznaça[t\sq formulog Krejna dlq rezol\vent. A same, rezol\venta operatora An zapysu[t\sq çerez rezol\- ventu An –1 ta paru En ∈ R, ψn ∈ H u vyhlqdi ( An – z ) – 1 = ( − ) + ( ) ( ) ( )− − − (⋅ )A z B z z zn n n n1 1 1 , η η , Im z ≠ 0, (3) de Bn ( z ) = ( − ) ( )( )E z zn n nψ η, , η ψn n n n nz A E A z( ) = ( − )( − )− − − 1 1 1 . U roboti [5] uperße bulo pomiçeno, wo rekurentna procedura pobudovy An pryrodnym çynom porodΩu[ poslidovnist\ asocijovanyx matryc\ Qkobi Jn = b a a b a a b a a b n n n 1 1 1 2 2 2 3 1 1 0 0 • • • • • •                   − − . (4) Ci matryci uzhodΩeni v tomu sensi, wo na n-mu kroci matrycq Jn mistyt\ u sobi matrycg Jn –1 qk çastynu. Pry n → ∞ my oderΩu[mo matrycg Qkobi J neskin- çennoho ranhu, qku nazyva[mo asocijovanog z obernenog zadaçeg na vlasni zna- çennq dlq zadanyx Ej ∈ R, ψj ∈ H, j = 1, 2, … . Matryçni elementy an , b n qkobi[vyx matryc\ vyraΩagt\sq rekurentnym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 MATRYCI QKOBI, ASOCIJOVANI Z OBERNENOG ZADAÇEG … 1653 çynom çerez operatory Aj , vektory ψj ta vlasni znaçennq Ej , j ≤ n, a same, b1 = 〈 ψ1 , A0 ψ1 〉 – E1 , a1 = \| 〈 ψ1 , A0 ψ2 〉 \|, b2 = 〈 ψ2 , A0 ψ2 〉 – E2 , a2 = \| 〈 ψ2 , A1 ψ3 〉 \|, ……………………… bn = 〈 ψn , An – 2 ψn 〉 – En , an = \| 〈 ψn , An – 1 ψn + 1 〉 \|, n = 1, 2, … , de 〈 ⋅, ⋅ 〉 — dual\nyj skalqrnyj dobutok miΩ H1 ta H – 1 , a A j — zamykannq operatora Aj : H1 → H– 1 , A0 = A. U cij roboti pokazano, wo za dopomohog dovil\no] matryci Qkobi J, zadano] v deqkomu ortonormovanomu bazysi { ϕj }, wo utvorg[ pidprostir N ⊂ H 1 ( A ), N ∩ dom ( A ) = { 0 }, moΩna ne[dynym çynom vidnovyty poslidovnosti ψ j i E j taki, wo pry rozv’qzanni za nymy oberneno] zadaçi na vlasni znaçennq (2) vynyka[ poslidovnist\ synhulqrno zburenyx operatoriv An ∈ Pws n A( ) , z qkymy asocijova- ni matryci Qkobi Jn , qki [ pravyl\nymy çastynamy matryci J i zbihagt\sq do ne] v sensi syl\no] hraf-hranyci. Procedura vidnovlennq ψj i Ej [ konstruktyv- nog, ale ne odnoznaçnog. 2. Pobudova matryci Qkobi, asocijovano] z synhulqrno zburenym opera- torom. Nexaj zadano: neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator A ≥ 1 v H , po- slidovnist\ vid’[mnyx çysel Ej , j = 1, 2, … , ta poslidovnist\ ψ j ∈ H1 ( A ) \ D ( A ) ortonormovanyx v H vektoriv, qka zadovol\nq[ umovu (1). PokaΩemo, wo dlq zadano] poslidovnosti vid’[mnyx çysel { } = ∞Ej j 1 ta poslidovnosti vektoriv { } = ∞ψ j j 1 isnu[ poslidovnist\ synhulqrno zburenyx operatoriv skinçennoho ranhu An ∈ Pws n A( ) , wo rozv’qzugt\ zadaçu na vlasni znaçennq (2). Pry c\omu z koΩ- nym operatorom An bude asocijovano qkobi[vu matrycg vyhlqdu (4). Opyßemo poslidovno proceduru pobudovy tako] matryci. Na perßomu kroci, n = 1, za zadanymy E1 ta ψ1 vyznaça[mo synhulqrno zburenyj operator formulog A1 = A0 +̃ α1 〈 ⋅, ω1 〉 ω1 , A0 ≡ A , (5) de ω1 : = ( A0 – E1 ) ψ1 ∈ H– 1 , α1 : = − 〈 〉 = − 〈 〉 − 1 1 1 1 1 0 1 1ψ ω ψ ψ, , A E , A0 — zamykannq izometryçnoho vidobraΩennq A : H1 → H– 1 , a +̃ poznaça[ tak zvanu uzahal\nenu sumu operatoriv (dyv., napryklad, [14]), abo sumu u sensi kvad- ratyçnyx form [15, 16]. Bezposerednq perevirka pokazu[, wo operator A1 roz- v’qzu[ zadaçu A1 ψ1 = E1 ψ1 . Vyznaçymo perßyj matryçnyj element, poklavßy b1 : = a E11 0 1− , a11 0 : = 〈 ψ1 , A0 ψ1 〉. (6) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1654 V. D. KOÍMANENKO, H. V. TUHAJ Oçevydno, wo b1 > 0, oskil\ky operator A [ dodatnym, a çyslo E1 — vid’[m- nym. Zaznaçymo, wo qk synhulqrne zburennq ranhu odyn α1 〈 ⋅, ω1 〉 ω1 , tak i matryçnyj element b1 qkobi[vo] matryci J0 , qku my budu[mo, [dynom çynom vyznaçagt\sq operatorom A ta zadanog parog E1 , ψ1 (dokladne dovedennq c\oho faktu moΩna znajty v robotax [5, 6, 9]). ZauvaΩymo, wo çyslo b1 my asocig[mo z operatorom A1 , xoça v formuli (6) fihuru[ operator A0 . Ce pov’qzano z tym, wo naspravdi element b1 vyzna- ça[t\sq po E1 ta ψ1 , qki odnoznaçno fiksugt\ operator A1 . Na druhomu kroci, n = 2, vykorystovu[mo operator A1 , çyslo E2 ta vektor ψ2 , qkyj ortohonal\nyj do ψ1 , i vyznaça[mo synhulqrno zburenyj operator A2 za formulog A2 = A1 +̃ α2 〈 ⋅, ω2 〉 ω2 , (7) de ω2 = ( A1 – E2 ) ψ2 ∈ H– 1 , α2 = − 〈 〉 = − 〈 〉 − 1 1 2 2 2 1 2 2ψ ω ψ ψ, , A E . Bezposerednq perevirka pokazu[, wo operator A2 rozv’qzu[ zadaçu z dvoma vlas- nymy znaçennqmy: A2 ψ1 = E1 ψ1 , A2 ψ2 = E2 ψ2 . Poklada[mo b2 = a E22 0 2− , a1 = a21 0 , (8) de a22 0 : = 〈 ψ2 , A0 ψ2 〉, a21 0 : = 〈 ψ2 , A0 ψ1 〉. OtΩe, α2 = − − 1 2 1 2 1 b a b . Znovu varto zauvaΩyty, wo elementy b2 , a1 my asocig[mo z operatorom A2 , tomu wo ci elementy, qk i operator A2 , fiksugt\sq parog E2 , ψ2. Do toho Ω koefici[nt α2 , qkyj vyznaça[ operator A2 , takoΩ vyraΩa[t\sq çerez elemen- ty b2 , b1 , a1 . Analohiçno, na tret\omu kroci, n = 3 , dlq dovil\noho vid’[mnoho çysla E3 ta vektora ψ3 ∉ D ( A ) takoho, wo ψ1 ⊥ ψ2 ⊥ ψ3 ⊥ ψ1 , vyznaça[mo A3 = A2 +̃ α3 〈 ⋅, ω3 〉 ω3 , (9) de ω3 = ( A2 – E3 ) ψ3 , α3 = − 〈 〉 = − 〈 〉 − 1 1 3 3 3 2 3 3ψ ω ψ ψ, , A E . Poklada[mo b3 = a E33 1 3− , a2 = a32 1 , (10) de a33 1 : = 〈 ψ3 , A1 ψ3 〉, a32 1 : = 〈 ψ3 , A1 ψ2 〉. OtΩe, α3 = − 〈 〉 − − 〈 〉 − = − − − 1 1 3 1 3 3 3 1 2 2 1 0 2 0 3 2 2 2 1 2 1 ψ ψ ψ ψ , , A A E b a b b a b a b . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 MATRYCI QKOBI, ASOCIJOVANI Z OBERNENOG ZADAÇEG … 1655 Dlq dovil\noho n ≥ 1 ma[mo An = An –1 +̃ αn 〈 ⋅, ωn 〉 ωn , ωn : = ( An –1 – En ) ψn , (11) de αn = − 〈 〉 = − − − − − … − − − − − − − − − 1 1 2 1 2 2 1 1 3 1 21 0 2 11 0 1 ψ ωn n n n n n n n n n n n n a E a a E a a E , , , , , tobto αn = − − − … − − − − 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 b a b a b a b n n n , (12) bn : = a En n n n, − −2 , an –1 : = an n n , − − 1 2 . (13) Tut an n n , −2 : = 〈 ψn , An –2 ψn 〉, an n n , − − 1 2 = 〈 ψn , An –2 ψn –1 〉. Takym çynom, qkwo vsi çysla Ej < 0, j = 1, 2, … , i vektory ψj zadovol\nq- gt\ umovu (1), to isnu[ poslidovnist\ synhulqrno zburenyx operatoriv An , qki rozv’qzugt\ zadaçu na vlasni znaçennq (2) i z qkymy moΩna konstruktyvno aso- cigvaty poslidovnist\ matryc\ Qkobi Jn . Umova (1) harantu[, wo vsi operatory An [ synhulqrno zburenymy vidnosno A . Pry c\omu koΩen An naleΩyt\ Pws n A( ) , tomu wo vsi vektory ψj naleΩat\ H1 ( A ) \ D ( A ). Rozhlqnemo vypadok, koly Ej [ poslidovnistg dovil\nyx dijsnyx çysel, ne obov’qzkovo vid’[mnyx. Todi moΩe trapytys\, wo vΩe na perßomu kroci b1 = = a1 0 – E1 = 0, abo b2 – a b 1 2 1 = 0, abo na bud\-qkomu k-mu kroci b a b a b a b k k k − − … − − − − 1 2 1 2 2 2 1 2 1 = 0. (14) Ce pryvodyt\ do toho, wo koefici[nt α1 , abo α2 , abo αk bude dorivngvaty neskinçennosti i uzahal\nena suma Ak = Ak –1 +̃ αk 〈 ⋅, ωk 〉 ωk vtraça[ sens. Ale, qk pokazano v robotax [1, 17, 18], synhulqrne zburennq ranhu odyn Ã = A +̃ +̃ α 〈 ⋅, ω 〉 ω z neskinçennog konstantog zv’qzku, α = ∞, ma[ korektnyj sens. A same, pid operatorom Ã slid rozumity rozßyrennq za Fridrixsom symetryçnoho operatora Ȧ = A \| { f ∈ D ( A ) : 〈 f, ω 〉 = 0 }. Same tak my i budemo diqty u zaznaçe- nyx vywe vypadkax. My vyznaça[mo Ak qk rozßyrennq za Fridrixsom symetryç- noho operatora Ȧk −1, oderΩanoho zvuΩennqm A k –1 na mnoΩynu D( )−Ȧk 1 = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1656 V. D. KOÍMANENKO, H. V. TUHAJ = { f ∈ D ( Ak –1 ) : 〈 f, ωk 〉 = 0 }. Todi operator Ak zada[t\sq za dopomohog formu- ly Krejna dlq rezol\vent: ( Ak – z ) – 1 = ( − ) + ( ) ( ) ( )− − − (⋅ )A z B z z zk k k k1 1 1 , η η , (15) de Bk ( z ) = ( − ) ( )( )E z zk k kψ η, , η ψk k k k kz A E A z( ) = ( − )( − )− − − 1 1 1 . Perevirymo, wo i v c\omu vypadku Ak rozv’qzu[ zadaçu na vlasne znaçennq z vektorom ψk : ( Ak – z ) – 1 ψk = ( − ) + ( ) ( ) ( )− − − ( )A z B z z zk k k k k k1 1 1ψ ψ η η, = = ( Ak –1 – z ) – 1 ψk + ( Ek – z ) – 1 ηk ( z ) = ( Ak –1 – z ) – 1 ψk + + 1 E zk − ( Ak –1 – Ek ) ( Ak –1 – z ) – 1 ψk = ( Ak –1 – z ) – 1 ψk + 1 E zk − ψk – – 1 E zk − ( Ek – z ) ( Ak –1 – z ) – 1 ψk = 1 E zk − ψk . OtΩe, ( Ak – z ) – 1 ψk = 1 E zk − ψk . PokaΩemo, wo Ak rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq z usima vektoramy ψ j , j = 1, … , k – 1: ( Ak +1 – z ) – 1 ψj = ( − ) + ( )− + − + +A z bk j k j k k 1 1 1 1 1ψ ψ η η, = = 1 11 1 1 1E z E z E zj j j k j k k k j j− + ( ) ( − )( ) = − + + + +ψ ψ η ψ η η ψ , , + + ( )+ + − + + + + + + ( − )( − ) ( − )( ) ψ ψ ψ ψ η ηj k k k k k k k k z E A z E z , , 1 1 1 1 1 1 1 1 = = 1 1 1 1 1 1 1 1E z z E A z E zj j j k k k k k k k− + ( − )( − ) ( − )( ) ( )+ − + + + + +ψ ψ ψ ψ η η , , = = 1 1 1 1 1 1E z A z j j k j k k k k− − ( − ) ( ) ( )− + + + +ψ ψ ψ ψ η η , , = = 1 1 1 1 1 1 1E z E z E zj j j j k k k k j j− − −     ( ) = − + + + +ψ ψ ψ ψ η η ψ , , . Dali vyznaça[mo nastupnu paru matryçnyx elementiv qkobi[vo] matryci za tym Ωe pravylom, wo i raniße: vony znaxodqt\sq za formulamy bk = 〈 ψk , Ak –2 ψk 〉 – Ek , ak –1 = \| 〈 ψk , Ak –2 ψk –1 〉 \|. Zaznaçymo, wo u vypadku (14) vynyka[ pytannq: qk buduvaty nastupnyj ope- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 MATRYCI QKOBI, ASOCIJOVANI Z OBERNENOG ZADAÇEG … 1657 rator Ak +1 ? Sprava v tomu, wo za formulog (12) koefici[nt α k +1 dorivng[ nulg: αk +1 = − − − … − − = − −+ + 1 1 01 2 2 2 2 1 2 1 1 2 b a b a b a b b a k k k k k = 0, oskil\ky my formal\no vykorystaly zobraΩennq dlq Ak u vyhlqdi adytyvno] sumy, Ak = Ak –1 +̃ αk 〈 ⋅, ω 〉 ω z αk = ∞, wo ne [ korektnym, adΩe operator Ak vyznaçavsq rezol\ventnog formulog. Tomu naspravdi koefici[nt αk +1 povy- nen vyznaçatysq cilkom korektnog formulog αk +1 = − 〈 〉+ + 1 1 1ψ ωk k, . Qkwo αk +1 — skinçenne çyslo, to Ak +1 vyznaça[t\sq uzahal\nenog sumog. Zvyçajno, moΩe statysq, wo 〈 ψk +1, ωk +1 〉 = 0, a ce pryvodyt\ do rivnosti αk +1 = = ∞. Todi my znovu vykorystovu[mo formulu dlq rezol\vent pry vyznaçenni operatora Ak +1 . Takym çynom, dovedeno nastupnu teoremu. Teorema 1. Dlq zadanoho neobmeΩenoho samosprqΩenoho operatora A ≥ 1 u hil\bertovomu prostori H, dovil\no] poslidovnosti dijsnyx çysel Ej ∈ R, j = = 1, 2, … , ta poslidovnosti ortonormovanyx v H vektoriv ψj ∈ H1 ( A ) \ D ( A ), dlq qkyx vykonu[t\sq umova (1), rekurentna procedura rozv’qzannq oberneno] zadaçi na vlasni znaçennq (2) za dopomohog formul (5), (7), (9), (11) (abo (15) u vypadku, koly na qkomus\ kroci vykonu[t\sq rivnist\ (14)) porodΩu[ poslidov- nist\ synhulqrno zburenyx operatoriv An ∈ Pws n A( ) , qki u svog çerhu asocijova- ni z poslidovnistg uzhodΩenyx miΩ sobog matryc\ Qkobi Jn , wo zbihagt\sq do matryci J = b a a b a a b 1 1 1 2 2 2 3 0 0 • • • • • •               (16) v sensi syl\no] hraf-hranyci. Matryçni elementy matryci J vyraΩagt\sq çe- rez zadanu poslidovnist\ çysel Ej , j = 1, 2, … , vektory ψ j ta operatory An zhidno z formulamy (6), (8), (10), (13). Zaznaçymo, wo rekurentna formula (12) dlq koefici[nta α n vykonu[t\sq lyße do momentu, poky ne traplq[t\sq vypadok (14). Pry c\omu lancghovyj drib u (12) pereryva[t\sq i z nastupnoho kroku poçyna[t\sq novyj, qkyj prodov- Ωu[t\sq do neskinçennosti, abo znovu pereryva[t\sq, qkwo traplq[t\sq vypa- dokO(14). 3. Vid matryci Qkobi do zburenoho operatora. Nexaj, qk i raniße, A ≡ ≡ A0 ≥ 1 — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator u hil\bertovomu prostori H . Poçynagçy z dovil\no] matryci Qkobi J vyhlqdu (16), my xoçemo vidnovyty poslidovnosti çysel Ej ta vektoriv ψj , j = 1, 2, … , qki za procedurog, vykla- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1658 V. D. KOÍMANENKO, H. V. TUHAJ denog v poperedn\omu punkti, pryvodyly do qkobi[vo] matryci (16). U c\omu punkti pokaΩemo qk ce moΩna zdijsnyty, xoça proces vidnovlennq ne [ odno- znaçnym bez dodatkovyx umov. Vyxodqçy z operatora A ta matryci Qkobi J, budu[mo poslidovnist\ synhu- lqrno zburenyx vidnosno A operatoriv An , qki rozv’qzugt\ obernenu zadaçu na vlasni znaçennq (2) i vyznaçagt\ uzhodΩenu poslidovnist\ qkobi[vyx matryc\ Jn , wo zbihagt\sq do J v pevnomu sensi (dyv. nyΩçe teoremu 2). Teorema 2. Nexaj zadano napivobmeΩenyj samosprqΩenyj operator A ≡ ≡ A0 ≥ 1 v H ta matrycg Qkobi J v deqkomu ortonormovanomu bazysi { ϕj , j = 1, 2, … } pidprostoru N ⊂ H. Prypustymo, wo N ⊂ H1 , N ∩ D ( A ) = { 0 }. Todi isnugt\ poslidovnosti çysel { Ej } ta vektoriv { ψj ∈ H1 \ D ( A ) }, j = = 1, 2, … , qki zadovol\nqgt\ umovu span { ψj , j ≥ 1 } cl ∩ D ( A ) = { 0 } i [ takymy, wo pry poslidovnomu rozv’qzanni za nymy oberneno] zadaçi na vlasni znaçennq An ψn = En ψn , n = 1, 2, … , v klasi operatoriv An ∈ Pws n A( ) vynyka[ poslidovnist\ asocijovanyx matryc\ Qkobi Jn ranhu n, dlq qko] J [ syl\nog hraf-hranyceg ( J = st.gr-lim Jn zhidno z poznaçennqmy z [19]). Dovedennq [ konstruktyvnym. Operatory An budugt\sq poslidovno zbu- rennqmy ranhu odyn, qk i v poperedn\omu punkti. Z ci[g metog znaxodymo vek- tory ψj ta çysla Ej , vykorystovugçy matryçni elementy qkobi[vo] matryci. Poznaçymo J1 = b1 . Nexaj det J1 = b1 ≠ 0. Vektor ψ1 ta çyslo E1 vyzna- ça[mo formulamy ψ1 = x10 ϕ0 + x11 ϕ1 , x x10 2 11 2+ = 1, (17) E1 = 〈 ψ1 , A0 ψ1 〉 – b1 . Operator A1 [ zvuΩennqm na H operatora A1 = A0 + α1 〈 ⋅, ω1 〉 ω1 , de ω1 = ( A0 – E1 ) ψ1 ∈ H– 1 , α1 = − 〈 ( − ) 〉 1 1 0 1 1ψ ψ, A E . Oçevydno, vin rozv’qzu[ zadaçu A1 ψ1 = E1 ψ1 . Z cym operatorom my asocig[- moOOJ1 . Nexaj J2 — matrycq Qkobi ranhu 2, qka [ çastynog zadano] matryci J i sklada[t\sq z elementiv b1 , b2 , a1 . Prypustymo, wo det J2 = b1 b2 – a1 2 ≠ 0. Vektor ψ2 ßuka[mo u vyhlqdi ψ2 = x20 ϕ0 + x21 ψ1 + x22 ϕ2 , de koefici[nty x2k , k = 0, 1, 2, znaxodqt\sq z systemy rivnqn\ ( ψ2 , ψ1 ) = 0, \|\| ψ2 \|\| = 1, (18) \| 〈 ψ2 , A0 ψ1 〉 \| = a1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 MATRYCI QKOBI, ASOCIJOVANI Z OBERNENOG ZADAÇEG … 1659 Cg systemu moΩna zapysaty u vyhlqdi x x21 20 1 0+ ( )ψ ϕ, = 0, x x x x x20 2 21 2 22 2 20 21 1 02+ + + ( )ψ ϕ, = 1, x20 〈 ϕ0 , A0 ψ1 〉 + x21 〈 ψ1 , A0 ψ1 〉 + x22 〈 ϕ2 , A0 ψ1 〉 = z1 , \| z1 \| = a1 , de zhidno z (17) ( ψ1 , ϕ0 ) = x10 . Poznaçymo c10 = 〈 ϕ0 , A0 ψ1 〉, a11 0 = 〈 ψ1 , A0 ψ1 〉, c12 = 〈 ϕ2 , A0 ψ1 〉. Todi rozv’qzky systemy (18) zapysugt\sq u vyhlqdi x20 = z c x a c c z x c x a c x x a c 1 10 10 11 0 12 12 2 1 2 10 2 10 10 11 0 2 12 2 10 2 10 11 0 10 2 1 1 ( − ) ± ( − )( − ) + ( − ) ( − ) + ( − ) , x21 = – x10 x20 , x22 = 1 12 1 20 10 11 0 10c z x x a c( )+ ( − ) . OtΩe, znajßovßy ψ2 , poklademo E2 = 〈 ψ2 , A1 ψ2 〉 – b2 i vyznaçymo operator A2 = A1 +̃ α2 〈 ⋅, ω2 〉 ω2 , de ω2 = ( A1 – E2 ) ψ2 ∈ H– 1 , α2 = − 〈 ( − ) 〉 1 2 1 2 2ψ ψ, A E . Zrozumilo, wo A2 rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq. Pry c\omu, budugçy qkobi[vu matrycg, asocijovanu z A2 , my otrymu[mo matrycg J 2 , qku wojno vykorystaly dlq pobudovy c\oho operatora. Analohiçno vydilq[mo z J matrycg J3 ranhu 3. Prypuska[mo, wo det J3 ≠ 0. Dlq pobudovy operatora A3 spoçatku ßuka[mo vektor ψ3 u vyhlqdi ψ3 = x30 ϕ0 + x31 ψ1 + x32 ψ2 + x33 ϕ3 . Zvyçajni vymohy pryvodqt\ do systemy rivnqn\ na koefici[nty x3k ( ψ1 , ψ3 ) = 0, ( ψ2 , ψ3 ) = 0, (19) \|\| ψ3 \|\|2 = 1, \| 〈 ψ3 , A1 ψ2 〉 \| = a2 , de dva perßi rivnqnnq — umovy ortonormovanosti systemy vektoriv ψn . Pozna- çymo c20 = 〈 ϕ0 , A1 ψ2 〉, a12 1 = 〈 ψ1 , A1 ψ2 〉, a22 1 = 〈 ψ2 , A1 ψ2 〉, c23 = 〈 ϕ3 , A1 ψ2 〉. Perepyßemo systemu (19) u vyhlqdi x30 x10 + x31 = 0, x30 x20 + x21 = 0, (20) x x x x x x x x x x30 2 31 2 32 2 33 2 30 31 10 30 32 202 2+ + + + + = 1, x c x a x a x c30 20 31 12 1 32 22 1 33 23+ + + = z2 , \| z2 \| = a2 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1660 V. D. KOÍMANENKO, H. V. TUHAJ Todi ßukani koefici[nty x3k magt\ vyhlqd x30 = z c x a x a c c z x x c x a x a c x x x a x a c 2 20 10 12 1 20 22 1 23 23 2 2 2 10 2 20 2 20 10 12 1 20 22 1 2 23 2 10 2 20 2 10 12 1 20 22 1 20 2 1 1 ( − − ) ± ( − )( − − )+( − − ) ( − − ) + ( + − ) , x31 = – x10 x30 , x32 = – x20 x30 , x33 = 1 23 2 30 10 12 1 20 22 1 20c z x x a x a c( )+ ( + − ) . Poklademo E3 = 〈 ψ3 , A2 ψ3 〉 – b3 i vyznaçymo operator A3 = A2 +̃ α3 〈 ⋅, ω3 〉 ω3 , de ω3 = ( A2 – E3 ) ψ3 ∈ H– 1 , α3 = − 〈 ( − ) 〉 1 3 2 3 3ψ ψ, A E . Za pobudovog operator A3 rozv’qzu[ vidpovidnu zadaçu na vlasni znaçennq. Pry c\omu, budugçy zhidno z vykladenym u p. 2 qkobi[vu matrycg, asocijovanu z A3 , my otrymu[mo matrycg J3 , z qko] poçynaly tut. Tak samo di[mo na dovil\nomu n-mu kroci. Prypuska[mo, wo det Jn ≠ 0. Dlq pobudovy operatora An znajdemo ψn ta En . Vektor ψn ßuka[mo u vyhlqdi ψn = x x xn nk k nn n k n 0 0 1 1 ϕ ψ ϕ+ + = − ∑ . Sklada[mo systemu rivnqn\ dlq znaxodΩennq xnk : ( ψn , ψk ) = 0, k = 1, … , n – 1, \|\| ψn \|\| = 1, (21) \| 〈 ψn , An –2 ψn –1 〉 \| = an –1 , de perßi n rivnqn\ — umovy ortonormovanosti systemy vektoriv ψj . Perepy- su[mo systemu (21) u vyhlqdi xnk + xn 0 ( ϕ0 , ψk ) = 0, k = 1, … , n – 1, x x xnk k n n nk k k n 2 0 0 0 1 1 2 = = − ∑ ∑+ 〈 〉ϕ ψ, = 1, (22) xn 0 〈 ϕ0 , An –2 ψn –1 〉 + k n = − ∑ 1 1 xnk 〈 ψk , An –2 ψn –1 〉 + xnn 〈 ϕn , An –2 ψn –1 〉 = zn –1 . \| zn –1 \| = an –1 , Poznaçymo ak n n , − − 1 2 = 〈 ψk , An –2 ψn –1 〉, k = 1, … , n – 1, c0, n –1 = 〈 ϕ0 , An –2 ψn –1 〉, cn, n –1 = 〈 ϕn , An –2 ψn –1 〉. Todi rozv’qzky systemy (22) magt\ vyhlqd ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 MATRYCI QKOBI, ASOCIJOVANI Z OBERNENOG ZADAÇEG … 1661 xn 0 = 1 11 2 0 2 1 1 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1 2 1 1 c x c x a z c x a n n k k n n k k n n k n n n k k n n k n , , , , , − = − − − − = − − − − − = − −     + −        −     ∑ ∑ ∑ ± ± c c z x c x an n n n n k k n n k k n n k n , , , ,− − − = − − − − = − ( − ) −     + −       ∑ ∑1 1 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 1 2 1 1 2 1 , xnk = − − −x an k n n 0 1 2 , , k = 1, … , n – 1, xnn = 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 1 c z x c x a n n n n n k k n n k n , , , − − − − − = − − −          ∑ . Poklademo En = 〈 ψn , An –1 ψn 〉 – bn . Todi operator An budu[mo qk zburennq ranhu 1 operatora An –1 , otrymanoho na poperedn\omu kroci: An = An –1 +̃ αn 〈 ⋅, ωn 〉 ωn , de ωn = ( An –1 – En ) ψn , αn = − 〈 ( − ) 〉− 1 1ψ ψn n n nE, A . Pry c\omu An rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq z çyslamy Ej , j ≤ n, a matry- cq Qkobi, asocijovana z An , zbiha[t\sq z Jn . Oçevydno, wo J = st.gr-lim Jn , n → → ∞ (dokladniße dyv. [19]). Qkwo pry deqkomu k vyqvyt\sq, wo det Jk = 0, to ce ekvivalentno spivvidno- ßenng b a b a b a b k k k − − … − − − − 2 2 1 2 2 2 1 2 1 = 0, wo u svog çerhu pryvodyt\ do αk = ∞. V takomu razi operator Ak vyznaça[mo qk rozßyrennq za Fridrixsom symetryçnoho operatora Ȧk −1 : = Ak –1 \| { f ∈ ∈ D ( Ak –1 ) : 〈 f, ωk 〉 = 0 }. Todi systema rivnqn\ dlq znaxodΩennq vektora ψk , zobraΩenoho linijnog kombinaci[g ψk = x x xk k j j k k k j k 0 0 1 1 , , ,ϕ ψ ϕ+ + = − ∑ , ma[ vyhlqd ( ψk , ψj ) = 0, j = 1, … , k – 1, \|\| ψk \|\| = 1, \| 〈 ψk , Ak –2 ψk –1 〉 \| = ak –1 , de perßi k rivnqn\ — umovy otonormovanosti systemy vektoriv ψj . 3najßovßy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1662 V. D. KOÍMANENKO, H. V. TUHAJ vektor ψk , vyznaçymo çyslo Ek i operator Ak takym Ωe sposobom, qk i vywe. Z cym operatorom bude asocijovana matrycq Jk . Teoremu 2 dovedeno. Na zaverßennq zaznaçymo, wo qkobi[va matrycq qk ob’[kt doslidΩennq, zvy- çajno, vynyka[ v problemi momentiv (dyv., napryklad, ohlqdovi statti [20, 21]). Tut uperße matryci Qkobi vidihragt\ rol\ zburennq samosprqΩenoho operatora. Ce vidkryva[ novyj sposib pobudovy synhulqrno zburenyx operatoriv u vypadku, koly zburennq zada[t\sq mirog, zoseredΩenog na dovil\no skladnij mnoΩyni (fraktali). Potribno za takog mirog pobuduvaty qkobi[vu matrycg (zhidno z teori[g problemy momentiv), a potim vykorystaty ]] dlq vvedennq zburenoho operatora, qk bulo opysano vywe. 1. Albeverio S., Koshmanenko V. Singular rank one perturbations of self-adjoint operators and Krein theory of self-adjoint extensions // Potent. Anal. – 1999. – 11. – P. 279 – 287. 2. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators and solvable Schrödinger type operators. – Cambridge: Univ. Press, 2000. – 265 p. 3. Koshmanenko V. D. Towards the rank-one singular perturbations of self-adjoint operators // Ukr. mat. Ωurn. – 1991. – 43, # 11. – S. 1559 – 1566. 4. Koßmanenko V. D. Synhulqrn¥e bylynejn¥e form¥ v teoryy vozmuwenyj samosoprqΩen- n¥x operatorov. – Kyev: Nauk. dumka, 1993. – 176 s. 5. Koshmanenko V. A variant of the inverse negative eigenvalues problem in singular perturbation theory // Methods Funct. Anal. and Top. – 2002. – 8, # 1. – P. 49 – 69. 6. Dudkin M. {., Koßmanenko V. D. Pro toçkovyj spektr samosprqΩenyx operatoriv, wo vyny- ka[ pry synhulqrnyx zburennqx skinçennoho ranhu // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 9. – S.O1269 – 1276. 7. Koßmanenko V. D., Tuhaj H. V. Pro strukturu rezol\venty synhulqrno zburenoho operatora, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 9. – S. 1292 – 1297. 8. Albeverio S., Konstantinov A., Koshmanenko V. On inverse spectral theory for singularly perturbed operator: point spectrum // Inverse Problems. – 2005. – 21. – P. 1871 – 1878. 9. Albeverio S., Dudkin M., Konstantinov A., Koshmanenko V. On the point spectrum of H– 2 singular perturbations // Math. Nachr. – 2005. – 280, # 1 – 2. – P. 1 – 8. 10. Nizhnik L. The singular rank-one perturbations of self-adjoint operators // Methods Funct. Anal. and Top. – 2001. – 7, # 3. – P. 54 – 66. 11. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov. – Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 798 s. 12. Koshmanenko V. Singular operator as a parameter of self-adjoint extensions // Proc. Krein Conf. (Odessa, 1997). Operator Theory. Adv. and Appl. – 2000. – 118. – P. 205 – 223. 13. Posilicano A. A Krein-like formula for singular perturbations of self-adjoint operators and applications // J. Func. Anal. – 2001. – 183. – P. 109 – 147. 14. Karataeva T. V., Koßmanenko V. D. Obobwennaq summa operatorov // Mat. zametky. – 1999. – 66, # 5. – S. 671 – 681. 15. Kamo T. Teoryq vozmuwenyj lynejn¥x operatorov. – M.: Myr, 1972. – 740 s. 16. Krejn M. H. Teoryq samosoprqΩenn¥x rasßyrenyj poluohranyçenn¥x πrmytov¥x operato- rov y ee pryloΩenyq. I // Mat. sb. – 1947. – 20(62), # 3. – S. 431 – 495. 17. Gesztesy F., Simon B. Rank-one perturbations at infinite coupling // J. Funct. Anal. – 1995. – 128. – P. 245 – 252. 18. Koßmanenko V. D. Synhulqrn¥e vozmuwenyq s beskoneçnoj konstantoj svqzy // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 1999. – 33, # 2. – S. 81 – 84. 19. Ryd M., Sajmon B. Metod¥ sovremennoj matematyçeskoj fyzyky. I. Funkcyonal\n¥j analyz. – M.: Myr, 1977. – 357 s. 20. Simon B. The classical moment problem as a self-adjoint finite difference operator // Adv. Math. – 1998. – 137. – P. 82 – 203. 21. Berezansky Yu. M. Some generalizations of the classical moment problem // Integral Equat. Operator Theory. – 2002. – 44. – P. 255 – 289. OderΩano 24.11.2005, pislq doopracgvannq — 23.02.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12

Матриці Якобі, асоційовані з оберненою задачею на власні значення в теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів

Репозитарії

Схожі ресурси