Поля Якоби на римановом многообразии
Розглянуто ряд властивостей пoлiв Якoбi на многовиді недодатної кривини. Як наслідок, встановлено формули для похідних одного класу функцій на многовиді.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165544 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поля Якоби на римановом многообразии / В.Г. Бондаренко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1602–1613. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165544 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655442020-02-15T01:27:19Z Поля Якоби на римановом многообразии Бондаренко, В.Г. Статті Розглянуто ряд властивостей пoлiв Якoбi на многовиді недодатної кривини. Як наслідок, встановлено формули для похідних одного класу функцій на многовиді. Some properties of Jacobi fields on a manifold of nonpositive curvature are considered. As a result, we obtain relations for derivatives of one class of functions on the manifold. 2006 Article Поля Якоби на римановом многообразии / В.Г. Бондаренко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1602–1613. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165544 514.7 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бондаренко, В.Г. Поля Якоби на римановом многообразии Український математичний журнал |
| description |
Розглянуто ряд властивостей пoлiв Якoбi на многовиді недодатної кривини. Як наслідок, встановлено формули для похідних одного класу функцій на многовиді. |
| format |
Article |
| author |
Бондаренко, В.Г. |
| author_facet |
Бондаренко, В.Г. |
| author_sort |
Бондаренко, В.Г. |
| title |
Поля Якоби на римановом многообразии |
| title_short |
Поля Якоби на римановом многообразии |
| title_full |
Поля Якоби на римановом многообразии |
| title_fullStr |
Поля Якоби на римановом многообразии |
| title_full_unstemmed |
Поля Якоби на римановом многообразии |
| title_sort |
поля якоби на римановом многообразии |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165544 |
| citation_txt |
Поля Якоби на римановом многообразии / В.Г. Бондаренко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1602–1613. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bondarenkovg polââkobinarimanovommnogoobrazii |
| first_indexed |
2025-07-14T18:52:59Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:52:59Z |
| _version_ |
1837649551963455488 |
| fulltext |
UDK 514.7
V. H. Bondarenko (Nac. texn. un-t Ukrayn¥ „KPY”, Kyev)
POLQ QKOBY NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY
Some properties of Jacobi fields on a manifold of nonpositive curvature are considered. As a result,
formulas for derivatives of one class of functions on the manifold are proved.
Rozhlqnuto rqd vlastyvostej poliv Qkobi na mnohovydi nedodatno] kryvyny. Qk naslidok, vsta-
novleno formuly dlq poxidnyx odnoho klasu funkcij na mnohovydi.
Pust\ M — polnoe odnosvqznoe rymanovo mnohoobrazye nepoloΩytel\noj kry-
vyzn¥, dim M = n; γ ( s ) — heodezyçeskaq, γ ( 0 ) = y, γ ( ρ ( x, y ) ) = x, Z ( s ) — pole
Qkoby vdol\ γ, t. e. reßenye uravnenyq Qkoby
Z ′′ ( s ) ≡ ∇ ˙ ( ) ( )γ s Z s2 = R s s Z s sγ γ γ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )( )( ) . (1)
Naybolee yzvestn¥e pryloΩenyq polej Qkoby svqzan¥ s uslovyqmy πkstre-
muma yntehral\noho funkcyonala; ony yzloΩen¥ v rqde klassyçeskyx mono-
hrafyj (naprymer, [1, 2]). V rabotax poslednyx 15 let, posvqwenn¥x polqm
Qkoby, rassmatryvagtsq yx svojstva na mnohoobrazyqx specyal\noj struktu-
r¥; v svog oçered\, πta struktura poroΩdena nekotoroj fyzyçeskoj model\g
(sm., naprymer, [3 – 5]).
Prodemonstryruem odno yz pryloΩenyj polej Qkoby, po-vydymomu, vperv¥e
predloΩennoe v [6]. Pust\
u ( x ) =
0
ρ
γ
( , )
( )
x y
f s ds∫ ( ) , Tx M ∋ V ⊥ ˙ ( )γ ρ .
Tohda
( grad u ( x ), V ) =
0
ρ
γ∫ ( )( )grad f s Z s ds( ) , ( ) ,
hde Z — pole Qkoby, Z ( 0 ) = 0, Z ( ρ ) = V.
V¥raΩenye dlq vtoroj proyzvodnoj
( ∇H grad u ( x ), V ) =
0
ρ
γ γ∫ ∇ ( )( ) + ( ) ∇( )[ ]X s Xf s Z s f s Z s ds( ) grad grad( ) , ( ) ( ) , ( ) ,
X ( 0 ) = 0, X ( ρ ) = H ⊥ ˙ ( )γ ρ , soderΩyt proyzvodnug ∇X Z s( ) polq Qkoby, v na-
pravlenyy, ortohonal\nom k heodezyçeskoj.
V nastoqwej rabote ustanavlyvagtsq formul¥ dyfferencyrovanyq polej
Qkoby. Upomqnut¥e formul¥ prymenqgtsq dlq v¥çyslenyq hradyenta y la-
plasyana funkcyj, yspol\zuem¥x v teoryy parabolyçeskyx uravnenyj na mno-
hoobrazyy.
1. Predvarytel\n¥e svedenyq. Pust\ X, Z — ortohonal\n¥e k γ̇ polq
Qkoby, X ( 0 ) = Z ( 0 ) = 0, ϕ ( s, ε ) — varyacyq heodezyçeskoj γ, poroΩdagwaq
pole X ( s ). Opredelym polq Xε ( s ) y Zε ( s ) vdol\ ϕ kak reßenyq uravnenyj
Qkoby s nekotor¥my kraev¥my uslovyqmy pry s = 0 y s = ρ. Kraevoe uslovye v
toçke y ymeet vyd Xε ( 0 ) = Zε ( 0 ) = 0 (t. e. ϕ ( 0, ε ) = y ). Vtoroe kraevoe uslovye
(dlq Zε ) opredelym sledugwym obrazom. Oboznaçym σρ ( ε ) = ϕ ( ρ, ε ), Ψρ ( ε ) —
operator parallel\noho perenosa vdol\ σρ . Tohda pole Zε ( s ) vdol\ σρ ( ε )
vvodytsq ravenstvom (parallel\n¥j perenos y ortohonalyzacyq)
© V. H. BONDARENKO, 2006
1602 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
POLQ QKOBY NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY 1603
Zε ( ρ ) =
Ψ Ψ
Ψ Ψ
ρ ρ
ρ ρ
ε ρ ε ρ ϕ ρ ε ϕ ρ ε
ε ρ ε ρ ϕ ρ ε ϕ ρ ε
ρ
( ) ( ) ( ) ( ), ˙ ( , ) ˙ ( , )
( ) ( ) ( ) ( ), ˙ ( , ) ˙ ( , )
( )
Z Z
Z Z
Z
− ( )
− ( ) . (2)
Analohyçno opredelqgtsq znaçenyq Xε ( ρ ). Zametym, çto yz ravenstv
Zε ϕ ε( ), ˙ ( , )0 0( ) = Zε ρ ϕ ρ ε( ), ˙ ( , )( ) = 0
sleduet ortohonal\nost\ Xε ( s ) y Zε ( s ) k ˙ ( , )ϕ εs dlq vsex s.
Kovaryantnaq proyzvodnaq ∇X Z s( ) opredelqetsq kak reßenye kraevoj za-
daçy dlq uravnenyq
∇ ∇( )˙ ( )γ
2
X Z s = R s s Z s sXγ γ γ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )( ) ∇( ) + F ( s, X ( s ), Z ( s ) ), (3)
poluçennoho dyfferencyrovanyem (1) vdol\ X ( s ), ∇X Z( )0 = 0, a vektornoe
pole
F ( s, X ( s ), Z ( s ) ) = F ( s, Z ( s ), X ( s ) ) =
= 2R s s X s Z sγ γ( ) ˙ ( ), ( ) ( )( )( ) ′ + 2R s s Z s X sγ γ( ) ˙ ( ), ( ) ( )( )( ) ′ +
+ ∇( )( )( )˙ ( ) ˙ ( ), ( ) ( )γ γ γR s s X s Z s + ∇( )( )( )X R s s Z s sγ γ γ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ).
Vtoroe kraevoe uslovye dlq ∇X Z( )ρ poluçaetsq dyfferencyrovanyem ra-
venstva (2) vdol\ X ( ρ ):
∇X Z( )ρ = – Z X( ), ( ) ˙ ( )ρ ρ γ ρ′( ) . (4)
V rabotax [6, 7] poluçeno reßenye kraevoj zadaçy (3), (4) v vyde
∇X Z s( ) = – Z s X s s( ), ( ) ˙ ( )′( )γ + H ( s ), H ( s ) ⊥ ˙ ( )γ s , (5)
hde vektornoe pole H ( s ) udovletvorqet ocenke
|| H ( s ) || ≤ ( ) , ( ), ( )ρ τ τ τ τ
ρ
− ( )∫s F X Z d
0
,
y opredelen¥ bazysn¥e polq Qkoby
Z1 ( s ) =
s
s
ρ
γ̇ ( ) , Zk ( s ) ⊥ ˙ ( )γ s , k ≥ 2, Zk ( 0 ) = 0,
kak reßenyq uravnenyq (1), obrazugwye v Tx M poluheodezyçeskyj ortobazys.
Pry πtom v sylu v¥puklosty || Zk ( s ) || ≤
s
ρ
.
Pryvedenn¥e rezul\tat¥ pozvolqgt poluçyt\ qvnoe v¥raΩenye dlq kovary-
antnoj proyzvodnoj vektornoho polq vdol\ γ, zadannoho v bazyse Zk ( )ρ{ }.
UtverΩdenye 1. Pust\
V ( x ) = v
k
( x ) Zk ( ρ ), v
k ∈ C
1
( M ).
Tohda
∇H V ( x ) =
k
n
k
kx H Z
=
∑ ( )
1
gradv ( ), ( )ρ – V x H( ), ˙ ( ) ˙ ( )∇( )γ ρ γ ρ +
+
k
n
k k kV x H Z V x Z H Z
=
∑ ( ) ′( ) − ′( )( )( )
2
( ), ˙ ( ) , ( ) ( ), ( ) , ˙ ( ) ( )γ ρ ρ ρ γ ρ ρ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1604 V. H. BONDARENKO
Dokazatel\stvo. Ymeem
∇H V ( x ) =
k
n
H k kV x Z Z
=
∑ ∇( )
1
( ), ( ) ( )ρ ρ =
=
k
n
k
kx H Z
=
∑ ( )
1
gradv ( ), ( )ρ –
k
n
H k kV x Z Z
=
∑ ∇( )
1
( ), ( ) ( )ρ ρ .
Tohda nuΩn¥j rezul\tat sleduet yz predstavlenyq
H = H, ˙ ( ) ˙ ( )γ ρ γ ρ( ) + X, X ⊥ ˙ ( )γ ρ ,
y formul¥ (4).
Sledstvye 1. Spravedlyvo predstavlenye
div V ( x ) =
k
n
k
kx Z
=
∑ ( )
1
gradv ( ), ( )ρ + v
1( ) ( ), ( )x Z Zk k′( )ρ ρ .
2. Proyzvodn¥e polej Qkoby. Vsgdu nyΩe predpolahaetsq nepoloΩy-
tel\nost\ sekcyonnoj kryvyzn¥ mnohoobrazyq, t. e. v¥polnenye uslovyq
R x U V U V( ) , ,( )( ) ≥ 0, U, V ∈ Tx M,
na tenzor kryvyzn¥ R ( x ).
Opredelym tenzor Ryçç¥ y skalqrnug kryvyznu ravenstvamy
Ric ( x ) ( U, V ) =
k
n
k kR x U e V e
=
∑ ( )
1
( )( , ) , , r ( x ) =
k
n
k kx e e
=
∑
1
Ric( )( , ) ,
hde { ek } — ortobazys v Tx M.
Rassmotrym lynejn¥j operator R v Tx M:
R Y = R ( x ) ( X, Y ) Z
( X, Z — fyksyrovan¥). Tohda R
*Y = R ( x ) ( Z, Y ) X y R = R
*
, esly X = Z.
Lemma 1. Esly Ric ( x ) ( X, X ) = 0, to R ( X, Y ) X = 0 y R ( Y, X ) Y = 0 dlq
vsex Y.
Dokazatel\stvo sleduet yz ocenky sledovoj norm¥ poloΩytel\noho ope-
ratora R:
σ1 ( R ) = sup ( ) , ,
e k
n
k k
k
R x X e X e
{ } =
∑ ( )( )
1
= Ric ( x ) ( X, X )
y neravenstva
R x Y X Y V( )( , ) , ≤ R x Y X Y X R x Y V Y V( )( , ) , ( )( , ) ,( )( )
dlq proyzvol\noho V ∈ Tx M.
V svog oçered\, kvadratyçnaq forma
ϕ ( Y, Y ) = R x X Y X Y( )( , ) ,( ) ≤ σ1 ( R ) Y 2 = 0.
Teorema 1. Esly xotq b¥ odna yz velyçyn Ric ( x ) ( X, X ), Ric ( x ) ( Y, Y ) yly
Ric ( x ) ( Z, Z ) ravna nulg, to R ( x ) ( X, Y ) Z = 0.
Dokazatel\stvo. V pravoj çasty toΩdestva
3 R ( x ) ( X, Y ) Z = – R ( x ) ( Y + Z, X ) ( Y + Z ) + R ( x ) ( Y, X ) Y +
+ R ( x ) ( Z, X ) Z + R ( x ) ( X + Z, Y )( X + Z ) – R ( x ) ( X, Y ) X – R ( x ) ( Z, Y ) Z
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
POLQ QKOBY NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY 1605
pry uslovyy Ric ( x ) ( X, X ) = 0 ostaetsq dva slahaem¥x:
3 R ( x ) ( X, Y ) Z = R ( x ) ( X + Z, Y )( X + Z ) – R ( x ) ( Z, Y ) Z. (6)
S druhoj storon¥, v¥çyslenye sledovoj norm¥ symmetryçnoho operatora
R + R
*
pryvodyt k neravenstvu
σ1 ( R + R
*
) = sup ( ) , ( , ) ,
e k
n
k k k
k
R x X e Z R Z e X e
{ } =
∑ ( ) +( )
1
=
= 2
1
sup ( ) , ,
e k
n
k k
k
R x X e Z e
{ } =
∑ ( )( ) ≤ 2 Ric Ric( )( , ) ( )( , )x X X x Z Z , (7)
t. e. R + R
* = 0.
Preobrazuq (6) k vydu 2 R Y – R
*
Y = 0 y sklad¥vaq s (7), poluçaem R Y = 0
dlq vsex Y.
Takoe Ωe utverΩdenye sleduet yz uslovyq Ric ( x ) ( Y, Y ) = 0 v sylu svojstv
tenzora R.
Esly Ωe Ric ( x ) ( Z, Z ) = 0, to yz neravenstva (7) v¥tekaet
R
*
Y = R ( x ) ( Z, Y ) X = – R ( x ) ( X, Y ) Z,
y utverΩdenye teorem¥ sleduet yz ysxodnoho toΩdestva pry perestanovke X
yMMZ.
Sledstvye 2. Apryornaq ocenka
R x X Y Z( )( , ) ≤ c x x X X x Y Y x Z Z( ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , )Ric Ric Ric
qvlqetsq neprotyvoreçyvoj.
Yz soobraΩenyj razmernosty sleduet
c ( x ) =
c
r x( )
.
Pust\ ϕ ( s, ε ) — varyacyq heodezyçeskoj γ , poroΩdagwaq pole Qkoby
X ( s ), ϕ ( 0, ε ) = y, Φε ( s, s0 ) — operator parallel\noho perenosa vdol\ ϕ, Φ0 =
= Φ, σs ( ε ) y Ψs ( ε ) — kryvaq y operator, opredelenn¥e v¥ße, V — dyfferen-
cyruemoe vektornoe pole na M.
Lemma 2. Ymegt mesto sledugwye sootnoßenyq:
∇X ( s ) Φε ( s, s0 ) V ( γ ( s0 ) ) = Φε ( s, s0 ) ∇ ( )X s V s( ) ( )
0 0γ +
+
s
s
s R X s V s d
0
0 0∫ ( )( ) ( )Φ Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( , ) ( )τ γ τ γ τ τ τ γ τ ,
d
dε
ϕ ε ε˙ ( , )0 0= = ∇( )˙ ( )γ X 0 ≡ X ′ ( 0 ),
d
d
X
ε ϕ ε∇( )˙ ( )0 = ∇ ∇˙ ( )γ X X 0 .
Vtoroe y tret\e sootnoßenyq lemm¥ oznaçagt kommutyruemost\ operacyj
dyfferencyrovanyq v prodol\nom y ortohonal\nom napravlenyqx daΩe v toçke
γ ( 0 ), hde γ̇ y X ne qvlqgtsq polqmy
∇
∂ε
∂
∂s
=
∇
∂
∂
∂εs
v oboznaçenyqx [1,
c. 148]
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1606 V. H. BONDARENKO
Dokazatel\stvo. 1. Vektornoe pole
U ( s ) = ∇ ( )X s s s V s( ) ( , ) ( )Φ 0 0γ , U ( s0 ) = ∇ ( )X s V s( ) ( )
0 0γ
v sylu kommutyruemosty ˙ ( )γ s y X ( s ) udovletvorqet uravnenyg
∇ ˙ ( ) ( )γ s U s = R s s X s s s V sγ γ γ( ) ˙ ( ), ( ) ( , ) ( )( )( ) ( )Φ 0 0 ,
yntehryruq kotoroe, poluçaem pervoe sootnoßenye lemm¥.
2. Dalee,
d
dε
ϕ ε ε˙ ( , )0 0= = lim
( , ) ˙ ( , ) ( , ) ˙ ( )
ε
ε ϕ ε γ
ε→
−
0
0 0Φ Φs s s s
=
= Φ Ψ Ψ Φ Φ
( , ) lim
( ) ˙ ( , ) ˙ ( )
lim
( ) ( , ) ( , ) ˙ ( , )0
0 0
0
0
1
0
1
s
s s s ss s
ε ε
εε ϕ ε γ
ε
ε
ε
ϕ ε
→
−
→
−− − −
=
= Φ Φ( , ) ˙ ( ) ( , ) ˙ ( )( ) ( )0 0 0s s sX s X s∇ − ∇( )( )γ γ =
= Φ Φ( , ) ( ) ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )0
0
s Z s s R X d
s
′ − ( )( )
∫ τ γ τ γ τ τ γ τ τ = X ′ ( 0 ).
Poslednee ravenstvo qvlqetsq sledstvyem proyntehryrovannoho uravnenyq
Qkoby (1).
3. Oboznaçym yskom¥j vektor
d
d
X
ε ϕ ε∇( )˙ ( )0 = Y ∈ Tx M. Yntehryruq uravne-
nyq Qkoby dlq X y X ε vdol\ γ ( s ) y ϕ ( s, ε ) sootvetstvenno, poluçaem
ravenstva
∇ ˙ ( )ϕ ε ρX = Φε ϕ ερ( , ) ( )˙0 0∇ X +
0
ρ
ε ερ τ ϕ τ ε ϕ τ ε τ ϕ τ ε τ∫ ( )( )Φ ( , ) ( , ) ˙ ( , ), ( ) ˙ ( , )R X d ,
∇ ˙ ( )γ ρX = Φ( , ) ( )˙ρ γ0 0∇ X +
0
ρ
ε ρ τ γ τ γ τ τ γ τ τ∫ ( )( )Φ ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )R X d .
Prymenqq k pervomu ravenstvu Ψρ ε−1( ) y v¥çytaq vtoroe, ymeem (yspol\zuq
pervoe sootnoßenye lemm¥)
∇ ∇X X˙ ( )γ ρ = Φ ( ρ, 0 ) Y +
0
0 0
ρ
ρ τ γ τ γ τ τ τ τ∫ ( )( ) ′Φ Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( , ) ( )R X X d +
+
0
ρ
τ
ρ
ρ γ γ τ γ τ γ τ τ γ τ∫ ∫ ( )( ) ( )( )
Φ Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )s R s s X s s R X ds +
+ Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )( )ρ τ γ τ γ τ τ γ τ ττ∇ ( )( )( )
X R X d . (8)
Yz uravnenyq (3) (pry X = Z ) y vyda funkcyy F sleduet ravenstvo
0
ρ
τρ τ γ τ γ τ τ γ τ τ∫ ∇ ( )( )( )Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )( )X R X d =
= ∇ ∇˙ ( )γ ρX X – Φ( , ) ( )˙ρ γ0 0∇ ∇X X – R x X X( ) ˙ ( ), ( ) ( )γ ρ ρ ρ( ) –
–
0
ρ
ρ τ γ τ γ τ τ τ τ∫ ( )( ) ′Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( )R X X d ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
POLQ QKOBY NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY 1607
pryvodqwee (8) posle yzmenenyq porqdka yntehryrovanyq k vydu
Φ( , ) ( )˙ρ γ0 0∇ ∇X X = Φ ( ρ, 0 ) Y +
+
0
0 0
ρ
ρ τ γ τ γ τ τ τ τ τ∫ ( )( ) ′ − ′( )Φ Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( , ) ( ) ( )R X X X d +
+
0 0
ρ
ρ γ γ τ γ τ γ τ τ γ τ τ∫ ∫( )( ) ( )( )Φ Φ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )s R s s X s s R X d ds
s
,
posle çeho nuΩn¥j rezul\tat qvlqetsq sledstvyem proyntehryrovannoho
uravnenyq (1).
Tret\e sootnoßenye lemm¥ 2 trebuet v¥çyslenyq vtoroj proyzvodnoj
∇ ∇˙ ( )γ X X 0 . Najdem qvnoe v¥raΩenye dlq vektornoho polq ∇ ∇˙ ( )γ X X s pry
s = 0 y s = ρ.
Lemma 3. Pust\ X ( s ), Z ( s ) — ortohonal\n¥e k ˙ ( )γ s polq Qkoby, X ( 0 ) =
= Z ( 0 ) = 0. Esly Zε ( ρ ) opredeleno ravenstvom (2), to
∇ ∇˙ ( )γ ρX Z = – ′ ′( ) + ( )( )[ ]X Z R x X Z( ), ( ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )ρ ρ γ ρ ρ γ ρ ρ γ ρ +
+
k
n
k kF X Z U d U
=
∑ ∫ ( )( )
2 0
ρ
τ τ τ τ τ ρ, ( ), ( ) , ( ) ( ),
∇ ∇˙ ( )γ X Z 0 = – ′ ′( )X Z( ), ( ) ˙ ( )0 0 0γ –
–
k
n
k kF X Z V d V
=
∑ ∫ ( )( )
2 0
0
ρ
τ τ τ τ τ, ( ), ( ) , ( ) ( ) ,
hde Uk ( s ), Vk ( s ) — polq Qkoby vdol\ γ, U k ( 0 ) = 0, V k ( ρ ) = 0, Uk ( )ρ{ } y
Vk ( )0{ } vmeste s ˙ ( )γ ρ y ˙ ( )γ 0 obrazugt ortobazys¥ v Tx M y T y M soot-
vetstvenno.
Dokazatel\stvo. Dyfferencyruq (5) vdol\ γ, poluçaem
∇ ∇˙ ( )γ X Z s = – ′ ′( ) + ( )( )( )[ ]X s Z s R s s Z s s X s s( ), ( ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )γ γ γ γ + H ′ ( s ).
Vektornoe pole H ( s ) udovletvorqet kraevoj zadaçe
H ′′ ( s ) = R s s H s sγ γ γ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )( )( ) + F
⊥
( s ), H ( 0 ) = 0, H ( ρ ) = 0, (9)
hde
F
⊥
( s ) = F s X s Z s, ( ), ( )( ) – F s X s Z s s s, ( ), ( ) , ˙ ( ) ˙ ( )( )( )γ γ .
Najdem razloΩenye H ( ρ ) y H ( 0 ) po ukazann¥m v uslovyy lemm¥ ortoba-
zysam. Pust\ Y ( s ) — pole Qkoby, Y ( s ) ⊥ ˙ ( )γ s . Yz (9) y uravnenyq Qkoby dlq
Y ( s ) sleduet ravenstvo
d
ds
H s Y s H s Y s′( ) − ′( )[ ]( ), ( ) ( ), ( ) = ( F
⊥
( s ), Y ( s ) ),
yntehryruq kotoroe y v¥byraq Y ravn¥m Uk yly Vk , poluçaem utverΩdenye
lemm¥.
Dalee budem predpolahat\, çto tenzor kryvyzn¥ mnohoobrazyq udovletvorq-
et sledugwym uslovyqm:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1608 V. H. BONDARENKO
1) || R ( x ) ( X, Y ) Z || ≤ c x x X X x Y Y x Z Z( ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , )Ric Ric Ric dlq vsex
x ∈ M, X, Y, Z ∈ Tx M;
2) kryvyzna dostatoçno b¥stro ub¥vaet na beskoneçnosty, t. e. vdol\ lgboj
heodezyçeskoj
0
∞
∫ ( )( )s s s s dsRic γ γ γ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) < C;
3) ∇( )( )U x R x X x Y x Z x( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ≤ f x U x X x Y x Z x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dlq vsex
x ∈ M, vektorn¥x polej U, X, Y, Z , hde funkcyq f takova, çto vdol\ lgboj
heodezyçeskoj γ
0
∞
∫ ( )f s dsγ ( ) < c.
Zametym, çto yz uslovyq 1 dlq c ( x ) =
c
r x( )
sleduet ocenka
| R ( x ) ( X, Y ) Z, U | <
c
r x
x X X x Z Z A x Y A x U
( )
( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )Ric Ric 1 4 1 4/ /
,
A ( x ) Y =
k
n
k kR x e Y e
=
∑
1
( )( , ) ,
σ1 A x( )( ) = σ2
2 1 2A x/( )( ) = r ( x ),
hde σ1
, σ2 — sootvetstvenno sledovaq y Hyl\berta – Ímydta operatorn¥e
norm¥.
Sledstvyem poslednej ocenky qvlqetsq neravenstvo
j k
n
k jR x X e Z
,
( )( , ) ,
=
∑ ( )
1
2ϕ < c x X X x Z ZRic Ric( )( , ) ( )( , )
dlq lgb¥x ortobazysov ek{ }, ϕ j{ } v Tx M.
Kak pokazano v [6, 7], yz uslovyj 1 y 2 sleduet neravenstvo
′Z s( ) ≤
c
Z
ρ
ρ( ) , c = 1 + τ γ τ γ τ γ τ τ
ρ
0
∫ ( )( )Ric ( ) ˙( ), ˙ ( ) d .
UtverΩdenye 2. Pry v¥polnenyy uslovyj 1 – 3 ortohonal\n¥e k γ̇ sos-
tavlqgwye vektorov, opredelenn¥e v lemme 3, udovletvorqgt ocenkam
∇ ∇( )⊥˙ ( )γ X Z s ≤ c X Z( ) ( )ρ ρ , s = 0 yly s = ρ.
DokaΩem neravenstvo pry s = ρ. Poskol\ku
Ric( )( , )x Y Y < c Y 2
,
to
∇ ∇( )⊥˙ ( )γ ρX Z
2
=
k
n
kF X Z U d
=
∑ ∫ ( )( )
2 0
2ρ
τ τ τ τ τ, ( ), ( ) , ( ) <
< c X Z s s s ds f s ds( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ( )ρ ρ
ρ
γ γ γ γ
ρ ρ
2 2
0 0
2
1 ∫ ∫( )( ) + ( )
Ric ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
POLQ QKOBY NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY 1609
otkuda y sleduet utverΩdenye.
Opredelym vdol\ heodezyçeskoj γ, γ ( 0 ) = y, lynejn¥j operator D ( γ( s ) ) v
prostranstve Tγ ( s ) M ravenstvom
D ( γ( s ) ) U = ∇U s s˙ ( )γ .
Esly x = γ ( ρ ), to D x( ) ˙ ( )γ ρ = ˙ ( )γ ρ ; dlq U ⊥ ˙ ( )γ ρ D ( x ) U = ρX ′ ( ρ ), hde X
— pole Qkoby, X ( 0 ) = 0, X ( ρ ) = U.
Pust\ Y ( s ) — pole Qkoby, Y ( 0 ) = 0, Y ( ρ ) = V. Tohda
( D ( x ) U, V ) = ρ ( X ′ ( ρ ), Y ( ρ ) ) = ρ ( X ( ρ ), Y ′ ( ρ ) ) = ( D ( x ) V, U ),
t. e. D symmetryçen. PoloΩytel\nost\ y ocenky D dokazan¥ v [7]:
D ( x ) ≥ I, D sγ ( )( ) ≤ 1 + τ γ τ γ τ γ τ τ
0
s
d∫ ( )( )Ric ( ) ˙( ), ˙ ( ) ,
a ( x, y ) = tr ( D ( x ) – I ) ≤ τ γ τ γ τ γ τ τ
ρ
0
∫ ( )( )Ric ( ) ˙( ), ˙ ( ) d .
Lemma 4. Kovaryantnaq proyzvodnaq operatora D udovletvorqet ocenke
∇( )U D V( )ρ < c U V .
Dokazatel\stvo. Ysxodq yz toΩdestv
∇( )U D V( )ρ = ∇ ( )U D V( )ρ – D VU( )ρ ∇ = ∇ ∇U V ργ̇ – ∇∇UV ργ̇
poluçaem
∇( )˙ ( )γ D x V =
=
0
0 0
, ˙( ),
( ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ) ( ) ( ), ˙ ( ),
( ) , ( ) .
esly
esly
V
X R x X D x X V
X V X
=
′ + ( ) − ′ ⊥
= =
γ ρ
ρ ρ γ ρ ρ γ ρ ρ γ ρ
ρ
Dlq Y ⊥ ˙ ( )γ ρ
∇( )Y D x V( ) ( )ρ =
=
′ − ′ =
∇ ∇ + ( ) +
+ ′( ) ⊥
Y D x Y V
X R x Y X
X Y V
Y
( ) ( ) ( ), ˙ ( ),
( ) ( ) ( ), ˙ ( ) ( )
( ), ( ) ˙ ( ), ˙ ( ).
˙ ( ) ( )
ρ ρ γ ρ
ρ ρ ρ ρ γ ρ ρ
ρ ρ γ ρ γ ρ
γ ρ ρ
esly
esly
S druhoj storon¥,
D x X( ) ( )′ ρ = ′X ( )ρ +
1
ρ
ρ ρ ρD x X X( ) ( ) ( )′ −( ), (10)
y tak kak
ρ X ′ ( ρ ) – X ( ρ ) = s s R s s X s s dsΦ
0
ρ
ρ γ γ γ∫ ( )( )( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ) ,
v sylu ohranyçennosty D vtoroe slahaemoe v (10) ocenyvaetsq velyçynoj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1610 V. H. BONDARENKO
c
s
R s s X s s ds
ρ
γ γ γ
ρ
0
∫ ( )( )( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ) < c X s s s ds( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( )ρ γ γ γ
ρ
0
∫ ( )( )Ric .
Ohranyçennost\ posledneho yntervala oznaçaet, çto ∇( )˙ ( ) ( )γ ρD x X y
∇( )Y D x( ) ˙ ( )γ ρ udovletvorqgt trebuemoj ocenke.
Çto kasaetsq v¥raΩenyq ∇( )Y D x X( ) ( )ρ , to v sylu lemm¥ 3
∇( )Y D x X( ) ( )ρ = – ρ ρ ρ ρ γ ρ′ − ′( )Y Y X( ) ( ), ( ) ˙ ( ) +
+ ρ ρ γ ρ ρ γ ρ ρ γ ρ ρ γ ρR x Y X R x Y X( ) ( ), ˙ ( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )( ) − ( )( )[ ] + ∇ ∇( )⊥˙ ( )γ ρY X ,
y ss¥lka na utverΩdenye 2 zaverßaet dokazatel\stvo lemm¥.
PryloΩenyq. Proyllgstryruem prymenenye ustanovlenn¥x v¥ße svojstv
dlq v¥çyslenyq proyzvodn¥x funkcyy
u ( x, y ) = ρ γ ρ γ ρ2 1B x−( )( ) ˙ ( ), ˙ ( ) , ρ = ρ ( x, y ),
hde B ( x ) — hladkoe pole operatorov, kotoroe dejstvuet v Tx M, α I ≤ B ( x ) ≤ β I,
α > 0, γ — heodezyçeskaq, γ ( 0 ) = y, γ ( p ) = x.
Teorema 2. Pust\ mnohoobrazye M udovletvorqet uslovyqm 1 – 3, a pro-
yzvodn¥e B ( x ) — sledugwym ocenkam:
∇U B x( ) ≤ c U , ∇ ∇U V B x( ) ≤ c U V .
Tohda ymegt mesto ravenstva
1
2
∆xu x y( , ) = tr D x B x D x( ) ( ) ( )−1 + a1 ( x, y ),
1
2
div gradx xB x u x y( ) ( , ) = tr B x D x B x D x( ) ( ) ( ) ( )−1 + a2 ( x, y ),
1
2
∆y u x y( , ) = tr B x−1( ) + a3 ( x, y ),
hde
a x yk ( , ) < ( ρ + ρ 2 ).
Dokazatel\stvo. 1. Pust\ Xk ( s ) — bazysn¥e polq Qkoby vdol\ γ,
Xk ( 0 ) = 0. Yz oçevydn¥x formul
gradx ku X, ( )ρ( ) = 2 1ρ γ ρ ρB x D x Xk
−( )( ) ˙ ( ), ( ) ( ) + ρ γ ρ γ ρρ
2 1∇( )( )−
Xk
B x( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ,
k = 1, … , n,
∇( )X kk
u X( ) , ( )ρ ρgrad = ∇ ( )X kk
u X( ) , ( )ρ ρgrad +
+ ′( )( )X X uk k( ), ( ) , ˙ ( )ρ ρ γ ρgrad , k ≥ 2,
posle v¥çyslenyq vtor¥x proyzvodn¥x y yspol\zovanyq pervoho sootnoßenyq
lemm¥ 3 poluçaem
1
2
∆xu x y( , ) = tr D x B x D x( ) ( ) ( )−1 – B x D x D x−( ) −( )1 2( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ( ) ( )γ ρ γ ρ tr + ρ ×
× 2
1
2
1
1
1 1
k
n
X kk
B x D x X B x D x
=
− −∑ ∇( )( ) + ∇( )( ) −( )
( ) ˙ ( )( ) ˙ ( ), ( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ( )ρ γ ργ ρ ρ γ ρ γ ρ tr +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
POLQ QKOBY NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY 1611
+ ρ γ ρ γ ρ γ ρ γ ρ γ ρ γ ρ2 1 1Ric Ric( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( )x B x B x x
( ) − ( ) ( )− − +
+
k
n
k
k
n
XB x E B x
k
=
−
=
−∑ ∑( ) + ∇( )( )
2
1
1
2 11
2
( ) ˙( ), ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( )( )γ ρ ρ γ ρ γ ρρ ,
hde Ek ( )ρ = ∇ ∇( )⊥˙ ( )γ ρX kk
X . Teper\ pervoe ravenstvo teorem¥ sleduet yz us-
lovyj na operator B ( x ), ocenok D ( x ) y utverΩdenyq 2.
2. Dlq v¥çyslenyq divx B ( x ) gradx u vospol\zuemsq sledstvyem 1, poloΩyv
V ( x ) = B ( x ) gradx u ( x, y ) = v
k
( x ) Xk ( )ρ ,
hde koordynat¥ v
k
v¥çyslqgtsq po formule
v
k
( x ) = ( gradx u ( x, y ), B ( x ) Xk ( )ρ ) =
= 2 1ρ γ ρ ρB x D x B x Xk( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ( )−( ) + ρ γ ρ γ ρρ
2 1∇( )( )−
B x Xk
B x( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) .
Dal\nejßee dyfferencyrovanye pryvodyt k v¥raΩenyg
( grad v
k
( x ), Xk ( )ρ ) = 2 1B x D x B x D x X Xk k( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )−( )ρ ρ +
+ 2 1ρ γ ρ ρB x D x B x XX kk
( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ( )− ∇( ) +
+ 2 1ρ γ ρ ρρ∇ ( )( )−
X kk
B x D x B x X( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ( ) +
+ 2 1ρ γ ρ ρρ∇( )( )−
B x X kk
B x D x X( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( ) +
+ ρ γ ρ γ ρρ ρ
2 1∇ ∇( )( )−
X B x Xk k
B x( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ,
summyruq kotoroe po k, okonçatel\no ymeem
divx B ( x ) gradx u ( x, y ) = 2tr B x D x B x D x( ) ( ) ( ) ( )−1 +
+ 2
1
1ρ γ ρ ρρ
k
n
X kk
B x D x B x X
=
−∑ ∇( )( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ( ) +
+ ∇( )( )
−
B x X kk
B x D x X( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ( ) ( )ρ γ ρ ρ1 +
+ 2
1
1ρ γ ρ γ ρρ ρ
k
n
X B x Xk k
B x
=
−∑ ∇ ∇( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) +
+ ρ γ ρ γ ργ ρ
2 1 1∇( )( ) −( )−
B x B x D x( ) ˙ ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ( )tr .
Teper\ vtoroe ravenstvo teorem¥ sleduet yz lemm¥ 4 y uslovyj na operator
B ( x ).
3. PoloΩym
σ ( τ ) = γ ( ρ – τ ), σ (0 ) = x, σ (ρ ) = y, ˙ ( )σ τ = – ˙( )γ ρ τ− ,
t. e.
u ( x, y ) = ρ σ σ2 1 0 0B x−( )( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ,
y vvedem bazysn¥e polq Qkoby Yk ( τ ), Yk ( 0 ) = 0.
V sylu lemm¥ 2
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1612 V. H. BONDARENKO
( grad u, ˙ ( )σ ρ ) = 2 0 01ρ σ σB x−( )( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ,
( grad u, Yk ( ρ ) ) = 2 0 02 1ρ σB x Yk
− ′( )( ) ˙ ( ), ( ) ,
∇( )Y kk
u Y( ) , ( )ρ ρgrad = 2 0 01B x Y Yk k
− ′ ′( )( ) ( ), ( )ρ ρ +
+ 2 0 02 1ρ σ σB x YY kk
− ∇ ∇( )( ) ˙ ( ), ( )˙ + 2 0 01ρ ρ ρ σ σ′( )( )−Y Y B xk k( ), ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) , k ≥ 2.
Summyruq, poluçaem
1
2
∆y u x y( , ) = b1 ( x, y ) + b2 ( x, y ) + ρ σ2
2
1 0 0
k
n
kB x E
=
−∑ ( )( ) ˙ ( ), ( ) ,
hde Ek ( )0 = ∇ ∇( )⊥˙ ( )σ Y kk
Y 0 , t. e. norma posledneho slahaemoho v sylu utverΩ-
denyq 2 ne prev¥ßaet c ρ
2
,
b1 ( x, y ) = B x−( )1 0 0( ) ˙ ( ), ˙ ( )σ σ +
k
n
k kB x Y Y
=
−∑ ′ ′( )
2
1 0 0( ) ( ), ( )ρ ρ ,
b2 ( x, y ) = B x−( )1 0 0( ) ˙ ( ), ˙ ( )σ σ
k
n
k k kY Y Y
=
∑ ′( ) − ′[ ]
2
2 20ρ ρ ρ ρ( ), ( ) ( ) .
Yz toΩdestva
ρ ′Yk ( )0 = Φ( , ) ( )0 ρ ρYk –
0
0
ρ
ρ τ τ σ τ σ τ τ σ τ τ∫ − ( )( )( ) ( , ) ( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )Φ R Y dk ,
hde Φ — operator parallel\noho perenosa vdol\ σ, sleduet predstavlenye
b1 ( x, y ) = tr B x−1( ) + h ( x, y ),
hde v sylu yntehryruemosty Ric σ τ σ τ σ τ( ) ˙ ( ), ˙ ( )( )( )
| h ( x, y ) | < c ( ρ + ρ
2
).
Dlq ocenky b2 rassmotrym funkcyg
αk ( τ ) =
′( )Y Yk k( ), ( )τ τ
τ
, αk ( 0 ) = ′Yk ( )0 2
, k ≥ 2.
Poskol\ku
˙ ( )α τk =
1
τ
σ τ σ τ τ σ τ τR Y Yk k( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ), ( )( )( )( ) +
+
1
τ
σ σ σ τ τ
τ
2
0
∫ ( )( ) ′( )t R t t Y t t t Y dtk k( ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ), ( , ) ( )Φ
y
Yk ( )τ ≤
τ
ρ
, ′Yk ( )τ <
c
ρ
,
to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
POLQ QKOBY NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY 1613
k
n
k
=
∑
2
˙ ( )α τ <
c
t t t t dt
ρ
σ τ σ τ σ τ
τ
σ σ σ
τ
Ric
1
Ric( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ( ) ˙ ( ), ˙ ( )( )( ) + ( )( )
∫2
0
y, sledovatel\no,
0 ≤
k
n
k k
k
Y Y
Y
=
∑ ′( ) − ′
2
20
( ), ( )
( )
ρ ρ
ρ
≤
c
d
ρ
σ τ σ τ σ τ τ
ρ
0
∫ ( )( )Ric ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ,
t. e.
| b2 ( x, y ) | < c dρ σ τ σ τ σ τ τ
ρ
0
∫ ( )( )Ric ( ) ˙ ( ), ˙ ( ) ,
çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥.
Sledstvye 3. V uslovyqx teorem¥ 2
| ( ∆x – ∆y ) u ( x, y ) | < c ( ρ + ρ
2
).
Dokazatel\stvo sleduet yz teorem¥ 2 y svojstv operatora D ( x ).
1. Postnykov M. M. Varyacyonnaq teoryq heodezyçeskyx. – M.: Nauka, 1965. – 248 s.
2. Hromol D., Klynhenberh V., Mejer V. Rymanova heometryq v celom. – M.: Myr, 1971. – 340 s.
3. Misiolek G. Stability of flows of ideal fluids and the geometry of the group of diffeomorphisms //
Indiana Univ. Math. J. – 1993. – 42, # 1. – P. 215 – 235.
4. Larsen J. C. Geodesics and Jacobi fields in singular semi-Riemannian geometry // Proc. Roy. Soc.
London A. – 1994. – 446, # 1928. – P. 441 – 452.
5. Tasnadi T. The behavior of nearby trajectories in magnetic billiards // J. Math. Phys. – 1996. – 37,
# 11. – P. 5577 – 5598.
6. Bondarenko V. Diffusion sur variete de courbure non positive // C. r. Acad. sci. Ser. 1. – 1997. –
324, # 10. – P. 1099 – 1103.
7. Bondarenko V. H. Kovaryantn¥e proyzvodn¥e polej Qkoby na mnohoobrazyy nepoloΩytel\-
noj kryvyzn¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 1998. – 50, # 6. – S. 755 – 764.
Poluçeno 15.11.2005,
posle dorabotky — 14.06.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
|