Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах

Отримано нові результати про максимізацію добутку степенів внутрішніх радіусів областей, які попарно не перетинаються, відносно деяких систем точок у розширеній комплексній площині....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Бахтин, А.К., Таргонский, А.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165547
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1715–1719. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165547
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1655472020-02-15T01:27:28Z Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. Короткі повідомлення Отримано нові результати про максимізацію добутку степенів внутрішніх радіусів областей, які попарно не перетинаються, відносно деяких систем точок у розширеній комплексній площині. We obtain new results on the maximization of the product of powers of the interior radii of pairwise disjoint domains with respect to certain systems of points in the extended complex plane. 2006 Article Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1715–1719. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165547 517.54 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах Український математичний журнал
description	Отримано нові результати про максимізацію добутку степенів внутрішніх радіусів областей, які попарно не перетинаються, відносно деяких систем точок у розширеній комплексній площині.
format	Article
author	Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л.
author_facet	Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л.
author_sort	Бахтин, А.К.
title	Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах
title_short	Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах
title_full	Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах
title_fullStr	Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах
title_full_unstemmed	Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах
title_sort	некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165547
citation_txt	Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 12. — С. 1715–1719. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT bahtinak nekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriinenalegaûŝihoblastejsosvobodnymipolûsaminalučah AT targonskijal nekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriinenalegaûŝihoblastejsosvobodnymipolûsaminalučah
first_indexed	2025-07-14T18:53:17Z
last_indexed	2025-07-14T18:53:17Z
_version_	1837649575954874368
fulltext	K�O�R�O�T�K�I��P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q UDK 517.54 A. K. Baxtyn, A. L. Tarhonskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) NEKOTORÁE ∏KSTREMAL\|NÁE ZADAÇY TEORYY NENALEHAGWYX OBLASTEJ SO SVOBODNÁMY POLGSAMY NA LUÇAX ∗∗∗∗ We obtain new results on the maximization of a product of inner radius powers for domains that are mutually disjoint. The maximization is performed with respect to some system of points in the extended complex plane. Otrymano novi rezul\taty pro maksymizacig dobutku stepeniv vnutrißnix radiusiv oblastej, qki poparno ne peretynagt\sq, vidnosno deqkyx system toçok u rozßyrenij kompleksnij plowyni. Vvedenye. V heometryçeskoj teoryy funkcyj kompleksnoj peremennoj πks- tremal\n¥e zadaçy o nenalehagwyx oblastqx sostavlqgt aktyvno razvyvagwe- esq napravlenye, voznyknovenye kotoroho svqzano s rabotoj M. A. Lavrent\eva [1]. V πtoj rabote b¥la vperv¥e postavlena y reßena zadaça o maksymume pro- yzvedenyq konformn¥x radyusov dvux vzaymno neperesekagwyxsq odnosvqzn¥x oblastej v rasßyrennoj kompleksnoj ploskosty C . V dal\nejßem zadaçy ta- koho typa rassmatryvalys\ mnohymy avtoramy (sm., naprymer, rabot¥ [2 – 5] y pryvedennug v nyx byblyohrafyg). V nastoqwej rabote reßen¥ nov¥e πkstre- mal\n¥e zadaçy o nenalehagwyx oblastqx — s tak naz¥vaem¥my svobodn¥my polgsamy na luçax. Perejdem k formulyrovke rezul\tatov. Pust\ { }Bk k n =1 — systema poparno neperesekagwyxsq oblastej v C . Pry kaΩdom k n= 1, tol\ko koneçnoe çyslo komponent svqznosty mnoΩestva C \ Bk moΩet soderΩat\ vnutry sebq kakug-to yz oblastej Bj , j n= 1, , j ≠ k ; takye komponent¥ budem naz¥vat\ suwestvenn¥my. Oblast\, poluçennug ysklgçenyem yz C vsex suwestvenn¥x komponent svqznosty mnoΩestva C \ Bk , budem oboznaçat\ B̃k . Qsno, çto B Bk k⊂ ˜ , k n= 1, , y { }B̃k k n =1 — systema koneçnosvqzn¥x vzaymno neperesekag- wyxsq oblastej bez yzolyrovann¥x hranyçn¥x toçek. ∏tu systemu oblastej bu- dem naz¥vat\ zapolnenyem system¥ poparno neperesekagwyxsq oblastej { }Bk k n =1. Dlq oblasty B ⊂ C y toçky a B∈ oboznaçym çerez r ( B, a ) vnutrennyj radyus oblasty B otnosytel\no toçky a (vse opredelenyq, yspol\zuem¥e v ∗∗∗∗ V¥polnena pry çastyçnoj fynansovoj podderΩke Hosudarstvennoj prohramm¥ Ukrayn¥ #;0102Y000917. © A. K. BAXTYN, A. L. TARHONSKYJ, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1715 1716 A. K. BAXTYN, A. L. TARHONSKYJ nastoqwej rabote, pryveden¥, naprymer, v [5]; otmetym lyß\, çto v otlyçye ot [6] m¥ ponymaem vnutrennyj radyus otnosytel\no beskoneçno udalennoj toçky v sm¥sle opredelenyq, predloΩennoho v [2]). Dlq borelevskoho mnoΩestva E ⊂ C çerez cap E m¥ oboznaçaem eho loharyfmyçeskug emkost\. Kak ob¥ç- no, i — mnymaq edynyca. Vsgdu nyΩe n — celoe neotrycatel\noe (natural\noe) çyslo, n ≥ 3, χ( ) : ( ) /t t t= + −1 2 , t > 0. Dlq nabora toçek { } { }\ak k n = ⊂1 0C takoho, çto 0 = = arg a1 < arg a2 < … < arg an < 2π, poloΩym σ πk k ka a: (arg arg ) /= −+1 , k n= −1 1, , σ π πn na: ( arg ) /= −2 , a an+ =1 1: , µ χ σ( ) /{ } : ( ) a a a ak k n k n k k k k = = +=    ∏ − 1 1 1 2 1 . V prynqt¥x v¥ße oboznaçenyqx spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq. Teorema�1. Kakov¥ b¥ ny b¥ly poloΩytel\n¥e dejstvytel\n¥e çysla α y µ0 , toçky a an1 0, , { }\… ∈C y poparno neperesekagwyesq oblasty B B0 1, ,… … ⊂+, ,B Bn n 1 C takye, çto arg ( ) /a k nk = −2 1π y a Bk k∈ , k n= 1, , µ( ){ }ak k n =1 ≤ µ0 , 0 0∈B , ∞ ∈ +Bn 1, ymeet mesto neravenstvo [ ]( , ) ( , ) ( , )r B r B r B an k n k k0 1 1 0 + = ∞ ∏α ≤ [ ]( , ) ( , ) ( , )r B r B r B an k n k k0 0 1 0 1 0 00 + = ∞ ∏α , (1) hde toçky a an1 0 0, ,… y oblasty B B B Bn n0 0 1 0 0 1 0, , , ,… + qvlqgtsq sootvetstven- no polgsamy y kruhov¥my oblastqmy kvadratyçnoho dyfferencyala Q w dw( ) 2 = – α µ α αµ µ w n w w w dw n n n n 2 0 2 2 2 0 2 22+ − + − ( ) ( ) (2) ( a Bk k 0 0∈ pry k n= 1, , 0 0 0∈B , ∞ ∈ +Bn 1 0 ) . Znak ravenstva v (1) dostyhaetsq tohda y tol\ko tohda, kohda pry vsex k n= +0 1, v¥polnen¥ ravenstva B̃ Bk k= 0 y cap B Bk k 0 0\ = . Sledstvye�1. Kakov¥ b¥ ny b¥ly poloΩytel\noe dejstvytel\noe çyslo µ0 , toçky a an1 0, , { }\… ∈C y poparno neperesekagwyesq oblasty B1, … … , Bn ⊂ C takye, çto arg ( ) /a k nk = −2 1π y a Bk k∈ , k n= 1, , µ( ){ }ak k n =1 ≤ ≤ µ0 , ymeet mesto neravenstvo k n k kr B a = ∏ 1 ( , ) ≤ k n k kr B a = ∏ 1 0 0( , ) , (3) hde toçky a an1 0 0, ,… y oblasty B Bn1 0 0, ,… , a Bk k 0 0∈ , k n= 1, , qvlqgtsq so- otvetstvenno polgsamy y kruhov¥my oblastqmy kvadratyçnoho dyfferencya- la Q w dw( ) 2 = – w w dw n n − − 2 0 2 2 ( )µ . Sledstvye;1 poluçaetsq yz teorem¥;1 predel\n¥m perexodom pry α → 0 . Teorema�2. Kakov¥ b¥ ny b¥ly dejstvytel\n¥e çysla α ∈( ; , ]0 0 18 y µ0 > > 0 , toçky a an1 0, , { }\… ∈C y poparno neperesekagwyesq oblasty B0, B B Bn n1 1, , ,… ⊂+ C takye, çto 0 = arg a1 < … < arg an < 2π , a Bk k∈ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 NEKOTORÁE ∏KSTREMAL\|NÁE ZADAÇY TEORYY … 1717 k n= 1, , µ( ){ }ak k n =1 ≤ µ0 , 0 0∈B , ∞ ∈ +Bn 1, v¥polnqetsq neravenstvo (1), hde toçky a an1 0 0, ,… y oblasty B B B Bn n0 0 1 0 0 1 0, , , ,… + — te Ωe, çto y v teoreme;1. Otmetym, çto v teoremax;1,;2 y v sledstvyy;1 πkstremal\n¥j nabor polgsov y oblastej udovletvorqet uslovyqm, naklad¥vaem¥m na nabor¥ toçek ak y ob- lastej Bk . Dokazatel\stva vsex sformulyrovann¥x utverΩdenyj osnovan¥ na prymenenyy tak naz¥vaemoho kusoçno-razdelqgweho preobrazovanyq, predlo- Ωennoho v rabotax V. N. Dubynyna (sm. [2]). 1. Dokazatel\stvo teorem¥�2. Pust\ α ∈( ; , ]0 0 18 , µ 0 > 0 , toçky a an1, ,… ∈C y poparno neperesekagwyesq oblasty B B B Bn n0 1 1, , , ,… ⊂+ C udovletvorqgt uslovyqm teorem¥;2. Oboznaçym a an+ =1 1: , B Bn+ =1 1: , σ σ0 := n , ∆k k kw a w a: { : arg arg arg }= ∈ < < +C 1 pry k n= −1 1, , ∆n nw a w: { : arg arg }= ∈ < <C 2π , y pust\ ζk w( ) — odnoznaçnaq vetv\ funk- cyy – i w i ak kexp{ arg } /−( )1 σ , otobraΩagwaq oblast\ ∆ k na poluploskost\ Im ζ > 0, k = 1, … , n . Tohda pry vsex k = 1, … , n v¥polnqgtsq ravenstva ζ ζ σ σ k k k k k kw a a w a ok( ) ( ) ( ( ))/− = − +−1 1 11 1 , w → ak , ζ ζ σ σ k k k k k kw a a w a ok( ) ( ) ( ( )) /− = − ++ + − +1 1 1 1 1 1 1 1 , w → ak + 1 , ζ σ k w w k( ) /= 1 , w k∈∆ . Pust\ k n∈ …{ , , }1 . Rassmotrym obraz ζk kB( )0 ∩ ∆ otkr¥toho mnoΩestva B k0 ∩ ∆ pry otobraΩenyy ζk , obæedynym eho s mnoΩestvom, symmetryçn¥m ζk kB( )0 ∩ ∆ otnosytel\no mnymoj osy, y voz\mem soderΩawug naçalo koordy- nat O svqznug komponentu vnutrennosty zam¥kanyq poluçennoho takym obra- zom mnoΩestva. V rezul\tate poluçym oblast\, soderΩawug toçku O, koto- rug budem oboznaçat\ çerez Gk 0. Posledovatel\no zamenqq v pred¥duwej konstrukcyy oblast\ B0 na B∞ , Bk , B k + 1 , a toçku O sootvetstvenno na beskoneçno udalennug toçku y toçky w i ak k k− = − 1/σ y w i ak k k+ += 1 1/σ , poluçaem oblasty Gk ∞ , Gk − y Gk+ + 1, soderΩawye sootvetstvenno beskoneçno udalennug toçku y toçky wk − y wk + , G Gn+ + +=1 1: . Sohlasno teoreme;1.9 [2], yz pryvedenn¥x v¥ße asymptotyçeskyx ravenstv v¥tekagt neravenstva r B ak k( , ) ≤ r G w a r G w a k k k k k k k k k k ( , ) ( , ) / / / − − − − + − + − −−             1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 1 σ σ σ σ , k = 1, … , n, r B( , )0 0 < k n kr G k = ∏ [ ] 1 0 2 0 2 ( , ) /σ , r B( , )∞ ∞ ≤ k n kr G k = ∞∏ ∞[ ] 1 22 ( , ) /σ , otkuda, v¥polnqq oçevydn¥e preobrazovanyq, poluçaem cepoçku sootnoßenyj r B r B r B a k n k k( , ) ( , ) ( , )0 1 0 ∞ = ∞[ ] ∏α ≤ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 1718 A. K. BAXTYN, A. L. TARHONSKYJ ≤ k n k k k k k k k k k r G r G r G w r G w a a k k = ∞ − − + + + −∏ ∞[ ] ( )            1 0 2 1 1 1 1 2 0 2 σ ασ σ( , ) ( , ) ( , ) ( , )/ / / = = 2 1 1 1 2 n k n k k k k a a a k = + ∏          σ χ σ/( ) × × r G r G r G w r G w a a k k k k k k k k k k k ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) / / / 0 1 1 1 2 1 2 0 2 ∞ − − + + + ∞[ ] +( )           ασ σ σ = = 2 00 1 1 0 2 1 2 2 n k n k k n k k k k k k k k r G r G r G w r G w w w kµ σ ασ = = ∞ − − + + + −∏ ∏       ∞[ ] −      ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) / . (4) Opredelym funkcyg Ψ ( τ ) , τ > 0, ravenstvom Ψ( ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) τ τ τ τ τ τ = ∞( ) − ∞ −r B r B r B i r B ii i 0 0 4 2 , hde B0 τ , Bi τ , B i− τ , B∞ τ — kruhov¥e oblasty kvadratyçnoho dyfferencyala Q w dw( ) 2 = – τ τ τ2 4 2 2 2 2 2 2 22 2 1 w w w w dw + − + + ( ) ( ) , soderΩawye sootvetstvenno toçky 0, i, – i y ∞ . V [3] (dokazatel\stvo teore- m¥;6) pokazano, çto pry vsex τ ∈( , )0 1 ymeet mesto ravenstvo Ψ ( τ ) = = τ τ ττ τ τ2 1 12 2 2 1 1( ) ( )( ) ( )− +− − − + . Otsgda neposredstvenn¥m v¥çyslenyem poluça- em, çto vtoraq proyzvodnaq funkcyy ln[ ( )]τ τ2Ψ ravna – 2 1 2 2 2τ τ τ − + − ln y (vsledstvye ee vozrastanyq) ymeet edynstvenn¥j koren\ na ( , )0 1 , prynadleΩa- wyj yntervalu ( , ; , )0 85 0 9 . Poπtomu funkcyq ln[ ( )]τ τ2Ψ v¥pukla vverx na promeΩutke ( ; , ]0 0 85 . S druhoj storon¥, sohlasno teoreme;1 yz rabot¥ [4], v¥polnqgtsq neravenstva r G r G r G w r G w w w k k k k k k k k k( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 20 2 ∞ − − + + + − ∞[ ] − ασ ≤ Ψ( )σ αk , k n= 1, , (5) podstavlqq kotor¥e v (4) y yspol\zuq to, çto σ αk ≤ 2 0 18, < 0,85 pry α ≤ ≤ 0,18 y neravenstvo Jensena dlq funkcyy ln[ ( )]τ τ2Ψ , poluçaem r B r B r B a k n k k( , ) ( , ) ( , )0 1 0 ∞ = ∞[ ] ∏α ≤ 2 0 1 1 1 2 n k n k k n kµ σ σ α = = ∏ ∏            Ψ( ) / ≤ ≤ 2 0 2 1 2 1 2 n n k n k kµ α σ α σ α− = ∏       / / ( ) ( )Ψ ≤ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12 NEKOTORÁE ∏KSTREMAL\|NÁE ZADAÇY TEORYY … 1719 ≤ 2 20 2 1 1 2 1 2 n n k n knµ α α σ α− = −∏       / / ( ) ( )Ψ ≤ 4 20 1 2 n n n n    ( )−µ αΨ( ) / . Pust\ B B0 0 0= , B Bn n+ +=1 1 0 y pry vsex k = 1, … , n spravedlyv¥ ravenstva a ak k= 0 y B Bk k= 0 , hde toçky a an1 0 0, ,… y oblasty B B B Bn n0 0 1 0 0 1 0, , , ,… + opre- delen¥ v formulyrovke teorem¥;1. Tohda vo vsex pryvedenn¥x v¥ße cepoçkax sootnoßenyj neravenstva prevrawagtsq v ravenstva, çto y zaverßaet dokaza- tel\stvo teorem¥;2. 2. Dokazatel\stvo teorem¥�1. Dokazatel\stvo πtoj teorem¥ v znaçytel\- noj stepeny povtorqet dokazatel\stvo teorem¥;2. Ymenno, pry v¥polnenyy us- lovyj teorem¥;1 σk n= 2 / dlq vsex k = 1, … , n , a v neravenstvax (5) Ψ Ψ( ) ( )σ α αk n= −2 1 , k n= 1, . Podstavlqq πty ravenstva v (4), ymeem r B r B r B a k n k k( , ) ( , ) ( , )0 1 0 ∞ = ∞[ ] ∏α ≤ 4 20 1 2 n n n n    ( )−µ αΨ( ) / . UtverΩdenye o znake ravenstva v teoreme;2 proverqetsq tak Ωe, kak y v [5] (do- kazatel\stvo teorem¥;2). Teorema dokazana. 1. Lavrent\ev M. A. K teoryy konformn¥x otobraΩenyj // Tr. Fyz.-mat. yn-ta AN SSSR. – 1934. – 5. – S. 159 – 245. 2. Dubynyn V. N. Metod symmetryzacyy v heometryçeskoj teoryy funkcyj kompleksnoho pe- remennoho // Uspexy mat. nauk. – 1994. – 49, # 1;(295). – S. 3 – 76. 3. Dubynyn V. N. Razdelqgwee preobrazovanye oblastej y zadaçy ob πkstremal\nom razbyenyy // Zap. nauç. sem. Lenynhr. otd-nyq Mat. yn-ta AN SSSR. – 1988. – 168. – S. 48 – 66. 4. Baxtyn A. K. ∏kstremal\n¥e zadaçy o nenalehagwyx oblastqx so svobodn¥my polgsamy na okruΩnosty // Dopov. NAN Ukra]ny. – 2004. – # 8. – S. 7 – 15. 5. Baxtyn A. K. ∏kstremal\n¥e zadaçy o nenalehagwyx oblastqx so svobodn¥my polgsamy na okruΩnosty // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 7. – S.;867 – 886. 6. Xejman V. K. Mnoholystn¥e funkcyy. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1960. – 180 s. Poluçeno 09.12.2003, posle dorabotky — 06.06.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12

Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах

Репозитарії

Схожі ресурси