Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений

Досліджено питання існування розривного зворотного зв'язку, який забезпечує стабілізацію нелінійної системи керування за частиною змінних. При цьому розв'язок системи визначено за Філіпповим. Одержано необхідну умову стабілізації за частиною змінних у класі розривних керувань, яка узагальн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Ковалев, А.М., Кравченко, Н.В., Неспирный, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165553
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений / А.М. Ковалев, Н.В. Кравченко, В.Н. Неспирный // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1434–1440. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165553
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1655532020-02-15T01:26:47Z Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений Ковалев, А.М. Кравченко, Н.В. Неспирный, В.Н. Короткі повідомлення Досліджено питання існування розривного зворотного зв'язку, який забезпечує стабілізацію нелінійної системи керування за частиною змінних. При цьому розв'язок системи визначено за Філіпповим. Одержано необхідну умову стабілізації за частиною змінних у класі розривних керувань, яка узагальнює умову Райєна на випадок стабілізації за частиною змінних. Розглянуто приклад механічної системи, що не може бути стабілізована за частиною змінних. We investigate the problem of the existence of a discontinuous feedback that guarantees the stabilization of a nonlinear control system with respect to a part of variables. A solution of the system is defined in the Filippov sense. We establish a necessary condition for stabilization with respect to a part of variables in the class of discontinuous controls, which generalizes the Ryan condition to the case of stabilization with respect to a part of variables. An example of a mechanical system that cannot be stabilized with respect to a part of variables is considered. 2006 Article Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений / А.М. Ковалев, Н.В. Кравченко, В.Н. Неспирный // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1434–1440. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165553 517.93 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Ковалев, А.М. Кравченко, Н.В. Неспирный, В.Н. Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений Український математичний журнал
description	Досліджено питання існування розривного зворотного зв'язку, який забезпечує стабілізацію нелінійної системи керування за частиною змінних. При цьому розв'язок системи визначено за Філіпповим. Одержано необхідну умову стабілізації за частиною змінних у класі розривних керувань, яка узагальнює умову Райєна на випадок стабілізації за частиною змінних. Розглянуто приклад механічної системи, що не може бути стабілізована за частиною змінних.
format	Article
author	Ковалев, А.М. Кравченко, Н.В. Неспирный, В.Н.
author_facet	Ковалев, А.М. Кравченко, Н.В. Неспирный, В.Н.
author_sort	Ковалев, А.М.
title	Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений
title_short	Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений
title_full	Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений
title_fullStr	Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений
title_full_unstemmed	Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений
title_sort	необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165553
citation_txt	Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений / А.М. Ковалев, Н.В. Кравченко, В.Н. Неспирный // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1434–1440. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kovalevam neobhodimoeusloviestabiliziruemostipočastiperemennyhnelinejnyhsistemvklasserazryvnyhupravlenij AT kravčenkonv neobhodimoeusloviestabiliziruemostipočastiperemennyhnelinejnyhsistemvklasserazryvnyhupravlenij AT nespirnyjvn neobhodimoeusloviestabiliziruemostipočastiperemennyhnelinejnyhsistemvklasserazryvnyhupravlenij
first_indexed	2025-07-14T18:54:13Z
last_indexed	2025-07-14T18:54:13Z
_version_	1837649629516136448
fulltext	K�O�R�O�T�K�I��P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q UDK 517.93 A. M. Kovalev, N. V. Kravçenko, V. N. Nespyrn¥j (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck) NEOBXODYMOE USLOVYE STABYLYZYRUEMOSTY PO ÇASTY PEREMENNÁX NELYNEJNÁX SYSTEM V KLASSE RAZRÁVNÁX UPRAVLENYJ We study the existence of a discontinuous feedback, which provides the stabilization of a nonlinear control system with respect to a part of variables. We determine a solution of the system in the Filippov sense. We obtain a necessary condition for the stabilizability with respect to a part of variables in the class of discontinuous controls which generalizes the Ryan condition to the case of stabilizability with respect to a part of variables. We consider an example of a mechanical system that is not stabilizable with respect to a part of variables. DoslidΩeno pytannq isnuvannq rozryvnoho zvorotnoho zv’qzku, qkyj zabezpeçu[ stabilizacig ne- linijno] systemy keruvannq za çastynog zminnyx. Pry c\omu rozv’qzok systemy vyznaçeno za Fi- lippovym. OderΩano neobxidnu umovu stabilizaci] za çastynog zminnyx u klasi rozryvnyx keru- van\, qka uzahal\ng[ umovu Raj[na na vypadok stabilizaci] za çastynog zminnyx. Rozhlqnuto pryklad mexaniçno] systemy, wo ne moΩe buty stabilizovana za çastynog zminnyx. 1. Vvedenye. Rassmotrym systemu upravlenyq, opys¥vaemug ob¥knovenn¥my dyfferencyal\n¥my uravnenyqmy ẋ = f ( x, u ) , (1) hde x D Rn∈ ⊆ — fazov¥j vektor, u U Rm∈ ⊂ — vektor upravlenyq, mnoΩest- vo U predpolahaetsq ohranyçenn¥m, soderΩawym toçku nul\ v kaçestve vnut- rennej. Krome toho, predpolahaetsq f ( , )0 0 0= , çto obespeçyvaet suwestvo- vanye nulevoho reßenyq system¥ (1). Funkcyq f ( x, u ) qvlqetsq neprer¥vnoj po sovokupnosty peremenn¥x. Klassyçeskaq zadaça stabylyzacyy system¥ (1) sostoyt v postroenyy obrat- noj svqzy u ( x ) ( u ( 0 ) = 0 ) , pry kotoroj reßenye x ≡ 0 avtonomnoj system¥ ẋ = f ( x, u ( x )) (2) qvlqetsq asymptotyçesky ustojçyv¥m po Lqpunovu. Yzvestno, çto v sluçae, esly f ( x, u ) — lynejnaq po oboym arhumentam funk- cyq, systema stabylyzyruema tohda y tol\ko tohda, kohda systema hlobal\no asymptotyçesky nul\-upravlqema. Analohyçnoj πkvyvalentnosty meΩdu svoj- stvom asymptotyçeskoj nul\-upravlqemosty y stabylyzyruemost\g dlq nely- nejn¥x system net. Ymeet mesto sledugwee neobxodymoe uslovye dlq hladkoj stabylyzacyy [1]. Uslovye Broketta. Pust\ f C∈ 1. Esly systema (1) qvlqetsq C1 -stabyly- zyruemoj (suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemaq obratnaq svqz\ u ( x ) , ko- © A. M. KOVALEV, N. V. KRAVÇENKO, V. N. NESPYRNÁJ, 2006 1434 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NEOBXODYMOE USLOVYE STABYLYZYRUEMOSTY … 1435 toraq delaet nulevoe reßenye asymptotyçesky ustojçyv¥m), to obraz f soder- Ωyt otkr¥tug okrestnost\ nulq. Naprymer, systema ẋ u1 1= , ẋ u2 2= , ẋ u x u x3 2 1 1 2= − qvlqetsq upravlqemoj, no ne moΩet b¥t\ hladko stabylyzyrovana, tak kak ona ne udovletvorqet uslovyg Broketta. (Dlq lgboho ε > 0 toçka ( 0, 0, ε ) ne prynadleΩyt obrazu f ( x, u ) dlq lgb¥x x R∈ 3 y u R∈ 2 . ) Faktyçesky uslovye Broketta sleduet yz toho, çto topolohyçeskyj yndeks asymptotyçesky ustojçyvoho reßenyq raven ( )−1 n , hde n — razmernost\ pro- stranstva [2] (teoremaI52.1). Rajen [3] pokazal, çto neobxodymoe uslovye Broketta spravedlyvo y dlq razr¥vn¥x upravlenyj pry uslovyy, çto reßenye opredelqetsq po Fylyppovu [4]. V nekotor¥x prykladn¥x zadaçax teoryy upravlenyq estestvenn¥m obrazom voznykaet neobxodymost\ rassmatryvat\ stabylyzacyg po çasty peremenn¥x. Tohda ymeet mesto vopros o soxranenyy uslovyj Broketta dlq stabylyzacyy po çasty peremenn¥x. Dlq stabylyzacyy po çasty peremenn¥x hladkoj obratnoj svqz\g dann¥j vopros reßaetsq poloΩytel\no [5]. Cel\g dannoj stat\y qvlq- etsq ustanovlenye neobxodym¥x uslovyj stabylyzacyy po çasty peremenn¥x ne- lynejn¥x system dlq razr¥vn¥x upravlenyj. 2. Opredelenyq y vspomohatel\n¥e utverΩdenyq. Zapyßem fazov¥j vektor system¥ v vyde x = ( , , , , , )y y z zn n1 11 2 … … = ( y, z ) , n n1 2+ = n. Tohda systema (1) prymet vyd [6] ˙ ( , , )y Y y z u= , (3) ˙ ( , , )z Z y z u= , hde Y R R R Rn n m n: 1 2 1× × → , Z R R R Rn n m n: 1 2 2× × → — neprer¥vn¥e funk- cyy. Predpolahaem, çto Y z( , , )0 0 0= dlq vsex z Rn∈ 2 , funkcyy Y, Z nepre- r¥vn¥ na mnoΩestve D U× , hde D x y H= ≤{ }: ( )H = >const 0 . Krome toho, potrebuem, çtob¥ reßenyq system¥ (3) b¥ly z-prodolΩym¥, t. e. dlq lg- boj ohranyçennoj yzmerymoj funkcyy u t U( ) : [ , )0 +∞ → lgboe reßenye x ( t ) system¥ (3) opredeleno pry vsex t ≥ 0, dlq kotor¥x y t H( ) ≤ . Budem yspol\zovat\ standartn¥e oboznaçenyq y = yi k n 2 1 1 2 1 = ∑   / , z = zi k n 2 1 1 2 1 = ∑   / , x = y z2 2 1 2 +( ) / . Dlq kratkosty oboznaçym X Rn:= . Íar radyusa r > 0 s centrom v toçke cI∈ ∈ X oboznaçym çerez B cr( ), a esly c = 0 — çerez Br . Blyzost\ dvux nepust¥x zamknut¥x mnoΩestv A y B v metryçeskom prostranstve moΩno oxarakteryzo- vat\ çyslamy ρ( , )a b = a b− , d a B( , ) = inf ( , ) b B a b ∈ ρ , dlq lgboho a A∈ β( , )A B = sup ( , ) a A d a B ∈ . V kaçestve dopustym¥x upravlenyj rassmatryvaem klass K poluneprer¥v- n¥x sverxu otobraΩenyj x k x Rm→ ⊂( ) s nepust¥my, v¥pukl¥my y kompakt- n¥my znaçenyqmy, 0 0∈k z( , ). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1436 A. M. KOVALEV, N. V. KRAVÇENKO, V. N. NESPYRNÁJ Pry takoj dopustymoj obratnoj svqzy k y z( , ) reßenye system¥ (2) oprede- lqetsq kak reßenye dyfferencyal\noho vklgçenyq [4] ˙ ( , , )y Y y z u∈ , (4) ˙ ( , , )z Z y z u∈ s naçal\n¥m uslovyem y y( )0 0= , z z( )0 0= . Reßenyem qvlqetsq absolgtno neprer¥vnaq funkcyq x t( ) = ( ( ), ( ))y t z t , x( )0 = ( ),y z0 0 , udovletvorqgwaq dyfferencyal\nomu vklgçenyg (4) poçty vsgdu. Dlq lgboho k K∈ otobraΩenye x f x k x� ( , ( )) takΩe poluneprer¥vno sverxu s nepust¥my, v¥pukl¥my y kompaktn¥my znaçenyqmy. Tohda dlq lgboho x Rn 0 ∈ suwestvuet kak mymymum odno reßenye system¥ (4) [4] (hl.I2, §7, teore- maI1). Odnako svojstvo edynstvennosty reßenyq ne vsehda v¥polnqetsq dlq dyfferencyal\n¥x vklgçenyj. V svqzy s πtym voznykaet neobxodymost\ opre- delenyq ustojçyvosty y prytqΩenyq dlq reßenyq system¥ (4). Opredelenye��1. Obratnaq svqz\ k y z K( , )∈ naz¥vaetsq πkvyasymptoty- çesky stabylyzyrugwej dlq system¥ (4) po peremenn¥m y, esly systema (4) πkvyasymptotyçesky y-ustojçyva, t.(e. 1) ∀ >ε 0 ∃δ ε( ) : y( )0 ≤ δ ⇒ y t( ) < ε ∀ ≥t 0 dlq lgboho maksymal\- noho reßenyq ( ( ), ( ))y t z t system¥I(4); 2) ∃ >∆ 0 ∀ >ε 0 ∃ >T( )ε 0 : y( )0 < ∆ ⇒ y t( ) < ε ∀ ≥t T( )ε dlq lg- boho maksymal\noho reßenyq ( ( ), ( ))y t z t system¥ (4). Opredelenye��2. Obratnaq svqz\ k y z( , ) naz¥vaetsq πkvysΩymagwej dlq system¥ (4) po peremenn¥m y, esly suwestvugt ρ δ τ> > > 0 y T > 0 takye, çto y y t0 < ⇒ <δ ρ( ) ∀ ≥t 0, y t( ) < τ , t T T∈[ , ]2 , dlq lgboho maksymal\noho reßenyq ( ( ), ( ))y t z t system¥I(4). Opredelenye��3. Reßenye zadaçy (4) naz¥vaetsq ravnomerno z-ohranyçen- n¥m, esly dlq lgboho kompakta K Rn⊂ 2 suwestvuet kompakt K Rn 1 2⊂ takoj, çto esly z K( )0 ∈ y y H( )0 ≤ , to z t K( )∈ 1 ∀ ≥t 0 . Pod zadaçej stabylyzacyy system¥ (1) po peremenn¥m y v klasse razr¥vn¥x upravlenyj budem ponymat\ zadaçu naxoΩdenyq obratnoj svqzy k y z K( , )∈ , ko- toraq obespeçyvaet πkvyasymptotyçeskug ustojçyvost\ reßenyq y = 0 syste- m¥ (4) po otnoßenyg k peremenn¥m y. 3. Nekotor¥e svedenyq o stepeny otobraΩenyj. Pust\ X Rn:= , Ω ⊂ X — ohranyçennoe otkr¥toe mnoΩestvo s zam¥kanyem Ω y hranycej ∂Ω , M = ( , , ) : : — , , ( )\f p f X X p X fΩ Ω Ω Ω� neprer¥vnoe otobraΩenye ⊂ ∈ ∂{ }. Tohda stepen\ Brauπra (deg )B qvlqetsq odnoznaçn¥m otobraΩenyem M Z� so sledugwymy svojstvamy: 1) deg ( , , )B I pΩ = 1 ∀ ∈p Ω ; 2) esly deg ( , , )B I pΩ ≠ 0, to suwestvuet x ∈Ω takoe, çto p f x= ( ) ; 3) esly h X: [ , ]0 1 × Ω � y q X: [ , ]0 1 � neprer¥vn¥, q t h t( ) ( , )( )∉ ⋅ ∂Ω ∀ ∈t [ , ]0 1 , to deg ( ( , ), , ( ))B h t q t⋅ Ω ne zavysyt ot t ∈[ , ]0 1 (ynvaryantnost\ otno- sytel\no homotopyj); 4) esly Ω — svqznoe y symmetryçnoe otnosytel\no 0 mnoΩestvo v X y f x f x( ) ( )− = − ∀ ∈∂x Ω, to deg ( , , )B f Ω 0 qvlqetsq neçetnoj y, sootvetstven- no, ne ravna nulg. Teorema��1 ([3], teoremaI2). Pust\ F D X: � — poluneprer¥vnoe sverxu otobraΩenye s nepust¥my, v¥pukl¥my y kompaktn¥my znaçenyqmy v X . Dlq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NEOBXODYMOE USLOVYE STABYLYZYRUEMOSTY … 1437 lgboho ε > 0 suwestvuet lokal\no lypßyceva odnoznaçnaq funkcyq fε : D F D� co( ( )) takaq, çto β ε( ( ), ( ))graph graphf F < ε . Opredelym stepen\ mnohoznaçn¥x otobraΩenyj sohlasno Rajenu [3]. Pust\ p X f∈ ∂\ ( )Ω . Oboznaçym F x p F xp( )( ) { : ( )}= − ∈v v . Dlq lgboho ε > 0 so- hlasno teoremeI1 moΩno v¥brat\ fε dlq F p( ) , pryçem fε ne ymeet nulej na ∂Ω . V [3] pokazano, çto pry dostatoçno malom ε , esly fε y gε — lokal\no lypßycev¥ pryblyΩenyq, deg ( , , ) deg ( , , )B Bf gε εΩ Ω0 0= . Stepen\ dlq mnoho- znaçn¥x otobraΩenyj, udovletvorqgwyx teoremeI1, opredelqetsq sledugwym obrazom: deg ( , , ) lim deg ( , , )F p fBΩ Ω= →ε ε 0 0 . Teorema��2 ([3] , teoremaI3). Pust\ x F x X� ( ) ⊂ — poluneprer¥vnoe sverxu otobraΩenye na kompakte Ω ⊂ X s nepust¥my, v¥pukl¥my y kom- paktn¥my znaçenyqmy. 1. Esly q X F: [ , ] ( )\0 1 � ∂Ω neprer¥vna, to deg( , , ( ))F q tΩ ne zavysyt ot t ∈[ , ]0 1 . 2. Esly p X F∈ ∂\ ( )Ω y takoe, çto deg( , , )F pΩ ≠ 0, to dlq nekotoroho x ∈ Ω p ∈ F ( x ) . 4. Osnovnoj rezul\tat. Teorema��3. Pust\ Y ( y, z, u ) y Z ( y, z, u ) neprer¥vn¥ y udovletvorqgt uslovyqm: 1) 0 0 0∈Y z( , , ) ; 2) esly K Rm⊂ — v¥pukloe mnoΩestvo, to Y y z K Rn( , , ) ⊂ 1 y Z y z K Rn( , , ) ⊂ 2 — v¥pukl¥e mnoΩestva. Esly dlq system¥ (4) suwestvuet πkvysΩymagwee po peremenn¥m y up- ravlenye s obratnoj svqz\g k y z K( , )∈ y reßenye system¥ (4) ravnomerno z - ohranyçeno, to obraz Y y z u( , , ) soderΩyt okrestnost\ nulq. Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto k y z K( , )∈ qvlqetsq πkvysΩymag- wej obratnoj svqz\g po peremenn¥m y dlq system¥ (4). Tohda suwestvugt ρ δ τ> > > 0 y T > 0 takye, çto y y t0 < ⇒ <δ ρ( ) ∀ ≥t 0, y t( ) < τ , t T T∈[ , ]2 , dlq lgboho maksymal\noho reßenyq ( ( ), ( ))y t z t zadaçy (4). Opredelym mnohoznaçnoe otobraΩenye ′Y y z: ( , ) � Y y z k y z y Y y y z k y y z y ( ), , ( , ) , , , , , , . ≤         >     ρ ρ ρ ρ Predpolahaem, çto z Hz( )0 ≤ . Poskol\ku reßenye ravnomerno z -ohranyçeno, to suwestvuet kompakt K Rn 1 2⊂ takoj, çto z t K( )∈ 1 ∀ >t 0. Oboznaçym D B Kρ ρ= × 1, D B Kδ δ= × 1. Rassmotrym otobraΩenye F y z Y Z: ( , ) ( , )� ′ . Dlq dannoho otobraΩenyq po- luçym zadaçu ˙ ( )x F x∈ , x x( )0 0= , (5) hde F qvlqetsq poluneprer¥vn¥m sverxu otobraΩenyem s nepust¥my, v¥puk- l¥my y kompaktn¥my znaçenyqmy, sledovatel\no, F D F X( ) ( )ρ ≡ y qvlqetsq kompaktom. Yz kompaktnosty F X( ) moΩno zaklgçyt\, çto dlq lgboho x X0 ∈ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1438 A. M. KOVALEV, N. V. KRAVÇENKO, V. N. NESPYRNÁJ lgboe reßenye (5) ymeet maksymal\n¥j ynterval suwestvovanyq R+ = ∞[ , )0 . Dlq x0 takoho, çto y0 ≤ δ , z Hz 0 ≤ , mnoΩestvo maksymal\n¥x reßenyj (5) qvlqetsq mnoΩestvom maksymal\n¥x reßenyj (4). Oboznaçym Ω0 = = { }:y y ≤ δ . Poskol\ku k ( y, z ) — πkvysΩymagwaq obratnaq svqz\ po otnoßenyg k pere- menn¥m y, dlq lgboho z K∈ 1 0∉ ′Y y z( , ) pry y B∈Ω0 \ τ. Pry kaΩdom fyksy- rovannom z v¥polnqetsq sootnoßenye 0 0∉ ′ ∂Y z( ),Ω , poπtomu moΩno v¥çys- lyt\ ′Y y z( , ) kak stepen\ otobraΩenyq, zavysqweho tol\ko ot y, na mnoΩestve Ω0 v toçke nul\. Tohda deg , ,( )′Y Ω0 0 budet funkcyej ot z. Tak kak F udovletvorqet uslovyqm teorem¥I1, moΩno v¥brat\ posledova- tel\nost\ ( )fn n N∈ lokal\no lypßycev¥x pryblyΩenyj dlq F takyx, çto β( ( ), ( ))graph graphf Fn → 0, n → ∞ , y udovletvorqgwyx uslovyg deg , , deg , ,( ) ( )′ ≡Y fn yΩ Ω0 00 0 ∀n, hde fn y — y- sostavlqgwaq funkcyy fn ( ( ) ),f f fn n y n z T= . Dlq prostot¥ oboznaçym I T= [ , ]0 2 y M C I X= ( ; ). Na Dδ opredelym otobraΩenye F : x0 → x M x t F x t x x∈ ∈ ={ }: ˙( ) ( ( )), ( )0 0 . Zdes\ F Y Z= ( ), T , hde Y ∈Rn1 , Z ∈Rn2 — sootvetstvenno y- y z-sostavlq- gwye mnoΩestva reßenyj (5). Dlq kaΩdoho n opredelym otobraΩenye θ δn D M: � ; θn x( )0 — edynst- venn¥j πlement x yz M takoj, çto ˙( ) ( ( ))x t f x tn= ∀ ∈t I , (6) x x( )0 0= . Yz klassyçeskoj teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj yzvest- no, çto otobraΩenye ( , ) ( ) ( )( )t x x tn 0 0� θ qvlqetsq neprer¥vn¥m. Oboznaçym çerez ϕn y ψn y - y z -sostavlqgwye edynstvennoho reßenyq θn x( )0 = = ( )( ), ( )ϕ ψn n Tx x0 0 . V [3] pokazano, çto dlq lgboho ε > 0 suwestvuet n takoe, çto β θ ε( ( ), ( ))graph graphn F < . Yz πtoho sleduet, çto dlq lgboho ε > 0 suwestvuet n takoe, çto β ϕ ε( ( ), ( ))graph graphn Y < . Pust\ 0 < < −ε δ τ y m takovo, çto β ϕ ε( ( ), ( ))graph graphm Y < . Tohda dlq lgboho y0 0∈Ω suwestvuet z y0 0= ξ( ) takoe, çto ϕ ξm y y t( ), ( ) ( )0 0 0∈Ω ∀ ∈t T T[ , ]2 . (7) Opredelym funkcyg h Y: [ , ]0 1 0× ′Ω � sledugwym obrazom: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NEOBXODYMOE USLOVYE STABYLYZYRUEMOSTY … 1439 h s y( , )0 = T f y y s s y y sT y s m y m ( ) ( ( )) , ( ) , , , ( ) ( ) , . 0 0 0 0 0 0 1 0 1 ξ ϕ ξ = −[ ] < ≤     Dannaq funkcyq neprer¥vna. PokaΩem, çto h s y( , )0 0≠ dlq lgb¥x ( , ) [ , ]s y0 00 1∈ × ∂Ω . PredpoloΩym, çto h y( , )0 00 = dlq nekotoroho y0 0∈∂Ω . Tohda f y ym y( ), ( )0 0 0ξ = y, sledovatel\no, ϕ ξm y y t y( ), ( ) ( )0 0 0= ∀ ∈t I , y0 0∈∂Ω , çto protyvoreçyt (7). PredpoloΩym, çto h s y( , )0 0= dlq nekoto- r¥x ( , ) ( , ]s y0 00 1∈ × ∂Ω . Tohda ϕ ξm y y sT y( ), ( ) ( )0 0 0= , otkuda ϕ ξm y y( ), ( )0 0 I× × ( )nsT y= 0 ∀ ∈n N , ns ≤ 2, y0 0∈∂Ω . Ytak, suwestvuet n ∈ N takoe, çto 1 ≤ ns ≤ 2 y ϕ ξm y y nsT y( ), ( ) ( )0 0 0 0= ∈∂Ω , çto protyvoreçyt (7). Takym ob- razom, ustanovleno, çto h s y( , )0 qvlqetsq homotopyej dlq otobraΩenyj f y ym y( ), ( )0 0ξ y g y y y T ym m( ) ( ), ( ) ( )0 0 0 0= −ϕ ξ . Rassmotrym funkcyg h s y s g y sym1 0 0 01( , ) ( ) ( )= − − . Dannaq funkcyq qvlq- etsq homotopyej dlq otobraΩenyj g ym( )0 y l y ym( )0 0= − . Yz svojstv stepeny otobraΩenyj poluçaem deg , , deg , , deg , , deg , ,( ) ( ) ( ) ( )′ = = = ≠Y f g lB m y B m B mΩ Ω Ω Ω0 0 0 00 0 0 0 0. Takym obrazom, 0 0∉ ′ ∂Y ( )Ω y d Y y y( ( )), , ( )0 00 0′ >ξ dlq lgboho y∈∂Ω0 . Dalee, pokaΩem, çto otobraΩenye y d Y y y� ( ( )), , ( )0 ′ ξ qvlqetsq polunepre- r¥vn¥m snyzu na ∂Ω0 . Pust\ y∈∂Ω0 budet proyzvol\n¥m y ( )yn ⊂ ∂Ω0 — po- sledovatel\nost\, sxodqwaqsq k y. V¥berem podposledovatel\nost\ ( )ynk ta- kug, çto lim , , ( )( ( )) k n nd Y y y k k→∞ ′0 ξ = lim inf , , ( )( ( )) n n nd Y y y →∞ ′0 ξ , y ( )qk takye, çto q d Y y yk n nk k = ′( ( )), , ( )0 ξ . Yz poluneprer¥vnosty sverxu ′Y y y( ), ( )ξ dlq vsex ε > 0 ymeem q Y y yk n nk k ∈ ′( ), ( )ξ ⊂ ′ +Y y y B( ), ( )ξ ε dlq lgboho dostatoçno bol\ßoho k . Yz kompaktnosty ′Y y y( ), ( )ξ sleduet, çto ( )qk ymeet sxodqwugsq podposledovatel\nost\ s predelom q Y y y∈ ′( ), ( )ξ . Otsgda d Y y y Y y y( ( )), , ( ) min ( , ( ))0 ′ = ∈ ′ξ ξv v ≤ ≤ q q d Y y y k k n n n= = ′ →∞ →∞ lim lim inf , , ( )( ( ))0 ξ . Takym obrazom, y d Y y y� ( ( )), , ( )0 ′ ξ — poloΩytel\no opredelennoe y po- luneprer¥vnoe snyzu otobraΩenye na kompakte ∂Ω0 . Poπtomu suwestvuet skalqr µ > 0 takoj, çto p Y∉ ′ ∂( )Ω0 ∀ ∈p Bµ . Yz teorem¥I2 sleduet, çto deg , ,( )′Y pΩ0 = deg , ,( )′Y Ω0 0 ≠ 0 ∀ ∈p Bµ . Ytak, dlq lgboho p B∈ µ suwest- vuet y∈Ω0 takoe, çto y Y y y∈ ′( ), ( )ξ . Sledovatel\no, p B∈ µ qvlqetsq ob- razom nekotoroj toçky ( , )y u B Rm∈ ×δ . Teorema dokazana. Sledstvye. Esly obratnaq svqz\ k ( y, z ) πkvystabylyzyrugwaq po otno- ßenyg k peremenn¥m y, to ona takΩe πkvysΩymagwaq po otnoßenyg k pere- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1440 A. M. KOVALEV, N. V. KRAVÇENKO, V. N. NESPYRNÁJ menn¥m y. Takym obrazom, teoremaI3 qvlqetsq neobxodym¥m uslovyem dlq stabylyzacyy po çasty peremenn¥x nelynejn¥x system v klasse razr¥vn¥x up- ravlenyj. Zameçanye�1. Po sravnenyg s rabotoj [5] v πtoj teoreme ne trebuetsq dyf- ferencyruemosty prav¥x çastej system¥ (2), dostatoçno lyß\ yx neprer¥vno- sty. PredpoloΩenye o z-prodolΩymosty reßenyj soxranqetsq, a trebovanye y-stabylyzyruemosty oslablqetsq do y-sΩymaemosty. Odnako poqvlqetsq us- lovyeI2 soxranenyq v¥puklosty po upravlenyg, analohyçnoe odnomu yz uslovyj teorem¥ Rajena [3]. ∏to uslovye zavedomo v¥polnqetsq dlq affynn¥x system s razr¥vn¥m upravlenyem, kohda pravaq çast\ doopredelqetsq po Fylyppovu [4]. Takym obrazom, teoremaI3 obobwaet rezul\tat¥ rabot¥ [5] na sluçaj raz- r¥vn¥x upravlenyj. 5. Prymer. Po ßeroxovatoj ploskoj poverxnosty dvyΩetsq trexkolesnaq teleΩka. Ee poloΩenye opredelqetsq tremq obobwenn¥my koordynatamy: x, y — dekartov¥ koordynat¥ toçky pereseçenyq osy symmetryy teleΩky s os\g, na kotorug nasaΩen¥ kolesa, θ — uhol meΩdu os\g symmetryy teleΩky y os\g Ox . TeleΩka upravlqetsq s pomow\g peremenn¥x u1, u2 (uhlov¥e skorosty vrawenyq sootvetstvenno pravoho y levoho kolesa). Predpolahaem, çto kuzov teleΩky ne ysp¥t¥vaet vertykal\n¥x peremewenyj. V toçke ( x, y ) na ne- kotoroj v¥sote s pomow\g cylyndryçeskoho ßarnyra, os\ kotoroho paral- lel\na osy symmetryy teleΩky, podvesym nevesom¥j y nerastqΩym¥j ster- Ωen\, a k eho koncu prykrepym massyvn¥j ßaryk. Oboznaçym uhol meΩdu ver- tykal\noj os\g y sterΩnem çerez α. Poluçennaq model\ qvlqetsq nekotor¥m usloΩnenyem mexanyçeskoj modely teleΩky, rassmotrennoj v rabotax [7, 8]. Pry opredelennom sootnoßenyy meΩdu radyusom koles y razmeramy te- leΩky ee dvyΩenye budet podçynqt\sq uravnenyqm ˙ ( ) cosx u u= +1 2 θ, ˙ ( ) siny u u= +1 2 θ , (8) θ̇ = −u u1 2 , kotor¥e sledugt yz neholonomn¥x svqzej dlq koles teleΩky (uslovyq kaçenyq bez proskal\z¥vanyq y otsutstvye bokovoho proskal\z¥vanyq; perednee koleso moΩet skol\zyt\ po poverxnosty bez trenyq). Uravnenye LahranΩa 2-ho roda dlq peremennoj α (pry sootvetstvugwym obrazom v¥brannoj dlyne sterΩnq) ymeet vyd ˙̇ ( ˙ cos ˙ sin ˙ sin ) ˙ cosα θ θ θ α θ α− + +x y = – sin α . (9) Oboznaçym uhlovug skorost\ vrawenyq sterΩnq çerez ω α= ˙ . V¥polnym v systeme (8), (9) zamenu peremenn¥x z1 := θ, z x y2 : cos sin= +θ θ , z x y3 : sin cos= −θ θ, z4 := α , z5 := ω , v1 1 2:= −u u , v2 1 2 1 2 3: ( ) ( )= + − −u u u u z . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 Tohda dynamyka system¥ budet opys¥vat\sq uravnenyqmy ̇z1 1= v , ̇z2 2= v , ̇z z3 1 2= v , (10) ż z4 5= , ̇ ( sin ) cos sinz z z z z5 2 1 3 1 4 1 4 4= + + −v v v v . Uslovye Broketta po peremenn¥m z z z1 2 3, , dlq system¥ (10) ne v¥polnqet- sq. Sledovatel\no, sohlasno teoremeI3 systema ne moΩet b¥t\ stabylyzyrovana po πtym peremenn¥m daΩe s pomow\g razr¥vnoho upravlenyq. Zameçanye�2. Dlq ysxodnoj system¥ (8), (9) dlq peremenn¥x x, y, θ uslo- vye Broketta ne narußeno, no yz πtoho nel\zq sdelat\ v¥vod o stabylyzyruemo- sty, poskol\ku ono qvlqetsq lyß\ neobxodym¥m. Lyß\ rassmotrenye system¥ (10) pozvolqet utverΩdat\, çto ysxodnaq systema ne ymeet svojstva stabylyzy- ruemosty po çasty peremenn¥x. 1. Brockett R. W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Diffferential Geometric Control Theory / R. W. Brockett, R. S. Millman, H. J. Sussman. – Boston: Birkhauser, 1983. – P. 181 – 191. 2. Krasnosel\skyj M. A., Zabrejko P. P. Heometryçeskye metod¥ nelynejnoho analyza. – M.: Nauka, 1975. – 511 s. 3. Ryan E. P. On Brockett’s condition for smooth stabilizability and its necessity in a context of nonsmooth feedback // SIAM J. Control and Optim. – 1994. – 32, # 6. – P. 1597 – 1604. 4. Fylyppov A. F. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s razr¥vnoj pravoj çast\g. – M.: Nauka, 1985. – 224 s. 5. Zuiev A. L. On Brockett’s condition for smooth stabilization with respect to a part of the variables // Proc. ECC’99. – Karlsruhe, 1999. 6. Rumqncev V. V., Ozyraner A. S. Ustojçyvost\ y stabylyzacyq dvyΩenyq po otnoßenyg k çasty peremenn¥x. – M.: Nauka, 1987. – 253 s. 7. Nejmark G. Y., Fufaev N. A. Dynamyka neholonomn¥x system. – M.: Nauka, 1967. – 519 s. 8. Sontag E. D. Stability and stabilization: discontinuities and the effect of disturbances // Nonlinear Analysis, Differential Equations and Control / F. H. Clarke, R. Stern. – Dordrecht: Kluwer, 1998. – P. 551 – 598. Poluçeno 19.08.2005

Необходимое условие стабилизируемости по части переменных нелинейных систем в классе разрывных управлений

Репозитарії

Схожі ресурси