Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій

Отримано поточкові оцінки коопуклого наближення функцій із класу Wʳ, r > 3.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Дзюбенко, Г.А., Залізко, В.Д.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165556
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій / Г.А. Дзюбенко, В.Д. Залізко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 47–59. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165556
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1655562020-02-15T01:27:14Z Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій Дзюбенко, Г.А. Залізко, В.Д. Статті Отримано поточкові оцінки коопуклого наближення функцій із класу Wʳ, r > 3. We obtain pointwise estimates for the coconvex approximation of functions of the class Wʳ,r > 3. 2005 Article Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій / Г.А. Дзюбенко, В.Д. Залізко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 47–59. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165556 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Дзюбенко, Г.А. Залізко, В.Д. Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій Український математичний журнал
description	Отримано поточкові оцінки коопуклого наближення функцій із класу Wʳ, r > 3.
format	Article
author	Дзюбенко, Г.А. Залізко, В.Д.
author_facet	Дзюбенко, Г.А. Залізко, В.Д.
author_sort	Дзюбенко, Г.А.
title	Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій
title_short	Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій
title_full	Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій
title_fullStr	Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій
title_full_unstemmed	Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій
title_sort	поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165556
citation_txt	Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій / Г.А. Дзюбенко, В.Д. Залізко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 47–59. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT dzûbenkoga potočkovíocínkikoopuklogonabližennâdiferencíjovnihfunkcíj AT zalízkovd potočkovíocínkikoopuklogonabližennâdiferencíjovnihfunkcíj
first_indexed	2025-07-14T18:54:50Z
last_indexed	2025-07-14T18:54:50Z
_version_	1837649677835567104
fulltext	UDK 517.5 H. A. Dzgbenko (MiΩnar. mat. centr NAN Ukra]ny, Ky]v), V. D. Zalizko (Nac. ped. un-t, Ky]v) POTOÇKOVI OCINKY KOOPUKLOHO NABLYÛENNQ DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ Pointwise estimates of the coconvex approximation of functions belonging to the class W r , r > 3, are obtained. Otrymano potoçkovi ocinky koopukloho nablyΩennq funkcij iz klasu W r , r > 3. 1. Vstup. Nexaj W r , r ∈ N, — mnoΩyna funkcij f ∈ C [ – 1, 1 ], qki magt\ ( r – – 1 )-ßu absolgtno neperervnu poxidnu na I : = [ – 1, 1 ] i dlq qkyx pry majΩe vsix x ∈ I vykonu[t\sq nerivnist\ \| f ( r ) ( x ) \| ≤ 1. Poznaçymo çerez Y : = yi i s{ } =1, s ∈ N, nabir z s fiksovanyx toçok yi : ys + 1 : = –1 < ys < … < y1 < 1 = : y0. Nexaj ∆ ( 2 ) ( Y ) — mnoΩyna neperervnyx na I funkcij, qki [ opuklymy dony- zu na vidrizku [ yi + 1, yi ], qkwo i — parne, i opuklymy dohory na tomu Ω samomu vidrizku, qkwo i — neparne. Funkci] z ∆ ( 2 ) ( Y ) nazyvagt\sq koopuklymy. Nexaj Π ( x ) : = Π ( x, Y ) : = i s ix y = ∏ − 1 ( ), Π ( x, ∅ ) ≡ 1 (zauvaΩymo, wo qkwo f [ dviçi dyferencijovnog, to f ∈ ∆ ( 2 ) ( Y ) ⇔ ⇔ f ′′ ( x ) Π ( x ) ≥ 0, x ∈ I ), ρn ( x ) := 1 2− x n + 1 2n , n ∈ N, x ∈ I. U cij roboti dovedeno nastupnu teoremu. Teorema 1. Qkwo r > 3, s ≥ 2 i f ∈ W r ∩ ∆ ( 2 ) ( Y ), to dlq koΩnoho natu- ral\noho n > N ( Y, r ) isnu[ alhebra]çnyj mnohoçlen Pn stepenq ≤ n takyj, wo ′′P x xn ( ) ( )Π ≥ 0, x ∈ I, (1) \| f ( x ) – Pn ( x ) \| ≤ C ( Y, r )ρn r x( ), x ∈ I, (2) de N ( Y, r ) i C ( Y, r ) — stali, qki zaleΩat\ lyße vid min ( ), ,i s i iy y= … +−0 1 i r. Dlq r = 1, 2, 3 teorema 1 takoΩ [ spravedlyvog. Dlq r = 1, 2 vona [ na- slidkom rezul\tativ roboty [1], a dlq r = 3 — roboty [2]. Dlq s =1, r > 2 teorema 1, vzahali kaΩuçy, ne [ virnog (dyv. [1], teorema 2). Z [1, 2], teoremy 1 i roboty [3] (dlq „malyx” n) vyplyva[ taka teorema. Teorema 2. Qkwo r ∈ N, s ≥ 2 i f ∈ W r ∩ ∆ ( 2 ) ( Y ), to dlq koΩnoho natu- ral\noho n ≥ r – 1 isnu[ alhebra]çnyj mnohoçlen Pn stepenq ≤ n takyj, wo Pn ∈ ∆ ( 2 ) ( Y ), \| f ( x ) – Pn ( x ) \| ≤ C ( Y, r )ρn r x( ), x ∈ I, (3) de C ( Y, r ) — stala, qka zaleΩyt\ lyße vid min ( ), ,i s i iy y= … +−0 1 i r. © H. A. DZGBENKO, V. D. ZALIZKO, 2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 47 48 H. A. DZGBENKO, V. D. ZALIZKO Na cej ças vΩe otrymano toçni za porqdkom rivnomirni i potoçkovi ocinky qk çysto opukloho ( s = 0, tobto bez toçok perehynu), tak i koopukloho (s ≥ 1) na- blyΩennq nedyferencijovnyx ( r = 0 ) i „slabko” dyferencijovnyx ( r = 1, 2 ) funkcij (dyv., napryklad, [2, 4]). Navedemo çotyry rezul\taty wodo (ko)opuk- loho nablyΩennq funkcij dlq vypadku r ≥ 3. Dlq s = 0 potoçkovu ocinku u klasyçnij formi \| f ( x ) – Pn ( x ) \| ≤ c ( r, k )ρn r x( )ωk ( f ( r ); ρn ( x ) ), x ∈ I, n ≥ k + r – 1, (4) de ωk ( ⋅ ) — k-j modul\ neperervnosti i c ( r, k ) — stala, bulo dovedeno v [5] ( r = = 0, k = 3 ) i Maniq (dyv. [6, c. 148]) ( r > 1, k ∈ N ). U roboti [7] vstanovleno, wo (4) ne vykonu[t\sq dlq r = 0, k ≥ 4 (navit\ z 1 / n zamist\ ρn ( x ) ). Dlq s ≥ 1 analohiçnyj nehatyvnyj rezul\tat dovedeno v [8]. Kopotun, Leviatan i Íevçuk lgb’qzno povidomyly, wo nymy dovedeno rivnomirnyj analoh ocinky (4) ( s ≥ 1, r ≥ 3, k ∈ N ), qkyj vklgça[ modul\ neperervnosti Ditzian – Totik. Zahal\nu sxemu dovedennq teoremy 1 zapozyçeno v [9, 10]. Vona ©runtu[t\sq na ide] DeVore [11] zobraΩennq poxidno] (tut f ′′ ( x ) ) sumog dvox funkcij: „ve- lyko]” i „malo]”, na vykorystanni polinomial\nyx qder typu Dzqdyka [12, 6] i na „monotonnomu” rozbytti odynyci DeVore i Yu [13]. Teoremu 1 bude dovedeno v p.G2. U p. 3 u zruçnij dlq nas formi navedeno mirkuvannq z [3], qki dovodqt\ teo- remu 2 dlq r – 1 ≤ n ≤ N ( Y, r ). 2. Oznaçennq i dopomiΩni tverdΩennq. 1. Nexaj toçky x j := x j, n := := cos ( j π / n ), j = 0, … , n, skladagt\ çebyßovs\ke rozbyttq vidrizka I. Poznaçymo Ij : = I j, n : = [ x j , x j – 1 ], hj : = hj, n : = x j – 1 – x j , j = 1, n. Bez special\nyx posylan\ budemo vykorystovuvaty nerivnosti hj ± 1 ≤ 3 hj , ρn ( x ) < hj < 5 ρn ( x ), x ∈ Ij , ρn y2( ) < 4 ρn ( x ) x y xn− +( )ρ ( ) , x, y ∈ I, 2 x y xn− +( )ρ ( ) > \| x – y \| + ρn ( y ) > x y xn− + ρ ( ) 2 , x, y ∈ I . Dlq fiksovanyx n ∈ N i Y = yi i s{ } =1 poznaçymo Oi : = Oi, n : = Oi, n ( Y ) : = ( x j + 2, x j – 3 ), qkwo yi ∈ [ x j , x j – 1 ), de xn + 2 = xn + 1 : = – 1, x– 1 = x– 2 = x– 3 : = 1, O : = O ( n, Y ) : = i s iO =1 ∪ . Budemo pysaty j ∈ H : = H ( n, Y ), qkwo Ij ∩ O = ∅, j = 1, n. Vyberemo çyslo N ( Y ) tak, wob dlq koΩnoho n ≥ N ( Y ) bud\-qkyj interval ( yi + 1, yi ), i = 1 1, s − , mistyv prynajmni sim riznyx vidrizkiv Ij . Çerez c budemo poznaçaty dodatni stali, qki moΩut\ zaleΩaty lyße vid r, s i deqkoho fiksovanoho çysla b ∈ N, tobto c : = c ( r, s, b ). Ci stali, vzahali ka- Ωuçy, [ riznymy, navit\ qkwo vony znaxodqt\sq v odnomu rqdku. Qkwo dali [ posylannq na znaçennq cyx stalyx, to budemo pysaty cν : = cν ( r, s, b ). Dotry- mugçys\ [6], poklademo ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 POTOÇKOVI OCINKY KOOPUKLOHO NABLYÛENNQ DYFERENCIJOVNYX … 49 tj ( x ) : = tj, n ( x ) : = cos arccos2 0 2 2n x x x j−( ) + sin arccos2 2 2n x x x j−( ) , n ∈ N, de x j = cos j n −( )/1 2 π , x j 0 = cosβ j 0 , β j 0 = j n j n j n j n −( ) ≤ −( ) >      / / 1 4 2 3 4 2 π π , , , . koly koly , Toçky x j i x j 0 [ nulqmy vidpovidnyx çysel\nykiv i znaxodqt\sq stroho v sere- dyni Ij , a tj — alhebra]çni mnohoçleny stepenq 4 n – 2 taki, wo tj ( x ) ≤ c x x hj j− +( )2 ≤ c tj ( x ), x ∈ I t x h x Ij j j( ) ,≤ ∈    103 2 . Naslidugçy [1, 4, 5], dlq koΩnoho j ∈ H rozhlqnemo çotyry mnohoçleny ste- penq c n: Tj ( x ) : = Tj, n ( x; b; Y ) : = 1 1 d t u u du j x j b − ∫ ( ) ( )Π , T xj ( ) : = T x b Yj n, ( ; ; ) : = 1 1 1 1 d u x x u t u u du j x j j j b − − +∫ − −( )( ) ( ) ( )Π , de dj : = dj, n ( b; Y ) : = − ∫ 1 1 t u u duj b( ) ( )Π , dj : = d b Yj n, ( ; ) : = − − +∫ − − 1 1 1 1( )( ) ( ) ( )u x x u t u u duj j j b Π , i τj ( x ) : = τj, n ( x; b; Y ) : = α − +∫ 1 1 x jT u du( ) + ( ) ( )1 1 1− − −∫α x jT u du , τ j x( ) : = τ j n x b Y, ( ; ; ) : = β − +∫ 1 1 x jT u du( ) + ( ) ( )1 1 1− − −∫β x jT u du , de α i β ∈ [ 0, 1 ] vybrano z umovy τj ( 1 ) = τ j ( )1 = 1 – xj , i T0 ( x ) ≡ T x0( ) : ≡ 0, Tn + 1 ( x ) ≡ T xn+1( ) : ≡ 1. Nexaj χ ( x; a ) : = 0 1 , , , , qkwo qkwo x a x a ≤ >     a ∈ I, ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 50 H. A. DZGBENKO, V. D. ZALIZKO χ j ( x ) : = χ ( x; xj ), ( x – a ) + : = ( x – a ) χ ( x; a ), Γj ( x ) : = Γj, n ( x ) : = h x x h j j j− + . ZauvaΩymo, wo hj Γj ( x ) ≤ c ρn ( x ), x ∈ I. (5) Lema 1 [1, 4, 5]. Qkwo j ∈H i b ≥ 6 ( s + 2 ), to ′′τ j jx x x( ) ( ) ( )Π Π ≥ 0, x ∈ I, (6) ′′τ ( ) ( ) ( )x x x jΠ Π ≤ 0, x ∈ I \ Ij , (7) ′ ±τ j ( )1 = ′ ±τ ( )1 = χ j ( ± 1 ), τ j ( ± 1 ) = τ( )±1 = ( ± 1 – xj )+, \| ( x – xj )+ – τ j ( x ) \| ≤ c1 hj ( Γj ( x ) ) 2 b – s – 2 , x ∈ I, (8) \| ( x – xj )+ – τ j x( ) \| ≤ c1 hj ( Γj ( x ) ) 2 b – s – 2 , x ∈ I, (9) \| χ j ( x ) – ′τ j x( ) \| ≤ c2 ( Γj ( x ) ) 2 b – s – 1 , x ∈ I, \| χ j ( x ) – ′τ j x( ) \| ≤ c2 ( Γj ( x ) ) 2 b – s – 1 , x ∈ I, ′′τ j x( ) ≤ c h x j j b s 3 21 Γ ( )( ) − , x ∈ I, (10) ′′τ j x( ) ≤ c h x j j b s 3 21 Γ ( )( ) − , x ∈ I. (11) Zokrema, qkwo j ≠ n, to c h x x xj j b j 4 21 Γ Π Π ( ) ( ) ( ) ≤ ′′τ j x( ) ≤ c h x x xj j b j 5 21 Γ Π Π ( ) ( ) ( ) , x ∈ I, (12) c h x x xj j b j 4 21 Γ Π Π ( ) ( ) ( ) ≤ ′′τ j x( ) ≤ c h x x xj j b j 5 21 Γ Π Π ( ) ( ) ( ) , x ∈ I \ Ij , (13) ′′τ j x( ) ≥ c h x j j b s 6 2 21 Γ ( )( ) + , x ∈ I \ O, (14) ′′τ j x( ) ≥ c h x j j b s 6 2 21 Γ ( )( ) + , x ∈ I \ ( O ∪ Ij ). (15) Krim toho, qkwo n ≥ N ( Y ), to ′′τ j x( ) ≥ c h x x y x yj j b s i j i 7 2 21 Γ ( )( ) − − + , x ∈ Oi , i = 1, s , (16) ′′τ j x( ) ≥ c h x x y x yj j b s i j i 7 2 21 Γ ( )( ) − − + , x ∈ Oi , i = 1, s . (17) ZauvaΩennq 1. Pry dovedenni lemy 1 bulo zastosovano, zokrema, nerivnosti Π Π ( ) ( ) x y ≤ x y yn s− +   ρ ( ) 1 , x ∈ I, y ∈ I \ O, ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 POTOÇKOVI OCINKY KOOPUKLOHO NABLYÛENNQ DYFERENCIJOVNYX … 51 γ j x2( ) < 16 Γj ( x ), Γj x2( ) < 400 γ j ( x ), x ∈ I, de γ j ( x ) : = ρ ρn j nx x x x( ) ( )/ − +( ) . Dovedennq ocinok (12) – (15) spyragt\sq na nerivnosti (6), (7) i totoΩnosti ′′τ j x( ) ≡ α ′+T xj 1( ) + ( ) ( )1 1− ′−α T xj , ′′τ j x( ) ≡ ≡ β ′+T xj 1( ) + ( ) ( )1 1− ′−β T xj , a dovedennq ocinok (16) i (17) — krim toho, na spivvidnoßennq Oi ∩ Oi – 1 = ∅, i = 2, s . Dali zafiksu[mo n ≥ N ( Y ). Dlq dovil\noho intervalu E = x xj j1 2 ,( ) ⊂ I, j1 > > j2 , poznaçymo * E : = x xj j1 21+( ), ∩ I; \| E \| : = x j2 – x j1 . Lema 2. Qkwo s ≥ 2 i funkciq g ∈ ∆ ( 2 ) ( Y ) ma[ „malen\ku” druhu poxidnu \| g ′′ ( x ) \| ≤ ρn r x−2( ), x ∈ I, r ≥ 3, (18) to isnu[ mnohoçlen Gn ( x ) : = Gn ( x; g ) stepenq c n takyj, wo ′′G x xn( ) ( )Π ≥ 0, x ∈ I, (19) i \| g ( x ) – Gn ( x ) \| ≤ c ( Y, r )ρn r x( ), x ∈ I, (20) de c ( Y, r ) — stala, qka zaleΩyt\ lyße vid min ( ), ,i s i iy y= … +−0 1 i r. Dovedennq. Nexaj L x( ) — neperervna lamana, qka interpolg[ g na I v koΩnij toçci naboru x j Hj , ∈{ } ∪ Y (tobto, vzahali kaΩuçy, L( )±1 ≠ g ( ± 1 ) ). Napevno L x( ) ∈ ∆ ( 2 ) ( Y ). „Pidpravymo” L tak, wob nova lamana L ∈ ∆ ( 2 ) ( Y ) i toçky Y ne buly ]] vuzlamy. Nexaj y yi i,( ) : = * Oi , i = 1, s , * O : = i s iO =1 ∪ * ; l ( x; a, b ) — prqma, qka interpolg[ g ( x ) v a i b; i — takyj parnyj indeks i = = 2, s , dlq qkoho Oi = max i iO− parne (qkwo takyx indeksiv dva, to nexaj i — bil\ßyj z nyx); analohiçno, i : Oi = max i iO− neparne . Dlq koΩnoho i = = 1, s poznaçymo li : = max ; , , ; , , , min ; , , ; , , , ′( ) ′( ){ } − ′( ) ′( ){ } −     l x y y l x y y i l x y y l x y y i i i i i i i i i qkwo parne qkwo neparne ∆i : = y y i i i l L t dt∫ − ′( )( ) (tobto ∆i ≥ 0, koly i — parne, i ∆i ≤ 0, koly i — neparne). Poklademo L ′ ( x; A, B ) : = ′ ∈ −( ) ∈ = ≠ ∨ ∈ ∈         L x x O l x O i s i i i A x O B x O i i i i ( ), , , , , , , , , , , , \ * * * * 1 1 1 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 52 H. A. DZGBENKO, V. D. ZALIZKO de çysla A ≥ li i B ≤ li vybrano z umovy L ( 1; A, B ) : = − ∫ ′ 1 1 L t A B dt( ; , ) = L( )1 . A same, nexaj ∆ : = L l li i1; ,( ) – L( )1 i A = li , B = li – ∆ Oi , qkwo ∆ ≥ 0, A = li – ∆ Oi , B = li , qkwo ∆ < 0. OtΩe, L ( x ) : = L ( x; A, B ) : = − ∫ ′ 1 x L t A B dt( ; , ) ∈ ∆ ( 2 ) ( Y ), i toçky Y ne [ vuzlamy L. Tomu Π ( xj ) [ xj + 1 , xj , x j – 1 ; L ] ≥ 0, j ∈ H, (21) [ xj + 1 , xj , x j – 1 ; L ] = 0, j ∉ H, (22) de [ ⋅ ] — druha podilena riznycq L. Ocinymo \| g ( x ) – L ( x ) \|, x ∈ I. Nerivnist\ \| g ( x ) – L ( x; xj , x j – 1 ) \| ≤ x x t j g u dudt∫ ∫ ′′ Θ ( ) ≤ cρn r x( ), Θ ∈ Ij , x ∈ [ xj + 1 , x j – 2 ], i analohiçna nerivnist\ dlq x ∈ Oi , i = 1, s , pryvodqt\ do ocinky g x L x( ) ( )− ≤ cρn r x( ), x ∈ I. Krim toho, dlq x ∈ −[ ]1, ys ∪ y1 1,[ ] L ( x ) – L x( ) ≡ 0; dlq reßty x vraxu[mo, wo \| ∆ \| ≤ ( )max , ,s i s i− = …1 1 ∆ , i todi L x L x( ) ( )− = y x s L t L t dt∫ ′ − ′( )( ) ( ) ≤ ≤ 2 1 1 ( ) max ( ) ( ) ( ) , , s l g t g t L t dt i s O i i − − ′ + ′ − ′ = … ∫ ≤ c y i s n r imax ( ) , ,= …1 ρ ≤ c8 ρn r x( ), de c8 — dodatna stala, qka zaleΩyt\ lyße vid min ( ), ,i s i iy y= … +−0 1 i r. OtΩe, \| g ( x ) – L ( x ) \| ≤ g x L x( ) ( )− + L x L x( ) ( )− ≤ c8 ρn r x( ), x ∈ I. (23) Zokrema, \| [ xj + 1 , xj , x j – 1 ; L ] \| = \| [ xj + 1 , xj , x j – 1 ; L – g + g ] \| ≤ ≤ c n r x n x j j 8 2 ρ ρ ( ) ( ) + 1 2 ′′g ( )Θ ≤ c n r x j8 2ρ − ( ), Θ ∈( xj + 1 , x j – 1 ), j = 1 1, n − . (24) Zobrazymo L u vyhlqdi ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 POTOÇKOVI OCINKY KOOPUKLOHO NABLYÛENNQ DYFERENCIJOVNYX … 53 L ( x ) ≡ l ( x ) + j n j j j j j jx x x L x x x x = − + − − + +∑ [ ] − − 1 1 1 1 1 1, , ; ( )( ) ≡ ≡ l ( x ) + j H j j j j j jx x x L x x x x ∈ + − − + +∑ [ ] − −1 1 1 1, , ; ( )( ) , (25) de l ( x ) : = [ xn , xn – 1 ; L ] ( x + 1 ) + L ( – 1 ); pry c\omu my skorystalys\ (22). Poklademo b1 = 6 ( s + 2 ) + r, τj ( x ) = τj, n ( x; b1 ; Y ), Gn ( x ) : = l ( x ) + j H j j j j j jx x x L x x x ∈ + − − +∑ [ ] −1 1 1 1, , ; ( ) ( )τ . (26) Nerivnosti (6) i (21) harantugt\ vykonannq spivvidnoßen\ x x x L x x x xj j j j j j+ − − +[ ] − ′′1 1 1 1, , ; ( ) ( ) ( )τ Π = = 1 2 1 1 1 1Π Π Π Π ( ) ( ) , , ; ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x L x x x x x j j j j j j j j j+ − − +[ ]( ) − ′′( )τ ≥ 0, x ∈ I, j ∈ H, wo pryvodyt\ do (19). Ocinka (20) vyplyva[ z (5), (8) i (23) – (26). A same, \| g ( x ) – Gn ( x ) \| ≤ \| g ( x ) – L ( x ) \| + \| L ( x ) – Gn ( x ) \| ≤ c8 ρn r x( ) + + j H j j j j j j jx x x L x x x x x ∈ + − − + +∑ [ ] − − −( )1 1 1 1, , ; ( ) ( ) ( )τ ≤ ≤ c8 ρn r x( ) + cc x x x x x x x xj H n r j j j n j n j j n j b s 8 2 1 1 2 21 ∈ − − + − − ∑ − − +     ρ ρ ρ ρ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ≤ ≤ c8 ρn r x( ) + cc h x j n j r j r s 8 1 11 = +∑ Γ ( ) ≤ ≤ cc x x h x x x n r n j n j j n 8 1 21ρ ρ ρ ( ) ( ) ( ) + − +( )    = ∑ ≤ c c8ρn r x( ), x ∈ I. Lemu 2 dovedeno. 2. Nexaj β : = arccos x, x ∈ I; α : = arccos y, y ∈ I; l : = 24 ( r – 1 ) s + 3 ( r – 1 ) + s + 3 i D2 l + 1, n, l ( y, x ) : = 1 2 2 1 2 1 2 ( )! ( ) ( ),l x x y J t dt l l l n l ∂ ∂ β α β α+ + − + − ∫ (27) — polinomial\ne qdro typu Dzqdyka [6, c. 129], de Jn, l ( t ) = 1 2 2 2 1 γ n l l nt t, ( ) sin sin / / ( ) ( )     + , γn, l = − + ∫ / / ( ) ( )     π π sin sin ( ) nt t dt l 2 2 2 1 — qdro typu DΩeksona. Nexaj funkciq g = g ( x ) [ neperervnog na I i Lr – 1 ( x; g ) poznaça[ mnoho- çlen LahranΩa stepenq ≤ r – 1, qkyj interpolg[ g u toçkax –1 + 2i / (r – 1), i = 0 1, r − . Lema 3 [6, c. 135]. Qkwo g ∈ W r , r ≥ 3 i g ′′ ( x ) = 0 dlq x ∈ F ⊂ I, t o mnohoçlen ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 54 H. A. DZGBENKO, V. D. ZALIZKO Dn ( x; g ) : = − − +∫ −( ) 1 1 1 2 1g y L y g D y x dyr l n l( ) ( ; ) ( , ), , + Lr – 1 ( x; g ) (28) stepenq c n nablyΩa[ g ta ]] poxidni na I tak, wo g x D x gp n p( ) ( )( ) ( ; )− ≤ c x x x I F xn r p n n l r 9 2 ρ ρ ρ − − ( ) +     ( ) ( ) , ( )\dist , (29) p = 0 ∨ 1 ∨ 2 ∨ 3, x ∈ I, zokrema g x D x gp n p( ) ( )( ) ( ; )− ≤ c xn r p 9 ρ − ( ), x ∈ I. (30) 3. Dlq koΩnoho i = 1, s poznaçymo Yi : = Y \ yi{ }; x xj ji i+ −( )3 3, : = Oi ; ji : = ji + 2, a u vypadku js + 2 = – 1 nexaj js * : = js – 2; τ∨i n x, ( ) : = τ j n i i x b Y* , ( ; ; )2 – τ j n i i x b Y* , ( ; ; )2 , de b2 : = l – r + s – 1. Nexaj Kn ( x ) : = 1 1 , , , , , . \qkwo qkwo x I O x y h x O O i si j i i ∈ − ∈ ⊂ =     Lema 4. Qkwo g ∈ W r , g ′′ ( x ) = 0, x ∈ F ⊂ I, i g ′′ ( yi ) = 0, i = 1, s , t o mnohoçlen Qn ( x; g ) : = Dn ( x; g ) – j s n i i n i i n D y g y x = ∑ ′′ ′′ ∨ ∨ 1 ( ; ) ( ) ( ) , , τ τ (31) stepenq c n zadovol\nq[ nerivnosti \| g ( x ) – Qn ( x; g ) \| ≤ c xn r 10 ρ ( ), x ∈ I, (32) \| g ′′ ( x ) – ′′Q x gn ( ; ) \| ≤ c x x x I F xn r n n l r 11 2 2 ρ ρ ρ − − ( ) +     ( ) ( ) , ( )\dist Kn ( x ), x ∈ I, (33) zokrema \| g ′′ ( x ) – ′′Q x gn ( ; ) \| ≤ c x K xn r n11 2ρ − ( ) ( ) , x ∈ I. (34) Dovedennq. Z rivnosti g ′′ ( yi ) = 0 i ocinok (30), (5) – (9), (14), (15) vyplyva[ nerivnist\ V xi n, ( ) : = ′′ ′′ ∨ ∨D y g y xn i i n i i n ( ; ) ( ) ( ) , , τ τ ≤ ≤ c y c h y c h xn r i j j i b s j j b s i i i i 9 2 6 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 ρ − + − − − −( )    ( )( ) ( ) ( ) * * * * ( ) Γ Γ ≤ ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 POTOÇKOVI OCINKY KOOPUKLOHO NABLYÛENNQ DYFERENCIJOVNYX … 55 ≤ ch x j r j b s i i * * ( )Γ( ) − −2 12 ≤ c xn rρ ( ), x ∈ I. Tomu nerivnist\ (32) vykonu[t\sq. Analohiçno (29), (10) i (11) pryvodqt\ do ocinky ′′V xi n, ( ) ≤ ≤ c y y y I F y c h c h xn r i n i i n i l r j j j b s i i i 9 2 2 1 3 2 11 2 1 2 ρ ρ ρ − − − − − ( ) +           ( )( ) ( ) , ( ) ( ) \ * * * ( ) dist Γ ≤ ≤ c x y y I F y x x y xn r n i i n i l r n i n b s r ρ ρ ρ ρ ρ − − − − − −( ) ( ) +     − +     / 2 2 2 1 2 22 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )\ ( ) ( ) dist ≤ ≤ c x x x I F xn r n n l r ρ ρ ρ − − ( ) +     2 2 ( ) ( ) , ( )\dist = : c xn rρ −2( )Ω , x ∈ I, (35) z qko] z uraxuvannqm (29) otrymu[mo (33), koly x ∈ I \ O. Z (35) i nerivnosti Dzq- dyka dlq modulq poxidno] alhebra]çnoho mnohoçlena [14] (abo dyv. [6, c. 120]) vyplyva[ ocinka ′′′V xi n, ( ) ≤ c xn rρ −3( )Ω , x ∈ I. Cq ocinka razom z umovog g ′′ ( yi ) = 0 i (29) harantugt\ vykonannq (33) dlq x ∈ Oi ⊂ O, i = 1, s . Dijsno, \| g ′′ ( x ) – ′′Q x gn ( ; ) \| = y x n i s i n i g u D u g V u du∫ ∑′′′ − ′′′ + ′′′ = ( ) ( ; ) ( ), 1 ≤ ≤ c x y h h xi j j n r i i − −ρ 3( )Ω ≤ c x K xn r n11 2ρ − ( ) ( )Ω . Lemu 4 dovedeno. Lema 5. Qkwo mnoΩyna E ⊂ I \ O sklada[t\sq z qkyx-nebud\ vidrizkiv Ij , to mnohoçlen Un ( x ) : = Un ( x; E ) : = j I E j r j n j n j j h x b Y x b Y x : , ,( ; ; ) ( ; ; ) ( ) ⊂ −∑ −( )1 3 3τ τ Sign Π , (36) b3 : = 6 ( s + 2 ) + r, stepenq c n zadovol\nq[ nerivnosti \| Un ( x ) \| ≤ c xn r 12 ρ ( ), x ∈ I, (37) ′′U xn( ) ≤ c xn r 13 2ρ − ( ) , x ∈ I, (38) ′′U xn( ) ≥ c x x x E x K xn r n n l r n14 2 2 1 ρ ρ ρ − − − +     ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) dist , x ∈ I \ E, (39) ′′U x xn( ) ( )Π ≥ 0, x ∈ I \ E. (40) Dovedennq. Na pidstavi (5) z ocinok (8) i (9) vyplyva[ (37); z (10) i (11) — (38); z (6) i (7) — (40); z (6), (7) i (14) – (17) — (39). Lemu 5 dovedeno. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 56 H. A. DZGBENKO, V. D. ZALIZKO Lema 6. Qkwo g ∈ W r i na vidrizku Jj : = ν ν = + 0 20r jI∪ , j = 1 20, n r− , sered usix Ij + ν znajdet\sq prynajmni 2 r – 1 vidrizkiv I j p+ν , 0 ≤ ν1 < ν2 < … … < ν2 r – 1 ≤ 20 r, takyx, wo na koΩnomu z nyx [ xoça b odna toçka x̃ j p+ν ∈ I j p+ν , p = 1 2 1, r − , v qkij g x j p ˜ +( )ν ≤ ρ νn r jx p ˜ +( ), to dlq vsix x ∈ Jj vykonu[t\sq nerivnist\ \| g ( x ) \| ≤ c r xn r 15( ) ( )ρ . Lemu 6 dovodqt\, vykorystovugçy nerivnist\ Whitney [15]. Zaznaçymo, wo \| Jj \| = mes Jj ≤ c xn16 ρ ( ), x ∈ Jj . (41) 3. Dovedennq teoremy 1. Nexaj f ∈ W r ∩ ∆ ( 2 ) ( Y ). Zobrazymo funkcig f ′′ ( x ) u vyhlqdi sumy „malen\ko]” g1 = g1 ( x ) i „velyko]” g2 = g2 ( x ) funkcij. Poznaçymo A : = max { c13 + c11 , 1 }. (42) Oznaçennq 1. Nexaj j = 1, n. Budemo pysaty j ∈ V1 , qkwo \| f ′′ ( x ) \| ≤ A c15 ( r – 2 )ρn r x−2( ), x ∈ Ij ; j ∈ V2 , qkwo j ∉ V1 , O ∩ ν ν=− +3 3∪ I j = ∅ i \| f ′′ ( x ) \| ≥ Aρn r x−2( ), x ∈ Ij ; j ∈ V3 , qkwo j ∉ V1 ∪ V2. Poklademo E1 : = j V jI ∈ 1 ∪ ; E2 : = j V jI ∈ 2 ∪ ; E3 : = j V jI ∈ 3 ∪ . MnoΩyna E3 (qkwo E3 ≠ ∅ ) sklada[t\sq z (skinçennoho çysla) vidrizkiv a bν ν,[ ] = : lν , qki ne peretynagt\sq. KoΩen vidrizok lν zhidno z lemog 6 (dlq f ′′ ∈ W r–2 ) ne moΩe skladatys\ iz bil\ß niΩ 20 ( r – 2 ) vidrizkiv Ij . (Inßymy slovamy, qkwo j ∈ V3 , to miΩ indeksamy j, j + 1, … , j + 20 ( r – 2 ) znajdet\sq prynajmni odyn, qkyj ne naleΩyt\ V3 .) Poznaçymo E1, 3 : = E1 ∪ ν ν ν:l E l ∩ ∪ 1 ≠ ∅       . Budemo vvaΩaty E1, 3 ≠ I (abo, wo te same, E 2 ≠ ∅ ), inakße \| f ′′ ( x ) \| ≤ ≤ Ac r xn r 15 2 22( ) ( )− −ρ , x ∈ I, i teorema 1 vyplyva[ z lemy 2. Nexaj kµ — vidrizky, qki ne peretynagt\sq i skladagt\ E1, 3 = µ µ∪ k . Çerez k pµ poznaçymo ti z nyx, qki skladagt\sq z tr\ox i çotyr\ox vidrizkiv Ij (qkwo taki [). Poklademo G1 : = E k p p1 3, \ ∪ µ , G2 : = I G\ 1 ⊃ E2 . Nexaj G2 * : = G n2 ( ) poznaça[ ob’[dnannq vsix Ij , j = 1, n, takyx, wo Ij ∩ G2 ≠ ≠ ∅; G2 * : = G n2 *( ) — ob’[dnannq vsix Ij takyx, wo Ij ∩ G2 ≠ ∅; analohiç- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 POTOÇKOVI OCINKY KOOPUKLOHO NABLYÛENNQ DYFERENCIJOVNYX … 57 no, G2 * = G2 ( ) = G2 * ( )( ) . Oçevydno, G2 ⊂ G2 ⊂ G2 ⊂ G2 * ⊂ I . Dlq koΩnoho j = 1, n poznaçymo Sj ( x ) : = x x j r j r x x j r j r j j j y x x y dy y x x y dy∫ ∫− − − −       − − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 2 1 1 . Oznaçennq 2. Nexaj x ∈ Ij . Poklademo g1 ( x ) : = 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( ), , ( ) ( ), , ( ) ( ) , , * * * ** * * \ \ \ qkwo qkwo qkwo i qkwo i I G f x I I G f x S x I G G x G f x S x I G G x G j j j j j j j j ⊂ ′′ ⊂ ′′ ⊂ ∈ ′′ −( ) ⊂ ∉           g2 ( x ) : = f ′′ ( x ) – g1 ( x ). Vvedemo f1 ( x ) : = f ( –1 ) + f ′ ( –1 ) ( x + 1 ) + − − ∫ ∫ 1 1 1 x t g u dudt( ) , f2 ( x ) : = − − ∫ ∫ 1 1 2 x t g u dudt( ) (tobto f ( x) = f x f x1 2( ) ( )+ ). Vidmitymo, wo f1, f2 ∈ c W r 17 ∩ ∆( )( )2 Y (43) i ′′f x1 ( ) ≤ c Ac r xn r 17 15 2 22( ) ( )− −ρ , x ∈ I. (44) Poznaçymo A1 : = max ( ) , ( ) c c c c c r l r r 17 2 17 11 16 2 1 14 3 1− − − − +       , c c c c c c l r r l r r 17 11 2 1 14 3 17 11 2 1 14 2 14 66− − − − − −            , , n 1 : = [ A1 + 1 ] n, de [ ⋅ ] — cila çastyna. ZauvaΩymo, wo A x x n n 1 1 ρ ρ ( ) ( ) < 1, x ∈ I. (45) Dovedemo, wo mnohoçlen P xn1 ( ) : = G x f Q x f U x En n n( ; ) ( ; ) ( ; )1 2 21 + + , (46) vyznaçenyj za formulamy (26), (31) i (36), [ ßukanym v teoremi 1. Nerivnist\ (2) bezposeredn\o vyplyva[ z ocinok (44), (20), (32) i (37). Dovedemo (1), tobto dovedemo nerivnist\ ′′ + ′′ + ′′ − ′′ + ′′( )G x f x f x Q x f f x U x E xn n n( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( )1 2 2 2 21 Π Π = : = : Ψ Ψ1 2( ) ( )x x+ ≥ 0, x ∈ I. (47) Nerivnist\ Ψ1( )x ≥ 0, x ∈ I, [ naslidkom (43) i (19). Zhidno z (43) i (40) ocinka ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 58 H. A. DZGBENKO, V. D. ZALIZKO ′′ − ′′ − ′′ + ′′f x Q x f f x U x En n2 2 2 21 ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ≥ 0, x ∈ I, (48) pryvodyt\ do nerivnosti Ψ2( )x ≥ 0, x ∈ I. Dlq dovedennq (48) rozhlqnemo çotyry vypadky. Pry c\omu budemo vraxovuvaty oznaçennq 1 i 2 ta (33), (38) – (43), (45). Qkwo: 1) x ∈ E2 , tobto ′′f x2 ( ) = ′′f x( ) ≥ A xn rρ −2( ) i K xn( ) = 1, to (48) vyplyva[ z nerivnosti A x c c x c xn r n r n rρ ρ ρ− − −− −2 17 11 2 13 2 1 ( ) ( ) ( ) ≥ 0; 2) x ∈ G E2 2\ , tobto ′′f x2 ( ) = ′′f x( ), to z uraxuvannqm nerivnosti ρn nx K x 1 1 ( ) ( ) ≤ ρn nx K x( ) ( ), x ∈ I (49) (qka [ pravyl\nog dlq bud\-qkoho n1 ≥ n) ma[mo − + +     − − − − c c x K x c x x x E x K xn r n n r n n l r n17 11 2 14 2 2 2 1 1 1 ρ ρ ρ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) dist ( , ) ( ) ( ) ≥ ≥ − + + − − − −c c x K x c c x K xn r n l r n r n17 11 2 14 16 2 1 2 1 1 1 ρ ρ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≥ 0, tomu ocinka (48) tym bil\ße vykonu[t\sq: 3) x ∈ I G\ * 2 , tobto ′′f x2 ( ) = 0, to z uraxuvannqm (49) i nerivnosti 14 dist , x G2( ) > dist ( , ) ( )x E xn2 + ρ ma[mo − +     − − c c x x x G x K xn r n n l r n17 11 2 2 2 1 1 1 1 ρ ρ ρ ( ) ( ) dist ( , ) ( ) ( ) + + c x x x E x K xn r n n l r n14 2 2 2 1 ρ ρ ρ − − − +     ( ) ( ) dist ( , ) ( ) ( ) ≥ 0, zvidky vyplyva[ (48); 4) x ∈ G G2 2 * \ , to x ∉ O i (48) [ naslidkom nerivnosti − +− − − −c c x c x n r n r l r17 11 2 14 2 2 11 66 ρ ρ ( ) ( ) ≥ 0. Takym çynom, ocinku (48) dovedeno dlq vsix x ∈ I. Teoremu 1 dovedeno. 4. Dovedennq teoremy 2 dlq „malyx” n. Nexaj n = r – 1. Rozhlqnemo dva vypadky: 1. Nexaj s ≥ r – 2. Oskil\ky ′′f yi( ) = 0 dlq vsix i = 1 2, r − , to L x f( ; )′′ : = : = L x f y yr( ; ; , , )′′ … −1 2 ≡ 0, de L — mnohoçlen LahranΩa stepenq ≤ r – 3, qkyj interpolg[ ′′f x( ) v yi , i = 1 2, r − . Todi z nerivnosti ′′f x( ) = y y x f x yr i r i1 2 1 2 , , , ;… ′′[ ] −− = − ∏ ≤ c ( r ) , f ∈ Wr , r ≥ 3, (50) de [ ⋅ ] — podilena riznycq funkci] f ′′ v y yr1 2, ,… − i x, vyplyva[, wo mnoho- çlen P xr−1( ) : = f f x( ) ( )( )− + ′ − +1 1 1 [ ßukanym v teoremi 2 (c ( r ) ≤ C ( Y, r )ρC Y r x( )( ), x ∈ I). ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 POTOÇKOVI OCINKY KOOPUKLOHO NABLYÛENNQ DYFERENCIJOVNYX … 59 2. Nexaj s < r – 2. Do toçok yi , i = 1, s , dodamo r – 2 – s rivnoviddalenyx toçok yi , i = s r+ −1 2, , – 1 = ys+1 < ys+2 < … yr−2 < ys . ZauvaΩymo, wo analohiçno (50) vykonu[t\sq nerivnist\ ′′ − ′′f x L x f( ) ( ; ) ≤ 1 2 1 2 ( )!r x y i r i− − = − ∏ ≤ c r x18( ) ( )Π . Poklademo P xr−1( ) : = f f x L u f c r u du dt x t ( ) ( )( ) ( ; ) ( ) ( )− + ′ − + + ′′ +( ) − − ∫ ∫1 1 1 1 1 18 Π i zauvaΩymo, wo ′′−P x xr 1( ) ( )Π ≥ 0. Dlq r – 1 < n ≤ N ( Y, r ) poklademo P xn( ) : = : = P xr−1( ) . Teoremu 2 dovedeno. 1. Dzyubenko G. A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. Coconvex pointwise approximation // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 9. – S. 1200 – 1212. 2. Dzgbenko H. A., Zalizko V. D. Koopukle nablyΩennq funkcij, qki magt\ bil\ße odni[] toç- ky perehynu // Tam Ωe. – 2004. – 56, # 3. – S. 352 – 365. 3. Pleshakov M. G., Shatalina A. V. Piecewise coapproximation and the Whitney inequality // Approxim. Theory. – 2000. – 105. – P. 189 – 210. 4. Leviatan D., Shevchuk I. A. Coconvex approximation // Ibid. – 2002. – 118. – P. 20 – 65. 5. Kopotun K. A. Pointwise and uniform estimates for convex approximation of functions by algebraic polynomials // Constr. Approxim. – 1994. – 10. – P. 153 – 178. 6. Íevçuk Y. A. PryblyΩenye mnohoçlenamy y sled¥ neprer¥vn¥x na otrezke funkcyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 225 s. 7. Ívedov A. S. Porqdky kopryblyΩenyj funkcyj alhebrayçeskymy mnohoçlenamy // Mat. zametky. – 1981. – 30. – S. 839 – 846. 8. Wu X., Zhou S. P. A counterexample in comonotone approximation in Lp space // Colloq. Math. – 1993. – 64. – S. 265 – 274. 9. Íevçuk Y. A. PryblyΩenye monotonn¥x funkcyj monotonn¥my mnohoçlenamy // Mat. sb. – 1992. – 183. – S. 63 – 78. 10. Dzyubenko G. A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. Piecewise monotone pointwise approximation // Constr. Approxim. – 1998. – 14. – P. 311 – 348. 11. DeVore R. A. Monotone approximation by polynomials // SIAM J. Math. Anal. – 1977. – 8. – P. 906 – 921. 12. Dzqd¥k V. K. Vvedenye v teoryg ravnomernoho pryblyΩenyq funkcyj polynomamy. – M.: Nauka, 1977. – 512 s. 13. DeVore R. A., Yu X. M. Pointwise estimates for monotone polynomial approximation // Constr. Approxim. – 1985. – 1. – P. 323 – 331. 14. Dzqd¥k V. K. O konstruktyvnoj xarakterystyke funkcyj, udovletvorqgwyx uslovyg ( Lip α ( 0 < α < 1 ) ) na koneçnom otrezke vewestvennoj osy // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1956. – 20, # 2. – S. 623 – 642. 15. Whitney H. On functions with bounded n-th differences // J. Math. Pures and Appl. – 1957. – 6, # 36. – P. 67 – 95. OderΩano 27.02.2004 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1

Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій

Репозитарії

Схожі ресурси