Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса
Досліджується добре відома варіаційна задача Гаусса над класами мір Радона, асоційованих із системою множин у локально компактному просторі. При досить загальних припущеннях отримано необхідні та достатні умови її розв'язності. Як допоміжний результат, знайдено описи потенціалів широких та (або...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165557 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса / Н.В. Зорий // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 60–83. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165557 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655572020-02-15T01:27:21Z Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса Зорий, Н.В. Статті Досліджується добре відома варіаційна задача Гаусса над класами мір Радона, асоційованих із системою множин у локально компактному просторі. При досить загальних припущеннях отримано необхідні та достатні умови її розв'язності. Як допоміжний результат, знайдено описи потенціалів широких та (або) сильних граничних точок мінімізуючих послідовностей мір. Отримані результати конкретизовано на випадок ядра Ньютона в ℝⁿ. We investigate the well-known Gauss variational problem considered over classes of Radon measures associated with a system of sets in a locally compact space. Under fairly general assumptions, we obtain necessary and sufficient conditions for its solvability. As an auxiliary result, we describe potentials of vague and (or) strong limit points of minimizing sequences of measures. The results obtained are also specified for the Newton kernel in ℝⁿ. 2005 Article Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса / Н.В. Зорий // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 60–83. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165557 517.982.26 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Зорий, Н.В. Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса Український математичний журнал |
| description |
Досліджується добре відома варіаційна задача Гаусса над класами мір Радона, асоційованих із системою множин у локально компактному просторі. При досить загальних припущеннях отримано необхідні та достатні умови її розв'язності. Як допоміжний результат, знайдено описи потенціалів широких та (або) сильних граничних точок мінімізуючих послідовностей мір. Отримані результати конкретизовано на випадок ядра Ньютона в ℝⁿ. |
| format |
Article |
| author |
Зорий, Н.В. |
| author_facet |
Зорий, Н.В. |
| author_sort |
Зорий, Н.В. |
| title |
Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса |
| title_short |
Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса |
| title_full |
Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса |
| title_fullStr |
Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса |
| title_full_unstemmed |
Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса |
| title_sort |
необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи гаусса |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165557 |
| citation_txt |
Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса / Н.В. Зорий // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 60–83. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zorijnv neobhodimyeidostatočnyeusloviârazrešimostivariacionnojzadačigaussa |
| first_indexed |
2025-07-14T18:55:01Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:55:01Z |
| _version_ |
1837649689047990272 |
| fulltext |
UDK 517.982.26
N. V. Zoryj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ
RAZREÍYMOSTY VARYACYONNOJ ZADAÇY HAUSSA
We investigate the well-known Gauss variational problem considered over classes of Radon measures
associated with a system of sets in a locally compact space. Under fairly general assumptions, we obtain
necessary and sufficient conditions for its solvability. As an auxiliary result, we describe potentials of
vague and (or) strong limit points of minimizing sequences of measures. The results obtained are also
specified for the Newton kernel in R
n.
DoslidΩu[t\sq dobre vidoma variacijna zadaça Haussa nad klasamy mir Radona, asocijovanyx iz
systemog mnoΩyn u lokal\no kompaktnomu prostori. Pry dosyt\ zahal\nyx prypuwennqx
otrymano neobxidni ta dostatni umovy ]] rozv’qznosti. Qk dopomiΩnyj rezul\tat, znajdeno
opysy potencialiv ßyrokyx ta (abo) syl\nyx hranyçnyx toçok minimizugçyx poslidovnostej mir.
Otrymani rezul\taty konkretyzovano na vypadok qdra N\gtona v R
n.
Vvedenye. Nastoqwaq rabota posvqwena dal\nejßemu yssledovanyg xoroßo
yzvestnoj varyacyonnoj zadaçy Haussa (sm., naprymer, [1 – 5]), rassmatryvaemoj
v lokal\no kompaktnom (otdelymom) prostranstve X. Neobxodym¥e svedenyq
yz teoryy mer y yntehryrovanyq soderΩatsq v [6, 7] (sm. takΩe obzor¥ v [8, 9]).
Pod qdrom κ na X budem ponymat\ neotrycatel\nug poluneprer¥vnug
snyzu funkcyg κ = κ ( x, y ) na X × X. Pust\ � = � ( X ) — lynejnoe prost-
ranstvo vsex vewestvennoznaçn¥x mer Radona ν na X, snabΩennoe topolohyej
ßyrokoj sxodymosty [6]. ∏nerhyq mer¥ ν ∈ � otnosytel\no qdra κ oprede-
lqetsq ravenstvom [8]
κ ( ν, ν ) : = κ ν ν( , ) ( )( , )x y d x y�∫ ,
esly tol\ko πtot yntehral opredelen (kak koneçnoe çyslo yly ± ∞ ) . Obozna-
çym çerez � mnoΩestvo vsex ν ∈ � s koneçnoj πnerhyej.
Pust\ f — vewestvennoznaçnaq funkcyq s oblast\g opredelenyq v X . Dlq
kaΩdoho ν ∈ � oboznaçym
Ff ( )ν : = κ ν ν ν( , ) − ∫2 f d ,
esly tol\ko f dν∫ opredelen. Zadaça mynymyzacyy Ff ( )ν , hde ν probehaet
zadannoe podmnoΩestvo yz � , naz¥vaetsq (varyacyonnoj ) zadaçej Haussa. Na-
rqdu so svoymy estestvenn¥my fyzyçeskymy ynterpretacyqmy zadaça Haussa
ymeet mnohoçyslenn¥e suwestvenn¥e pryloΩenyq k zadaçam teoryy potencya-
la y konstruktyvnoj teoryy funkcyj [2].
Pust\ I — koneçnoe mnoΩestvo yndeksov, a Ai ⊂ X , i ∈ I , — nepust¥e mno-
Ωestva, kaΩdomu yz kotor¥x prypysan znak + 1 yly – 1, pryçem
A Ai j∩ = ∅, esly sign Ai ≠ sign Aj . (1)
Oboznaçym
A : =
Ai
i I∈
∪ .
Pust\ a = ( )ai i I∈ — çyslovoj vektor s ai > 0, i ∈ I , a g — poloΩytel\naq ne-
prer¥vnaq funkcyq na A . Vsgdu dalee pod zadaçej Haussa ponymaetsq zadaça
mynymyzacyy funkcyonala Ff nad (voobwe hovorq, ßyroko nekompaktn¥m)
klassom vsex mer µ vyda
© N. V. ZORYJ, 2005
60 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 61
µ = ( )sign Ai
i
i I
µ
∈
∑ , (2)
hde µ
i ≥ 0 — mera, sosredotoçennaq na Ai y udovletvorqgwaq uslovyg
gd iµ∫ = ai .
V pred¥duwyx rabotax avtora [3, 5] pokazano, çto zadaça Haussa, voobwe
hovorq, ne razreßyma. Bolee podrobno, dlq fyksyrovann¥x Ai , i ∈ I , κ , g y
f, udovletvorqgwyx dostatoçno obwym predpoloΩenyqm, v [3, 5] ukazan vektor
naçal\n¥x uslovyj a takoj, çto sootvetstvugwaq varyacyonnaq zadaça ne yme-
et reßenyj v klasse dopustym¥x mer.
Kak prodolΩenye y razvytye πtyx yssledovanyj, v nastoqwej rabote pry
ves\ma obwyx predpoloΩenyqx na Ai , i ∈ I , κ, g y f najdeno polnoe opysanye
mnoΩestva vsex tex vektorov a, dlq kotor¥x ymeet mesto otmeçennoe qvlenye
nerazreßymosty. Opysanye dano v termynax πkstremalej v nadleΩawym obra-
zom sformulyrovannoj vspomohatel\noj varyacyonnoj zadaçe. Poluçenn¥e re-
zul\tat¥ konkretyzyrovan¥ dlq qdra N\gtona v R
n
.
1. Postanovka osnovnoj y vspomohatel\noj varyacyonn¥x zadaç. Dlq
zadannoho mnoΩestva Q ⊂ X pust\ �
+( )Q oboznaçaet klass vsex neotryca-
tel\n¥x mer, sosredotoçenn¥x na Q . Oboznaçym �+( )Q : = � �+( )Q ∩ .
Pust\ A = ( )Ai i I∈ — uporqdoçennaq sovokupnost\ mnoΩestv Ai , i ∈ I , op-
redelenn¥x vo vvedenyy. Zafyksyrovav A , oboznaçym I
+ : = { i ∈ I : sign A i =
= + 1 } , I
– : = I \ I
+
,
A
+ : = Ai
i I∈ +
∪ , A
– : = A \ A
+
.
Vsgdu dalee predpolahaem, çto I
+
y I
–
ne pust¥. Osuwestvlqq nad mnoΩest-
vom A i teoretyko-mnoΩestvenn¥e operacyy, polahaem sign B i : = sign A i dlq
lgboho B i ⊂ Ai .
Oboznaçym çerez � ( A ) podmnoΩestvo yz � ( X ) , sostoqwee yz vsex ly-
nejn¥x kombynacyj vyda (2), hde µi ∈ �
+( )Ai dlq vsex i ∈ I. Dva πlementa
yz � ( A ),
µ1 = ( )sign Ai
i
i I
µ1
∈
∑ y µ2 = ( )sign Ai
i
i I
µ2
∈
∑ ,
budem sçytat\ toΩdestvenn¥my ( µ1 ≡ µ2 ) v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda
µ1
i = µ2
i ∀ i ∈ I .
Oboznaçym � ( A ) : = � �( )A ∩ .
Zafyksyrovav mnoΩestvo yndeksov J takoe, çto I – ⊂ J ⊂ I , çysla ai > 0,
i ∈ J, y funkcyy g y f (sm. vvedenye), oboznaçym
� ( A , aJ, g ) : =
µ µ∈ = ∀ ∈{ }∫�( ) :A gd a i Ji
i ,
�f ( A , aJ, g ) : =
µ µ∈ ≠ − ∞{ }∫�( ), , :A a g f dJ opredelen y ,
Ff ( A , aJ, g ) : =
inf ( )
( , , )µ
µ
∈� f Ja g fA
F .
(Ynfymum nad pust¥m mnoΩestvom, kak ob¥çno, polahaem ravn¥m + ∞ . )
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
62 N. V. ZORYJ
Zadaçu o mynymyzacyy Ff ( µ ) v klasse �f ( A , aJ, g ) nazovem F f ( A , aJ, g ) -
zadaçej. F f ( A , aJ, g ) -zadaça naz¥vaetsq razreßymoj, esly suwestvugt my-
nymyzyrugwye mer¥ λ :
λ ∈ � f ( A , aJ, g ) , Ff ( λ ) = Ff ( A , aJ, g ) .
Klass vsex takyx λ oboznaçym çerez W = W ( A , aJ, g, f ) . Pust\ W bou =
= Wbou ( A , aJ, g, f ) oboznaçaet eho podklass, sostoqwyj yz vsex λ s λ ( )X <
< ∞ .
V sluçae J = I yndeks J v prynqt¥x oboznaçenyqx y opredelenyqx budem
opuskat\.
V pp. 4, 9 y 10 (sm. teorem¥ 1L–L5) pry dostatoçno obwyx predpoloΩenyqx na
κ, f y g najden¥ uslovyq na A y vektor a = ( )ai i I∈ , neobxodym¥e y (yly) dos-
tatoçn¥e dlq razreßymosty (osnovnoj) Ff ( A , a , g ) -zadaçy. Uslovyq na a
formulyrugtsq v termynax πkstremal\n¥x mer vo (vspomohatel\noj) F f ( A , aJ,
g ) -zadaçe s nadleΩawym J, J ≠ I .
V p. 17 (sm. teoremuL8) nekotor¥e yz upomqnut¥x rezul\tatov konkretyzyro-
van¥ na sluçaj qdra N\gtona x y n− −2
v R
n
, n ≥ 3.
V kaçestve vspomohatel\noho rezul\tata poluçen¥ opysanyq potencyalov
predel\n¥x toçek mynymyzyrugwyx v Ff ( A , a, g ) -zadaçe napravlennostej (sm.
teorem¥L6 y 7).
2. A -sohlasovann¥e y A -soverßenn¥e qdra. Vsgdu dalee, esly ne oho-
voreno obratnoe, qdro κ predpolahaetsq poloΩytel\no opredelenn¥m. ∏to,
napomnym, oznaçaet, çto κ symmetryçno ( t. e. κ ( x, y ) = κ ( y, x ) dlq vsex x, y )
y πnerhyq κ ( ν, ν ) , ν ∈ � ( X ) , neotrycatel\na, esly tol\ko opredelena. Tohda
mnoΩestvo � obrazuet predhyl\bertovo prostranstvo so skalqrn¥m proyzve-
denyem
κ ν ν( , )1 2 : = κ ν ν( , ) ( )( , )x y d x y1 2�∫
y polunormoj ν : = κ ν ν( , ) (sm., naprymer, [8]). Topolohyq v �, opredelqe-
maq polunormoj ⋅ , naz¥vaetsq syl\noj. (PoloΩytel\no opredelennoe) qdro
κ naz¥vaetsq stroho poloΩytel\no opredelenn¥m, esly utverΩdenyq ν = 0,
ν ∈ �, y ν = 0 πkvyvalentn¥.
Yzvestno, çto prostranstvo �, voobwe hovorq, ne polno v syl\noj topolo-
hyy. Dejstvytel\no, sohlasno klassyçeskym rezul\tatam Kartana [10], � ne
polno daΩe v sluçae qdra N\gtona v R
n
. S druhoj storon¥, avtorom v [11 – 13]
dokazano, çto dlq qder N\gtona y Ryssa v R
n
Ωelaemoe svojstvo syl\noj pol-
not¥ budet ymet\ mesto, esly ohranyçyt\sq rassmotrenyem tex ν ∈ � , u koto-
r¥x poloΩytel\naq y otrycatel\naq çasty sosredotoçen¥ na pare zadann¥x
zamknut¥x dyzægnktn¥x mnoΩestv (sm. takΩe [14, 15], hde poluçen¥ blyzkye
rezul\tat¥ dlq qder Hryna).
Koncepcyy A -sohlasovann¥x y A -soverßenn¥x qder, opredelenn¥e avto-
rom v [16], poluçen¥ postulyrovanyem çasty upomqnut¥x rezul\tatov yz [11 –
15] na sluçaj proyzvol\n¥x poloΩytel\no opredelennoho qdra κ y lokal\no
kompaktnoho prostranstva X .
Oboznaçym A : = ( )Ai i I∈ . Vsgdu dalee S oboznaçaet napravlennoe mnoΩe-
stvo [17].
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 63
Pust\ B ( A ) — klass vsex syl\n¥x napravlennostej 1 Koßy ( )µs s S∈ ⊂
⊂ � ( A ) s
sup ( )
s S
s
∈
µ X < + ∞ . (3)
Opredelenye51L[16]. Qdro κ naz¥vaetsq A -soverßenn¥m, esly dlq kaΩ-
doho ( )µs s S∈ ∈ B ( A ) v¥polnqgtsq sledugwye uslovyq:
( A P1 ) ( )µs s S∈ syl\no sxodytsq v �( )A ;
( A P2 ) esly µ ∈ �( )A — syl\n¥j predel ( )µs s S∈ , to µs → µ ßyroko.
Opredelenye52L[16]. Qdro κ naz¥vaetsq A -sohlasovann¥m, esly dlq kaΩ-
doho ( )µs s S∈ ∈ B ( A ) v¥polnqetsq sledugwee uslovye:
( A C ) esly µ — ßyrokaq predel\naq toçka ( )µs s S∈ , to µ ∈ � y µs → µ
syl\no.
PredloΩenye51L[16]. Dlq toho çtob¥ qdro b¥lo A -soverßenn¥m, neobxo-
dymo y dostatoçno, çtob¥ ono b¥lo A -sohlasovann¥m y udovletvorqlo sle-
dugwemu uslovyg:
( A S D ) esly ( )µs s S∈ ∈ B ( A ) sxodytsq syl\no k γ1, γ2 ∈ �( )A , to γ1 = γ2 .
Zameçanye51. Svojstvo ( A S D ), oçevydno, neobxodymo v¥polnqetsq, esly
qdro κ stroho poloΩytel\no opredeleno. Obratno, yz svojstva ( A S D ) v¥te-
kaet strohaq poloΩytel\naq opredelennost\ suΩenyq κ na lgboe kompaktnoe
mnoΩestvo K ⊂ A . Bolee obwo, esly κ udovletvorqet uslovyg ( A S D ), to
dlq lgboj ohranyçennoj mer¥ ν ∈ � , sosredotoçennoj na A, utverΩdenyq
ν = 0 y ν = 0 πkvyvalentn¥ [16].
Prymer (sm. [11 – 15]). V R
n
, n ≥ 3, qdra Ryssa x y n− −α
proyzvol\noho
porqdka α ∈ ( 0, n ) ( y, v çastnosty, qdro N\gtona x y n− −2
) A -soverßenn¥
dlq lgboho A . Qdro Hryna GD (hde D ⊂ Rn
— otkr¥toe mnoΩestvo, a GD —
eho obobwennaq funkcyq Hryna) A -soverßenno dlq lgboho A , udovletvorq-
gweho uslovyg dist ( A
+, A
–
) > 0.
Zameçanye52. Koncepcyy A -sohlasovann¥x y A-soverßenn¥x qder osobo
πffektyvn¥ v πkstremal\n¥x zadaçax na klassax znakoperemenn¥x mer (sm. [3,
5, 16, 18], a takΩe rezul\tat¥ nastoqwej rabot¥). Naprotyv, v πkstremal\n¥x
zadaçax na klassax neotrycatel\n¥x mer çasto yspol\zuetsq svojstvo sohla-
sovannosty qder, opredelennoe v [8]:
( C ) esly ν — ßyrokaq predel\naq toçka syl\noj napravlennosty Koßy
( )νs s S∈ yz �
+
( X ) , to νs → ν syl\no.
MeΩdu koncepcyqmy sohlasovann¥x y A -sohlasovann¥x qder ymeet mesto
sledugwee sootnoßenye [19]: yz sohlasovannosty κ v¥tekaet eho A -sohla-
sovannost\, esly, dopolnytel\no, κ ohranyçeno sverxu na A
+ × A
–.
3. Opredelenyq, oboznaçenyq, predpoloΩenyq. Pust\ C ( ⋅ ) oboznaçaet
vnutrenngg emkost\ mnoΩestva [8]. Hovorqt [8], çto utverΩdenye R ( x ) , so-
derΩawee peremennug toçku x ∈ X, spravedlyvo pryblyzytel\no vsgdu
(pr.Lvs.) v Q ⊂ X , esly mnoΩestvo vsex tex x ∈ Q, dlq kotor¥x R ( x ) loΩno,
1 Neobxodymost\ rassmotrenyq napravlennostej (no ne posledovatel\nostej) obuslovlena tem,
çto prostranstvo � ( X ) , voobwe hovorq, ne udovletvorqet pervoj aksyome sçetnosty.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
64 N. V. ZORYJ
ymeet nulevug vnutrenngg emkost\. Lehko pokazat\ (sr. s lemmojL3 yz [5]), çto
esly R ( x ) spravedlyvo pr.Lvs. v Q, to R ( x ) spravedlyvo ν-poçty vsgdu dlq
kaΩdoj ohranyçennoj
2
mer¥ ν ∈ �
+
( Q ) .
Potencyal mer¥ ν ∈ � v toçke x ∈ X opredelqetsq ravenstvom [8]
κν ( x ) : = κ ( x, ν ) : = κ ν( , ) ( )x y d y∫
(koneçno, esly πtot yntehral opredelen). Otmetym, çto pry uslovyy ν ∈ � po-
tencyal κν ( ⋅ ) opredelen pr.Lvs. v X y koneçen [8].
Rassmotrym sledugwee uslovye na qdro κ :
( X∞ ) dlq lgb¥x ε > 0 y kompaktnoho mnoΩestva K ⊂ X suwestvuet
kompaktnoe mnoΩestvo K ′ ⊂ X takoe, çto
κ( , )x y < ε ∀ x ∈ K , y ∈ X \ K ′ .
V nastoqwej rabote suwestvenno yspol\zuetsq sledugwee utverΩdenye o
neprer¥vnosty otobraΩenyq ( x, ν ) � κ ( x, ν ) , ( x, ν ) ∈ X × � ( X ) .
PredloΩenye52L[9]. Pust\ qdro κ neprer¥vno pry x ≠ y y udovletvorq-
et uslovyg ( X∞ ) ; F ⊂ X — zamknutoe mnoΩestvo; ( )xs s S∈ ⊂ X — naprav-
lennost\ toçek, sxodqwaqsq k x0 ∉ F ; ( )νs s S∈ ⊂ �
+( )F — ßyroko sxodqwaq-
sq k ν0 napravlennost\ mer takyx, çto
sup ( )
s S
s
∈
ν X < ∞ .
Tohda spravedlyvo ravenstvo
3
κ ( x0, ν0 ) = lim
s S∈
κ ( xs, νs ) .
Opredelenye53L(sm. [20]). Qdro κ naz¥vaetsq udovletvorqgwym obobwen-
nomu pryncypu maksymuma s postoqnnoj h ≥ 1, esly dlq kaΩdoj mer¥ ν ≥ 0
takoj, çto ee nosytel\ S ( ν ) kompakten y κ ( x, ν ) ≤ M n a S ( ν ) , v¥pol-
nqetsq κ ( x, ν ) ≤ h M v X.
Opredelenye54L(sm. [20]). Qdro κ naz¥vaetsq udovletvorqgwym polnomu
pryncypu maksymuma, esly dlq vsex ν ∈ �
+
( X ) y µ ∈ �
+
( X ) takyx, çto
S ( ν ) kompaktno y κ ( x, ν ) ≤ κ ( x, µ ) + b na S ( ν ) , hde b ≥ 0, v¥polnqetsq
κ ( x, ν ) ≤ κ ( x, µ ) + b v X.
Zameçanye53. Yz polnoho pryncypa maksymuma v¥tekaet obobwenn¥j
pryncyp maksymuma s postoqnnoj h = 1. V R
n
, n ≥ 3, polnomu pryncypu mak-
symuma udovletvorqgt qdra N\gtona y Hryna, a takΩe qdra Ryssa s pokazate-
lem α ∈ ( 0, 2 ] (sm. [20]).
Bez dopolnytel\n¥x ukazanyj v kaΩdom yz pp.L4L–L12 budem sçytat\, çto qd-
ro κ A -sohlasovanno, funkcyq f unyversal\no yzmeryma y opredelena pr.Lvs.
v A ,
gmin : = inf
x A∈
g ( x ) > 0 (4)
y v¥polneno estestvennoe uslovye
2
Uslovye ohranyçennosty mer¥ ν moΩno opustyt\, esly X sçetno na beskoneçnosty.
3
PredloΩenyeL2Lspravedlyvo dlq proyzvol\noho (ne obqzatel\no poloΩytel\no opredelen-
noho) qdra [9].
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 65
– ∞ < Ff ( A , a, g ) < ∞ . (5)
Krome toho, vsgdu v pp. 4, 6, 7 y 10 budem predpolahat\, çto mnoΩestva Ai ,
i ∈ I , zamknut¥, qdro κ neprer¥vno pry x ≠ y y udovletvorqet uslovyqm
( A S D ), ( X ∞ ) y obobwennomu pryncypu maksymuma s nekotoroj postoqnnoj h ≥
≥ 1, a vneßnee pole f opredelqetsq ravenstvom f = κχ , hde χ ∈ � — ohrany-
çennaq mera so svojstvom
S ( χ
+
) ∩ A
+ = ∅, S ( χ
–
) ∩ A
– = ∅. (6)
Sovokupnosty vsex ukazann¥x uslovyj na qdro κ udovletvorqgt, naprymer,
qdra N\gtona y Ryssa v R
n, n ≥ 3, a takΩe qdro Hryna GD , esly dist ( A
+
, A
–
) >
> 0, a otkr¥toe mnoΩestvo D rehulqrno v sm¥sle razreßymosty klassyçes-
koj zadaçy Dyryxle.
4. Osnovn¥e rezul\tat¥. V kaΩdom yz pp.L4 – 12 neqvno podrazumevagtsq
v¥polnenn¥my sootvetstvugwye uslovyq, ohovorenn¥e v p.L3. V nastoqwem
punkte dopolnytel\no predpolahaem, çto dlq nekotoroho fyksyrovannoho j ∈
∈ I
+
A i ∩ A j = ∅ ∀ i ≠ j . (7)
V ukazann¥x uslovyqx spravedlyv¥ sledugwye kryteryy razreßymosty zadaçy
Haussa.
Teorema51. PredpoloΩym, çto κ ohranyçeno sverxu na A
+ × A
–
,
C ( A i ) < ∞ ∀ i ≠ j (8)
y dlq kaΩdoho i ∈ I lybo g ohranyçena sverxu na Ai , lybo suwestvugt r =
= ri ∈ ( 1, ∞ ) y ζ = ζ i ∈ � takye, çto
gr
( x ) ≤ κ ( x, ζ ) pr.0vs. v A i . (9)
Tohda dlq razreßymosty F Aκχ
( ), ,a g -zadaçy neobxodymo y dostatoçno, çto-
b¥ v¥polnqlos\ lybo
C ( A j ) < ∞ , (10)
lybo
aj ≤ gd jλ̃∫ , (11)
hde λ̃ ∈
W Abou I ja g( ), , ,\{ } κχ — lgbaq fyksyrovannaq mera (ona suwestvu-
et).
Uslovye ohranyçennosty qdra κ na A
+ × A
–
suwestvenno dlq spravedlyvo-
sty teorem¥L1. V teoremaxL2 y 3 πto uslovye ne predpolahaetsq.
Teorema52. Pust\ suwestvugt mer¥ σ1, σ2 ∈ � takye, çto
κ ( x, σ1 ) =
g x A A
A A
j
j
( ) . . ,
. . ,
\pr vs v
pr vs v
+
−
0 ∪
(12)
κ ( x, σ2 ) =
0 pr vs v
pr vs v
. . ,
( ) . . .
A
g x A
+
−
(13)
Esly, krome toho, C ( A j ) = ∞ , to F Aκχ
( ), ,a g -zadaça razreßyma tohda y tol\-
ko tohda, kohda vektor a = ( )ai i I∈ udovletvorqet uslovyg (11), hde λ̃ ∈
∈ W Abou I ja g( ), , ,\{ } κχ — lgbaq fyksyrovannaq mera (ona suwestvuet).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
66 N. V. ZORYJ
V sluçae g = const zadaça o suwestvovanyy mer σ1, σ2 ∈ � , udovletvorqg-
wyx uslovyqm (12) y (13), svodytsq k zadaçe (sm. [21]) o suwestvovanyy mer kon-
densatorov ( A
+ \ A j , A
– ∪ A j ) y ( A
–
, A
+
) , reßennoj avtorom v [18, 22]. Ys-
pol\zuem sootvetstvugwye rezul\tat¥ yz [18, 22] v yssledovanyy problem¥
razreßymosty zadaçy Haussa.
Rassmatryvaq uporqdoçennug paru B = ( B1, B2 ) nepust¥x zamknut¥x dyzæ-
gnktn¥x mnoΩestv v X, budem vsehda polahat\ sign B1 : = + 1 y sign B2 : = – 1.
Oboznaçym
w B Bκ( )1 2 : = inf ν 2,
hde ynfymum beretsq nad mnoΩestvom vsex ν ∈ � ( B ) takyx, çto ν
+
( X ) = 1.
Teorema53. PredpoloΩym, çto g = const, a qdro κ sohlasovanno, udov-
letvorqet polnomu pryncypu maksymuma y A ′-soverßenno, hde A ′ : = ( A
+ \ A j ,
A
– ∪ A j ) . Pust\
w A A A Aj jκ ( \ \ )+ − ≠ 0 y w A Aκ( )− + ≠ 0. (14)
V πtyx predpoloΩenyqx
F Aκχ
( ), ,a g -zadaça razreßyma tohda y tol\ko tohda,
kohda lybo v¥polnqetsq sootnoßenye (10), lybo vektor a = ( )ai i I∈ udovlet-
vorqet uslovyg (11), hde λ̃ ∈
W Abou I ja g( ), , ,\{ } κχ — lgbaq fyksyrovannaq
mera (ona suwestvuet).
V sluçae I
+ = { j } uslovye A ′ -soverßennosty y pervoe uslovye v (14) opus-
kagtsq.
5. Predvarytel\n¥e svedenyq. Pryvedem v vyde zameçanyj nekotor¥e pro-
st¥e utverΩdenyq, neposredstvenno v¥tekagwye yz prynqt¥x v p. 3 uslovyj y
çasto yspol\zuem¥e v dal\nejßem.
Zameçanye54. Uçyt¥vaq uslovye (4), yz sootnoßenyj
ai = gd iµ∫ ≥ g i
min ( )µ X , µ ∈ � ( A , aJ, g ) , i ∈ J ,
poluçaem
sup
( , , )
( )
µ
µ
∈� A a g
i
J
X ≤ a gi min
−1 < ∞ , i ∈ J . (15)
Yz (15) pry J = I sleduet toΩdestvo Wbou ( A , a, g, f ) = W ( A , a, g, f ) y ut-
verΩdenye, çto Ff ( A , a, g ) ne yzmenytsq, esly na dopustym¥e v Ff ( A , a, g ) -za-
daçe mer¥ naloΩyt\ dopolnytel\noe uslovye ravnomernoj ohranyçennosty yx
poln¥x varyacyj (sr. s p.L7).
Zameçanye55. Vsledstvye uslovyq (5) neobxodymo v¥polnqetsq
C ( A i ) > 0 ∀ i ∈ I , (16)
a v sluçae f = κχ , hde χ ∈ � , sootnoßenyq (5) y (16) ravnosyl\n¥ (sm. [5]).
Zameçanye56. Çerez { K } = { K } A oboznaçym mnoΩestvo vsex K = ( )Ki i I∈
takyx, çto K i , i ∈ I , kompaktn¥ y K i ⊂ A i . Na { K } opredelym otnoßenye
çastyçnoho uporqdoçenyq ≺ , hde K ′ ≺ K , K ′ : = ( )′ ∈Ki i I , esly ′Ki ⊂ K i dlq
vsex i ∈ I . Tohda [4] (lemmaL4)
lim
{ }K K∈
Ff ( K , a, g ) = Ff ( A , a, g ) . (17)
Zameçanye57. V sluçae f = κ χ , hde χ ∈ � , znaçenye funkcyonala F f ( ν )
opredeleno dlq vsex ν ∈ � y dopuskaet predstavlenye
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 67
Fχ ( ν ) : =
Fκχ
ν( ) = – χ χ ν2 2+ − . (18)
Poπtomu naxodym
Fχ ( A , aJ, g ) : =
F Aκχ
( ), ,a gJ = –
χ χ µ
µ
2 2+ −
∈
inf
( , , )� A a gJ
. (19)
6. Ortohonal\n¥e proekcyy mer. Dlq proyzvol\noho I0 ⊂ I oboznaçym
C I0 : = I \ I0 , AI0
: =
Ai
i I∈ 0
∪ .
Vsgdu v nastoqwem punkte J ≠ I. Dlq kaΩdoho µ ∈ � ( A ) oboznaçym
µJ : = ( )sign Ai
i
i J
µ
∈
∑ , µχ
J : = χ – µJ .
Yspol\zuq (19), poluçaem
Fχ ( A , aJ, g ) = –
χ µ
µ
χ2 +
∈
inf
( , , )
( )
� A a g J
J
p , (20)
hde
p J( )µχ : =
inf
( )ω
χµ ω
∈ +
−
� A
J
CJ
2
.
Zametym, çto klass �
+ ( )ACJ ne pust y, sledovatel\no, p J( )µχ < ∞ dlq
kaΩdoho fyksyrovannoho µ ∈ � ( A , aJ, g ) . Mera P Jµχ ∈ �
+ ( )ACJ , udovletvo-
rqgwaq sootnoßenyg
µ µχ χ
J JP−
2
= p J( )µχ ,
naz¥vaetsq (ortohonal\noj) proekcyej mer¥ µχ
J na v¥pukl¥j konus �+ ( )ACJ
[7]. Yz obwyx rezul\tatov (sm. [7] (p. 1.12.3)) v¥tekaet, çto P Jµχ
suwestvuet,
esly prostranstvo �+ ( )ACJ kompaktno v syl\noj (ynducyrovannoj yz � ) to-
polohyy. Poπtomu, prymenqq sledstvyq 9.2 y 9.5 yz [16] (çto pravomerno vsled-
stvye A -soverßennosty qdra), zaklgçaem, çto P Jµχ
zavedomo suwestvuet, esly
mnoΩestvo ACJ kompaktno.
Lemma51. Esly proekcyq P Jµχ
suwestvuet y ohranyçena, to
κ µχ( ),x P J ≥ κ µχ( ),x J pr. vs. v ACJ
, (21)
κ µχ( ),x P J ≤ κ µχ( ),x J ∀ x ∈ S P J( )µχ (22)
y, sledovatel\no,
κ µχ( ),x P J = κ µχ( ),x J pr. vs. v S P J( )µχ
. (23)
Dokazatel\stvo. Sohlasno predloΩenygL1.12.4 yz [7], spravedlyv¥ soot-
noßenyq
κ µ µ νχ χ( ),J JP− ≤ 0 ∀ ν ∈ �+ ( )ACJ , (24)
κ µ µ µχ χ χ( ),J J JP P− = 0. (25)
RassuΩdaq analohyçno tomu, kak πto delalos\ v [20] (sm. dokazatel\stvo teore-
m¥ 4.16), yz (24) v¥vodym sootnoßenye (21). Poskol\ku sohlasno predpoloΩe-
nyg mera P Jµχ
ohranyçena, neravenstvo v (21) spravedlyvo P Jµχ
-poçty vsgdu.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
68 N. V. ZORYJ
Kombynyruq πto utverΩdenye s (25), naxodym, çto κ µ µχ χ( ),x PJ J− = 0 P Jµχ
-po-
çty vsgdu v X.
Sledovatel\no, dlq lgboho x ∈ S P J( )µχ
suwestvuet napravlennost\
( )xs s S∈ L ⊂ ACJ takaq, çto xs → x y
κ µ µχ χ( ),x Ps J J− = 0 ∀ s ∈ S .
Otsgda v¥vodym, çto dlq dokazatel\stva sootnoßenyq (22) dostatoçno doka-
zat\ poluneprer¥vnost\ sverxu κ µ µχ χ( ),x PJ J− na ACJ . A πto neposredstvenno
sleduet yz poluneprer¥vnosty snyzu κ χ µ µχ( ),x PJ J
− ++ + na X kak potencya-
la poloΩytel\noj mer¥ [8] y neprer¥vnosty κ χ µ( ),x + −+ na ACJ ; poslednee
v¥tekaet yz predloΩenyqL2, prymenenye kotoroho vozmoΩno vsledstvye postu-
lyrovann¥x svojstv qdra κ, uslovyj (1), (6) y ohranyçennosty mer χ y µ
–
(sm.
(15)). Kombynyruq (21) y (22), poluçaem (23).
LemmaL1Ldokazana.
7. O dopustym¥x merax. Dlq kaΩdoho c > 0 oboznaçym
�
c
Ja g( ), ,A : = µ µ∈ ≤{ }�( ) ( ), , :A a g cJ X ,
F Aχ
c
Ja g( ), , : =
inf
( , , )µ ∈�c
Ja gA
Fχ µ( ).
Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye o neprer¥vnosty (sr. s (17)).
Lemma52. Esly K probehaet napravlennoe mnoΩestvo { K } A , to
F Kχ( ), ,a gJ ↓ F Aχ( ), ,a gJ y F Kχ
c
Ja g( ), , ↓ F Aχ
c
Ja g( ), , . (26)
Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno dokazatel\stvu lemm¥L4 yz [4] s
prymenenyem lemm¥L1 yz [5] k funkcyqm κ, g, κ ( ⋅, χ
+
) y κ ( ⋅, χ
–
) .
PokaΩem, çto F Aχ( ), ,a gJ ne yzmenytsq, esly na dopustym¥e v Fχ ( A , aJ,
g ) -zadaçe mer¥ naloΩyt\ dopolnytel\noe uslovye ravnomernoj ohranyçennos-
ty yx poln¥x varyacyj.
Lemma53. Suwestvuet H > 0 takoe, çto
F Aχ( ), ,a gJ =
F Aχ
c
Ja g( ), ,
dlq vsex c ≥ H.
Dokazatel\stvo. V sluçae J = I utverΩdenye lemm¥ oçevydno vsledst-
vye (15). Poπtomu pust\ J ≠ I. Oboznaçym
H : = h g ai
i J
χ+ −
∈
+
∑( ) minX 2 1 . (27)
Poskol\ku, oçevydno, �H
Ja g( ), ,A ⊂ �
c
Ja g( ), ,A ⊂ �( ), ,A a gJ ∀ c ≥ H , do-
kazatel\stvo lemm¥ svodytsq k ustanovlenyg neravenstva
F Aχ( ), ,a gJ ≥ F Aχ
H
Ja g( ), , . (28)
Na osnovanyy lemm¥L2, ne umalqq obwnosty rassuΩdenyj, mnoΩestva Ai , i ∈
∈ I , pry dokazatel\stve neravenstva (28) budem sçytat\ kompaktn¥my. Tohda
dlq kaΩdoho fyksyrovannoho µ ∈ � ( A , aJ, g ) proekcyq P Jµχ
suwestvuet, y
poπtomu
Fχ ( µ ) = – χ χ µ2 2+ − ≥ – χ χ µ µχ2 2
+ − −J JP .
Sledovatel\no, dlq dokazatel\stva sootnoßenyq (28) dostatoçno ustanovyt\
neravenstvo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 69
P J
i
i J
µ µχ( ) ( )X X+
∈
∑ ≤ H. (29)
Vsledstvye A -soverßennosty qdra y kompaktnosty S P J( )µχ
suwestvuet
neotrycatel\naq mera θ ∈ � , sosredotoçennaq na S P J( )µχ
y takaq, çto
κ ( x, θ ) ≥ 1 pr. vs. v S P J( )µχ , (30)
κ ( x, θ ) ≤ 1 ∀ x ∈ S ( θ ) . (31)
Poskol\ku mer¥ θ y P Jµχ
ohranyçen¥, ravenstvo v (23) y neravenstvo v (30)
spravedlyv¥ sootvetstvenno θ - y P Jµχ
-poçty vsgdu. Uçyt¥vaq uslovye κ ≥ 0,
v¥vodym
P Jµχ( )X ≤ κ θ µχ( , ) ( )x dP xJ∫ = κ µ θχ( ), ( )x d xJ∫ ≤ κ θ χ µ( , ) ( )( )x d x+ −+∫ .
Prymenqq opredelenyeL3, vsledstvye (31) naxodym κ ( x, θ ) ≤ h ∀ x ∈ X, y po-
πtomu
P Jµχ( )X ≤ h( ) ( )χ µ+ −+ X .
Kombynyruq poluçennoe neravenstvo s ocenkoj (15), poluçaem sootnoße-
nyeL(29).
LemmaL3 dokazana.
8. ∏kstremal\n¥e mer¥. Esly Ff ( A , aJ, g ) koneçno, to çerez M = M ( A ,
aJ , g, f ) oboznaçym sovokupnost\ vsex napravlennostej ( )µs s S∈ ⊂ � f ( A , aJ , g ) ,
udovletvorqgwyx uslovyg (3) y sootnoßenyg
lim ( )
s S f s∈
F µ = Ff ( A , aJ, g ) . (32)
Oçevydno, pry J = I uslovye (3) v dannom opredelenyy v¥polnqetsq avtomaty-
çesky vsledstvye (15) y moΩet b¥t\ opuweno.
Lemma54. Dlq lgb¥x ( )µs s S∈ y ( )νt t T∈ yz M ( A , aJ, g, f ) spravedlyvo raven-
stvo
lim
( , )s t S T s t∈ ×
−µ ν = 0,
hde S × T — napravlennoe proyzvedenye napravlenn¥x mnoΩestv S y T.
Pry J = I lemmaL4 dokazana v [5], a v obwem sluçae dokaz¥vaetsq po analo-
hyy.
Sledstvye51. Napravlennosty yz M ( A , aJ, g, f ) syl\no fundamental\n¥.
Pust\ M = M ( A , aJ, g, f ) oboznaçaet mnoΩestvo vsex syl\n¥x predel\n¥x
toçek vsex napravlennostej yz M ( A , aJ, g , f ) . Na osnovanyy lemm¥L4 dlq
proyzvol\n¥x ( )µs s S∈ ∈ M y ξ ∈ M naxodym
µs → ξ syl\no. (33)
Poπtomu dlq vsex ξ′, ξ″ ∈ M v¥polnqetsq
′ − ′′ξ ξ = 0 (34)
y, sledovatel\no (sm. [8]),
κ ( x, ξ′ ) = κ ( x, ξ″ ) pr. vs. v X. (35)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
70 N. V. ZORYJ
Opredelenye55 [16]. Napravlennost\ ( )µs s S∈ ⊂ �( )A naz¥vaetsq sxo-
dqwejsq k µ ∈ �( )A A -ßyroko, esly µs
i → µi
ßyroko dlq vsex i ∈ I.
Opredelenye56. Meru γ ∈ �( )A nazovem πkstremal\noj v F f ( A , aJ, g ) -
zadaçe, esly suwestvuet ( )µs s S∈ ∈ M ( A , aJ, g, f ) , syl\no y A -ßyroko sxodq-
waqsq k γ. Napravlennost\ ( )µs s S∈ nazovem napravlennost\g, poroΩdag-
wej πkstremal\nug meru γ.
MnoΩestvo vsex takyx γ oboznaçym çerez W* = W* ( A , aJ, g, f ) . Pry J = I
yndeks J v prynqt¥x v nastoqwem punkte oboznaçenyqx budem opuskat\.
Yz prynqt¥x opredelenyj neposredstvenno v¥tekaet vklgçenye
Wbou ( A , aJ, g, f ) ⊂ W* ( A , aJ, g, f ) . (36)
Vsgdu dalee v nastoqwem punkte predpolahaem, çto lybo J = I, lybo v¥-
polnqgtsq uslovyq yz p.L3, otnosqwyesq k pp. 4, 6, 7 y 10.
Lemma55. Klass W* ( A , aJ, g, f ) ne pust y sovpadaet s mnoΩestvom vsex
A -ßyrokyx predel\n¥x toçek vsex napravlennostej yz M ( A , aJ, g, f ) . Esly,
dopolnytel\no, qdro κ ymeet svojstvo ( A S D ) , t o4
γ1 = γ2 dlq vsex γ1,
γ2 ∈ W* ( A , aJ, g, f ) .
Dokazatel\stvo. Vsledstvye lemm¥L3, sledstvyqL1 y zameçanyqL4 naxodym
M ≠ ∅ y
M ⊂ B ( A ) . (37)
Zafyksyruem ( )µs s S∈ ∈ M . Yz uslovyq (3) naxodym, çto dlq vsex i ∈ I na-
pravlennosty ( )µs
i
s S∈ ßyroko ohranyçen¥, y poπtomu [6] ßyroko otnosytel\no
kompaktn¥. A tak kak konus¥ mer �+( )Ai , i ∈ I, ßyroko zamknut¥ [6], yz
( )µs s S∈ moΩno v¥delyt\ podnapravlennost\ ( )µt t T∈ , sxodqwugsq A -ßyroko k
nekotoromu γ ∈ � ( )A . Prymenqq k ( )µt t T∈ y γ svojstvo ( A C ) , çto pravo-
merno v sylu sootnoßenyq (37), naxodym γ ∈ � y µ t → γ syl\no. Sohlasno
opredelenygL6 πto dokaz¥vaet vklgçenye γ ∈ W* .
Esly γ1, γ2 ∈ W* , to v sylu (33) ( )µs s S∈ sxodytsq syl\no k γ1 y γ2 . Pred-
poloΩyv dopolnytel\no, çto κ udovletvorqet uslovyg ( A S D ) , vsledstvye
(37) naxodym γ1 = γ2 .
LemmaL5 dokazana.
Nam ponadobqtsq sledugwye πlementarn¥e svojstva πkstremal\n¥x mer.
Lemma56. Dlq vsex γ ∈ W* ( A , aJ, g, f ) spravedlyv¥ sootnoßenyq
γ ( )X < ∞ , (38)
g d iγ∫ ≤ ai , i ∈ J . (39)
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, pust\ ( )µs s S∈ ∈ M ( A , aJ, g, f ) — naprav-
lennost\, poroΩdagwaq meru γ ∈ W* ( A , aJ, g, f ) . Tohda vsledstvye ßyrokoj
sxodymosty ( )µs
i
s S∈ k γ i
dlq lgboj poluneprer¥vnoj snyzu funkcyy ψ ≥ 0
na Ai ymeem (sm., naprymer, [8])
4
Pry πtom, voobwe hovorq, γ γ1 2/≡ , çto pryvnosyt v analyz nekotor¥e dopolnytel\n¥e trud-
nosty.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 71
ψ γd i∫ ≤ lim inf
s S
s
id
∈ ∫ ψ µ , i ∈ I . (40)
Uçyt¥vaq (3), yz (40) pry ψ = 1 y ψ = g sootvetstvenno poluçaem (38) y (39).
Lemma57. Esly f = κχ , hde χ ∈ � , to
F χ ( γ ) = F χ ( A , aJ, g ) ∀ γ ∈ W* ( A , aJ, g, κχ ) . (41)
Dokazatel\stvo. Podstavlqq toΩdestvo (18) v levug çast\ sootnoßenyq
(32), a zatem perexodq k predelu po s ∈ S y uçyt¥vaq pry πtom (33), pryxodym
kL(41).
Lemma58. Pust\ f = κχ , hde χ ∈ � . Tohda dlq kaΩdoho K ∈ { K } A , K �
� K ′, klass W ( K , aJ, g, κ χ ) ne pust. Esly λ K — πlement πtoho klassa, to
( )λK K K� ′ ∈ M ( A , aJ, g, κ χ ) . (42)
Dokazatel\stvo. V¥berem K ′ ∈ { K } tak, çtob¥ C Ki( )′ > 0 dlq vsex i ∈
∈ I . Tohda (sm. zameçanyeL5) dlq vsex K � K ′ velyçyna F χ ( K , aJ , g ) koneçna
y v sylu lemm¥L5 suwestvuet γ ∈ W* ( K , aJ , g, κ χ ) . Esly ( )µs s S∈ — poroΩda-
gwaq γ napravlennost\, to vsledstvye neprer¥vnosty g, kompaktnosty K i , i ∈
∈ I , y K - ßyrokoj sxodymosty ( )µs s S∈ k γ poluçaem
g d iγ∫ = lim
s S s
igd
∈ ∫ µ = ai ∀ i ∈ J .
Kombynyruq πto sootnoßenye s (41), naxodym γ ∈ W ( K , aJ, g, κ χ ) .
Zafyksyruem meru λK ∈ W ( K , aJ , g, κ χ ) , hde K � K ′; oboznaçym ee vre-
menno çerez µ. Esly J ≠ I , to µC J qvlqetsq proekcyej mer¥ µχ
J na KCJ y,
sledovatel\no, dlq µ v¥polnqetsq ocenka (29), hde H opredeleno ravenstvom
(27). Zameçaq, çto H ot K ne zavysyt, zaklgçaem, çto pry uslovyy J ≠ I
( )λK K K� ′ udovletvorqet sootnoßenyg (3). ∏to utverΩdenye spravedlyvo y v
sluçae J = I , çto oçevydno v sylu (15).
A tak kak vsledstvye (17) y (26) ( )λK K K� ′ udovletvorqet takΩe ravenstvu
(32), vklgçenye (42), a vmeste s nym y lemmaL8 dokazan¥.
Zameçanye58. Pust\ J = I . Tohda lemmaL8 ostanetsq v syle dlq proyzvol\-
noj funkcyy f takoj, çto ( )sign A fi Ai
, i ∈ I , poluneprer¥vn¥ sverxu (sm. [5]).
9. O razreßymosty Fκκκκχχχχ
(((( A , a , g )))) -zadaçy. I. Nastoqwyj y sledugwyj
punkt¥ soderΩat neobxodym¥e y (yly) dostatoçn¥e uslovyq razreßymosty va-
ryacyonnoj zadaçy Haussa. Uslovyq formulyrugtsq v termynax πkstremalej
vo vspomohatel\noj
F Aκχ
( ), ,a gJ -zadaçe, hde J, I
– ⊂ J ⊂ I, — nekotoroe fyk-
syrovannoe mnoΩestvo yndeksov. Poluçenn¥e zdes\ rezul\tat¥ yspol\zugtsq v
pp.L14 – 16 dlq dokazatel\stv utverΩdenyj yz p.L4.
V dopolnenye k uslovyqm, ukazann¥m v p.L3, v nastoqwem punkte predpola-
haem, çto Ai , i ∈ I , zamknut¥, κ udovletvorqet uslovyg ( A S D ) y f = κχ , hde
χ ∈ � .
Teorema54. Pust\ J ≠ I y v¥polnqetsq sovokupnost\ sledugwyx uslovyj:
a) suwestvuet λ̃ ∈ W ( A , aJ, g, κ χ ) ;
b) ai ≥ ∫ gd iλ̃ ∀ i ∈ C J ;
v) C ( A i ) = ∞ ∀ i ∈ C J .
Tohda dlq razreßymosty
F Aκχ
( ), ,a g -zadaçy neobxodymo y dostatoçno,
çtob¥ vo vsex neravenstvax v uslovyy b) v¥polnqlys\ ravenstva, t. e.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
72 N. V. ZORYJ
ai = ∫ gd iλ̃ ∀ i ∈ C J . (43)
Krome toho, v predpoloΩenyqx a) – v) spravedlyv¥ sootnoßenyq
F χ ( A , a, g ) = F χ ( A , aJ, g ) , (44)
λ̃ ∈ W* ( A , a J , g, κ χ ) . (45)
Dokazatel\stvo. Dlq kaΩdoho i ∈ C J oboznaçym çerez τn
i , n ∈ N, edy-
nyçn¥e mer¥ yz �
+
( Ai ) s kompaktn¥m nosytelem takye, çto
τn
i → 0 syl\no y ßyroko ( n → + ∞ ) ; (46)
ony suwestvugt vsledstvye uslovyq v) y A -soverßennosty qdra. Tohda v sylu
(4) ymeem
inf
n n
igd
∈ ∫
N
τ > 0. (47)
Oboznaçym
τ̃n : =
i CJ
i
i
n
i
n
i
a gd
gd∈
∑ ∫
∫
−[ ]λ̃ τ
τ
,
µn : = ˜ ˜λ τ+ n .
Yz prynqt¥x opredelenyj, sootnoßenyj (46), (47) y uslovyj a) y b) naxodym
µn ∈ � ( A , a, g ) , n ∈ N , (48)
µn → λ̃ syl\no y A -ßyroko ( n → + ∞ ) . (49)
Prymenqq toΩdestvo (18), vsledstvye (48) poluçaem
F χ ( A , a, g ) ≤ F χ ( µn ) = – χ χ λ τ2 2
+ − −˜ ˜n ≤
Fχ λ( )˜ + cn ,
hde
cn : = ˜ ˜ ˜τ τ χ λn n + −( )2 .
Zameçaq, çto
Fχ λ( )˜ = F χ ( A , aJ, g ) ≤ F χ ( A , a, g )
y cn = o ( n ) , n → ∞ , otsgda v¥vodym ravenstvo (44) y sootnoßenye
lim
n∈N
F χ ( µn ) = F χ ( A , a, g ) .
Kombynyruq poslednee sootnoßenye s (48) y (49), poluçaem (45).
Prymenqq lemmuL11 yz [5], na osnovanyy sootnoßenyq (45) naxodym, çto
F Aκχ
( ), ,a g -zadaça razreßyma tohda y tol\ko tohda, kohda λ̃ qvlqetsq ee re-
ßenyem, yly, çto v uslovyqx teorem¥ ravnosyl\no, kohda v¥polnqgtsq raven-
stva (43).
TeoremaL4 dokazana.
10. O razreßymosty Fκκκκχχχχ
(((( A , a, g )))) -zadaçy. II. Zafyksyrovav j ∈ I
+
, obo-
znaçym J : = I \ { j } . V dopolnenye k uslovyqm, ukazann¥m v p.L3, v nastoqwem
punkte predpolahaem, çto mnoΩestva Ai , i ∈ I , udovletvorqgt uslovyg (7).
Tohda v sylu utverΩdenyq edynstvennosty yz lemm¥L5 dlq lgb¥x γ̃1, γ̃ 2 ∈
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 73
∈ W* ( A , aJ, g, κ χ ) (yx suwestvovanye v¥tekaet yz πtoj Ωe lemm¥) naxodym
γ̃1
j = γ̃ 2
j . Poπtomu xarakterystyka
Λ j : = ∫ gd jγ̃ , hde γ̃ ∈ W* ( A , aJ, g, κ χ ) , (50)
odnoznaçno opredelqetsq zadanyem κ, A , g, χ y ai , i ≠ j; ot v¥bora aj y γ̃
ona ne zavysyt.
Teorema55. Pust\ vektor a = ( )ai i I∈ udovletvorqet uslovyg
aj < Λ j (51)
y dlq nekotoroho γ0 ∈ W* ( A , a, g, κ χ ) v¥polnqetsq
∫ gd iγ 0 = ai ∀ i ≠ j. (52)
Tohda F κ χ
( A , a , g ) -zadaça razreßyma. Krome toho, v ukazann¥x uslovyqx
spravedlyvo strohoe neravenstvo
5
F χ ( A , aJ, g ) < F χ ( A , a, g ) . (53)
11. Syl\n¥e predel\n¥e toçky mynymyzyrugwyx napravlennostej. V
dokazatel\stve teorem¥L5 suwestvenno yspol\zuetsq poluçennoe v nastoqwem y
sledugwem punktax opysanye potencyalov κ ( x, γ ), hde γ ∈ W* ( A , a, g, f ) . So-
otvetstvugwye rezul\tat¥ pryveden¥ v predpoloΩenyqx, neskol\ko bolee ob-
wyx, çem πto neobxodymo dlq neposredstvenn¥x celej dannoj rabot¥.
Vsgdu v nastoqwem punkte predpolahaem, çto lybo f = κχ , hde χ ∈ � , ly-
bo funkcyy ( )sign A fi Ai , i ∈ I , poluneprer¥vn¥ sverxu. Tohda v sylu lemm¥L8
y zameçanyqL8 F f ( K , a, g ) -zadaça razreßyma dlq vsex dostatoçno bol\ßyx K ∈
∈ { K } A , y πto suwestvenno yspol\zuetsq v formulyrovke y dokazatel\stve po-
luçennoho zdes\ utverΩdenyq.
Krome toho, v nastoqwem y sledugwem punktax budem takΩe predpolahat\,
çto f dν∫ opredelen dlq vsex ν ∈ �
+
( A ) s kompaktn¥m nosytelem. (V sluçae
f = κχ , hde χ ∈ � , πto uslovye v¥polnqetsq avtomatyçesky y moΩet b¥t\ opu-
weno.)
Teorema56. Suwestvuet y edynstven vektor (koneçn¥x) çysel η i , i ∈ I ,
takyx, çto dlq vsex ξ ∈ M ( A , a, g, f ) v¥polnqetsq
( ) ( , ) ( )sign A a x f xi i κ ξ −[ ] ≥ ( ) ( )sign A g xi iη pr. vs. v Ai , i ∈ I , (54)
2
i I
i iA
∈
∑ ( )sign η = ξ
2 + F Af a g( ), , . (55)
Spravedlyvo predstavlenye
η i =
lim ,
{ }
( )
K K K K K
A∈
−[ ]∫κ λ λ λi if d , i ∈ I , (56)
hde λK ∈ W ( K , a, g, f ) — proyzvol\naq fyksyrovannaq mera.
Dlq kratkosty v dokazatel\stvax budem yspol\zovat\ oboznaçenye αi : =
: = sign Ai .
Dokazatel\stvo. Vsledstvye (34) y (35) trebuemoe utverΩdenye dostatoç-
no dokazat\ dlq proyzvol\noho fyksyrovannoho ξ ∈ M ( A , a, g, f ) .
5
Sr. s teoremojL4.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
74 N. V. ZORYJ
DokaΩem snaçala edynstvennost\. Pust\ η i , i ∈ I , y ′ηi , i ∈ I , udovletvo-
rqgt sootnoßenyqm (54) y (55). Tohda dlq kaΩdoho i ∈ I ymeem
α κ ξi ia x f x( , ) ( )−[ ] ≥ max , ( )α η α ηi i i i g x′{ } pr. vs. v A i . (57)
Zafyksyrovav proyzvol\no ( )µt t T∈ ∈ M ( A , a, g, f ) , zametym, çto vsledstvye
(15) neravenstvo v (57) v¥polnqetsq µt
i
-poçty vsgdu v X. Yntehryruq eho ot-
nosytel\no µt
i , a zatem summyruq po i ∈ I , poluçaem
κ µ ξ µ( ),t tf d− ∫ ≥
i I
i i i i
∈
∑ ′{ }max ,α η α η , t ∈ T .
Uçyt¥vaq sootnoßenyq (32), (33) y (55), otsgda naxodym
ξ
2 + F Af a g( ), , = 2 2lim
t T t tf d
∈
−[ ]∫µ µ = 2 lim ,( )
t T t tf d
∈
−[ ]∫κ µ ξ µ ≥
≥ 2
i I
i i i i
∈
∑ ′{ }max ,α η α η ≥ 2
i I
i i
∈
∑ α η = ξ
2 + F Af a g( ), , ,
çto vozmoΩno tol\ko v sluçae, kohda
max ,α η α ηi i i i′{ } = α ηi i, i ∈ I . (58)
Menqq v provedenn¥x v¥ße rassuΩdenyqx η i y ′ηi mestamy, poluçaem
max ,α η α ηi i i i′{ } = α ηi i′ , i ∈ I ,
çto vmeste s (58) dokaz¥vaet yskom¥e toΩdestva η i = ′ηi , i ∈ I .
DokaΩem teper\ suwestvovanye çysel η i , i ∈ I , udovletvorqgwyx (54)
yL(55).
Çerez Mσ
� = Mσ
� ( ), , ,A a g f oboznaçym mnoΩestvo vsex tex posledovatel\-
nostej
( )µn n∈N ∈ M ( A , a, g, f ) , (59)
dlq kaΩdoj yz kotor¥x suwestvuet vozrastagwaq otnosytel\no otnoßenyq ≺
posledovatel\nost\
( )K n n∈N ⊂
{ }K A so svojstvom
µn ∈ W ( K n , a, g, f ) , n ∈ N . (60)
Otmetym, çto Mσ
�
ne pusto. Dejstvytel\no, v sylu (17) dlq kaΩdoho n ∈ N
moΩno v¥brat\ K n ∈ { }K A tak, çtob¥ v¥polnqlos\
F Af a g( ), , ≤
F Kf n a g( ), , ≤
F Af a g
n
( ), , + 1
.
Perexodq pry neobxodymosty ot K n = ( )Ki
n
i I∈ k
Ki
j
j
n
i I= ∈
( )1∪ , n ∈ N, vsledst-
vye monotonnosty F f ( ⋅,La,Lg ) posledovatel\nost\ ( )K n n∈N moΩno sçytat\
vozrastagwej. Poπtomu
( )λK n n∈N, hde λKn
∈ W ( K n , a, g, f ) , — πlement
yzLL Mσ
� ( ), , ,A a g f .
Zafyksyruem ( )µn n∈N ∈ Mσ
� ( ), , ,A a g f . Perexodq pry neobxodymosty k
podposledovatel\nosty, budem sçytat\, çto suwestvuet (koneçn¥j yly besko-
neçn¥j) predel
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 75
η i : = lim ,( )
n n
i
n n
if d
∈
−[ ]∫
N
κ µ µ µ , i ∈ I . (61)
Krome toho, na osnovanyy (33) y [8, c. 166] budem polahat\ v¥polnenn¥m sootno-
ßenye
κ ( x, ξ ) = lim ,( )
n nx
∈N
κ µ pr. vs. v X, (62)
hde ξ ∈ M ( A , a, g, f ) proyzvol\no fyksyrovano.
Sohlasno opredelenyg klassa Mσ
�
suwestvuet vozrastagwaq posledova-
tel\nost\
( )K n n∈N ⊂ { }K A so svojstvom (60). Oboznaçym
F i : = Ki
n
n∈N
∪ , i ∈ I , (63)
y F : = ( )Fi i I∈ . Lehko vydet\, çto mnoΩestvo { K n : n ∈ N } konfynal\no (sm.
[17]) v { K } F . Poπtomu, prymenqq sootnoßenye (17) k F, poluçaem
F f ( F, a, g ) = lim , ,( )
n f n a g
∈N
F K . (64)
Otsgda s uçetom sootnoßenyj (59) y (60) naxodym
F f ( F, a, g ) = lim ( )
n f n∈N
F µ = F f ( A , a, g ) . (65)
Sledovatel\no, ( )µn n∈N ∈ M ( F, a, g, f ) , y poπtomu
ξ ∈ M ( F, a, g, f ) . (66)
Prymenqq teoremuL1 yz [4] k mynymyzyrugwej v F f ( K n , a, g ) -zadaçe mere
µn , poluçaem
α κ µi i na x f x( , ) ( )−[ ] ≥ α κ µ µ µi n
i
n n
if d g x( ), ( )−[ ]∫ pr. vs. v Ki
n
, n ∈ N , i ∈ I .
Yspol\zuq uporqdoçennost\ mnoΩestv Ki
n , n ∈ N , y sçetnug poluaddytyv-
nost\ vnutrennej emkosty na unyversal\no yzmerym¥x mnoΩestvax [8], perexo-
dym v poslednem sootnoßenyy k predelu po n ∈ N . Tohda vsledstvye (61) y (62)
ymeem
α κ ξi ia x f x( , ) ( )−[ ] ≥ α ηi i g x( ) pr. vs. v Ki
n
, n ∈ N , i ∈ I .
Ewe raz prymenqq svojstvo sçetnoj poluaddytyvnosty, otsgda v sylu (63) na-
xodym
α κ ξi ia x f x( , ) ( )−[ ] ≥ α ηi i g x( ) pr. vs. v Fi , i ∈ I . (67)
Vsledstvye (5) y (65) v¥polnqetsq F f ( F , a, g ) < ∞ , y poπtomu (sm. lemmuL5
yz [4]) dlq kaΩdoho i ∈ I αi f x( ) ≠ – ∞ na podmnoΩestve yz Fi nenulevoj
vnutrennej emkosty. A tak kak potencyal κ ( x, ξ ) koneçen pr.Lvs. v X, yz (67)
naxodym
α ηi i < ∞ , i ∈ I .
Sledovatel\no, α ηi ii I∈∑ opredelena y v sylu (32), (33) y (61) udovletvorqet
sootnoßenyg
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
76 N. V. ZORYJ
2 α ηi i
i I∈
∑ =
lim ( )
n n f n∈
+[ ]
N
µ µ2 F = ξ
2 + F Af a g( ), , . (68)
∏to dokaz¥vaet toΩdestvo (55) y koneçnost\ çysel η i , i ∈ I .
Yz (65) – (68) v¥tekaet, çto trebuemoe utverΩdenye suwestvovanyq dokazano
dlq F. Dlq A ono budet dokazano, kak tol\ko budet dokazano (54). Pust\, ot
protyvnoho, suwestvugt j ∈ I y kompaktnoe mnoΩestvo K0 ⊂ Aj \ Fj takye, çto
C ( K0) > 0, (69)
α κ ξj ja x f x( , ) ( )−[ ] < α ηj j g x( ) ∀ x ∈ K0 . (70)
Oboznaçym K̃ n : = ( )K̃ i
n
i I∈ , hde K̃ j
n : = K Kj
n ∪ 0 y K̃ i
n : = Ki
n
∀ i ≠ j . Za-
fyksyrovav λ n ∈ W (
K̃ n , a, g, f ) , n ∈ N , yz prynqt¥x opredelenyj, sootno-
ßenyj (64), (65) y ocenok
F f ( A , a, g ) ≤ F f ( K̃ n , a, g ) ≤ F f ( K n , a, g ) , n ∈ N ,
naxodym ( )λn n∈N ∈ Mσ
� ( ), , ,A a g f . Povtorqq dlq ( )λn n∈N rassuΩdenyq,
prodelann¥e v¥ße dlq ( )µn n∈N , v¥vodym suwestvovanye çysel ′ηi , i ∈ I , udo-
vletvorqgwyx sootnoßenyqm
2 α ηi i
i I
′
∈
∑ = ξ
2 + F Af a g( ), , , (71)
α κ ξi ia x f x( , ) ( )−[ ] ≥ α ηi i g x′ ( ) pr. vs. v ′Fi , i ∈ I , (72)
hde ′Fj : = Fj ∪ K0 y ′Fi : = Fi dlq vsex i ≠ j . Prymenqq k F utverΩdenye o
edynstvennosty çysel η i , i ∈ I , yz sootnoßenyj (65) – (68), (71) y (72) naxodym
η i = ′ηi , i ∈ I .
Poπtomu vvydu (69) sootnoßenyq (70) y (72) naxodqtsq v protyvoreçyy. ∏to do-
kaz¥vaet trebuemoe utverΩdenye (54).
Nakonec, predpolahaq, çto predel\noe ravenstvo (56) ne verno, v¥vo-
dymLLsuwestvovanye vozrastagweho mnoΩestva
( )K n n
∗
∈N ⊂ { K } A takoho, çto
F Kf n a g( ), ,∗ , n ∈ N, stremytsq k Ff ( A , a, g ) , no sootvetstvugwaq posledova-
tel\nost\ mynymyzyrugwyx mer
λK n
∗ ∈ W K( ), , ,n a g f∗ , n ∈ N, ne udovletvo-
rqet (61). A poskol\ku sohlasno postroenyg v¥polnqetsq ( )λK n
n∗ ∈N ∈
∈ Mσ
� ( ), , ,A a g f , v sylu dokazannoho v¥ße πto nevozmoΩno.
TeoremaL6Ldokazana.
12. A-ßyrokye predel\n¥e toçky mynymyzyrugwyx napravlennostej.
PokaΩem, çto pry nadleΩawyx dopolnytel\n¥x uslovyqx teoremuL6 moΩno su-
westvenno utoçnyt\, esly ohranyçyt\sq rassmotrenyem A-ßyrokyx predel\-
n¥x toçek napravlennostej
( ) { }λK K K∈ , hde λK ∈ W ( K , a, g, f ) .
Teorema57. Pust\ qdro κ neprer¥vno pry x ≠ y y udovletvorqet uslo-
vyg ( X ∞ ) , a funkcyy ( )sign A fi Ai
, i ∈ I , poluneprer¥vn¥ sverxu. Tohda dlq
kaΩdoj mer¥ γ yz W* ( A , a, g, f ) , qvlqgwejsq A -ßyrokoj predel\noj toç-
koj napravlennosty
( ) { }λK K K∈ , hde λ K ∈ W ( K , a, g, f ) , y vsex i ∈ I spra-
vedlyv¥ sootnoßenyq
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 77
( ) ( , ) ( )sign A a x f xi i κ γ −[ ] ≥ ( ) ( )sign A g xi iη pr. vs. v Ai , (73)
( ) ( , ) ( )sign A a x f xi i κ γ −[ ] ≤ ( ) ( )sign A g xi iη ∀ x ∈ S ( γ
i
) , (74)
a x f xi κ γ( , ) ( )−[ ] = ηi g x( ) pr. vs. v A i ∩ S ( γ
i
) , (75)
hde η i , i ∈ I , — çysla, odnoznaçno opredelenn¥e teoremojL6.
Dokazatel\stvo. Zafyksyruem napravlennost\
( ) { }λK K K∈ , hde λ K ∈
∈ W ( K , a, g, f ) ; v sylu (17) ona prynadleΩyt M ( A , a, g, f ) . Perexodq pry ne-
obxodymosty k podnapravlennosty, na osnovanyy lemm¥L5 budem sçytat\ ee po-
roΩdagwej nekotorug γ ∈ W* ( A , aJ, g, f ) . Prymenqq k γ teoremuL6, poluçaem
sootnoßenye (73).
Zafyksyrovav i ∈ I
+
y x0 ∈ S ( γ
i
) , dokaΩem sootnoßenye (74). Poskol\ku
λK
i → γ
i
ßyroko, najdetsq sxodqwaqsq k x0 napravlennost\
( ) { }ζK K K∈ ta-
kaq, çto
ζ K ∈
S i( )λK ∀ K ∈ { K } .
Uçyt¥vaq ocenku (15), na osnovanyy predloΩenyqL2 y poluneprer¥vnosty snyzu
otobraΩenyq ( x, ν ) � κ ( x, ν ) na X × �
+
( X ) (sm. lemmuL2.2.1 yz [8]) sootvet-
stvenno naxodym
κ γ( )−x0, =
lim ,
K K K K∈{ }
−( )κ ζ λ , κ γ( )+x0, ≤
lim ,
K K K K∈{ }
+( )κ ζ λ . (76)
V prynqt¥x predpoloΩenyqx k mere λ K ∈ W ( K , a, g, f ) prymenyma teore-
maL2 yz [4]; na ee osnovanyy dlq ζ K ∈
S i( )λK , i ∈ I
+, poluçaem
a fi κ ζ λ ζ( ) ( )−[ ]K K K, ≤ κ λ λ λ ζ( ) ( )−[ ]∫K K K K
i if d g, .
Perexodq v πtom neravenstve k predelu po K ∈ {K }, vsledstvye sootnoßenyj
(76), neprer¥vnosty g, poluneprer¥vnosty sverxu f
Ai
, i ∈ I
+, y ravenstva
(56) naxodym (74).
Dokazatel\stvo sootnoßenyq (74) dlq i ∈ I
–
analohyçno. Nakonec, komby-
nyruq sootnoßenyq (73) y (74), poluçaem (75).
TeoremaL7Ldokazana.
13. Dokazatel\stvo teorem¥ 5. Zafyksyruem a y γ0 ∈ W* ( A , a, g, κ χ ) ,
udovletvorqgwye uslovyqm (51) y (52). PokaΩem, çto ravenstva (52) spraved-
lyv¥ y dlq proyzvol\noj fyksyrovannoj mer¥ γ ∈ W* ( A , a , g , κ χ ) , qvlqg-
wejsq A -ßyrokoj predel\noj toçkoj napravlennosty ( ) { }λK K K A∈ , hde λ K ∈
∈ W ( K , a, g, κ χ ) .
Dejstvytel\no, v sylu utverΩdenyq edynstvennosty yz lemm¥L5 v¥polnqet-
sq γ
+ = γ 0
+
y γ
– = γ 0
− . Otsgda vsledstvye uslovyq (7) poluçaem γ j = γ 0
j
y,
sledovatel\no,
∫∑
≠
gd i
i j
γ = ∫∑
≠
gd i
i j
γ 0 = ai
i j≠
∑ ,
çto vvydu ocenok (39) vozmoΩno tol\ko v sluçae
∫ gd iγ = ai ∀ i ≠ j. (77)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
78 N. V. ZORYJ
Poπtomu ymeem
γ ∈ � ( A , aJ , g ) . (78)
Yspol\zuq predloΩenyeL2, vydym, çto v uslovyqx teorem¥ potencyal κχ po-
luneprer¥ven sverxu na A
+ y poluneprer¥ven snyzu na A
–. Poπtomu k γ pry-
menyma teoremaL7; pust\ η i , i ∈ I , — çysla, fyhuryrugwye v ee formuly-
rovke. PokaΩem, çto
η i = κ γ γ χ( )−i, , i ∈ I , (79)
y, sledovatel\no (sm. teoremuL7),
α κ γ χi ia x( − ), ≥ α κ γ γ χi
i g x( )−, ( ) pr. vs. v Ai , i ∈ I . (80)
Dejstvytel\no, yntehryruq obe çasty ravenstva (75) otnosytel\no mer¥ γ
i,
vsledstvye ee ohranyçennosty naxodym
ai
iκ γ γ χ( )−, = η γi
igd∫ , i ∈ I . (81)
Poskol\ku dlq kaΩdoho i ∈ I ai ≠ 0, yz (77) y (81) v¥tekaet spravedlyvost\
sootnoßenyq (79) dlq vsex i ≠ j . S druhoj storon¥, kombynyruq (41) s (55), po-
luçaem
2 α ηi i
i I∈
∑ = γ χ
2 + F A( ), ,a g = 2κ γ γ χ( − ), = 2 α κ γ γ χi
i
i I
( )−
∈
∑ , ,
çto vmeste s tol\ko çto dokazann¥m dokaz¥vaet sootnoßenye (79) y dlq i = j .
Dal\nejßye rassuΩdenyq razob\em na dva πtapa.
I. Na πtom πtape predpoloΩym v¥polnenn¥m sootnoßenye
κ γ γ χ( )−j, = 0. (82)
Tohda, oçevydno,
κ γ γ χ( − ), = α κ γ γ χi
i
i j
( )−
≠
∑ , . (83)
Dlq kaΩdoho K ∈ { K } A rassmotrym meru λ̃K ∈ W ( K , aJ , g , κ χ ) (ona
suwestvuet v sylu lemm¥L8); tohda neravenstvo v (80) v¥polnqetsq
λ̃K
i
-poçty
vsgdu. Proyntehryruem eho otnosytel\no λ̃K
i , a zatem prosummyruem po i ∈ I ,
vospol\zovavßys\ pry πtom ravenstvamy (82), (83) y sootnoßenyem
gd iλ̃K∫ =
= ai dlq vsex i ≠ j . V rezul\tate poluçym
κ γ χ λ( )− , ˜
K =
i I
i
ix d x
∈
∑ ∫ ( − )α κ γ χ λ, ˜ ( )K ≥
≥
i I
i
i
i
i
a
gd
∈
∑ ∫( )−α κ γ γ χ λ, ˜
K = α κ γ γ χi
i
i j
( )−
≠
∑ , = κ γ γ χ( − ), ,
y poπtomu
κ γ χ λ χ( )− −, ˜
K ≥ γ χ− 2.
Prymenqq k levoj çasty poluçennoho sootnoßenyq neravenstvo Koßy – Bunq-
kovskoho, a zatem perexodq k predelu po K ∈ { K } A
, vsledstvye lemmL5 y 8 na-
xodym
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 79
γ̃ χ− ≥ γ χ− ∀ γ̃ ∈ W* ( A , aJ, g, κ χ ) ,
yly, çto v sylu (18) y (41) ravnosyl\no,
F χ ( A , aJ, g ) ≥ F χ ( γ ) .
Posledovatel\no yspol\zuq sootnoßenyq (78) y (38), otsgda v¥vodym
γ ∈ W bou ( A , aJ, g, κ χ )
y, sledovatel\no (sm. (36), (50) y (51)),
∫ gd jγ = Λ j > aj .
No, s druhoj storon¥, γ ∈ W* ( A , a, g, κ χ ) , y poπtomu ∫ gd jγ ≤ aj . Proty-
voreçye.
II. Takym obrazom, v uslovyqx teorem¥ vozmoΩen tol\ko sluçaj
κ γ γ χ( )−j, ≠ 0. (84)
Sravnyvaq sootnoßenyq (79) y (81) pry i = j, vsledstvye (84) naxodym ∫ gd jγ =
= aj . Vmeste s (41) y (78) πto oznaçaet, çto γ — mynymyzyrugwaq v Fκχ
( A , a,
g ) -zadaçe mera.
Krome toho, sohlasno (75), (79) y (84) κ ( x, χ – γ ) ≠ 0 pr. vs. v S ( γ j ) . Uçy-
t¥vaq lemmuL1, otsgda naxodym
γ j ≠ P Jγ χ , (85)
hde P Jγ χ
— proekcyq mer¥ γ χ
J na �
+
( Aj ) . Posledovatel\no yspol\zuq soot-
noßenyq (41), (18), (85), (78) y (20), poluçaem cepoçku neravenstv
F χ ( A , a, g ) = F χ ( γ ) > – χ 2 +
inf
( )ω
χγ ω
∈ +
−
� A
J
j
2
≥ F χ ( A , aJ, g ) ,
yz kotoroj v¥tekaet (53).
TeoremaL5Lpolnost\g dokazana.
14. Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Oboznaçym J : = I \ { j } . PokaΩem, çto v
uslovyqx teorem¥ vspomohatel\naq Fκχ
( A , aJ, g ) -zadaça razreßyma v klasse oh-
ranyçenn¥x mer.
Zafyksyrovav γ ∈ W* ( A , aJ, g, κ χ ) (ona suwestvuet v sylu lemm¥L5), doka-
Ωem vklgçenye γ ∈ Wbou ( A , aJ, g, κ χ ) . Vsledstvye (38), (39) y (41) dlq πtoho
dostatoçno dokazat\ neravenstvo
∫ gd iγ ≥ ai , (86)
hde i ∈ J proyzvol\no fyksyrovano.
Pust\ ( )µs s S∈ ∈ M ( A , aJ, g, κ χ ) — napravlennost\, sxodqwaqsq k γ syl\no
y A -ßyroko. Perexodq pry neobxodymosty k podnapravlennosty, budem sçy-
tat\ ee syl\no ohranyçennoj. Sohlasno opredelenyg M ( A , aJ, g, κ χ ) , ( )µs s S∈
udovletvorqet uslovyg (3). Otsgda vsledstvye neotrycatel\nosty qdra κ y
eho ohranyçennosty na A
+ × A
–
naxodym
sup
s S
s
i
∈
µ < ∞ . (87)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
80 N. V. ZORYJ
Pust\ { K } oboznaçaet vozrastagwee otnosytel\no vklgçenyq semejstvo
vsex kompaktn¥x podmnoΩestv yz Ai , a ϕQ — xarakterystyçeskug funkcyg
mnoΩestva Q ⊂ X . Podstavlqq ψ = – g ϕK v (40), vsledstvye ßyrokoj sxody-
mosty ( )µs
i
s S∈ k γ
i
ymeem
∫ g dK
iϕ γ ≥ lim sup
s S
K s
ig d
∈
∫ ϕ µ ∀ K ∈ { K } .
Yspol\zuq πto neravenstvo y lemmuL1Lyz [8], poluçaem
∫ gd iγ = lim
{ }K K K
ig d
∈ ∫ ϕ γ ≥ lim sup
( , ) { }s K S K
K s
ig d
∈ ×
∫ ϕ µ ,
hde S × { K } — napravlennoe proyzvedenye napravlenn¥x mnoΩestv S y { K } .
Sledovatel\no, dokazatel\stvo neravenstva (86) svodytsq k ustanovlenyg soot-
noßenyq
lim inf
( , ) { }
\
s K S K
A K s
ig d
i∈ ×
∫ ϕ µ = 0. (88)
Dlq lgboho E ⊂ Ai oboznaçym çerez θE vnutrennee emkostnoe raspredele-
nye, assocyyrovannoe s E ; ono suwestvuet y edynstvenno vsledstvye uslovyq
(8) y A -soverßennosty qdra (sm. [8, 16]). Spravedlyv¥ sootnoßenyq [8]
θE ∈ �
+
( E ) ,
θE ( X ) = θE
2 = C ( E ) , (89)
κ ( x, θE ) ≥ 1 pr. vs. v E, (90)
κ ( x, θE ) ≤ 1 ∀ x ∈ S ( θE ) . (91)
Rassmotrym mer¥ θA Ki \ , hde K ∈ { K } . Yz rezul\tatov rabot¥ [8] v¥vodym
neravenstvo
θ θA K A Ki i\ \− ′
2
≤ θA Ki \
2
– θA Ki \ ′
2
∀ K ⊂ K ′,
a yz sootnoßenyj (8) y (89) — utverΩdenye, çto napravlennost\ θA Ki \ , K ∈
∈ { K } , ohranyçena y ne vozrastaet, a poπtomu fundamental\na v R . Sledova-
tel\no, ( )\ { }θA K K Ki ∈ syl\no fundamental\na v �. Ewe raz yspol\zuq (8) y
(89), otsgda naxodym
( )\ { }θA K K Ki ∈ ∈ B ( A ) .
A poskol\ku, oçevydno, ( )\ { }θA K K Ki ∈ sxodytsq k nulg ßyroko, to vsledstvye
A -soverßennosty qdra ona sxodytsq k nulg y syl\no. Poπtomu ymeem
lim
{ } \K K A Ki∈
θ = 0. (92)
PredpoloΩym, çto dlq nekotor¥x r ∈ ( 1, ∞ ) y ζ ∈ � v¥polnqetsq uslovye
(9). ∏to ne pryvodyt k potere obwnosty rassuΩdenyj. Dejstvytel\no, v obrat-
nom sluçae suwestvuet çyslo c < ∞ takoe, çto g ( x ) ≤ c na Ai. Kombynyruq
πto sootnoßenye s (90) pry E = Ai, snova pryxodym k (9), hde r ∈ ( 1, ∞ ) — lg-
boe, a ζ opredelqetsq ravenstvom ζ : = cr θAi
.
Oboznaçym q : = r r( )− −1 1
. Kombynyruq (9) s (90) pry E = A i \ K, v¥vodym,
çto pr. vs. v A i y, sledovatel\no, µs
i
-poçty vsgdu v X v¥polnqetsq neraven-
stvo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 81
g x xA Ki
( ) ( )\ϕ ≤ κ ζ κ θ( ) ( ), ,/
\
/x xr
A K
q
i
1 1 .
Yntehryruq eho otnosytel\no µs
i , a zatem prymenqq k v¥raΩenyg v pravoj ças-
ty neravenstvo Hel\dera y, posledovatel\no, neravenstvo Koßy – Bunqkovsko-
ho, naxodym
∫ g dA K s
i
i
ϕ µ\ ≤ ∫ ∫[ ] [ ]κ ζ µ κ θ µ( ) ( ), ( ) , ( )
/
\
/
x d x x d xs
i r
A K s
i q
i
1 1
≤ ζ θ µ1 1/
\
/r
A K
q
s
i
i
.
Perexodq zdes\ k predelu po ( s, K ) ∈ S × { K } , v sylu (87) y (92) poluçaem (88).
Sledovatel\no, klass Wbou ( A , aJ, g, κ χ ) ne pust. Zafyksyrovav proyzvol\-
no eho πlement λ̃ , yz sootnoßenyj (36) y (50) naxodym ∫ gd jλ̃ = Λ j .
Krome toho, v sylu lemm¥L13Lyz [5] suwestvuet mera γ0 ∈ W* ( A , a , g , κ χ ) ,
udovletvorqgwaq uslovyg (52). Otsgda y yz tol\ko çto dokazannoj razreßy-
mosty (vspomohatel\noj)
F Aκχ
( ), ,a gJ -zadaçy v¥tekaet, çto v uslovyqx teore-
m¥L1Lprymenym¥ teorem¥L4LyL5. Yspol\zuq yx, naxodym, çto v sluçae C ( Aj ) =
= ∞ (osnovnaq)
F Aκχ
( ), ,a g -zadaça razreßyma tohda y tol\ko tohda, kohda
aj ≤ Λ j . A tak kak v sluçae C ( Aj ) < ∞ πta zadaça razreßyma sohlasno
teoremeL1Lyz [5], teoremaL1Ldokazana.
15. Dokazatel\stvo teorem¥52. Oboznaçym J : = I \ { j } . Zafyksyrovav me-
ru γ̃ ∈ W* ( A , aJ, g, κ χ ) (ona suwestvuet v sylu lemm¥L5), dokaΩem ravenstva
∫ gd iγ̃ = ai ∀ i ∈ J . (93)
Pust\ ( )µs s S∈ — napravlennost\ yz M ( A , aJ, g, κ χ ) , a σ1, σ2 ∈ � — mer¥,
udovletvorqgwye uslovyqm (12) y (13). Poskol\ku µs → γ̃ syl\no, ymeem
lim , ( )( )
s S n sx d x
∈ ∫ κ σ µ = ∫ κ σ γ( ), ˜ ( )x d xn , n = 1, 2 .
Poπtomu vsledstvye (12), (13) y ohranyçennosty mer µs, s ∈ S, y γ (sm. p.L8) na-
xodym
i J
igd
∈
∑ ∫ γ̃ =
i J
ia
∈
∑ ,
çto v sylu neravenstv (39) vozmoΩno tol\ko v sluçae (93).
Yz sootnoßenyj (38), (41) y (93) v¥tekaet, çto v uslovyqx teorem¥L2 (vspo-
mohatel\naq) F Aκχ
( ), ,a gJ -zadaça razreßyma v klasse ohranyçenn¥x mer. Za-
fyksyrovav proyzvol\no λ̃ ∈ Wbou ( A , aJ, g, κ χ ) , v sylu (36) y (50) naxodym
gd jλ̃∫ = Λ j .
Krome toho, s pomow\g rassuΩdenyj, analohyçn¥x tol\ko çto pryve-
denn¥m, ubeΩdaemsq v spravedlyvosty ravenstv (93) y dlq lgboho γ ∈ W* ( A , a,
g, κ χ ) .
Poπtomu, uçyt¥vaq uslovye C ( A j ) = ∞ y prymenqq teorem¥L4 y 5, v¥vodym,
çto
F Aκχ
( ), ,a g -zadaça razreßyma tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnqetsq
aj ≤ Λ j .
TeoremaL2Ldokazana.
16. Dokazatel\stvo teorem¥53. Sohlasno teoremeL13.5 yz [18], v prynqt¥x
v teoremeL3Luslovyqx suwestvugt mer¥ σ1, σ2 ∈ �, udovletvorqgwye sootno-
ßenyqm (12) y (13). Prymenqq teoremuL2, v¥vodym, çto v sluçae C ( Aj) = ∞ uslo-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
82 N. V. ZORYJ
vye (11) neobxodymo y dostatoçno dlq razreßymosty
F Aκχ
( ), ,a g -zadaçy. Po-
πtomu dokazatel\stvo teorem¥ svodytsq k dokazatel\stvu dostatoçnosty uslo-
vyq C ( Aj) < ∞ .
Zametym, çto vsledstvye (12) y (13) v¥polnqetsq
C ( Ai ) < ∞ ∀ i ≠ j.
Dejstvytel\no, esly dlq nekotoroho i ≠ j ( pust\ i ∈ I
–
) C ( A i) = ∞ , to naj-
dutsq edynyçn¥e mer¥ νn ∈ �
+
( Ai ) , n ∈ N, takye, çto νn → 0 pry n → ∞ .
Uçyt¥vaq sootnoßenyq
0 < gmin ≤ ∫ gd nν = κ σ ν( ),2 n ≤ σ ν2 n ,
v rezul\tate predel\noho perexoda pryxodym k protyvoreçyg.
Sledovatel\no, C ( A ) < ∞ , y poπtomu v sylu sohlasovannosty qdra suwest-
vuet [8] vnutrennee emkostnoe raspredelenye θA , assocyyrovannoe s A. Ys-
pol\zuq poln¥j pryncyp maksymuma, yz sootnoßenyj (90), (91) y uslovyq g ≡
≡ c, hde c = const, v¥vodym
κ ( x, c θA ) = g ( x ) pr. vs. v A .
Poπtomu dlq lgb¥x γ ∈ W* ( A , a, g, κχ ) y ( )µs s S∈ ∈ M ( A , a, g, κ χ ) ymeem
i I
i
igd
∈
∑ ∫α γ = κ ( c θA, γ ) = lim
s S∈
κ ( c θA, µ s ) =
i I
i ia
∈
∑ α .
A tak kak vsledstvye (12) y (13) gd iγ∫ = ai dlq vsex i ≠ j (sm. dokazatel\st-
vo teorem¥L2), otsgda naxodym gd jγ∫ = aj . Sledovatel\no, γ ∈ W ( A , a ,
g,LLκ χ ) .
TeoremaL3Ldokazana.
17. Prymer. Pust\ X = Rn
, n ≥ 3. Prymenenye teoremL1L–L5Lpozvolqet po-
luçyt\ rqd nov¥x rezul\tatov o razreßymosty varyacyonnoj zadaçy Haussa dlq
qder N\gtona, Hryna yly Ryssa. Ohranyçymsq formulyrovkoj odnoho yz nyx.
Pust\ κ ( x, y ) = x y n− −2
— qdro N\gtona, I
+ = { 1 } , I
– = { 2 } , a A1 y
A 2 — zamknut¥e mnoΩestva s nenulevoj n\gtonovoj emkost\g C ( ⋅ ) . Pust\,
dlq prostot¥ formulyrovky, R
n
\ A1 svqzno.
MnoΩestvo Q ⊂ Rn
naz¥vaetsq razreΩenn¥m na beskoneçnosty, esly eho
obraz pry preobrazovanyy ynversyy otnosytel\no edynyçnoj sfer¥ razreΩen v
toçke x = 0 (sm. [20, 23, 24]); sovokupnost\ vsex takyx Q oboznaçym çerezLL� ∞ .
Esly mnoΩestvo ne razreΩeno na beskoneçnosty, to eho n\gtonova emkost\
beskoneçna, odnako obratnoe utverΩdenye ne verno (sm. [11]).
Prymenqq rezul\tat¥ nastoqwej rabot¥ y rezul\tat¥ yz [11] ob yzmenenyy
polnoj mass¥ mer¥ pry ee n\gtonovom v¥metanyy, poluçaem sledugwee ut-
verΩdenye.
Teorema58. Pust\ g ≡ c y f = κχ , hde c ∈ ( 0, ∞ ) , a χ ∈ � — neotry-
catel\naq ohranyçennaq mera s
S ( χ ) ∩ A1 = ∅.
Pust\ emkost\ A 2 otnosytel\no qdra Hryna G n AR \ 1
koneçna, a a = ( a1, a2 )
— poloΩytel\n¥j vektor, udovletvorqgwyj uslovyg
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ RAZREÍYMOSTY … 83
a1 ≥ a2 + χ ( R
n
) .
V πtyx predpoloΩenyqx
F Aκχ
( ), ,a g -zadaça razreßyma tohda y tol\ko tohda,
kohda lybo
C ( A1 ) < ∞ ,
lybo v¥polnqetsq sovokupnost\ uslovyj
A1 ∉ � ∞ , a1 = a2 + χ ( R
n
) .
1. Ohtsuka M. On potentials in locally compact spaces // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A-1. – 1961. –
25, # 2. – P. 135 – 352.
2. Saff E. B., Totik V. Logarithmic potentials with external fields. – Berlin: Springer, 1997. – 505 p.
3. Zorii N. On the solvability of the Gauss variational problem // Comput. Methods Funct. Theory. –
2002. – 2, # 2. – P. 427 – 448.
4. Zoryj N. V. Ravnovesn¥e potencyal¥ s vneßnymy polqmy // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55,
# 9. – S. 1178 – 1195.
5. Zoryj N. V. Zadaçy ravnovesyq dlq potencyalov s vneßnymy polqmy // Tam Ωe. – # 10. –
S.L1315 – 1339.
6. Burbaky N. Yntehryrovanye. Mer¥, yntehryrovanye mer. – M.: Nauka, 1967. – 396 s.
7. ∏dvards R. Funkcyonal\n¥j analyz. Teoryq y pryloΩenyq. – M.: Myr, 1969. – 1071 s.
8. Fuglede B. On the theory of potentials in locally compact spaces // Acta Math. – 1960. – 103,
# 3 – 4. – P. 139 – 215.
9. Zoryj N. V. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy emkostej kondensatorov v lokal\no kompaktn¥x
prostranstvax. I // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 2. – S. 168 – 189.
10. Cartan H. Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels // Bull. Soc. Math.
France. – 1945. – 73. – P. 74 – 106.
11. Zoryj N. V. ∏kstremal\naq zadaça o mynymume πnerhyy dlq prostranstvenn¥x kondensato-
rov // Ukr. mat. Ωurn. – 1986. – 38, # 4. – S. 431 – 437.
12. Zoryj N. V. Zadaça o mynymume πnerhyy dlq prostranstvenn¥x kondensatorov y qder Ryssa
// Tam Ωe. – 1989. – 41, # 1. – S. 34 – 41.
13. Zoryj N. V. Odna nekompaktnaq varyacyonnaq zadaça teoryy ryssova potencyala. I, II // Tam
Ωe. – 1995. – 47, # 10. – S. 1350 – 1360; 1996. – 48, # 5. – S. 603 – 613.
14. Zoryj N. V. Zadaça o mynymume hrynovoj πnerhyy dlq prostranstvenn¥x kondensatorov //
Dokl. AN SSSR. – 1989. – 307, # 2. – S. 265 – 269.
15. Zoryj N. V. Odna varyacyonnaq zadaça teoryy hrynova potencyala. I, II // Ukr. mat. Ωurn. –
1990. – 42, # 4. – S. 494 – 500; # 11. – S. 1475 – 1480.
16. Zoryj N. V. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy emkostej kondensatorov v lokal\no kompaktn¥x
prostranstvax. II // Tam Ωe. – 2001. – 53, # 4. – S. 466 – 488.
17. Kelly DΩ. Obwaq topolohyq. – M.: Nauka, 1981. – 431 s.
18. Zoryj N. V. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy emkostej kondensatorov v lokal\no kompaktn¥x
prostranstvax. III // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 6. – S. 758 – 782.
19. Zoryj N. V. Teoryq potencyala otnosytel\no sohlasovann¥x qder: teorema o polnote,
posledovatel\nosty potencyalov // Tam Ωe. – 2004. – 56, # 11. – S. 1513 – 1526.
20. Landkof N. S. Osnov¥ sovremennoj teoryy potencyala. – M.: Nauka, 1966. – 515 s.
21. Kishi M. Sur l’existence des mesures des condensateurs // Nagoya Math. J. – 1967. – 30. – P. 1 – 7.
22. Zorii N. On existence of a condenser measure // Mat. studi]. – 2000. – 13, # 2. – S. 181 – 189.
23. Brelo M. Osnov¥ klassyçeskoj teoryy potencyala. – M.: Myr, 1964. – 212 s.
24. Brelo M. O topolohyqx y hranycax v teoryy potencyala. – M.: Myr, 1974. – 224 s.
Poluçeno 17.03.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|