Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів
Досліджується існування нарізно неперервної функції f : X × Y→ ℝ з одноточковою множиною точок розриву, коли X і Y задовольняють умови типу компактності. Зокрема, показано, що для компактних просторів X і Y і неізольованих точок x₀∈X і y₀∈Y існує нарізно неперервна функція f : X × Y→ ℝ з множиною {(...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165560 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів / В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 94–101. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165560 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655602020-02-15T01:26:55Z Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів Михайлюк, В.В. Статті Досліджується існування нарізно неперервної функції f : X × Y→ ℝ з одноточковою множиною точок розриву, коли X і Y задовольняють умови типу компактності. Зокрема, показано, що для компактних просторів X і Y і неізольованих точок x₀∈X і y₀∈Y існує нарізно неперервна функція f : X × Y→ ℝ з множиною {(x₀,y₀)} точок розриву тоді і тільки тоді, коли в X і Y існують послідовності непорожніх функціонально відкритих множин, які збігаються до x₀ і y₀ відповідно. We investigate the existence of a separately continuous function f : X × Y→ ℝ with a one-point set of points of discontinuity in the case where the topological spaces X and Y satisfy conditions of compactness type. In particular, for the compact spaces X and Y and the nonizolated points x₀∈X and y₀∈Y, we show that the separately continuous function f : X × Y→ ℝ with the set of points of discontinuity {(x₀,y₀)} exists if and only if sequences of nonempty functionally open set exist in X and Y and converge to x₀ and y₀, respectively. 2005 Article Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів / В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 94–101. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165560 517.51, 515.12 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Михайлюк, В.В. Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів Український математичний журнал |
| description |
Досліджується існування нарізно неперервної функції f : X × Y→ ℝ з одноточковою множиною точок розриву, коли X і Y задовольняють умови типу компактності. Зокрема, показано, що для компактних просторів X і Y і неізольованих точок x₀∈X і y₀∈Y існує нарізно неперервна функція f : X × Y→ ℝ з множиною {(x₀,y₀)} точок розриву тоді і тільки тоді, коли в X і Y існують послідовності непорожніх функціонально відкритих множин, які збігаються до x₀ і y₀ відповідно. |
| format |
Article |
| author |
Михайлюк, В.В. |
| author_facet |
Михайлюк, В.В. |
| author_sort |
Михайлюк, В.В. |
| title |
Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів |
| title_short |
Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів |
| title_full |
Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів |
| title_fullStr |
Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів |
| title_full_unstemmed |
Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів |
| title_sort |
одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165560 |
| citation_txt |
Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів / В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 94–101. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mihajlûkvv odnotočkovírozrivinaríznoneperervnihfunkcíjnadobutkudvohkompaktnihprostorív |
| first_indexed |
2025-07-14T18:55:33Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:55:33Z |
| _version_ |
1837649726851252224 |
| fulltext |
UDK 517.51, 515.12
V. V. Myxajlgk (Çernivec. nac. un-t)
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY
NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ
NA DOBUTKU DVOX KOMPAKTNYX PROSTORIV
We investigate the existence of a separately continuous function f : X × Y → R with a one-point set of
points of discontinuity in the case where the topological spaces X and Y satisfy conditions of
compactness type. In particular, for the compact spaces X and Y and the nonizolated points x0 ∈ X
and y0 ∈ Y, we show that the separately continuous function f : X × Y → R with the set of points of
discontinuity { ( x0 , y0 ) } exists if and only if sequences of nonempty functionally open set exist in X
and Y and converge to x0 and y0 , respectively.
DoslidΩu[t\sq isnuvannq narizno neperervno] funkci] f : X × Y → R z odnotoçkovog mnoΩy-
nog toçok rozryvu, koly X i Y zadovol\nqgt\ umovy typu kompaktnosti. Zokrema, pokazano,
wo dlq kompaktnyx prostoriv X i Y i neizol\ovanyx toçok x0 ∈ X i y0 ∈ Y isnu[ narizno nepe-
rervna funkciq f : X × Y → R z mnoΩynog { ( x0 , y0 ) } toçok rozryvu todi i til\ky todi, koly v
X i Y isnugt\ poslidovnosti neporoΩnix funkcional\no vidkrytyx mnoΩyn, qki zbihagt\sq do
x0 i y0 vidpovidno.
1. Iz teoremy Namioky [1] vyplyva[, wo mnoΩyna toçok rozryvu narizno nepe-
rervno] funkci], tobto funkci], neperervno] vidnosno koΩno] zminno], zokrema,
na dobutku dvox kompaktiv mistyt\sq v dobutku mnoΩyn perßo] katehori]. Pry-
rodno vynyka[ pytannq pro opys mnoΩyn toçok rozryvu narizno neperervnyx
funkcij na dobutkax kompaktiv (dyv. [2]), zokrema: çy koΩna odnotoçkova mno-
Ωyna z neizol\ovanymy proekciqmy v dobutku dvox kompaktiv [ mnoΩynog toçok
rozryvu deqko] narizno neperervno] funkci]? V [3] (teorema 9) pokazano, wo vid-
povid\ na ce pytannq [ nehatyvnog. A same, na dobutku dvox tyxonovs\kyx ku-
biv, xoça b odyn z qkyx ma[ nezliçennu vahu, ne isnu[ narizno neperervno] funkci]
z odnotoçkovym rozryvom. Cej rezul\tat bulo uzahal\neno v [4].
Umovy na topolohiçni prostory X i Y i toçky a ∈ X i b ∈ Y, qki zabez-
peçugt\ isnuvannq narizno neperervno] funkci] f : X × Y → R z mnoΩynog { ( a,
b ) } toçok rozryvu, vyvçalysq v [5] (dyv. takoΩ [6]). Tam bulo pokazano, wo dlq
c\oho dostatn\o, wob X i Y buly tyxonovs\kymy, a i b — neizol\ovanymy Gδ-
toçkamy u vidpovidnyx prostorax, pryçomu prostir Y ma[ zliçennu bazu okoliv
toçky b abo [ lokal\no zv’qznym u toçci b. Krim toho, z rezul\tativ roboty [7],
de rozv’qzu[t\sq zadaça pro pobudovu narizno neperervno] funkci] na dobutku
kompaktiv Eberlejna z danog mnoΩynog toçok rozryvu, vyplyva[, wo sformu-
l\ovane vywe tverdΩennq ma[ misce takoΩ, koly X i Y — kompakty Eberlejna
ta a ∈ X i b ∈ Y — neizol\ovani toçky. ZauvaΩymo, wo osnovnym instrumentom
pry dovedenni rezul\tativ iz [7] [ vlastyvist\ typu Prejssa – Symona kompaktiv
Eberlejna (dyv. [8, s. 170]), tobto naqvnist\ u kompakti Eberlejna poslidovnosti
vidkrytyx mnoΩyn, qka zbiha[t\sq do dano] toçky. Oskil\ky tyxonovs\kyj kub
nezliçenno] vahy ne ma[ tako] vlastyvosti, to na pidstavi teoremy 9 iz [3]
pryrodno vstanovyty, naskil\ky isnuvannq zbiΩnyx poslidovnostej vidkrytyx
mnoΩyn u kompaktnyx prostorax X i Y [ neobxidnog umovog dlq isnuvannq na-
rizno neperervno] funkci] f : X × Y → R z odnotoçkovog mnoΩynog rozryviv.
Vyvçenng c\oho pytannq i prysvqçeno danu robotu. A same, dlq pevnyx kla-
siv topolohiçnyx prostoriv my vstanovymo rivnosyl\nist\ nastupnyx tverdΩen\:
i) isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix funkcional\no vid-
krytyx mnoΩyn Un ⊆ X i Vn ⊆ Y, qki zbihagt\sq do toçok x0 ∈ X i y0 ∈ Y vid-
povidno, pryçomu x0 ∉ Un i y0 ∉ Vn dlq koΩnoho n ∈ N;
© V. V. MYXAJLGK, 2005
94 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 95
ii) isnu[ narizno neperervna funkciq f : X × Y → R, mnoΩyna toçok rozryvu
qko] dorivng[ { ( x0 , y0 ) }.
Spoçatku, vykorystavßy ponqttq zaleΩnosti funkcij vid pevnoho çysla ko-
ordynat, vstanovymo cej fakt, koly X — separabel\nyj psevdokompakt i Y —
kompakt abo X — psevdokompakt zi zliçennym çyslom Suslina i Y — kompakt
Valdivia. A potim, perejßovßy do asocijovanyx vidobraΩen\, otryma[mo analo-
hiçnyj rezul\tat dlq kompaktnyx prostoriv X i Y.
2. Nahada[mo deqki oznaçennq, vvedemo poznaçennq i dovedemo dopomiΩni
tverdΩennq.
MnoΩynu toçok rozryvu vidobraΩennq f : X → Y , de X , Y — topolohiçni
prostory, poznaçatymemo çerez D ( f ). Qkwo, krim toho, Y — metryçnyj pros-
tir iz metrykog d i A ⊆ X — neporoΩnq mnoΩyna, to çyslo ω f ( A ) =
= sup
,′ ′′∈x x A
d ( f ( x′ ), f ( x′′ ) ) nazyva[t\sq kolyvannqm vidobraΩennq f na mnoΩyni
A, a çyslo ωf ( x0 ) =
inf
U∈U
ωf ( U ), de U — systema vsix okoliv toçky x0 ∈ X, —
kolyvannqm vidobraΩennq f u toçci x0 .
Dlq funkci] f : X → R çerez supp f poznaçatymemo nosij { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0 }
funkci] f.
MnoΩyna A v topolohiçnomu prostori X nazyva[t\sq funkcional\no
vidkrytog, qkwo isnu[ neperervna funkciq f : X → [ 0, 1 ], dlq qko] A =
= f –
1
( ( 0, 1 ] ).
Budemo hovoryty, wo poslidovnist\ ( ) =
∞An n 1 neporoΩnix pidmnoΩyn An to-
polohiçnoho prostoru X zbiha[t\sq do toçky x0 ∈ X (poznaçatymemo An →
→ x0 ), qkwo dlq dovil\noho okolu U toçky x0 v X isnu[ nomer n0 takyj, wo
An ⊆ U dlq vsix n ≥ n0 .
Sim’g ( Ai : i ∈ I ) pidmnoΩyn Ai topolohiçnoho prostoru X nazyvatymemo
lokal\no skinçennog, qkwo dlq dovil\no] toçky x ∈ X isnu[ okil U toçky x u
X takyj, wo mnoΩyna { i ∈ I : U ∩ Ai ≠ ∅ } [ skinçennog, i toçkovo-skinçennog,
qkwo dlq dovil\no] toçky x ∈ X mnoΩyna { i ∈ I : x ∈ Ai } [ skinçennog.
Tyxonovs\kyj prostir X nazyva[t\sq psevdokompaktnym, qkwo dovil\na ne-
perervna funkciq f : X → R [ obmeΩenog, i lindel\ofovym, qkwo z dovil\noho
vidkrytoho pokryttq prostoru X moΩna vydilyty ne bil\ß niΩ zliçenne pid-
pokryttq.
U vypadku neskinçennoho kardynalu ℵ budemo hovoryty, wo topolohiçnyj
prostir X ma[ vlastyvist\ ( )ℵII , qkwo dlq dovil\no] toçkovo-skinçenno] sim’]
( Ai : i ∈ I ) vidkrytyx u X neporoΩnix mnoΩyn Ai ma[mo | I | ≤ ℵ. Cq vlasty-
vist\ tak poznaçalasq v [9], de vona vykorystovuvalas\ pry doslidΩenni zaleΩ-
nosti vid pevno] kil\kosti koordynat narizno neperervnyx funkcij na dobutku
dvox prostoriv-dobutkiv.
Topolohiçnyj prostir X ma[ zliçenne çyslo Suslina, qkwo dovil\na systema
neporoΩnix vidkrytyx mnoΩyn v X ma[ ne bil\ß niΩ zliçennu potuΩnist\.
TverdΩennq 1. Berivs\kyj prostir X ma[ vlastyvist\ ( )ℵII
0
todi i
til\ky todi, koly X ma[ zliçenne çyslo Suslina.
Dovedennq. Neobxidnist\ [ oçevydnog. Dovedemo dostatnist\. Nexaj X
ma[ zliçenne çyslo Suslina i ( Ui : i ∈ I ) — toçkovo-skinçenna sim’q vidkrytyx u
X neporoΩnix mnoΩyn Ui , pryçomu mnoΩyna I [ neskinçennog. Vykorystovu-
gçy berovist\ prostoru X, dlq koΩnoho i ∈ I znajdemo vidkrytu v X nepo-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
96 V. V. MYXAJLGK
roΩng mnoΩynu Vi ⊆ U i taku, wo mnoΩyna { j ∈ I : U j ∩ V i ≠ ∅ } [
skinçennog. Todi mnoΩyna { j ∈ I : Vj ∩ V i ≠ ∅ } takoΩ [ skinçennog dlq
koΩnoho i ∈ I. Vybravßy maksymal\nu mnoΩynu J ⊆ I tak, wob sim’q ( Vj :
j ∈ J ) bula poparno neperetynnog, oderΩymo | I | ≤ ℵ0 | J | ≤ ℵ0
2 = ℵ0. OtΩe, X
ma[ vlastyvist\ ( )ℵII
0
.
Neperervne vidobraΩennq f : X → Y topolohiçnoho prostoru X u topolohiç-
nyj prostir Y nazyva[t\sq doskonalym, qkwo f [ zamknenym, tobto dlq do-
vil\no] zamkneno] v X mnoΩyny A ]] obraz B = f ( A ) = { f ( a ) : a ∈ A } [ zam-
knenym v Y, i mnoΩyna f –
1
( y ) = { x ∈ X : f ( x ) = y } [ kompaktnog v X dlq
koΩnoho y ∈ Y.
TverdΩennq 2. Nexaj X, Y — topolohiçni prostory, ϕ : Y → Y 0 — do-
skonale sgr’[ktyvne vidobraΩennq, f0 : X × Y0 → R i f : X × Y → R take, wo
f ( x, y ) = f0 ( x, ϕ ( y ) ) dlq dovil\nyx x ∈ X i y ∈ Y. Todi D ( f0 ) = D, de D =
= { ( x, ϕ ( y ) ) : ( x, y ) ∈ D ( f ) }.
Dovedennq. Nexaj ( x, y ) ∈ D ( f ) i y0 = ϕ ( y ). Z teoremy pro neperervnist\
skladeno] funkci] vyplyva[, wo ( x, y0 ) ∈ D ( f0 ). OtΩe, D ⊆ D ( f0 ).
Nexaj ( x0 , y0 ) ∉ D. Poklademo K = ϕ–
1
( y0 ). Oskil\ky ϕ [ doskonalym, to
K — kompaktna mnoΩyna v Y. ZauvaΩymo, wo funkciq f neperervna v koΩnij
toçci ( x0 , y ), de y ∈ K, pryçomu f ( x0 , y ) = f0 ( x0 , y0 ). Tomu dlq koΩnoho ε > 0
isnugt\ vidkrytyj okil U toçky x0 v X i vidkryta mnoΩyna G v Y taki, wo
K ⊆ G i | f ( x, y ) – f0 ( x0 , y0 ) | < ε dlq dovil\nyx x ∈ U i y ∈ G. MnoΩyna Y \ G
[ zamknenog v Y, a ϕ — doskonale vidobraΩennq, tomu mnoΩyna F = ϕ ( Y \ G )
takoΩ [ zamknenog v Y0 , pryçomu y0 ∉ F. Poklademo V0 = Y0 \ F. Zrozumilo,
wo V0 — okil toçky y0 i ϕ–
1
( V0 ) ⊆ G. Nexaj x ∈ U i y′ ∈ V0 . Vyberemo y′′ ∈
∈ G tak, wob ϕ ( y′′ ) = y′. Todi | f0 ( x, y′ ) – f0 ( x0 , y0 ) | = | f ( x, y′′ ) – f ( x0 , y0 ) | < ε.
OtΩe, funkciq f0 [ neperervnog v toçci ( x0 , y0 ). Takym çynom, D ( f0 ) ⊆ D.
Nastupne tverdΩennq dovodyt\ implikacig i) ⇒ ii).
TverdΩennq 3. Nexaj X , Y — dovil\ni topolohiçni prostory, x 0 ∈ X,
y0 ∈ Y i poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix funkcional\no vidkry-
tyx v X i Y vidpovidno mnoΩyn Un ⊆ X i Vn ⊆ Y taki, wo U n → x0 i V n →
→ y0
, pryçomu x0 ∉ Un i y0 ∉ Vn dlq koΩnoho n ∈ N. Todi isnu[ narizno nepe-
rervna funkciq f : X × Y → R taka, wo D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Dovedennq. Nexaj ϕn : X → [ 0, 1 ] i ψn : Y → [ 0, 1 ] — taki neperervni funk-
ci], wo Un = ϕn
− ( )(1 0 1, ] , Vn = ψn
− ( )(1 0 1, ] i sup
x X
n x
∈
( )ϕ = sup
y Y
n y
∈
( )ψ = 1 dlq koΩno-
ho n ∈ N. Lehko baçyty, wo funkciq f : X × Y → R, f ( x, y ) = ϕ ψn nn
x y( )⋅ ( )=
∞∑ 1
,
[ ßukanog.
3. Perejdemo do vyvçennq pytan\ zaleΩnosti narizno neperervnyx funkcij
na dobutkax vid pevno] kil\kosti koordynat.
Nexaj Z, T — dovil\ni mnoΩyny, Y ⊆ RT
i f : Y → Z. Budemo hovoryty, wo
f zoseredΩene na mnoΩyni S, de S ⊆ T , qkwo dlq dovil\nyx y′, y′′ ∈ Y iz riv-
nosti zvuΩen\ y′ | S = y′′ | S vyplyva[ rivnist\ f ( y′ ) = f ( y′′ ). Qkwo pry c\omu po-
tuΩnist\ | S | mnoΩyny S ne perevywu[ ℵ0, to budemo hovoryty, wo f zale-
Ωyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat.
Nexaj, krim toho, X — dovil\na mnoΩyna i g : X × Y → Z . Todi g zosered-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 97
Ωene na mnoΩyni S ⊆ T vidnosno druho] zminno], qkwo f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ ) dlq
dovil\nyx x ∈ X i y′, y′′ ∈ Y z y′ | S = y′′ | S , i g zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti
koordynat vidnosno druho] zminno], qkwo | S | ≤ ℵ0 dlq deqko] tako] mnoΩynyLLS.
Teorema 1. Nexaj X — separabel\nyj topolohiçnyj prostir i Y ⊆ RT
—
lindel\ofovyj prostir. Todi koΩna narizno neperervna funkciq f : X × Y → R
zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vidnosno druho] zminno].
Dovedennq. Oskil\ky Y [ lindel\ofovym, to koΩna neperervna funkciq
g : Y → R zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat. Tomu dlq koΩnoho x ∈
∈ X isnu[ ne bil\ß niΩ zliçenna mnoΩyna Tx ⊆ T taka, wo f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ )
dlq dovil\nyx y′, y′′ ∈ Y z y′ | Tx
= y′′ | Tx
. Nexaj A — zliçenna skriz\ wil\na v X
mnoΩyna. Poklademo S =
Taa A∈∪ . Zrozumilo, wo | S | ≤ ℵ0. Dlq dovil\nyx y′,
y′′ ∈ Y z y′ | S = y′′ | S ma[mo y′ | Ta
= y′′ | Ta
, tomu f ( a, y′ ) = f ( a, y′′ ) dlq koΩnoho
a ∈ A. Vraxuvavßy, wo funkciq f neperervna vidnosno zminno] x i zamykannq
A mnoΩyny A zbiha[t\sq z X, oderΩymo f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ ) dlq vsix x ∈ X.
Teorema 2. Nexaj X — topolohiçnyj prostir z vlastyvistg ( )ℵII
0
i Y ⊆
⊆ RT
— kompakt, pryçomu Y = B , de B = { y ∈ Y : | supp y | ≤ ℵ0}. Todi dovil\-
na narizno neperervna funkciq f : X × Y → R zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti
koordynat vidnosno druho] zminno].
Dovedennq. Dovedemo spoçatku, wo dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ ne bil\ß
niΩ zliçenna mnoΩyna Sε ⊆ T taka, wo dlq dovil\nyx b′, b′′ ∈ B z rivnosti
b′ | S
ε
= b′′ | S
ε
vyplyva[, wo | f ( x, b′ ) – f ( x, b′′ ) | ≤ ε dlq koΩnoho x ∈ X.
Prypustymo, wo ce ne tak. Tobto isnu[ ε > 0 take, wo dlq dovil\no] ne
bil\ß niΩ zliçenno] mnoΩyny S ⊆ T isnugt\ x ∈ X i b′, b′′ ∈ B taki, wo b′ | S =
= b′′ | S i | f ( x, b′ ) – f ( x, b′′ ) | > ε. Za dopomohog transfinitno] indukci] pobudu[mo
sim’] ( Sα : α < ω1 ) ne bil\ß niΩ zliçennyx mnoΩyn Sα ⊆ T , ( bα : α < ω1 ), ( cα :
α < ω1 ) i ( xα : α < ω1 ) toçok bα
, cα ∈ B i xα ∈ X taki, wo:
a) bα | Sα = cα | S
α
dlq koΩnoho α < ω1 ;
b) Sα ⊆ Sβ dlq dovil\nyx α < β < ω1 ;
v) supp bα ⊆ Sα + 1 , supp cα ⊆ Sα + 1 dlq koΩnoho α < ω1 ;
h) | f ( xα , bα ) – f ( xα , cα ) | > ε dlq koΩnoho α < ω1 .
Vyberemo dovil\nu ne bil\ß niΩ zliçennu mnoΩynu S1 ⊆ T . Zhidno z naßym
prypuwennqm isnugt\ toçky x1 ∈ X i b1
, c1 ∈ B taki, wo b1 | S1
= c1 | S1
i | f ( x1 ,
b1 ) – f ( x1 , c1 ) | > ε. Poklademo S2 = S1 ∪ supp b1 ∪ supp c1
. Zrozumilo, wo
| S2 | ≤ ℵ0. Vyberemo toçky x2 ∈ X i b2
, c2 ∈ B taki, wo b2 | S2
= c2 | S2
i | f ( x2 ,
b2 ) – f ( x2 , c2 ) | > ε.
Prypustymo, wo dlq deqkoho β < ω1 sim’] ( Sα : α < β ), ( bα : α < β ), ( cα : α <
< β ) i ( xα : α < β ) vΩe pobudovano. Poklademo Sβ = α β<∪ ( Sα ∪ supp bα ∪
∪ supp cα ). Oskil\ky pry α < β vsi mnoΩyny Sα
, supp bα i supp cα ne bil\ß
niΩ zliçenni, to | Sβ | ≤ ℵ0. Teper, vykorystavßy naße prypuwennq, vyberemo
toçky xβ i bβ
, cβ ∈ B tak, wob bβ | Sβ = cβ | Sβ i | f ( xβ , bβ ) – f ( xβ , cβ ) | > ε.
Dali, vykorystavßy neperervnist\ funkci] f vidnosno zminno] x i umovu h),
dlq koΩnoho α < ω1 znajdemo vidkrytyj okil Uα toçky xα v X takyj, wo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
98 V. V. MYXAJLGK
| f ( x, bα ) – f ( x, cα ) | > ε dlq koΩnoho x ∈ Uα
. Oskil\ky prostir X ma[ vlasty-
vist\ ( )ℵII
0
, to sim’q ( Uα : α < ω1 ) ne [ toçkovo-skinçennog. OtΩe, isnu[ toç-
ka x0 ∈ X i stroho zrostagça poslidovnist\ ( ) =
∞αn n 1 ne bil\ß niΩ zliçennyx
ordynaliv αn taki, wo | f ( x0 , bαn
) – f ( x0 , cαn
) | > ε dlq koΩnoho n ∈ N.
Poklademo Tn = Sαn
, vn = bαn
i w n = cαn
pry n ∈ N. Vykorystavßy kom-
paktnist\ prostoru Y i neperervnist\ funkci] f x 0 : Y → R, f x0 ( y ) = f ( x0 , y ), vy-
beremo skinçennu mnoΩynu T0 ⊆ T tak, wob | f ( x0 , y′ ) – f ( x0 , y′′ ) | < ε, qk til\ky
y′, y′′ ∈ Y z y′ | T0
= y′′ | T0
. Oskil\ky | f ( x0 , vn ) – f ( x0 , wn ) | > ε, to vn | T0
≠ wn | T0
.
Ale zhidno z umovog a) vn | Tn
= wn | Tn
, a zhidno z umovamy b) i v) funkci] vn | T \ Tn
+
1
i wn | T \ Tn
+
1
[ nul\ovymy, tomu vn | T \ Tn
+
1
= wn | T \ Tn
+
1
. OtΩe, T0 ∩ ( Tn + 1 \ Tn ) ≠ ∅
dlq koΩnoho n ∈ N. Vraxuvavßy, wo poslidovnist\ ( ) =
∞Tn n 1 zrosta[, oder-
Ωymo, wo mnoΩyna T0 [ neskinçennog, a ce supereçyt\ ]] vyboru. Takym çy-
nom, isnuvannq mnoΩyny Sε dovedeno.
Poklademo S0 = S nn 11 /=
∞∪ . Zrozumilo, wo f ( x, b′ ) = f ( x, b′′ ) dlq dovil\nyx
x ∈ X i b′, b′′ ∈ B z b′ | S
0
= b′′ | S
0
. Zafiksu[mo dovil\ni toçky x ∈ X, y′, y′′ ∈ Y
taki, wo y′ | S
0
= y′′ | S
0
. Vykorystavßy neperervnist\ funkci] f x : Y → R, f x ( y ) =
= f ( x, y ), na kompaktnomu prostori Y ⊆ RT
znajdemo ne bil\ß niΩ zliçennu
mnoΩynu T0 ⊆ T taku, wo f ( x, y1 ) = f ( x, y2 ) dlq dovil\nyx y1 , y2 ∈ Y z y1 | T0
=
= y2 | T0
. Oskil\ky B [ zliçenno kompaktnog mnoΩynog, Y = B i funkciq f x :
Y → R , f x ( y ) = f ( x, y ), neperervna, to isnugt\ toçky b′, b ′ ′ ∈ B taki, wo
b′ | T0
∪ S
0
= y′ | T0
∪ S
0
, f ( x, y′ ) = f ( x, b′ ), b′′ | T0
∪ S
0
= y′′ | T0
∪ S
0
i f ( x, y′′ ) = f ( x, b′′ ).
Todi f ( x, y′ ) = f ( x, b′ ) = f ( x, b′′ ) = f ( x, y′′ ). OtΩe, f zoseredΩene na mnoΩyni S0
,
tomu f zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vidnosno druho] zminno].
4. Vyvçennq narizno neperervnyx funkcij dvox zminnyx z odnotoçkovym roz-
ryvom rozpoçnemo z dopomiΩnoho tverdΩennq.
TverdΩennq 4. Nexaj X — psevdokompaktnyj prostir, Y — topolohiç-
nyj prostir, x0 ∈ X, y0 ∈ Y, f : X × Y → R z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }, δ > 0 i U 0 —
zamknenyj okil toçky x0 v X taki, wo | f ( x, y0 ) – f ( x0 , y0 ) | < δ dlq koΩnoho
x ∈ U0
, poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 vidkrytyx neporoΩnix mnoΩyn U n ⊆
⊆ U0 i V n v X i Y vidpovidno taki, wo | f ( x, y ) – f ( x0 , y0 ) | > δ dlq vsix ( x,
y ) ∈ Un × Vn pry n ∈ N. Todi qkwo ( ) =
∞Vn n 1 zbiha[t\sq do y0 , t o ( ) =
∞Un n 1
zbiha[t\sq do x0 .
Dovedennq. Nexaj U — dovil\nyj zamknenyj okil toçky x0 v X. Prypus-
tymo, wo mnoΩyna N = { n ∈ N : Un \ U ≠ ∅ } [ neskinçennog. Bez obmeΩen\ za-
hal\nosti moΩemo vvaΩaty, wo N = N. Poklademo Ũn = Un \ U dlq koΩnoho
n ∈ N. Oskil\ky X [ psevdokompaktnym, to zhidno z [10, s. 311] sim’q (Ũn : n ∈
∈ N ) vidkrytyx neporoΩnix mnoΩyn Ũn ne [ lokal\no skinçennog v X. Tomu
isnu[ toçka x̃ ∈ U0 taka, wo dovil\nyj okil Ũ toçky x̃ v X peretyna[t\sq z
neskinçennog kil\kistg elementiv sim’] (Ũn : n ∈ N ). Oskil\ky Vn → y0 , to do-
vil\nyj okil W toçky ( )˜,x y0 v X × Y peretyna[t\sq z neskinçennog kil\-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 99
kistg elementiv sim’] ( Wn : n ∈ N ), de Wn = Ũn × Vn
. ZauvaΩymo, wo x̃ ≠ x0 ,
tomu funkciq f [ neperervnog v toçci ( )˜,x y0 . Vraxuvavßy, wo | f ( x, y ) – f ( x0 ,
y0 ) | > δ dlq dovil\no] toçky ( x, y ) ∈ Wn pry n ∈ N, oderΩymo | f ( )˜,x y0 –
– f ( x0 , y0 ) | ≥ δ, a ce supereçyt\ tomu, wo x̃ ∈ U0
. OtΩe, N [ skinçennog i
Un → x0 .
Nahada[mo, wo kompaktnyj prostir Y [ kompaktom Valdivia, qkwo Y ho-
meomorfnyj deqkomu kompaktnomu prostoru Z ⊆ R T
takomu, wo mnoΩyna
{ z ∈ Z : | supp z | ≤ ℵ0} [ wil\nog v Z.
Osnovnym rezul\tatom danoho punktu [ nastupna teorema.
Teorema 3. Nexaj X — separabel\nyj psevdokompaktnyj prostir i Y —
kompakt abo X — psevdokompaktnyj prostir zi zliçennym çyslom Suslina i Y
— kompakt Valdivia, x0 ∈ X, y0 ∈ Y — neizol\ovani toçky u vidpovidnyx pros-
torax. Todi nastupni tverdΩennq [ rivnosyl\nymy:
i) isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix vidkrytyx mnoΩyn
Un ⊆ X i Vn ⊆ Y, qki zbihagt\sq do x0 i y0 vidpovidno;
ii) isnu[ narizno neperervna funkciq f : X × Y → R z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Dovedennq. Oskil\ky X i Y — tyxonovs\ki prostory, to implikaciq i) ⇒ ii)
vyplyva[ z tverdΩennq 3.
ii) ⇒ i). Nexaj X — separabel\nyj psevdokompaktnyj prostir, Y — kom-
pakt i f : X × Y → R — narizno neperervna funkciq z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }. Bez ob-
meΩen\ zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo Y ⊆ RT
, de T — deqka mnoΩyna. Zhid-
no z teoremog 1 funkciq f zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vidnos-
no druho] zminno], tobto isnu[ ne bil\ß niΩ zliçenna mnoΩyna S ⊆ T taka, wo
f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ ) dlq dovil\nyx x ∈ X i y′, y′′ ∈ Y z y′ | S = y′′ | S
.
Poklademo ϕ : Y → RS
, ϕ ( y ) = y | S
, Z = ϕ ( Y ), f0 : X × Z → R, f0 ( x, ϕ ( y ) ) =
= f ( x, y ), de y ∈ Y. Zrozumilo, wo vidobraΩennq ϕ : Y → Z [ doskonalym, tomu
zhidno z tverdΩennqm 2 D ( f0 ) = { ( x0 , z0 ) }, de z0 = ϕ ( y0 ). Krim toho, funkciq
f0 [ narizno neperervnog (neperervnist\ vidnosno perßo] zminno] vyplyva[ bez-
poseredn\o z neperervnosti f vidnosno perßo] zminno], a neperervnist\ vidnosno
druho] zminno] moΩna oderΩaty z dopomohog tverdΩennq 2, de qk perßyj
mnoΩnyk vykorystovu[t\sq odnotoçkovyj prostir { x } ). Vyberemo δ > 0 tak,
wob ωf0
( x0 , z0 ) > 3δ, i zamkneni okoly U0 i W0 toçok x0 i z0 v X i Z vidpo-
vidno tak, wob | f0 ( x, z0 ) – f0 ( x0 , z0 ) | < δ i | f0 ( x0 , z ) – f0 ( x0 , z0 ) | < δ dlq do-
vil\nyx x ∈ U0 i z ∈ W0
.
ZauvaΩymo, wo Z — metryzovnyj kompakt. Zafiksu[mo dovil\nu bazu
( ) =
∞Gn n 1 vidkrytyx okoliv Gn ⊆ W0 toçky z0 v Z i viz\memo dovil\nyj vidkry-
tyj okil Ũ toçky x0 v X. Oskil\ky ωf0
(Ũ × Gn ) > 3δ i funkciq f0 [ nepe-
rervnog u vsix toçkax, krim ( x0 , z0 ), to isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i
( ) =
∞Wn n 1 neporoΩnix vidkrytyx mnoΩyn Un ⊆ Ũ i Wn ⊆ W0 v X i Z vidpovidno
taki, wo | f0 ( x, z ) – f0 ( x0 , z0 ) | > δ dlq vsix ( x, z ) ∈ Un × Wn pry n ∈ N. Zrozu-
milo, wo Wn → z0
. Tomu zhidno z tverdΩennqm 4 Un → x0
.
Poklademo Vn = ϕ–
1
( Wn ) pry n = 0, 1, 2, … . ZauvaΩymo, wo | f ( x0 , y ) – f ( x0 ,
y0 ) | < δ dlq koΩnoho y ∈ V0 i | f ( x , y ) – f ( x0 , y0 ) | > δ dlq vsix ( x, y ) ∈ Un × Vn
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
100 V. V. MYXAJLGK
pry n ∈ N. Znovu vykorystavßy tverdΩennq 4 i pominqvßy miscqmy zminni,
oderΩymo, wo Vn → y0
.
Teper nexaj X — psevdokompaktnyj prostir zi zliçennym çyslom Suslina i
Y — kompakt Valdivia. MoΩna vvaΩaty, wo Y ⊆ RT
, pryçomu mnoΩyna { y ∈
∈ Y : | supp y | ≤ ℵ0} [ wil\nog v Y. Z [10, s. 311] vyplyva[, wo X [ berivs\kym
prostorom. Tomu z tverdΩennq 1 i teoremy 2 vyplyva[, wo koΩna narizno nepe-
rervna funkciq f : X × Y → R zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vid-
nosno druho] zminno]. Dali mirku[mo tak samo, qk i v poperedn\omu vypadku.
5. U c\omu punkti my vstanovymo analohiçnyj rezul\tat dlq dobutku kom-
paktnyx prostoriv.
Teorema 4. Nexaj X, Y — kompaktni prostory i x0 ∈ X , y0 ∈ Y — neizo-
l\ovani toçky u vidpovidnyx prostorax. Todi nastupni tverdΩennq [ rivnosyl\-
nymy:
i) isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix funkcional\no
vidkrytyx mnoΩyn Un ⊆ X i Vn ⊆ Y , qki zbihagt\sq do x0 i y0 vidpovidno,
pryçomu x0 ∉ Un i y0 ∉ Vn pry n ∈ N;
ii) isnu[ narizno neperervna funkciq f : X × Y → R z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Dovedennq. Qk i pry dovedenni teoremy 3, dosyt\ pereviryty implikacig
ii)L⇒ i). Nexaj f : X × Y → R — narizno neperervna funkciq z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Rozhlqnemo neperervne asocijovane vidobraΩennq ϕ : X → Cp ( Y ), ϕ ( x ) ( y ) = f ( x,
y ). Poklademo X̃ = ϕ ( X ), g : X̃ × Y → R, g x y( )˜, = x̃ y( ) = f ( x, y ), de x̃ = ϕ ( x ).
Zrozumilo, wo g — narizno neperervna funkciq. Oskil\ky X — kompaktnyj
prostir, to ϕ — doskonale vidobraΩennq i zhidno z tverdΩennqm 2 D ( g ) =
= { }( ˜ , )x y0 0 , de x̃0 = ϕ ( x0 ). Nexaj x̃ ∈ A = ˜ ˜\X x{ }0 . Vraxuvavßy, wo Y —
kompaktnyj prostir i funkciq g [ neperervnog v koΩnij toçci mnoΩyny { }x̃ ×
× Y, oderΩymo, wo dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ okil Ũ toçky x̃ v X̃ takyj,
wo ˜ ˜x y u y( ) − ( ) < ε dlq dovil\nyx y ∈ Y i ũ ∈ Ũ . OtΩe, na mnoΩyni A topo-
lohiq potoçkovo] zbiΩnosti i normovana topolohiq, porodΩena maksymum-nor-
mog z banaxovoho prostoru C ( X ), zbihagt\sq. Tomu, zokrema, mnoΩyna A [
metryzovnym pidprostorom prostoru X̃ .
Teper rozhlqnemo asocijovane vidobraΩennq ψ : Y → C Xp( )˜ , ϕ ( y ) ( )x̃ =
= g x y( )˜, . Poklademo Ỹ = ψ ( Y ), h : X̃ × Ỹ → R, h x y( )˜, ˜ = g x y( )˜, , de ỹ = ϕ ( y ).
Qk i v poperedn\omu vypadku, ma[mo D ( h ) = { }( ˜ , ˜ )x y0 0 , de ỹ0 = ψ ( y0 ), i mno-
Ωyna B = ˜ ˜\Y y{ }0 [ metryzovnym pidprostorom prostoru Ỹ .
Viz\memo δ > 0 tak, wob ωh x y( ˜ , ˜ )0 0 > 4δ, i vyberemo zamkneni okoly Ũ0 i
Ṽ0 toçok x̃0 i ỹ0 v X̃ i Ỹ vidpovidno tak, wob h x y h x y( − (˜, ˜ ) ˜ , ˜ )0 0 0 < δ i
h x y h x y( − (˜ , ˜) ˜ , ˜ )0 0 0 < δ dlq dovil\nyx x̃ ∈ Ũ0 i ỹ ∈ Ṽ0. Poklademo Z =
= ˜ ˜X Y× , z0 = ( ˜ , ˜ )x y0 0 i W0 = int ˜ int ˜( ) × ( )U V0 0 , de çerez int ( C ) poznaçeno
vnutrißnist\ mnoΩyny C u vidpovidnomu topolohiçnomu prostori. Dlq koΩno]
toçky z ∈ A × B vyberemo vidkrytyj okil Gz toçky z v Z takyj, wo z0 ∉ Gz i
ωh ( Gz ) < δ. Oskil\ky A × B — metryzovnyj pidprostir prostoru Z , to zhidno z
teoremog Stouna pro parakompaktnist\ metryzovnoho prostoru [10, s. 414] u
vidkryte pokryttq ( Gz : z ∈ A × B ) prostoru A × B moΩna vpysaty deqke lo-
kal\no skinçenne vidkryte pokryttq ( Wi : i ∈ I ). Poklademo J = { i ∈ I : Wi ∩
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 101
∩ W0 ≠ ∅ i | h ( z ) – h ( z0 ) | > 2δ dlq deqkoho z ∈ Wi }. Oskil\ky ωh ( z0 ) > 4δ, to
dlq bud\-qkoho okolu W ⊆ W0 toçky z0 isnu[ toçka z ∈ W taka, wo | h ( z ) –
– h ( z0 ) | > 2δ, pryçomu zhidno z vyborom Ũ0 i Ṽ0 toçka z obov’qzkovo vxodyt\
do mnoΩyny A × B. Tomu z0 ∈
Wii J∈∪ . Vraxuvavßy, wo z0 ∉ Wi dlq koΩnoho
i ∈ I, oderΩymo, wo mnoΩyna J [ neskinçennog. Krim c\oho, zauvaΩymo, wo
oskil\ky ωh ( Wi ) < δ pry i ∈ I, to dlq dovil\nyx j ∈ J i z ∈ Wj vykonu[t\sq
nerivnist\ | h ( z ) – h ( z0 ) | > δ. Oskil\ky | h ( z ) – h ( z0 ) | < δ dlq koΩnoho z ∈
∈ (( )){ } × ) ( × { } { }˜ ˜ ˜ ˜ \x V U y z0 0 0 0 0∪ = C i funkciq h [ neperervnog v koΩnij
toçci mnoΩyny C, to
Wii J∈∪ ∩ C = ∅.
Vyberemo dovil\nu zliçennu mnoΩynu { j1 , j2 , … } ⊆ J i poklademo W̃n =
= Wjn
∩ W0 pry n ∈ N. Z oznaçennq mnoΩyny J vyplyva[, wo vsi mnoΩyny W̃n
[ neporoΩnimy. ZauvaΩymo, wo sim’q ( W̃n : n ∈ N ) [ lokal\no skinçennog v
koΩnij toçci mnoΩyny ( A × B ) ∪ ( Z \ ( × )˜ ˜U V0 0 ) ∪ C = Z \ { z0 }. Nexaj W —
dovil\nyj zamknenyj okil toçky z0 u Z. Todi sim’q (W̃n \ W : n ∈ N ) [ lokal\no
skinçennog sim’[g vidkrytyx mnoΩyn u kompakti Z. Tomu W̃n \ W ≠ 0 lyße
dlq skinçenno] kil\kosti nomeriv n, tobto isnu[ n0 ∈ N take, wo W̃n ⊆ W dlq
vsix n ≥ n0
. OtΩe, W̃n → z0
.
Dlq koΩnoho n ∈ N vyberemo vidkryti neporoΩni mnoΩyny Ũn i Ṽn v X̃ i
Ỹ vidpovidno taki, wo Ũn × Ṽn ⊆ W̃n . Zrozumilo, wo Ũn → x̃0 i Ṽn → ỹ0 .
Dlq n = 0, 1, 2, … poklademo Un = ϕ− ( )1 Ũn i Vn = ψ− ( )1 Ṽn . MnoΩyny U0 i V0
[ zamknenymy, a Un i Vn pry n ∈ N — funkcional\no vidkryti v X i Y vidpo-
vidno, qk proobrazy takyx samyx mnoΩyn pry neperervnyx vidobraΩennqx. Te-
per, zastosuvavßy tverdΩennq 4 do funkci] g, oderΩymo, wo iz zbiΩnosti
Ũn → x̃0 vyplyva[ zbiΩnist\ Vn → y0
. Dali, mirkugçy analohiçno, dlq funkci]
f otrymu[mo, wo Un → x0
.
1. Namioka I. Separate contimuity and joint continuity // Pacif. J. Math. – 1974. – 51, # 2. – P. 515 –
531.
2. Piotrowski Z. Separate and joint continuity // Real. Anal. Exch. – 1985 – 1986. – 11, # 2. – P. 283
– 322.
3. Maslgçenko V. K., Myxajlgk V. V., Sobçuk O. V. Oberneni zadaçi teori] narizno neperervnyx
vidobraΩen\ // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 9. – S. 1209 – 1220.
4. Myxajlgk V. V. Do pytannq pro mnoΩynu toçok rozryvu narizno neperervnoho vidobra-
Ωennq // Mat. studi]. – 1994. – # 3. – S. 91 – 94.
5. Maslgçenko V. K. Zv’qzky miΩ riznymy xarakterystykamy velyçyny mnoΩyn toçok sukup-
no] neperervnosti narizno neperervnyx vidobraΩen\. – Çernivci, 1994. – 17 s. – Dep. v DNTB
Ukra]ny, # 70-Uk94.
6. Maslgçenko O. V. Kolyvannq narizno neperervnyx funkcij na dobutku kompaktiv Eber-
lejna // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Vyp. 76. Matematyka. – Çernivci: Ruta, 2000. – S. 67 – 70.
7. Arxanhel\skyj A. V. Topolohyçeskye prostranstva funkcyj. – M.: Yzd-vo Mosk. un-ta,
1989. – 222 s.
8. Maslyuchenko V. K., Maslyuchenko O. V., Mykhaylyuk V. V., Sobchuk O. V. Paracompactness and
separately continuous mappings // Gen. Topol. Banach Spaces. – New York: Nova Publ., 2000. –
P. 147 – 169.
9. Myxajlgk V. V. ZaleΩnist\ vid n koordynat narizno neperervnyx funkcij na dobutkax
kompaktiv // Ukr. mat. Ωurn. – 1998. – 50, # 6. – S. 822 – 829.
10. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M.: Myr, 1986. – 751 s.
OderΩano 23.10.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|