Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией
Розглядається докритичний розгалужений процес із неоднорідною iммiграцiєю у випадку, коли середнє значення i дисперсія імміграції правильно змінюються на нескінченності. Встановлено, що відповідним чином нормований докритичний процес з імміграцією слабко збігається до детермінованого процесу, а тако...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165574 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией / Я.М. Хусанбаев // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 6. — С. 835–843. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165574 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655742020-02-15T01:25:45Z Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией Хусанбаев, Я.М. Статті Розглядається докритичний розгалужений процес із неоднорідною iммiграцiєю у випадку, коли середнє значення i дисперсія імміграції правильно змінюються на нескінченності. Встановлено, що відповідним чином нормований докритичний процес з імміграцією слабко збігається до детермінованого процесу, а також доведено граничну теорему для флуктуації процесу. We study a subcritical branching process with inhomogeneous immigration in the case where the mean value and variance of immigration are regularly varying at infinity. We show that a properly normalized subcritical process with immigration weakly approaches a deterministic process and prove the limit theorem for the fluctuation of this process. 2013 Article Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией / Я.М. Хусанбаев // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 6. — С. 835–843. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165574 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Хусанбаев, Я.М. Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией Український математичний журнал |
| description |
Розглядається докритичний розгалужений процес із неоднорідною iммiграцiєю у випадку, коли середнє значення i дисперсія імміграції правильно змінюються на нескінченності. Встановлено, що відповідним чином нормований докритичний процес з імміграцією слабко збігається до детермінованого процесу, а також доведено граничну теорему для флуктуації процесу. |
| format |
Article |
| author |
Хусанбаев, Я.М. |
| author_facet |
Хусанбаев, Я.М. |
| author_sort |
Хусанбаев, Я.М. |
| title |
Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией |
| title_short |
Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией |
| title_full |
Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией |
| title_fullStr |
Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией |
| title_sort |
об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165574 |
| citation_txt |
Об асимптотике докритического ветвящегося процесса с иммиграцией / Я.М. Хусанбаев // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 6. — С. 835–843. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT husanbaevâm obasimptotikedokritičeskogovetvâŝegosâprocessasimmigraciej |
| first_indexed |
2025-07-14T18:59:29Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:59:29Z |
| _version_ |
1837649968432676864 |
| fulltext |
УДК 519.21
Я. М. Хусанбаев (Ин-т математики при Нац. ун-те Узбекистана, Ташкент)
ОБ АСИМПТОТИКЕ ДОКРИТИЧЕСКОГО ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА
С ИММИГРАЦИЕЙ
We investigate a subcritical branching process with inhomogeneous immigration in the case where the mean value and
variance of immigration are regularly varying at infinity. We show that a properly normalized subcritical process with
immigration tends weakly to a deterministic process and prove a limit theorem for the fluctuation of the process.
Розглядається докритичний розгалужений процес iз неоднорiдною iммiграцiєю у випадку, коли середнє значення
i дисперсiя iммiграцiї правильно змiнюються на нескiнченностi. Встановлено, що вiдповiдним чином нормований
докритичний процес з iммiграцiєю слабко збiгається до детермiнованого процесу, а також доведено граничну
теорему для флуктуацiї процесу.
Пусть {ξk,j , k, j ∈ N} и {εk, k ∈ N} — две независимые совокупности независимых неотрица-
тельных целозначных и одинаково распределенных случайных величин. Определим последо-
вательность случайных величин {Xk, k ≥ 0} следующими рекуррентными соотношениями:
X0 = 0, Xk =
Xk−1∑
j=1
ξk,j + εk, k ∈ N. (1)
Если интерпретировать величину ξk,j как число потомков j-й частицы (k−1)-го поколения
некоторой популяции частиц, а величину εk как число частиц, иммигрирующих в популяцию
в k-м поколении, то величина Xk будет представлять собой число частиц в популяции в k-м
поколении. В силу такой интерпретации случайный процесс {Xk, k ≥ 0} называют ветвящимся
процессом с иммиграцией.
Предположим, что Eξ21,1 <∞ и Eε21 <∞. Введем следующие обозначения:
m = Eξ1,1, σ2 = varξ1,1, λ = Eε1, b2 = varε1.
Ветвящийся процесс (1) называют докритическим, критическим и надкритическим, если
m < 1, m = 1 и m > 1 соответственно.
Определим случайный процесс Xn(t), t ≥ 0, соотношением Xn(t) = X[nt], t ≥ 0, где знак
[a] обозначает целую часть числа a. Ясно, что траектории процесса Xn(t), t ≥ 0, принадлежат
пространству Скорохода D[0,∞).
В работах [1, 2] исследованы достаточные условия слабой сходимости конечномерных рас-
пределений последовательности ветвящихся процессов без иммиграции (εk ≡ 0). K. Kawazu,
S. Watanabe [3] и С. Алиев [4] изучали слабую сходимость конечномерных распределений вет-
вящихся процессов с иммиграцией к соответствующим распределениям процесса Иржины. В
работе [5] C. Z. Wei и J. Winnicki рассмотрели критический ветвящийся процесс с иммигра-
цией и доказали при n → ∞ слабую сходимость в пространстве Скорохода D[0,∞) последо-
вательности ступенчатых процессов Xn(t), t ≥ 0, n ∈ N, к неотрицательному диффузионному
процессу. Аналог этого результата для последовательности почти критических ветвящихся про-
цессов с иммиграцией доказал T. N. Sriram [6]. В работе [7] показано, что результат T. N. Sriram
c© Я. М. ХУСАНБАЕВ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6 835
836 Я. М. ХУСАНБАЕВ
справедлив и в случае, когда дисперсия числа потомков одной частицы стремится к нулю. Ока-
зывается, в этом случае предельный процесс является неслучайным процессом. В этой работе
также доказано, что флуктуация почти критического ветвящегося процесса с иммиграцией
слабо сходится в D[0,∞) к процессу Орнстейна – Уленбека. Z. Li в [8] получил достаточные
условия для слабой сходимости ветвящихся процессов с иммиграцией к ветвящемуся процессу
с иммиграцией с непрерывным временем и непрерывным пространством состояний. В работе
[9] I. Rahimov рассмотрел критический ветвящийся процесс с неоднородной иммиграцией (ве-
личины εk, k ∈ N, различно распределены) в случае, когда среднее и дисперсия иммиграции
правильно меняются на бесконечности, и доказал функциональные предельные теоремы для
флуктуации ветвящегося процесса. В работах [10 – 12] доказаны функциональные предельные
теоремы для последовательности почти критических ветвящихся процессов с иммиграцией, а
также для флуктуации процесса при различных условиях на средние и дисперсии числа потом-
ков одной частицы и иммиграции. Однако докритический процесс с иммиграцией исследован
мало.
В настоящей работе мы рассмотрим докритический ветвящийся процесс (m < 1) с неод-
нородной и возрастающей иммиграцией и докажем предельные теоремы для такого процесса.
В дальнейшем будем считать, что поток иммиграции неоднороден, т. е. случайные величины
{εk, k ∈ N} различно распределены, причем λk = Eεk и b2k = varεk конечны для любого k ∈ N.
Пусть величины λn и b2n монотонно возрастают по n, причем
λn = nαLα(n) при n→∞, (2)
b2n = nβLβ(n) при n→∞, (3)
где α, β ≥ 0 — фиксированные числа, Lα(n), Lβ(n) — медленно меняющиеся на бесконечности
функции.
Всюду далее T > 0 — любое фиксированное число.
Теорема 1. Пусть 0 < m < 1 и выполнены условия (2), (3), причем λn →∞ и b2n = o
(
λ2n
)
при n→∞. Тогда имеет место слабая сходимость
Xn
nαLα(n)
→ µ при n→∞
в пространстве Скорохода D[0, T ], где µ(t) =
tα
1−m
, t ∈ [0, T ].
Из этой теоремы следуют такие утверждения.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣ Xn(t)
nαLα(n)
− tα
1−m
∣∣∣∣ P−→ 0 при n→∞,
где знак
P−→ означает сходимость по вероятности случайных величин.
Общее число частиц, участвующих в развитии популяции в поколениях до момента времени
n, является одной из важных величин, связанных с ветвящимся процессом. Для этой величины
имеет место следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ОБ АСИМПТОТИКЕ ДОКРИТИЧЕСКОГО ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА С ИММИГРАЦИЕЙ 837
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого t ≥ 0
1
n1+αLα(n)
[nt]∑
k=1
Xk−1
P−→ t1+α
(1−m)(1 + α)
при n→∞.
Следующая теорема дает представление об асимптотике флуктуации процесса Xn(t), t ≥ 0,
в случае, когда b2n = o (λn) при n→∞.
Теорема 2. Пусть 0 < m < 1, Eξ31,1 < ∞ и выполнены условия (2), (3), причем
λn → ∞ и b2n = o(λn) при n → ∞. Тогда конечномерные распределения случайного процесса
λ
−1/2
n (Xn(t)−EXn(t)) , t ≥ 0, слабо сходятся при n → ∞ к соответствующим распре-
делениям процесса σ/
√
(1−m)(1−m2)W (tα), t ≥ 0, где W — стандартный винеровский
процесс.
Для доказательства теоремы 1 нам нужна следующая лемма.
Лемма . Пусть m ∈ (0, 1) — фиксированное число, а монотонно возрастающая последо-
вательность неотрицательных чисел {ak, k ∈ N} такова, что an → ∞ и an = nαL(n) при
n → ∞ для некоторого α ≥ 0, где L(n) — медленно меняющаяся на бесконечности функция.
Тогда для любого γ > 0 имеет место асимптотическое соотношение
n∑
k=1
mγ(n−k)ak ∼
an
1−mγ
при n→∞,
где символ ∼ означает, что отношение левой части к правой стремится к единице.
Доказательство. Для удобства записи положим rn = [
√
n] . Имеем
n∑
k=1
mγ(n−k)ak = An +Bn, (4)
где
An =
n−rn∑
k=1
mγ(n−k)ak, Bn =
n∑
k=n−rn+1
mγ(n−k)ak.
Сначала покажем, что
An → 0 при n→∞. (5)
Действительно, так как m < 1, то
An ≤ mγrn
n−rn∑
k=1
ak ≤ mγrn
n∑
k=1
ak. (6)
В силу условия леммы и известной теоремы Карамата о правильно меняющихся функциях [15,
c. 322] (теорема 1)
n∑
k=1
ak ∼
n1+α
1 + α
L(n) при n→∞.
Отсюда с учетом (6) следует, что для достаточно больших n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
838 Я. М. ХУСАНБАЕВ
An ≤ 2mγrn n
1+α
1 + α
L(n) =
2r
2(1+α)
n
1 + α
L(r2n) eγrn lnm. (7)
Очевидно, что из свойств медленно меняющихся функций [16, c. 24] следует соотношение
xae−bxL(x2)→ 0 при x→∞
для любых фиксированных a, b > 0. Поэтому отсюда и из (7), учитывая, что lnm < 0, m < 1,
получаем (5).
Теперь оценим Bn. Для достаточно больших n имеем
Bn ≤ an
n∑
k=n−rn+1
mγ(n−k) ∼ 1−mγrn
1−mγ
nαL(n) ∼ nα
1−mγ
L(n). (8)
С другой стороны, учитывая свойства медленно меняющихся функций [16], для достаточно
больших n получаем
Bn ≥ an−rn+1
n∑
k=n−rn+1
mγ(n−k) ∼
∼ 1−mγrn
1−mγ
(n− rn + 1)αL(n− rn + 1) ∼ nα
1−mγ
L(n).
Отсюда с учетом (8) приходим к выводу, что
Bn ∼
nα
1−mγ
L(n) при n→∞.
Теперь отсюда и из соотношений (4), (5) следует утверждение леммы.
Доказательство теоремы 1. В силу (1) величину Xk представим в виде
Xk = mXk−1 + λk +Mk, (9)
где Mk =
∑Xk−1
j=1
(ξk,j −m) + εk − λk. Усредняя (9), имеем
EXk = mEXk−1 + λk. (10)
Решение этого уравнения имеет вид
EXk =
k∑
j=1
mk−jλj .
Теперь, учитывая условие (2) и применяя лемму, получаем
EXn =
n∑
j=1
mn−jλj ∼
λn
1−m
=
nα
1−m
Lα(n) (11)
при n → ∞. Отсюда с учетом определения медленно меняющейся функции следует, что для
любого t > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ОБ АСИМПТОТИКЕ ДОКРИТИЧЕСКОГО ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА С ИММИГРАЦИЕЙ 839
E
Xn(t)
nαLα(n)
→ tα
1−m
при n→∞. (12)
Теперь докажем, что
var
Xn(t)
nαLα(n)
→ 0 при n→∞ (13)
для любого t > 0. Нетрудно видеть, что
varXn(t) =
σ2
m(1−m)
[nt]−1∑
j=1
m[nt]−j
[
1−m[nt]−j
]
λj +
[nt]∑
j=1
m2([nt]−j)b2j .
Применяя лемму, приходим к выводу, что
varXn(t) ∼ σ2tα
(1−m)(1−m2)
nαLα(n) +
tβ
1−m2
nβLβ(n) при n→∞. (14)
В силу условия теоремы 1 из последнего соотношения следует (13). Теперь из соотношений
(12), (13) и из неравенства Чебышева следует, что
Xn(t)
nαLα(n)
P−→ tα
1−m
при n→∞.
Ясно, что отсюда следует слабая сходимость конечномерных распределений процесса
(nαLα(n))−1Xn(t), t ≥ 0, к соответствующим распределениям tα/(1 − m), t ≥ 0. Если те-
перь мы докажем плотность семейства
{
(nαLα(n))−1Xn(t), t ∈ [0, T ], n ≥ 1
}
, то утверждение
теоремы будет следовать из теоремы 15.1 [14]. Поэтому докажем это.
Пусть 0 ≤ s < t ≤ T. Применяя известное неравенство(
k∑
i=1
Ci
)p
≤ kp−1
k∑
i=1
Cpi , Ci ≥ 0, p ≥ 1, (15)
при k = 3 и p = 2, получаем
E
(
Xn(t)
nαLα(n)
− Xn(s)
nαLα(n)
)2
≤ 3
n2αL2
α(n)
(varXn(t) + varXn(s)+
+ (EXn(t)−EXn(s))2
)
. (16)
В силу (12) для достаточно больших n имеем
1
n2αL2
α(n)
(EXn(t)−EXn(s))2 ∼ 1
(1−m)2
(tα − sα)2 .
Отсюда с учетом (13), (16) приходим к выводу, что для достаточно больших n имеет место
неравенство
E
(
Xn(t)
nαLα(n)
− Xn(s)
nαLα(n)
)2
≤ 4
(1−m)2
(tα − sα)2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
840 Я. М. ХУСАНБАЕВ
откуда в силу критерия плотности [14, c. 185] следует плотность семейства{
(nαLα(n))−1Xn(t), t ∈ [0, T ], n ≥ 1
}
.
Теоремa 1 доказана.
Доказательство следствия 1 следует из теоремы 1 и того факта, что супремум является
непрерывным функционалом в D[0, T ] (см. [13]). Доказательство следствия 2 следует из тео-
ремы 1 и теоремы о непрерывном отображении [14].
Доказательство теоремы 2. Из (9) и (10) имеем
Xk −EXk = m (Xk−1 −EXk−1) +Mk, k = 1, 2, . . . .
Из этого рекуррентного уравнения следует, что
Xn(t)−EXn(t) =
[nt]∑
k=1
m[nt]−kMk. (17)
Введем случайные процессы Yn и Zn, положив
Yn(t) = λ−1/2n
[nt]∑
k=1
m[nt]−k
Xk−1∑
j=1
(ξk,j −m) , t ≥ 0,
Zn(t) = λ−1/2n
[nt]∑
k=1
m[nt]−k (εk − λk) , t ≥ 0.
Тогда из (17) имеем
λ−1/2n (Xn(t)−EXn(t)) = Yn(t) + Zn(t). (18)
Сначала докажем, что
sup
0≤t≤T
|Zn(t)| P−→ 0 при n→∞. (19)
Действительно, учитывая условие (3) и лемму, получаем
λ−1n
[nt]∑
k=1
m2([nt]−k)b2k ∼
b2nt
β
λn(1−m2)
→ 0
при n → ∞ для любого t > 0, так как b2n = o(λn). Тогда ясно, что при каждом t ≥ 0 для
суммы Zn(t) выполнено условие Линдеберга. Отсюда, согласно теореме 7.1.11, следует слабая
сходимость в D[0, T ]
Zn → 0 при n→∞.
Поскольку супремум является непрерывным функционалом в D[0, T ] [13, c. 367], из по-
следнего соотношения следует (19). Теперь рассмотрим процесс Yn(t), t ≥ 0. Пусть rn = [
√
n] .
Процесс Yn представим в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ОБ АСИМПТОТИКЕ ДОКРИТИЧЕСКОГО ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА С ИММИГРАЦИЕЙ 841
Yn(t) = Y (1)
n (t) + Y (2)
n (t), t ≥ 0, (20)
где
Y (1)
n (t) = λ−1/2n
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m[nt]−kSk,
Y (2)
n (t) = λ−1/2n
[nt]−rn∑
k=1
m[nt]−kSk.
Здесь Sk =
∑Xk−1
j=1
(ξk,j −m) . Докажем, что
sup
0≤t≤T
∣∣∣Y (2)
n (t)
∣∣∣ P−→ 0 при n→∞. (21)
Действительно, нетрудно видеть, что∣∣∣Y (2)
n (t)
∣∣∣ ≤ λ−1/2n mrn
[nt]−rn∑
k=1
|Sk| ≤ λ−1/2n mrn
[nt]∑
k=1
|Sk|
с вероятностью 1.
Далее, применяя неравенство Чебышева и неравенство (15), получаем
P
(
sup
0≤t≤T
∣∣∣Y (2)
n (t)
∣∣∣ > ε
)
≤ P
λ−1/2n mrn
[nT ]∑
k=1
|Sk| > ε
≤
≤ nTm2rn
ε2λn
[nT ]∑
k=1
ES2
k =
σ2nTm2rn
ε2λn
[nT ]∑
k=1
EXk−1. (22)
Из соотношения (11) и теоремы Карамата [15, c. 322] (теорема 1) следует, что
[nT ]∑
k=1
EXk−1 ∼
nλnT
1+α
(1−m)(1 + α)
при n→∞.
Теперь отсюда и из того, что xae−bx → 0 при x → ∞ для любых a > 0, b > 0, следует
соотношение
nm2rn
λn
[nT ]∑
k=1
EXk−1 ∼
n2m2rnT 1+α
(1−m)(1 + α)
=
T 1+α
(1−m)(1 + α)
r4ne
2rn lnm → 0
при n→∞.
Последнее соотношение вместе с (22) приводят к (21).
Теперь рассмотрим процесс Y (1)
n (t), t ≥ 0. Пусть F (t)
nk (x) — условное распределение слу-
чайной величины λ
−1/2
n m[nt]−kSk при заданномXk−1. Наши предположения относительно слу-
чайных величин ξk,j позволяют применить теорему 14 из [17, с. 156] о неравномерной оценке
для распределения F (t)
nk (x), в силу которой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
842 Я. М. ХУСАНБАЕВ∣∣∣∣∣F (t)
nk (x)− Φ
(
λ
1/2
n x
σ
√
Xk−1m[nt]−k
)∣∣∣∣∣ ≤ AE |ξ1,1 −m|3
|x|3
√
λn
Xk−1
λn
m3([nt]−k)
с вероятностью 1 для любого |x| > 0, гдеA — положительная случайная величина, не зависящая
от n и k. Отсюда, применяя следствие 1, для любого a > 0 имеем
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
∫
|x|>a
|x|
∣∣∣∣∣F (t)
nk (x)− Φ
(
λ
1/2
n x
σ
√
Xk−1m[nt]−k
)∣∣∣∣∣ dx ≤
≤ 2AE|ξ1,1 −m|3
a(1−m3)
√
λn
(
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣Xn(t)
λn
− tα
1−m
∣∣∣∣+
tα
1−m
)
P−→ 0 при n→∞. (23)
Если теперь мы докажем, что при n→∞
λ−1n
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m2([nt]−k)E
(
S2
k
/
X1, X2, . . . , Xk−1
) P−→ σ2tα
(1−m)(1−m2)
, (24)
то утверждение теоремы будет следовать из теоремы 5.6.1 [13] в силу (18) – (21) и (23). Поэтому
докажем (24). Очевидно, что
λ−1n
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m2([nt]−k)E
(
S2
k
/
X1, X2, . . . , Xk−1
)
=
= σ2λ−1n
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m2([nt]−k)Xk−1. (25)
В силу (11), применяя лемму, нетрудно убедиться в том, что
σ2λ−1n
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m2([nt]−k)EXk−1 ∼
σ2tα
(1−m)(1−m2)
при n→∞. (26)
Далее имеем
var
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m2([nt]−k)Xk−1
=
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m4([nt]−k)varXk−1+
+2
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
[nt]∑
j=k+1
m2(2[nt]−k−j)cov(Xk−1, Xj−1). (27)
Поскольку cov(Xk, Xk+l) = mlvarXk, нетрудно видеть, что
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
[nt]∑
j=k+1
m2(2[nt]−k−j)cov(Xk−1, Xj−1) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ОБ АСИМПТОТИКЕ ДОКРИТИЧЕСКОГО ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА С ИММИГРАЦИЕЙ 843
=
1
1−m
[nt]∑
k=[nt]−rn+1
m3([nt]−k)
(
1−m[nt]−k
)
varXk−1.
Отсюда и из (27), учитывая (14), условие b2n = o (λn) , а также лемму, получаем
var
λ−1n [nt]∑
k=[nt]−rn+1
m2([nt]−k)Xk−1
∼
∼ 1
(1−m)(1−m2)λ2n
(
2
1−m3
− 1 +m
1−m4
)(
σ2tαnαLα(n)
1−m
+
+ nβLβ(n)tβ
)
→ 0 при n→∞.
Отсюда, в свою очередь, и из (25), (26) в силу неравенства Чебышева получаем (24).
Теорема 2 доказана.
1. Lamperti J. The limit of a sequence of branching processes // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. – 1967. –
7. – S. 271 – 288.
2. Grimwall A. On the convergecne of sequences of branching processes // Ann. Probab. – 1974. – 2, №. 6. – P. 1027 –
1045.
3. Kawazu K., Watanabe S. Branching processes with immigration and related limit theorems // Теория вероятностей
и ее применения. – 1971. – 16, вып. 2. – C. 34 – 51.
4. Алиев С. Предельная теорема для ветвящихся процессов Гальтона – Ватсона с иммиграцией // Укр. мат.
журн. – 1985. – 37, №. 6. – C. 656 – 659.
5. Wei C. Z., Winnicki J. Some asymptotic relations for the branching process with immigration // Stochast. Process.
and Appl. – 1989. – 31. – P. 261 – 282.
6. Sriram T. N. Invalidity of bootstrap for critical branching process with immigration // Ann. Statist. – 1994. – 22. –
P. 1013 – 1023.
7. Ispany M., Pap G., Van Zuijlen M. C. A. Fluctuation limit of branching processes with immigration and estimation
of the mean // Adv. Appl. Probab. – 2005. – 37. – P. 523 – 528.
8. Li Z. A limit tehorem of discrete Galton – Watson branching processes with immigration // J. Appl. Probab. – 2006. –
43, №. 1. – P. 289 – 295.
9. Rahimov I. Functional limit theorems for critical processes with immigration // Adv. Appl. Probab. – 2007. – 39. –
P. 1054 – 1069.
10. Хусанбаев Я. М. О сходимости ветвящихся процессов Гальтона – Ватсона с иммиграцией к диффузионному //
Теория вероятностей и мат. статистика. – 2008. – Bып. 79. – C. 183 – 189.
11. Хусанбаев Я. М. Почти критические ветвящиеся процессы и предельные теоремы // Укр. мат. журн. – 2009. –
61, № 1. – C. 127 – 133.
12. Хусанбаев Я. М. О флуктуации ветвящихся процессов с иммиграцией // Узб. мат. журн. – 2008. – № 1. –
C. 112 – 126.
13. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. – М.: Наука, 1986. – 512 с.
14. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1984. – T. 2. – 738 с.
16. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
17. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. – М.: Наука, 1972. – 416 с.
Получено 07.01.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
|