Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп
Класична теорема Скитовича-Дармуа стверджує, що гауссівські розподіли на дійсній прямій характеризуються незалежністю двох лінійних форм від n незалежних випадкових величин. У цій статті теорему Скитовича-Дармуа узагальнено на дискретні абелеві групи, компактні цілком незв'язні абелеві групи, а...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165586 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп / И.П. Мазур // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 946–960. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165586 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655862020-02-15T01:26:17Z Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп Мазур, И.П. Статті Класична теорема Скитовича-Дармуа стверджує, що гауссівські розподіли на дійсній прямій характеризуються незалежністю двох лінійних форм від n незалежних випадкових величин. У цій статті теорему Скитовича-Дармуа узагальнено на дискретні абелеві групи, компактні цілком незв'язні абелеві групи, а також на деякі інші класи локально компактних абелевих груп. На відміну від попередніх досліджень розглядаються n лінійних форм від n незалежних випадкових величин. The classic Skitovich–Darmois theorem states that the Gaussian distribution on the real line can be characterized by the independence of two linear forms of n independent random variables. We generalize the Skitovich–Darmois theorem to discrete Abelian groups, compact totally disconnected Abelian groups, and some other classes of locally compact Abelian groups. Unlike the previous investigations, we consider n linear forms of n independent random variables. 2013 Article Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп / И.П. Мазур // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 946–960. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165586 517+519.2 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мазур, И.П. Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп Український математичний журнал |
| description |
Класична теорема Скитовича-Дармуа стверджує, що гауссівські розподіли на дійсній прямій характеризуються незалежністю двох лінійних форм від n незалежних випадкових величин. У цій статті теорему Скитовича-Дармуа узагальнено на дискретні абелеві групи, компактні цілком незв'язні абелеві групи, а також на деякі інші класи локально компактних абелевих груп. На відміну від попередніх досліджень розглядаються n лінійних форм від n незалежних випадкових величин. |
| format |
Article |
| author |
Мазур, И.П. |
| author_facet |
Мазур, И.П. |
| author_sort |
Мазур, И.П. |
| title |
Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп |
| title_short |
Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп |
| title_full |
Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп |
| title_fullStr |
Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп |
| title_full_unstemmed |
Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп |
| title_sort |
теорема скитовича - дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165586 |
| citation_txt |
Теорема Скитовича - Дармуа для дискретных и компактных вполне несвязных абелевых групп / И.П. Мазур // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 946–960. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mazurip teoremaskitovičadarmuadlâdiskretnyhikompaktnyhvpolnenesvâznyhabelevyhgrupp |
| first_indexed |
2025-07-14T19:04:59Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:04:59Z |
| _version_ |
1837650313163571200 |
| fulltext |
УДК 517+519.2
И. П. Мазур (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ
И КОМПАКТНЫХ ВПОЛНЕ НЕСВЯЗНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП*
The classical Skitovich – Darmois theorem states that the Gaussian distribution on the real line can be characterized by the
independence of two linear forms of n independent random variables. In this paper, we generalize the Skitovich – Darmois
theorem to discrete abelian groups, compact totally disconnected abelian groups, and some other classes of locally compact
Abelian groups. In contrast to the previous research, we consider n linear forms of n independent random variables.
Класична теорема Скитовича – Дармуа стверджує, що гауссiвськi розподiли на дiйснiй прямiй характеризуються
незалежнiстю двох лiнiйних форм вiд n незалежних випадкових величин. У цiй статтi теорему Скитовича – Дармуа
узагальнено на дискретнi абелевi групи, компактнi цiлком незв’язнi абелевi групи, а також на деякi iншi класи
локально компактних абелевих груп. На вiдмiну вiд попереднiх дослiджень розглядаються n лiнiйних форм вiд n
незалежних випадкових величин.
1. Введение. Классическая теорема Скитовича – Дармуа гласит ([1, 2], см. также [3], гл. 3):
Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые случайные величины, αi и βi — ненулевые
константы. Предположим, что линейные формы L1 = α1ξ1 + . . .+αnξn и L2 = β1ξ1 + . . .+βnξn
независимы. Тогда все случайные величины ξi гауссовские.
Теорема Скитовича – Дармуа обобщалась на различные алгебраические структуры, такие
как конечномерные и бесконечномерные линейные пространства, симметрические пространст-
ва, квантовые группы, локально компактные абелевы группы [4 – 13]. Особенно большое внима-
ние было уделено обобщению этой теоремы на локально компактные абелевы группы. При этом
коэффициентами линейных форм были топологические автоморфизмы групп, а количество ли-
нейных форм было равно двум. В настоящей статье мы продолжаем данные исследования.
Принципиальное отличие от предыдущих работ состоит в том, что мы изучаем n независимых
линейных форм от n независимых случайных величин. Необходимость изучения в группо-
вой ситуации n линейных форм от n независимых случайных величин связана со следующим
обстоятельством.
Рассмотрим независимые случайные величины ξi со значениями в локально компактной
абелевой группе X и линейные формы L1 = α1ξ1 + . . . + αnξn и L2 = β1ξ1 + . . . + βnξn, где
αi, βi, i = 1, 2, . . . , n, — топологические автоморфизмы X. Основную задачу, которая возникает
при обобщении теоремы Скитовича – Дармуа на группы, можно сформулировать так: для каких
групп из независимости линейных форм L1 и L2 следует, что распределения случайных вели-
чин ξi либо гауссовские, либо являются распределениями, которые можно рассматривать как
аналоги гауссовских распределений? Решить эту задачу на произвольных локально компактных
абелевых группах оказалось достаточно сложно. Поэтому она изучалась для различных клас-
сов локально компактных абелевых групп, таких как конечные [5], дискретные периодические
группы [8], компактные [7]. Было доказано, что в каждом из рассматриваемых классов групп,
вообще говоря, теорема Скитовича – Дармуа не верна, и были описаны группы, на которых она
справедлива. Оказалось, что это очень специальные группы.
* Выполнена при частичной поддержке совместной украинско-французской программы „Днiпро 2013-2014.
Ймовiрнiснi задачi в спектральнiй теорiї та на групах”.
c© И. П. МАЗУР, 2013
946 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И КОМПАКТНЫХ . . . 947
Ситуация принципиально меняется, если рассматривать n линейных форм от n случайных
величин. В работе [14] доказано, что если X — конечная абелева группа, то из независимости
n линейных форм от n независимых случайных величин следует, что эти случайные вели-
чины имеют идемпотентные распределения. Отметим, что идемпотентные распределения на
конечных абелевых группах являются аналогами гауссовских распределений на прямой. Дру-
гими словами, теорема Скитовича – Дармуа для n линейных форм справедлива на конечных
абелевых группах.
В данной работе мы усиливаем результаты [14]. В пункте 3 доказывается, что теорема Ски-
товича – Дармуа для n линейных форм от n независимых случайных величин справедлива для
дискретных абелевых групп. В пункте 4 этот результат обобщается на существенно более ши-
рокий класс групп. Наконец, в пункте 5 полностью описываются компактные вполне несвязные
абелевы группы, для которых справедлива теорема Скитовича – Дармуа в случае n линейных
форм от n независимых случайных величин. Отметим, что полученные в статье результаты
опираются на изученный автором в [14] случай конечных абелевых групп. Кроме того, все
основные теоремы в случае двух линейных форм и двух случайных величин были доказаны
ранее в работах [10 – 13].
2. Определения и обозначения. Отметим, что в дальнейшем мы неоднократно будем
использовать результаты, приведенные в [18].
На протяжении всей статьи X обозначает локально компактную абелеву группу, удовлет-
воряющую второй аксиоме счетности. Множество всех компактных элементов группы X обо-
значим через bX . Отметим также, что bX — замкнутая подгруппа X. Если каждый элемент
группы X имеет конечный порядок, то группа X называется периодической группой. Если
порядки всех элементов группы X ограничены, то группа X называется ограниченной.
Пусть {Xλ}, λ ∈ Λ, — непустое семейство групп. Обозначим через Pλ∈ΛXλ прямое произ-
ведение групп Xλ. Мы будем рассматривать прямые произведения только компактных групп.
Слабое прямое произведение групп Xλ обозначим через P∗λ∈ΛXλ. Мы будем рассматривать
слабые прямые произведения только дискретных групп. Если X = Xλ для всех λ ∈ Λ, то
прямое произведение групп Xλ обозначаем через Xn, где n — кардинальное число множества
Λ, а их слабое прямое произведение — через Xn∗. Обозначим через ℵ0 кардинальное число
счетного множества. Пусть Aut(X) — группа топологических автоморфизмов группы X. Под-
группаG группыX называется характеристической, если для любого α ∈ Aut(X) выполняется
α(G) = G. Положим X(m) =
{
x ∈ X|mx = 0
}
. Отметим, что X(m) — характеристическая под-
группа X для любого целого числа m. Обозначим через P множество простых чисел, через4p
группу целых p-адических чисел, через Z(p) циклическую группу порядка p. Назовем периоди-
ческую группу X p-примарной, если порядок любого элемента группы X есть степень некото-
рого простого числа p.Пусть Y = X∗ — группа характеров группыX. Значение характера y ∈ Y
на элементе x ∈ X обозначим через (x, y). Пусть B — непустое подмножество X. Положим
A(Y,B) =
{
y ∈ Y : (x, y) = 1, x ∈ B
}
.
Множество A(Y,B) называется аннулятором B в Y. Аннулятор A(Y,B) — замкнутая подгруппа
в Y. Отметим, что если G — замкнутая подгруппа группы X, то G = A
(
X,A(Y,G)
)
. Пусть α —
непрерывный эндоморфизм группы X. Обозначим через α̃ эндоморфизм группы Y, сопряжен-
ный к α, определяемый по формуле (αx, y) = (x, α̃y) для всех x ∈ X, y ∈ Y. Тождественный
автоморфизм группы обозначим через I.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
948 И. П. МАЗУР
Пусть µ — распределение на X. Обозначим через σ(µ) носитель распределения µ. Пусть
x ∈ X. Обозначим через Ex вырожденное распределение, сосредоточенное в x. Пусть K —
компактная подгруппа группы X. Обозначим через mK распределения Хаара компактной под-
группы K, а через I(X) множество сдвигов таких распределений, т. е. распределений вида
mK ∗ Ex, где K — компактная подгруппа X, x ∈ X. Распределения класса I(X) называются
идемпотентными распределениями. Положим µ̄(M) = µ(−M), где M — борелевское подмно-
жество в X. Характеристическую функцию распределения µ определим по формуле
µ̂(y) =
∫
X
(x, y)dµ(y), y ∈ Y.
Отметим, что ˆ̄µ(y) = µ̂(y). Положим Fµ =
{
y ∈ Y : µ̂(y) = 1
}
. Тогда Fµ — подгруппа группы
Y, σ(µ) ⊂ A(X,Fµ), функция µ̂(y) является Fµ-инвариантной, т. е. µ̂(y + h) = µ̂(y), y ∈ Y,
h ∈ Fµ. Характеристическая функция mK имеет вид
m̂K(y) =
1, y ∈ A(Y,K),
0, y 6∈ A(Y,K).
(1)
Распределение µ на группе X называется гауссовским, если его характеристическую функ-
цию можно представить в виде
µ̂(y) = (x, y) exp
{
− ϕ(y)
}
, y ∈ Y,
где x ∈ X, функция ϕ(y) непрерывна, неотрицательна и удовлетворяет уравнению
ϕ(u+ v) + ϕ(u− v) = 2
(
ϕ(u) + ϕ(v)
)
, u, v ∈ Y.
Обозначим через Γ(X) множество всех гауссовских распределений на X. Отметим, что но-
ситель гауссовского распределения совпадает с классом смежности группы X по некоторой
связной подгруппе [19].
3. Теорема Скитовича – Дармуа для дискретных абелевых групп. В работе [14] был
доказан такой аналог теоремы Скитовича – Дармуа:
Теорема 1. Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые случайные величины со
значениями в конечной абелевой группе X и распределениями µi. Если линейные формы Lj =
=
∑n
i=1
αijξi, где αij ∈ Aut(X), i, j = 1, 2, . . . , n, независимы, то µi ∈ I(X), i = 1, 2, . . . , n.
Более того, если мы положим α1j = αi1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n, то независимость линейных
форм Lj влечет, что µi = mK ∗ Exi , i = 1, 2, . . . , n.
Целью настоящего пункта является доказательство того факта, что теорема 1 справедлива
для дискретных абелевых групп. Для этого нам понадобятся некоторые леммы.
Лемма 1 [14]. Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, — независимые случайные величины со значениями
в локально компактной абелевой группе X и распределениями µi. Линейные формы Lj =
=
∑n
i=1
αijξi, j = 1, 2, . . . , n, где αij ∈ Aut(X), независимы тогда и только тогда, когда
характеристические функции µ̂i(y) удовлетворяют уравнению
n∏
i=1
µ̂i
n∑
j=1
α̃ijuj
=
n∏
i=1
n∏
j=1
µ̂i(α̃ijuj), uj ∈ Y. (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И КОМПАКТНЫХ . . . 949
Далее нам понадобятся некоторые понятия из теории линейных пространств. Пусть L —
линейное пространство, M — линейное подпространство конечной коразмерности в L. Обо-
значим через codimM коразмерность M. Пусть γ — линейный оператор, действующий на L.
Обозначим через Ker γ ядро γ. Пусть {Li}ni=1 — семейство линейных пространств. Обозначим
через ⊕ni=1Li прямую сумму Li, i = 1, 2, . . . , n.
Лемма 2. Пусть Y — линейное пространство, α̃ij , i, j = 1, 2, . . . , n, — обратимые ли-
нейные операторы, действующие на Y. Предположим, что α̃1j = α̃i1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n.
Пусть {Ei}ni=1, {Fi}ni=1 — семейства линейных подпространств Y конечной коразмерности,
удовлетворяющие условиям
α̃ij(Ej) ⊂ Fi, i, j = 1, 2, . . . , n, (3)
n∑
i=1
codimFi ≥
n∑
i=1
codimEi. (4)
Тогда Ei = Fj = F, где F — линейное подпространство в Y и α̃ij(F ) = F, i, j = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Положим codimFi = ki, codimEi = mi. Тогда неравенство (4) примет
вид
n∑
i=1
ki ≥
n∑
i=1
mi. (5)
Поскольку α̃ij обратимы, имеем
codim α̃ij(Ej) = mj , i, j = 1, 2, . . . , n. (6)
Из (3) и (6) следует, что
mi ≥ kj , i, j = 1, 2, . . . , n. (7)
Из (7) получаем
min
1≤i≤n
mi ≥ max
1≤j≤n
kj .
Отсюда и из (5) следует, что
n∑
i=1
ki ≥
n∑
i=1
mi ≥ n max
1≤j≤n
kj . (8)
Следовательно, (8) влечет
kj = k, j = 1, 2, . . . , n, (9)
и принимает вид
nk ≥
n∑
i=1
mi ≥ nk,
откуда следует, что
∑n
i=1
mi = nk. Учитывая это, неравенство (7) и равенство (9), имеем
mi = k, i = 1, 2, . . . , n. Отсюда и из (3) вытекает, что
α̃ij(Ej) = Fi, i, j = 1, 2, . . . , n. (10)
Из (10) и равенств α̃1j = α̃i1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
950 И. П. МАЗУР
F1 = α̃1j(Ej) = I(Ej) = Ej , j = 1, 2, . . . , n,
Fi = α̃i1(E1) = I(E1) = E1, i = 1, 2, . . . , n,
откуда следует
Ei = Fj = F, i, j = 1, 2, . . . , n, (11)
где F — подпространство Y. Из (10) и (11), в свою очередь, следует, что α̃ij(F ) = F, i, j =
= 1, 2, . . . , n.
Лемма 2 доказана.
Пусть p — простое число. Элементарной p-группой назовем абелеву группу, каждый элемент
которой, за исключением нуля, имеет порядок p. Локально компактная абелева элементарная
p-группа топологически изоморфна группе вида Zn(p)×Zm∗(p), где n, m — кардинальные числа
[18] (формула (25.29)).
Лемма 3. Пусть Y — локально компактная абелева элементарная p-группа и µ̂i(y), i =
= 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — неотрицательные характеристические функции на Y, удовлетворяющие
уравнению (2), где α̃ij ∈ Aut(Y ), α̃1j = α̃i1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n. Предположим, что фактор-
группы Y/Fµi конечны. Тогда Fµi = F, i = 1, 2, . . . , n, где F — подгруппа в Y, и α̃ij(F ) = F,
i, j = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Отметим, что Y — линейное пространство над полем Z(p). При этом
подгруппы Y — линейные подпространства Y, автоморфизмы группы Y — обратимые линейные
операторы. Пусть H — подгруппа Y. Фактор-группа Y/H конечна тогда и только тогда, когда
конечна коразмерность H как линейного подпространства в Y.
Пусть π — отображение из Y n в Y n, задаваемое формулой
π(u1, u2, . . . , un) =
n∑
j=1
α̃1juj ,
n∑
j=1
α̃2juj , . . . ,
n∑
j=1
α̃njuj
, (12)
где uj ∈ Y. Тогда π — линейный оператор, вообще говоря, не обратимый.
Положим N = π−1(⊕ni=1Fµi). Очевидно, что
codim⊕ni=1Fµi ≥ codimN, (13)
откуда также следует
codimN <∞. (14)
Пусть φi — проекция на i-е координатное подпространство Y n. Положим Ei = φi(N). Тогда
Ei — подпространство Y. Покажем, что семейства линейных подпространств {Ei}ni=1, {Fµi}ni=1
удовлетворяют условиям (3), (4). Очевидно, что N ⊆ (⊕ni=1Ei), и следовательно,
codimN ≥ codim⊕ni=1Ei. (15)
Из (14) и (15) следует, что codimEj <∞.
Из (15) и (13) получаем
codim⊕ni=1Fµi ≥ codim⊕ni=1Ei. (16)
Неравенство (16) влечет
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И КОМПАКТНЫХ . . . 951
n∑
i=1
codimFµi ≥
n∑
i=1
codimEi.
Положим в (2) (u1, u2, . . . , un) ∈ N . Тогда левая часть уравнения (2) равна 1 и мы имеем
1 =
n∏
i=1
n∏
j=1
µ̂i(α̃ijuj), (u1, u2, . . . , un) ∈ N. (17)
Зафиксируем j. Тогда для каждого u ∈ Ej найдется (u1, u2, . . . , un) ∈ N такой, что uj = u.
Отсюда, из (17) и 0 ≤ µ̂i(y) ≤ 1, y ∈ Y, следует, что µ̂i(α̃iju) = 1, u ∈ Ej . Следовательно,
справедливы включения
α̃ij(Ej) ⊂ Fµi , i, j = 1, 2, . . . , n.
В результате получаем, что выполнены условия леммы 3. Следовательно, Fµi = F, где F —
подгруппа Y и α̃ij(F ) = F, i, j = 1, 2, . . . , n.
Лемма 3 доказана.
Следующая лемма непосредственно следует из теоремы 1 и леммы 1.
Лемма 4. Пусть Y — конечная абелева группа, µ̂i(y), i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — неот-
рицательные характеристические функции на Y, удовлетворяющие уравнению (2), где α̃ij ∈
∈ Aut(Y ), α̃1j = α̃i1 = I, i, j = 1, 2, . . . , n. Тогда Fµi = F, i = 1, 2, . . . , n, где F — подгруппа в
Y, и α̃ij(F ) = F, i, j = 1, 2, . . . , n.
Следующая лемма при n = 2 была доказана в [13] (см. также [15], лемма 13.15). Отметим,
что наше доказательство леммы 5 отлично от доказательства соответствующей леммы для
n = 2 из [13] и не опирается на нее.
Лемма 5. Пусть X — дискретная абелева группа, а ξi, i = 1, 2, . . . , n, — независимые
случайные величины со значениями в группе X и распределениями mKi , где Ki — конечные
подгруппы X. Тогда из независимости линейных форм Lj =
∑n
i=1
αijξi, где αij ∈ Aut(X),
αi1 = α1j = I, i, j = 1, 2, . . . , n, следует, что Ki = K, где K — некоторая подгруппа группы
X, и αij(K) = K.
Доказательство. Покажем вначале, что задача сводится к случаю, когда X — p-примарная
ограниченая группа.
Поскольку все Ki содержатся в периодической части группы X и периодическая часть X
является характеристической подгруппой, без ограничения общности можем предполагать, что
X — периодическая группа. Пусть N — произведение порядков подгрупп Ki. Тогда Ki ⊂ X(N).
Подгруппа X(N) — ограниченная группа. Кроме того, X(N) — характеристическая подгруппа.
Поэтому без ограничения общности можем считать, что X — ограниченная периодическая
группа.
Для произвольного p ∈ P обозначим через Xp p-примарную компоненту группы X. Отме-
тим, что X — слабое прямое произведение подгрупп Xp и Xp — характеристическая подгруппа
группы X.
Для того чтобы доказать утверждение, достаточно показать, что совпадают проекции Ki
на Xp для каждого фиксированного p и сужения автоморфизмов αij на проекции Ki на Xp
являются автоморфизмами этих проекций. Пусть ξip — проекция случайной величины ξi, i =
= 1, 2, . . . , n, наXp. Случайные величины ξip независимы, а их распределения — распределения
Хаара на некоторых конечных подгруппах Xp. Положим Ljp =
∑n
i=1
αijξip. Из независимости
Lj следует, что Ljp независимы. Таким образом, задача сводится к случаю, когда X = Xp.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
952 И. П. МАЗУР
Поэтому без ограничения общности будем предполагать, что X — p-примарная ограниченная
группа.
Из независимости линейных форм Lj согласно лемме 1 следует, что функции µ̂i(y) =
= m̂Ki(y), y ∈ Y, удовлетворяют уравнению (2). Обозначим Fi = A(Y,Ki). Поскольку анну-
лятор конечной подгруппы — открытая подгруппа, Fi — открытые подгруппы в Y. Для доказа-
тельства леммы достаточно показать, что
Fi = F, α̃ij(F ) = F, i, j = 1, 2, . . . , n, (18)
где F — некоторая подгруппа группы Y.
Рассмотрим сужение уравнения (2) на подгруппу Y(p). Согласно лемме 3 получаем, что
Fi ∩ Y(p) = H, i = 1, 2, . . . , n, где H — некоторая подгруппа Y(p), и α̃ij(H) = H.
Принимая во внимание, что характеристические функции m̂Ki(y) H-инвариантны и суже-
ния автоморфизмов α̃ij группы Y на H являются топологическими автоморфизмами H, рас-
сматриваем уравнение, индуцированное уравнением (2), на фактор-группе Y/H, полагая
fi
(
[y]
)
= m̂Ki
(
[y]
)
и α̂ij [y] = [α̃ijy], y ∈ [y], [y] ∈ Y/H. Отметим, что α̂ij — топологиче-
ские автоморфизмы группы Y/H.
Повторяя приведенные выше рассуждения и рассматривая при этом вместо группы Y
фактор-группу Y/H, получаем индуцированное уравнение на фактор-группе группы Y/H. По-
сколькуX — дискретная ограниченная p-примарная группа, легко видеть, что за конечное число
шагов мы придем к индуцированному уравнению с индуцированными характеристическими
функциями f̄i(y) на некоторой конечной группе Ȳ . Обозначим соответствующие индуцирован-
ные автоморфизмы группы Ȳ через ᾱij . Согласно лемме 4 получаем F̄i =
{
y ∈ Ȳ : f̄i(y) =
= 1
}
= H̄, i = 1, 2, . . . , n, где H̄ — некоторая подгруппа Ȳ , и ᾱij(H̄) = H̄. Возвращаясь от
индуцированного уравнения к исходному, убеждаемся, что Fi совпадают и α̃ij(Fi) = Fi.
Лемма 5 доказана.
Лемма 6 ([15], §13.11). Пусть X — локально компактная абелева группа, ξi, i = 1, 2, . . . ,
n ≥ 2, — независимые случайные величины со значениями в X и распределениями µi, а αi,
βi принадлежат Aut(X). Предположим, что линейные формы L1 = α1ξ1 + . . . + αnξn и
L2 = β1ξ1 + . . . + βnξn независимы. Тогда существуют элементы xj ∈ X, j = 1, 2, . . . , n,
такие, что носители распределений µ′j всех случайных величин ξ′j = ξj + xj содержатся в
подгруппе, топологически изоморфной группе вида Rm ×K, где K — некоторая компактная
группа.
Теперь можно доказать основной результат данного пункта.
Теорема 2. Пусть X — дискретная абелева группа, а ξi, i = 1, 2, . . . , n, — независимые
случайные величины со значениями в группе X и распределениями µi. Тогда из независимости
линейных форм Lj =
∑n
i=1
αijξi, где αij ∈ Aut(X), i, j = 1, 2, . . . , n, следует, что µi =
= Exi ∗mGi , где Gi — конечные подгруппы группы X, xi ∈ X, i = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Достаточно доказать теорему при предположении, что α1j = αi1 =
= I, i, j = 1, 2, . . . , n. Действительно, линейные формы Lj =
∑n
i=1
αijξi, j = 1, 2, . . . , n,
независимы тогда и только тогда, когда независимы линейные формы α−1
1j Lj , j = 1, 2, . . . , n.
Поскольку
Lj = α1j
(
ξ1 + α−1
1j α2jξ2 + . . .+ α−1
1j αnjξn
)
, j = 1, 2, . . . , n,
без потери общности можно предполагать, что α1j = I, j = 1, 2 . . . , n, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И КОМПАКТНЫХ . . . 953
Lj = ξ1 + α2jξ2 + . . .+ αnjξn, j = 1, 2, . . . , n. (19)
Введем новые случайные величины ηi = αi1ξi и топологические автоморфизмы γij = αijα
−1
i1 .
Тогда линейные формы (19) в новых обозначениях примут вид
L1 = η1 + η2 + . . .+ ηn,
Lj = η1 + γ2jη2 + . . .+ γnjηn, , j = 2, . . . , n,
где случайные величины ηi независимы. Следовательно, можно предполагать, что αi1 = I,
i = 1, 2, . . . , n.
По лемме 1 функции µ̂i(y) удовлетворяют уравнению (2). Положим νi = µi ∗ µ̄i, i =
= 1, 2, . . . , n. Тогда ν̂i(y) =
∣∣µ̂i(y)
∣∣2, y ∈ Y, функции ν̂i(y) неотрицательны и также удовлетво-
ряют уравнению (2). Покажем, что ν̂i(y) = m̂G(y), y ∈ Y, G — некоторая конечная подгруппа
группы X.
По лемме 6 доказательство теоремы сводится к случаю, когда X = bX , т. е. когда группа X
является периодической.
Положим Ki = A(X,Fνi). Тогда σ(νi) ⊂ Ki.
Отметим, что для всех натуральных k функции ν̂i(y) удовлетворяют уравнению
n∏
i=1
ν̂ki
n∑
j=1
α̃ijuj
=
n∏
i=1
n∏
j=1
ν̂ki (α̃ijuj). (20)
Очевидно, существуют пределы
ν̃i(y) = lim
k→∞
ν̂ki (y) =
1, y ∈ Fνi ,
0, y 6∈ Fνi .
(21)
Легко проверить, что ν̃i(y) = m̂Ki(y), y ∈ Y. Из (20) следует, что ν̃i(y) также удовлетворяют
уравнению (2). Следовательно, m̂Ki(y) удовлетворяют уравнению (2). Пусть ζi — независимые
случайные величины со значениями в X и распределениями mKi . Тогда из леммы 1 получаем,
что линейные формы L̄j =
∑n
i=1
αijζi, j = 1, 2, . . . , n, независимы. Таким образом, выполнены
условия леммы 5, из которой вытекает, чтоKi = K, гдеK — некоторая подгруппаX, и αij(K) =
= K. Кроме того, по лемме 6 подгруппаK конечна. Поскольку σ(νi) ⊂ K, случайные величины
ξi принимают значения в конечной группеK.Из условий αij(K) = K, i, j = 1, 2, . . . , n, следует,
что αij ∈ Aut(K). Тогда согласно теореме 1 получаем, что µi = Exi ∗mG, где G — подгруппа
группы K, xi ∈ X, i = 1, 2, . . . , n.
Теорема 2 доказана.
Теорема 2 является обобщением основной теоремы [11], а именно, превращается в нее при
n = 2.
Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение, которое понадобится нам в дальнейшем.
Следствие 1. Пусть Y — компактная абелева группа и α̃ij ∈ Aut(Y ), α1j = αi1 = I, i, j =
= 1, 2, . . . , n. Тогда все решения уравнения (2) в классе неотрицательных характеристических
функций имеют вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
954 И. П. МАЗУР
µ̂i(y) =
1, y ∈ E,
0, y 6∈ E,
(22)
где E — подгруппа Y, и α̃ij(E) = E, i, j = 1, 2, . . . , n.
4. Теорема Скитовича – Дармуа для произведения некоторых групп. Используем тео-
рему 2 для доказательства того, что теорема Скитовича – Дармуа для n независимых линейных
форм от n независимых случайных величин справедлива для некоторого достаточно широкого
класса групп, включающего в себя дискретные абелевы группы. Нам понадобится следующая
лемма.
Лемма 7. Пусть локально компактная абелева группа H имеет вид H = F × S, где
F — дискретная периодическая абелева группа, удовлетворяющая условию: (i) для любого
p подгруппа F(p) конечна, и S — компактная абелева группа. Тогда для любого элемента
h0 ∈ H и любого конечного набора автоморфизмов βi ∈ Aut(H), i = 1, 2, . . . , k, существует
компактная подгруппа Q группы H такая, что h0 ∈ Q и βi(Q) = Q, i = 1, 2, . . . , k.
Лемма 7 для случая k = 1 была доказана в [13], и доказательство почти без изменений
переносится на случай, когда k произвольно. Поэтому мы его опускаем.
Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема 3. Пусть группа X имеет вид
X = Rm ×K ×D, (23)
где m ≥ 0, K — компактная вполне несвязная абелева группа, топологически изоморфная
группе вида
Pp∈P(4np
p ×Gp), (24)
np — некоторые целые неотрицательные числа, Gp — конечные p-примарные группы, а D
— дискретная абелева группа. Пусть ξk, k = 1, 2, . . . , n, — независимые случайные величины
со значениями в группе X и распределениями µk. Тогда из независимости линейных форм
Lj =
∑n
k=1
αkjξk, где αkj ∈ Aut(X), k, j = 1, 2, . . . , n, следует, что µk ∈ Γ(X) ∗ I(X),
k = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Теорема 3 при n = 2 была доказана в [13]. Мы будем следовать схеме
доказательства, предложенной в [13]. Использовав те же рассуждения, что и при доказательстве
теоремы 2, сведем задачу к случаю, когда α1j = αk1 = I, k, j = 1, 2, . . . , n. Учитывая лемму 6,
без ограничения общности можем предполагать, что группа D является периодической.
Пусть G = K × D, H = G∗. Тогда Y ∼= Rm × H. Чтобы избежать введения новых
обозначений, будем предполагать, что Y = Rm × H. Пусть y = (s, h), s ∈ Rm, h ∈ H, —
элементы Y. Рассмотрим группы характеров F = K∗ и S = D∗. Поскольку K — компактная
вполне несвязная группа, F — дискретная периодическая группа. Поскольку D — дискретная
периодическая группа, S — компактная вполне несвязная группа. Следовательно, H ∼= F × S
— вполне несвязная группа, состоящая из компактных элементов. Поскольку H — вполне
несвязная группа, Rm — связная компонента нуля группы Y. Следовательно, сужения α̃kj ∈
∈ Aut(Y ) на Rm будут топологическими автоморфизмами Rm. Обозначим эти сужения через
α̃′kj . Так как H = bY , сужения α̃kj ∈ Aut(Y ) на H будут топологическими автоморфизмами
H. Обозначим это сужение через α̃′′kj . Имеем α̃kj(s, h) = (α̃′kjs, α̃
′′
kjh).
По лемме 1 из независимости линейных форм Lj следует, что характеристические функции
µ̂k(y) удовлетворяют уравнению (2), которое в введенных обозначениях принимает вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И КОМПАКТНЫХ . . . 955
n∏
k=1
µ̂k
n∑
j=1
α̃′kjsj ,
n∑
j=1
α̃′′kjhj
=
n∏
k=1
n∏
j=1
µ̂k(α̃
′
kjsj , α̃
′′
kjhj), (25)
где (sj , hj) ∈ Y. Полагая s1 = s2 = . . . = sn = 0 в (25), получаем
n∏
k=1
µ̂k
0,
n∑
j=1
α̃′′kjhj
=
n∏
k=1
n∏
j=1
µ̂k(0, α̃
′′
kjhj), hj ∈ H. (26)
Решим уравнение (26). Для этого рассмотрим распределения νk = µk ∗ µ̄k и отметим, что
сужения на H характеристических функций ν̂k(y) также удовлетворяют уравнению (26).
Из (24) легко видеть, что группа F удовлетворяет условию (i) леммы 7. Следовательно,
условия леммы 7 выполнены для группы H. Пусть h0 ∈ H. По лемме 7 найдется компактная
подгруппа Q ⊂ H такая, что h0 ∈ Q и α̃kj(Q) = Q, k, j = 1, 2, . . . , n.
Рассмотрим сужение уравнения (26) для функций ν̂k(y) наQ.Мы можем это сделать, так как
α̃′′kj(Q) = Q. Из следствия 1 следует, что характеристические функции ν̂k(0, h), k = 1, 2, . . . , n,
совпадают при h ∈ Q и принимают на Q значения 0 или 1. Поскольку элемент h0 является
произвольным, характеристические функции ν̂k(0, h), k = 1, 2, . . . , n, совпадают при h ∈ H и
принимают на H значения 0 или 1. Положим
E =
{
h ∈ H : ν̂k(0, h) = 1, k = 1, 2, . . . , n
}
.
Мы имеем
ν̂k(0, h) =
1, h ∈ E,
0, h 6∈ E.
(27)
Отметим, что E — открытая подгруппа в H. Положим M = A(G,E). Тогда M — компактная
подгруппа в G. Очевидно, что
ν̂k(0, h) = m̂M (h), h ∈ H,
откуда легко следует равенство
µ̂k(0, h) = m̂M (h)(gk, h), h ∈ H, k = 1, 2, . . . , n, (28)
где gk ∈ G. Заменяя распределения µk их сдвигами, можем предполагать, что в (28) gk = 0.
Тогда
µ̂k(0, h) =
1, h ∈ E,
0, h 6∈ E, k = 1, 2, . . . , n.
(29)
Из (29) следует, что характеристические функции µ̂k(y) E-инвариантны.
Проверим выполнение следующих соотношений:
α̃′′kj(E) = (E), k, j = 1, 2, . . . , n. (30)
Если бы подгруппа H была компактной, то (30) непосредственно вытекало бы из следствия 1.
В общем случае мы получаем равенства (30), используя лемму 7. Учитывая равенства (30), мы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
956 И. П. МАЗУР
можем перейти от уравнения (25) на группе Y к индуцированному уравнению на фактор-группе
Y/E ∼= Rm × (H/E), полагая ϕk
(
[y]
)
= µ̂k
(
[y]
)
, α̂kj [y] = [α̃kjy]. Отметим, что гомоморфиз-
мы α̂kj , индуцированные автоморфизмами α̃kj , являются топологическими автоморфизмами
фактор-группы Y/E. Положим L = H/E. Очевидно, сужения α̂kj на L являются топологиче-
скими автоморфизмами L. Обозначим эти сужения через α̂′′kj . Элементы группы Y/E ∼= Rm×L
обозначим через (s, l), s ∈ Rm, l ∈ L. В введенных обозначениях α̂kj(s, l) = (α̃′kjs, α̂
′′
kjl). Урав-
нение, индуцированное уравнением (25), принимает вид
n∏
k=1
ϕk
n∑
j=1
α̃′kjsj ,
n∑
j=1
α̂′′kjlj
=
n∏
k=1
n∏
j=1
ϕk(α̃
′
kjsj , α̂
′′
kjlj), (31)
где (sj , lj) ∈ Rm × L. Легко видеть, что для решений уравнения (31) справедливо равенство{
l ∈ L : ϕk(0, l) = 1
}
= {0}, k = 1, 2, . . . , n. (32)
Рассмотрим эндоморфизм π : Ln → Ln, заданный формулой
π(l1, l2, . . . , ln) =
n∑
j=1
α̂′′1jlj ,
n∑
j=1
α̂′′2jlj , . . . ,
n∑
j=1
α̂′′njlj
, (33)
где lj ∈ L. Покажем, что Kerπ = {0}. Действительно, пусть (l̄1, l̄2, . . . , l̄n) ∈ Kerπ, (l̄1, l̄2, . . .
. . . , l̄n) 6= (0, 0, . . . , 0). Положим в (31) sj = 0, lj = l̄j , j = 1, 2, . . . , n, и получим
1 =
n∏
k=1
n∏
j=1
ϕk(0, α̂
′′
kj l̄j).
Отсюда следует, что существует такое k0, что lk0 6= 0 и ϕk0(0, lk0) = 1 . Но это противоре-
чит (32).
ПосколькуM — компактная подгруппа вполне несвязной группыG,M — компактная вполне
несвязная группа. Отметим, что так как L = H/E = G∗/E, M = A(G,E) и G∗/E ∼= A(G,E),
то L ∼= M∗. Следовательно, L — дискретная периодическая группа. Можно показать, что L
удовлетворяет условию (i) леммы 7. Отсюда получаем, что и Ln удовлетворяет условию (i)
леммы 7. Нетрудно показать, что любой мономорфизм, действующий на дискретной группе,
удовлетворяющей условию (i) леммы 7, является автоморфизмом. Следовательно,
π ∈ Aut(Ln). (34)
Из равенств (32) и определения ϕk(s, l) получаем, что сужения функций ϕk(s, l) на под-
группу L фактор-группы Y/E имеют вид
ϕk(0, l) =
1, l = 0,
0, l 6= 0.
(35)
Положим в (31) lj = 0, j = 1, 2, . . . , n. Тогда по лемме 1 и теореме Гурье – Олкина [17] (аналог
теоремы Скитовича – Дармуа для пространства Rm) получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И КОМПАКТНЫХ . . . 957
ϕk(s, 0) = exp
{
−〈Aks, s〉+ i〈tk, s〉
}
, s ∈ Rm, (36)
где Ak — симметрические неотрицательно определенные матрицы, tk ∈ Rm и 〈·, ·〉 — скалярное
произведение в Rm.
Положим в (31) s1 = s3 = s4 = . . . = sn = 0, s2 = s, l1 = l, l2 = l3 = . . . = ln = 0. Тогда,
учитывая, что α̃k1 = I, k = 1, 2, . . . , n, получаем
n∏
k=1
ϕk
(
α̃′k2s, l
)
=
n∏
k=1
ϕk(α̃
′
k2s, 0)ϕk(0, l). (37)
Из (35) заключаем, что правая часть (37) равна 0 при l 6= 0. Следовательно, имеем
n∏
k=1
ϕk
(
α̃′k2s, l
)
= 0, s ∈ Rm, l 6= 0. (38)
Поскольку ϕk(s, 0) — целые функции от s, ϕk(s, l) — целые функции от s при произвольном
l ∈ H (см. [16]). Отсюда и из (38) получаем, что для любого фиксированного l 6= 0 найдется k
такой, что ϕk (α̃′k2s, l) ≡ 0, s ∈ Rm. Так как α̃′k2 ∈ Aut(Rm), последнее равносильно ϕk (s, l) ≡
≡ 0, s ∈ Rm, для некоторого k. Следовательно, если lj 6= 0 для некоторого j, то правая часть
(31) тождественно равна нулю.
Выберем и зафиксируем k0 и l0 ∈ L, l0 6= 0, и найдем lj , удовлетворяющие уравнению
π(l1, l2, . . . , ln) = (0, . . . , 0, l0, 0, . . . , 0), (39)
где l0 находится на k0 месте. Из (34) следует, что уравнение (39) имеет единственное решение.
Очевидно, что все lj не равны нулю одновременно. Подставляя найденные решения lj в (31) и
принимая во внимание (36), получаем ϕk0(s, l0) ≡ 0, s ∈ Rm. В результате, учитывая, что l0 и
k0 выбирались произвольно, получаем представление
ϕk(s, l) =
exp
{
−〈Aks, s〉+ i〈tk, s〉
}
, s ∈ Rm, l = 0,
0, s ∈ Rm, l 6= 0,
(40)
где k = 1, 2, . . . , n. Возвращаясь от функций ϕk(s, l) к характеристическим функциям µ̂k(s, h),
из (40) находим
µ̂k(s, h) =
exp
{
−〈Aks, s〉+ i〈tk, s〉
}
, s ∈ Rm, h ∈ E,
0, s ∈ Rm, h 6∈ E,
где k = 1, 2, . . . , n.
Пусть γk — распределение наX с характеристической функцией γ̂k(s, h) = exp
{
−〈Aks, s〉+
+ i〈tk, s〉
}
, k = 1, 2, . . . , n, и λ — распределение на X с характеристической функцией
λ̂(s, h) =
1, h ∈ E,
0, h 6∈ E.
Очевидно, что µ̂k(s, h) = γ̂k(s, h)λ̂(s, h). Кроме того, легко видеть, что γk ∈ Γ(X), а λ = mK ,
где K = A(X,Rm × E). Следовательно, µk ∈ Γ(X) ∗ I(X), k = 1, 2, . . . , n.
Теорема 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
958 И. П. МАЗУР
5. Теорема Скитовича – Дармуа для компактных вполне несвязных абелевых групп.
Из условий теоремы 3 следует, что для компактных вполне несвязных абелевых групп, изо-
морфных группе вида (24), справедлива теорема Скитовича – Дармуа для n независимых ли-
нейных форм от n независимых случайных величин. Оказывается, что в классе компактных
вполне несвязных групп теорема Скитовича – Дармуа справедлива только для таких групп. Что-
бы доказать этот факт, нам понадобятся некоторые леммы. Следующая лемма обобщает лемму,
доказанную ранее Фельдманом.
Лемма 8 ([15], §13.21). Пусть X — компактная абелева группа. Предположим, что най-
дутся автоморфизм δ ∈ Aut(X) и элемент ỹ ∈ Y такие, что выполняются следующие
условия:
i) Ker(I − δ̃) = {0};
ii) (I − δ̃)Y ∩ {0;±ỹ,±2ỹ} = {0};
iii) δ̃ỹ 6= −ỹ.
Тогда для любого n ≥ 2 существуют независимые одинаково распределенные случайные вели-
чины ξi, i = 1, 2, . . . , n, со значениями в группе X и распределением µ 6∈ I(X) и автоморфизмы
δij ∈ Aut(X) такие, что линейные формы Lj = ξ1 +
∑n
i=2
δijξi, j = 1, 2, . . . , n, независимы.
Доказательство. Рассмотрим на группе X функцию
ρ(x) = 1 + (1/2) Re(x, ỹ).
Тогда ρ(x) > 0, x ∈ X, и ∫
X
ρ(x)dmX(x) = 1.
Обозначим через µ распределение на X с плотностью ρ(x) относительно меры Хаара mX .
Пусть ξi, i = 1, 2, . . . , n, n ≥ 2, — независимые одинаково распределенные случайные величины
с распределением µ. Мы покажем, что линейные формы Lj = ξ1 +
∑n
i=2
δijξi, j = 1, 2, . . . , n,
где δij = I, i 6= j, δjj = δ, независимы.
Положим f(y) = µ̂(y). По лемме 1 достаточно показать, что функция f(y) удовлетворяет
уравнению
f(u1 + . . .+ un)f(u1 + δ̃u2 + . . .+ un) . . . f(u1 + . . .+ δ̃un) =
= f(u1)
n∏
i=1
fn−1(ui)
n∏
i=2
f(δ̃ui). (41)
Пусть a(ỹ) =
1
4
, если 2ỹ 6= 0, и a(ỹ) =
1
2
, если 2ỹ = 0. Легко видеть, что
f(y) =
1, y = 0,
a(ỹ), y = ±ỹ,
0, y 6∈ {0,±ỹ}.
(42)
Из (42) следует, что µ 6∈ I(X). Очевидно, что если ui = 0, i = 2, . . . , n, то уравнение (41)
выполнено. Поэтому будем предполагать, что ui 6= 0 для некоторого i 6= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ТЕОРЕМА СКИТОВИЧА – ДАРМУА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И КОМПАКТНЫХ . . . 959
Из условий i) и iii) следует, что δ̃ỹ 6= ±ỹ. Следовательно, правая часть (41) равна 0, если
ui 6= 0 для некоторого i 6= 1.
Докажем теперь, что и левая часть уравнения (41) равна нулю, если ui 6= 0 для некото-
рого i 6= 1. Предположим, что при некоторых ui, не равных одновременно нулю, левая часть
уравнения (41) отлична от 0. Тогда ui удовлетворяют системе уравнений
u1 + u2 + . . .+ un = b1,
u1 + δ̃u2 + . . .+ un = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (43)
u1 + u2 + . . .+ δ̃un = bn,
где bi ∈ {0;±ỹ}. Из системы (43) следует, что
(δ̃ − I)u2 = b2 − b1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (44)
(δ̃ − I)un = bn − b1.
Поскольку bi ∈ {0;±ỹ}, легко видеть, что bi− b1 ∈ {0;±ỹ;±2ỹ}, i = 2, . . . , n. Отсюда и из (44)
получаем (δ̃ − I)ui ∈ {0;±ỹ;±2ỹ}, i = 2, . . . , n. Из условия ii) следует, что (δ̃ − I)ui = 0. Из
условия i) имеем ui = 0, i = 2, . . . , n. Полученное противоречие показывает, что левая часть
(41) равна 0, если ui 6= 0 для некоторого i 6= 1.
Лемма 8 доказана.
Теорема 4. Пусть X — компактная вполне несвязная абелева группа, ξi, i = 1, 2, . . . , n,
— независимые случайные величины со значениями в группе X и распределениями µi, αij ∈
∈ Aut(X). Из независимости линейных форм Lj =
∑n
i=1
αijξi, j = 1, 2, . . . , n, следует, что
все µi принадлежат I(X) тогда и только тогда, когда группа X топологически изоморфна
группе вида (24).
Доказательство. Поскольку на вполне несвязных абелевых группах гауссовские распре-
деления вырождены, то достаточность непосредственно следует из теоремы 3.
Докажем необходимость. Пусть X топологически не изоморфна группе вида (24). Тогда
для некоторого простого p существует замкнутая подгруппа K группы X, являющаяся прямым
топологическим сомножителем вX и топологически изоморфная либо группе4ℵ0p , либо группе
вида
P∞k=1Z(pmk), mk ≤ mk+1, k = 1, 2, . . . .
Кроме того, K удовлетворяет условиям леммы 5.1 [10]. По лемме 8 найдутся независимые
одинаково распределенные случайные величины ξi со значениями в K и распределением
µ 6∈ I(K) и δ ∈ Aut(K) такие, что линейные формы Lj = ξ1 +
∑n
i=2
δijξi, j = 1, 2, . . . , n, где
δij = I, i 6= j, δii = δ, i, j = 1, 2, . . . , n, независимы. Мы можем рассматривать ξi как случайные
величины со значениями вX. Кроме того, посколькуK — топологический прямой сомножитель
группы X, автоморфизм δ ∈ Aut(K) может быть продолжен до топологического автоморфизма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
960 И. П. МАЗУР
группы X. Сохраним для продолженного автоморфизма обозначение δ. В результате получим,
что линейные формы Lj , j = 1, 2, . . . , n, независимы, и при этом µi 6∈ I(X).
Теорема 4 доказана.
Отметим, что теорема 4 для случая n = 2 была доказана в [10].
1. Скитович В. П. Об одном свойстве нормального распределения // Докл. АН СССР. – 1953. – 89. – C. 217 – 219.
2. Darmois G. Analyse generale des liasions stochastiques. Etude particuliere de l‘analyse factorielle lineaire // Rev.
Inst. Int. Statist. – 1953. – 21. – P. 2 – 8.
3. Каган A. M., Линник Ю. В., Рао С. Р. Характеризационные задачи математической статистики. – М.: Наука,
1972.
4. Krakowiak W. The theorem of Darmois – Skitovich for Banach valuedrandom variables // Ann. Inst. H. Poincare B. –
1975. – 11, № 4. – P. 397 – 404.
5. Feldman G. M. On the Skitovich – Darmois theorem for finite abelian groups // Theory Probab. Appl. – 1992. – 37. –
P. 621 – 631.
6. Baryshnikov Y., Eisenberg B., Stadje W. Independent variables with independent sum and difference: S1-case // J.
Multivar. Anal. – 1993. – 45. – P. 161 – 170.
7. Фельдман Г. М. Теорема Скитовича – Дармуа для компактных групп // Теория вероятностей и ее применения. –
1996. – 41. – C. 901 – 906.
8. Фельдман Г. М. Теорема Скитовича – Дармуа для дискретных периодических абелевых групп // Теория вероят-
ностей и ее применения. – 1997. – 42, вып. 4. – C. 747 – 756.
9. Neuenschwander D., Schott R. The Bernstein and Skitovich – Darmois characterization theorems for Gaussian
distributions on groups, symmetric spaces and quantum groups // Expos. Math. – 1997. – 15. – P. 289 – 314.
10. Feldman G. M., Graczyk P. On the Skitovich – Darmois theorem on compact Abelian groups // J. Theor. Probab. –
2000. – 13. – P. 859 – 869.
11. Фельдман Г. М., Грачик П. К теореме Скитовича – Дармуа на дискретных абелевых группах // Теория вероят-
ностей и ее применения. – 2004. – 49. – C. 596 – 601.
12. Миронюк М. В. О теоремах Скитовича – Дармуа и Хейде в банаховых пространствах // Укр. мат. журн. – 2009. –
61, № 10. – C. 1437 – 1447.
13. Feldman G. M., Graczyk P. The Skitovich – Darmois theorem for locally compact Abelian groups // J. Austral. Math.
Soc. – 2010. – 88. – P. 339 – 352.
14. Мазур И. П. Теорема Скитовича – Дармуа для конечных абелевых групп (случай n линейных форм от n
независимых случайных величин) // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – C. 1512 – 1523.
15. Фельдман Г. Характеризационные задачи математической статистики на локально компактных абелевых груп-
пах. – Киев: Наук. думка, 2010.
16. Fel’dman G. M. Arithmetic of probability distributions and characterization problems on Abelian groups // AMS
transl. Math. Monogr. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.
17. Ghurye S. G., Olkin I. A characterization of the multivariate normal distribution // Ann. Math. Statist. – 1962. – 33. –
P. 533 – 541.
18. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. – М.: Наука, 1975. – Т. 1.
19. Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces. – New York: Acad. Press, 1967.
Получено 06.06.12,
после доработки — 21.01.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
|