О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
Знаходження умов iнварiантностi геометричних об'єктів щодо дії тієї чи іншої групи перетворень є однією з най6ільш актуальних задач геометричного дослідження. У цій роботі ми вивчаємо умови інваріантності майже ермітових структур щодо дії локальної однопараметричної групи дифеоморфізмів, породж...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165591 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.Ф. Кириченко, В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 1005–1008. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165591 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655912020-02-15T01:27:04Z О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях Кириченко, В.Ф. Кузаконь, В.М. Короткі повідомлення Знаходження умов iнварiантностi геометричних об'єктів щодо дії тієї чи іншої групи перетворень є однією з най6ільш актуальних задач геометричного дослідження. У цій роботі ми вивчаємо умови інваріантності майже ермітових структур щодо дії локальної однопараметричної групи дифеоморфізмів, породженої торсотвірним векторним полем на цьому многовиді. Крім того, вивчені взаємозв'язки між торсотвірними, зокрема конциркулярними, векторними полями на ріманових многовидах i локально конциркулярними перетвореннями метрики цих многовидів. The determination of conditions for the invariance of geometric objects under the action of a group of transformations is one of the most important problems of geometric research. We study the invariance conditions for almost Hermitian structures relative to the action of a local one-parameter group of diffeomorphisms generated by a developable vector field on a manifold. Moreover, we investigate the relationship between developable (in particular, concircular) vector fields on Riemannian manifolds and locally concircular transformations of the metric of these manifolds. 2013 Article О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.Ф. Кириченко, В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 1005–1008. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165591 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Кириченко, В.Ф. Кузаконь, В.М. О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях Український математичний журнал |
| description |
Знаходження умов iнварiантностi геометричних об'єктів щодо дії тієї чи іншої групи перетворень є однією з най6ільш актуальних задач геометричного дослідження. У цій роботі ми вивчаємо умови інваріантності майже ермітових структур щодо дії локальної однопараметричної групи дифеоморфізмів, породженої торсотвірним векторним полем на цьому многовиді. Крім того, вивчені взаємозв'язки між торсотвірними, зокрема конциркулярними, векторними полями на ріманових многовидах i локально конциркулярними перетвореннями метрики цих многовидів. |
| format |
Article |
| author |
Кириченко, В.Ф. Кузаконь, В.М. |
| author_facet |
Кириченко, В.Ф. Кузаконь, В.М. |
| author_sort |
Кириченко, В.Ф. |
| title |
О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_short |
О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_full |
О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_fullStr |
О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_full_unstemmed |
О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_sort |
о геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165591 |
| citation_txt |
О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.Ф. Кириченко, В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 1005–1008. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kiričenkovf ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh AT kuzakonʹvm ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh |
| first_indexed |
2025-07-14T19:05:43Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:05:43Z |
| _version_ |
1837650379355979776 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
В. Ф. Кириченко (Моск. гос. пед. ун-т, Россия),
В. М. Кузаконь (Одес. нац. академия пищевых технологий)
О ГЕОМЕТРИИ ГОЛОМОРФНЫХ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
The determinatiuon of conditions for the invariance of geometric objects under the action of a group of transformations
is one of the most important problems of geometric research. In this paper, we study invariance conditions for almost
Hermitian structures relative to the action of a local one-parameter group of diffeomorphisms generated by a developable
vector field on a manifold. In addition, we investigate the relationship between developable (in particular, concircular)
vector fields on Riemannian manifolds and locally concircular transformations of the metric of these manifolds.
Знаходження умов iнварiантностi геометричних об’єктiв щодо дiї тiєї чи iншої групи перетворень є однiєю з най-
бiльш актуальних задач геометричного дослiдження. У цiй роботi ми вивчаємо умови iнварiантностi майже ермi-
тових структур щодо дiї локальної однопараметричної групи дифеоморфiзмiв, породженої торсотвiрним векторним
полем на цьому многовидi. Крiм того, вивченi взаємозв’язки мiж торсотвiрними, зокрема конциркулярними, вектор-
ними полями на рiманових многовидах i локально конциркулярними перетвореннями метрики цих многовидiв.
Пусть M — n-мерное гладкое многообразие, X(M) — C∞(M)-модуль гладких векторных полей
на M , d — оператор внешнего дифференцирования, LX — оператор дифференцирования Ли
в направлении векторного поля X . Все многообразия, тензорные поля и подобные объекты
предполагаются гладкими класса C∞.
Зафиксируем векторное поле ξ ∈ X(M). Известно, что оно порождает локальную однопара-
метрическую группу диффеоморфизмов Ft многообразия M . Рассмотрим дифференциально-
геометрическую структуру S = {T1, . . . , TN } на M , определенную конечным числом тензор-
ных полей на M . Примерами таких структур являются римановы структуры (N = 1), почти
эрмитовы структуры (N = 2), почти контактные структуры (N = 3) и т. п.
Определение 1. Структуру S назовем ξ-инвариантной, если каждый из тензоров, ее
составляющих, инвариантен относительно операций увлечения, порожденных элементами
локальной группы Ft [1].
Лемма 1 [1]. Структура S ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда
Lξ(Tk) = 0, k = 1, . . . , N.
Пример [1]. Риманова структура g = 〈 ·, · 〉 ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда ξ —
векторное поле Киллинга, т. е.
〈∇Xξ, Y 〉+ 〈∇Y ξ,X〉 = 0, X, Y ∈ X(M),
где ∇ — оператор Кошуля римановой связности метрики g.
Определение 2. Векторное поле ξ ∈ X(M) называется торсообразующим, если ∇ξ =
= ρid + a ⊗ ξ для некоторых ρ ∈ C∞(M) и a ∈ X∗(M). Дифференциальную 1-форму a
и функцию ρ назовем характеристическими. Торсообразующее векторное поле называется
конциркулярным, если da = 0, спецконциркулярным, если a = 0, и рекуррентным, если ρ = 0.
c© В. Ф. КИРИЧЕНКО, В. М. КУЗАКОНЬ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7 1005
1006 В. Ф. КИРИЧЕНКО, В. М. КУЗАКОНЬ
Пусть S = {g, J} — почти эрмитова (кратко AH-) структура на M , J2 = −id, 〈JX, JY 〉 =
= 〈X,Y 〉 (эндоморфизм J называется почти комплексной структурой).
Определение 3. Векторное поле ξ ∈ X(M) называется голоморфным, если эндомор-
физм J ξ-инвариантен.
Теорема 1. Торсообразующее векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии M
голоморфно тогда и только тогда, когда
∇ξ(J)X = a(JX)ξ − a(X)Jξ, X ∈ X(M). (1)
Доказательство. В принятых обозначениях имеем
Lξ(J)X = Lξ(JX)− JLξ(X) =
= [ξ, JX]− J([ξ,X]) =
= ∇ξ(JX)−∇JXξ − J(∇ξX) + J∇Xξ =
= ∇ξ(J)X + J∇ξX −∇JXξ − J(∇ξX) + J∇Xξ =
= ∇ξ(J)X −∇JXξ + J∇Xξ =
= ∇ξ(J)X − ρ ◦ J(X)− a ◦ J(X)ξ + J(ρX) + J(a(X)ξ) =
= ∇ξ(J)X − a ◦ J(X)ξ + J(a(X)ξ) =
= ∇ξ(J)X − a(JX)ξ + a(X)Jξ,
откуда непосредственно следует, что условие Lξ(J) = 0 ξ-инвариантности почти комплексной
структуры J равносильно справедливости тождества (1).
Теорема 1 доказана.
Напомним [2], что почти эрмитова структура называется келеровой, если она интегрируема
и имеет замкнутую фундаментальную форму Ω(X,Y ) = 〈X, JY 〉. Необходимое и достаточное
условие келеровости почти эрмитовой структуры имеет вид
∇X(J)Y = 0, X, Y ∈ X(M). (2)
Теорема 2. Торсообразующее векторное поле на келеровом многообразии M будет го-
ломорфным тогда и только тогда, когда оно спецконциркулярно.
Доказательство. Пусть ξ — торсообразующее голоморфное векторное поле на келеровом
многообразии. В силу тождеств (1) и (2)
a(JX)ξ − a(X)Jξ = 0, X ∈ X(M),
откуда легко следует, что a = 0, т. е. ξ — спецконциркулярное векторное поле.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
О ГЕОМЕТРИИ ГОЛОМОРФНЫХ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ . . . 1007
Обратно, если ξ — спецконциркулярное векторное поле на келеровом многообразии M ,
то, по определению, a = 0, и с учетом (2) видим, что соотношение (1) выполняется на M
тождественно, а значит, ξ — голоморфное векторное поле.
Теорема 2 доказана.
Пусть ξ — торсообразующее векторное поле на почти эрмитовом многообразии M . Обозна-
чим через ω ковекторное поле, дуальное векторному полю ξ. Имеем
ω(Y ) = 〈ξ, Y 〉, Y ∈ X(M).
Применим к обеим частям этого тождества оператор ∇X :
∇X(ω)Y = 〈∇Xξ, Y 〉 = 〈a(X)ξ, Y 〉+ ρ〈X,Y 〉.
Таким образом,
∇X(ω)Y = a(X)ω(Y ) + ρ〈X,Y 〉, X, Y ∈ X(M). (3)
В частности,
dω(X,Y ) = ∇X(ω)Y −∇Y (ω)X = a(X)ω(Y )− a(Y )ω(X) = a ∧ ω(X,Y ).
Следовательно,
dω = a ∧ ω. (4)
Дифференциальное продолжение этого тождества имеет вид
da ∧ ω = 0. (5)
Соотношение (4) показывает, что гиперраспределение на M , порожденное дифференциальной
формой ω, инволютивно и, значит, вполне интегрируемо. Тем самым доказана следующая
теорема.
Теорема 3. Гиперраспределение на почти эрмитовом многообразии, порожденное диф-
ференциальной формой, дуальной голоморфному торсообразующему векторному полю на этом
многообразии, вполне интегрируемо.
Замечание. Замена соотношения (5) на более сильное условие da = 0 приводит к более
узкому классу — классу конциркулярных векторных полей, для которого полученные результаты
сохраняют силу. При этом соотношение (5) обращается в тождество.
Особый интерес представляет случай ω = a. В этом случае из (4) следует, что da = 0, т. е.
ξ — конциркулярное векторное поле. Уравнение (3) в этом случае принимает вид
∇ω = ω ⊗ ω + ρg. (6)
Здесь ρ — гладкая функция на многообразии M , с необходимостью равная
ρ =
1
n
(δω − ‖ω‖2),
где δω = gijωi,j — кодифференциал формы ω, ‖ω‖ — норма этой формы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
1008 В. Ф. КИРИЧЕНКО, В. М. КУЗАКОНЬ
Уравнение (6) было введено Яно в [3] и называется уравнением Яно. Укажем его геомет-
рический смысл. Как мы видели, дифференциальная форма ω, дуальная торсообразующему
векторному полю ξ, в случае ее совпадения с характеристической формой a замкнута и, значит,
локально точна. Следовательно, существует открытое покрытие U =
{
Uα
}
α∈A многообразия
M такое, что для любого α ∈ A существует σa ∈ C∞(Uα) &ω|Uα = dσα. Рассмотрим функции
σα как определяющие функции локально конформного преобразования g|Uα −→ g̃ = e2σαg|Uα
метрики многообразия M . Тогда выполнимость уравнения Яно на многообразии M равносиль-
на конциркулярности построенного нами локально конформного преобразования его метрики
(напомним, что конформное преобразование метрики называется конциркулярным преобразо-
ванием, если оно любую геодезическую окружность переводит в геодезическую окружность).
Заметим также, что эти рассуждения, очевидно, остаются в силе для любых римановых мно-
гообразий. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4. Торсообразующее векторное поле на римановом многообразии, дуальная 1-
форма которого совпадает с характеристической 1-формой, является конциркулярным век-
торным полем и внутренним образом порождает конциркулярное локально конформное пре-
образование метрики этого многообразия.
1. Аминова А. В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий. – М.: Янус-К, 2003. – 619 с.
2. Kaehler E. Uber eine bemerkenswerte Hermitische Metrik //Abh. Math. Sem. Hamburgischen Univ. – 1933. – 9. –
P. 173 – 186.
3. Yano K. Concircular geometry. I–4 // Proc. Imp. Acad. Jap. – 1940. – 16. – P. 195 – 200, 354 – 360, 442 – 448, 505 – 511.
Получено 25.09.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
|