Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів

Целью данной работы является развитие теории рассеяния для 0-возмущенных PT-симметричных операторов с использованием идей подхода Лакса-Филлипса. Для таких операторов охарактеризовано наличие стабильной C-симметрии (что гарантирует их самосопряженность при определенном выборе скалярного произведения...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Грод, А.І., Кужель, С.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2013
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165597
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів / А.I. Грод, С.О. Кужель // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 8. — С. 1059–1079. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165597
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1655972020-02-15T01:26:25Z Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів Грод, А.І. Кужель, С.О. Статті Целью данной работы является развитие теории рассеяния для 0-возмущенных PT-симметричных операторов с использованием идей подхода Лакса-Филлипса. Для таких операторов охарактеризовано наличие стабильной C-симметрии (что гарантирует их самосопряженность при определенном выборе скалярного произведения) в терминах соответствующей C-матрицы (матрицы рассеяния). The aim of the present work is to develop the scattering theory for 0-perturbed PT -symmetric operators by using the Lax–Phillips method. The presence of a stable C -symmetry leading to the property of selfadjointness (with proper choice of the inner product) for these PT -symmetric operators is described in terms of the corresponding S -matrix (scattering matrix). 2013 Article Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів / А.I. Грод, С.О. Кужель // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 8. — С. 1059–1079. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165597 517.98 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Грод, А.І. Кужель, С.О. Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів Український математичний журнал
description	Целью данной работы является развитие теории рассеяния для 0-возмущенных PT-симметричных операторов с использованием идей подхода Лакса-Филлипса. Для таких операторов охарактеризовано наличие стабильной C-симметрии (что гарантирует их самосопряженность при определенном выборе скалярного произведения) в терминах соответствующей C-матрицы (матрицы рассеяния).
format	Article
author	Грод, А.І. Кужель, С.О.
author_facet	Грод, А.І. Кужель, С.О.
author_sort	Грод, А.І.
title	Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів
title_short	Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів
title_full	Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів
title_fullStr	Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів
title_full_unstemmed	Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів
title_sort	теорія розсіяння для 0-збурених pt -симетричних операторів
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165597
citation_txt	Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів / А.I. Грод, С.О. Кужель // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 8. — С. 1059–1079. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT grodaí teoríârozsíânnâdlâ0zburenihptsimetričnihoperatorív AT kuželʹso teoríârozsíânnâdlâ0zburenihptsimetričnihoperatorív
first_indexed	2025-07-14T19:11:14Z
last_indexed	2025-07-14T19:11:14Z
_version_	1837650701468041216
fulltext	УДК 517.98 А. I. Грод (Iн-т математики НАН України, Київ), С. О. Кужель (AGH Ун-т науки i технологiй, Кракiв, Польща) ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ* The aim of the work is to develop the scattering theory for 0-perturbed PT -symmetric operators using the Lax–Phillips method. The presence of stable C-symmetry leading to the property of self-adjointness (with a proper choice of the inner product) for these PT -symmetric operators is described in terms of the corresponding S-matrix (scattering matrix). Целью данной работы является развитие теории рассеяния для 0-возмущенных PT -симметричных операторов с использованием идей подхода Лакса – Филлипса. Для таких операторов охарактеризовано наличие стабильной C- симметрии (что гарантирует их самосопряженность при определенном выборе скалярного произведения) в терминах соответствующей S-матрицы (матрицы рассеяния). 1. Вступ. Останнiм часом спостерiгається стiйкий iнтерес до дослiджень нового класу неса- моспряжених операторiв – так званих PT -симетричних операторiв [1, 2]. Великою мiрою це обумовлено тим, що деякi PT -симетричнi оператори можна використовувати як гамiльтонiани PT -симетричної квантової механiки (PTQM) [3, 4]. Зазвичай PT -симетричний оператор не є самоспряженим оператором. Тому розвиток теорiї розсiяння для таких операторiв потребує певних модифiкацiй вже iснуючих методiв та пошуку нових пiдходiв [5 – 10]. Зокрема, в роботах [11, 12] було вiдмiчено, що теорiя розсiяння Лакса – Фiллiпса [13] може бути корисною при дослiдженнi PT -симетричних операторiв Шредiнгера з локальними потенцiалами. Це пояснюється тим, що метод Лакса – Фiллiпса дозволяє природним чином встановити зв’язок мiж аналiтичнiстю S-матрицi та властивiстю локальностi (фiнiтнос- тi) збурення. Iншою важливою рисою методу розсiяння Лакса – Фiллiпса є його операторно- теоретична iнтерпретацiя в рамках теорiї розширень симетричних операторiв [14, 15]. Метою даної роботи є розвиток теорiї розсiяння для 0-збурених PT -симетричних операто- рiв з використанням iдей пiдходу Лакса – Фiллiпса. Термiн „0-збурений” означає, що розгляда- ються локальнi збурення, якi фактично зосередженi в однiй точцi. Бiльш загальний випадок „ρ- збурених” ( збурення зосереджено в iнтервалi (−ρ, ρ) ) операторiв розглянуто в [12]. Обмеження в цiй роботi на частинний „0-збурений” випадок дозволяє отримати значно глибшi результати щодо прямої та оберненої задач розсiяння (наприклад, тiльки для 0-збурених операторiв ми можемо ввести i дослiдити поняття стабiльної C-симетрiї), що, як наслiдок, дає можливiсть використовувати результати цiєї роботи в якостi повнiстю розв’язних моделей PTQM. Дослiдження розсiяння для 0-збурених PT -симетричних операторiв було розпочато в [11], i дану роботу можна розглядати як її логiчне продовження. В наступному пунктi наведено необ- хiднi результати з теорiї PT -симетричних операторiв та теорiї розсiяння Лакса – Фiллiпса для випадку 0-збурених самоспряжених операторiв. Показано, що у випадку сингулярного збурення одновимiрного оператора Шредiнгера загальна формула для S-матрицi (2.9) трансформується у матрицю, компоненти якої складають правостороннi (лiвостороннi) коефiцiєнти вiдбиття Rrk (Rrl ) та проходження T rk (T rl ) вiдповiдних хвильових функцiй * Частково пiдтримано грантом Швейцарського наукового фонду (проект JRP IZ73Z0 (28135) SCOPES 2009- 2012) i проектом 03-01-12 спiльних проектiв НАН України та Сибiрського вiддiлення РАН. c© А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ, 2013 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1059 1060 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ f1 = e −ikx +Rrke ikx, x > 0, T rk e −ikx, x < 0, f2 = T l ke ikx, x > 0, eikx +Rlke −ikx, x < 0. Цей результат використано як обґрунтування до „правильного” означення S-матрицi для ρ-збурених PT -симетричних (несамоспряжених) операторiв у [12]. Iдея полягала в тому, що загальна формула (2.9) використовувалась для означення S-матрицi PT -симетричного опе- ратора для всiх k ∈ C+, де ця формула має сенс. Як було показано у [12], такий пiдхiд дозволяє отримувати вирази для S-матрицi в термiнах коефiцiєнтiв вiдбитя/проходження. Це, в свою чергу, дає можливiсть встановити бiльш iнформативний зв’язок мiж коефiцiєнтами вiдби- тя/проходження та спектральними властивостями PT -симетричного оператора, що може бути корисним при розглядi обернених задачах теорiї розсiяння. Пункт 3 є основним у данiй роботi. Наведено формальне означення S-матрицi для 0- збуреного (несамоспряженого) оператора H i показано, що її область визначення є фактично „квадратним коренем” з резольвентної множини ρ(H) оператора H (теорема 3.1). У випадку PT -симетричного 0-збуреного оператора H нашою основною метою є встанов- лення умов, при яких цей оператор буде самоспряженим (при вiдповiдному виборi скалярного добутку в H). Нагадаємо [3], що PT -симетричний оператор H можна розглядати як гамiльто- нiан PTQM лише у випадку, коли цей оператор буде самоспряженим у деякому гiльбертовому просторi. Одним iз популярних методiв розв’язання проблеми самоспряженостi є знаходження для даного оператора H нової симетрiї у виглядi лiнiйного обмеженого оператора C, комутую- чого одночасно з операторами H i PT (див. означення (3.12)). Таке означення є достатньо загальним i в принципi не завжди забезпечує самоспряженiсть. У зв’язку з цим у випадку 0-збурених операторiв доцiльно розглядати бiльш вузький клас операторiв C — так званi ста- бiльнi C-симетрiї (3.13). Iснування стабiльної C-симетрiї для 0-збуреного PT -симетричного оператора H вже гарантує його самоспряженiсть при вiдповiдному виборi скалярного добутку (наслiдок 3.3). В цьому напрямку вдалось охарактеризувати наявнiсть стабiльної C-симетрiї для 0-збуреногоPT -симетричного оператораH у термiнах вiдповiдної S-матрицi (теореми 3.2, 3.4). Далi символи D(H), ρ(H) та σ(H) будемо використовувати вiдповiдно для областi ви- значення, резольвентної множини та спектра лiнiйного оператора H. Символ H �D означає звуження H на множину D. Через Wm 2 ( (a, b),N ) ми позначаємо простiр Соболєва вектор- функцiй на (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞, iз значеннями в допомiжному гiльбертовому просторi N ; множина 0 Wm 2 ((a, b),N ) є пiдпростором простору Wm 2 ( (a, b),N ) , визначеного умовою f ∈ 0 Wm 2 ( (a, b),N ) , якщо всi похiднi f (k)(x), k = 0, . . . ,m− 1, дорiвнюють нулю в точках x = a, x = b (докладнiше див. [17]). 2. Допомiжнi твердження. 2.1. PT -симетричнi оператори. Нехай H — комплексний гiльбертiв простiр. Лiнiйний оператор P, визначений на H, називається унiтарною iнволюцiєю, якщо P2 = I, (2.1′) (Pf,Pg) = (f, g) ∀f, g ∈ H. (2.1′′) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1061 Незначна модифiкацiя умови (2.1′′) приводить до означення оператора спряження. Антилi- нiйний оператор T , визначений на H, називається оператором спряження, якщо T 2 = I, (2.2′) (T f, T g) = (g, f) ∀f, g ∈ H. (2.2′′) Зафiксуємо деяку унiтарну iнволюцiю P та оператор спряження T в H i припускатимемо далi, що вони комутують: PT = T P. Означення 2.1. Замкнений щiльно визначений у просторi H лiнiйний оператор H нази- ватимемо PT -симетричним, якщо рiвнiсть PT Hf = HT Pf виконується для всiх елементiв f з областi визначення D(H) оператора H. Властивiсть PT -симетричностi зберiгається при переходi до спряженого оператора, тобто якщо оператор H є PT -симетричним, то спряжений до нього оператор H∗ також буде PT - симетричним [11]. Поняття PT -симетрiї є досить загальним, i множина PT -симетричних операторiв може мiстити оператори з рiзноманiтними властивостями. В цiй роботi будемо розглядати спецiаль- ний клас PT -симетричних операторiв, що мають безпосереднє вiдношення до теорiї розсiяння Лакса – Фiллiпса. Перейдемо до його визначення. Нехай S — замкнений щiльно визначений симетричний оператор у гiльбертовому просторi H. Далi будемо припускати, що S є невiд’ємним оператором, тобто (Su, u) ≥ 0 для всiх u ∈ ∈ D(S). Нехай D0 ⊂ H — замикання множини D(S) вiдносно норми ‖ · ‖20 = ( (S + I)·, · ) . Вiдомо [16], що оператор Hµ, визначений як звуження S∗ на D(Hµ) = D0 ∩ D(S∗), є невiд’ємним самоспряженим розширенням оператора S, який зберiгає нижню границю оператора S : inf f∈D(S)\{0} (Sf, f) (f, f) = inf f∈D(Hµ)\{0} (Hµf, f) (f, f) . Оператор Hµ називається розширенням Фрiдрiхса оператора S. Позначимо H = ker(S∗ + I). Тодi D(S∗) = D(Hµ)+̇H [17, c.163] i, отже, кожна функцiя f ∈ D(S∗) однозначно розкладається: f = u+ h, u ∈ D(Hµ), h ∈ H. (2.3) Розклад (2.3) дозволяє визначити лiнiйнi вiдображення Γ0 i Γ1 з D(S∗) в H : Γ0f = Γ0(u+ h) = h, Γ1f = Γ1(u+ h) = PH(Hµ + I)u, (2.4) де PH — ортогональний проектор у просторi H на пiдпростiр H. Tрiйка (H,Γ0,Γ1) називається позитивним простором граничних значень (ПГЗ) оператора S [17]. Функцiя Вейля M(·) оператора S, асоцiйована з ПГЗ (H,Γ0,Γ1), визначається формулою M(µ)Γ0fµ = Γ1fµ ∀fµ ∈ ker(S∗ − µI) ∀µ ∈ C \ R+. (2.5) Дотримуючись [18] (пункт 114), розширення H оператора S будемо називати квазiсамо- спряженим, якщо воно є власним розширенням оператора S (тобто S ⊂ H ⊂ S∗) i його область визначення D(H) задовольняє умову ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1062 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ dimD(H) = n (mod dimD(S)), де n — дефектне число оператора S. Зауваження 2.1. На вiдмiну вiд [18] (пункт 114) ми не припускаємо, що квазiсамоспря- жене розширення є обов’язково несамоспряженим. Отже, клас квазiсамоспряжених розширень включає самоспряженi розширення як частинний випадок. Наступне твердження безпосередньо випливає з теореми 2.2 [17] (роздiл 3). Лема 2.1. Квазiсамоспряжене розширення H оператора S задається формулою H = S∗ �D(H), D(H) = { f ∈ D(S∗) : TΓ1f = Γ0f } , (2.6) де T є обмеженим оператором у гiльбертовому просторi H тодi i тiльки тодi, коли −1 ∈ ∈ ρ(H). У цьому випадку T = (H + I)−1 − (Hµ + I)−1. Далi припускатимемо, що оператор S комутує з операторами P i T , тобто для всiх f ∈ D(S) виконуються тотожностi SPf = PSf, ST f = T Sf. (2.7) Це, зокрема, означає, що S є PT -симетричним оператором. Лема 2.2 [11]. Нехай невiд’ємний симетричний оператор S задовольняє умови (2.7), а ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ визначається формулами (2.4). Тодi виконуються рiвностi THΓj = ΓjT , PHΓj = ΓjP, j = 0, 1, (2.8) де TH = T �H — оператор спряження, а PH = P �H — унiтарна iнволюцiя в H. Наслiдок 2.1 [11]. Квазiсамоспряжене розширення H, що задається формулою (2.6), є PT -симетричним тодi i тiльки тодi, коли вiдповiдний оператор T в (2.6) буде PHTH-симетричним в H. 2.2. Елементи схеми розсiяння Лакса – Фiллiпса для 0-збурених операторiв. Нехай B — замкнений щiльно визначений симетричний оператор у гiльбертовому просторi H. Оператор B називається простим, якщо вiн не визначає самоспряжений оператор у довiльному пiдпросторi простору H, i максимальним симетричним, якщо не iснує його симетричних розширень в H. Нехай B — простий максимальний симетричний оператор. Тодi оператор S = B2 буде замкненим невiд’ємним щiльно визначеним симетричним оператором в H [14]. Довiльне квазiсамоспряжене розширення H оператора S = B2 будемо називати 0-збуреним оператором. Враховуючи, що простий максимальний симетричний оператор B є унiтарно еквiвалентним оператору диференцiювання i d dx на пiвосi [18], можна показати, що довiльний 0-збурений оператор H має неперервний спектр на додатнiй пiвосi R+ i водночас не iснує власних значень оператора H на R+. Розглянемо випадок, коли 0-збурений оператор H є невiд’ємним самоспряженим. Тодi H задається формулою (2.6) з обмеженим самоспряженим оператором T. Вiдповiдна S-матриця S(·) оператора H є аналiтичною операторнозначною функцiєю у верхнiй пiвплощинi C+, яка задається формулою S(k) = [ I − 2(1− ik)T ][ I − 2(1 + ik)T ]−1 , k ∈ C+. (2.9) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1063 Зазначимо, що (2.9) є кiнцевим результатом типових для математичної теорiї розсiяння мiркувань: обґрунтування iснування хвильових операторiв W± = limt→±∞ e iHte−iHµt з нас- тупним поданням оператора розсiяння S = W−1+ W− у спектральному зображеннi для групи e−iHµt, яка характеризує вiльну еволюцiю (докладнiше див. [14, 15]). Рiзнi приклади систем розсiяння можна отримати, вибираючи рiзнi простi максимальнi симетричнi оператори B та простори H, в яких вони дiють. У цьому вiдношеннi загальнa формула (2.9) забезпечує єдиний пiдхiд до побудови S-матрицi. Її застосування у конкретних випадках дозволяє отримати зв’язки мiж оператором T та стандартними (для даної системи) параметрами опису S-матрицi. Проiлюструємо це на прикладi одновимiрного оператора Шре- дiнгера з сингулярним збуренням. Приклад 2.1. Нехай H = L2(R) i R± = {x ∈ R : ±x > 0}. Оператор B = (sgn x)i d dx , D(B) = 0 W 1 2 (R−)⊕ 0 W 1 2 (R+) (2.10) є простим максимальним симетричним в L2(R) i B2 = − d2 dx2 , D(B2) = 0 W 2 2 (R−)⊕ 0 W 2 2 (R+), B∗2 = − d2 dx2 , D(B2) = W 2 2 (R−)⊕W 2 2 (R+). Розширення Фрiдрiхса Hµ = B∗B має вигляд Hµ = − d2 dx2 , D(Hµ) = { u ∈W 2 2 (R−)⊕W 2 2 (R+) : u(0−) = u(0+) = 0 } . (2.11) Елементарнi обчислення з використанням (2.4), (2.11) показують, що позитивний ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S = B2 має вигляд: допомiжний простiр H є лiнiйною оболонкою орто- гональних в L2(R) функцiй ψ−(x) = 0, x > 0, ex, x < 0, ψ+(x) = e −x, x > 0, 0, x < 0, а оператори Γj : D(B∗2)→ H дiють таким чином: Γ0f = f(0−)ψ− + f(0+)ψ+, Γ1f = 2 [ f(0−)− f ′(0−) ] ψ− + 2 [ f(0+) + f ′(0+) ] ψ+. (2.12) Нехай самоспряжений невiд’ємний оператор H є 0-збуреним оператором. Тодi H визна- чається формулою (2.6), в якiй оператор T дiє у просторiH з ортогональним базисом {ψ+, ψ−}. Нехай T = ‖tij‖2ij — матриця, яка визначає дiю оператора T вiдносно цього базису. Враховую- чи таке позначення i беручи до уваги (2.12), записуємо визначення (2.6) оператора H таким (еквiвалентним) чином: H дiє як − d2 dx2 на всiх функцiях f ∈W 2 2 (R−)⊕W 2 2 (R+), якi в точцi 0 задовольняють граничнi умови ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1064 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ T ( f(0+) + f ′(0+) f(0−)− f ′(0−) ) = 1 2 ( f(0+) f(0−) ) . (2.13) Матриця T в (2.13) повнiстю визначається двома лiнiйно незалежними функцiями f1, f2 ∈ ∈ D(H) \ D(B2). Точнiше, нам потрiбно знати лише їхнi значення fj(0±) та значення їхнiх похiдних f ′j(0±) для визначення T. Оскiльки L2(R) = R(B2 − k2I)⊕ ker(B∗2 − k2I), робимо висновок, що D(H) = D(B2)+̇(H − k2I)−1 ker(B∗2 − k2I). (2.14) Нехай k ∈ C′+ = C+ \ iR+ = {k ∈ C+ : Re k 6= 0}. Tодi функцiї h1 = βe −ikx, x > 0, 0, x < 0, h2 = 0, x > 0, βeikx, x < 0, β = k 2 − k2, (2.15) утворюють базис пiдпростору ker(B∗2−k2I) (множник β спрощує подальшi формули). З (2.14) випливає, що функцiї fj = (H − k2I)−1hj належать до D(H) \D(B2) i є лiнiйно незалежними. Отже, шуканi функцiї fj є розв’язками диференцiальних рiвнянь − d2 dx2 fj − k2fj = hj , x ∈ R \ {0}, j = 1, 2. (2.16) Беручи до уваги (2.15), з (2.16) одержуємо явний вигляд функцiй fj при x ∈ R \ {0} : f1 = e −ikx +Rrke ikx, x > 0, T rk e −ikx, x < 0, f2 = T l ke ikx, x > 0, eikx +Rlke −ikx, x < 0, (2.17) де Rrk (Rrl ) — правостороннiй (лiвостороннiй) коефiцiєнт вiдбиття, а T rk (T rl ) — правостороннiй (лiвостороннiй) коефiцiєнт проходження. Цi коефiцiєнти однозначно визначаються з умови fj ∈ D(H). З (2.17) випливає, що f1(0+) = 1 +Rrk, f1(0−) = T rk , f ′1(0+) = i(−k + kRrk), f ′1(0−) = −ikT rk , f2(0+) = T lk, f2(0−) = 1 +Rlk, f ′2(0+) = ikT lk, f ′2(0−) = i(k − kRlk). (2.18) Пiдставляючи цi значення в (2.13) та розв’язуючи вiдповiднi системи лiнiйних рiвнянь, одер- жуємо t11 = 1 2θ∆k [ ∆k − (eiα − 1)(Rlk + eiα) ] , t12 = T lk 2θ∆k (eiα − 1), t22 = 1 2θ∆k [ ∆k − (eiα − 1)(Rrk + eiα) ] , t21 = T rk 2θ∆k (eiα − 1), (2.19) де θ = 1 + ik, eiα = θ θ , k ∈ C′+, i ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1065 ∆k = ∣∣∣∣∣R r k + eiα T rk T lk Rlk + eiα ∣∣∣∣∣. Вiдносно базису {ψ+, ψ−} S-матриця S(·) оператора H набирає вигляду S(k) = [ I − 2(2− θ)T ] [I − 2θT ]−1 = 2− θ θ I + 2 θ − 1 θ [I − 2θT ]−1, k ∈ C′+ (2.20) (тут ми використали спiввiдношення 1− ik = 2− θ). Безпосереднi обчислення з використанням явних виразiв для коефiцiєнтiв tij приводять до висновку, що 2 θ − 1 θ [I − 2θT]−1 = − k Re k ( Rrk + eiα T lk T rk Rlk + eiα ) . Пiдставляючи отриманий вираз у (2.20) та враховуючи, що − k Re k eiα + 2− θ θ = −i Im k Re k , одержуємо вираз для S-матрицi самоспряженого невiд’ємного 0-збуреного оператора H : S(k) = − k Re k Rrk + i Im k k T lk T rk Rlk + i Im k k , k ∈ C′+. (2.21) Значення S(k) при k ∈ iR+ отримуємо, продовжуючи вираз (2.21) за неперервнiстю. Iз загальної теорiї [14, 15] вiдомо, що S(k) є аналiтичною функцiєю в верхнiй пiвплощинi C+. Значеннями S(k) є стискаючi матрицi. При прямуваннi k до дiйсної осi функцiя S(k) збiгається до функцiї S(k) = − ( Rrk T lk T rk Rlk ) , k ∈ R, значеннями якої є унiтарнi матрицi. Зауваження 2.2. Як правило [13], схема розсiяння Лакса – Фiллiпса визначається через вхiдний D− та вихiдний D+ пiдпростори для унiтарної групи WH(t) розв’язкiв задачi Кошi для диференцiально-операторного рiвняння d2 dt2 u = −Hu, (2.22) де H — невiд’ємний самоспряжений оператор в H. Зокрема, iснування ортогональних пiд- просторiв D± гiльбертового простору даних Кошi G = HH ⊕ H ( тут HH — замикання D(H) вiдносно норми ‖ · ‖H = (H·, ·) ) з властивостями (i) WH(−t)D− ⊂ D−, WH(t)D+ ⊂ D+, t ≥ 0; (ii) ⋂ t≥0WH(−t)D− = ⋂ t≥0WH(t)D+ = {0}; (iii) ⋃ t∈RWH(t)D+ = ⋃ t∈RWH(t)D− = G ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1066 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ характеризує збурену еволюцiю в схемi Лакса – Фiллiпса. Tаке означення є узгодженим з озна- ченням 0-збуреного оператора в наступному сенсi: якщо оператор H в (2.22) є 0-збуреним невiд’ємним самоспряженим, то вiдповiдна група WH(t) розв’язкiв задачi Кошi має ортого- нальнi пiдпростори D± з властивостями (i) – (iii) [14]. 3. Теорiя розсiяння для 0-збурених операторiв. 3.1. Означення S-матрицi та її загаль- нi властивостi. Згiдно з лемою 2.1 довiльне квазiсамоспряжене розширення H оператора B2 з умовою −1 ∈ ρ(H) визначається рiвнiстю (2.6), де T — обмежений оператор в H. У цьому випадку ми можемо формально визначити S-матрицю для оператора H за допомогою формули (2.9) для всiх k ∈ C+, де (2.9) має сенс. У зв’язку з цим операторнозначну функцiю S(k) = [ I − 2(1− ik)T ][ I − 2(1 + ik)T ]−1 , (3.1) визначену при всiх k ∈ C+ таких, що 0 ∈ ρ(I − 2(1 + ik)T ), будемо називати S-матрицею для 0-збуреного оператора H . Зауваження 3.1. 1. На вiдмiну вiд випадку 0-збуреного самоспряженого оператораH, роз- глянутого у пунктi 2, таке означення є достатньо формальним, тому що iснування вiдповiдних хвильових операторiв не доводиться. Однак ми вважаємо це означення корисним, оскiльки во- но встановлює явний зв’язок з операторним параметром T, який задає 0-збурений оператор H, одночасно добре узгоджується з означенням S-матрицi, прийнятим у роботах [6 – 8]. 2. Умова −1 ∈ ρ(H) в означеннi S-матрицi є технiчною i використовується лише для спрощення викладу. Використовуючи незначну модифiкацiю формул (2.4), S-матрицю можна визначити для довiльного 0-збуреного оператора H, який має дiйснi резольвентнi точки. З означення S-матрицi випливає, що функцiя S(k) визначена i є аналiтичною на пiдмножинi Λ = { k ∈ C+ : 0 ∈ ρ(I − 2(1 + ik)T ) } (3.2) верхньої пiвплощини C+. Множина Λ є непорожньою (наприклад, i ∈ Λ) i вiдкритою. Нас- тупна теорема показує, що Λ однозначно характеризується резольвентною множиною ρ(H) оператора H. Теорема 3.1. Нехай S(k) — S-матриця 0-збуреного оператора H, а Λ — її множина визначення. Точка k належить Λ тодi i тiльки, тодi коли k2 ∈ ρ(H). Доведення теореми базується на наступному допомiжному твердженнi. Лема 3.1. Функцiя Вейля оператора S = B2 вiдносно ПГЗ (H,Γ0,Γ1), визначеного фор- мулою (2.4), має вигляд M(µ) = 2(1 + i √ µ)I, (3.3) де √ · позначає гiлку квадратного кореня, визначеного умовою Im √ µ > 0 в C \ R+. Доведення. Не обмежуючи загальностi будемо припускати, що нижня пiвплощина C− мiститься в резольвентнiй множинi простого максимального симетричного оператора B. Тодi B є унiтарно еквiвалентним оператору диференцiювання B = i d dx , D(B) = { u ∈W 1 2 (R+,N ) : u(0) = 0 } (3.4) у гiльбертовому просторi L2(R+,N ), де розмiрнiсть допомiжного гiльбертового простору N дорiвнює ненульовому дефектному числу оператора B [18]. Це означає, що симетричний опе- ратор S = B2 є унiтарно еквiвалентним оператору подвiйного диференцiювання ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1067 B2 = − d2 dx2 , D(B2) = { u ∈W 2 2 (R+,N ) : u(0) = u′(0) = 0 } , (3.5) а розширення Фрiдрiхса Hµ = B∗B оператора S — унiтарно еквiвалентним оператору B∗B = − d2 dx2 , D(B2) = { u ∈W 2 2 (R+,N ) : u(0) = 0 } . (3.6) Iнакше кажучи, iснує таке унiтарне перетворення U простору H на простiр L2(R+,N ), що B = U−1BU, B2 = U−1B2U, B∗B = U−1B∗BU. (3.7) У випадку оператора B, беручи до уваги (3.5) i (3.6), приходимо до висновку, що форму- ли (2.4) визначають ПГЗ1 (HB,Γ0B,Γ1B) : HB = {e−xn : ∀n ∈ N}, а оператори Γj : W 2 2 (R+, N )→ H дiють таким чином: Γ0Bf = f(0)e−x, Γ1Bf = 2 [ f(0) + f ′(0) ] e−x. Oскiльки ker(B∗2 − µI) = {ei √ µxn : ∀n ∈ N}, то для довiльної функцiї fµ = ei √ µxn з ker(B∗2 − µI) маємо Γ0Bfµ = e−xn, Γ1Bfµ = 2(1 + i √ µ)e−xn. Пiдставляючи цi значення у формулу (2.5), одержуємо, що функцiя Вейля задається форму- лою (3.3) у випадку простого максимального симетричного оператора B. Через (H,Γ0,Γ1) позначимо ПГЗ, побудований за формулами (2.4) у випадку довiльно- го простого максимального симетричного оператора B. Використовуючи (3.7), приходимо до висновку, що H = U−1HB i Γj = U−1ΓjBU. Беручи до уваги (2.5), спiввiдношення U ker(B∗2−µI) = ker(B∗2−µI) та враховуючи той факт, що функцiя Вейля у випадку оператора B є оператором множення на скалярну функцiю, яка визначається формулою (3.3), переконуємося, що ця формула залишається правильною для довiльного B. Лемму 3.1 доведено. Доведення теореми 3.1 Нехай ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора B2 визначено формулами (2.4). Тодi трiйка (H, Γ̃0, Γ̃1), де Γ̃0 = −Γ1 i Γ̃1 = Γ0, також буде ПГЗ оператора B2 (загальне означення ПГЗ див. у [17, c.158]). З (2.5) i (3.3) одержуємо, що функцiя Вейля M̃(·), асоцiйована з (H, Γ̃0, Γ̃1), має вигляд M̃(µ) = −M−1(µ) = − 1 2(1 + i √ µ) I. Запишемо формулу (2.6), яка визначає 0-збурений оператор H, у термiнах ПГЗ (H, Γ̃0, Γ̃1) : H = S∗ �D(H), D(H) = { f ∈ D(B∗2) : −T Γ̃0f = Γ̃1f } . Нехай µ ∈ C \ R+ i µ 6= −1. З одержаних зображень для H i M̃(·) та [19] (твердження 4) випливає, що µ ∈ ρ(H) тодi i тiльки тодi, коли 0 ∈ ρ ( −T − M̃(µ) ) . Оскiльки 1 Iндекс B використовується для уникнення непорозумiнь iз загальним означенням (2.4). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1068 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ −T − M̃(µ) = −T + 1 2 ( 1 + i √ µ )I = 2 ( 1 + i √ µ )[ I − 2(1 + i √ µ)T ] , (3.8) то µ ∈ ρ(H) ⇐⇒ 0 ∈ ρ(I − 2(1 + i √ µ)T ) ∀µ ∈ C \ R+, µ 6= −1. (3.9) Зауважимо, що спiввiдношення (3.9) є правильним i при µ = −1, оскiльки −1 ∈ ρ(H). Покла- даючи тепер в (3.9) µ = k2 i √ µ = k ∈ C+, завершуємо доведення теореми. Наслiдок 3.1. Якщо операторB має скiнченний iндекс дефекту, то S-матриця 0-збурено- го оператора H є мероморфною функцiєю в C+. Точка k ∈ C+ буде полюсом для S-матрицi S(·) тодi i тiльки тодi, коли k2 буде власним значенням оператора H. Доведення. Якщо B має скiнченний iндекс дефекту, то оператор H буде розширенням симетричного оператора B2 з скiнченним iндексом дефекту. Тому спектр оператора H в C\R+ може складатись лише з iзольованих власних значень. Враховуючи це, з теореми 3.1 одержуємо, що S-матриця оператора H буде аналiтичною функцiєю в C+, за винятком деякої множини iзольованих точок {k} таких, що k2 ∈ σp(H). Зауважимо, що всi такi k 6= i ( оскiльки −1 ∈ ∈ ρ(H) ) , i покладемо µ = k2 та √ µ = k. Використовуючи знову [19] (твердження 4), приходимо до висновку, що µ ∈ σp(H) тодi i тiльки тодi, коли 0 ∈ σp ( −T−M̃(µ) ) . З цiєї нерiвностi та (3.8) випливає, що норма оператора [ 1− 2(1 + i √ µ′)T ]−1 в околi точки µ прямує до нескiнченностi при µ′ → µ. Тому з формули (3.1) випливає, що S-матриця має полюс у точцi √ µ. Наведенi мiркування можна повторити i в зворотному порядку. Дiйсно, якщо √ µ є полюсом для S-матрицi, то в околi точки √ µ норма функцiї S(·) буде необмежено зростати (при µ′ → µ). Тодi, використовуючи (3.8), переконуємося, що 0 ∈ σp ( − T − M̃(µ) ) ( оскiльки випадок 0 ∈ ∈ ρ ( − T − M̃(µ) ) є неможливим ) . Отже, µ ∈ σp(H). Наслiдок 3.1 доведено. З наслiдку 3.1 одержуємо, що множина визначення Λ для S-матрицi 0-збуреного оператора H є симетричною вiдносно уявної осi, тобто k ∈ Λ ⇐⇒ −k ∈ Λ. 3.2. Властивостi S-матрицi для випадку 0-збурених PT -симетричних операторiв. На- веденi в попередньому пiдпунктi результати є правильними для довiльного 0-збуреного опе- ратора H з умовою −1 ∈ ρ(H). Природно очiкувати, що накладання умови PT -симетрiї на оператор H сприятиме виникненню додаткових властивостей вiдповiдної S-матрицi. Далi будемо вважати, що простий максимальний симетричний оператор B комутує з унiтарною iнволюцiєю P та антикомутує з оператором спряження T : PB = BP, T B = −BT . (3.10) Тодi оператор S = B2 є PT -симетричним i для нього виконуються умови (2.7). Згiдно з наслiдком 2.1 PT -симетричний 0-збурений оператор H з умовою −1 ∈ ρ(H) ви- значається формулою (2.6) з PHTH-симетричним оператором T. Враховуючи цю властивiсть в означеннi (3.1), отримуємо додаткове спiввiдношення для вiдповiдної S-матрицi: PHTHS(k) = S(−k)PHTH ∀k ∈ Λ. (3.11) Вiдомо [3], що PT -симетричний оператор H можна розглядати як гамiльтонiан квантової механiки лише у випадку, коли цей оператор буде самоспряженим у деякому гiльбертовому просторi. Одним iз популярних методiв розв’язання проблеми самоспряженостi є знаходження ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1069 для даного PT -симетричного оператора H нової симетрiї, яка представлена лiнiйним обмеже- ним оператором C, комутуючим одночасно з операторами H i PT [3]. Точнiше, ми кажемо, що PT -симетричний оператор H має властивiсть C-симетрiї, якщо iснує обмежений лiнiйний оператор C (C 6= ±I), який задовольняє такi властивостi: C2 = I, CPT = PT C, CH = HC. (3.12) Нехай 0-збурений PT -симетричний оператор H має властивiсть C-симетрiї. У цьому ви- падку будемо казати, що H має стабiльну C-симетрiю, якщо вiдповiдний оператор C з (3.12) додатково комутує з B2 i B∗2, тобто CB2 = B2C, CB∗2 = B∗2C. (3.13) Зауваження 3.2. Таке означення стабiльної C-симетрiї трохи вiдрiзняється вiд попереднiх означень [20, 21]. З (3.13) випливає, що пiдпростiр H = ker(B∗2 +I) є iнварiантним вiдносно дiї оператора C. Отже, звуження CH = C �H є обмеженим лiнiйним оператором, що дiє вH. Для цього оператора першi двi рiвностi в (3.12) набирають вигляду C2H = I, CHPHTH = PHTHCH. (3.14) Лема 3.2. Нехай CH — лiнiйний обмежений оператор в H, що задовольняє умови (3.14). Тодi iснує лiнiйний обмежений оператор C в H, що задовольняє умови (3.13) разом з першими двома рiвностями в (3.12), i звуження оператора C на H збiгається з CH. Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли H = L2(R+,N ) i оператор B визначається формулою (3.4), тобто B = B. Тодi H = ker(B∗2 + I) = {e−xn : ∀n ∈ N}. Враховуючи вигляд елементiв простору H, одержуємо CH(e−xn) = e−xm1, PH(e−xn) = e−xm2, TH(e−xn) = e−xm3, n,mj ∈ N . Отже, дiя операторiв CH, PH та TH однозначно визначається операторами CNn = m1, PNn = m2, TNn = m3, що дiють у допомiжному просторi N . Для таких операторiв формули (3.14) набирають вигляду C2N = I, CNPNTN = PNTNCN . Покладемо Cf(x) = (CN f)(x) ∀f∈L2(R+,N ). (3.15) Оператор C є обмеженим лiнiйним оператором в L2(R+,N ), i його звуження C на H збiгається з CH. Беручи до уваги (3.5), приходимо до висновку, що оператор C задовольняє умови (3.13). В свою чергу перша рiвнiсть в (3.12) випливає з C2N = I. Отже, для завершення доведення у випадку, коли B = B, залишилося показати, що CPT = = PT C. Вiдомо [11] (лема 2.8), що розширення Фрiдрiхса Hµ оператора B2 комутує з PT . Водночас при B = B розширення Фрiдрiхса задається формулою (3.6). Враховуючи це та беручи до уваги (3.15), приходимо до висновку, що Hµ комутує з операторами A1 = CPT i A2 = PT C. Тому ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1070 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ їхня рiзниця A2 − A1 вiдображає D(Hµ) в D(Hµ). В свою чергу, з другої рiвностi в (3.14) i (3.15) випливає, що (A2 −A1)(e −xn) = (PHTHCH − CHPHTH)(e−xn) = 0 для всiх функцiй e−xn з H. Отже, A2 −A1 : D(S∗) = D(Hµ)+̇H → D(Hµ). (3.16) Покладемо Nλ = ker(B∗2−λI), λ ∈ C\R.ОскiлькиD(Hµ)∩Nλ = {0}, з (3.16) випливає, що (A1 −A2) �Nλ = 0, тобто A1fλ = A2fλ для всiх fλ ∈ Nλ. Ця рiвнiсть залишається правильною i на лiнiйнiй оболонцi M усiх пiдпросторiв Nλ, λ ∈ C \ R. Оскiльки M є щiльною множиною в L2(R+,N ), рiвнiсть A1 = A2 буде правильною на L2(R+,N ). Розглянемо тепер загальний випадок, колиB є довiльним простим максимальним симетрич- ним оператором в H. Нехай CH — лiнiйний оператор в H з властивостями (3.14). Покладемо CH′ = UCHU−1, PH′ = UPHU−1, TH′ = UTHU−1, де U — унiтарне перетворення простору H на простiр L2(R+,N ) з формул (3.7). Оператори CH′ , PH′ та TH′ дiють у пiдпросторi H′ = UH = ker(B∗2 + I) простору L2(R+,N ) i задовольняють умови C2H′ = I, CH′PH′TH′ = PH′TH′CH′ . Зауважимо, що PH′ та TH′ є вiдповiдно звуженнями на H′ операторiв унiтарної iнволюцiї P ′ = UPU−1 та спряження T ′ = UT U−1, що дiють в L2(R+,N ). Використовуючи вже доведене твердження леми 3.2 для частинного випадку B = B, одер- жуємо iснування лiнiйного оператора C′ в L2(R+,N ), який комутує з операторами B2 та B∗2 i має властивостi C′2 = I, C′P ′T ′ = P ′T ′C′. Звiдси випливає, що оператор C = U−1C′U комутує з B2 та B∗2 в H i C2 = I, CPT = PT C. Лему 3.2 доведено. Теорема 3.2. Нехай PT -симетричний оператор H задається рiвнiстю (2.6), оператор B задовольняє (3.10) i S(k) є S-матрицею для H. Оператор H має стабiльну C-симетрiю тодi i тiльки тодi, коли в допомiжному просторi H = ker(B∗2 + I) iснує обмежений оператор CH з властивостями (3.14) i такий, що CHS(k) = S(k)CH при всiх k ∈ Λ. Доведення. Якщо H має стабiльну C-симетрiю, то iснує обмежений оператор C (C 6= ±I) з властивостями (3.12) i (3.13). Зауважимо, що C також комутує з розширенням Фрiдрiхса Hµ = B∗B оператора B2. Дiйсно, з (3.13) випливає, що рiвнiсть CHµ = HµC еквiвалентна умовi C : D(Hµ) → D(Hµ). З огляду на означення D(Hµ) з пiдпункту 2.1 легко бачити, що остання умова виконується. Отже, C комутує з Hµ. З цього спiввiдношення i (3.13) випливає, що граничнi оператори Γj (див. формули (2.4)) задовольняють спiввiдношення CHΓj = ΓjC, j = 0, 1, (3.17) де CH = C �H — обмежений лiнiйний оператор в H. Враховуючи першi двi рiвностi в (3.12) i (2.8), з (3.17) одержуємо, що CH задовольняє (3.14). В свою чергу, використовуючи зображення (2.6) оператора H та рiвностi (3.17), приходимо до висновку, що комутацiйне спiввiдношення CH = HC з (3.12) еквiвалентне умовi CHT = TCH на оператор T в (2.6). З останньої рiвностi та (3.1) одержуємо CHS(k) = S(k)CH для всiх k ∈ Λ. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1071 Навпаки, нехай у допомiжному просторi H iснує оператор CH з властивостями (3.14). Тодi згiдно з лемою 3.2 iснує обмежений лiнiйний оператор C в H, який задовольняє рiвностi (3.13) разом з першими двома рiвностями в (3.12). Бiльш того, звуження C наH збiгається з CH. Тому, повторюючи попереднi мiркування, переконуємося, що C комутує з H в H тодi i тiльки тодi, коли CH комутує з T в H. Використовуючи зображення (2.20) для S-матрицi, приходимо до висновку, що 2− θ θ = 1− ik 1 + ik ∈ ρ(S(k)) для всiх k ∈ Λ \ iR+ i T = 1 2(1 + ik) [ I − 2ik 1 + ik ( S(k)− 1− ik 1 + ik )−1] . З останньої рiвностi та комутацiї мiж CH та S(k) маємо CHT = TCH. Тому CH = HC i, отже, оператор C є оператором стабiльної C-симетрiї для H. Теорему 3.2 доведено. Наступне твердження безпосередньо випливає з доведення теореми 3.2. Наслiдок 3.2. Нехай PT -симетричний оператор H задається рiвнiстю (2.6), а опера- тор B задовольняє (3.10). Оператор H має стабiльну C-симетрiю тодi i тiльки тодi, коли оператор T в (2.6) має властивiсть C-симетрiї. 3.3. Випадок, коли ненульове дефектне число оператора B дорiвнює 2. Якщо B має ненульове дефектне число 2, то симетричний оператор B2 має iндекс дефекту 〈2, 2〉. Тому розмiрнiсть допомiжного просторуH = ker(B∗2+I) в означеннi ПГЗ буде дорiвнювати 2, а дiя оператора T з формули (2.6) буде задаватись (2×2)-матрицею T = ‖tij‖2ij . Елементи tij матрицi T залежать вiд вибору ортонормованого базису H, але її визначник det T = t11t22 − t12t21 та слiд tr T = t11 + t22 є iнварiантами (тобто не залежать вiд вибору базису). Лема 3.3. Нехай PT -симетричний оператор H задається рiвнiстю (2.6). Тодi визначник det T та слiд tr T вiдповiдного оператора T в (2.6) будуть дiйсними числами. Доведення. Згiдно з наслiдком 2.1 оператор T в (2.6) буде PHTH-симетричним. Виберемо ортонормований базис простору H таким чином, щоб дiя унiтарної iнволюцiї PH визначалась матрицею σ3 = ( 1 0 0 −1 ) , а оператор спряження TH дiяв як звичайний оператор спряження. Тодi умова PHTH-симетричностi оператора T буде еквiвалентна наступним умовам на коефi- цiєнти матрицi T = ‖tij‖2ij [22]: t11, t22 ∈ R i t12, t21 ∈ iR. Звiдси випливає, що визначник det T та слiд tr T є дiйсними числами. Лему 3.3 доведено. Теорема 3.3. Нехай PT -симетричний оператор H задається рiвнiстю (2.6), а оператор B задовольняє (3.10) i має ненульове дефектне число 2. Тодi наступнi твердження є еквiвалент- ними: (i) оператор H має стабiльну C-симетрiю; (ii) оператор T в (2.6) задовольняє нерiвнiсть (tr T)2 > 4detT. Доведення. (i)→ (ii). ЯкщоH має стабiльну C-симетрiю, то згiдно з теоремою 3.2 оператор CH = C �H має властивостi (3.14). Як i при доведеннi леми 3.3, виберемо ортонормований базис простору H таким чином, щоб дiя оператора PH визначалась матрицею σ3 = ( 1 0 0 −1 ) , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1072 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ а оператор спряження TH дiяв як звичайний оператор спряження. Тодi з (3.14) та [22] (тверд- ження 3.1) одержуємо iснування таких чисел χ ∈ R, ξ ∈ [0, 2π), що дiя оператора CH буде задаватись матрицею C = eχiσ1σ3ξσ3ξ = [coshχ]σ3ξ + i[sinhχ]σ1, (3.18) де σ1 = ( 0 1 1 0 ) i σ3ξ = eiξσ1σ3 = ( cos ξ −i sin ξ i sin ξ − cos ξ ) . Нехай T вiдповiдає оператору H в (2.6). Тодi рiвнiсть CH = HC є еквiвалентною рiвностi CHT = TCH (див. доведення теореми 3.2)). Переходячи в останнiй рiвностi до матричного зображення, одержуємо CT = TC. (3.19) Зауважимо, що σ3ξ є унiтарною iнволюцiєю, яка антикомутує з σ1. Це означає, що набiр мат- риць σ0, σ1, iσ1σ3ξ, σ3ξ буде базисом для лiнiйного простору матриць другого порядку. Отже, матрицю T можна записати у виглядi T = β0σ0 + β1σ1 + β2iσ1σ3ξ + β3σ3ξ, βj ∈ C. (3.20) Оскiльки H є PT -симетричним, то T буде PHTH-симетричним (наслiдок 2.1). Враховуючи ототожнення PH з σ3, приходимо до висновку, що ця умова еквiвалентна наступним умовам на коефiцiєнти βj (детальнiше див. доведення теореми 3.2 в [22]): {β0, β2, β3} ⊂ R, β1 ∈ iR. (3.21) Пiдставляючи в (3.19) зображення (3.18) i (3.20) та порiвнюючи коефiцiєнти при базисних матрицях σ0, σ1, iσ1σ3ξ, σ3ξ, переконуємося, що комутацiйне спiввiдношення (3.19) викону- ється тодi i тiльки тодi, коли β2 = 0 β1 = iβ3[tanhχ]. (3.22) Враховуючи цей факт у (3.20), одержуємо tr T = 2β0 i det T = β20 − β21 − β23 = β20 + β23 [(tanhχ)2 − 1]. Тому 4 det T = (tr T)2 + 4β23 [(tanhχ)2 − 1]. Звiдси випливає справедливiсть твердження (ii) (оскiльки β3 є дiйсним числом згiдно з (3.21)). (ii) → (i). Оскiльки PT -симетричний оператор H задається формулою (2.6), то з [11] (теорема 2.11) i ототожнення PH з σ3 випливає iснування такого ξ ∈ [0, 2π), що σ3ξT = T t σ3ξ. Використовуючи в цiй рiвностi зображення (3.20) для T, приходимо до висновку, що для її виконання необхiдна умова β2 = 0. Зауважимо також, що β0, β1, β3 задовольняють (3.21) (оскiльки H є PT -симетричним). Отже, при деякому виборi ξ ∈ [0, 2π) матрицю T можна записати у виглядi T = β0σ0 + β1σ1 + β3σ3ξ, {β0, β3} ⊂ R, β1 ∈ iR. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1073 Звiдси, беручи до уваги зображення для σ3ξ з (3.18), одержуємо tr T = 2β0 det T = β20 + (iβ1) 2 − β23 . Враховуючи, що (tr T)2 > 4 det T, з останнiх рiвностей виводимо, що \|β1\| < \|β3\|. Але тодi iснує таке χ ∈ R, що iβ1 = −β3[tanhχ]. Це означає, що для коефiцiєнтiв βj розкладу матрицi T виконуються умови (3.22). Тому комутацiйне спiввiдношення (3.19) буде виконуватись для матрицi C вигляду (3.18). Матриця C визначає оператор CH у просторiH. Цей оператор комутує з оператором T в H i задовольняє (3.14). Тобто CH є C-симетрiєю для оператора T, що дiє в H. Згiдно з наслiдком 3.2 одержуємо, що H має стабiльну C-симетрiю. Теорему 3.3 доведено. Зауваження 3.3. Подiбне твердження доведено в [23] при iнших умовах на симетричний оператор S. Властивiсть стабiльної C-cиметрiї дозволяє реалiзувати PT -симетричний оператор H як самоспряжений оператор у деякому гiльбертовому просторi. Наслiдок 3.3. Нехай PT -симетричний оператор H задовольняє умови теореми 3.3. Тодi якщоH має стабiльну C-cиметрiю, тоH буде самоспряженим оператором при деякому виборi нового (еквiвалентного початковому) скалярного добутку простору H. Доведення. Якщо C є оператором стабiльної C-симетрiї для H, то дiя його звуження на простiр H буде задаватись матрицею (3.18) (при певному виборi χ ∈ R i ξ ∈ [0, 2π)). В цiй формулi матриця σ3 вiдповiдає дiї оператора PH — звуження наH оператора унiтарної iнволюцiї P в H. Позначимо черезRH оператор вH, який визначається матрицею σ1. З властивостей матриць σ1 та σ3 одержуємо, що RH є унiтарною iнволюцiєю в H i PHRH = −RHPH. Використавши позначення з доведення леми 3.2, розглянемо оператор RH′ = URHU−1, який є унiтарною iнволюцiєю в пiдпросторi H′ = ker(B∗2 + I) = {e−xn : ∀n ∈ N} простору L2(R+,N ) i антикомутує з PH′ . Тодi RH′(e−xn) = e−xRNn, де RN — унiтарна iнволюцiя в N . Iз допомогою цього оператора визначимо унiтарну iнволюцiю R′f(x) = (RN f)(x) в L2(R+,N ), яка антикомутує з P ′ = UPU−1. Тодi оператор R = U−1R′U буде унiтарною iнволюцiєю в H, яка антикомутує з P. З побудови оператора R також випливає, що R комутує з B2 та B∗2 i дiя звуження R на H визначається матрицею σ1. Тому звуження оператора Pξ = eiξRP на H буде визначатись мат- рицею σ3ξ = eiξσ1σ3. З антикомутацiї P i R також одержуємо, що Pξ є унiтарною iнволюцiєю в H, яка антикомутує з R. Мiркуючи аналогiчно, переконуємося, що звуження CH оператора C = eχiRPξPξ на H визначається матрицею C з (3.18). Покажемо, що PT -симетричний оператор H, який задається рiвнiстю (2.6), буде задоволь- няти рiвнiсть H∗Pξ = PξH. Дiйсно, з огляду на комутацiю Pξ з B∗2 приходимо до висновку, що ця операторна рiвнiсть є еквiвалентною рiвностi множин PξD(H) = D(H∗). Oскiльки H задається (2.6), то його спряжений H∗ буде задаватись подiбною рiвнiстю з замiною T на T ∗. Тому умова PξD(H) = D(H∗) є еквiвалентною умовi T ∗Γ1Pξf = Γ0Pξf, де TΓ1f = Γ0f, f ∈ D(B∗2). (3.23) Оскiльки унiтарна iнволюцiя R комутує з B2 та B∗2, повторюючи мiркування з доведення леми 2.2, приходимо до висновку, що RHΓj = ΓjR, j = 0, 1. Тому ΓjPξ = Γje iξRP = eiξRHPHΓj = PξHΓj , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1074 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ де PξH = eiξRHPH — звуженням оператора Pξ на H. Отримане спiвiдношення дозволяє запи- сати (3.23) у виглядi T ∗PξH = PξHT, або, переходячи до матричного зображення, у виглядi T t σ3ξ = σ3ξT. (3.24) З доведення теореми 3.3 випливає, що матриця T задається рiвнiстю (3.20) з умовами (3.21) на коефiцiєнти βj . Бiльш того, оскiльки H має стабiльну C-симетрiю, то виконується (3.19), що є можливим лише при β2 = 0. Отже, зображення (3.20) для T не мiстить матрицi з коефiцiєнтом β2. В цьому випадку буде виконуватись рiвнiсть (3.24). Таким чином, ми встановили рiвнiсть H∗Pξ = PξH. Покажeмо тепер, що CH = HC, де C = eχiRPξPξ. Ця операторна рiвнiсть є еквiвалентною спiввiдношенню CD(H) = D(H), тобто TΓ1Cf = Γ0Cf, f ∈ D(B∗2). (3.25) Мiркуючи аналогiчно попередньому, одержуємо ΓjC = Γje χiRPξPξ = eχiRHPξHPξHΓj = CHΓj , де CH = eχiRHPξHPξH — звуження оператора C на H. Це дозволяє записати (3.25) у виглядi CHT = TCH. Матричним зображенням для цiєї рiвностi буде вже вiдома комутацiйна рiв- нiсть (3.19), справедливiсть якої випливає з iснування стабiльної C-симетрiї (див. доведення теореми 3.3). Тому рiвнiсть CHT = TCH також буде правильною, що еквiвалентно спiввiдно- шенню CH = HC. З отриманих спiввiдношень маємо CH = eχiRPξPξH = eχiRPξH∗Pξ = HC = HeχiRPξPξ. Отже, eχiRPξH∗ = HeχiRPξ або H∗e−χiRPξ = e−χiRPξH. Зауважимо, що оператор −χiRPξ є самоспряженим в H (оскiльки χ є дiйсним числом, а оператори R i Pξ антикомутують). Тому e−χiRPξ є обмеженим додатним самоспряженим оператором i вираз (f, g)1 = (e−χiRPξf, g), f, g ∈ H, є скалярним добутком гiльбертового простору H.ОператорH буде самоспряженим в H вiдносно скалярного добутку (·, ·)1 (оскiльки H∗e−χiRPξ = e−χiRPξH). Наслiдок 3.3 доведено. Природно очiкувати, що iснування стабiльної C-симетрiї для оператора H якимось чином вiдображається у властивостях вiдповiдної S-матрицi. Нагадаємо, що S-матриця 0-збуреного оператора H визначається у верхнiй пiвплощинi C+ за допомогою формули (3.1). Таке озна- чення є цiлком достатнiм для опису спектра оператора H. Дiйсно, полюси S-матрицi в C+ характеризують точковий спектр оператора H (див. наслiдок 3.1), а неперервний спектр збi- гається з R+ (це випливає iз загальних властивостей 0-збуреного оператора i того факту, що iндекс дефекту симетричного оператора B2 є скiнченним). Для доведення iснування стабiльної C-симетрiї зручно розглядати продовження S-матрицi в нижню пiвплощину C− (так зване продовження на нефiзичний лист). Подiбно до попе- реднього означення S-матриця 0-збуреного оператора H задається формулою (3.1), ми лише припускаємо, що k ∈ C. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1075 Лема 3.4. Нехай PT -симетричний оператор H задається рiвнiстю (2.6), а оператор B задовольняє (3.10) i має ненульове дефектне число 2. Тодi S-матриця оператора H є меро- морфною функцiєю на C, i ця функцiя має два рiзних уявних полюси в C тодi i тiльки тодi, коли det T 6= 0, (tr T)2 > 4 det T, (3.26) де det T та tr T є визначником та слiдом вiдповiдного оператора T в (2.6). Доведення. Запишемо (3.1) у виглядi S(k) = [ I − 2(1− ik)T ][ I − 2(1 + ik)T ]−1 , (3.27) де T = ‖tij‖2ij — матриця, яка вiдповiдає оператору T в (2.6). Покладемо θ = 1 + ik, k ∈ C. Зауважимо, що при k = i S-матриця не має полюсу (оскiльки S(i) = I − 4T). Отже, можемо вважати, що θ 6= 0. У цьому випадку формулу (3.27) можна записати у виглядi (для порiвняння див. (2.20)) S(k) = 2− θ θ I + 2 θ − 1 θ [I − 2θT]−1, θ ∈ C \ {0}}. Таким чином, S-матриця є мероморфною функцiєю в C i її полюси визначаються умовою det[I − 2θT] = 0, яка записується в виглядi 4θ2 det T− 2θ(tr T) + 1 = 0. Оскiльки θ = 1 + ik, з цього рiвняння виводимо, що S-матриця має два рiзних уявних полюси k1,2 тодi i тiльки тодi, коли умова (3.26) виконується. В цьому випадку шуканими полюсами будуть k1,2 = i (4 det T− tr T)± √ (tr T)2 − 4 det T 4 det T . (3.28) Лему 3.4 доведено. Теорема 3.4. Нехай PT -симетричний оператор H задається рiвнiстю (2.6), а оператор B задовольняє (3.10) i має ненульове дефектне число 2. S-матриця оператора H має два рiзних уявних полюси в C тодi i тiльки тодi, коли оператор H має стабiльну C-симетрiю i D(H) ∩ D(Hµ) = D(B2). Доведення. Нехай S-матриця оператора H має два рiзних уявних полюси. Тодi згiдно з лемою 3.4 оператор T в (2.6) задовольняє (3.26). Друга нерiвнiсть в (3.26) еквiвалентна iснуванню стабiльної C-симетрiї для H (теорема 3.3). Для завершення доведення достатньо показати, що перша умова в (3.26) є еквiвалентною рiвностi D(H) ∩ D(Hµ) = D(B2). З означення операторiв H i Hµ маємо D(H) ∩D(Hµ) ⊃ D(B2). Область визначення D(H) задається (2.6), а з першої рiвностi в (2.4) отримуємо D(Hµ) = {f ∈ D(B∗2) : Γ0f = 0}. Тому iснування елемента f ∈ D(H) ∩ D(Hµ), який не належить до D(B2), означає, що TΓ1f = 0, де Γ1f 6= 0. Останнє спiввiдношення є еквiвалентним умовi det T = 0. Таким чином, рiвнiсть D(H) ∩ D(Hµ) = D(B2) виконується тодi i тiльки тодi, коли det T 6= 0. Теорему 3.4 доведено. 4. Приклад. Оператор Шредiнгера з сингулярним потенцiалом нульового радiуса на дiйснiй осi може бути визначений за допомогою формального виразу − d2 dx2 + a〈δ, ·〉δ + b〈δ′, ·〉δ + c〈δ, ·〉δ′ + d〈δ′, ·〉δ′, (4.1) де δ i δ′ — вiдповiдно δ-функцiя Дiрака та її похiдна (з носiєм в 0), a, b, c, d — комплекснi числа. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1076 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ Операторна реалiзацiя (4.1) в L2(R) визначається як H = lreg � D(H), D(H) = { f ∈W 2 2 (R\{0}) : lreg(f) ∈ L2(R) } , (4.2) де регуляризацiя lreg диференцiального виразу (4.1) дiє на функцiях з W 2 2 (R\{0}) i має вигляд lreg(·) = − d2 dx2 + a〈δex, ·〉δ + b〈δ′ex, ·〉δ + c〈δex, ·〉δ′ + d〈δ′ex, ·〉δ′. Тут −d2/dx2 дiє на W 2 2 (R\{0}), як узагальнена функцiя, i 〈δex, 〉 = f(+0) + f(−0) 2 , 〈δ′ex, f〉 = −f ′(+0) + f ′(−0) 2 для всiх f(x) ∈W 2 2 (R\{0}). Еквiвалентним описом оператора H є (див. [24], теорема 1): H = − d2 dx2 i D(H) = { f ∈W 2 2 (R\{0}) : ( a b c d )( f(0+) + f(0−) −f ′(0+)− f ′(0−) ) = 2 ( f ′(0+)− f ′(0−) f(0+)− f(0−) )} . (4.3) З (4.3) випливає, що H є квазiсамоспряженим розширенням симетричного оператора B2, де B визначено формулою (2.10). Отже, H є 0-збуреним оператором. У просторi L2(R) розглянемо оператор унiтарної iнволюцiї Pf(x) = f(−x) i оператор спряження T f(x) = f(x). При такому виборi P i T оператор B з (2.10) задовольняє умо- ви (3.10). Отже, оператори B2 i B∗2 є PT -симетричними. Тому 0-збурений оператор H буде PT -симетричним тодi i тiльки тодi, коли його область визначення D(H) буде iнварiантною вiдносно дiї оператора PT . Беручи до уваги, що (Pf)(0±) = f(0∓), (Pf)′(0±) = −f ′(0∓), (4.4) з (4.3) одержуємо, що H є PT -симетричним оператором тодi i тiльки тодi, коли a, d є дiйсними числами, а b, c — чисто уявними (тобто b, c ∈ iR). Зауважимо, що цi умови вiдповiдають PT -симетричностi формального потенцiалу V = a〈δ, ·〉δ+ b〈δ′, ·〉δ+ c〈δ, ·〉δ′+ d〈δ′, ·〉δ′ в (4.1). При означеннi S-матрицi у попереднiх пунктах ми використовували (технiчну) умову −1 ∈ ∈ ρ(H). З’ясуємо, коли вона виконується для PT -симетричного оператора H з (4.2). Зрозумiло, що −1 6∈ ρ(H) ⇐⇒ −1 ∈ σp(H). Останння умова рiвносильна iснуванню функцiї f(x) = αe −x, x > 0, βex, x < 0, α, β ∈ C, в областi визначення оператора H. Пiдставляючи граничнi значення цiєї функцiї в (4.3), одер- жуємо систему лiнiйних однорiдних рiвнянь вiдносно невiдомих α, β. Ця система має нетри- вiальнi розв’язки лише тодi, коли її визначник дорiвнює нулю, тобто∣∣∣∣∣a+ b+ 2 a− b+ 2 c+ d− 2 c− d+ 2 ∣∣∣∣∣ = 2 [ bc− ad+ 4 + 2(a− d) ] = 0. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1077 Тому −1 ∈ ρ(H) тодi i тiльки, тодi коли bc− ad+ 4 + 2(a− d) 6= 0. (4.5) Далi вважаємо, що −1 ∈ ρ(H) (тобто виконується умовa (4.5)). Тодi область визначення оператора H можно записати у виглядi (2.6). Нехай k ∈ C′+ = C+ \ iR+ = {k ∈ C+ : Re k 6= 0}. Повторюючи мiркування з пiдпункту 2.2 (див. приклад 2.1), одержуємо, що k2 ∈ ρ(H) тодi i тiльки тодi, коли функцiї fj з (2.17) належать до областi визначення оператораH, тобто fj повиннi задовольняти (2.6). Пiдставляючи граничнi значення цих функцiй (2.18) у (2.6), отримуємо двi системи лiнiйних неоднорiдних рiвнянь вiдносно змiнних t11, t12 та t21, t22 : 2t11θ(R r k + eiα) + 2t12θT r k = 1 +Rrk, 2t11θT l k + 2t12θ(R l k + eiα) = T lk, θ = 1 + ik, eiα = θ θ ; 2t21θ(R r k + eiα) + 2t22θT r k = T rk , 2t21θT l k + 2t22θ(R l k + eiα) = 1 +Rlk. Такi системи одночасно мають розв’язок тодi i тiльки тодi, коли ∆k = ∣∣∣∣∣R r k + eiα T rk T lk Rlk + eiα ∣∣∣∣∣ 6= 0. (4.6) Вiдповiднi розв’язки tij знаходяться за формулою (2.19). Отже, k2 ∈ ρ(H) тодi i тiльки тодi, коли виконується (4.6). У цьому випадку в точцi k ∈ C′+ iснує S-матриця S(k) (див. теорему 3.1). Повторюючи мiркування з пiдпункту 2.2 (див. приклад 2.1), приходимо до висновку, що подiбно до самоспряженого випадку S-матриця визначається формулою (2.21). Зв’язок коефiцiєнтiв вiдбиття Rlk, R r k та проходження T lk, T r k в (2.21) з параметрами a, b, c, d з (4.1) можна знайти, пiдставивши граничнi значення (2.18) в (4.3). В загальному випадку такi формули є достатньо громiздкими. Тому розглянемо частинний випадок. Нехай a = d = 0 i b = c = iγ, γ ∈ R. Тодi вираз (4.1) набирає вигляду − d2 dx2 + iγ〈δ′, ·〉δ + iγ〈δ, ·〉δ′. Область визначення (4.3) для вiдповiдної операторної реалiзацiїH можна записати у виглядi D(H) = { f ∈W 2 2 ( R\{0} ) : f(0+) = eiβf(0−) f ′(0+) = e−iβf ′(0−) } , де eiβ = 2 + iγ 2− iγ , β ∈ (−π, π]. Умова (4.5) дає γ2 6= 4. Отже, γ 6= ±2 або, що еквiвалентно, β 6= ±π 2 . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1078 А. I. ГРОД, С. О. КУЖЕЛЬ Коефiцiєнти T lk, T r k , R l k, R r k визначаються формулами T lk = T rk = Re k k cosβ , Rrk = i (Re k) sinβ − (Im k) cosβ k cosβ , Rlk = −i(Re k) sinβ + (Im k) cosβ k cosβ . Пiдставляючи цi величини в (2.21), пiсля нескладних перетворень отримуємо S(k) = − i tanβ 1 cosβ 1 cosβ −i tanβ . Tаким чином, S-матриця S(k) є константною на C+. З результатiв [12] (пiдроздiл E) випливає iснування оператора CH в H = ker(B∗2 + I), що комутує з S-матрицею та має властивостi (3.14). На пiдставi теореми 3.2 це означає iснування стабiльної C-симетрiї для PT -симетричного оператора H. (В цьому випадку теорему 3.4 не можна застосувати для доведення iснування стабiльної C-симетрiї, оскiльки D(H) ∩ D(Hµ) ⊃ ⊃ D(B2).) Згiдно з наслiдком 3.3 одержуємо, що H буде самоспряженим оператором в L2(R) при певному виборi скалярного добутку в L2(R). 1. Caliceti E., Cannata F., Graffi S. PT -symmetric Schrodinger operators, reality of the perturbed eigenva- lues // SIGMA. – 2010. – 6. – P. 9 – 17. 2. Günther U., Kuzhel S. PT -symmetry, Cartan decompositions, Lie triple systems and Krein space related Clifford algebras // J. Phys. A: Math. and Theor. – 2010. – 43, № 39. – P. 392002 – 392011. 3. Bender C. M. Making sense of non-Hermitian Hamiltonians // Rept. Progr. Phys. – 2007. – 70, № 6. – P. 947 – 1018. 4. Mostafazadeh A. Pseudo-Hermitian representation of Quantum Mechanics // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. – 2010. – 7. – P. 1191 – 1306. 5. Ahmed Zafar, Bender Carl M., Berry M. V. Reflectionless potentials and PT symmetry // J. Phys. A. – 2005. – 38. – P. L627 – L630. 6. Cannata F., Dedonder J.-P., Ventura A. cattering in PT -symmetric quantum mechanics // Ann. Phys. – 2007. – 322. – P. 397 – 433. 7. Jones H. F. Scattering from localized non-Hermitian potentials // Phys. Rev. D. – 2007. – 76. – P. 125003 – 125008. 8. Hernandez-Coronado H., Krejčiřı́k D., Siegl P. Perfect transmission scattering as a PT -symmetric spectral problem // Phys. Lett. A. – 2011. – 375. – P. 2149 – 2152. 9. Mostafazadeh A. Spectral singularities of complex scattering potentials and infinite reflection and transmission coefficients at real energies // Phys. Rev. Lett. – 2009. – 102. – P. 220402 – 220407. 10. Znojil M. Scattering theory with localized non-Hermiticites // Phys. Rev. D. – 2008. – 78. – P. 025026 – 025036. 11. Albeverio S., Kuzhel S. On elements of the Lax – Phillips scattering scheme for PT -symmetric operators // J. Phys. A: Math. and Theor. – 2012. – 45. – P. 1 – 21. 12. Cojuhari P. A., Kuzhel S. Lax – Phillips scattering theory for PT -symmetric ρ-perturbed operators // J. Math. Phys. – 2012. – 53. – P. 073514 – 073531. 13. Lax P., Phillips R. Scattering theory. – Acad. Press, 1989. 14. Kuzhel S. On the inverse problem in the Lax – Phillips scattering theory method for a class of operator-differential equations // St. Petersburg Math. J. – 2002. – 13. – P. 41 – 56. 15. Kuzhel S., Moskalyova U. The Lax – Phillips scattering approach and singular perturbations of Schrödinger operator homogeneous with respect to scaling transformations // J. Math. Kyoto Univ. – 2005. – 45, № 2. – P. 265 – 286. 16. Dunford N., Schwartz J. T. Linear operators. Vol. II. Spectral theory. Self-adjoint operators in Hilbert spaces. – New York; London: Intersci., 1963. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 ТЕОРIЯ РОЗСIЯННЯ ДЛЯ 0-ЗБУРЕНИХ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 1079 17. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с. 18. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Наука, 1966. – 544 с. 19. Деркач В. А., Маламуд М. М. Характеристические функции почти разрешимых расширений эрмитовых опе- раторов // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 4. – C. 435 – 459. 20. Hassi S., Kuzhel S. On J-self-adjoint operators with stable C-symmetries // Proc. Roy. Soc. Edinburgh: Sect. A. Math. – 2013. – 143. 21. Kuzhel S., Trunk C. On a class of J-self-adjoint-operators with empty resolvent set // J. Math. Anal. and Appl. – 2011. – 379, Issue 1. – P. 272 – 289. 22. Грод А. I. До теорiї PT -симетричних операторiв // Чернiв. наук. вiсн. – 2011. – 1, № 4. – С. 36 – 42. 23. Patsyuck O. M. On stable C-symmetries for a class of PT -symmetric operators // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2013. – 19, № 1. 24. Albeverio S., Kuzhel S. One-dimensional Schrödinger operators with P-symmetric zero-range potentials // J. Phys. A. – 2005. – 38. – P. 4975 – 4988. Одержано 21.01.13 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8

Теорія розсіяння для 0-збурених PT -симетричних операторів

Institution

Ähnliche Einträge