Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями
Вивчаються одновимірні оператори Шредінгера L(q) з матричними потенціалами із негативного простору
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165608 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями / В.М. Молибога // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 657–671. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165608 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656082020-02-15T01:27:41Z Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями Молибога, В.М. Статті Вивчаються одновимірні оператори Шредінгера L(q) з матричними потенціалами із негативного простору We study 1D Schrödinger operators L(q) with distributional matrix potentials from the negative space. 2015 Article Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями / В.М. Молибога // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 657–671. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165608 517.98 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Молибога, В.М. Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються одновимірні оператори Шредінгера L(q) з матричними потенціалами із негативного простору |
| format |
Article |
| author |
Молибога, В.М. |
| author_facet |
Молибога, В.М. |
| author_sort |
Молибога, В.М. |
| title |
Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями |
| title_short |
Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями |
| title_full |
Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями |
| title_fullStr |
Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями |
| title_full_unstemmed |
Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями |
| title_sort |
операторы шредингера с матричными потенциалами-распределениями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165608 |
| citation_txt |
Операторы Шредингера с матричными потенциалами-распределениями / В.М. Молибога // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 657–671. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT molibogavm operatoryšredingerasmatričnymipotencialamiraspredeleniâmi |
| first_indexed |
2025-07-14T19:12:08Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:12:08Z |
| _version_ |
1837650756744773632 |
| fulltext |
УДК 517.98
В. Н. Молибога (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА
С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ
We study 1D Schrödinger operators L(q) with distributional matrix potentials from the negative space H−1
unif
(R,Cm×m).
In particular, the class H−1
unif
(R,Cm×m) contains periodic and almost periodic generalized functions. We establish the
equivalence of different definitions of the operators L(q), investigate their approximation by operators with smooth
potentials q ∈ L1
unif(R,C
m×m), and also prove that the spectra of operators L(q) belong to the interior of a certain
parabola.
Вивчаються одновимiрнi оператори Шредiнгера L(q) з матричними потенцiалами iз негативного простору
H−1
unif
(R,Cm×m). Зокрема, клас H−1
unif
(R,Cm×m) мiстить перiодичнi та майже перiодичнi узагальненi функцiї.
Встановлено еквiвалентнiсть рiзних визначень операторiв L(q), дослiджено апроксимацiю операторами з гладкими
потенцiалами q ∈ L1
unif(R,C
m×m), а також доведено, що спектри операторiв L(q) знаходяться всерединi деякої
параболи.
1. Введение и основные результаты. Начиная с классической работы Кронига и Пен-
ни [15] в математическую физику вошли операторы Шредингера с потенциалами, являю-
щимися обобщенными функциями. Развитие квантовой механики стимулировало дальнейшее
активное развитие этого научного направления (см. библиографию в [1, 2], а также рабо-
ты [3, 5, 6, 10, 14, 21]).
В данной работе изучаются в общем случае несимметричные операторы Шредингера L(q)
с матричными потенциалами-распределениями из пространства H−1
unif(R,C
m×m). Изучаемые
операторы могут быть корректно определены в гильбертовом пространстве L2(R,Cm) как:
1) квазидифференциальные операторы [18]: минимальный и максимальный; случай симмет-
ричных операторов исследован в [5, 19] (см. также [23]);
2) форм-сумма;
3) предел в смысле равномерной резольвентной сходимости последовательности операто-
ров с гладкими потенциалами.
Основной результат работы состоит в доказательстве эквивалентности указанных опре-
делений для рассматриваемых операторов. Мы также показываем, что оператор Шредингера
L(q) может быть аппроксимирован в смысле равномерной резольвентной сходимости после-
довательностью операторов с потенциалами, являющимися бесконечно дифференцируемыми
и равномерно локально суммируемыми матричными функциями. Кроме того, покажем, что
спектр оператора Шредингера L(q) лежит внутри некоторой параболы. Скалярный случай
m = 1 исследован в работах [11, 12], где потенциал предполагается вещественнозначным,
общий случай изучен в [17].
Перейдем к точной постановке задачи и формулировке основных результатов.
В комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве L2(R,Cm), m ∈ N, рассмотрим
операторы, порожденные формальным дифференциальным выражением
l[u] := −u′′ + qu, u = (u1, . . . , um), (1)
c© В. Н. МОЛИБОГА, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5 657
658 В. Н. МОЛИБОГА
где матричный потенциал q = {qij}
m
i,j=1 принадлежит пространству H−1
unif(R,C
m×m). По опре-
делению это означает, что потенциал имеет представление
q = Q′ + s, Q ∈ L2
unif(R,C
m×m), s ∈ L1
unif(R,C
m×m), (2)
где производная понимается в смысле распределений, а через Lp
unif(R,C
m×m), 1 6 p < ∞,
обозначены пространства Степанова матричных функций [16]
Lp
unif(R,C
m×m) :=
:=
f ∈ Lp
loc(R,C
m×m)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
‖f‖p
Lp
unif
(R,Cm×m)
:=
m
∑
i,j=1
sup
a∈R
a+1
∫
a
|fij(t)|
pd t < ∞
.
Отметим, что пространство H−1
unif(R,C
m×m) уже, чем пространство H−1
loc (R,C
m×m), но ши-
ре, чем пространство H−1(R,Cm×m). В частности, пространство H−1
unif(R,C
m×m) содержит
периодические меры Радона и производные почти периодических по Степанову функций.
Формальное дифференциальное выражение (1) определим, следуя [21], как квазидифферен-
циальное (см. также [9, 10]). Тогда максимальный и предминимальный операторы определяются
следующим образом [18]:
L(q)u ≡ Lu := l[u], l[u] := −(u′ −Qu)′ −Q(u′ −Qu)− (Q2 − s)u,
Dom(L) :=
{
u ∈ L2(R,Cm)
∣
∣u, u′ −Qu ∈ ACloc(R,C
m), l[u] ∈ L2(R,Cm)
}
и
L00(q)u ≡ L00u := l[u], Dom(L00) := {u ∈ Dom(L) | suppu ⋐ R} .
Через ACloc(R,C
m) мы обозначаем класс локально абсолютно непрерывных вектор-функций.
Предминимальный оператор L00 является плотно определенным и допускающим замыкание в
L2(R,Cm) [18] (предложение 7). Обозначим через L0 замыкание предминимального оператора
L00.
Ниже мы покажем, что форма, порожденная потенциалом q, является 0-ограниченной отно-
сительно формы, порожденной свободным гамильтонианом. Поэтому операторы, порожденные
формальным дифференциальным выражением (1), также могут быть определены как форм-
суммы:
Lfs(q) ≡ Lfs := −
d2
dx2
∔ q, Dom(Lfs) :=
{
u ∈ H1(R,Cm)
∣
∣−u′′ + qu ∈ L2(R,Cm)
}
.
Теорема 1. Операторы, порожденные формальным дифференциальным выражением (1),
могут быть корректно определены в пространстве L2(R,Cm) следующим образом:
1) как квазидифференциальные операторы: минимальный L0 и максимальный L;
2) как форм-сумма Lfs.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ 659
Эти определения эквивалентны:
L = L0 = Lfs, Dom(L) =
{
u ∈ H1(R,Cm) |u, u′−Qu ∈ ACloc(R,C
m), l[u] ∈ L2(R,Cm)
}
.
Оператор L является m-секториальным.
Напомним, что оператор называется секториальным, если его числовая область значений
принадлежит некоторому сектору с вершиной на оси абсцисс и углом раствора меньшим π.
Оператор называется m-секториальным, если дополнение до замыкания числовой области
значений на плоскости принадлежит резольвентному множеству оператора [13] (§ V.10), [22]
(§ 3.3).
Замечание 1. Ниже мы докажем, что предминимальный оператор L00 является сектори-
альным. Поэтому операторы, порожденные (1), также могут быть определены как расширение
по Фридрихсу LF предминимального оператора L00. Несложно убедиться, что операторы LF и
Lfs совпадают, так как соответствующие им квадратичные формы равны.
Следующая теорема позволяет определить оператор L(q) как предел в смысле равномерной
резольвентной сходимости последовательности операторов L(qn), n ≥ 1. С этой целью мы
сперва опишем сходимость в H−1
unif(R,C
m×m), введя норму (ср. [11], теорема 2.1):
H−1
unif(R,C
m×m) :=
:=
{
f ∈ D
′(R,Cm×m)
∣
∣ f = g′ + h, g ∈ L2
unif(R,C
m×m), h ∈ L1
unif(R,C
m×m)
}
, (3)
‖f‖H−1
unif
(R,Cm×m) := infg′+h=f
(
‖g‖L2
unif
(R,Cm×m)+‖h‖L1
unif
(R,Cm×m)
)
. (4)
Теорема 2 (о сходимости). Пусть q и qn, n ≥ 1, принадлежат пространству H−1
unif(R,
C
m×m). Тогда последовательность операторов L(qn), n ≥ 1, сходится к оператору L(q) в
смысле равномерной резольвентной сходимости:
∥
∥R(λ,L(q))− R(λ,L(qn))
∥
∥ → 0, n → ∞, λ ∈ Resolv(L(q)),
если только
qn → q в H−1
unif(R,C
m×m) при n → ∞. (5)
Из теоремы 2 выводим следующий важный результат.
Теорема 3 (об аппроксимации). Пусть задан оператор L(q) с q ∈ H−1
unif(R,C
m×m), где q
имеет представление
q = Q′ + s, Q ∈ L2
unif(R,C
m×m), s ∈ L1
unif(R,C
m×m).
Тогда существует последовательность операторов L(qn), n ≥ 1, с qn ∈ H−1
unif(R,C
m×m), где
qn имеют представление
qn = Q′
n + sn, Qn ∈ C∞(R,Cm×m) ∩ L2
unif(R,C
m×m),
sn ∈ C∞(R,Cm×m) ∩ L1
unif(R,C
m×m),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
660 В. Н. МОЛИБОГА
такая, что оператор L(q) является ее пределом в смысле равномерной резольвентной сходи-
мости.
В частности, если Q и s являются почти периодическими функциями Степанова, то Qn
и sn могут быть выбраны конечными тригонометрическими многочленами (см. [16], теоре-
ма I.5.7.2). Если же Q и s являются ограниченными и равномерно непрерывными на всей
действительной оси R, то Qn и sn могут быть выбраны целыми аналитическими функциями
(см. [16], теорема I.1.10.1, замечание).
Скалярный случай сильно сингулярных потенциалов исследован в [8] (см. также приведен-
ную там библиографию).
В следующей теореме мы локализуем спектр оператора L(q).
Теорема 4. Числовая область значений оператора L(q), а следовательно, и его спектр
принадлежат параболе
|Imλ| ≤ 5K
(
Reλ+ 4(2K + 1)4
)3/4
,
(6)
K := 2
(
‖s‖L1
unif
(R,Cm×m) +m‖Q‖L2
unif
(R,Cm×m)
)
.
В работе мы используем следующие обозначения. Через (· , ·)
Cm обозначаем скалярное
произведение в пространстве C
m :
(u, v)Cm :=
m
∑
i=1
uivi, u = (u1, . . . , um), v = (v1, . . . , vm) ∈ C
m;
через (· , ·)L2(R,Cm) — скалярное произведение в гильбертовом пространстве L2(R,Cm) сумми-
руемых с квадратом вектор-функций:
(u, v)L2(R,Cm) :=
∫
R
(u, v)Cmdx;
через H1(R,Cm) — пространство Соболева вектор-функций, компоненты которых принадлежат
пространствам Соболева H1(R,C) :
H1(R,C) :=
{
f ∈ L2(R,C)
∣
∣f ′, f ∈ L2(R,C)
}
,
‖f‖2H1(R,C) := ‖f ′‖2L2(R,C) + ‖f‖2L2(R,C);
через D
′(R,Cm×m) — пространство обобщенных матричных функций над пространством
C∞
0 (R,Cm×m) бесконечно дифференцируемых матричных функций с компактным носителем.
Для произвольной матрицы A = {aij}
m
i,j=1 ∈ C
m×m через AT = {aTij}
m
i,j=1 обозначаем
транспонированную матрицу, через A∗ = {a∗ij}
m
i,j=1 — эрмитово-сопряженную матрицу: a∗ij =
= aji, где символом a обозначено соответствующее комплексно-сопряженное число.
Функциональная матрица A(x) = {aij(x)}
m
i,j=1 принадлежит пространству Lp
loc(R,C
m×m),
если каждый элемент матрицы aij(x) принадлежит пространству Lp
loc(R,C), p ∈ [1,∞).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ 661
Работа построена следующим образом. В пункте 2 для удобства читателя приведены извест-
ные вспомогательные результаты. Пункт 3 посвящен доказательству основных результатов.
Предварительно мы докажем вспомогательный результат (теорему 6), утверждающий, что фор-
ма tq, порожденная потенциалом q ∈ H−1
unif(R,C
m×m), является 0-ограниченной относительно
формы t0, порожденной свободным лапласианом.
2. Предварительные результаты. Определим сначала формально сопряженное за Лаг-
ранжем к квазидифференциальному выражению l[·] квазидифференциальное выражение l+[·] и
опишем свойства соответствующих предминимальных, минимальных и максимальных опера-
торов. Более детальное изложение этих результатов можно найти в [18].
Основы теории квазидифференциальных операторов были заложены в работах Шина и
Зеттла (см. [24] и приведенную там библиографию). С ее детальным изложением можно озна-
комиться, например, в монографии [7]. В работе [10] авторы с помощью квазипроизводных
определяют дифференциальные операторы произвольного порядка с сильно сингулярными ко-
эффициентами, обобщая известные результаты [20] (гл. V), [21]. Автор работы [4] (см. так-
же библиографию) продолжает дальнейшее обобщение теории квазидифференциальных опе-
раторов.
Определим формально сопряженное за Лагранжем к l[·] квазидифференциальное выражение
следующим образом:
l+[v] := −
(
v′ −Q∗v
)′
−Q∗
(
v′ −Q∗v
)
−
(
(Q∗)2 − s∗
)
v.
Тогда соответствующие максимальный и предминимальный операторы определяются так:
L+(q)v ≡ L+v := l+[v],
Dom(L+) :=
{
v ∈ L2(R,Cm)
∣
∣ v, v′ −Q∗v ∈ ACloc(R,C
m), l+[v] ∈ L2(R,Cm)
}
и
L+
00(q)v ≡ L+
00v := l+[v],
Dom(L+
00) :=
{
v ∈ Dom(L+)
∣
∣ supp v ⋐ R
}
.
Через L+
0 мы обозначаем замыкание предминимального оператора L+
00 — минимальный опера-
тор.
Предложение 1 (предложение 7 [18]). Для операторов L, L0, L00 и L+, L+
0 , L
+
00 справед-
ливы следующие утверждения:
10. Операторы L00 и L+
00 плотно определены в гильбертовом пространстве L2(R,Cm).
20. Справедливы равенства
(L00)
∗ = L+,
(
L+
00
)∗
= L.
В частности, операторы L, L+ замкнуты, а операторы L00, L
+
00 допускают замыкание.
30. Области определения минимальных операторов L0, L
+
0 допускают следующее описа-
ние:
Dom(L0) =
{
u ∈ Dom(L)
∣
∣ [u, v]∞−∞ = 0 ∀v ∈ Dom(L+)
}
,
Dom(L+
0 ) =
{
v ∈ Dom(L+)
∣
∣ [u, v]∞−∞ = 0 ∀u ∈ Dom(L)
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
662 В. Н. МОЛИБОГА
40. Имеют место включения
Dom(L) ⊂ H1
loc(R,C
m) ∩ L2(R,Cm),
Dom(L+) ⊂ H1
loc(R,C
m) ∩ L2(R,Cm).
Напомним общие результаты, касающиеся локализации числовой области значений положи-
тельной формы, возмущенной сильно подчиненной формой [17]. Эти результаты мы применим
для локализации спектра изучаемых операторов.
Пусть в гильбертовом пространстве H задана плотно определенная, замкнутая, положи-
тельная полуторалинейная форма t0[u, v] с областью определения Dom(t0) ⊂ H и τ [u, v] —
определенная в H полуторалинейная форма с областью определения Dom(τ) ⊃ Dom(t0).
Предположим, что форма τ сильно подчинена форме t0 и выполнены оценки
∃ a, b, s > 0 : |τ [u]| ≤ aεt0[u] + bε−s‖tu‖2H ∀ε > 0, u ∈ Dom(t0). (7)
Рассмотрим в гильбертовом пространстве H сумму форм t0 и τ :
t[u, v] := t0[u, v] + τ [u, v], Dom(t) := Dom(t0).
Полуторалинейная форма t является плотно определенной, замкнутой, секториальной полуто-
ралинейной формой в гильбертовом пространстве H. Пусть Θ(t) — числовая область значений
квадратичной формы t :
Θ(t) := t[u], u ∈ Dom(t), ‖u‖H = 1.
В силу сделанных предположений Θ(t0) ⊂ [0,∞). Выясним свойства множества Θ(t).
Лемма 1. Имеют место оценки
|Im t[u]| ≤ 2aεRe t[u] + 2bε−s‖u‖2H , 0 < ε ≤ (2a+ 1)−1. (8)
Введем обозначения
Sa,b,s,ε :=
{
λ ∈ C
∣
∣|Imλ| ≤ 2aεReλ+ 2bε−s
}
,
Ma,b,s :=
⋂
0<ε≤(2a+1)−1
Sa,b,s,ε.
Тогда в силу леммы 1 имеем Θ(t) ⊂ Ma,b,s.
Лемма 2. Множество Ma,b,s имеет следующее описание:
Ma,b,s =
{
λ ∈ C
∣
∣
∣
∣
|Imλ| ≤
2a
2a+ 1
Reλ+ 2b(2a + 1)s
}
, λ0 ≤ Reλ ≤ λ1,
{
λ ∈ C
∣
∣
∣
∣
|Imλ| ≤ 2(s+ 1)b1/(s+1)
(a
s
)s/(s+1)
(Reλ)s/(s+1)
}
, λ1 < Reλ,
где λ0 := −
b
a
(2a+ 1)s+1 — вершина сектора
{
λ ∈ C
∣
∣
∣
∣
|Imλ| ≤
2a
2a+ 1
Reλ+ 2b(2a + 1)s
}
, λ1 :=
bs
a
(2a+ 1)s+1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ 663
Из лемм 1 и 2 следует, что справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Числовая область значений Θ(t) полуторалинейной формы t принадлежит
множеству Ma,b,s :
Ma,b,s =
{
λ ∈ C
∣
∣
∣
∣
|Imλ| ≤
2a
2a+ 1
Reλ+ 2b(2a + 1)s
}
, λ0 ≤ Reλ ≤ λ1,
{
λ ∈ C
∣
∣
∣
∣
|Imλ| ≤ 2(s+ 1)b1/(s+1)
(a
s
)s/(s+1)
(Reλ)s/(s+1)
}
, λ1 < Reλ,
где λ0 = −
b
a
(2a+ 1)s+1 — вершина сектора
{
λ ∈ C
∣
∣
∣
∣
|Imλ| ≤
2a
2a+ 1
Reλ+ 2b(2a+ 1)s
}
, λ1 =
bs
a
(2a + 1)s+1.
Замечание 2. Непосредственные вычисления показывают, что имеет место включение
Ma,b,s ⊂
{
λ ∈ C
∣
∣
∣
∣
∣
|Imλ| ≤ 2(s + 1)b1/(s+1)
(a
s
)s/(s+1)
(
Reλ+
b
a
(2a+ 1)s+1
)s/(s+1)
}
.
3. Доказательство теорем. Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2(R,Cm) квадра-
тичную форму, порожденную предминимальным оператором L00 :
ṫL00
[u] := (L00u, u)L2(R,Cm) , Dom(ṫL00
) := Dom(L00).
Напомним, что Dom(L00) ⊂ H1
comp(R,C
m). После упрощений получаем
ṫL00
[u] =
(
u′, u′
)
L2(R,Cm)
−
(
Q,u′u+ uu′
)
L2(R,Cm)
+ (su, u)L2(R,Cm) .
Далее, для того чтобы говорить о свойствах формы ṫL00
, мы сначала исследуем свойства квад-
ратичных форм, порожденных лапласианом и функциями Q и s :
t0[u] :=
(
u′, u′
)
L2(R,Cm)
, Dom(t0) := H1(R,Cm),
tQ[u] := −
(
Q,u′u+ uu′
)
L2(R,Cm)
, Dom(tQ) := H1(R,Cm),
ts[u] := (su, u)L2(R,Cm) , Dom(ts) := H1(R,Cm).
Известно, что квадратичная форма t0 плотно определена, замкнута и положительна. Ключевым
при доказательстве основных теорем является следующий результат.
Теорема 6. Формы tQ и ts являются 0-ограниченными относительно формы t0, при этом
для произвольного ε ∈ (0, 1] выполнены оценки
|ts[u]| ≤ ‖s‖L1
unif
(R,Cm×m)
(
εt0[u] + 8ε−1‖u‖2L2(R,Cm)
)
, u ∈ Dom(t0), (9)
|tQ[u]| ≤ 2m‖Q‖L2
unif
(R,Cm×m)
(
ε1/2t0[u] + 4ε−3/2‖u‖2L2(R,Cm)
)
, u ∈ Dom(t0). (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
664 В. Н. МОЛИБОГА
Симметричный скалярный вариант этой теоремы доказан в [11].
Из теоремы 6 получаем следующее важное следствие.
Следствие 1. Сумма форм ts+tQ является формой, 0-ограниченной относительно формы
t0, при этом для произвольного ε ∈ (0, 1] имеет место оценка
|ts[u]|+ |tQ[u]| ≤ Kεt0[u] + 4Kε−3‖u‖2L2(R,Cm), u ∈ Dom(t0), (11)
K := 2
(
‖s‖L1
unif
(R,Cm×m) +m‖Q‖L2
unif
(R,Cm×m)
)
.
Для доказательства теоремы 6 нам будут необходимы следующие известные оценки.
Лемма 3 (лемма 3.1 [11] (IV.1.19), [13]). Для произвольной функции f ∈ H1 ([0, 1],C) и
произвольного ε ∈ (0, 1] выполнена оценка
max
t∈[0,1]
|f(t)|2 ≤ ε‖f ′‖2L2((0,1),C) + 8ε−1‖f‖2L2((0,1),C). (12)
Докажем теперь векторный вариант неравенств (12).
Лемма 4. Для произвольной вектор-функции f = (f1, f2, . . . , fm) ∈ H1
(
[0, 1],Cm
)
, произ-
вольного ε ∈ (0, 1] и произвольных индексов i, j таких, что 1 ≤ i, j ≤ m, выполнены оценки
max
t∈[0,1]
|fi(t)| max
t∈[0,1]
|fj(t)| ≤ ε‖f ′‖2L2((0,1),Cm) + 8ε−1‖f‖2L2((0,1),Cm). (13)
Доказательство. Используя (12) и тот факт, что
‖gi‖
2
L2((0,1),C) ≤ ‖g‖2L2((0,1),Cm), g ∈ L2
(
(0, 1),Cm
)
, 1 ≤ i ≤ m, (14)
получаем необходимые оценки
max
t∈[0,1]
|fi(t)| max
t∈[0,1]
|fj(t)| ≤
≤ (ε‖f ′
i‖
2
L2((0,1),C) + 8ε−1‖fi‖
2
L2((0,1),C))
1/2(ε‖f ′
j‖
2
L2((0,1),C) + 8ε−1‖fj‖
2
L2((0,1),C))
1/2 ≤
≤ ε‖f ′‖2L2((0,1),Cm) + 8ε−1‖f‖2L2((0,1),Cm).
Следствие 2. Для произвольной вектор-функции f = (f1, f2, . . . , fm) ∈ H1
(
[0, 1],Cm
)
,
произвольного ε ∈ (0, 1] и произвольных индексов i, j таких, что 1 ≤ i, j ≤ m, выполнены
оценки
1
∫
0
∣
∣
∣
f ′
i(t)fj(t)
∣
∣
∣
2
d t
1/2
≤ ε1/2‖f ′‖2L2((0,1),Cm) + 4ε−3/2‖f‖2L2((0,1),Cm). (15)
Доказательство. Используя (12), (13) и учитывая (14), имеем
1
∫
0
∣
∣
∣
f ′
i(t)fj(j)
∣
∣
∣
2
d t ≤ max
t∈[0,1]
|fj(t)|
2‖f ′
i‖
2
L2((0,1),C) ≤ ε‖f ′‖4L2((0,1),Cm)+
+8ε−1‖f‖2L2((0,1),Cm)‖f
′‖2L2((0,1),Cm) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ 665
≤
(
ε1/2‖f ′‖2L2((0,1),Cm) + 4ε−3/2‖f‖2L2((0,1),Cm)
)2
,
откуда получаем (15).
Доказательство теоремы 6. Использовав оценки (14) и (15), докажем (9) и (10). Имеем
|ts[u]| =
=
∣
∣
∣
(su, u)L2
unif
(R,Cm×m)
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
m
∑
i,j=1
∫
R
sij(t)uj(t)ui(t)d t
∣
∣
∣
∣
∣
≤
m
∑
i,j=1
∫
R
∣
∣
∣
sij(t)uj(t)ui(t)
∣
∣
∣
d t ≤
≤
∞
∑
n=−∞
m
∑
i,j=1
n+1
∫
n
|sij(t)| d t max
t∈[n,n+1]
|ui(t)| max
t∈[n,n+1]
|uj(t)| ≤
≤ ‖s‖L1
unif
(R,Cm×m)
(
ε‖u′‖2L2(R,Cm) + 8ε−1‖u‖2L2(R,Cm)
)
.
Оценка (9) доказана.
Для доказательства оценки (10) используем оценки (15). Имеем
|tQ[u]| ≤ 2
∣
∣
∣
(
Q,u′u
)
L2
unif
(R,Cm×m)
∣
∣
∣ = 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
m
∑
i,j=1
∫
R
Qij(t)uj(t)u
′
i(t)d t
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
≤ 2
m
∑
i,j=1
∫
R
∣
∣
∣
Qij(t)uj(t)u′i(t)
∣
∣
∣
d t = 2
∞
∑
n=−∞
m
∑
i,j=1
n+1
∫
n
∣
∣
∣
Qij(t)uj(t)u′i(t)
∣
∣
∣
d t ≤
≤ 2
∞
∑
n=−∞
m
∑
i,j=1
n+1
∫
n
|Qij(t)|
2 d t
1/2
n+1
∫
n
∣
∣
∣uj(t)u′i(t)
∣
∣
∣
2
d t
1/2
≤
≤ 2m
∞
∑
n=−∞
m
∑
i,j=1
n+1
∫
n
|Qij(t)|
2 d t
1/2
(
ε1/2‖u′‖2L2((n,n+1),Cm)+
+4ε−3/2‖u‖2L2((n,n+1),Cm)
)
≤
≤ 2m‖Q‖L2
unif
(R,Cm×m)
(
ε1/2t0[u] + 4ε−3/2‖u‖2L2(R,Cm)
)
.
Оценка (10) доказана.
Теорема 6 доказана.
Таким образом, форма ṫL00
является суммой форм:
ṫL00
= ṫ0 + ṫQ + ṫs,
где через ṫ0, ṫQ, ṫs обозначены сужения соответствующих форм на Dom(ṫL00
). Учитывая свой-
ство 10 предложения 1, а также следствие 1, получаем следующий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
666 В. Н. МОЛИБОГА
Предложение 2. Форма ṫL00
плотно определена, секториальна и замыкаема. Ее замыкание
tL00
:= (ṫL00
)~ определено следующим образом:
tL00
[u] =
(
u′, u′
)
L2(R,Cm)
−
(
Q,u′u+ uu′
)
L2(R,Cm)
+ (su, u)L2(R,Cm) ,
Dom(tL00
) = H1(R,Cm).
Теперь перейдем к доказательству основных результатов.
Доказательство теоремы 1. Выше было показано, что операторы, порожденные формаль-
ным дифференциальным выражением (1), могут быть корректно определены в гильбертовом
пространстве L2(R,Cm) как квазидифференциальные. Их свойства описаны в предложении 1.
Пусть, как и выше, t0 — квадратичная форма, порожденная лапласианом:
t0[u] = (u′, u′)L2(R,Cm), Dom(t0) = H1(R,Cm).
Напомним, что квадратичная форма t0 плотно определена, замкнута и положительна в L2(R,
C
m).
Рассмотрим форму, порожденную потенциалом q ∈ H−1
unif(R,C
m×m) :
tq[u] := 〈qu, u〉L2(R,Cm), Dom(tq) = H1(R,Cm).
Здесь через 〈·, ·〉L2(R,Cm) обозначена полуторалинейная форма, спаривающая дуальные отно-
сительно нулевого пространства L2(R,Cm) пространства H−1(R,Cm) и H1(R,Cm). В силу
предположений (2) форма tq допускает представление
tq[u] = 〈Q′u+ su, u〉L2(R,Cm) = (Q′u, u)L2(R,Cm) + (su, u)L2(R,Cm) =
= −(Q,u′u+ uu′)L2(R,Cm) + (su, u) = tQ[u] + ts[u].
Теперь, принимая во внимание оценку (11), заключаем, что квадратичная форма
t[u] := t0[u] + tq[u] ≡ t0[u] + tQ[u] + ts[u], Dom(t) = H1(R,Cm),
является плотно определенной, замкнутой и секториальной в L2(R,Cm). Аналогично рассмат-
ривается соответствующая полуторалинейная форма t[u, v].
Согласно первой теореме о представлении [13] (теорема VI.2.1) с формой t ассоциирован
m-секториальный оператор Lfs(q) ≡ Lfs, имеющий следующие свойства:
(i) Dom(Lfs) ⊂ Dom(t) и t[u, v] = (Lfsu, v)L2(R,Cm) ∀u ∈ Dom(Lfs) ∀v ∈ Dom(t);
(ii) Dom(Lfs) является ядром формы t;
(iii) если u ∈ Dom(t), ω ∈ L2(R,Cm) и t[u, v] = (ω, v)L2(R,Cm) имеет место для любого v,
принадлежащего ядру формы t, то u ∈ Dom(Lfs) и Lfsu = ω.
m-Секториальный оператор Lfs единственным образом определяется условием (i).
Оператор Lfs называется оператором, ассоциированным с суммой форм t = t0 + tq (или
просто форм-суммой), и обозначается следующим образом:
Lfs = −
d2
dx2
∔ q, Dom(Lfs) =
{
u ∈ H1(R,Cm)
∣
∣−u′′ + qu ∈ L2(R,Cm)
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ 667
Покажем, что
Lfsu = l[u] ≡ −(u′ −Qu)′ −Q(u′ −Qu)− (Q2 − s)u, u ∈ Dom(Lfs),
и область определения Dom(Lfs) оператора Lfs совпадает с множеством
N :=
{
u ∈ H1(R,Cm)
∣
∣ u, u′ −Qu ∈ ACloc(R,C
m), l[u] ∈ L2(R,Cm)
}
.
Пусть u ∈ Dom(Lfs) и ω := Lfsu. Для произвольной функции v ∈ C∞
0 (R,Cm) ⊂ Dom(t)
имеем
t[u, v] = (Lfsu, v)L2(R,Cm) = (ω, v)L2(R,Cm) =
= (u′, v′)L2(R,Cm) − (Q, v′u+ vu′)L2(R,Cm) + (su, v)L2(R,Cm) =
= (u′ −Qu, v′)L2(R,Cm) − (Qu′, v)L2(R,Cm) + (su, v)L2(R,Cm),
откуда получаем соотношение
(ω +Qu′ − su, v)L2(R,Cm) = (u′ −Qu, v′)L2(R,Cm). (16)
Введем обозначение h′ := ω +Qu′ − su. Очевидно, что
h′ ∈ L1
loc(R,C
m), т. е. h ∈ ACloc(R,C
m). (17)
Из (16) получаем
(h′, v)L2(R,Cm) = −(h, v′)L2(R,Cm) = (u′ −Qu, v′)L2(R,Cm)
и
(h+ u′ −Qu, v′)L2(R,Cm) = 0. (18)
Из (18) следует, что h+ u′ −Qu = C (C — константа) и, как следствие, с учетом (17)
u′ −Qu ∈ ACloc(R,C
m). (19)
Далее, учитывая (19), получаем
t[u, v] = (u′, v′)L2(R,Cm) − (Q, v′u+ vu′)L2(R,Cm) + (su, v)L2(R,Cm) =
= (u′ −Qu, v′)L2(R,Cm) − (Qu′, v)L2(R,Cm) + (su, v)L2(R,Cm) =
= −
(
(u′ −Qu)′, v
)
L2(R,Cm)
−
(
Q(u′ −Qu), v
)
L2(R,Cm)
−
(
(Q2 − s)u, v
)
L2(R,Cm)
=
=
(
l[u], v
)
L2(R,Cm)
.
Поэтому в силу первой теоремы о представлении
Lfsu = l[u] ≡ −(u′ −Qu)′ −Q(u′ −Qu)− (Q2 − s)u
и, как следствие, l[u] ∈ L2(R,Cm).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
668 В. Н. МОЛИБОГА
Таким образом, включение
Dom(Lfs) ⊂ N
доказано. Докажем обратное включение.
Пусть u ∈ N ⊂ Dom(t). Тогда для произвольной функции v ∈ C∞
0 (R,Cm), как и выше,
имеем
t[u, v] = (u′, v′)L2(R,Cm) − (Q, v′u+ vu′)L2(R,Cm) + (su, v)L2(R,Cm) =
(
l[u], v
)
L2(R,Cm)
,
откуда, согласно первой теореме о представлении, следует, что u ∈ Dom(Lfs) и Lfsu = l[u].
Таким образом, обратное включение
Dom(Lfs) ⊃ N
также доказано. Итак, мы показали, что
Dom(Lfs) =
{
u ∈ H1(R,Cm)
∣
∣ u, u′ −Qu ∈ ACloc(R,C
m), l[u] ∈ L2(R,Cm)
}
. (20)
Докажем теперь соотношения
L0 ⊂ Lfs ⊂ L. (21)
Для произвольных u ∈ Dom(L00) ⊂ Dom(t) и v ∈ C∞
0 (R,Cm) ⊂ Dom(t) имеем
t[u, v] = (u′, v′)L2(R,Cm) − (Q, v′u+ vu′)L2(R,Cm) + (su, v)L2(R,Cm) =
= (l[u], v)L2(R,Cm) =
(
L00u, v
)
L2(R,Cm)
,
откуда согласно следствию VI.2.4 [13] следует, что L00 ⊂ Lfs и L0 ⊂ Lfs.
Включение Lfs ⊂ L следует из описания областей определения соответствующих опе-
раторов.
Далее, выше (см. предложение 2), было показано, что квадратичная форма ṫL00
, порожден-
ная предминимальным оператором L00, является секториальной. Это означает, что оператор
L00 также является секториальным, и тем более квазиаккретивным.
Аналогичным образом можно убедиться, что квадратичная форма ṫL+
00
, порожденная пред-
минимальным оператором L+
00, также является секториальной. Следовательно, оператор L+
00
также является секториальным, и тем более квазиаккретивным.
Теперь для завершения доказательства теоремы достаточно применить теорему 1 [18]: опе-
ратор L0 является m-аккретивным тогда и только тогда, когда предминимальные операторы L00
и L+
00 являются аккретивными, при этом L0 = L, а также учесть соотношения (21) и (20).
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Пусть t — форма, с которой ассоциирован оператор L(q), а tn
— форма, с которой ассоциирован оператор L(qn) :
t[u] =
(
u′, u′
)
L2(R,Cm)
− (Q,u′u+ uu′)L2(R,Cm) + (su, u)L2(R,Cm),
Dom(t) = H1(R,Cm),
tn[u] =
(
u′, u′
)
L2(R,Cm)
− (Qn, u
′u+ uu′)L2(R,Cm) + (snu, u)L2(R,Cm),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ 669
Dom(tn) = H1(R,Cm).
Тогда, применяя оценку (11) с s− sn и Q−Qn вместо s и Q соответственно, получаем
∣
∣t[u]− tn[u]
∣
∣ ≤
∣
∣(Q−Qn, u
′u+ uu′)L2(R,Cm)
∣
∣+
+
∣
∣
(
(s− sn)u, u
)
L2(R,Cm)
∣
∣ ≤ an‖u
′‖2L2(R,Cm) + 4an‖u‖
2
L2(R,Cm), (22)
где
an := 2
(
‖s− sn‖L1
unif
(R,Cm×m)+
+m‖Q−Qn‖L2
unif
(R,Cm×m)
)
→ 0 при qn
H−1
unif
(R,Cm×m)
−→ q, n → ∞. (23)
Далее, снова используя оценку (11), имеем
Re t[u] = ‖u′‖2L2(R,Cm) −Re(Q,u′u+ uu′)L2(R,Cm) +Re(su, u)L2(R,Cm) ≥
≥ ‖u′‖2L2(R,Cm) −
∣
∣(Q,u′u+ uu′)L2(R,Cm)
∣
∣−
∣
∣(su, u)L2(R,Cm)
∣
∣ ≥
≥ (1−Kε)‖u′‖2L2(R,Cm) − 4Kε−3‖u‖L2(R,Cm)
2
. (24)
Положим ε := (2K + 1)−1, тогда из (24) получаем
Re t[u] ≥ (1−Kε)‖u′‖2L2(R,Cm) − 4Kε−3‖u‖2L2(R,Cm) ≥
≥ 1/2‖u′‖2L2(R,Cm) − 4K(2K + 1)3‖u‖2L2(R,Cm)
и, как следствие,
2Re t[u] + 8K(2K + 1)3‖u‖2L2(R,Cm) > ‖u′‖2L2(R,Cm).
Поэтому из (22) имеем
∣
∣t[u]− tn[u]
∣
∣ ≤ 2anRe t[u] +
(
8anK(2K + 1)3 + 4an
)
‖u‖2L2(R,Cm),
и для завершения доказательства теоремы осталось применить теорему VI.3.6 [13].
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. В силу теоремы 2, поскольку множество C∞(R,Cm×m) ∩
∩L1
unif(R,C
m×m) является всюду плотным в пространстве H−1
unif(R,C
m×m) [17] (следствие 10.1),
для произвольного потенциала
q = Q′ + s ∈ H−1
unif(R,C
m×m)
мы можем выбрать последовательность {qn}n∈N бесконечно дифференцируемых функций, при-
надлежащих пространству Степанова L1
unif(R,C
m×m) :
qn = Q′
n + sn, Qn ∈ C∞(R,Cm×m) ∩ L2
unif(R,C
m×m),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
670 В. Н. МОЛИБОГА
sn ∈ C∞(R,Cm×m) ∩ L1
unif(R,C
m×m),
которая сходится в H−1
unif(R,C
m×m) к q.
Для завершения доказательства теоремы 3 осталось только учесть, что сходимость (5), в
силу определения (3), (4), эквивалентна сходимости
Qn → Q в L2
unif(R,C
m×m), sn → s в L1
unif(R,C
m×m) при n → ∞.
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 4. Рассмотрим квадратичную форму t, с которой ассоциирован
оператор L :
t[u] = (u′, u′)L2(R,Cm) −
(
Q,u′u+ uu′
)
L2(R,Cm)
+
(
su, u
)
L2(R,Cm)
,
Dom(t) = H1(R,Cm).
Согласно доказанному выше (следствие 1) для произвольного ε ∈ (0, ] имеет место оценка
∣
∣(Q,u′u+ uu′)L2(R,Cm)
∣
∣+
∣
∣(su, u)L2(R,Cm)
∣
∣ ≤ Kεt0[u] + 4Kε−3‖u‖2L2(R,Cm),
K = 2
(
‖s‖L1
unif
(R,Cm×m) +m‖Q‖L2
unif
(R,Cm×m)
)
.
Для завершения доказательства осталось применить теорему 5 с a = K, b = 4K, s = 3.
Теорема 4 доказана.
1. Albeverio S., Gestezy F., Hoegh Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. – Providence, RI:
AMS Chelsea Publ., 2005.
2. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators. Solvable Schrödinger type operators //
London Math. Soc. Lect. Note Ser. – 2000. – 271.
3. Albeverio S., Kostenko A., Malamud M. Spectral theory of semibounded Sturm — Liouville operators with local point
interactions on a discrete set // J. Math. Phys. – 2010. – 51, № 10. – 24 p.
4. Bruk V. Invertible linear relations generated by an integral equation with Nevanlinna measure // Rus. Math. (Iz.
VUZ). – 2013. – 57, № 2. – P. 13 – 24.
5. Eckhardt J., Gesztesy F., Nichols R., Teschl G. Supersymmetry and Schrödinger-type operators with distributional
matrix-valued potentials // J. Spectr. Theory. – 2014. – 4, № 4. – P. 715 – 768.
6. Eckhardt J., Gesztesy F., Nichols R., Teschl G. Weyl — Titchmarsh theory for Sturm — Liouville operators with
distributional potentials // Opusc. Math. – 2013. – 33, № 3. – P. 467 – 563.
7. Everitt W., Markus L. Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and quasi-differential
operators // Math. Surv. Monogr. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999. – 61.
8. Golovaty Yu. Schrödinger operators with αδ′+βδ-like potentials: norm resolvent convergence and solvable models //
Meth. Funct. Anal. and Top. – 2012. – 18, № 3. – P. 243 – 255.
9. Goriunov A., Mikhailets V. Regularization of singular Sturm — Liouville equations // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2010. – 16, № 2. – P. 120 – 130.
10. Goriunov A., Mikhailets V., Pankrashkin K. Formally self-adjoint quasi-differential operators and boundary value
problems // Electron. J. Different. Equat. – 2013. – 16 p.
11. Hryniv R., Mykytyuk Ya. Schrödinger operators with periodic singular potentials // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2001. – 7, № 4. – P. 31 – 42.
12. Hryniv R., Mykytyuk Ya. Self-adjointness of Schrödinger operators with singular potentials // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2012. – 18, № 2. – P. 152 – 159.
13. Kato T. Perturbation theory for linear operators. – Berlin etc.: Springer, 1995.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С МАТРИЧНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ 671
14. Kostenko A., Malamud M. 1-D Schrödinger operators with local point interactions on a discrete set // J. Different.
Equat. – 2010. – 249. – P. 253 – 304.
15. de L. Kronig R., Penny W. G. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices // Proc. Roy. Soc. London A. –
1931. – 130. – P. 499 – 513.
16. Levitan B. Almost periodic functions (in Russian). – Moscow: Gostekhtheorizdat, 1953.
17. Mikhailets V., Molyboga V. Schrödinger operators with complex singular potentials // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2013. – 19, № 1. – P. 16 – 28.
18. Mikhailets V., Molyboga V. Remarks on Schrödinger operators with singular matrix potential // Meth. Funct. Anal.
and Top. – 2013. – 19, № 2. – P. 161 – 167.
19. Mirzoev K., Safonova T. Singular Sturm –– Liouville operators with distribution potential on spaces of vector
functions // Dokl. Math. – 2011. – 84, № 3. – P. 791 – 794.
20. Naimark M. Linear differential operators (in Russian). – Moscow: Nauka, 1969.
21. Savchuk A., Shkalikov A. Sturm — Liouville operators with distribution potentials (in Russian) // Tr. Mosk. Mat.
Obshch. – 2003. – 64. – P. 159 – 212.
22. Schmüdgen K. Unbounded self-adjoint operators on Hilbert space // Grad. Texts Math. – Dordrecht etc.: Springer,
2012. – 265.
23. Weidmann J. Spectral theory of ordinary differential operators // Lect. Notes Math. – 1987. – 1258.
24. Zettl A. Formally self-adjoint quasi-differential operator // Rocky Mountain J. Math. – 1975. – 5, № 3. – P. 453 – 474.
Получено 16.01.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|