Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром
Рассмотрена задача о классификации неэквивалентных представлений скалярного оператора λI в виде суммы k самосопряженных операторов с не более чем n₁,...,nk точками в спектрах. Доказано, что такая задача является *-дикой при некотором множестве спектров, если (n₁,...,nk) совпадает с одним из следующи...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165613 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром / В.І. Рабанович // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 701–716. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165613 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656132020-02-15T01:26:08Z Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром Рабанович, В.І. Статті Рассмотрена задача о классификации неэквивалентных представлений скалярного оператора λI в виде суммы k самосопряженных операторов с не более чем n₁,...,nk точками в спектрах. Доказано, что такая задача является *-дикой при некотором множестве спектров, если (n₁,...,nk) совпадает с одним из следующих наборов: (2,...,2) при k ≥ 5,(2,2,2,3),(2,11,11),(5,5,5), (4,6,6). Показано, что для k ≥ 5 и спектров операторов, состоящих из точек 0 и 1, такие классификационные задачи являются *-дикими при всех рациональных значениях λ ϵ [2,3]. We consider the problem of classification of nonequivalent representations of a scalar operator λI in the form of a sum of k self-adjoint operators with at most n₁,..., nk points in their spectra, respectively. It is shown that this problem is *-wild for some sets of spectra if (n₁,... ,nk ) coincides with one of the following k -tuples: (2, . . . , 2) for k ≥ 5, (2, 2, 2, 3), (2, 11, 11), (5, 5, 5), or (4, 6, 6). It is demonstrated that, for the operators with points 0 and 1 in the spectra and k ≥ 5, the classification problems are *-wild for every rational λ ϵ [2, 3]. 2015 Article Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром / В.І. Рабанович // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 701–716. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165613 517.98 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Рабанович, В.І. Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром Український математичний журнал |
| description |
Рассмотрена задача о классификации неэквивалентных представлений скалярного оператора λI в виде суммы k самосопряженных операторов с не более чем n₁,...,nk точками в спектрах. Доказано, что такая задача является *-дикой при некотором множестве спектров, если (n₁,...,nk) совпадает с одним из следующих наборов: (2,...,2) при k ≥ 5,(2,2,2,3),(2,11,11),(5,5,5), (4,6,6). Показано, что для k ≥ 5 и спектров операторов, состоящих из точек 0 и 1, такие классификационные задачи являются *-дикими при всех рациональных значениях λ ϵ [2,3]. |
| format |
Article |
| author |
Рабанович, В.І. |
| author_facet |
Рабанович, В.І. |
| author_sort |
Рабанович, В.І. |
| title |
Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром |
| title_short |
Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром |
| title_full |
Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром |
| title_fullStr |
Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром |
| title_full_unstemmed |
Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром |
| title_sort |
про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165613 |
| citation_txt |
Про розклади скалярного оператора в суму самоспряжених операторів зі скінченним спектром / В.І. Рабанович // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 701–716. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT rabanovičví prorozkladiskalârnogooperatoravsumusamosprâženihoperatorívzískínčennimspektrom |
| first_indexed |
2025-07-14T19:12:34Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:12:34Z |
| _version_ |
1837650784183910400 |
| fulltext |
УДК 517.98
В. I. Рабанович (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА
В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ ЗI СКIНЧЕННИМ СПЕКТРОМ
We consider a problem of classification of nonequivalent representations of a scalar operator λI in the form of a sum of k
self-adjoint operators with at most n1, . . . , nk points in their spectra, respectively. It is shown that this problem is ∗-wild
for some sets of spectra if (n1, . . . , nk) coincides with one of the following k-tuples: (2, . . . , 2) for k ≥ 5, (2, 2, 2, 3),
(2, 11, 11), (5, 5, 5), or (4, 6, 6). It is demonstrated that, for the operators with points 0 and 1 in the spectra and k ≥ 5,
the classification problems are ∗-wild for every rational λ ∈ [2, 3].
Рассмотрена задача о классификации неэквивалентных представлений скалярного оператора λI в виде суммы k
самосопряженных операторов с не более чем n1, . . . , nk точками в спектрах. Доказано, что такая задача является
∗-дикой при некотором множестве спектров, если (n1, . . . , nk) совпадает с одним из следующих наборов: (2, . . . , 2)
при k ≥ 5, (2, 2, 2, 3), (2, 11, 11), (5, 5, 5), (4, 6, 6). Показано, что для k ≥ 5 и спектров операторов, состоящих из
точек 0 и 1, такие классификационные задачи являются ∗-дикими при всех рациональных значениях λ ∈ [2, 3].
1. Вступ. Розкладу обмеженого оператора у гiльбертовому просторi в суму або iншу лiнiйну
комбiнацiю операторiв спецiального типу присвячено багато робiт (див., наприклад, [1 – 3]). В
[2] показано, що будь-який обмежений оператор є лiнiйною комбiнацiєю 14 операторiв, унiтарно
еквiвалентних довiльному фiксованому оператору T (T не є скалярним плюс компактним).
У цiй роботi ми розглядаємо зображення оператора A у виглядi суми самоспряжених опе-
раторiв Ai зi скiнченними спектрами σ(Ai) ∈Mi, i = 1, . . . , n. При великому значеннi n задачу
про пошук такого зображення можна звести до задачi про зображення скалярного оператора λI
у виглядi суми операторiв при рiзних λ. Справдi, як було доведено в [4], кожен самоспряжений
оператор A є лiнiйною комбiнацiєю 5-ти ортопроекторiв, тобто
A = λ1P1 + . . .+ λ5P5. (1)
Отже, для знаходження розкладу A в суму Ai достатньо знайти розклад оператора λsPs в
суму
∑
j∈Ns
Aj для кожного s = 1, . . . , 5 з умовами Ns ∩ Nr = ∅, s 6= r. Оператор λsPs
на пiдпросторi Hs = ImPs дiє як скалярний. Тому якщо Bj самоспряжений, σ(Bj) ∈ Mj ,
j = 1, . . . , n, та скалярний оператор λsIHs =
∑
j∈Ns
Bj для кожного j = 1, . . . , 5, то оператор
A є сумою операторiв зi спектрами, якi є пiдмножинами множин Mi ∪ {0}.
Таким чином, далi будемо розглядати тiльки розклади скалярного оператора
λI = λ1A1 + λ1A2 + . . .+ λkAk. (2)
Знаходження такого розкладу еквiвалентне знаходженню ∗-зображення алгебри
PM1,...,Mk,λ = C 〈a1, . . . , ak | ai = a∗i , Ri(ai) = 0, a1 + . . .+ ak = λe〉 ,
де e — одиниця в алгебрi i Ri(x) =
∏
λj∈Mi
(x− λj). Задача класифiкацiї розкладiв зводиться
до знаходження всiх незвiдних унитарно нееквiвалентних ∗-зображень алгебр PM1,...,Mk,λ. У
зв’язку з цим можна видiлити два основних питання щодо дослiдження задач розкладу:
1. Чи iснують ∗-зображення алгебри PM1,...,Mk,λ при фiксованих M1, M2, . . . ,Mk i при
рiзних λ ∈ R?
c© В. I. РАБАНОВИЧ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5 701
702 В. I. РАБАНОВИЧ
2. При якiй кiлькостi точок вM1, M2, . . . ,Mk хоча б для одного набору точок у вiдповiдних
спектрах з’являється дуже багато розв’язкiв рiвняння (2) i вiдповiдна алгебра PM1,...,Mk,λ є ∗-
дикою? Чи можна знайти мiнiмальнi в певному сенсi значення |M1|, |M2|, . . . , |Mk|, якщо
алгебри PM1,...,Mk,λ є ∗-дикими?
Для якiсного опису результатiв зручно використовувати графiчне зображення параметрiв
задачi [5 – 8]. Наприклад, якщо всi Mi мiстять 0, то параметри рiвняння (2) можна записати у
виглядi зiрчастого графа з k гiлками
s@@@
@
@@
�
�
�
�
��
s
s
s s s s ss s
s
ss s
ss
s s
p p p p p p
pppp p p p p p
s
ss
s s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
qqqs
λ
(nk)
kλ
(nk−1)
kλ
(2)
kλ
(1)
kλλ
(1)
1λ
(2)
1λ
(n1−1)
1λ
(n1)
1
λ
(n2)
2
λ
(n2−1)
2
λ
(2)
2
λ
(1)
2
λ
(1)
3
λ
(2)
3
λ
(n3−1)
3
λ
(n3)
3
λ
(1)
4
λ
(2)
4
λ
(n4−1)
4
λ
(n4)
4
де λ(j)i — ненульовi елементи множини Mi. Вiдповiдь на перше питання залежить вiд кон-
кретних значень λ(j)i i знайдена тiльки в часткових випадках (див. ґрунтовне обговорення у
[8]). Вiдповiдь на друге питання зводиться до розгляду графiв з чотирма або трьома гiлками,
оскiльки графи з 5-ма або бiльшою кiлькiстю гiлок вже задають ∗-дикi алгебри PM1,...,Mk,λ при
деяких M1, M2, . . . ,Mk. Так, для графа
s@@ �
�s ss ss
11 2
1 1 1
класифiкацiя всiх нееквiвалентних розкладiв оператора 2I в суму 5-ти ортопроекторiв є ∗-
дикою задачею [9], тобто задачею, яка мiстить класифiкацiю незвiдних пар самоспряжених
операторiв без спiввiдношень. Справдi, одиничний оператор I можна подати у виглядi суми двох
ортопроекторiв I = P1 +P2 i суми трьох ортопроекторiв I = P3 +P4 +P5. При цьому P1 ⊥ P2,
P3 ⊥ P4 ⊥ P5. Зауважимо, що нiяких обмежень на вибiр P1 i P3 немає, а P4 повинен бути
тiльки ортогональним до P3, тобто така задача про класифiкацiю всiх розкладiв еквiвалентна в
певному сенсi знаходженню всiх незвiдних нееквiвалентних ∗-зображень алгебри
P3,⊥ = C
〈
p1, p2, p3 | p2i = p∗i = pi, p2 ⊥ p3
〉
.
В роботi [9] показано, що ця алгебра є ∗-дикою, як i алгебра P3, породжена 3-ма ортопроекто-
рами без спiввiдношень.
У першому пунктi ми доведемо, що для будь-якого рацiонального λ ∈ [2, 3] алгебра
P5,λ = C
〈
p1, . . . , p5 | p2i = p∗i = pi, p1 + . . .+ p5 = λe
〉
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 703
є ∗-дикою, а якщо k > 4, то алгебра Pk+1,λ є ∗-дикою для всiх рацiональних λ з вiдрiз-
ка [(k −
√
k2 − 4k)/2, (k +
√
k2 − 4k)/2], за винятком скiнченного числа значень λ (див. для
порiвняння [10]).
У другому пунктi ми розглянемо алгебру
P4,λ,α = C
〈
p1, . . . , p5 | p2i = p∗i = pi, p4 ⊥ p5, p1 + . . .+ p4 + αp5 = λe
〉
з вiдповiдним графом G1
s s s s
s
s
1 λ 1 α
1
1
i покажемо, що для α = 1+2(λ−2)/3 i деяких рацiональних λ ∈ [2, 3] алгебра P4,λ,α є ∗-дикою.
Тобто задача про класифiкацiю розкладiв скалярного оператора в суму 4-х самоспряжених з 2-
i 3-ма точками в спектрах може бути ∗-дикою. Зауважимо, що задачi з графом
s s s
s
s
a1 λ a3
a2
a4
розглядалися в лiтературi (див., наприклад, [11 – 13]) i незвiдних розв’язкiв iснує або скiнченна
кiлькiсть, або тiльки одно- i двовимiрнi.
У третьому пунктi ми зупинимося на сумах 3-х самоспряжених операторiв. Як було до-
ведено в [5, 14], для розширених графiв Динкiна при будь-якiй розстановцi додатних чисел
на ребрах вiдповiднi ∗-алгебри мають лише скiнченновимiрнi зображення. С. А Кругляком i
Ю. С. Самойленком було сформульовано гiпотезу, що якщо кiлькiсть точок у множинах M1,
M2 i M3 така, що вiдповiдний граф мiстить як власний пiдграф розширену дiаграму Динкiна
Ẽ6, Ẽ7 або Ẽ8, то iснує така розстановка чисел на графi, що алгебра PM1,M2,M3,λ є ∗-дикою.
Щоб довести цю гiпотезу, достатньо довести ∗-дикiсть алгебр PM1,M2,M3,1 для графiв
s s s s s s s ss
1) s s s s s s s s ss
2)
s s s s s sss
3)
i деякої трiйки множин M1,M2,M3, якi складаються з: 1) (2, 4, 5) точок вiдповiдно; 2) (2, 3, 7)
точок ; 3) (3, 3, 4) точок.
Ми доведемо (теореми 4 – 6), що для деяких Mi алгебра PM1,M2,M3,1 iз графом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
704 В. I. РАБАНОВИЧ
s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
n1 − 1
s. . . s s︸ ︷︷ ︸
n3 − 1
s...s
s}
n2 − 1
є ∗-дикою, якщо (n1, n2, n3) збiгається з однiєю з трiйок (2, 11, 11), (4, 6, 6), (5, 5, 5). Таким
чином, ми довели згадану гiпотезу для графiв з трьома довгими гiлками, але залишили вiдкри-
тим питання про її справедливiсть для серiї графiв, наприклад для графiв з довжиною гiлок
(2, 3, k1), k1 = 7, 8, 9, . . . .
Нагадаємо, що матричнi алгебри над ∗-дикими алгебрами також є ∗-дикими. Тому досить
побудувати голоморфне вiдображення дослiджуваної алгебри A на матричну ∗-дику алгебру
Mn(U), тобто щоб голоморфний образ A збiгався з Mn(U). Такi вiдображення наведено в
кожному з наступних пунктiв при доведеннi теорем.
Далi в роботi будуть розглядатися ∗-зображення алгебр або спiввiдношень обмеженими
операторами гiльбертового комплексного простору (скiнченновимiрного або сепарабельного).
В матричнiй алгебрi Mn(C) матричнi одиницi позначаються як Eij , одинична матриця позна-
чається через In або E, а нульова (m × m)-матриця — через 0m. Також ми використовуємо
позначення diag (a1, . . . , an) для дiагональної матрицi з елементами a1, a2, . . . , an на дiаго-
налi i Mn(W1, . . . ,Ws) для матричної ∗-алгебри над ∗-алгеброю, породженою елементами
W1, . . . ,Wn. Блок-матрицю Eij ⊗ I, тобто матрицю з одиничним блоком на (i, j)-му мiсцi,
будемо записувати як Ei,j .
2. Суми п’яти або бiльше операторiв. Алгебра P5,2 є ∗-дикою. Крiм того, в [15] побудова-
но вiдображення P5,λ в матричну алгебру M3(Q2) над ∗-алгеброю Кунца Q2 для λ ∈ [7/4, 7/3].
Таким чином, P5,λ має не менше рiзних зображень, нiж Q2. Аналогiчний результат було отри-
мано для P6,λ з λ ∈ [2, 4] (див. [15, 16]). Отже, розкладiв скалярного оператора в суму 5-, 6-ти
або бiльшого числа ортопроекторiв є досить багато. Наступна теорема є посиленням згаданих
результатiв.
Теорема 1. Нехай λ ∈ [2, 3] ∩Q. Тодi алгебра P5,λ є ∗-дикою.
Доведення. Оскiльки Pi i I − Pi є одночасно ортопроекторами, то досить довести теорему
лише для λ ∈ [2, 5/2]. Нехай xi, yi, ni — послiдовностi, заданi спiввiдношеннями
y1 = λ− 2, xi = yi + λ− ni, yi+1 = xi + λ− 2, i = 1, 2, 3, . . . ,
ni =
2, якщо yi < 1,
3, якщо yi > 1,
0, якщо yi = 1.
Iснує цiле число i∗ таке, що yi∗+1 = 1 або xi∗ = 1. Справдi, використовуючи означення, маємо
yi∗+1 = (λ− 2) + i∗(2λ− 4)−
i∗∑
1
(ni − 2) = (2i∗ + 1)(λ− 2)−
i∗∑
1
(ni − 2), (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 705
xi∗ = 2i∗(λ− 2)−
i∗∑
1
(ni − 2). (4)
Звiдси при λ = m/n, покладаючи i∗ = [n/2], отримуємо, що одна з величин (3) або (4) є
цiлою ((3) при непарному n i (4) при парному n). Зауважимо, що 0 < xi < 2, 0 < yi < 2 при
0 < 2λ− 4 < 1, тобто при λ ∈ [2, 5/2). Тому отримуємо yi∗+1 = 1 або xi∗ = 1. Нехай ψ±(x) —
функцiї, заданi формулами
ψ+(x) =
(
x/2
√
x/2− x2/4√
x/2− x2/4 1− x/2
)
,
ψ−(x) =
(
x/2 −
√
x/2− x2/4
−
√
x/2− x2/4 1− x/2
)
.
При x ∈ [0, 2] матрицi ψ±(x) є ортопроекторами. Нехай H — гiльбертiв простiр i Q1, Q2, Q3 —
ортопроектори на ньому. Побудуємо зображення алгебриP5,λ на просторi H̃ = H ⊕H ⊕ . . .⊕H︸ ︷︷ ︸
n разiв
таким чином: (при непарному n)
π(p1) = diag (I, ψ+(x1)⊗ I, . . . , ψ+(xi∗)),
π(p2) = diag (Q1, ψ−(x1)⊗Q2, . . . , ψ−(xi∗)),
π(p3) = diag (ψ+(y1)⊗ I, . . . , ψ+(yi∗)⊗ I,Q3),
π(p4) = diag (ψ−(y1)⊗ I, . . . , ψ−(yi∗)⊗ I, I −Q3),
π(p5) = diag (I −Q1, ψ−(x1)⊗ (I −Q2), (n2 − 2)I, 0,
(n3 − 2)I, 0, . . . , (ni∗ − 2)I, 0);
(при парному n)
π(p1) = diag (I, ψ+(x1)⊗ I, . . . , ψ+(xi∗−1)⊗ I,Q3),
π(p2) = diag (Q1, ψ−(x1)⊗Q2, . . . , ψ−(xi∗−1)⊗ I, I −Q3),
π(p3) = diag (ψ+(y1)⊗ I, . . . , ψ+(yi∗)),
π(p4) = diag (ψ−(y1)⊗ I, . . . , ψ−(yi∗)),
π(p5) = diag (I −Q1, ψ−(x1)⊗ (I −Q2), (n2 − 2)I, 0,
(n3 − 2)I, 0, . . . , (ni∗ − 2)I).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
706 В. I. РАБАНОВИЧ
За побудовою
π(p1 + p2 + p5) = diag (2, x1I, (2− x1)I, (x2 + n2 − 2)I, (2− x2)I, . . .),
π(p3 + p4) = diag (y1I, (2− y1)I, y2I, (2− y2)I, . . .),
тобто з початкових спiввiдношень маємо π(p1 + . . .+ p5) = λĨ.
Також якщо m i n є взаємно простими, то xj − xi /∈ Z, i 6= j. Справдi, нехай xj − xi =
= 2(j − i)(λ − 2) −
∑j
i+1
(nl − 2) ∈ Z, тодi 2(j − i)(λ − 2) ∈ Z, що не виконується за
припущенням. Звiдси робимо висновок, що на дiагоналi у оператора π(p1 + p2 + p5) стоять
скалярнi оператори λsI з попарно рiзними λs. Отже, iснує такий полiном Ri, що Rs(λi) = 0
для s 6= i i Rs(λs) = 1. Тому Rs(π(p1 + p2 + p5)) = Ess ⊗ I ∈ π(P5,λ), s = 1, . . . , n.
Оскiльки Ei,i+1 = Ei i+1 ⊗ I кратне Ei,iπ(p1 + p3)Ei+1,i+1, то Ei,j ∈ π(P5,λ). Як наслiдок
отримуємо π(P5,λ) = Mn(Q1, Q2, Q3), i внаслiдок довiльностi вибору Qi це приводить до
∗-дикостi алгебри P5,λ.
Залишилося показати, що алгебра P5,5/2 є ∗-дикою. Для цього розглянемо в гiльбертовому
просторiH три ортопроектори L1, L2, L3 такi, що L1 ⊥ L2. Зображення π алгебри P5,5/2 у про-
сторi H ⊕H задаємо на твiрних таким чином: π(p1) = diag (L1, L3), π(p2) = diag (L2, I −L3),
π(p3) = diag (I−L1−L2, I), π(p4) = ψ+(3/2)⊗I i π(p5) = ψ−(3/2)⊗I. Тодi π(p1+p2+p3) =
= diag (I, 2I) i π(p4 + p5) = diag (3/2I, I/2). Легко показати, що π(P5,5/2) = Mn(R1, R2, R3),
тобто π(P5,5/2) є ∗-дикою алгеброю.
Наслiдок 1. Алгебра Pk,λ є ∗-дикою для k ≥ 5 i λ ∈ [2, k − 2] ∩Q.
Справдi, якщо k > 5 i λ > 3, то, поклавши Pk−s+1 = Pk−s+2 = . . . = Pk = I, будемо
мати λ − s ∈ [2, 3] для деякого s ≤ k − 5 i, використавши теорему 1, отримаємо необхiдне
твердження.
Можна посилити наслiдок 1. Нагадаємо, що алгебра Pk,λ має незвiднi ∗-зображення тодi i
тiльки тодi, коли λ належить множинi Σk, яка складається з точок вiдрiзка[
(k −
√
k2 − 4k)/2, (k +
√
k2 − 4k)/2
]
i послiдовностей точок αi, βi, k−αi, k−βi, де αi i βi — послiдовностi, заданi спiввiдношеннями
α0 = 0, β0 = 1, αi+1 =
k − αi
k − 1− αi
i βi+1 =
k − βi
k − 1− βi
(див. [15]). Якщо λ подати у виглядi
нескоротного дробу
m
n
, то iснує незвiдне ∗-зображення Pk,λ розмiрностi n. Має мiсце наступна
теорема.
Теорема 2. Нехай k ≥ 4 i λ ∈ Σk ∩Q. Якщо iснує скiнченновимiрне незвiдне ∗-зображення
π алгебри Pk,λ з умовою trπ(pj) ≥ 3 для деякого j, то алгебра Pk+1,λ є ∗-дикою.
Доведення. Розглянемо незвiдне зображення π алгебри Pk,λ в Cn. В деякому базисi π(p1) —
дiагональна матриця. Без обмежень загальностi можна вважати, що
π(p1) = diag (1, . . . , 1, 0, . . . , 0) i tr (π(p1)) = s ≥ 3.
Оскiльки π — незвiдне ∗-зображення, то iснують полiномиRij такi, що π(Rij(p1, . . . , pk)) = Eij .
Нехай тепер H — гiльбертiв простiр i P1, . . . , Ps — ортопроектори в H. Зображення π
можна природним чином продовжити до зображення π̃ на H̃ = H⊕H⊕ . . .⊕H, якщо вважати
елементи матриць π(pj) скалярними операторами, тобто π(pj)⊗ I, де I — одиничний оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 707
в H. Використовуючи це мiркування, ми можемо задати зображення алгебри Pk+1,λ таким
чином:
π̃(p1) = diag (P1, . . . , Ps, 0 . . . , 0),
π̃(pj) = π(pj)⊗ I, i = 2, . . . , k,
π̃(pk+1) = diag (I − P1, . . . , I − Ps, 0 . . . , 0).
Зауважимо, що π̃(p1 + pk+1) = π(p1)⊗ I, i тому
Eij ⊗ I = π̃(Rij(p1 + pk+1, p2, . . . , pk)).
Таким чином, π̃(Pk+1,λ) є матричною алгеброю над C 〈P1, . . . , Ps〉 i внаслiдок довiльностi
вибору Pj така алгебра є ∗-дикою при s ≥ 3. Отже, алгебра Pk+1,λ також є ∗-дикою.
Наслiдок 2. Нехай λ ∈ Σk. Лише для скiнченної кiлькостi рацiональних значень λ алгебра
Pk+1,λ не є ∗-дикою.
Справдi, нехай
m
n
— нескоротний дрiб i
m
n
∈ Σk. Розглянемо незвiдне зображення π алгебри
Pk,λ розмiрностi n. Якщо n ≥ 2k + 1, то ранг одного з ортопроекторiв π(pi) бiльший за 2.
Таким чином, ∗-алгебри PM1,...,Mk,λ з k ≥ 5 можуть бути ∗-дикими, навiть коли Mi є
двоточковими. Мiркування з доведення теореми 2 вказують на бiльш загальне твердження,
а саме, утворення нової ∗-алгебри шляхом додавання одного ортопроектора без додаткових
спiввiдношень приводить до ∗-диких алгебр (див. аналогiчне твердження 6 в [17]).
Твердження 1. Нехай A — довiльна ∗-алгебра, яка породжена елементами a1, a2, . . . , ak.
Припустимо, що iснує незвiдне n-вимiрне ∗-зображення π алгебри A, n ≥ 2. Тодi ∗-алгебра
B = C < a1 , . . . , ak, p | p2 = p∗ = p > є ∗-дикою.
Доведення. Нехай H — гiльбертiв простiр i A та U — самоспряженi оператори на ньому,
U2 = IH , σ(A) = {1/4, 1/3, 1/2}. Оператор
P = diag
([
A
√
A−A2U
U∗
√
A−A2 IH − U∗AU
]
, 0, . . . , 0
)
є ортопроектором у прямiй сумi H̃ = Hn. Задамо ∗-зображення π̃ алгебри B вHn за формулами
π̃(ai) = π(ai)⊗ IH , i = 1, . . . , k, π̃(p) = P.
Оскiльки π є незвiдним, то iснують полiноми Rij такi, що Rij(π(a1), . . . , π(ak)) = Eij ∈
∈ Mn(C), i, j = 1, . . . , n. Отже, π̃(B) = Mn(A,
√
A−A2U,U∗
√
A−A2, U∗AU). Спектр A є
дискретним, тому iснує полiном R такий, що R(A) = (
√
A−A2)−1. Звiдси π̃(B) = Mn(A,U).
З iншого боку, A однозначно задає i однозначно задається ортопроекторами P1, P2 на власнi
пiдпростори, якi вiдповiдають власним значенням 1/4, 1/3, а U задається ортопроектором
P3 = (U + IH)/2. Як наслiдок маємо π̃(B) = Mn(P1, P2, P3) з умовою P1 ⊥ P2. Внаслiдок
довiльностi вибору A i U отримуємо ∗-дикiсть алгебри B.
Твердження доведено.
3. Суми чотирьох операторiв. Задача про зображення скалярного оператора лiнiйною ком-
бiнацiєю чотирьох ортопроекторiв розглядалася в багатьох роботах [6, 7, 11 – 13]. Зокрема, iснує
тiльки скiнченна кiлькiсть нееквiвалентних незвiдних розкладiв у матрицях розмiру бiльше нiж
2, а такi розклади у (2 × 2)-матрицях можна параметризувати двома дiйсними параметрами.
Для алгебр PM1,...,M4,λ, що вiдповiдають графу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
708 В. I. РАБАНОВИЧ
s s s s
s
s
вже iснує набiр M1, . . . ,M4, для яких ця алгебра має зображення для будь-яких λ з певного вiд-
рiзка дiйсної осi [18, 19]. Теорема 3 стверджує, що насправдi алгебра PM1,...,M4,λ є ∗-дикою при
деяких Mi. Перш нiж сформулювати теорему, покажемо як побудувати незвiдне ∗-зображення
алгебри P4,λ,α з прямої суми незвiдних зображень P4,λ,α, використовуючи певне сплетення
ортопроекторiв, яке не впливає на їхню суму. Нехай λ = 2 + 1/13 i α = 1 + 2/39. Розглянемо
послiдовностi x0 = 1, xi = 1 + 2i/13, yi = xi + 1/13, i = 1, . . . , 6. За цими послiдовностями
можна побудувати зображення P4,27/13,41/39 в H1 = C13 таким чином:
π1(p5) = 013,
π1(p1) = 1⊕
6⊕
1
ψ+(xi), π1(p2) = 0⊕
6⊕
1
ψ−(xi),
π1(p3) =
6⊕
1
ψ+(yi)⊕ 1, π1(p4) =
6⊕
1
ψ−(yi)⊕ 1.
(5)
З початкових умов безпосередньо випливає, що π1 є ∗-зображенням. Щоб побудувати iнше
зображення π2 алгебри P4,27/13,41/39, введемо функцiї φ+, φ−. Нехай x ∈ [0, 1] ∪ [1 + 2/39, 2 +
+ 2/39] i h1, h2 визначаються за формулами
h1 =
x(41/39− x)
1 + 1/39− x
, h2 =
2x− h1
1 + 2/39
.
З безпосереднiх обчислень випливає
ψ+(h1) + (1 + 2/39)ψ−(h2) = diag (x, 2 + 2/39− x).
За означенням покладемо φ+(x) = ψ+(h1) i φ−(x) = ψ−(h2).
Тепер задамо послiдовностi z0 = 1, zi = 1 + 2i/13− 2i/39, ti = zi−1 + 1/13, i = 1, . . . , 9, i
матрицi зображення в H2 = C19:
π2(p4) = diag (018, 1),
π2(p1) = 1⊕
9⊕
1
ψ+(zi), π2(p2) = 0⊕
9⊕
1
ψ−(zi), (6)
π2(p3) =
9⊕
1
φ+(ti)⊕ 1, π2(p5) =
9⊕
1
φ−(ti)⊕ 0.
За побудовою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 709
π2(p1 + p2) = diag (z0, z1, 2− z1, . . . , z9, 2− z9),
π2(p3 + 41p5/39) = diag (t1, 2 + 2/39− t1, . . . , t9, 2 + 2/39− t9, 1).
Звiдси та з (5) маємо π2(p1 + . . .+ p4 + 41p5/39) = (2 + 1/13)I19.
Зображення π2 є незвiдним. Справдi, послiдовнiсть t1, . . . , t9 монотонно зростає. Iснують
полiноми Rs(x), кратнi x(x− 1), такi, що
R2i(2 + 2/39− ti) = 1, R2i−1(ti) = 1, i = 1, . . . , 9,
R2i(2 + 2/39− tj) = 0, R2i−1(tj) = R2i(tj) = 0,
R2i−1(2 + 2/39− tj) = 0, i 6= j.
Тому Ri(π2(p3 + p5)) = Eii, i = 1, . . . , 18. Матриця π2(p1 + p3) є тридiагональною з додатними
числами на бiчнiй дiагоналi. Отже, Eiiπ2(p1 + p3)Ei+1 i+1 ненульовий i кратний Ei i+1,
E18 18(π2(p1)− π2(p1)E18 18) =
√
z9/2− z29/4E18 19.
Звiдси Eij ∈ π2(P4,27/13,41/39) для i, j = 1, . . . , 25, i, отже, π2 є незвiдним.
Аналогiчно доводиться незвiднiсть π1. Для побудови незвiдного зображення з прямої суми
π1 ⊕ π1 ⊕ π2 ми використаємо унiтарнi оператори повороту, якi дiють тiльки на парi базисних
векторiв. Нехай Uij — унiтарна матриця, дiя якої залишає всi, крiм двох, базиснi вектори ~ek на
мiсцi, а на пiдпросторi 〈~ei, ~ej〉 дiє як
(
3/5 4/5
4/5 −3/5
)
. Тодi ортогональне перетворення блочної
дiагональної (4× 4)-матрицi A = diag (A1, A1) буде мати такий вигляд:
U∗24
a11 a12 0 0
a21 a22 0 0
0 0 a11 a12
0 0 a21 a22
U24 =
a11
3
5
a12 0
4
5
a12
3
5
a21 a22
4
5
a21 0
0
4
5
a12 a11 −3
5
a12
4
5
a21 0 −3
5
a21 a22
. (7)
Зауважимо, що при a12 6= 0, a21 6= 0 на мiсцях (1, 4) i (2, 3) матрицi U∗24AU24 стоять ненульовi
елементи, а на мiсцях (1, 3) i (2, 4) — нулi.
Задамо зображення π алгебри (P4,27/13,41/39) на H1 ⊕H1 ⊕H2 за формулами
π(p1) = U∗22 39U
∗
5 33(π1(p1)⊕ π1(p1)⊕ π2(p1))U5 33U22 39,
π(p2) = U∗22 39U
∗
5 33(π1(p2)⊕ π1(p2)⊕ π2(p2))U5 33U22 39,
π(p3) = π1(p3)⊕ π1(p3)⊕ π2(p3),
π(p4) = π1(p4)⊕ π1(p4)⊕ π2(p4),
π(p5) = π1(p5)⊕ π1(p5)⊕ π2(p5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
710 В. I. РАБАНОВИЧ
Твердження 2. Зображення π є незвiдним.
Доведення. Позначимо R = π(P4,27/13,41/39). Зауважимо, що π1(p5) = 013, тому
π(p3 + p5) = π1(p3)⊕ π1(p3)⊕ π2(p3 + p5).
Звiдси за означенням Ri маємо Ri(π(p3+p5)) = Ei+26 i+26 ∈ R, i = 1, . . . , 18. Оператори U5 33
i U22 39 не змiнюють 44- i 45-й стовпчики матрицi π(p1). Тому, як i в попередньому пунктi,
E44 44(π(p1)−π(p1)E44 44) кратна E44 45. На мiсцях (i, i+1), i = 27, . . . , 44, матрицi π(p1+p3)
стоять ненульовi елементи. Отже, Eij ∈ R для кожного i, j > 26. Основна iдея доведення
полягає в тому, щоб показати, що всi матричнi одиницi лежать в R i тому R = M45(C).
Нехай
B = (bij)
45
1 = diag (I26, 019)π(p1)diag (I26, 019).
Матриця B ∈ R, оскiльки
diag (026, I19) ∈ R та E − diag (026, I19) = diag (I26, 019) ∈ R.
Iз зауваження, наведеного пiсля формули (7), випливає, що в 33-му стовпчику матрицi B
стоїть лише один ненульовий елемент, тобто BE33 33 = b4 33E4 33. Отже, E4 33 ∈ R i тому
E4 33(E4 33)
∗ = E4 4 ∈ R. Аналогiчно для 32-, 38- i 39-го стовпчикiв маємо E5 32, E21 39 i
E22 38 ∈ R i, як наслiдок, E5 5, E21 21 i E22 22 ∈ R.
Тепер розглянемо матрицю
B̂ = B − b4 33E4 33 − b33 4E33 4 − b5 32E5 32 − b32 5E32 5−
−b21 39E21 39 − b39 21E39 21 − b22 38E22 38 − b38 22E38 22.
Вона, як i матриця π(p3), має блочно-дiагональний вигляд iз блоками розмiру 1 × 1 i 2 × 2.
Справджуються рiвностi
(π(p3)− E4 4π(p3))E4 4 =
√
y2/2− y22/4E3 4,
E5 5(π(p3)− π(p3)E5 5) =
√
y3/2− y23/4E5 6,
звiдки E3 4, E5 6 ∈ R, а тому E3 3, E6 6 ∈ R. Крiм того,
(B̂ − E3 3B̂)E3 3 = b2 3E2 3, E6 6(B̂ − B̂E6 6) = b6 7E6 7,
а матрицяE4 4B̂E5 5 = b4 5E4 5. Отже, E2 2, E7 7 ∈ R. Використовуючи таку процедуру i далi,
отримуємо матричнi одиницi Eii i Ej j+1, i = 1, . . . , 13, Ej j+1, j = 1, . . . , 12 .
Якщо ж почати з матричних одиниць E21 21 i E22 22, то, застосовуючи їх до матриць π(p3)
i B̂, отримуємо Eii, i = 14, . . . , 26, i Ej j+1 ∈ R, j = 14, . . . , 25, а отже, i для всiх j ≤ 44, крiм
j = 13 та j = 26. Цi матричнi одиницi отримуються з рiвностей
E26 27 = E26 22E22 38E38 27, E26 22 = E26 25E25 24E24 23, E13 14 = E13 5E5 32E32 14,
E13 5 =
13∏
6
Ei i−1, E32 14 =
32∏
15
Ei i−1.
Таким чином, алгебра R мiстить всi матричнi одиницi i збiгається з M45(C).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 711
Зауваження 1. При доведеннi твердження 2 ми отримували матричнi одиницi Ei i+1, ви-
користовуючи фактично лише елементи матрицi π(p3 + p5) та недiагональнi елементи матриць
π(p1) i π(p3).
Теорема 3. Алгебра P4,27/13,41/39 є ∗-дикою.
Доведення. Нехай H — гiльбертiв простiр i P1, P2, P3 — ортопроектори на ньому. В прямiй
сумi Ĥ =
⊕45
1 H можна задати ортопроектор P таким чином:
P = P1 ⊕ 0⊕ . . .⊕ 0︸ ︷︷ ︸
12 разiв
⊕P2 ⊕ 0⊕ . . .⊕ 0︸ ︷︷ ︸
12 разiв
⊕P3 0⊕ . . .⊕ 0︸ ︷︷ ︸
18 разiв
.
Нехай Î — одиничний оператор в Ĥ. Тодi, визначаючи зображення π̂ алгебри P4,27/13,41/39 на
твiрних за формулами
π̂(p1) = (Î − P )(π(p1)⊗ I), π̂(p2) = P + (π(p2)⊗ I),
π̂(p3) = π(p3)⊗ I, π̂(p4) = π(p4)⊗ I, π̂(p5) = π(p5)⊗ I,
отримуємо A = π̂(P4,27/13,41/39) = M45(P1, P2, P3). Справдi, з означення операторiв π̂(p1),
π̂(p3), π̂(p5) безпосередньо випливає, що π̂(p3) i π̂(p5) — блоки матрицi зi скалярними операто-
рами в кожному блоцi, а в π̂(p1) на недiагональних мiсцях також стоять скалярнi оператори. То-
му iз зауваження 1 випливає, що iснують полiноми Rij такi, що Rij(π̂(p1), π̂(p3), π̂(p5)) = Ei,j .
Отже, A = M45(P1, P2, P3) i внаслiдок довiльностi вибору P1, P2, P3 алгебра P4,27/13,41/39 є
∗-дикою.
Зауваження 2. Можна побудувати аналогiчнi конструкцiї i для алгебр P4,2+ 1
2k+1
,1+ 2
3(2k+1)
,
k > 6, проте матрицi будуть великих розмiрiв i ми їх не наводимо.
Зауваження 3. Як випливає з роботи [20], для алгебр, якi вiдповiдають графу
r rr rr rr
iснують розстановки ваг, при яких алгебра PM1,...,M4,λ є ∗-дикою. Наприклад, для ортопроекто-
рiв Pi, Qj , Pi ⊥ Qi рiвнiсть
2P1 +Q1 + 2P2 +Q2 + P3 + P4 = 3I
виконується, якщо покласти P1 = L1, P2 = L2, P3 = I−P4 = L3, Q1 = Q2 = I− (L1 +L2), де
L1, L2, L3 — довiльнi ортопроектори з умовою L1 ⊥ L2. Таким чином, приM1 = M2 = {0, 1, 2}
i M3 = M4 = {0, 1} алгебра PM1,...,M4,3 є ∗-дикою.
4. Суми трьох операторiв. Задача про знаходження великої кiлькостi розкладiв фiксо-
ваного скалярного оператора у суму 3-х самоспряжених операторiв зi скiнченним спектром
залишалась певний час нерозв’язаною. Але вже в [21] було показано, що iснує незлiченна кiль-
кiсть нееквiвалентних розв’язкiв такої задачi при певних Mi i з ростом розмiрностi простору
зображень кiлькiсть дiйсних параметрiв, якi характеризують нееквiвалентнi розклади, збiльшу-
валась. У цьому пунктi ми покажемо, що при деяких M1, M2, M3 справджується бiльш сильне
твердження, а саме, алгебри PM1,...,M3,1 є ∗-дикими.
Нехай R — якобiєва матриця
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
712 В. I. РАБАНОВИЧ
S =
0 1 0 0 0 0
1 0 2 0 0 0
0 2 2 1 0 0
0 0 1 2 3 0
0 0 0 3 0 1
0 0 0 0 1 0
,
спектр якої складається з шести рiзних чисел.
Теорема 4. Нехай M1 = M2 = σ(S), M3 = {−4,−2, 0, 2}. Тодi алгебра PM1,...,M3,1 є
∗-дикою.
Доведення. Для унiтарних операторiв u1, u2, u3 в гiльбертовому просторi таких, що
σ(ui) =
{
6
√
1,
6
√
1
}
,
6
√
1 — первiсний, (8)
визначимо оператори
U = diag (I, u1, u1,−u1,−u1,−u1u3),
V = diag (I, I − u1, u1 − I, (u1 − I)u2, (I − u1)u2, (I − u1)u2(I − u3)),
A1 = U∗SU, A2 = V ∗SV, A3 = E −A1 −A2.
З властивостi (8) маємо (I − ui)(I − u∗i ) = I, тобто V є унiтарним. Звiдси випливає, що A1 i
A2 є самоспряженими та σ(A1) = σ(A2) = σ(S). Крiм того, за побудовою
A3 = diag
([
I −I
−I I
]
,
[
−3I I − u2
I − u∗2 −3I
]
,
[
I −I
−I I
])
i її спектр складається з точок 0 i 2 та спектра матрицi
Â3 =
(
−3I I − u2
I − u∗2 −3I
)
.
Зауважимо, що I − u2 є унiтарним, тому Â3 еквiвалентна
(
−3I I
I −3I
)
, тобто має в спектрi
лише числа −4 i −2. Отже, ми отримали три самоспряженi оператори A1, A2, A3 зi спектрами
σ(S) i {−4,−2, 0, 2}, якi в сумi дають одиничний оператор. Покажемо, що ∗-алгебра A =
= C〈A1, A2, A3〉 = M6(U1, U2, U3). По-перше, iснує полiном P такий, що P (0) = P (2) = 0 i
P (−4) = P (−2) = 1, а тому P (A3) = E3,3 + E4,4 ∈ A. Крiм того, безпосереднiй пiдрахунок
показує, що
W = (E − E3,3 − E4,4)A1(E3,3 + E4,4) = 2E2,3 + 3E5,4.
Звiдси (W +W ∗)2 = 4(E2,2 +E3,3) + 9(E4,4 +E5,5) i (E3,3 +E4,4)(W +W ∗)2 = 4E3,3 + 9E4,4.
Як наслiдок маємо Ei,i ∈ A, i = 2, . . . , 5.
По-друге, розглянемо добуток E2,2 i матрицi A1 +A2:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 713
(A1 +A2)E2,2 = E1,2 ∈ A =⇒ E1,1 = E1,2E
∗
1,2 ∈ A.
Отже, всi матричнi одиницi Ei,i належать A, i оскiльки на мiсцях (2, 3), (3, 4), (4, 5) матрицi
A1 i на мiсцi (5, 6) матрицi A3 стоять ненульовi скалярнi оператори, то Ei,i+1 ∈ A для i =
= 1, . . . , 5, тобто Ei,j ∈ A, i, j = 1, . . . , 6. Таким чином, A = M6(u1, u2, u3). Оператори u1,
u2, u3 однозначно визначаються ортопроекторами Pi на власний пiдпростiр, що вiдповiдає
власному значенню 6
√
1. Тому A є матричною алгеброю над алгеброю, породженою трьома
ортопроекторами без спiввiдношень, i, отже, є ∗-дикою алгеброю. Як наслiдок отримуємо ∗-
дикiсть PM1,M2,M3,1.
Для формулювання наступної теореми введемо позначення
S1 =
0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0
⊗ I, S2 = diag (1, 2, . . . , 6)⊗ I,
T1 =
(
S1 I6
I6 S2
)
, T2 =
(
S1 −I6
−I6 −S2
)
.
Теорема 5. Нехай M1 = σ(T1), M2 = σ(T2) i M3 = {0, 1, 2}. Тодi алгебра PM1,M2,M3,1 є
∗-дикою.
Доведення. Визначимо оператори
U = diag (I, u1, u1, u1u2, u1u2, u1u2u3),
V = diag (I, I − u1, u1 − I, (u1 − I)(I − u2), (I − u1)(I − u2), (I − u1)(I − u2)(I − u3)),
де u1, u2 i u3 — оператори з доведення теореми 4. Тодi можна побудувати оператори в H12 =
= H ⊕H ⊕ . . .⊕H:
A1 = diag (U∗, U∗)T1diag (U,U), A2 = diag (V ∗, V ∗)T2diag (V, V ),
A3 = diag (−S1, 06) + I12 − E2,3 − E3,2 − E4,5 − E5,4.
Безпосередньо перевiряється, що A1 + A2 + A3 = I12 i σ(A3) = {0, 1, 2}, а σ(A1) = M1,
σ(A2) = M2. Як i при доведеннi теореми 4, покажемо, що A = C〈A1, A2, A3〉 = M12(u1, u2, u3).
По-перше, (A3 − I12)2 = diag (I6, 06). Тому diag (I6, 06) ∈ A i diag (06, I6) ∈ A. Оскiльки
diag (06, S2) = diag (06, I6)A1diag (06, I6) i(
0 I6
0 0
)
= diag (I6, 06)A1diag (06, I6),
то diag (S2, 06) i diag (06, S2) ∈ A. Зауважимо, що S2 є дiагональною з простим спектром. Отже,
для кожного i = 1, . . . , 12, j = 1, . . . , 6 матричнi одиницi Ei,i ∈ A i Ej,j+6 ∈ A. За побудовою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
714 В. I. РАБАНОВИЧ
елементи (2, 3) i (4, 5) матрицi A1 так само, як i елементи (1, 2), (3, 4) та (5, 6) матрицi A3,
є скалярами, тобто Ei,i+1 ∈ A, i = 1, . . . , 5. Разом зi згаданими матричними одиницями вони
породжують всi матричнi одиницi. Оскiльки на (2i−1, 2i)-му мiсцi матрицi A1 стоїть оператор
ui, то A = M12(u1, u2, u3). По аналогiї з теоремою 4 отримуємо ∗-дикiсть алгебри PM1,M2,M3,1.
Теорему доведено.
Чим бiльшою є величина min(|M1|, |M2|, |M3|), тим легше доводити ∗-дикiсть вiдповiдних
алгебр при певних M1, M2, M3. Наприклад, при |M1| = |M2| = |M3| = 5 алгебра PM1,M2,M3,1
може бути ∗-дикою. Справдi, розглянемо оператор
S3 =
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
i унiтарнi матрицi U = diag (I, I, u1, u1u2, u1u2u3),
V = diag (I,−I, u1 − I, (u1 − I)(I − u2), (u1 − I)(I − u2)(I − u3)),
де u1, u2 i u3 — оператори з доведення теореми 4. Поклавши A1 = U∗S3U i A2 = V ∗S3V,
отримаємо
A1 +A2 = diag
2,
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
.
Тепер залишилося визначити A3 = E − A1 − A2. Звiдси σ(A1) = σ(A2) = σ(S3) i спектр
A3 складається з 5-ти дiйсних чисел. Також M5(u1, u2, u3) = C〈A1, A2, A3〉, оскiльки E1,1 —
значення деякого полiнома на A3, E1,2 = E1,1(A1 − E1,1), а E2,2 = E2,1E1,2. Використовуючи
тепер лише елементи матрицi A3, отримуємо всi матричнi одиницi. Далi мiркування аналогiчнi
мiркуванням з доведення теореми 4.
Найбiльш складно будуються вкладення алгебр PM1,M2,M3,1 у матричнi алгебри над ∗-
дикими алгебрами, коли одна з множин має лише двi точки, тобто вiдповiдний граф має вигляд
s s s s s s s s s sqq qss q q q
Нехай H — гiльбертiв простiр, u1, u2 i u3 — унiтарнi оператори з теореми 4 i матрицi S4 i
S5 мають вигляд
S4 =
5 1 1 0 0
1 2 3 0 0
1 3 −3 1 1
0 0 1 3 1
0 0 1 1 0
, S5 =
−6 −1 −1 0 0
−1 −2 −2 0 0
−1 −2 3 −1 −1
0 0 −1 −3 0
0 0 −1 0 0
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО РОЗКЛАДИ СКАЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА В СУМУ САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 715
Визначимо матрицi
A1 = diag (S4 ⊗ I, σx, σx, σx) + diag (04, σx, σx, σx, 0),
T̃2 = diag (S5 ⊗ I, σx, σx, σx)− diag (04, σx, σx, σx, 0),
T3 = E − diag (−I, σx, σx, σx, σx, σx), де σx =
(
0 I
I 0
)
.
Теорема 6. Нехай M1 = σ(A1), M2 = σ(T̃2) i M3 = {0, 2}. Тодi алгебра PM1,M2,M3,1 є
∗-дикою.
Доведення. Матрицi A2 i A3 будуть еквiвалентнi T̃2 i T3 вiдповiдно. Розглянемо унiтарнi
оператори в H11:
U = diag (I6, u1 − I, u1 − I, (u1 − I)(u2 − I), (u1 − I)(u2 − I), (u1 − I)(u2 − I)(u3 − I)),
V = diag (I6, u1, u1, u1u2, u1u2, u1u2u3).
Тодi, задаючи A2 = U∗T̃2U, A3 = V ∗T3V, отримуємо A1 +A2 +A3 = E.
Покажемо, що C∗-алгебра A = C∗(A1, A2, A3) = Mn(C∗(u1, u2, u3)). Зауважимо, що B1 =
= A3A1A3 = diag (20I, B̃1), де B̃1 — самоспряжений оператор з ‖B̃1‖ ≤ 19. Iснує неперервна
функцiя f : R −→ R така, що f(20) = 1 i f(t) = 0 при t ∈ [−19, 19]. Тому f(B1) = E1,1 ∈ A.
Також E1,2 + E1,3 = E1,1A1 − 5E1,1. З безпосереднiх обчислень маємо
W = (E1,2 + E1,3)A1A3 = (2E1,1 + 5E1,2 + E1,4 + E1,5)A3 = 4E1,1 + 5E1,2 − 5E1,3.
Звiдси E1,2 = (W − 4E1,1 + 5(E1,2 + E1,3))/10 =⇒ E1,2, E1,3 ∈ A. Тому Ei,j ∈ A, i, j =
= 1, 2, 3. Далi, матриця B2 = diag (03, I8)(A1+A3)diag (03, I8) має блочно-дiагональний вигляд
diag (4, B̃2), де B̃2 — самоспряжений оператор зi скiнченним спектром i ‖B̃2‖ ≤ 3. Тому iснує
полiном P такий, що P (4) = 1 i P (t) = 0 при t ∈ σ(B̃2). Отже, E4,4 = P (B2) ∈ A. Тепер,
використовуючи лише елементи матрицi A1, можемо отримати всi матричнi одиницi. Справдi,
E4,5 = E4,4A1diag (04, I7), E5,5 = E5,4E4,5, E5,6 = E5,5A1diag (05, I6), i т. д. Таким чином,
Ei,j ∈ A, i, j = 1, 2, . . . , 11, i A = Mn(C∗(u1, u2, u3)). Звiдси випливає, що алгебра PM1,M2,M3,1
є ∗-дикою.
Зауваження 4. Теорема 5 є наслiдком теореми 6, проте конструкцiї вкладень алгебр вiд-
рiзняються одна вiд одної, i тому ми залишили обидва твердження в роботi.
Як i в попередньому пунктi, найбiльш важко доводити ∗-дикiсть алгебр PM1,...,Mk,1, коли
незначне зменшення кiлькостi елементiв Mi приводить до скiнченновимiрної задачi, тобто до
алгебр зi скiнченним числом нееквiвалентних незвiдних ∗-зображень.
Автор вдячний В. Л. Островському i Ю. С. Самойленку за ряд корисних зауважень i порад
при обговореннi цiєї тематики.
1. Wu P. Y. Additive combinations of special operators // Funct. Anal. and Oper. Theory. – 1994. – 30. – P. 337 – 361.
2. Davidson K. R., Marcoux L. W. Linear spans of unitary and similarity orbits of a Hilbert space operator // J. Oper.
Theory. – 2004. – 52. – P. 113 – 132.
3. Albeverio S., Ostrovsky V., Samoilenko Yu. On functions on graphs and representations of a certain class of ∗-algebras
// J. Algebra. – 2006. – 308, № 2. – P. 567 – 582.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
716 В. I. РАБАНОВИЧ
4. Matsumoto K. Self-ajoint operators as a real span of 5 projections // Math. Jap. – 1984. – 29. – P. 291 – 294.
5. Власенко М. А., Меллит А. С., Самойленко Ю. С. Об алгебрах, порожденных линейно связанными образую-
щими с заданным спектром // Функцион. анализ и его прил. – 2005. – 39, № 3. – С. 14 – 27.
6. Kruglyak S. A., Popovych S. V., Samoilenko Yu. S. The spectral problem and algebras associated with extended Dynkin
graphs. I // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 4. – P. 383 – 396.
7. Kruglyak S. A., Nazarova L. A., Roiter A. V. Orthoscalar representations of quivers in the category of Hilbert spaces //
Zap. Nauchn. Sem. POMI. – 2006. – 338. – P. 180 – 201.
8. Островський В. Л., Самойленко Ю. С. Про спектральнi теореми для сiмей лiнiйно пов’язаних самоспряжених
операторiв iз заданими спектрами, що асоцiйованi з розширеними графами Динкiна // Укр. мат. журн. – 2006. –
58, № 11. – С. 1556 – 1570.
9. Kruglyak S. A., Samoilenko Yu. S. On the complexity of description of representations of ∗-algebras generated by
idempotents // Proc. Amer. Math. Soc. – 2000. – 128. – P. 1655 – 1664.
10. Bondarenko V. M. On connection between �-decomposability and wildness for algebras generated by idempotents //
Meth. Funct. Anal. and Top. – 2003. – 9, № 2. – P. 120 – 122.
11. Kirichenko A. A. On linear combinations of orthoprojectors // Uchen. Zap. Tavrich. Univ. Ser. Mat., Mekh., Inform.,
Kiber. – 2002. – № 2. – P. 31 – 39.
12. Юсенко K. A. Про четвiрки проекторiв, пов’язаних лiнiйним спiввiдношенням // Укр. мат. журн. – 2006. – 58,
№ 9. – С. 1289 – 1295.
13. Ostrovskyi V., Rabanovich S. Some remarks on Hilbert representations of posets // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2013. – 19, № 2. – P. 149 – 163.
14. Ostrovskyi V. L. On ∗-representations of a certain class of algebras related to a graph // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2005. – 11, № 3. – P. 250 – 256.
15. Kruglyak S. A., Rabanovich V. I.. Samoilenko Yu. S. On sums of projections // Funct. Anal. and Appl. – 2002. – 36,
№ 3. – P. 182 – 195.
16. Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. Скалярные операторы, представимые суммой проекторов // Укр. мат.
журн. – 2001. – 53, № 7. – С. 939 – 952.
17. Albeverio S., Yusenko K., Proskurin D., Samoilenko Yu. ∗-Wildness of some classes of C∗-algebras // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2006. – 12 , № 4. – P. 315 – 325.
18. Меллит А. С., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. Когда сумма частичных отражений кратна единичному
оператору // Функцион. анализ и его прил. – 2004. – 38, № 2. – С. 91 – 94.
19. Грушевой Р. В. Коли сума самоспряжених операторiв iз заданим цiлочисельним спектром є скалярним опера-
тором // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 4. – С. 470 – 477.
20. Омельченко П. В. Про зведення блочних матриць у гiльбертовому просторi // Укр. мат. журн. – 2009. – 61,
№ 10. – С. 1338 – 1347.
21. Yusenko K., Weist Th. Unitarizable representations of quivers // Algebr. Represent. Theory. – 2013. – 16, № 5. –
P. 1349 – 1383.
Одержано 03.11.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|