Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса

Досліджуються класи динамічних систем у напівупорядкованому просторі, що мають властивості типу монотонності відносно заданих конусів. Пропонуються нові методи аналізу стійкості і порівняння розв'язків диференціальних систем за допомогою змінних конусів. Для ілюстрації результатів наводяться пр...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Мазко, А.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165614
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса / А.Г. Мазко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 198–213. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165614
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1656142020-11-12T11:30:50Z Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса Мазко, А.Г. Статті Досліджуються класи динамічних систем у напівупорядкованому просторі, що мають властивості типу монотонності відносно заданих конусів. Пропонуються нові методи аналізу стійкості і порівняння розв'язків диференціальних систем за допомогою змінних конусів. Для ілюстрації результатів наводяться приклади з використанням типових конусів у просторах векторів та матриць. We investigate classes of dynamical systems in a partially ordered space with properties of monotonicity type with respect to specified cones. We propose new methods for the stability analysis and comparison of solutions of differential systems using time-varying cones. To illustrate the results obtained, we present examples using typical cones in vector and matrix spaces. 2005 Article Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса / А.Г. Мазко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 198–213. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165614 517.983.27 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Мазко, А.Г. Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса Український математичний журнал
description	Досліджуються класи динамічних систем у напівупорядкованому просторі, що мають властивості типу монотонності відносно заданих конусів. Пропонуються нові методи аналізу стійкості і порівняння розв'язків диференціальних систем за допомогою змінних конусів. Для ілюстрації результатів наводяться приклади з використанням типових конусів у просторах векторів та матриць.
format	Article
author	Мазко, А.Г.
author_facet	Мазко, А.Г.
author_sort	Мазко, А.Г.
title	Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса
title_short	Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса
title_full	Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса
title_fullStr	Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса
title_full_unstemmed	Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса
title_sort	устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165614
citation_txt	Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса / А.Г. Мазко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 198–213. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT mazkoag ustojčivostʹisravneniesostoânijdinamičeskihsistemotnositelʹnoperemennogokonusa
first_indexed	2025-07-14T19:12:44Z
last_indexed	2025-07-14T19:12:44Z
_version_	1837650799109341184
fulltext	UDK 517.983.27 A. H. Mazko (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX SYSTEM OTNOSYTEL\|NO PEREMENNOHO KONUSA * We investigate classes of dynamical systems in a partially ordered space with properties of monotonicity type with respect to specified cones. We suggest new methods of the stability analysis and comparison of solutions of differential systems by means of time-varying cones. To illustrate the results obtained, we present examples using typical cones in the vector and matrix spaces. DoslidΩugt\sq klasy dynamiçnyx system u napivuporqdkovanomu prostori, wo magt\ vlasty- vosti typu monotonnosti vidnosno zadanyx konusiv. Proponugt\sq novi metody analizu stijkosti i porivnqnnq rozv’qzkiv dyferencial\nyx system za dopomohog zminnyx konusiv. Dlq ilgstraci] rezul\tativ navodqt\sq pryklady z vykorystannqm typovyx konusiv u prostorax vektoriv ta mat- ryc\. 0. Vvedenye. Dynamyçeskaq systema, v fazovom prostranstve kotoroj suwest- vuet ynvaryantn¥j konus, pozytyvna otnosytel\no dannoho konusa. Naprymer, mnoΩestvo neotrycatel\no opredelenn¥x matryc qvlqetsq ynvaryantn¥m ko- nusom dyfferencyal\n¥x uravnenyj Lqpunova y Rykkaty. Svojstvo pozytyv- nosty (monotonnosty) dynamyçeskoj system¥ ravnosyl\no poloΩytel\nosty (monotonnosty) nekotoroho operatora, opys¥vagweho ee dvyΩenye, po otnoße- nyg k zadann¥m konusam v fazovom prostranstve [1 – 4]. Pozytyvn¥e y monotonn¥e system¥ yspol\zugtsq v razlyçn¥x zadaçax ana- lyza y synteza (sm., naprymer, [5 – 10]). V çastnosty, takye system¥ voznykagt v rezul\tate prymenenyq metodov vektorn¥x, matryçn¥x y konusoznaçn¥x funkcyj Lqpunova k yssledovanyg ustojçyvosty dvyΩenyq. Metod¥ sravne- nyq system otnosytel\no konusov qvlqgtsq razvytyem metoda funkcyj Lqpu- nova y uspeßno prymenqgtsq pry yssledovanyy ustojçyvosty reßenyj ßyro- kyx klassov dyfferencyal\n¥x y raznostn¥x system. V rezul\tate yzuçenye sloΩn¥x (krupnomasßtabn¥x) modelej svodytsq k analyzu bolee prost¥x klassov system, ymegwyx svojstva typa pozytyvnosty yly monotonnosty. Ys- sledovanye ustojçyvosty klassa lynejn¥x pozytyvn¥x system svodytsq k re- ßenyg alhebrayçeskyx uravnenyj y neravenstv, opredelqem¥x operatorn¥my koπffycyentamy dann¥x system [10 – 14]. V nastoqwej rabote yzuçagtsq svojstva pozytyvn¥x y monotonn¥x dynamy- çeskyx system otnosytel\no postoqnn¥x y peremenn¥x konusov. Pryvodytsq obobwenn¥j pryncyp sravnenyq system y uslovyq robastnoj ustojçyvosty se- mejstva system. Poluçenn¥e utverΩdenyq razvyvagt y obobwagt osnovn¥e re- zul\tat¥ rabot¥ [4] s yspol\zovanyem peremennoho konusa. Pryvedem nekotor¥e opredelenyq y fakt¥ yz teoryy konusov y operatorov v poluuporqdoçennom prostranstve. V¥pukloe zamknutoe mnoΩestvo K vewest- vennoho normyrovannoho prostranstva E naz¥vaetsq klynom, esly α K + β K ⊂ ⊂ K ∀ α, β ≥ 0. Klyn K s lezvyem K ∩ – K = { 0 } qvlqetsq konusom. Soprq- Ωenn¥j konus K * sostoyt yz lynejn¥x funkcyonalov ϕ ∈ E * , prynymagwyx neotrycatel\n¥e znaçenyq na πlementax K , pryçem K = { ∈ ≥X XE : ( )ϕ 0 ∀ ∈ }ϕ K * . Prostranstvo s konusom poluuporqdoçeno: X ≤ Y ⇔ Y – X ∈ K . Konus K s nepust¥m mnoΩestvom vnutrennyx toçek K 0 = { X : X > 0 } qvlqetsq telesn¥m. Konus K naz¥vaetsq normal\n¥m, esly 0 ≤ X ≤ Y vleçet \| \| X \|\| ≤ ≤ ν \|\| Y \|\|, hde ν — unyversal\naq konstanta. Svojstvo normal\nosty konusa πk- * V¥polnena pry çastyçnoj podderΩke Hosudarstvennoho fonda fundamental\n¥x yssledova- nyj Ukrayn¥ (proekt # 01.07/096). © A. H. MAZKO, 2005 198 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 199 vyvalentno sledugwemu uslovyg: U ≤ X ≤ V ⇒ \|\| X \|\| ≤ ν1 \|\| U \|\| + ν2 \|\| V \|\|, hde ν1 , ν2 > 0. V dannom uslovyy moΩno poloΩyt\ ν1 = ν + 1, ν2 = ν , hde ν — konstanta normal\nosty konusa K [4]. Esly E = K – K , to konus K qvlqetsq vosproyzvodqwym. Typyçn¥my prymeramy normal\n¥x vosproyzvodqwyx konu- sov v koneçnomern¥x prostranstvax qvlqgtsq mnoΩestvo vektorov s neotryca- tel\n¥my πlementamy y mnoΩestvo symmetryçn¥x neotrycatel\no opredelen- n¥x matryc ravn¥x razmerov. Pust\ v banaxovom prostranstve E1 ( E 2 ) v¥delen konus K 1 ( K 2 ). Opera- tor M : E 1 → E 2 naz¥vaetsq monotonn¥m (monotonn¥m v konuse K 1 ), esly yz X ≥ Y ( X ≥ Y ≥ 0 ) sleduet M X ≥ M Y. Monotonnost\ lynejnoho operatora rav- nosyl\na eho poloΩytel\nosty: X ≥ 0 ⇒ M X ≥ 0. Neravenstvo meΩdu operato- ramy M ≤ L oznaçaet, çto operator L – M poloΩytel\n¥j. Esly M E 1 ⊂ K 2 , to operator M vsgdu poloΩytel\n¥j. Lynejn¥j operator M naz¥vaetsq po- loΩytel\no obratym¥m, esly dlq lgboho Y ∈ K 2 uravnenye M X = Y ymeet reßenye X ∈ K 1 . Esly K 2 — normal\n¥j vosproyzvodqwyj konus y M1 ≤ M ≤ ≤ M2 , to yz poloΩytel\noj obratymosty operatorov M1 y M2 sleduet polo- Ωytel\naq obratymost\ operatora M, pryçem M2 1− ≤ M – 1 ≤ M1 1− [2]. V¥delym klass lynejn¥x operatorov M = L – P, P K 1 ⊂ K 2 ⊂ L K 1 , hde K 2 — normal\n¥j vosproyzvodqwyj konus. Kryteryem poloΩytel\noj obraty- mosty takyx operatorov qvlqetsq neravenstvo ρ ( T ) < 1, hde ρ ( T ) — spekt- ral\n¥j radyus puçka operatorov T ( λ ) = P – λ L. Esly konus K 2 telesn¥j, to dannoe neravenstvo πkvyvalentno suwestvovanyg πlementov X ≥ 0 y Y > 0, svqzann¥x uravnenyem M X = Y. Pryvedem prymer¥ poloΩytel\n¥x operatorov. Lynejn¥j operator M : R n × m → R p × q predstavym v vyde M X = i j n m ij ijx A , , = ∑ 1 , A i j ∈ K p q , hde K p q — konus neotrycatel\n¥x matryc razmera p × q, v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda M K n m ⊂ K p q . V çastnosty, lgboj lynejn¥j operator, soxranq- gwyj konus neotrycatel\n¥x vektorov K n , ymeet vyd M X = A X, hde A ∈ K n n . Proyzvol\n¥j lynejn¥j operator, soxranqgwyj konus πrmytov¥x neotry- catel\no opredelenn¥x matryc, predstavym v vyde [10] M X = k k kA X A∑ * + s s T sB X B∑ * , Ak , Bs ∈ C n × n . Lynejn¥j yntehral\n¥j operator M X ( t ) = ∆ ∫ H t X d( , ) ( )τ τ τ poloΩytelen otnosytel\no konusa neotrycatel\n¥x funkcyj X ( t ) v nekoto- rom prostranstve E , esly qdro H ( t, τ ) neotrycatel\no ( t, τ ∈ ∆ ). 1. Ynvaryantn¥e mnoΩestva y monotonnost\ dynamyçeskyx system. Rassmotrym v banaxovom prostranstve E dynamyçeskug systemu s neprer¥v- n¥m vremenem t ≥ θ, sostoqnyq kotoroj opredelqgtsq sootnoßenyqmy X ( t ) = Ω ( t, t0 ) X0, Ω ( t0 , t0 ) = E, t ≥ t0 ≥ θ. (1.1) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 200 A. H. MAZKO Zdes\ Ω ( t, t0 ) : E → E — operator, opredelqgwyj perexod yz naçal\noho sos- toqnyq X ( t0 ) = X0 v sostoqnye X ( t ) pry t > t0 , E — toΩdestvenn¥j operator. V dal\nejßem budem predpolahat\, çto sostoqnyq X ( t ) qvlqgtsq neprer¥vno dyfferencyruem¥my funkcyqmy y systema ymeet sostoqnye ravnovesyq X ( t ) ≡ ≡ 0. Pust\ v prostranstve E opredeleno postoqnnoe yly yzmenqgweesq po za- dannomu zakonu mnoΩestvo K t , t ≥ θ. V naçal\n¥j moment vremeny t = t0 po- lahaem K t0 = K 0 . Esly K t — konus, to ym poroΩdaem¥e neravenstva meΩdu πlementamy prostranstva y operatoramy v kaΩd¥j moment vremeny t oboznaça- em symvolamy typa ≤ K t yly ≥ K t . K t qvlqetsq ynvaryantn¥m mnoΩestvom system¥ (1.1), esly dlq lgboho t0 ≥ ≥ θ pry t > t0 v¥polnqetsq vklgçenye Ω ( t, t0 ) K 0 ⊂ K t . Esly systema (1.1) ymeet ynvaryantn¥j konus K t , to ona pozytyvna otnosytel\no K t . Svojstvo pozytyvnosty system¥ oznaçaet, çto X ( t ) ≥ K t 0 pry t > t0 , lyß\ tol\ko X0 ≥ K 0 ≥ K 0 0 y t0 ≥ θ. Systema (1.1) naz¥vaetsq monotonnoj otnosytel\no konusa K t , esly dlq lgboho t0 ≥ θ X10 ≤ K 0 X20 ⇒ X1 ( t ) ≤ K t X2 ( t ), t > t0 , (1.2) hde Xk ( t ) = Ω ( t, t0 ) Xk 0 , k = 1, 2. Dlq klassov pozytyvn¥x y monotonn¥x system, a takΩe system, ymegwyx svojstvo (1.2) pry dopolnytel\n¥x trebovanyqx X20 ∈ K 0 , X10 ∈ K 0 , X10 ∈ – K 0 y X20 ∈ – K 0 , yspol\zuem sootvetstvugwye oboznaçenyq M 0 , M , M1 + , M 2 + , M1 − y M 2 − . Systema klassa M 2 + M 2 −( ) monotonna v konuse K t ( – K t ). Analohyçno opredelqgtsq ynvaryantn¥e mnoΩestva y svojstva pozytyv- nosty y monotonnosty otnosytel\no konusa dlq dynamyçeskyx system vyda (1.1) s dyskretn¥m vremenem t ≥ θ. Rassmotrym dyfferencyal\nug systemu Ẋ = F ( X, t ), t ≥ t0 ≥ θ, (1.3) hde F — operator, obespeçyvagwyj suwestvovanye y edynstvennost\ neprer¥v- no dyfferencyruemoho reßenyq X ( t ) so znaçenyqmy v prostranstve E s ko- nusom K t . Esly Ω ( t, t0 ) — operator sdvyha po traektoryqm system¥ (1.3), to kaΩdoe ee reßenye ymeet vyd (1.1). Poπtomu svojstvo pozytyvnosty (monoton- nosty) system¥ (1.3) otnosytel\no K t ravnosyl\no uslovyqm poloΩytel\nos- ty (monotonnosty) operatora Ω ( t, t0 ). Dostatoçn¥m uslovyem pozytyvnosty system¥ (1.3) otnosytel\no K t qvlqetsq vklgçenye F( K t , t ) ⊂ K t pry lgbom t ≥ θ. Dlq klassa lynejn¥x system Ẋ + M ( t ) X = 0 (1.4) operator Ω ( t, t0 ) v (1.1) sovpadaet s πvolgcyonn¥m operatorom WM ( t, t0 ) = E – t t M t dt 0 1 1∫ ( ) + t t t t M t M t dt dt 0 0 2 2 1 1 2∫ ∫( ) ( ) – … . Zdes\ rqd sxodytsq ravnomerno po operatornoj norme. PoloΩytel\nost\ ope- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 201 ratora WM ( t, t0 ) pry t ≥ t0 ravnosyl\na poloΩytel\nosty πksponencyal\noho operatora e – M ( t ) h pry t ≥ 0, h ≥ 0. Esly M ( t ) = M1 ( t ) + M2 ( t ), to yz poloΩy- tel\nosty operatorov W t tM1 0( , ) y W t tM2 0( , ) sleduet poloΩytel\nost\ opera- tora WM ( t, t0 ) y, znaçyt, pozytyvnost\ system¥ (1.4) otnosytel\no K t [12]. Dlq dyfferencyal\noj system¥ (1.3) opredelym sledugwye uslovyq: X ≥ K t 0, ϕ ∈ K t * , ϕ ( X ) = 0 ⇒ ϕ ( F ( X, t ) ) ≥ 0, (1.5) X ≥ K t Y, ϕ ∈ K t * , ϕ ( X – Y ) = 0 ⇒ ϕ ( F ( X, t ) – F ( Y, t ) ) ≥ 0, (1.6) hde K t * — soprqΩenn¥j konus, t ≥ θ. Klass¥ neprer¥vn¥x operator-funkcyj F ( X, t ), udovletvorqgwyx uslovyqm (1.5) y (1.6), oboznaçym sootvetstvenno çerez F0 y F. Opredelym takΩe semejstva operator-funkcyj F1 + , F2 + , F1 − y F2 − , ymegwyx svojstvo (1.6) pry dopolnytel\n¥x trebovanyqx X ∈ K t , Y ∈ K t , Y ∈ – K t y X ∈ – K t sootvetstvenno. Oçevydno, çto F, F0, F1 ± y F2 ± qvlqgtsq klyn\qmy, pryçem F ⊂ F1 ± ⊂ F2 ± . Lemma 1.1. Pust\ K t — telesn¥j konus, ymegwyj svojstvo K t ⊃ K τ , t > τ ≥ θ. (1.7) Tohda systema (1.3) pozytyvna (monotonna) otnosytel\no K t , esly F ∈ F0 ( F ∈ F ). Dokazatel\stvo. Rassmotrym vspomohatel\nug systemu Ż = F ( Z, t ) + ε Q, hde ε > 0, Q ∈ K 0 0 — lgboj vnutrennyj πlement konusa K 0 . Pust\ Z ( t ) — takoe ee reßenye, çto Z ( t0 ) = Z0 ∈ K 0 , pryçem Z ( τ ) = Z τ ∈ ∂ K τ — toçka hra- nyc¥ konusa K τ pry nekotorom τ ≥ t0 . Tohda ϕ ( Zτ ) = 0 dlq nekotoroho ϕ ∈ K τ * y ϕ ≠ 0. Krome toho, ϕ ( Q ) > 0, tak kak sohlasno (1.7) Q ∈ K t 0 pry t ≥ t0 . Esly F ∈ F0 , to pry uslovyqx neprer¥vnosty dlq nekotoroho δ > 0 ymeem sootnoßenyq ϕ τ˙( )Z( ) = ϕ ττF Z( , )( ) + ε ϕ ( Q ) > 0, τ τ δ ϕ + ∫ ( )˙( )Z t dt = ϕ ( Z ( τ + δ ) ) > 0. Sledovatel\no, traektoryq Z ( t ) ne v¥xodyt za predel¥ konusa K τ v moment τ, t. e. Z ( t ) ∈ K τ pry τ ≤ t ≤ τ + δ. V protyvnom sluçae dlq nekotor¥x ϕ ∈ K τ * y δ > 0 dolΩn¥ v¥polnqt\sq sootnoßenyq ϕ ( Z ( τ ) ) = 0, ϕ ( Z ( τ + δ ) ) < 0. Uçyt¥vaq (1.7), ymeem Z ( t ) ∈ K t pry τ ≤ t ≤ τ + δ. V sylu zamknutosty konusa pry ε → 0 poluçaem Z ( t ) → X ( t ) ∈ K t dlq lg- b¥x Z0 = X0 ∈ K 0 y t ≥ t0 , t. e. systema (1.3) pozytyvna otnosytel\no K t . Analohyçno ustanavlyvaetsq svojstvo monotonnosty system¥ (1.3) otnosy- tel\no K t pry X ∈ F. Lemma dokazana. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 202 A. H. MAZKO Sledstvye 1.1. Esly operator system¥ (1.3) predstavym v vyde F ( X, t ) = α F1 ( X, t ) + β F2 ( X, t ), α ≥ 0, β ≥ 0, pryçem F1 , F2 ∈ F0 ( F1 , F2 ∈ F ), to pry uslovyqx lemm¥ 1.1 dannaq systema pozytyvna (monotonna) otnosytel\no K t . Otmetym, çto v sluçae postoqnnoho telesnoho konusa K t = K uslovye F ∈ F0 ( F ∈ F ) ravnosyl\no pozytyvnosty (monotonnosty) system¥ (1.3) otno- sytel\no K [4]. MoΩno ustanovyt\, çto pozytyvnaq otnosytel\no telesnoho konusa K t ( – K t ) systema (1.3) prynadleΩyt klassu M k + M k −( ), esly F ∈ Fk + ( F ∈ Fk − ) pry k = 1, 2. Prymer 1.1. Pust\ K — konus neotrycatel\n¥x vektorov v R n . Nelynej- naq dyfferencyal\naq systema ẋ + A ( t ) x = g ( x, t ), x ∈ R n , t ≥ θ, hde A ( t ) — matryca s nepoloΩytel\n¥my vnedyahonal\n¥my πlementamy, qv- lqetsq pozytyvnoj otnosytel\no ± K , esly [1] x ∈ ± K , xi = 0 ⇒ ± gi ( x, t ) ≥ 0, i = 1, n. Dannaq systema ymeet svojstvo monotonnosty, esly vektor-funkcyq g ( x, t ) kvazymonotonno neub¥vagwaq po x (uslovye VaΩevskoho): x ≥ y, xi = yi ⇒ gi ( x, t ) ≥ gi ( y, t ), i = 1, n. Esly poslednee uslovye v¥polnqetsq pry x ∈ K yly y ∈ K ( y ∈ – K yly x ∈ – K ), to pozytyvnaq otnosytel\no K ( – K ) systema prynadleΩyt klassam M1 + yly M 2 + ( M1 − yly M 2 − ) sootvetstvenno. Prymer 1.2. Rassmotrym nelynejnug systemu upravlenyq s dynamyçeskoj obratnoj svqz\g ẋ = f ( x, u, t ), u̇ = g ( x, u, t ), x ∈ R n , u ∈ R 1 , y v¥delym v fazovom prostranstve R n + 1 kruhovoj konus Mynkovskoho K = z R z x u x un T T∈ = [ ] ≤{ }+1: , , . (1.8) Dann¥j konus qvlqetsq normal\n¥m, telesn¥m y samosoprqΩenn¥m. Posled- nee svojstvo oznaçaet, çto l T z ≥ 0 ∀ z ∈ K ⇔ l ∈ K . Kryteryj pozytyvnosty system¥ otnosytel\no K pryvodytsq k vydu x T f ( x, u, t ) ≤ u g ( x, u, t ), x ∈ R n , t ≥ θ, hde u = x . V sluçae lynejnoj system¥ polahaem f ( x, u, t ) = A ( t ) x + b ( t ) u y g ( x, u, t ) = c T ( t ) x + d ( t ) u. Pry πtom kaΩdoe yz uslovyj λmax ( ) ( )A t A tT+( ) 2 + \|\| b ( t ) – c ( t ) \|\| ≤ d ( t ), γ γ ( ) − − − − − ( )       t I A t A t c t b t c t b t d t t T T T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ≥ 0, ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 203 hde λ max ( ⋅ ) — maksymal\noe sobstvennoe çyslo symmetryçnoj matryc¥, γ ( t ) — nekotoraq funkcyq, I — edynyçnaq matryca, obespeçyvaet systeme svojstva pozytyvnosty y monotonnosty otnosytel\no K . Prymer 1.3. Rassmotrym matryçnoe dyfferencyal\noe uravnenye Ẋ + A ( X, t ) X + X A T ( X, t ) = P ( X, t ), X = X T ∈ R n × n , (1.9) hde A y P — zadann¥e operator¥. Pust\ operator P soxranqet konus sym- metryçn¥x neotrycatel\no opredelenn¥x matryc K ⊂ R n × n y uravnenye (1.9) ymeet neprer¥vnoe reßenye X ( t ) pry t ≥ t0 , X ( t0 ) = X0 ≥ 0 . Tohda K qvlqetsq ynvaryantn¥m mnoΩestvom dannoho uravnenyq. Dejstvytel\no, dlq lgboho funkcyonala ϕ ∈ K * , predstavlennoho v vyde ϕ ( X ) = tr ( S X ), hde S = H H T ≥ 0, ravenstvo ϕ ( X ) = 0 pry X ≥ 0 oznaçaet, çto X H = 0, y s uçetom perestanovky matryc pod znakom operacyy tr poluçaem sootnoßenyq ϕ A A( , ) ( , )X t X X X tT+( ) = 0, ϕ P ( , )X t( ) ≥ 0. Sohlasno lemme 1.1, uravnenye (1.9) pozytyvno otnosytel\no K . Pryvedem çastn¥e sluçay matryçnoho uravnenyq (1.9): Ẋ + A ( t ) X + X A T ( t ) = X R ( X, t ) X, (1.10) Ẋ + A ( t ) X + X A T ( t ) = k k k TB t X B t∑ ( ) ( ) . (1.11) Operatoru Lqpunova L ( t ) X = A ( t ) X + X A T ( t ) sootvetstvuet poloΩytel\n¥j πvolgcyonn¥j operator WL ( t, t0 ) X = ∆ ( t, t0 ) X ∆ T ( t, t0 ), hde ∆ ( t, t0 ) — matry- cant system¥ ẋ = A ( t ) x, t ≥ t0 . Uravnenye (1.10) typa Rykkaty pry ukazann¥x predpoloΩenyqx y uslovyy monotonnosty operatora R ( X, t ) otnosytel\no K ymeet svojstvo monotonnosty. Pozytyvnoe y monotonnoe otnosytel\no K ly- nejnoe uravnenye (1.11) opys¥vaet dynamyku vtor¥x momentov dlq stoxastyçes- koj system¥ Yto d x ( t ) + A ( t ) x ( t ) d t = k k kB t x t dw t∑ ( ) ( ) ( ), hde wk — komponent¥ standartnoho vynerovskoho processa. Asymptotyçeskaq ustojçyvost\ v srednem kvadratyçnom reßenyq x ≡ 0 dannoj system¥ ravno- syl\na asymptotyçeskoj ustojçyvosty po Lqpunovu reßenyq X ≡ 0 uravnenyq (1.11). Otmetym, çto esly systema (1.4) s poloΩytel\n¥m operatorom M pozytyvna otnosytel\no konusa neotrycatel\no opredelenn¥x matryc, to dann¥j opera- tor predstavym v vyde M X = α X, hde α ≥ 0. Dlq dokazatel\stva posledneho utverΩdenyq dostatoçno rassmotret\ sluçaj M X = A X A T y ustanovyt\, çto vse sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ A vewestvenn¥ y sovpadagt. Rassmotrym v prostranstve E mnoΩestvo K t = X R t X: ( ) ∈{ }K , t ≥ θ, (1.12) hde R ( t ) — lynejn¥j operator, K — zadann¥j konus. Dannoe mnoΩestvo qv- lqetsq klynom s lezvyem ker R ( t ) = X R t X: ( ) ={ }0 . PredpoloΩym, çto ker R ( t ) ≡ { 0 } y konus K normal\n¥j. Tohda K t qvlqetsq normal\n¥m konu- som, esly v¥polnqgtsq neravenstva ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 204 A. H. MAZKO r– ( t ) \|\| X \|\| ≤ \|\| R ( t ) X \|\| ≤ r+ ( t ) \|\| X \|\| ∀ X ∈ K t , (1.13) hde r± ( t ) > 0 — nekotor¥e funkcyy, ne zavysqwye ot X. Pust\ suwestvugt proyzvodnaq ˙( )R t po t y obratn¥j operator R –1 ( t ) pry t ≥ θ. Tohda uslovyq pozytyvnosty system¥ (1.3) otnosytel\no K t ravnosyl\- n¥ uslovyqm pozytyvnosty otnosytel\no postoqnnoho konusa K preobrazovan- noj system¥ Ẏ + S ( t ) Y = G ( Y, t ), t ≥ θ, (1.14) hde Y ( t ) = R ( t ) X ( t ), S ( t ) = − ˙( )R t R –1 ( t ), G ( Y, t ) = R ( t ) F ( R –1 ( t ) Y, t ). Systema (1.14) pozytyvna otnosytel\no K , esly takovoj qvlqetsq lynejnaq systema Ż + S ( t ) Z = 0 y v¥polnqetsq vklgçenye R ( t ) F ( R –1 ( t ) K , t ) ⊂ K . Pry πtom K 0 ⊂ K t ⇔ WS ( t, t0 ) K ⊂ K , hde WS ( t, t0 ) = R ( t ) R –1 ( t0 ), t ≥ t0 . Prymer 1.4. Rassmotrym systemu (1.4) y preobrazovann¥j konus Mynkov- skoho K t , opredelqem¥j sootnoßenyqmy (1.8) y (1.12), poloΩyv M ( t ) = A t b t c t d tT ( ) ( ) ( ) ( )       , R ( t ) = I r t 0 0 ( )       , 0 < r ( t ) ≤ r0 . Konus K normal\n¥j s konstantoj normal\nosty ν = 1. Uslovye normal\nos- ty (1.13) dlq konusa K t v¥polnqetsq, esly, naprymer, r– ( t ) = r t r t ( ) ( )1 2+ , r+ ( t ) = 2r ( t ). Pry πtom dlq lgboho t ≥ θ v kaçestve konstant¥ normal\nosty moΩno v¥brat\ znaçenye ohranyçennoj funkcyy ν ( t ) = r+ ( t ) / r– ( t ) = 2 2 2+ r t( ) . Esly funk- cyq r ( t ) neub¥vagwaq, to v¥polnqetsq uslovye (1.7). Preobrazovannaq syste- ma (1.14) ymeet vyd Ẏ + L ( t ) Y = 0, L ( t ) = A t b t r t r t c t d t r t r tT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˙( ) ( ) / /−       . Poπtomu systema (1.4) qvlqetsq pozytyvnoj otnosytel\no K t , esly dlq lgbo- ho t ≥ θ v¥polnqetsq neravenstvo (sm. prymer 1.2) ˙( )r t + r t A t A tT( ) ( ) ( )min2 λ +( ) ≥ r ( t ) d ( t ) + b t r t c t( ) ( ) ( )− 2 . 2. Ustojçyvost\ pozytyvn¥x y monotonn¥x system. Rassmotrym v fazo- vom prostranstve E dynamyçeskug systemu, sostoqnyq kotoroj opys¥vagtsq v vyde (1.1) y qvlqgtsq neprer¥vn¥my dyfferencyruem¥my funkcyqmy X ( t ). Pust\ K t ⊂ E — nekotor¥j konus y systema ymeet yzolyrovannoe sostoqnye ravnovesyq X ≡ 0, t. e. Ω ( t, t0 ) 0 ≡ 0. Sostoqnye X ≡ 0 system¥ (1.1) naz¥vaem ustojçyv¥m v K t , esly dlq lgb¥x ε > 0 y t0 ≥ θ moΩno ukazat\ takoe δ > 0, çto yz X0 ∈ Sδ ( t0 ) sleduet X ( t ) ∈ Sε ( t ) pry t > t0 , hde Sε ( t ) = X Xt∈ ≤{ }K : ε . Esly pry πtom dlq neko- toroho δ0 > 0 yz X0 ∈ S tδ0 0( ) sleduet \|\| X ( t ) \|\| → 0 pry t → ∞ , to sostoqnye X ≡ 0 system¥ asymptotyçesky ustojçyvo v K t . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 205 Esly sostoqnye X ≡ 0 system¥ (1.1) s ynvaryantn¥m konusom K t ustojçyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) po Lqpunovu, to ono ustojçyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) v K t . Pust\ K t — normal\n¥j konus, ymegwyj ohranyçennug konstantu nor- mal\nosty νt ≤ ν < ∞, y v lgboj naçal\n¥j moment vremeny t0 ≥ θ konus K 0 vosproyzvodqwyj. Krome toho, v dannom punkte predpolahaem, çto konus K t ymeet sledugwee svojstvo: K t ⊂ K τ yly K t ⊃ K τ ∀ t, τ ≥ θ. (2.1) PokaΩem, çto pry yzuçenyy uslovyj ustojçyvosty v konuse y ustojçyvosty po Lqpunovu nulevoho sostoqnyq system¥ (1.1) mohut b¥t\ yspol\zovan¥ sledu- gwye svojstva proyzvodn¥x ˙ ( )X t : X0 ≥ K 0 0 ⇒ ˙ ( )X t ≤ K t 0 ∀ t > t0 , (2.2) X0 ≤ K 0 0 ⇒ ˙ ( )X t ≥ K t 0 ∀ t > t0 . (2.3) Lemma 2.1. Sostoqnye X ≡ 0 pozytyvnoj otnosytel\no K t ( – K t ) sys- tem¥ (1.1), ymegwej svojstvo (2.2) ((2.3)), ustojçyvo v K t ( – K t ). Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme o koneçnom pryrawenyy, X ( t ) – X ( t0 ) = ˙ ( )( )X t tτ − 0 , τ ∈ ( t, t0 ), t > t0 . Otsgda s uçetom (2.1), (2.2) y pozytyvnosty system¥ ymeem sootnoßenyq 0 ≤ K ξ X ( t ) ≤ K ξ X0 , ξ = t t t , , , , K K K K ⊃ ⊂    τ ττ yz kotor¥x sleduet \|\| X ( t ) \|\| ≤ νξ \|\| X0 \|\| ≤ ν \|\| X0 \|\|, hde νξ — konstanta normal\- nosty konusa K ξ . Poπtomu dlq lgboho ε > 0 yz X0 ∈ Sδ ( t0 ), hde δ = ε / ν, sle- duet, çto X ( t ) ∈ Sε ( t ) pry t > t0 . Analohyçn¥e rassuΩdenyq spravedlyv¥ y dlq konusa – K t . Lemma dokazana. Lemma 2.2. Sostoqnye X ≡ 0 system¥ (1.1), prynadleΩawej klassam M1 ± y ymegwej svojstva (2.2) y (2.3), ustojçyvo po Lqpunovu. Dokazatel\stvo. Yz opredelenyq klassov M1 ± y uslovyq Ω ( t, t0 ) 0 ≡ 0 sleduet, çto K t y – K t qvlqgtsq ynvaryantn¥my mnoΩestvamy system¥ (1.1). Esly X0 ∈ K 0 , to s uçetom (2.2) dlq nekotoroho τ ≥ t0 ymeem neravenstva 0 ≤ K τ ≤ K τ X ( t ) ≤ K τ X0 y, sledovatel\no, \|\| X ( t ) \|\| ≤ ν \|\| X0 \|\| (sm. dokazatel\stvo lemm¥ 2.1). Dannaq ocenka v¥polnqetsq takΩe pry X0 ∈ – K 0 , tak kak v πtom sluçae ymeem neravenstva 0 ≤ K τ – X ( t ) ≤ K τ – X0 , sledugwye yz (2.3) y teorem¥ o koneç- nom pryrawenyy. Poskol\ku konus K 0 vosproyzvodqwyj, to v obwem sluçae X 0 = X0 + + + X0 − ∈ E , X0 ± ∈ ± K 0 , pryçem X0 ± ≤ γ \|\| X0 \|\|, hde γ > 0 — konstanta ne- splgwennosty konusa K 0 . Tak kak X– ( t ) ≤ K t X ( t ) ≤ K t X+ ( t ), hde X ± ( t ) = ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 206 A. H. MAZKO = Ω ( t, t0 ) X0 ± , to s uçetom normal\nosty konusa K t y nesplgwennosty konusa K 0 poluçaem ocenku \|\| X ( t ) \|\| ≤ ν1 ( t ) \|\| X– ( t ) \|\| + ν2 ( t ) \|\| X+ ( t ) \|\| ≤ γ ν ( 2 ν + 1 ) \|\| X0 \|\|, yz kotoroj sleduet ustojçyvost\ sostoqnyq X ≡ 0 system¥ (1.1). V dann¥x so- otnoßenyqx v¥bran¥ funkcyy ν1 ( t ) = νt + 1 y ν2 ( t ) = νt , hde νt ≤ ν. Lemma dokazana. Pry uslovyqx lemm¥ 2.2 sostoqnye X ≡ 0 system¥ klassov M1 ± ymeet svojstva ustojçyvosty v K t y – K t . ∏ty svojstva obespeçyvagt ustojçyvost\ po Lqpunovu sostoqnyq X ≡ 0 dannoj system¥. Dlq lynejn¥x system svojstva ustojçyvosty v K t y – K t nulevoho sostoqnyq πkvyvalentn¥. Zameçanye 2.1. Esly sostoqnyq system¥ (1.1) udovletvorqgt ocenke – P X– ( t ) ≤ K t X ( t ) ≤ K t Q X+ ( t ), t ≥ t0 , hde P y Q — lynejn¥e ohranyçenn¥e operator¥, X± ( t ) = Ω ( t, t0 ) X± , X0 = X+ – – X– , X± ∈ K 0 , to yz ustojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvosty) v K t so- stoqnyq X ≡ 0 dannoj system¥ sleduet eho ustojçyvost\ (asymptotyçeskaq us- tojçyvost\) po Lqpunovu. Esly operator¥ P y Q poloΩytel\n¥ otnosytel\- no K t , to ony ohranyçen¥ po norme [2]. Lemma 2.2 moΩet b¥t\ yspol\zovana pry postroenyy alhebrayçeskyx uslo- vyj ustojçyvosty reßenyq X ≡ 0 dyfferencyal\noj system¥ (1.3) klassov M1 ± . Pry πtom uslovyq (2.2) y (2.3) predstavlqgtsq v vyde neravenstv F ( X, t ) ≤ K t 0 y F ( X, t ) ≥ K t 0, v¥polnqem¥x na ee reßenyqx s naçal\n¥my znaçenyqmy yz K 0 y – K 0 sootvetstvenno. Yz dokazatel\stva lemm 2.1 y 2.2 v¥tekaet sledugwee utverΩdenye. Teorema 2.1. Sostoqnye X ≡ 0 system¥ (1.1), prynadleΩawej klassam M1 ± , ustojçyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) po Lqpunovu v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda ono ustojçyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) v K t y – K t . Sformulyruem sledstvye lemm¥ 2.2 dlq lynejnoj system¥ (1.4) v termynax πvolgcyonnoho operatora WM ( t, t0 ). Teorema 2.2. Esly v¥polnqgtsq uslovyq WM ( t, t0 ) K 0 ⊂ K t , M ( t ) WM ( t, t0 ) K 0 ⊂ K t , t ≥ t0 , to systema (1.4) ustojçyva po Lqpunovu. Rassmotrym klass lynejn¥x stacyonarn¥x system Ẋ + M X = 0. (2.4) V πtom sluçae WM ( t, t0 ) = e M t t− −( )0 y pozytyvnost\ system¥ (2.4) otnosytel\no K t ravnosyl\na vklgçenyg eMt0 K 0 ⊂ eMt K t , t ≥ t0 . V sluçae postoqnnoho konusa K t = K uslovyq ustojçyvosty pozytyvnoj system¥ (2.4) opys¥vagtsq v termynax poloΩytel\n¥x reßenyj alhebrayçeskoho uravnenyq M X = Y [10 – 12]. Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye [12, 13]. Teorema 2.3. Esly systema (2.4) pozytyvna otnosytel\no normal\noho vo- sproyzvodqweho konusa K , to ona πksponencyal\no ustojçyva v tom y tol\ko ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 207 v tom sluçae, kohda operator M poloΩytel\no obratym, t. e. K ⊂ MK . Es- ly K ⊂ ( M + γ I ) K pry lgbom γ ≥ 0, to systema (2.4) pozytyvna otnosy- tel\no K y πksponencyal\no ustojçyva. 3. Metod¥ sravnenyq system. V zadaçax analyza ustojçyvosty y ocenky reßenyj sloΩn¥x dynamyçeskyx system prymenqgtsq metod¥ sravnenyq, osno- vann¥e na otobraΩenyy prostranstva sostoqnyj yzuçaemoj system¥ v prostran- stva sostoqnyj vspomohatel\n¥x system [5, 6]. V kaçestve system sravnenyq ce- lesoobrazno yspol\zovat\ pozytyvn¥e y monotonn¥e system¥ otnosytel\no podxodqwyx konusov [13, 14]. YzloΩym obobwenn¥j pryncyp sravnenyq s ys- pol\zovanyem peremennoho konusa. Rassmotrym v banaxovom prostranstve χ dyfferencyal\nug systemu ẋ = f ( x, t ), x ∈ χ, t ≥ θ. (3.1) Pust\ E — banaxovo prostranstvo, soderΩawee konus K t s ohranyçennoj kon- stantoj normal\nosty νt ≤ ν < ∞, pryçem v lgboj naçal\n¥j moment vremeny t0 ≥ θ konus K 0 = K t0 vosproyzvodqwyj. Postroym v E klass¥ system srav- nenyq vyda (1.3) dlq system¥ (3.1). Pry πtom budem predpolahat\, çto system¥ (1.3) y (3.1) ymegt edynstvenn¥e neprer¥vn¥e reßenyq pry t ≥ t0 y rassmatry- vaem¥x naçal\n¥x uslovyqx X ( t0 ) = X0 y x ( t0 ) = x0 . Oboznaçym çerez M klass system (1.3), meΩdu reßenyqmy kotor¥x y re- ßenyqmy dyfferencyal\n¥x neravenstv Ż ≤ K t F ( Z, t ), Z ∈ E , Z ( t0 ) = Z0 , (3.2) moΩno ustanovyt\ takoe sootvetstvye, çto Z0 ≤ K 0 X0 ⇒ Z ( t ) ≤ K t X ( t ), t > t0 . (3.3) S pomow\g sootnoßenyj (1.3), (3.2) y (3.3) pry dopolnytel\nom trebovanyy X0 ∈ K 0 ( Z0 ∈ K 0 ) opredelym takΩe klass system M1 M 2( ) . Analohyçno vvodym klass¥ system M , M 1 y M 2 , yspol\zuq v (3.2) y (3.3) konus – K t vmesto K t , t. e. zamenqq vse yspol\zuem¥e konusn¥e neraven- stva na protyvopoloΩn¥e. Semejstva operatorov F ( X, t ), opys¥vagwyx klas- s¥ system M , M k , M y M k vyda (1.3), oboznaçym sootvetstvenno çerez F , Fk , F y F k , k = 1, 2. Oçevydno, F ⊂ F1 ⊂ F2 y F ⊂ F 1 ⊂ F 2 . Esly F ∈ F ∪ F , to systema (1.3) monotonna otnosytel\no K t . Esly F ( 0, t ) ≥ K t 0 ( F ( 0, t ) ≤ K t 0 ), to syste- ma klassa F2 F 2( ) qvlqetsq pozytyvnoj otnosytel\no K t ( – K t ) y mono- tonnoj v K t ( – K t ). Lemma 3.1. Pry uslovyqx lemm¥ 1.1 v¥polnqetsq vklgçenye F ⊂ F ∪ F . Dokazatel\stvo. Yspol\zuem metodyku dokazatel\stva lemm¥ 1.1. Pust\ F ∈ F y funkcyy Y ( t ) y Z ( t ) pry t ≥ t0 udovletvorqgt sootnoßenyqm Ẏ = F ( Y, t ) + ε Q, Ż ≤ K t F ( Z, t ), Z0 ≤ K 0 Y0 , hde Q > K t 0, ε > 0, pryçem v moment vremeny τ ≥ t0 funkcyq Y ( t ) – Z ( t ) v¥xo- dyt za predel¥ konusa K t . Tohda dlq nekotor¥x ϕ ∈ K τ * y δ > 0 v¥polnqgt- sq sootnoßenyq ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 208 A. H. MAZKO Z ( τ ) ≤ K τ Y ( τ ), ϕ ( Z ( τ ) ) = ϕ ( Y ( τ ) ), ϕ ( Z ( t ) ) > ϕ ( Y ( t ) ), hde τ < t ≤ τ + δ. Uçyt¥vaq predpoloΩenyq, poluçaem ˙( )Y τ – ˙( )Z τ ≥ K τ F ( Y ( τ ), τ ) – F ( Z ( τ ), τ ) + ε Q ( τ ), ϕ τ τ˙( ) ˙( )Y Z−( ) > 0, τ τ δ ϕ + ∫ −( )˙( ) ˙( )Y t Z t dt = ϕ ( Y ( τ + δ ) ) – ϕ ( Z ( τ + δ ) ) ≥ 0. Poslednee neravenstvo pry nekotorom δ > 0 protyvoreçyt predpoloΩenyqm. Sledovatel\no, Z ( t ) ≤ K t Y ( t ) y pry ε → 0 poluçaem Z ( t ) ≤ K t X ( t ), hde X ( t ) — reßenye system¥ (1.3), t. e. F ∈ F . Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto F ∈ F . Lemma dokazana. Klassam F y F , opredelenn¥m s pomow\g konusa neotrycatel\n¥x vek- torov v R n , prynadleΩat funkcyy, udovletvorqgwye uslovyqm VaΩevskoho (sm. prymer 1.1). Operator-funkcyy F ∈ F ymegt obobwennoe svojstvo kvazy- monotonnosty otnosytel\no K t . MoΩno pokazat\, çto pry uslovyy pozytyvnosty system¥ (1.3) otnosytel\no K t yz F ∈ F1 + ( F ∈ F2 + ) sleduet F ∈ F1 ( F ∈ F2). Analohyçno, esly syste- ma (1.3) pozytyvna otnosytel\no – K t , to yz F ∈ F1 − ( F ∈ F2 − ) sleduet F ∈ ∈ F 1 ( F ∈ F 2). Pust\ V ( x, t ) — operator, neprer¥vno otobraΩagwyj nekotorug okrest- nost\ D toçky x = 0 ∈ χ pry t ≥ t0 v prostranstvo E . Esly v¥raΩenye V ( x, t ) y eho obobwennaq proyzvodnaq v sylu system¥ (3.1) pry x ∈ D y t ≥ θ udov- letvorqgt sootnoßenyg D V x tt ( , ) ( . )3 1 ≤ K t F ( V ( x, t ), t ), (3.4) to systema (1.3) klassa M qvlqetsq verxnej systemoj sravnenyq dlq system¥ (3.1) v tom sm¥sle, çto reßenyq x ( t ) ∈ D y X ( t ) sravnym¥ v vyde V ( x0 , t0 ) ≤ K 0 X0 ⇒ V ( x ( t ), t ) ≤ K t X ( t ), t > t0 . (3.5) V (3.4) v kaçestve proyzvodnoj v sylu system¥ (3.1) moΩno yspol\zovat\ v¥raΩenye D V x tt ( , ) ( . )3 1 = limsup ( ( , ), ) ( , ) h h V x h f x t t h V x t → + + + −[ ] 0 1 . Systema (1.3) klassa M1, pozytyvnaq otnosytel\no K t , pry uslovyy (3.4) takΩe qvlqetsq verxnej systemoj sravnenyq dlq system¥ (3.1). Esly pry πtom operator V ( x, t ) vsgdu poloΩytelen, to m¥ ymeem verxngg systemu sravnenyq klassa M 2 . Na klassax system M , M 1 y M 2 analohyçno opredelqgtsq nyΩnye sys- tem¥ sravnenyq dlq system¥ (3.1) pry zamene vsex konusn¥x neravenstv v (3.4) y (3.5) na protyvopoloΩn¥e. Esly potrebovat\, çtob¥ vmesto (3.4) v¥polnqlos\ ravenstvo ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 209 D V x tt ( , ) ( . )3 1 = F ( V ( x, t ), t ), (3.6) to yz opredelenyq monotonnosty system¥ (1.3) otnosytel\no K t ymeem X10 ≤ K 0 V ( x0 , t0 ) ≤ K 0 X20 ⇒ X1 ( t ) ≤ K t V ( x ( t ), t ) ≤ K t X2 ( t ), (3.7) hde X1 ( t ) y X2 ( t ) — nekotor¥e reßenyq system¥ (1.3) pry t ≥ t0 s naçal\n¥my uslovyqmy X1 ( t0 ) = X10 y X2 ( t ) = X20 . Poπtomu sootnoßenye (3.6) opredelqet klass monotonn¥x system (1.3), yspol\zuem¥x v kaçestve nyΩnyx y verxnyx system sravnenyq dlq system¥ (3.1). Ocenky (3.5) y (3.7) moΩno yspol\zovat\ dlq sravnenyq dynamyçeskyx svojstv system (3.1) y (1.3), a takΩe pry postroenyy oblasty prytqΩenyq v fa- zovom prostranstve system¥ (3.1). Naprymer, esly neravenstvo V ( x, t ) ≤ K t 0 vozmoΩno tol\ko pry x = 0, to pry uslovyqx (3.5) y X ( t ) → 0 ymeem x ( t ) → 0, t → ∞. Rassmotrym v prostranstve E dve system¥ Ẋ1 = F1 ( X1 , t ), X1 ∈ E , t ≥ θ, (3.8) Ẋ2 = F2 ( X2 , t ), X2 ∈ E , t ≥ θ, (3.9) klassa M y M sootvetstvenno. Esly pry x ∈ D y t ≥ θ F1 ( V ( x, t ), t ) ≤ K t D V x tt ( , ) ( . )3 1 ≤ K t F2 ( V ( x, t ), t ), (3.10) to reßenye ysxodnoj system¥ (3.1) udovletvorqet ocenke (3.7), hde X1 ( t ) y X2 ( t ) — reßenyq sootvetstvugwyx system (3.8) y (3.9). Pust\ ysxodnaq systema (3.1) y system¥ sravnenyq (3.8) y (3.9) ymegt yzoly- rovann¥e sostoqnyq ravnovesyq: f ( 0 , t ) ≡ 0, F1 ( 0, t ) ≡ F2 ( 0, t ) ≡ 0. Potrebuem, çtob¥ operator V ymel dopolnytel\n¥e svojstva V ( 0, t ) ≡ 0, V ( x, t ) ≠ 0, x ≠ 0 ∈ D, t ≥ θ. (3.11) Teorema 3.1. Pust\ operator V udovletvorqet sootnoßenyqm (3.10), (3.11), pryçem F1 ∈ F 1 y F 2 ∈ F1. Tohda reßenye x ≡ 0 system¥ (3.1) us- tojçyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) po Lqpunovu, esly ustojçyvo (asymp- totyçesky ustojçyvo) v – K t reßenye X1 ≡ 0 system¥ (3.8) y ustojçyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) v K t reßenye X2 ≡ 0 system¥ (3.9). Dokazatel\stvo. Poskol\ku konus K 0 vosproyzvodqwyj y ymeet svojs- tvo nesplgwennosty, to – X− 0 ≤ K 0 V ( x0 , t0 ) = X+ 0 – X− 0 ≤ K 0 X+ 0 , X± 0 ≥ γ \|\| V ( x0 , t0 ) \|\|, hde X± 0 ≥ K 0 0, γ > 0 — unyversal\naq konstanta. Pust\ X1 ( t ) ( X2 ( t ) ) — reßenye system¥ (3.8) ((3.9)) klassa M 1 ( M1) s naçal\n¥m uslovyem X1 ( t0 ) = – X− 0 ( X2 ( t0 ) = X+ 0 ). Tohda X1 ( t ) ≤ K t 0 y X2 ( t ) ≥ K t ≥ K t 0 pry t ≥ t0 . S uçetom (3.7) y normal\nosty konusa K t ymeem V x t t( ),( ) ≤ ν1 \|\| X1 ( t ) \|\| + ν2 \|\| X2 ( t ) \|\|, t > t0 , hde ν1 > 0 y ν2 > 0 — unyversal\n¥e konstant¥. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 210 A. H. MAZKO Yz neprer¥vnosty funkcyy V ( x, t ) y uslovyj (3.11) sleduet, çto dlq lgbo- ho ε > 0 suwestvuet δ0 > 0 takoe, çto \|\| x ( t ) \|\| ≤ ε, lyß\ tol\ko V x t t( ),( ) ≤ ≤ δ 0 . Yspol\zuem svojstva ustojçyvosty v – K t y K t nulev¥x reßenyj sys- tem (3.8) y (3.9) sootvetstvenno. Podberem δ1 > 0 y δ 2 > 0 tak, çtob¥ yz X− 0 ≤ δ1 y X+ 0 ≤ δ2 sledovaly sootvetstvugwye neravenstva \|\| X1 ( t ) \|\| ≤ δ ν 0 12 , \|\| X2 ( t ) \|\| ≤ δ ν 0 22 , t > t0 . Nakonec, v¥berem δ > 0 tak, çtob¥ yz \|\| x0 \|\| ≤ δ sledovalo \|\| V ( x0 , t0 ) \|\| ≤ ≤ min { δ1, δ2 } / γ. Tohda s uçetom yzloΩenn¥x rassuΩdenyj poluçaem \|\| x ( t ) \|\| ≤ ≤ ε pry t > t0 , t. e. nulevoe reßenye system¥ (3.1) ustojçyvo po Lqpunovu. Pry πtom \|\| x ( t ) \|\| → 0, esly \|\| X1 ( t ) \|\| → 0 y \|\| X2 ( t ) \|\| → 0 pry t → ∞. Teorema dokazana. Analyz ustojçyvosty nulevoho reßenyq system¥ (3.1) moΩno provodyt\ na osnove lyß\ verxnyx (nyΩnyx) system sravnenyq klassa M 2 M 2( ) yly mono- tonn¥x v K t ( – K t ) system (1.3) s yspol\zovanyem vsgdu poloΩytel\n¥x (ot- rycatel\n¥x) operatorov V. V çastnosty, spravedlyvo sledugwee utverΩ- denye. Teorema 3.2. Pust\ v¥polnen¥ sootnoßenyq (3.4) y (3.11), pryçem F ∈ F2 y V ( x, t ) ≥ K t 0 pry x ∈ D, t ≥ θ. Tohda reßenye x ≡ 0 system¥ (3.1) ustoj- çyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) po Lqpunovu, esly ustojçyvo (asymptoty- çesky ustojçyvo) v K t reßenye X ≡ 0 system¥ (1.3). Dokazatel\stva teorem 3.1 y 3.2 analohyçn¥. Zameçanye 3.1. Verxnye system¥ sravnenyq v teoremax 3.1 y 3.2 dolΩn¥ b¥t\ pozytyvn¥my. Poπtomu uslovyq ustojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçy- vosty) v K t nulev¥x reßenyj dann¥x system moΩno zamenyt\ trebovanyem yx ustojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvosty) po Lqpunovu. Analohyçno, us- lovyq ustojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvosty) v – K t nulevoho reßenyq nyΩnej system¥ sravnenyq v teoreme 3.1 moΩno zamenyt\ trebovanyem eho us- tojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvosty) po Lqpunovu. Zameçanye 3.2. Teorema 3.2 ostaetsq spravedlyvoj, esly potrebovat\, çto- b¥ vmesto konusnoho neravenstva V ( x, t ) ≥ K t 0 dlq nekotoroho ϕ ∈ K t * v¥pol- nqlos\ skalqrnoe neravenstvo ϕ ( V ( x, t ) ) > 0 pry x ≠ 0 ∈ D y t ≥ θ. Teorema 3.2 takΩe ymeet mesto, esly vmesto trebovanyq F ∈ F2 yspol\zovat\ svojstvo monotonnosty system¥ (1.3) v konuse K t . Pry πtom dolΩno v¥polnqt\sq sootnoßenye (3.6). Otmetym, çto nyΩnye y verxnye system¥ sravnenyq dlq system¥ (3.1) moΩno stroyt\ v razn¥x poluuporqdoçenn¥x prostranstvax E1 y E2 . Pry πtom svoj- stva sootvetstvugwyx operatorov V1 ( x, t ) y V2 ( x, t ) y neravenstv V1 ( x ( t ), t ) ≥ K 1t X1 ( t ), V2 ( x ( t ), t ) ≤ K 2t X2 ( t ) dolΩn¥ b¥t\ sohlasovan¥ s cel\g yzuçenyq opredelenn¥x xarakterystyk sys- tem¥ (3.1). Tak, esly systema neravenstv V1 ( x, t ) ≥ K 1t 0 y V2 ( x, t ) ≤ K 2t 0 v¥pol- nqetsq tol\ko pry x = 0, to yz X1 ( t ) → 0 y X2 ( t ) → 0, hde X1 ( t ) ( X2 ( t ) ) — reßenye nyΩnej (verxnej) system¥ sravnenyq, sleduet x ( t ) → 0 pry t → ∞. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 211 Prymer 3.1. Rassmotrym dyfferencyal\nug systemu ẋ = g ( V ( x ), t ) � x, x ∈ R n , (3.12) hde g — nekotoraq vektor-funkcyq, V ( x ) = x 2 ≡ x � x ≥ K 0, K ⊂ R n — konus neotrycatel\n¥x vektorov, � — poπlementnoe proyzvedenye Íura. Proyzvod- naq ot V ( x ) v sylu system¥ (3.12) ravna v¥raΩenyg 2 g ( V ( x ), t ) � V ( x ), y m¥ ymeem systemu sravnenyq vyda Ẋ = 2 g ( X, t ) � X, x ∈ R n . (3.13) Systema (3.13) qvlqetsq pozytyvnoj otnosytel\no konusa K . Esly vektor- funkcyq g udovletvorqet uslovyg VaΩevskoho (sm. prymer 1.1), to systema (3.13) qvlqetsq monotonnoj v K y moΩet b¥t\ yspol\zovana v teoreme 3.2. Dlq reßenyj system (3.12) y (3.13) spravedlyva ocenka x0 ≤ K X0 ⇒ \| x ( t ) \| ≤ K X t( ) , t > t0 , hde operacyy modulq y kornq ot vektora v¥polnqgtsq poπlementno. Yz ustoj- çyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvosty) v K reßenyq X ≡ 0 system¥ (3.13) sleduet ustojçyvost\ (asymptotyçeskaq ustojçyvost\) po Lqpunovu reßenyq x ≡ 0 system¥ (3.12). Prymer 3.2. Rassmotrym dyfferencyal\nug systemu ẋ = A ( V ( x ), t ) x, x ∈ R n , (3.14) hde A — nekotor¥j operator, V ( x ) = x x T ≥ K 0, K ⊂ R n × n — konus neotryca- tel\no opredelenn¥x matryc. V¥çyslqq proyzvodnug v sylu system¥ (3.14) ot V ( x ), na osnove sootnoßenyq (3.6) poluçaem matryçnoe uravnenye Ẋ = A ( X, t ) X + X A T ( X, t ), X = X T ∈ R n × n . (3.15) Pust\ A ( X, t ) = – A ( t ) + X B ( X, t ) y operator R ( X, t ) = B ( X, t ) + B T ( X, t ) qvlq- etsq monotonn¥m otnosytel\no konusa K . Tohda uravnenye (3.15) pryvodytsq k vydu (1.10) y moΩet b¥t\ yspol\zovano v kaçestve verxnej system¥ sravnenyq v teoreme 3.2 dlq ysxodnoj system¥ (3.14). KaΩdoe reßenye x ( t ) system¥ (3.14) udovletvorqet ocenke x xT 0 0 ≤ K X0 ⇒ x ( t ) x T ( t ) ≤ K X ( t ), t > t0 , hde X ( t ) ≥ 0 — reßenye uravnenyq (1.10). Yz ustojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvosty) v K reßenyq X ≡ 0 uravnenyq (1.10) sleduet ustojçyvost\ (asymptotyçeskaq ustojçyvost\) po Lqpunovu reßenyq x ≡ 0 system¥ (3.14). 4. Robastnaq ustojçyvost\ semejstva system. V prykladn¥x yssledova- nyqx voznykaet zadaça ob ustojçyvosty zadannoho semejstva system, opys¥vae- m¥x dyfferencyal\n¥my yly raznostn¥my uravnenyqmy s neopredelenn¥my parametramy (zadaça robastnoj ustojçyvosty). YzloΩym metodyku analyza ro- bastnoj ustojçyvosty semejstva system Ẋ = F ( X, t ), F ( 0, t ) ≡ 0, (4.1) F X t( , ) ≤ K t F ( X, t ) ≤ K t F X t( , ), X ∈ E , t ≥ θ, (4.2) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 212 A. H. MAZKO hde neravenstva opredelqgtsq konusom K t ⊂ E s ohranyçennoj konstantoj normal\nosty. Neravenstva meΩdu znaçenyqmy funkcyj v naçal\n¥j moment vremeny t0 opredelqem otnosytel\no vosproyzvodqweho konusa K 0 = K t0 . V¥delym v semejstve (4.1), (4.2) dve system¥: Ẋ1 = F X t( , )1 , F t( , )0 ≡ 0, (4.3) Ẋ2 = F X t( , )2 , F t( , )0 ≡ 0. (4.4) Pry F ∈ F y F ∈ F reßenyq kaΩdoj system¥ (4.1), (4.2) ohranyçen¥ soot- vetstvugwymy reßenyqmy system (4.3) y (4.4), t. e. X10 ≤ K 0 X0 ≤ K 0 X20 ⇒ X1 ( t ) ≤ K t X ( t ) ≤ K t X 2 ( t ) ∀ t > t0 . (4.5) Poπtomu (4.3) y (4.4) moΩno rassmatryvat\ sootvetstvenno v kaçestve nyΩnej y verxnej system sravnenyq dlq system¥ (4.1). Polahaq v teoreme 3.1 V ( X, t ) ≡ X, poluçaem sledugwye uslovyq robastnoj ustojçyvosty semejstva system (4.1), (4.2). Teorema 4.1. Pust\ F ∈ F 1, F ∈ F1 y nulev¥e reßenyq system (4.3) y (4.4) ustojçyv¥ (asymptotyçesky ustojçyv¥) sootvetstvenno v – K t y K t . Tohda ustojçyvo (asymptotyçesky ustojçyvo) po Lqpunovu nulevoe reßenye kaΩdoj system¥ semejstva (4.1), (4.2). V dannom utverΩdenyy uslovyq ustojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvos- ty) v – K t y K t nulev¥x reßenyj sootvetstvugwyx system (4.3) y (4.4) moΩ- no zamenyt\ trebovanyem yx ustojçyvosty (asymptotyçeskoj ustojçyvosty) po Lqpunovu. Sformulyruem uslovyq ustojçyvosty semejstva lynejn¥x system Ẋ + M ( t ) X = 0, M t( ) ≤ M ( t ) ≤ M t( ) . (4.6) V dannom sluçae neravenstva (4.2) v¥polnqgtsq pry X ∈ K t , a system¥ (4.3) y (4.4) ymegt vyd Ẋ1 + M t( )X1 = 0, (4.7) Ẋ2 + M t( ) X2 = 0. (4.8) Teorema 4.2. Esly systema (4.8) asymptotyçesky ustojçyva, a systema (4.7) pozytyvna otnosytel\no K t , to kaΩdaq systema semejstva (4.6) asym- ptotyçesky ustojçyva y pozytyvna otnosytel\no K t . Prymer 4.1. Rassmotrym semejstvo lynejn¥x system ẋ + A ( t ) x = 0, aij ≤ ai j ( t ) ≤ 0, , ( ), , i j a t i jij ≠ =    hde aij — πlement¥ vnedyahonal\no nepoloΩytel\noj matryc¥, ymegwej po- loΩytel\n¥e hlavn¥e veduwye mynor¥, a tij ( ) — zadann¥e neprer¥vn¥e funk- cyy. Systema ẋ1 + A t x( ) 1 = 0 s dyahonal\noj matrycej A t( ) qvlqetsq pozy- tyvnoj otnosytel\no konusa neotrycatel\n¥x vektorov K ⊂ R n , a systema ẋ2 + A x2 = 0 — asymptotyçesky ustojçyvoj. Poπtomu kaΩdaq systema dannoho ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 USTOJÇYVOST\| Y SRAVNENYE SOSTOQNYJ DYNAMYÇESKYX … 213 semejstva asymptotyçesky ustojçyva y pozytyvna otnosytel\no K . Pry πtom A – 1 ( t ) ≥ 0 dlq lgboj matryc¥ A ( t ) yz yntervala A ≤ A ( t ) ≤ A t( ) . 1. Krasnosel\skyj M. A. Operator sdvyha po traektoryqm dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1966. – 332 s. 2. Krasnosel\skyj M. A., Lyfßyc E. A., Sobolev A. V. Pozytyvn¥e lynejn¥e system¥. – M.: Nauka, 1985. – 256 s. 3. Klement F., Xejmans X., Anhenent S., van Dujn K., de Paxter B. Odnoparametryçeskye po- luhrupp¥. – M.: Myr, 1992. – 352 s. 4. Mazko A. H. Ustojçyvost\ pozytyvn¥x y monotonn¥x system v poluuporqdoçennom pros- transtve // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 4. – S. 462 – 475. 5. Matrosov V. M., Anapol\skyj L. G., Vasyl\ev S. N. Metod sravnenyq v matematyçeskoj te- oryy system. – Novosybyrsk: Nauka, 1980. – 480 s. 6. Lakßmykantam V., Lyla S., Mart¥ngk A. A. Ustojçyvost\ dvyΩenyq: metod sravnenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1991. – 248 s. 7. Lakshmikantham V., Leela S. Advances in stability theory of Lyapunov: old and new // Adv. in Stability Theory at the End of the 20th Century / Ed. A. A. Martynyuk. – London: Taylor & Francis, 2003. – 13. – P. 121 – 134. 8. Martynyuk A. A. Qualitative methods in nonlinear dynamics: Novel approaches to Liapunov’s matrix functions. – New York: Marcel Dekker, Inc., 2002. – 301 p. 9. Mart¥ngk A. A., Obolenskyj A. G. Ob ustojçyvosty reßenyj avtonomn¥x system VaΩev- skoho // Dyfferenc. uravnenyq. – 1980. – 16, # 8. – S. 1392 – 1407. 10. Mazko A. H. Lokalyzacyq spektra y ustojçyvost\ dynamyçeskyx system // Pr. In-tu matema- tyky NAN Ukra]ny. – 1999. – 28. – 216 s. 11. Myl\ßtejn H. N. ∏ksponencyal\naq ustojçyvost\ poloΩytel\n¥x poluhrupp v lynejnom topolohyçeskom prostranstve // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1975. – # 9. – S. 35 – 42. 12. Mazko A. H. Ustojçyvost\ lynejn¥x pozytyvn¥x system // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, #Q3. – S. 323 – 330. 13. Mazko A. H. Ustojçyvost\ y sravnenye system v poluuporqdoçennom prostranstve // Prob- lem¥ nelynejnoho analyza v ynΩenern¥x systemax. – 2002. – 8, v¥p. 1(15). – S. 24 – 48. 14. Mazko A. H. Pozytyvn¥e y monotonn¥e system¥ v poluuporqdoçennom prostranstve // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, #Q2. – S. 164 – 173. Poluçeno 15.06.2004 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2

Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного конуса

Institution

Ähnliche Einträge