Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів
Доводиться теорема про збіжність до виродженого закону розподілів інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165615 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів / І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 214–221. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165615 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656152020-02-15T01:26:26Z Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів Мацак, І.К. Статті Доводиться теорема про збіжність до виродженого закону розподілів інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів. We prove a theorem on the convergence of integral functionals of an extremum of independent stochastic processes to a degenerate law of distributions. 2005 Article Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів / І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 214–221. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165615 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мацак, І.К. Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів Український математичний журнал |
| description |
Доводиться теорема про збіжність до виродженого закону розподілів інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів. |
| format |
Article |
| author |
Мацак, І.К. |
| author_facet |
Мацак, І.К. |
| author_sort |
Мацак, І.К. |
| title |
Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів |
| title_short |
Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів |
| title_full |
Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів |
| title_fullStr |
Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів |
| title_full_unstemmed |
Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів |
| title_sort |
гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165615 |
| citation_txt |
Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів / І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 214–221. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT macakík graničnateoremadlâíntegralʹnihfunkcíonalívvídekstremumunezaležnihvipadkovihprocesív |
| first_indexed |
2025-07-14T19:12:53Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:12:53Z |
| _version_ |
1837650805070495744 |
| fulltext |
UDK 519.21
I. K. Macak (Ky]v. nac. un-t texnolohij ta dyzajnu)
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX
FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU
NEZALEÛNYX�VYPADKOVYX PROCESIV
We prove a theorem on the convergence of integral functionals of the extremum of independent
stochastic processes to the degenerate law of distributions.
Dovodyt\sq teorema pro zbiΩnist\ do vyrodΩenoho zakonu rozpodiliv intehral\nyx funkciona-
liv vid ekstremumu nezaleΩnyx vypadkovyx procesiv.
Rozhlqnemo vypadkovi procesy (v.)p.) Y = Y t( ){ , t T∈ } ta Yn = Y tn( ){ , t T∈ } , n ≥
≥ 1, vyznaçeni na jmovirnisnomu prostori ( Ω , A, P ), T — vymirna mnoΩyna
dijsno] prqmo] R.
Vyznaçymo intehral\nyj funkcional vid vymirno] funkci] x t( ) formulog
f x h t x t dth
T
( ) , ( ) ( )= ( )∫ µ , (1)
de h t s( , ) — neperervna funkciq na T × R, µ — mira Lebeha. Nexaj H (s) —
deqka fiksovana neperervna funkciq, H s( ) > 0. Poznaçymo çerez �H klas
intehral\nyx funkcionaliv vyhlqdu (1), dlq qkyx
sup ( , ) ( )
t T
h t s O H s
∈
= ( ) pry s → ∞ .
Prypustymo, wo skinçennovymirni rozpodily v.)p. Y tn( ) zbihagt\sq do skin-
çennovymirnyx rozpodiliv v. p. Y t( ). Pryrodno posta[ pytannq pro umovy
zbiΩnosti rozpodiliv vypadkovyx velyçyn (v.)v.) f Yh n( ) do rozpodilu f Yh( ) dlq
funkcionaliv fh H∈� .
U takij zahal\nij postanovci zadaça pro zbiΩnist\ intehral\nyx funkcio-
naliv vid vypadkovyx procesiv vyvçalasq dosyt\ dokladno (dyv. [1 – 3]). Slid
zaznaçyty, wo isnugt\ vaΩlyvi pryklady intehral\nyx funkcionaliv, qki ne
oxoplggt\sq navedenog vywe sxemog. Takymy [, napryklad, intehral\ni funk-
cionaly vid ekstremumu nezaleΩnyx vypadkovyx funkcij za umovy (6). Specy-
fika danoho vypadku polqha[ v tomu, wo hranyçnyj proces ma[ nezaleΩni v
koΩnij toçci znaçennq i ne [ vymirnym u vidpovidnomu prostori. Cq obstavyna
ne dozvolq[ skorystatysq tradycijnym pidxodom — doslidΩennqm umov slabko]
zbiΩnosti mir u funkcional\nyx prostorax [1].
Vidomo, wo teoriq ekstremal\nyx znaçen\ v odnovymirnomu vypadku — ce
systematyçno rozroblenyj rozdil teori] jmovirnostej (dyv., napryklad, [4 – 6]).
Vodnoças çyslo publikacij, pov’qzanyx z bahatovymirnymy ekstremumamy, [
nezrivnqnno menßym [5], a neskinçennovymirnyj vypadok systematyçno vzahali
ne rozhlqdavsq.
Vraxovugçy vaΩlyvist\ maksymum-sxemy, zda[t\sq aktual\nym doslidΩennq
hranyçnyx teorem dlq ekstremal\nyx znaçen\ poslidovnosti nezaleΩnyx
vypadkovyx funkcij.
Odna z perßyx nebahat\ox vidomyx avtorovi robit, v qkyx rozhlqdagt\sq
ekstremumy v neskinçennovymirnomu vypadku, — ce robota [7]. U cij roboti
vstanovleno slabku zbiΩnist\ u prostori C[ , ]0 1 maksymumu special\nym çynom
normovanyx procesiv brounivs\koho ruxu do ekstremal\noho procesu.
Zda[t\sq, vperße intehral\ni funkcionaly vid ekstremumu nezaleΩnyx vy-
padkovyx funkcij doslidΩuvalys\ u roboti [8]. Pry vykonanni umovy (6), qka
zabezpeçu[ asymptotyçnu nezaleΩnist\ ekstremal\nyx znaçen\ komponent pro-
cesu, hranyçnymy tut vyqvylysq vyrodΩeni zakony. Pry c\omu v [8] zastoso-
© I. K. MACAK, 2005
214 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 215
vuvavsq metod momentiv, qkyj pryviv do neobxidnosti isnuvannq usix momentiv u
vypadkovyx funkcij.
U roboti avtora [9] znaçno poslablggt\sq momentni umovy z roboty [8].
Okrim toho, doslidΩu[t\sq zahal\na zadaça pro umovy zbiΩnosti v.)v. f Yh n( ) u
vypadku, koly skinçennovymirni rozpodily v.)p. Y tn( ) zbihagt\sq do skinçenno-
vymirnyx rozpodiliv v.)p. Y t( ), qkyj ma[ nezaleΩni v koΩnij toçci znaçennq.
Pry dovedenni osnovno] teoremy pro intehral\ni funkcionaly vid ekstre-
mumu nezaleΩnyx vypadkovyx funkcij v [9] sered inßyx vykorystovuvalas\
nastupna umova na ßvydkist\ spadannq funkcij rozpodilu na vid’[mnij pivosi:
isnu[ δ > 0 take, wo
F s O s( ) = ( )−δ
pry s → −∞ . (2)
Na vidminu vid inßyx umov roboty [9] cq umova ma[ texniçnyj xarakter.
U danij statti bude pokazano, wo umovog (2) moΩna znextuvaty. Wopravda,
pry c\omu my otryma[mo lyße zbiΩnist\ za jmovirnistg, v toj ças qk u [9] bulo
vstanovleno zbiΩnist\ u seredn\omu stepenq k.
MoΩna prypustyty, wo umova asymptotyçno] nezaleΩnosti ekstremal\nyx
znaçen\ (6) u bahat\ox vypadkax vykonu[t\sq (dlq normal\noho rozpodilu vona
zapysu[t\sq u vyhlqdi umovy na korelqcijnu funkcig, qka dlq vsix osnovnyx
prykladiv normal\nyx vypadkovyx funkcij [ virnog, dyv. [8, 9]).
Vvedemo rqd neobxidnyx poznaçen\ ta umov. Rozhlqnemo poslidovnist\ ( )ξi
nezaleΩnyx odnakovo rozpodilenyx vypadkovyx velyçyn (n.)o.)r.)v.)v.) z funk-
ci[g rozpodilu F x( ) = P ξi x<( ), zn
i n
i=
≤ ≤
max
1
ξ . Prypustymo, wo dlq deqkyx
çyslovyx poslidovnostej an, bn > 0 pry n → ∞
b z an n n
D−( ) → ζ, (3)
i ζ ma[ nevyrodΩenu funkcig rozpodilu G x( ) = P ζ <( )x .
Tut i dali poznaçennq ξ ξn
D→ , ξ ξn →P
oznaçagt\ vidpovidno zbiΩnist\ za
rozpodilom ta zbiΩnist\ za jmovirnistg.
Qkwo spivvidnoßennq (3) vykonu[t\sq, to budemo hovoryty, wo funkciq roz-
podilu F naleΩyt\ oblasti prytqhannq zakonu G, i pysaty F D G∈ ( ). Zhidno z
vidomog teoremog pro ekstremal\ni typy [4 – 6] moΩna vvaΩaty, wo F nale-
Ωyt\ oblasti prytqhannq odnoho z nastupnyx tr\ox typiv rozpodiliv:
I: G x1( ) = exp −( )−e x pry – ∞ < x < ∞,
II: G x2( ) =
0 0
0 0
pry
pry
x
x x
≤
−( ) > >
−
,
exp , ,α α
(4)
III: G x3( ) =
exp ( ) , ,
.
− −( ) > ≤
>
x x
x
α αpry
pry
0 0
1 0
Nexaj X = X t t T( ), ∈{ } — vypadkovyj proces, qkyj zobraΩu[t\sq u vyhlqdi
X t( ) = σ( ) ˜ ( )t X t , t T∈ , (5)
∀ ∈t T P ˜ ( )X t x<( ) = F x( ) ,
funkci] X t( ) ,
˜ ( )X t ta σ( )t vvaΩa[mo vymirnymy. Dlq poslidovnosti Xk =
= X tk{ ( ) , t T∈ } , k ≥ 1, nezaleΩnyx kopij X poklademo
Z Z t X t t Tn n k n k= = ∈{ }≤ ≤
( ) max ( ),
1
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
216 I. K. MACAK
U U t b Z t a t t Tn n n n n= = −( ) ∈{ }( ) ( ) ( ) ,σ .
Budemo prypuskaty, wo F D G∈ ( ), G x( ) zada[t\sq rivnistg (4), a poslidovnosti
( )bn ta ( )an zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq (3).
Nas cikavytymut\ umovy zbiΩnosti intehral\nyx funkcionaliv f Uh n( ) u vy-
padku asymptotyçno] nezaleΩnosti komponent ekstremal\nyx vypadkovyx fun-
kcij U tn( ) . Dlq c\oho na komponenty vypadkovoho vektora X ti
k( )( )1 bude na-
kladatysq umova
lim
,
( ), ( )t x F s x F
t s
t s∈ →
> >( )
>( ) + >( )
=
1 2
1 2
1 2
0
P
P P
ξ ξ
ξ ξ
, (6)
de x F( ) = sup ( s : F s( ) < 1) , F si( ) — funkciq rozpodilu vypadkovo] velyçyny
ξi , i = 1, 2 (umova (6) [ dobre vidomog, dyv. [9] ta navedenu v nij bibliohrafig).
Okrim toho, dlq dodatno] skriz\ skinçenno] funkci] g s( ), s > 0, vvedemo
umovu
sup
( )
( )s
g s
g s>
< ∞
0
2
. (7)
Umovu (7) u teori] prostoriv Orliça nazyvagt\ ∆ 2-umovog (u toçci 0 i na ∞ ,
dyv. [10, s. 120]).
Osnovnym rezul\tatom roboty [ nastupna teorema.
Teorema 1. Nexaj dlq vymirnoho vypadkovoho procesu X = X t{ ( ) , t T∈ } ,
qkyj zobraΩu[t\sq u vyhlqdi (5), vykonugt\sq umovy:
a) F D Gi∈ ( ), i = 1, 3;
b) dlq majΩe vsix (t, s) ∈ T × T v. 'v . X t( ) , X s( ) zadovol\nqgt\ riv-
nist\)(6);
c)
T
H t dt∫ ( ) < ∞σ µ( ) ( ) ;
d)
T
H X t dt∫ ( ) < ∞( ) ( )µ majΩe napevno.
Qkwo, krim toho, parna nespadna pry t > 0 funkciq H t( ) zadovol\nq[ umo-
vu (7), to dlq koΩnoho intehral\noho funkcionala fh H∈�
f U t dth n
T
h( ) ( ) ( )→ < ∞∫P χ µ , (8)
de χh t( ) = E h t t, ( )ζσ( ), ζ ma[ funkcig rozpodilu G xi( ).
ZauvaΩennq 1. Typova funkciq, qka zadovol\nq[ umovu (7), — ce funkciq
H s( ) = s p
dlq 0 < p < ∞.
Dovedennq teoremy 1. Spoçatku navedemo dva dopomiΩnyx rezul\taty.
Nexaj g s( ), s > 0, — dodatna skriz\ skinçenna funkciq. Vvedemo funkcig
M s
g st
g tg
t
( ) sup
( )
( )
=
>0
, 0 < s < ∞.
M sg( ) nazyvagt\ funkci[g roztqhu funkci] g s( ) [11]. Oçevydno, wo dlq
bud\-qkyx t > 0, s > 0
g st M s g tg( ) ( ) ( )≤ . (9)
Lema 1. Qkwo dodatna nespadna funkciq g s( ), s > 0, zadovol\nq[ umovu
(7), to
β = < ∞
>
inf
ln ( )
ln( )t
gM t
t1
, (10)
pry dosyt\ velykyx s
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 217
s M s sg
β β ε≤ ≤ +( ) ∀ >ε 0 . (11)
Okrim toho, dlq x ≥ 0, y ≥ 0
g x y M g x g yg( ) ( ) ( ) ( )+ ≤ +( )2 . (12)
Dovedennq. Ocinky (10), (11) navedeno v [9, 11].
Nerivnist\ (12) bezposeredn\o vyplyva[ z (7). Dijsno, pry 0 ≤ x ≤ y
g x y g y M g y M g x g yg g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ≤ ≤ ≤ +( )2 2 2 .
Lema 2. Nexaj ( )bn — poslidovnist\ dodatnyx çysel, qka zadovol\nq[ riv-
nist\ (3). Todi isnugt\ taki stali C i p, wo dlq n ≥ 1
b C nn
p≤ .
Lema 2 vyplyva[ z teoremy 2.2.1 [5] ta ocinok rostu funkcij, qki pravyl\no
zminggt\sq na neskinçennosti (dyv. [12]).
Teoremu 1 my vyvedemo iz lem 1, 2 ta naslidku 1 roboty [9]. Pry c\omu obme-
Ωymosq lyße vypadkom, koly F naleΩyt\ oblasti prytqhannq rozpodilu eks-
tremal\nyx znaçen\ I typu, F D G∈ ( )1 . Vypadok F D G∈ ( )3 rozhlqda[t\sq tak
samo.
Nexaj ζ( )t — v.)p. z nezaleΩnymy v koΩnij toçci znaçennqmy, dlq qkoho
P ζ( )t s<( ) = G s1( ) pry t T∈ . Poklademo
Y t t t( ) ( ) ( )= σ ζ , Y t U tn n( ) ( )= , m t h t Y t th( ) , ( ) ( )= ( ) =E χ . (13)
Zhidno z naslidkom 1 iz [9] dlq dovedennq teoremy 1 dostatn\o vstanovyty, wo
dlq Y t( ), Y tn( ) , m t( ), zadanyx rivnostqmy (13), vykonugt\sq umovy:
i) isnu[ vymirna j intehrovna na T funkciq c t( ) > 0 taka, wo dlq bud\-
qkoho ε > 0
lim sup ( ) ( ) ( ) ( )
λ
λ µ ε
→∞ ≥ ∫ ( ) ( ) >( ) >
=
n T
n nH Y t I H Y t c t dt
1
0P ; (14)
ii) majΩe dlq vsix par ( , )t s ∈) T T×( ) vykonu[t\sq umova:
Y t Y s Y t Y sn n
D( ), ( ) ( ), ( )( ) → ( ) pry n → ∞;
iii) dlq λ > 0 funkci]
m t h t Y t I H Y t c t( )( ) , ( ) ( ) ( )λ λ= ( ) ( ) ≤( )E ,
m t h t Y t( ) , ( )= ( )E , ˜ ( ) , ( )m t h t Y t= ( )E
vymirni ta intehrovni na T.
Osnovna trudnist\ tut pov’qzana z umovog i), tobto z dovedennqm rivnos-
ti)(14). Perevirka umov ii), iii) faktyçno mistyt\sq v [9], i my ]] tut ne navodymo.
PokaΩemo, wo isnu[ vymirna j intehrovna na T funkciq c t( ) > 0 taka, wo
dlq bud\-qkoho ε > 0 vykonu[t\sq rivnist\
lim sup ( ) ( ) ( ) ( )
λ
λ µ ε
→∞ ≥ ∫ ( ) ( ) >( ) >
=
n T
n nH U t I H U t c t dt
1
0P . (15)
Poznaçymo
˜ ( )Z tn = max ˜ ( )
1≤ ≤k n kX t . Todi z (9) ta lemy 1 ma[mo
J n( , )λ =
T
n nH U t I H U t c t dt∫ ( ) ( ) >( )( ) ( ) ( ) ( )λ µ ≤
≤
T
n H n n nH U t I M b Z t a H t c t dt∫ ( ) −( )( ) ( ) >( )( ) ˜ ( ) ( ) ( ) ( )σ λ µ ≤
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
218 I. K. MACAK
≤
T
n n n nH U t I C b Z t a H t c t dt∫ ( ) −( ) ( ) >
+
( ) ˜ ( ) ( ) ( ) ( )
β ε
σ λ µ , (16)
de ε > 0, C = C β ε,( ), β vyznaça[t\sq rivnistg (10). Poklademo
J n1( , )λ =
T
n n n n n nH b Z t a t I b Z t a C dt∫ ( ) −( )( ) −( ) >
+
+ −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )σ λ µ
β ε 1 ,
J n2( , )λ =
T
n n n n nH b Z t t I b Z t a C dt∫ ( ) ×( ) −( ) >
−
+ −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )σ λ µ
β ε 1
.
Pidstavlqgçy v (16) c t( ) = H tσ( )( ) i vraxovugçy nerivnist\
b Z t a b Z t a b Z tn n n n n n n n
˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( )−( ) ≤ ( ) −( ) + ( )+ −
ta ostanng nerivnist\ lemy 1, oderΩu[mo
J n( , )λ ≤ C J n J n1 1 2( , ) ( , )λ λ+( ).
Takym çynom, dostatn\o pokazaty, wo dlq bud\-qkoho ε > 0
lim sup ( , )
λ
λ ε
→∞ ≥
>( ) =
n
J n
1
1 0P , (17)
lim sup ( , )
λ
λ ε
→∞ ≥
>( ) =
n
J n
1
2 0P . (18)
Poçnemo z rivnosti (17). Zastosovugçy lemu 1 ta (9), ma[mo
J n1( , )λ ≤
≤
T
H n n n n n nM b Z t a H t I b Z t a C dt∫ ( ) −( )( ) ( ) −( ) >
+
+ −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )σ λ µ
β ε 1 ≤
≤ C b Z t a H t I b Z t a C dt
T
n n n n n n∫ ( ) −( ) ( ) −( ) >
+
+ + −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )
β ε β ε
σ λ µ1
.
Zvidsy
E J n1( , )λ ≤ C b Z t an n nE ˜ ( )
( ) /
( ) −( )
+
+2 1 2β ε
×
× P b Z t a Cn n n
˜ ( )
/
−( ) >
+ −β ε
λ1
1 2
T
H t dt∫ ( )σ µ( ) ( ) . (19)
Ne obmeΩugçy zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo
x F( ) > 0, F D G+ ∈ ( )1 , de F s X t s+ +
= ( ) <( )( ) ˜ ( )P
(u protyvnomu razi slid perejty do v.)p. vyhlqdu X t( ) = σ( )t ( ˜ ( ) )X t C+ ). Vidomo,
wo v rivnosti (3) pry F D G∈ ( )1 , x F( ) > 0
lim ( )
n
n n n
m mb z a
→ +∞
+ −( ) = < ∞E E ζ ∀ >m 0
(dyv. [9]). Zvidsy ma[mo
sup ˜ ( )
( )
n
n n nb Z t a
≥ +
+( ) −( ) < ∞
1
2
E
β ε
. (20)
Zaznaçymo, wo za cyx umov
P b Z t a x G xn n n
˜ ( ) ( )−( ) <( ) → 1 , n → ∞,
pryçomu zbiΩnist\ [ rivnomirnog po x (G xk ( ) — neperervna funkciq rozpodilu,
dyv. [5, s. 101]). Tomu dlq bud\-qkoho t T∈
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 219
lim sup ˜ ( )
λ
β ε
λ
→∞ ≥
+ −−( ) >
n
n n nb Z t a C
1
1P = 0. (21)
Z nerivnostej (19), (20) ta rivnosti (21) ma[mo
lim sup ( , )
λ
λ
→∞ ≥
=
n
J n
1
1 0E ,
zvidky i vyplyva[ (17).
Zalyßylosq pereviryty rivnist\ (18). Poklademo
I tn( ) =
1 0
0
2
pry
— u protyvnomu razi
min ˜ ( ) ,
≤ ≤ −( ) >
k n k tX
.
Beruçy do uvahy rivnist\
−( ) = −( )( )− ≤ ≤ −
˜ ( ) max ˜ ( )Z t tn k n k1
X ,
moΩna zapysaty
˜ ( ) ( ) ˜ ( )Z t I t tn n( ) ≤ ( )−
X1 m. n. (22)
Pry c\omu dlq r > 0
E I t pn
r n( ) = −1
, (23)
de p F= ( )0 (oskil\ky vvaΩa[mo, wo x F( ) > 0, to 0 ≤ p < 1).
Za dopomohog nerivnostej (9), (22) (a takoΩ lemy 1) ocinymo zverxu intehral
J n2( , )λ :
J n2( , )λ ≤
T
n n n n nH b I t t t I b Z t a C dt∫ ( ) −( ) >
+ −( ) ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )X1 σ λ µ
β ε 1 ≤
≤
T
H n n n n nM b I t H t t I b Z t a C dt∫ ( ) ( ) −( ) >
+ −( ) ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )X1 σ λ µ
β ε 1 ≤
≤ C b I t H X t I b Z t a C dt
T
n n n n n∫ + + −( ) −( ) >
( ) ( ) ˜ ( ) ( )β ε β ε
λ µ1
1
. (24)
Oskil\ky dlq bud\-qkoho fiksovanoho n, t T∈ pry λ → ∞
I b Z t a Cn n n
˜ ( ) −( ) >
+ −β ε
λ1 → 0 m. n.,
a
T
H X t dt∫ ( )1( ) ( )µ < ∞, to za teoremog Lebeha m. n. pry λ → ∞
T
n n nH X t I b Z t a C dt∫ ( ) −( ) >
+ −
1( ) ˜ ( ) ( )
β ε
λ µ1 → 0.
Tomu dlq 1 < n0 < ∞ iz (24) otrymu[mo
sup ( , )
1
2
0≤ ≤n n
J n λ ≤
≤ C b H X t I b Z t a C dt
n n
n
T
n n n2
1
1
0
sup ( ) ˜ ( ) ( )
≤ ≤
+ + −∫ ( ) −( ) >
β ε β ε
λ µ1 → 0, (25)
λ → ∞, m. n.
Rozhlqnemo vypadok velykyx n u (18). Nexaj δ > 0 — dovil\ne male çyslo.
Todi, vraxovugçy spivvidnoßennq (23), (24) i nezaleΩnist\ procesiv I tn( ) ta
X t1( ), ma[mo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
220 I. K. MACAK
P J n2( , )λ ε>( ) ≤ P 1
T
n nb I t H X t dt C∫ + −( ) >
( ) ( ) ( )β ε µ ε1 ≤
≤ P 1 1
T
n n n
n
T
b I t H X t dt b p H X t dt∫ ∫+ − + −( ) > ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )β ε β εµ δ µ1 1 +
+ P 1δ µ εβ ε− + − −∫ ( ) >
1 1 1b p H X t dt Cn
n
T
( ) ( ) ≤
≤ δ µ εδ
β ε+ ( ) >
∫ + −P 1
T n
nH X t dt
C b p
( ) ( ) 1 . (26)
Za lemog 2 b pn
nβ ε+ −1 → 0 pry n → ∞ . Tomu isnu[ çyslo n0 = n0( , )δ ε take,
wo pry n > n0
P 1
T n
nH X t dt
C b p∫ ( ) >
≤+ −( ) ( )µ εδ δβ ε 1 .
Zvidsy ta z (26) oderΩu[mo
sup P
n n
J n
≥
>( )
0
2( , )λ ε ≤ 2δ.
Oskil\ky δ > 0 — dovil\ne çyslo, to z uraxuvannqm (25) ma[mo rivnist\ (18).
Takym çynom, rivnist\ (15), a razom z neg i (14), vstanovleno.
U nastupnomu tverdΩenni rozhlqda[t\sq vypadok, koly funkciq rozpodilu
F naleΩyt\ oblasti prytqhannq rozpodilu ekstremal\nyx znaçen\ II typu.
TverdΩennq 1. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 1, ale umovu a) zamine-
no na
ã) F D G∈ ( )2 .
Qkwo M sH ( ) — funkciq roztqhu funkci] H s( ), β obçyslg[t\sq za for-
mulog (10) i β < α, to dlq koΩnoho intehral\noho funkcionala fh H∈� vy-
konu[t\sq spivvidnoßennq (8) iz vypadkovog velyçynog ζ , qka ma[ rozpodil
G s2( ) .
Dovedennq tverdΩennq 1 v osnovnomu povtorg[ dovedennq teoremy 1.
MoΩe vynyknuty zapytannq: çy isnu[ vypadkovyj proces, qkyj zadovol\nq[
umovy teoremy 1 i ne zadovol\nq[ umovu (2)?
Pozytyvnu vidpovid\ na ce pytannq da[ nastupnyj pryklad.
Pryklad. Nexaj γ1, γ 2 — nezaleΩni standartni normal\no rozpodileni
v.)v. Rozhlqnemo na vidrizku T = [ ]0 1, vypadkovyj proces
ξ γ γ( ) cos sint t t= +1 2 .
Proces ξ( )t [ neperervnym, normal\no rozpodilenym i moΩe buty zapysanyj
u)tak zvanij kosynus-formi: ξ( )t = A tcos −( )ϕ , A, ϕ — vypadkovi velyçyny
[6,)s.)190]. Bezposeredn\o obçyslg[t\sq joho kovariacijna funkciq r t( ) = cos t.
Zvidsy zrozumilo, wo pry t, s ∈[ ]0 1, , t ≠ s, vykonu[t\sq umova
r t sξ ξ( ), ( )( ) < 1,
de r — koefici[nt korelqci] Pirsona.
Vidomo (dyv. [9] ta navedenu v nij bibliohrafig), wo z ostann\o] nerivnosti
vyplyva[ (6).
Nexaj Φ( )x — standartna funkciq normal\noho rozpodilu. Poklademo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 221
F x
x x e
e
x
x e
( )
( ) ,
ln
.
=
> −
− ≤ −
Φ
Φ
pry
( )
pry
Todi F x( ) — neperervna stroho monotonna funkciq rozpodilu. Vvedemo vypad-
kovyj proces X t( ) = F t− ( )( )1 Φ ξ( ) , qkyj u koΩnij toçci t ∈[ ]0 1, ma[ funkcig
rozpodilu F x( ).
Perevirymo, wo proces X t( ) zadovol\nq[ umovy teoremy 1 pry T = [ ]0 1, ,
σ( )t ≡ 1, H x( ) = x . Dijsno, oskil\ky pry x > – e F x( ) = Φ( )x , to F D G∈ ( )1 .
Umova s) teoremy 1 tak samo, qk i (7), vykonu[t\sq oçevydno.
Za pobudovog
X t F A( ) ≤ ( )( )−1 Φ m. n.
i, takym çynom, umova d) teoremy 1 takoΩ vykonu[t\sq.
Iz oznaçennq procesu X t( ) pry s1 → ∞, s2 → ∞ ma[mo
P
P P
X t s X t s
X t s X t s
( ) , ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
> >( )
>( ) + >( )
=
=
P
P P
ξ ξ
ξ ξ
( ) ( ) , ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t F s t F s
t F s t F s
1
1
1 2
1
2
1
1
1 2
1
2
> ( ) > ( )( )
> ( )( ) + > ( )( )
− −
− −
Φ Φ
Φ Φ
→ 0
(ce tak, tomu wo, qk bulo zaznaçeno vywe, proces ξ( )t zadovol\nq[ umovu (6)).
Takym çynom, dlq procesu X t( ) umova (6) takoΩ vykonu[t\sq, a otΩe, vin
zadovol\nq[ usi umovy teoremy 1.
Oçevydno, wo umova (2) dlq X t( ) ne vykonu[t\sq.
ZauvaΩennq 2. Avtor naviv cej pryklad u zv’qzku z zauvaΩennqmy recen-
zenta. Zvyçajno, navedenyj pryklad ma[ ßtuçnyj xarakter, ale cikavi prykla-
dy takoho typu, mabut\, i ne isnugt\.
1. Borovkov A. A., Peçerskyj E. A. Sxodymost\ raspredelenyj yntehral\n¥x funkcyonalov //
Syb. mat. Ωurn. – 1975. – 16, # 5. – S. 899 – 915.
2. Yvanov A. V. O sxodymosty raspredelenyj funkcyonalov ot yzmerym¥x sluçajn¥x polej
// Ukr. mat. Ωurn. – 1980. – 32, # 1. – S. 27 – 34.
3. Grinblat L. S. A limit theorem for measurable random processes and its applications // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1976. – 61, # 2. – P. 371 – 376.
4. Gnedenko B. V. Sur la distribution limit de terme maximum d’une serie aleatoire // Ann. Math. –
1943. – 44. – P. 423 – 453.
5. Halamboß Q. Asymptotyçeskaq teoryq πkstremal\n¥x porqdkov¥x statystyk. – M.:
Nauka, 1984. – 303 s.
6. Lydbetter M., Lyndhren H., Rotsen X. ∏kstremum¥ sluçajn¥x posledovatel\nostej y
processov. – M.: Myr, 1989. – 391 s.
7. Brown M. M., Resnick S. I. Extreme values of independent stochastic processes // J. Appl. Probab.
– 1977. – 14. – P. 732 – 739.
8. Macak I. K. ZbiΩnist\ rozpodiliv intehral\nyx funkcionaliv vid ekstremal\nyx vypadko-
vyx funkcij // Ukr. mat. Ωurn. – 1999. – 51, # 9. – S. 1201 – 1209.
9. Macak I. K. Pro intehral\ni funkcionaly vid ekstremal\nyx vypadkovyx funkcij // Teoriq
jmovirnostej ta mat. statystyka. – 2001. – Vyp. 65. – S. 110 – 120.
10. Lindenstraus J., Tzafriri L. Classical Banach spaces: In 2 vol. – Berlin: Springer, 19 79. – Vol. 2. –
243 p.
11. Krejn S. H., Petunyn G. Y., Semenov E. M. Ynterpolqcyq lynejn¥x operatorov. – M.:
Nauka, 1978. – 400 s.
12. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 144 s.
OderΩano 18.09.2002,
pislq doopracgvannq — 20.10.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
|