Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Рукасов, В.И., Силин, Е.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165617
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена / В.И. Рукасов, Е.С. Силин // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 230–238. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165617
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1656172020-02-15T01:26:10Z Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена Рукасов, В.И. Силин, Е.С. Статті 2005 Article Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена / В.И. Рукасов, Е.С. Силин // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 230–238. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165617 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Рукасов, В.И. Силин, Е.С. Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена Український математичний журнал
format	Article
author	Рукасов, В.И. Силин, Е.С.
author_facet	Рукасов, В.И. Силин, Е.С.
author_sort	Рукасов, В.И.
title	Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена
title_short	Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена
title_full	Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена
title_fullStr	Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена
title_full_unstemmed	Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена
title_sort	приближение непрерывных функций операторами балле пуссена
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165617
citation_txt	Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена / В.И. Рукасов, Е.С. Силин // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 230–238. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT rukasovvi približenienepreryvnyhfunkcijoperatoramiballepussena AT silines približenienepreryvnyhfunkcijoperatoramiballepussena
first_indexed	2025-07-14T19:13:09Z
last_indexed	2025-07-14T19:13:09Z
_version_	1837650827473321984
fulltext	UDK 517.5 V. Y. Rukasov, E. S. Sylyn (Slavqn. ped. un-t) PRYBLYÛENYE NEPRERÁVNÁX FUNKCYJ OPERATORAMY VALLE PUSSENA For σ → ∞, we study the asymptotic behavior of upper bounds of deviations of functions blonding to the classes Ĉ∞ ψ and Ĉ Hψ ω from the so-called Vallée Poussin operators. We find asymptotic equalities that, in some important cases, guarantee the solution of the Kolmogorov – Nikol’s’kyi problem for the Vallée Poussin operators on the classes Ĉ∞ ψ and Ĉ Hψ ω . Vyvça[t\sq asymptotyçna povedinka pry σ → ∞ verxnix meΩ vidxylen\ funkcij klasiv Ĉ∞ ψ i Ĉ Hψ ω vid tak zvanyx operatoriv Valle Pussena. Znajdeno asymptotyçni rivnosti, qki v deqkyx vaΩlyvyx vypadkax zabezpeçugt\ rozv’qzok zadaçi Kolmohorova – Nikol\s\koho dlq operatoriv Valle Pussena na klasax Ĉ∞ ψ ta Ĉ Hψ ω . V nastoqwej stat\e yzuçagtsq vopros¥, svqzann¥e s pryblyΩenyem neprer¥v- n¥x funkcyj cel¥my funkcyqmy πksponencyal\noho typa. A. Y. Stepanec [1] vvel klass¥ L̂ ψ� sledugwym obrazom. Oboznaçym çerez L̂ mnoΩestvo funkcyj f, zadann¥x na dejstvytel\noj osy R y ymegwyx koneçnug normu f = sup ( ) a R a a f t dt ∈ + ∫ 2π , a çerez � mnoΩestvo funkcyj ψ ( t ), v¥pukl¥x vnyz pry vsex t ≥ 1 y ysçeza- gwyx na beskoneçnosty. KaΩdug funkcyg ψ ∈ � prodolΩym na promeΩu- tok [ 0, 1 ) takym obrazom, çtob¥ poluçennaq funkcyq ( kotorug, po-preΩnemu, budem oboznaçat\ çerez ψ ( ⋅ ) ) b¥la neprer¥vna pry vsex t ≥ 0, ψ ( 0 ) = 0 y ee proyzvodnaq ψ ′ ( t ) = ψ ′ ( t + 0 ) ymela ohranyçennug varyacyg na promeΩutke [ 0, ∞ ) . MnoΩestvo takyx funkcyj oboznaçym çerez �. PodmnoΩestvo funk- cyj ψ, dlq kotor¥x ψ( )t t dt 1 ∞ ∫ < ∞ , oboznaçym çerez � ′. Pust\, dalee, ψk ∈ �, k = 1, 2, y pod ψk+ y ψk− budem ponymat\ çetnoe y neçetnoe prodolΩenye funkcyy ψk, k = 1, 2. Dlq par¥ ( ψ1, ψ2 ) opredelym funkcyg ψ : ψ df= ψ ψ1 2+ −+ i . (1) Pry πtom sootvetstvugwee preobrazovanye Fur\e funkcyy ψ ymeet vyd ψ̂ = ˆ ˆψ ψ1 2+ −+ i , (2) hde preobrazovanye Fur\e ponymaetsq v ob¥çnom sm¥sle: ˆ ( )h t = 1 2π h x e dxixt R ( ) −∫ . Tohda çerez L̂ψ oboznaçym mnoΩestvo funkcyj f ∈ L̂ , predstavym¥x ra- venstvom f ( x ) = A x t t dt R 0 + +∫ ϕ ψ( ) ˆ ( ) df= A0 + ∗ϕ ψ̂ , (3) © V. Y. RUKASOV, E. S. SYLYN, 2005 230 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 PRYBLYÛENYE NEPRERÁVNÁX FUNKCYJ OPERATORAMY … 231 v kotorom A0 — nekotoraq postoqnnaq; yntehral ponymaetsq kak predel po rasßyrqgwymsq symmetryçn¥m promeΩutkam; ϕ ∈ L̂ . Sleduq A. Y. Stepancu [2], funkcyg ϕ ( ⋅ ) v predstavlenyy (3) naz¥vagt ψ -proyzvodnoj funkcyy f ( ⋅ ) y polahagt ϕ ( ⋅ ) = f ψ( )⋅ . Esly f ∈ L̂ψ y pry πtom ϕ ∈ � , hde � — nekotoroe podmnoΩestvo yz L̂ , to polahagt f ∈ L̂ψ�. PodmnoΩestvo neprer¥vn¥x funkcyj yz L̂ψ� obozna- çaetsq çerez Ĉ ψ�. V kaçestve mnoΩestva � budem rassmatryvat\ edynyçn¥j ßar S∞ prost- ranstva suwestvenno ohranyçenn¥x funkcyj M : S∞ = { ϕ : ess sup \| ϕ ( t ) \| ≤ 1 } y klass¥ Hω : Hω = { ϕ ∈ C : \| ϕ ( t ) – ϕ ( t ′ ) \| ≤ ω ( \| t – t ′ \| ) ∀ t, t ′ ∈ R } , hde C — podmnoΩestvo neprer¥vn¥x funkcyj yz L̂ , ω ( t ) — proyzvol\n¥j fyksyrovann¥j modul\ neprer¥vnosty. Pry πtom Ĉ Sψ ∞ df= Ĉ∞ ψ . Yz predloΩenyq 10 (sm. [3]) vydym, çto ψ̂1+ y ψ̂2 − summyruem¥ na R, pry- çem ˆ ( )ψ1+ t = O t( )−2 y ˆ ( )ψ2 − t = O t( )−2 pry t → ∞ , otkuda na osnovanyy (2) ˆ ( )ψ t dt R ∫ < ∞ y, sledovatel\no, klass¥ Ĉ ψ� sostoqt yz funkcyj f ( x ) , neprer¥vn¥x dlq vsex x ∈ ( – ∞ , ∞ ) . Sleduq [2], dlq vsex 0 ≤ c ≤ σ opredelym semejstvo funkcyj Λσ,c = = { }, ( )λ σ c t , hde λ σ, ( )c t = 1 0 0 , , , , , , ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤      t c t c c t t σ σ σ σ (4) y dlq funkcyj ψ1, ψ2 ∈ � opredelym semejstvo funkcyj Λσ,c ∗ = { }, ( )λ σ c t∗ , hde λ σ, ( )c t∗ = λ σ σ ψ σ ψ σ σ, , [ , ] [ , ], ( ( )) , . c t c t c c t t c t ∈ ∞ − − − ≤ ≤     0 1 ∪ sign ( ) (5) KaΩdoj funkcyy f ∈ L̂ψ sopostavym operator¥ V fcσ, ( ) = V f xc cσ σ, ,( , , )Λ = A f c0 + ∗ψ σλ ψ, % , (6) V fcσ, ( )∗ = V f xc cσ σ, ,( ), ,∗ ∗Λ = A f c0 + ∗ ∗ψ σλ ψ, % . (7) V rabote [5] pokazano, çto pry dostatoçno obwyx predpoloΩenyqx operato- r¥ V fcσ, ( ) y V fcσ, ( )∗ prynadleΩat mnoΩestvu εσ , hde pod εσ ponymaetsq mnoΩestvo cel¥x funkcyj πksponencyal\noho typa σ, σ ≥ 0. V peryodyçes- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 232 V. Y. RUKASOV, E. S. SYLYN kom sluçae, pry σ = n ∈ N y c = n – p, p ∈ N, p < n, operator¥ V cσ, sovpa- dagt s yzvestn¥my summamy Valle Pussena: V f xn p, ( , ) df= 1 1 p S f xk k n p n ( , ) = − − ∑ , hde S f xk ( , ), k = 0, 1, … , — çastn¥e summ¥ porqdka k rqda Fur\e funkcyy f ( x ) . Poπtomu v dal\nejßem budem naz¥vat\ V cσ, operatoramy Valle Pussena. V nastoqwej stat\e yzuçaetsq asymptotyçeskoe povedenye pry σ → ∞ verx- nyx hranej � �( )ˆ , ,C V c ψ σ = sup ( ) ( ) ˆ , f C c C f x V x ∈ − ψ σ � , hde pod � ponymaetsq mnoΩestvo S∞ lybo Hω . Yssleduem yntehral\n¥e predstavlenyq uklonenyj ρσ, ( , )c f x df= f x V xc( ) ( ),− σ . Ymeet mesto sledugwaq lemma. Lemma$1. Pust\ ψi ∈ � ′, i = 1, 2, ψ = ψ ψ1 2+ −+ i y ai = ai ( σ ) , i = 1, 2, — dve proyzvol\n¥e neprer¥vn¥e pry vsex σ ≥ 1 funkcyy, dlq kotor¥x σ ai ( σ ) ≥ ai ( 0 ) > 0. Tohda esly f ∈ Ĉ∞ ψ , to dlq lgb¥x σ y h = h ( σ ) , σ > > h ≥ 1, v kaΩdoj toçke x ∈ R ρσ σ, ( ; )−h f x = – ν ψ σ π δ σ 1 1 1 1 ( ) ( ; ) sin x t t t dt m t Ma a≤ ≤ ∫ + + ν ψ σ π δ σ σ ψ σ ψ 2 2 1 2 2 2 1 2( ) ( ; ) cos ( ; ; ) ( ; ; ), ,x t t t dt b a f x b a f x m t M h h a a≤ ≤ ∫ + + , (8) hde b a f xh i i σ ψ , ( ; ; ) = O h t t dti i ai ( ) ( ) ( ) / ( ) 1 1 ψ σ ψ σ σ − + +   ∞ ∫ + + ψ σ ψ σ σ i i a t t dt i ( ) ( )/ ( ) − −    ∞ ∫ 1 , i = 1, 2. (9) Esly Ωe f ∈ Ĉ Hψ ω , to dlq lgb¥x σ y h = h ( σ ) , σ > h ≥ 1, v kaΩdoj toçke x ∈ R ρσ σ, ( ; )−h f x = – ν ψ σ π δ σ 1 1 1 1 ( ) ( ; ) sin x t t t dt m t Ma a≤ ≤ ∫ + + ν ψ σ π δ σ σ ψ σ ψ 2 2 1 2 2 2 1 2( ) ( ; ) cos ( ; ; ) ( ; ; ), ,x t t t dt d a f x d a f x m t M h h a a≤ ≤ ∫ + + , (10) hde d a f xh i i σ ψ , ( ; ; ) = O h t t dti i ai ( ) ( ) ( ) / ( ) 1 1 ψ σ ψ σ σ − + +   ∞ ∫ + + ψ σ ψ σ ω σσ i i a t t dt h i ( ) ( )/ ( ) − −    −     ∞ ∫ 1 1 , i = 1, 2, (11) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 PRYBLYÛENYE NEPRERÁVNÁX FUNKCYJ OPERATORAMY … 233 δ ( x; t ) = f x t f C f x f x t f C H ψ ψ ψ ψ ψ ω ( ), ˆ , ( ) ( ), ˆ , + ∈ − + ∈    ∞esly esly mai = min ( );a hi σ π{ } , Mai = max ( );a hi σ π{ } , νi = sign a hi( )σ π−{ } , i = 1, 2. Dokazatel\stvo. Vvedem oboznaçenyq: ρσ, ( , )c f x∗ df= f x V f xc( ) ( , ),− ∗ σ , (12) τσ, ( )c t = ( ), ( ) ( )1 − λ ψσ c t t , τσ, ( )c t∗ = ( ), ( ) ( )1 − ∗λ ψσ c t t . (13) Yz opredelenyq ψ -proyzvodnoj y operatorov V f xcσ, ( , ), V f xcσ, ( , )∗ sleduet ρσ, ( , )c f x = f f xc ψ στ∗ ˆ ( , ), , ρσ, ( , )c f x∗ = f f xc ψ στ∗ ∗ˆ ( , ), . S druhoj storon¥, ρσ, ( , )c f x = ρσ σ, ,( , ) ( , )c cf x f x∗ + ∆ , (14) hde ∆σ, ( , )c f x = V f x V f xc cσ σ, ,( , ) ( , )− ∗ . (15) Yssleduem vnaçale velyçynu ρσ, ( , )c f x∗ . Sohlasno teoremeM1 yz rabot¥ [2], dlq lgboho u ∈ Wp 2 y 0 ≤ p ≤ c < σ, hde Wσ 2 df= ϕ ε ϕ σ∈ + < ∞        −∞ ∞ ∫: ( )2 21 t t dt , ymeem u c∗ ˆ ,τσ = 0, poπtomu ρσ, ( , )c f x∗ = ( ) ˆ ,f u c ψ στ− ∗ ∗ . (16) Yz opredelenyq preobrazovanyq Fur\e y (5) sleduet ˆ ( ),τσ c t∗ = 1 2π τσ, ( )c ist R s e ds∗ −∫ = 1 2π σ ψ σ ψ σ σ c ist ists c c e e ds∫ − − + −−( )( ) ( ) + + 1 2π ψ ψ σ ∞ −∫ + −( )( ) ( )s e s e dsist ist . Yz sootnoßenyq (1) ymeem ψ ψ( ) ( )s e s eist ist− + − = 2 1 2( )( )cos ( )sinψ ψs st s st+ , (17) y poπtomu dalee naxodym ˆ ( ),τσ c t∗ = ψ σ π σ π ψ σ σ 1 1 1( ) cos ( )cos c s c c st ds s st ds∫ ∫− − +       ∞ + + ψ σ π σ π ψ σ σ 2 2 1( ) sin ( )sin c s c c st ds s st ds∫ ∫− − +       ∞ df= R t R t1 2( ) ( )+ . (18) Polahaq c = σ – h y yntehryruq po çastqm, poluçaem ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 234 V. Y. RUKASOV, E. S. SYLYN R t1( ) = ψ σ π σ σ1 2 2 2 2 2( ) sin sin( ) sin/ /t t t ht ht ht + −    – – ψ σ σ π π ψ σ 1 1 1( ) sin ( )sin t t t s st ds− ∞ ∫ , (19) R t2( ) = ψ σ π σ σ2 2 2 2 2 2( ) cos cos( ) sin/ /− + −    t t t ht ht ht + + ψ σ σ π π ψ σ 2 2 1( ) cos ( )cos t t t s st ds+ ∞ ∫ . (20) V¥polnqq preobrazovanyq, ymeem R t1( ) = ψ σ π σ σ1 2 2 1( ) sin sin cos cos ht ht ht t ht ht t − + −    – – ψ σ π σ π ψ σ 1 1 1( ) sin ( )sin t t t s st ds− ′ ∞ ∫ , (21) R t2( ) = ψ σ π σ σ2 2 2 1( ) sin cos cos sin− − + −    ht ht ht t ht ht t + + ψ σ π σ π ψ σ 2 2 1( ) cos ( )cos t t t s st ds− ′ ∞ ∫ . (22) Pust\, dalee, ai = ai ( σ ) — proyzvol\n¥e funkcyy, neprer¥vn¥e pry vsex σ > 0 y takye, çto σ ai ( σ ) > ai ( 0 ) > 0, i = 1, 2. Pust\ mai = min ( );{ai σ π/ }h , Mai = max ( );{ / }a hi σ π . Tohda, ysxodq yz sootnoßenyj (16) – (22), zapy- s¥vaem ρσ, ( , )c f x∗ = – ψ σ π δ σ1 1 1 ( ) ( ; ) sin m t Ma a x t t t dt ≤ ≤ ∫ + + 1 1 1 1 1 1π δ ψ π δ ψ σ σ σ σt a t a x t s st ds dt x t s st t ds dt ≤ ∞ ≥ ∞ ∫ ∫ ∫ ∫− ′ ( ) ( ) ( ; ) ( ) cos ( ; ) ( ) sin + + ψ σ π δ σ σ π π 1 2 2 1( ) ( ; ) sin sin cos cos / / − ∫ − + −    h h x t ht ht ht t ht ht t dt – – ψ σ π δ σ ψ σ π δ σ π 1 2 22 2 2 2 2 2 ( ) ( ; ) sin( ) sin ( ) ( ; ) cos / / / t h m t M x t t ht ht ht dt x t t t dt a a≥ ≤ ≤ ∫ ∫− + + + 1 1 2 2 2 2π δ ψ π δ ψ σ σ σ σt a t a x t s st ds dt x t s st t ds dt ≤ ∞ ≥ ∞ ∫ ∫ ∫ ∫+ ′ ( ) ( ) ( ; ) ( ) sin ( ; ) ( ) cos + + ψ σ π δ σ σ π π 2 2 2 1( ) ( ; ) sin cos cos sin / / − ∫ − − + −    h h x t ht ht ht t ht ht t dt + + ψ σ π δ σ π 2 2 2 2 2 2( ) ( ; ) cos( ) sin / / / t h x t t ht ht ht dt ≥ ∫ − df= B a f x P a f xhσ ψ σ ψ , ( ; ; ) ( ; ; )1 1 1 1+ – – R a f x a f x a f x B a f x P a f xh h hσ ψ σ ψ σ ψ σ ψ σ ψγ µ1 1 1 2 2 1 1 1 2 2( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ), , ,+ − + + + + R a f x a f x a f xh hσ ψ σ ψ σ ψγ µ2 2 2 2 2 2( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ), ,+ + . (23) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 PRYBLYÛENYE NEPRERÁVNÁX FUNKCYJ OPERATORAMY … 235 V rabote [6] dlq lgboj funkcyy f ∈ Ĉ∞ ψ poluçen¥ ocenky P a f xi iσ ψ ( ; ; ) ≤ K t t dti a i i ψ σ ψ σ σ ( ) ( ) / ( ) + +      ∞ ∫ 1 , (24) R a f xi iσ ψ ( ; ; ) ≤ K t t dti a i i i ψ σ ψ σ ψ σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) /+ − −      ∞ ∫ 1 , (25) i = 1, 2, esly Ωe f ∈ Ĉ Hψ ω , to P a f xi iσ ψ ( ; ; ) ≤ K t t dti a i i ψ σ ψ σ ω σσ ( ) ( ) / ( ) + +          ∞ ∫ 1 1 , (26) R a f xi iσ ψ ( ; ; ) ≤ K t t dti a i i i ψ σ ψ σ ψ σ ω σσ ( ) ( ) ( ) ( ) /+ − −          ∞ ∫ 1 1 , (27) i = 1, 2. Ocenky ostavßyxsq yntehralov najden¥ v rabote [7]. Tak, dlq lgboj funkcyy f ∈ Ĉ∞ ψ γ σ ψ , ( ; ; )h i i a f x ≤ K iψ σ( ) , (28) µσ ψ , ( ; ; )h i i a f x ≤ K iψ σ( ) , (29) i = 1, 2, a dlq f ∈ Ĉ Hψ ω γ σ ψ , ( ; ; )h i i a f x ≤ K hiψ σ ω σ ( ) 1 −     , (30) µσ ψ , ( ; ; )h i i a f x ≤ K hiψ σ ω σ ( ) 1 −     , (31) i = 1, 2. Rassmotrym teper\ velyçynu ∆σ, ( ; )c f x , opredelennug sootnoßenyem (15) pry c = σ – h. V peryodyçeskom sluçae pry σ = n ∈ N y h = p ∈ N dlq velyçy- n¥ ∆n p f x, ( ; ) v rabote [8] poluçena ocenka (26). Analyzyruq ee dokazatel\stvo, vydym, çto esly funkcyq f ( ⋅ ) zadana na vsej dejstvytel\noj osy, budet ymet\ mesto analohyçnoe sootnoßenye ∆σ, ( ; )h C f x ≤ ω σ ψ σ ψ σ1 1 2 −     − − = ∑h h i i i( ( ) ( )) ∀ f ∈ Ĉ Hψ ω . (32) Esly f ∈ Ĉ∞ ψ , to spravedlyva ocenka ∆σ, ( ; )h C f x ≤ i i ih = ∑ − − 1 2 ( ( ) ( ))ψ σ ψ σ . (33) Obæedynqq sootnoßenyq (14), (23) – (33), pryxodym k utverΩdenyg lemm¥. KaΩdoj funkcyy ψ ∈ �, sleduq A. Y. Stepancu [9], postavym v sootvetst- vye dve funkcyy: η ( t ) = η ( ψ , t ) df= ψ ψ−     1 1 2 ( )t y µ ( t ) = µ ( ψ , t ) df= t t tη( ) − , t ≥ 1, ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 236 V. Y. RUKASOV, E. S. SYLYN s pomow\g kotor¥x yz � v¥delym podmnoΩestvo F df= { ψ ∈ � : η ′ ( t ) ≤ K } , t ≥ 1, η ′ ( t ) = η ′ ( t + 0 ) , hde K — postoqnnaq ( vozmoΩno, zavysqwaq ot funkcyy ψ ) . Sformulyruem osnovnoj rezul\tat rabot¥. Teorema$1. Pust\ ψi ∈ F , i = 1, 2, ψ = ψ ψ1 2+ −+ i y suwestvugt kons- tant¥ K y K ′ takye, çto 0 < K ≤ η ψ σ σ η ψ σ σ ( ; ) ( ; ) 1 2 − − ≤ K ′ < ∞ . (34) Tohda dlq lgb¥x çysel σ y h = h ( σ ) , σ > h ≥ 1, pry σ → ∞ spravedlyv¥ ravenstva �( )ˆ ; ,C V h∞ − ψ σ σ = 4 12 ψ σ π η σ σ ψ σ( ) ln ( ) ( ) ( ) − + − h O h , (35) �( )ˆ ; ,C H V h ψ ω σ σ− = 2 2 2 0 2θ ψ σ π η σ σ ω σ ω π ( ) ln ( ) sin /−    ∫h t t dt + + O h h ( ) ( )1 1ψ σ ω σ − −     , (36) hde O ( 1 ) — velyçyna, ravnomerno ohranyçennaq po σ y h, η ( σ ) est\ lybo η ( ψ1 ; σ ) , lybo η ( ψ2 ; σ ) , θω ∈ [ 2 / 3 ; 1 ] , pryçem θω = 1, esly ω ( t ) — v¥- pukl¥j modul\ neprer¥vnosty. Dokazatel\stvo. V¥berem v kaçestve ai ( σ ) velyçynu ai ∗( )σ = 1 η ψ σ σ( ; )i − , i = 1, 2, dlq kotoroj na osnovanyy uslovyq (34) v¥polnqetsq sootnoßenye a a dt t 1 2 ( ) ( ) σ σ ∫ = ln ( ) ( ) a a 2 1 σ σ = O ( 1 ) , kotoroe pozvolqet zamenyt\ yntehral¥ v ravenstvax (8) y (10) yntehralamy, ko- tor¥e berutsq po odynakov¥m promeΩutkam ma1 ≤ t ≤ Ma1 yly ma2 ≤ t ≤ ≤ Ma2 . Pohreßnosty pry takyx zamenax ne prev¥sqt velyçyn ostatoçn¥x çle- nov. Yspol\zuq formulu a sin α – b cos α = a b2 2+ −sin( )α γ , hde γ = arctg /b a, yz lemm¥M1 poluçaem ρσ σ, ( ; )−h f x = ν ψ σ π δ σ γσ a m t Ma a x t t t dt ( ) ( ; ) sin ( ) ≤ ≤ ∫ − + + O b a f xh i i i( ) ( ; ; ),1 1 2 σ ψ = ∑     ∀ f ∈ Ĉ∞ ψ , (37) ρσ σ, ( ; )−h f x = ν ψ σ π δ σ γσ a m t Ma a x t t t dt ( ) ( ; ) sin ( ) ≤ ≤ ∫ − + + O d a f xh i i i( ) ( ; ; ),1 1 2 σ ψ = ∑     ∀ f ∈ Ĉ Hψ ω . (38) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 PRYBLYÛENYE NEPRERÁVNÁX FUNKCYJ OPERATORAMY … 237 Zdes\ velyçyn¥ b a f xh i i σ ψ , ( ; ; ) y d a f xh i i σ ψ , ( ; ; ) opredelen¥ ravenstvamy (9) y (11) sootvetstvenno, γσ = arctg ψ ψ 2 1 , a v kaçestve funkcyy a ( σ ) moΩet b¥t\ lgbaq yz funkcyj ai ∗( )σ , i = 1, 2, νa = sign { a ( σ ) – π / h } . Klass¥ Ĉ ψ � , hde � est\ S∞ yly Hω , ynvaryantn¥ otnosytel\no sdvyha po arhumentu, sledovatel\no, � �( )ˆ , ,C V c ψ σ = sup ( ; ) ˆ , f C c f ∈ ψ ρσ � 0 . Esly f ∈ Ĉ ψ�, to f ψ ∈ �. S druhoj storon¥, dlq lgboho ϕ ∈ � v klasse Ĉψ� suwestvuet funkcyq f ( ⋅ ) takaq, çto poçty vezde f ψ( )⋅ = ϕ ( ⋅ ) . Poπto- mu yz ravenstv (37) y (38) poluçaem �( )ˆ ; ,C V h∞ − ψ σ σ = sup ( ) ( ) sin ( ) ϕ σψ σ π ϕ σ γ ∈ ≤ ≤∞ ∫ − S m t Ma a t t t dt + + O b a f xh i i i( ) ( ; ; ),1 1 2 σ ψ = ∑     , (39) �( )ˆ ; ,C H V h ψ ω σ σ− = sup ( ) ( ( ) ( )) sin ( ) ϕ σ ω ψ σ π ϕ ϕ σ γ ∈ ≤ ≤ ∫ − − H m t Ma a t t t dt0 + + O d a f xh i i i( ) ( ; ; ),1 1 2 σ ψ = ∑     . (40) V rabote [7] poluçen¥ ravenstva sup ( ) sin ( ) ϕ σϕ σ γ ∈ ≤ ≤∞ ∫ − S m t Ma a t t t dt = 4 1 π π σ ln ( ) ( ) a h O+ , (41) sup ( ( ) ( )) sin ( ) ϕ σ ω ϕ ϕ σ γ ∈ ≤ ≤ ∫ − − H m t Ma a t t t dt0 = = 2 2 1 0 2θ π π σ ω σ ω π ln ( ) sin ( ) / a h t t dt O    +∫ , θω ∈ [ / ];2 3 1 . (42) V rabote [10] pokazano, çto pry σ ∈ N y ψi ∈ F , i = 1, 2, ψ σ ψ σ ψ σ σ σ i a i i a t t dt t t dt ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) /+ + − − ∗ ∗ ∞ ∞ ∫ ∫ 1 1 ≤ K iψ σ( ) , i = 1, 2. (43) Vklgçenye σ ∈ N ne pryncypyal\no, tak kak πta ocenka verna dlq lgboho σ ≥ ≥ 1. Obæedynqq sootnoßenyq (39), (40), (41) – (43), poluçaem utverΩdenye teo- rem¥. Oboznaçym çerez F∞ mnoΩestvo funkcyj ψ ∈ F , dlq kotor¥x lim ( ; )( ) σ η ψ σ σ →∞ − = ∞ . Pust\ ψi ∈ F∞ , i = 1, 2, y çysla h = h ( σ ) v¥bran¥ tak, çto lim ( ; ) σ η ψ σ σ →∞ −i h = ∞ , i = 1, 2. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 238 V. Y. RUKASOV, E. S. SYLYN Tohda (sm. [8]) ω σ 1 −    h = O( )1 1ω σ     , σ → ∞ , ψ σi h( )− = O i( ) ( )1 ψ σ , i = 1, 2, σ → ∞ , y yz teorem¥M1 poluçaem takoe sledstvye. Sledstvye. Pust\ ψ i ∈ F∞ , i = 1, 2, ψ = ψ ψ1 2+ −+ i y v¥polneno uslo- vye (34). Tohda dlq lgb¥x çysel σ y h = h ( σ ) , σ > h ≥ 1, pry σ → ∞ spravedlyv¥ ravenstva �( )ˆ ; ,C V h∞ − ψ σ σ = 4 12 ψ σ π η σ σ ψ σ( ) ln ( ) ( ) ( ) − + h O , (44) �( )ˆ ; ,C H V h ψ ω σ σ− = 2 2 2 0 2θ ψ σ π η σ σ ω σ ω π ( ) ln ( ) sin /−    ∫h t t dt + + O( ) ( )1 1ψ σ ω σ     , (45) hde O( )1 — velyçyna, ravnomerno ohranyçennaq po σ y h , η σ( ) est\ lybo η ψ σ( ; )1 , lybo η ψ σ( ; )2 , θω ∈ [ / ];2 3 1 , pryçem θω = 1, esly ω ( t ) — v¥puk- l¥j modul\ neprer¥vnosty. Ravenstva (44) y (45) dagt reßenye zadaçy Kolmohorova – Nykol\skoho dlq operatorov Valle Pussena na klassax Ĉ∞ ψ y Ĉ Hψ ω . 1. Stepanec A. Y. PryblyΩenye operatoramy Fur\e funkcyj, zadann¥x na dejstvytel\noj osy // Ukr. mat. Ωurn. – 1988. – 40, # 2. – S. 198 – 209. 2. Stepanets A. I., Wang Kunyang, Zhang Xirong. Approximation of locally integrable function on the real line // Tam Ωe. – 1999. – 51, # 11. – S. 1549 – 1561. 3. Stepanec A. Y. Klass¥ funkcyj, zadann¥x na dejstvytel\noj osy, y yx pryblyΩenye ce- l¥my funkcyqmy. I // Tam Ωe. – 1990. – 42, # 1. – S. 102 – 112. 4. Stepanec A. Y. Klass¥ funkcyj, zadann¥x na dejstvytel\noj osy, y yx pryblyΩenye ce- l¥my funkcyqmy. II // Tam Ωe. – # 2. – S. 210 – 222. 5. Stepanec A. Y. PryblyΩenye v prostranstvax lokal\no yntehryruem¥x funkcyj // Tam Ωe. – 1994. – 46, # 5. – S. 597 – 625. 6. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: V 2Mt. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukray- n¥, 2002. – T. 2. – 468 s. 7. Rukasov V. Y. PryblyΩenye neprer¥vn¥x funkcyj operatoramy Valle Pussena // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 3. – S. 414 – 424. 8. Rukasov V. Y., Çajçenko S. O. PryblyΩenye klassov C Hψ ω summamy Valle Pussena // Tam Ωe. – 2002. – 54, # 5. – S. 681 – 691. 9. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: V 2 t. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukray- n¥, 2002. – T. 1. – 426 s. 10. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq peryodyçeskyx funkcyj y skorost\ sxodymosty yx rqdov Fur\e // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1986. – 50, # 2. – S. 101 – 136. Poluçeno 11.11.2003 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2

Приближение непрерывных функций операторами Балле Пуссена

Репозитарії

Схожі ресурси