Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения

Отримано диференціальний аналог основної леми теорії марковських гіллястих процесів μ(t),t≥0, неперервного часу. Показано можливість застосування отриманих результатів при доведенні граничних теорем теорії гіллястих процесів відомим методом Стейна - Тихомирова. Крім цього, на відміну від класичної у...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Имомов, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Короткі повідомлення
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165620
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения / А.А. Имомов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 258–264. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165620
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1656202020-02-15T01:26:38Z Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения Имомов, А.А. Короткі повідомлення Отримано диференціальний аналог основної леми теорії марковських гіллястих процесів μ(t),t≥0, неперервного часу. Показано можливість застосування отриманих результатів при доведенні граничних теорем теорії гіллястих процесів відомим методом Стейна - Тихомирова. Крім цього, на відміну від класичної умови невиродження гіллястого процесу {μ(t)>0} розглянуто і обґрунтовано мовою твірних функцій умову невиродження процесу в далекому майбутньому {μ(∞)>0}. За цієї умови вивчено асимптотичну поведінку траєкторії розглядуваного процесу. We obtain a differential analog of the main lemma in the theory of Markov branding processes μ(t), t≥0, of continuous time. We show that the results obtained can be applied in the proofs of limit theorems in the theory of branching processes by the well-known Stein - Tikhomirov method. In contrast to the classical condition of nondegeneracy of the branching process {μ(t)>0}, we consider the condition of nondegeneracy of the process in distant {μ(∞)>0} and justify in terms of generating functions. Under this condition, we study the asymptotic behavior of trajectory of the considered process. 2005 Article Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения / А.А. Имомов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 258–264. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165620 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Имомов, А.А. Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения Український математичний журнал
description	Отримано диференціальний аналог основної леми теорії марковських гіллястих процесів μ(t),t≥0, неперервного часу. Показано можливість застосування отриманих результатів при доведенні граничних теорем теорії гіллястих процесів відомим методом Стейна - Тихомирова. Крім цього, на відміну від класичної умови невиродження гіллястого процесу {μ(t)>0} розглянуто і обґрунтовано мовою твірних функцій умову невиродження процесу в далекому майбутньому {μ(∞)>0}. За цієї умови вивчено асимптотичну поведінку траєкторії розглядуваного процесу.
format	Article
author	Имомов, А.А.
author_facet	Имомов, А.А.
author_sort	Имомов, А.А.
title	Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения
title_short	Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения
title_full	Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения
title_fullStr	Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения
title_full_unstemmed	Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения
title_sort	дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165620
citation_txt	Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения / А.А. Имомов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 258–264. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT imomovaa differencialʹnyjanalogosnovnojlemmyteoriimarkovskihvetvâŝihsâprocessoviegoprimeneniâ
first_indexed	2025-07-14T19:13:31Z
last_indexed	2025-07-14T19:13:31Z
_version_	1837650849811136512
fulltext	UDK 519.21 A. A. Ymomov (Karßyn. un-t, Uzbekystan) DYFFERENCYAL\|NÁJ ANALOH OSNOVNOJ LEMMÁ TEORYY MARKOVSKYX VETVQWYXSQ PROCESSOV Y EHO PRYMENENYQ We obtain a differential analog of the main lemma in the theory of Markov brancling processes µ ( t ), t ≥ 0, of continuous time. We show that the results obtained can be applied in the proofs of limit theorems in the theory of branching processes by the well-known Stein – Tikhomirov method. In contrast to the classical condition of nondegeneracy of the branching process { µ ( t ) > 0 }, we consider the condition of nondegeneracy of the process in distant { µ ( ∞ ) > 0 } and justify in terms of generating functions. Under this condition, we study the asymptotic behavior of trajectory of the considered process. Otrymano dyferencial\nyj analoh osnovno] lemy teori] markovs\kyx hillqstyx procesiv µ ( t ), t ≥ 0, neperervnoho çasu. Pokazano moΩlyvist\ zastosuvannq otrymanyx rezul\tativ pry dove- denni hranyçnyx teorem teori] hillqstyx procesiv vidomym metodom Stejna – Tyxomyrova. Krim c\oho, na vidminu vid klasyçno] umovy nevyrodΩennq hillqstoho procesu { µ ( t ) > 0 } rozhlqnu- to i ob©runtovano movog tvirnyx funkcij umovu nevyrodΩennq procesu v dalekomu majbut- n\omu { µ ( ∞ ) > 0 }. Za ci[] umovy vyvçeno asymptotyçnu povedinku tra[ktori] rozhlqduvanoho procesu. Rassmotrym markovskyj vetvqwyjsq sluçajn¥j process µ ( t ), t ≥ 0, neprer¥v- noho vremeny. Pust\ P { µ ( 0 ) = 1 } = 1 y Pi j ( t ) = P { µ ( t + τ ) = j \| µ ( τ ) = i }, τ ≥ 0. Yz uslovyq vetvlenyq sleduet, çto dlq yzuçenyq yzmenenyq sostoqnyj processa µ ( t ) dostatoçno zadat\ veroqtnosty P1j ( t ), dlq kotor¥x predpolahaetsq v¥- polnenye uslovyq P1j ( t ) = δ1j + aj t + o ( t ), t → 0, hde δ1j — znak Kronekera, plotnosty veroqtnostej perexoda aj ≥ 0 pry j ≠ 1 y a1 < 0, a takΩe aj j≥ ∑ 0 = 0. Vvedem v rassmotrenye proyzvodqwye funkcyy (p. f.) Φ ( t; x ) = P1 0 j j j t x( ) ≥ ∑ , f ( x ) = a xj j j≥ ∑ 0 , \| x \| ≤ 1. ∏ty p. f. svqzan¥ dyfferencyal\n¥m uravnenyem ∂ ( ) ∂ Φ t x t ; = f ( Φ ( t; x ) ) (1) s naçal\n¥m uslovyem Φ ( 0; x ) = x, kotoroe sootvetstvuet obratnomu uravne- nyg Kolmohorova dlq perexodn¥x veroqtnostej markovskyx vetvqwyxsq pro- cessov neprer¥vnoho vremeny (sm. [1]). Vvedem sledugwye oboznaçenyq: a = f ′ ( 1 ), b = f ′′ ( 1 ). Budem rassmatryvat\ sluçay, kohda a < 0, a = 0; v πtyx sluçaqx process µ ( t ) naz¥vaetsq dokrytyçeskym y krytyçeskym sootvetstvenno. Yzvestno, çto © A. A. YMOMOV, 2005 258 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 DYFFERENCYAL\|NÁJ ANALOH OSNOVNOJ LEMMÁ … 259 v yssledovanyqx predel\n¥x svojstv processa µ ( t ) v rassmatryvaem¥x sluçaqx osoboe znaçenye ymegt asymptotyçeskye svojstva funkcyy R ( t; x ) = 1 – Φ ( t; x ). V çastnosty, dlq veroqtnosty prodolΩenyq processa Q ( t ) ≡ R ( t; 0 ) = P { µ ( t ) > > 0 } spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq (sm. [1]): 1. Pust\ a < 0. Dlq toho çtob¥ ymela mesto formula Q ( t ) = K ea t ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞, (2) neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ sxodylsq yntehral au f u uf u du + ( − ) ( − )∫ 1 1 0 1 . (3) Yntehral (3) raven – ln K. 2. Pust\ a = 0, b < ∞. Tohda Q ( t ) = 2 bt ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (4) Dlq funkcyy R ( t; x ) spravedlyva sledugwaq lemma. Lemma [1]. 1. Pust\ a < 0. Tohda pry koneçnosty yntehrala (3) R ( t; x ) = Ke a du f u at x exp ( )       ∫ 0 ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (5) Zdes\ y dalee postoqnnaq K ta Ωe, çto y v razloΩenyy (2). 2. Pust\ a = 0, b < ∞. Tohda R ( t; x ) = 1 1 2 1 − + ( − ) x bt x ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (6) Poslednqq lemma, po svoej znaçymosty, naz¥vaetsq osnovnoj lemmoj teoryy markovskyx vetvqwyxsq processov neprer¥vnoho vremeny. V nastoqwej rabote yzuçaetsq asymptotyçeskoe povedenye funkcyy ∂ ( ) ∂ R t x x ; , t. e. dokaz¥vaetsq dyfferencyal\n¥j analoh osnovnoj lemm¥ y pred- lahagtsq nekotor¥e eho pryloΩenyq. Lemma A. 1. Pust\ a < 0. Tohda pry koneçnosty yntehrala (3) ∂ ( ) ∂ = ( ) ( )       ∫R t x x aKe f x a du f u at x ; exp 0 ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (7) 2. Pust\ a = 0, b < ∞. Tohda ∂ ( ) ∂ = − ( − ) ( ) + ( − )    R t x x b x f x bt x ; 1 2 1 2 1 2 2 ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (8) Dokazatel\stvo. Perepyßem dyfferencyal\noe uravnenye (1) v vyde ∂ ( ) ∂ R t x t ; = – f ( 1 – R ( t; x ) ) (9) s naçal\n¥m uslovyem R ( 0; x ) = 1 – x. Netrudno ubedyt\sq v tom, çto uravnenye (9) s uçetom naçal\noho uslovyq dopuskaet neqvnoe reßenye v vyde ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 260 A. A. YMOMOV du f u R t x x ( − ) ( ) − ∫ 1 1 ; = t. (10) Yspol\zuq formulu dyfferencyrovanyq yntehralov s peremenn¥my prede- lamy, yz (10) poluçaem ∂ ( ) ∂ = − − ( ) ( ) ( )R t x x f R t x f x ; ;1 . (11) Dalee, vospol\zuemsq razloΩenyem Tejlora dlq p. f. f ( 1 – R ( t; x ) ) v raven- stve (11). Tohda v sylu toho, çto R ( t; x ) → 0, t → ∞, pry a < 0 ∂ ( ) ∂ = ( ) ( )R t x x a f x R t x ; ; ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞, (12) a pry a = 0, b < ∞ ∂ ( ) ∂ = − ( ) ( ) R t x x bR t x f x ; ;2 2 ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (13) Podstavlqq ravenstvo (5) v (12), poluçaem (7), a podstavlqq (6) v (13) — (8). Lemma A dokazana. Yzvestno, çto ′ ( )Φx t; 0 = P11 ( t ) predstavlqet soboj veroqtnost\ vozvrata processa k naçal\nomu sostoqnyg { µ ( 0 ) = 1 } za vremq t. Polahaq v lemme A x = 0, neposredstvenno poluçaem sledugwye dve lokal\n¥e predel\n¥e teo- rem¥. Teorema 1. Pust\ a < 0. Tohda pry koneçnosty yntehrala (3) e t a K a a t P11 0 ( ) = ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. Teorema 2. Pust\ a = 0, b < ∞. Tohda t2 P11 ( t ) = 2 1 0ba O t +     , t → ∞. Dyfferencyal\n¥j analoh osnovnoj lemm¥ budet polezen takΩe pry pry- menenyy metoda Stejna – Tyxomyrova (S-T) pry dokazatel\stve predel\n¥x teorem teoryy vetvqwyxsq sluçajn¥x processov. Yzvestno, çto metod S-T osnov¥vaetsq na dyfferencyal\nom uravnenyy dlq sootvetstvugwyx xarakte- rystyçeskyx funkcyj yly preobrazovanyy Laplasa (a takΩe dlq p. f.). V slu- çae normal\noj approksymacyy πtot metod vperv¥e yspol\zovan v rabote [2] (sm. takΩe [3]). Dalee v soçetanyy s metodom S-T nam udobno yspol\zovat\ sledugwyj va- ryant lemm¥ A. Lemma B. 1. Pust\ a < 0. Tohda ∂ ( ) ∂ = ( ) ( )R t x x a f x R t x ; ; ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (14) 2. Pust\ a = 0, b < ∞. Tohda pry x → 1 ∂ ( ) ∂ = − − ( ) ( )     R t x x R t x Q t ; ; 1 2 ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (15) Prodemonstryruem prymenenye metoda S-T na prymere dvux klassyçeskyx predel\n¥x teorem. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 DYFFERENCYAL\|NÁJ ANALOH OSNOVNOJ LEMMÁ … 261 Teorema 3 [1]. Pust\ a < 0. Tohda suwestvugt predel¥ lim t→∞ P { µ ( t ) = k \| µ ( t ) > 0 } = P* k . P. f. F ( x ) = P* k k k x ≥ ∑ 1 ymeet vyd F ( x ) = 1 0 − ( )∫exp a du f u x . Dokazatel\stvo. Uslovnug p. f. F ( t; x ) ≡ E { xµ ( t ) \| µ ( t ) > 0 } zapyßem v vyde F ( t; x ) = 1 – R t x Q t ( ) ( ) ; . (16) Dyfferencyruq (16) s yspol\zovanyem sootnoßenyq (14), ymeem ∂ ( ) ∂ = − ( ) ( ) ( ) F t x x a f x R t x Q t ; ; ( 1 + o ( 1 ) ) = = a f x( ) [ F ( t; x ) – 1 ] ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞. (17) Poskol\ku p. f. F ( x ) udovletvorqet uravnenyg ∂ ( ) ∂ = ( ) F x x a f x [ F ( x ) – 1 ] s uslovyem F ( 0 ) = 0, uravnenye (17) svydetel\stvuet o sxodymosty p. f. F ( t; x ) k p. f. F ( x ). Teorema 3 dokazana. Teorema 4 [1]. Pust\ a = 0, b < ∞. Tohda dlq lgboho u > 0 lim P Et ut t t u t e →∞ −( ) ( ) ( ) > ≤ ( ) >      = − ( ) µ µ µ µ 0 0 1 . Dokazatel\stvo. Poçty oçevydno, çto uslovnoe matematyçeskoe oΩyda- nye E { µ ( t ) \| µ ( t ) > 0 } = 1 / Q ( t ). Poskol\ku preobrazovanye Laplasa pokaza- tel\noho zakona est\ reßenye dyfferencyal\noho uravnenyq ψ′ ( θ ) + ψ2 ( θ ) = 0 s naçal\n¥m uslovyem ψ ( 0 ) = 1, nam neobxodymo dokazat\, çto preobrazovanye Laplasa ψt ( θ ) ≡ E( )− ( ) ( ) ( ) >e tQ t tθ µ µ 0 , θ ≥ 0, asymptotyçesky udovletvorqet dyfferencyal\nomu uravnenyg ∂ ( ) ∂ = − ( )ψ θ θ ψ θt t 2 ( 1 + o ( 1 ) ), t → ∞, (18) s naçal\n¥m uslovyem ψt ( 0 ) = 1. Polahaq θt = exp { – θ Q ( t ) }, preobrazovanyq Laplasa ψt ( θ ) zapys¥vaem v vyde ψt ( θ ) = 1 − ( ) ( ) R t Q t t; θ . (19) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 262 A. A. YMOMOV V sylu (4) θt → 1, t → ∞ . Tohda, uçyt¥vaq (15), neposredstvenn¥m dyfferen- cyrovanyem yz (19) poluçaem ∂ ( ) ∂ = ∂ ( ) ∂ ψ θ θ θ θ θt t t R t; = = − − ( ) ( )     + ( ) = − ( ) + ( )( ) ( )1 1 1 1 1 2 2R t Q t o ot t t ; θ θ ψ θ , t → ∞, t. e. uravnenye (18), çto y dokaz¥vaet teoremu 4. Obratymsq teper\ k uslovyg nev¥roΩdenyq processa v dalekom buduwem { µ ( ∞ ) > 0 }. Vvedem uslovnug p. f. M ( t; x ) ≡ E lim E( ) ( )( ) →∞ ( )(∞) > = ( + ) >x x tt tµ τ µµ µ τ0 0 . Yz opredelenyq M ( t; x ) (dlq dyskretnoho sluçaq sm. [4]) lehko poluçaem v¥- polnenye ravenstva M ( t; x ) = − ∂ ( ) ∂ −e x R t x x at ; . (20) Snaçala v¥çyslym E { µ ( t ) \| µ ( ∞) > 0 }. Dlq πtoho, loharyfmyruq uravnenye (11) s uçetom (1), ymeem ln ; ln ; ln ;− ∂ ( ) ∂     = ( ) ( ) = ∂ ( ) ∂ ( ) ( )∫R t x x f t x f x f x d tΦ Φ τ τ τ 0 = = ′ ( ) ( ) ∂ ( ) ∂ = ′ ( )( ) ( ) ( )∫ ∫f x f x x d f x d t tΦ Φ Φ Φτ τ τ τ τ τ τ; ; ; ; 0 0 , otkuda poluçaem − ∂ ( ) ∂ = ′ ( )( )∫R t x x f x d t ; exp ;Φ τ τ 0 . (21) Podstavym ravenstvo (21) v (20): M ( t; x ) = e x f x dat t − ′ ( )( )∫exp ;Φ τ τ 0 . (22) Ytak, m¥ poluçyly qvn¥j vyd uslovnoj p. f. M ( t; x ). Oçevydno, çto pry ta- kom neklassyçeskom uslovyy yzuçenyq processa µ ( t ), t ≥ 0, udaçno yspol\zu- etsq predstavlenye funkcyy ∂ ( ) ∂ R t x x ; . Prqm¥m dyfferencyrovanyem v toçke x = 1 yz (22) naxodym E ( t ) ≡ E { µ ( t ) \| µ ( ∞) > 0 } = 1 1 0 1 0 + ( − ) < + =     b e a a bt a at , , , . (23) Yz (23) neposredstvenno poluçaem sledugwug teoremu. Teorema 5. Pust\ a < 0, b < ∞. Tohda uslovnoe matematyçeskoe oΩydanye ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 DYFFERENCYAL\|NÁJ ANALOH OSNOVNOJ LEMMÁ … 263 E ( t ) → 1 + b a , t → ∞. DokaΩem teper\ predel\n¥e teorem¥, analohyçn¥e teoremam 3, 4, pry us- lovyy nev¥roΩdenyq processa v dalekom buduwem { µ ( ∞) > 0 }. Teorema 6. Pust\ a < 0. Tohda suwestvugt predel¥ lim t→∞ P { µ ( t ) = n\| µ ( ∞) > 0 } = Pn . P. f. M ( x ) = Pn n n x ≥ ∑ 1 ymeet vyd M ( x ) = a K x f x a du f u x ( ) ( )∫exp 0 . Dokazatel\stvo. Yz (14), (20) ymeem M ( t; x ) = − ( ) ( )−ae x f x R t xat ; . (24) Vvydu (2), (16) ravenstvo (24) preobrazuem k vydu M ( t; x ) = aK x f x F t x o ( ) ( ) − +[ ]( ); ( )1 1 1 , t → ∞. (25) V svog oçered\, sohlasno teoreme 3 F ( t; x ) → F ( x ), t → ∞. Tohda yz (25) ymeem M ( t; x ) → aK x f x F x ( ) ( ) −[ ]1 , t → ∞, çto ravnosyl\no utverΩdenyg teorem¥ 6. Lehko ubedyt\sq v tom, çto M ( 1 ) = 1, a takΩe M ′ ( 1 ) = 1 + b a . Teorema 7. Pust\ a = 0, b < ∞. Tohda dlq lgboho u > 0 lim P Et u ut t u e ue →∞ − −( ) ( ) (∞) > ≤ (∞) >      = − − ( ) µ µ µ µ 0 0 1 22 2 . Dokazatel\stvo. Vvedem v rassmotrenye preobrazovanye Laplasa ϕt ( θ ) ≡ M t e E t( )− ( ); /θ , θ ≥ 0. V sylu (23) e E t− ( )θ / → 1, t → ∞ , y pry x = e E t− ( )θ / ymeet mesto razloΩenye (15). Tak, pry a = 0 yz (15), (20) ymeem ϕt ( θ ) = e R t e Q t oE t E t − ( ) − ( ) − ( ) ( )       + ( )( )θ θ / /; 1 1 1 2 , t → ∞. (26) Poskol\ku Q ( t ) ∼ 2 / E ( t ), t → ∞ , s uçetom (19) ravenstvo (26) preobrazuetsq k vydu ϕt ( θ ) = ψ θ t o2 2 1 1    + ( )( ), t → ∞. (27) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 264 A. A. YMOMOV Yz teorem¥ 4 yzvestno, çto preobrazovanye Laplasa ψ t ( θ ) asymptotyçesky udovletvorqet uravnenyg (18), reßenyem kotoroho est\ funkcyq 1 / ( 1 + θ ). Takym obrazom, ravenstvo (27) oznaçaet, çto ϕt ( θ ) → 1 1 2 2 +    θ , t → ∞, y πto sootvetstvuet zakonu ∏rlanha 1-ho porqdka, poluçaemomu yz kompozycyj dvux pokazatel\n¥x zakonov s odynakov¥m parametrom λ = 2: p ( x ) = 4 2xe x− , x > 0. Poslednee ravnosyl\no utverΩdenyg teorem¥ 7. Analoh teorem¥ 7 dlq processa Hal\tona – Vatsona dyskretnoho vremeny dokazan v rabote [4]. 1. Sevast\qnov B. A. Vetvqwyesq process¥. – M.: Nauka, 1971. – 436 s. 2. Tyxomyrov A. N. O skorosty sxodymosty v central\noj predel\noj teoreme dlq slabo zavysym¥x velyçyn // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1980. – 25, # 4. – S. 800 – 818. 3. Formanov Sh. K. On non-classical variant of central limit theorem // Abstrs Commun. 7th Vilnius Int. Conf. Probab. Theory and Math. Statist. (1998, August 12 – 18, Vilnius, Lithuania). – P. 208. 4. Ymomov A. A. Ob odnom vyde uslovyq nev¥roΩdenyq vetvqwyxsq processov // Uzbek. mat. Ωurn. – 2001. – # 2. – S. 46 – 51. Poluçeno 20.11.2003 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2

Дифференциальный аналог основной леммы теории марковских ветвящихся процессов и его применения

Institution

Ähnliche Einträge