Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Примак, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165623
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня / А.В. Примак // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 277–283. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165623
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1656232020-11-12T11:31:48Z Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня Примак, А.В. Короткі повідомлення 2005 Article Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня / А.В. Примак // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 277–283. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165623 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Примак, А.В. Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня Український математичний журнал
format	Article
author	Примак, А.В.
author_facet	Примак, А.В.
author_sort	Примак, А.В.
title	Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня
title_short	Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня
title_full	Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня
title_fullStr	Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня
title_full_unstemmed	Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня
title_sort	згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165623
citation_txt	Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня / А.В. Примак // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 277–283. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT primakav zgladžuvannâzízberežennâmformi3opuklihsplajnív4gostepenâ
first_indexed	2025-07-14T19:13:59Z
last_indexed	2025-07-14T19:13:59Z
_version_	1837650876152414208
fulltext	UDK 517.5 A. V. Prymak (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka) ZHLADÛUVANNQ ZI ZBEREÛENNQM FORMY 3-OPUKLYX SPLAJNIV 4-HO STEPENQ For each 3-convex piecewise polynomial function s of degree ≤ 4 with n equidistant knots on ·0, 1‚, we construct a 3-convex spline s1 s C1 3∈( )( ) of degree ≤ 4 with the same knots, which satisfies the inequality s s c s n C − ≤1 5 0 1 1 [ , ] ( ; / )ω , where c is some absolute constant and ω5 is fifth order modulus of smoothness. Dlq koΩno] 3-opuklo] kuskovo-polinomial\no] funkci] s stepenq ≤ 4 z n rivnoviddalenymy vuzlamy na ·0, 1‚ pobudovano 3-opuklyj splajn s1 s C1 3∈( )( ) stepenq ≤ 4 z tymy Ω vuzlamy, wo zadovol\nq[ nerivnist\ s s c s n C − ≤1 5 0 1 1 [ , ] ( ; / )ω , de c — absolgtna stala, a ω5 — modul\ hladkosti p’qtoho porqdku. 1. Vstup. Pry nablyΩenni dijsnoznaçno] funkci], vyznaçeno], napryklad, na vidrizku [ 0, 1], inodi neobxidno zberehty deqki ]] vlastyvosti, taki qk znak, mo- notonnist\, opuklist\ ta inßi. Formozberihagçe nablyΩennq alhebra]çnymy mnohoçlenamy ta kuskovo-polinomial\nymy funkciqmy (splajnamy) rozvyva[t\- sq vΩe majΩe 30 rokiv. Neperervna funkciq f : [ 0, 1] → R nazyva[t\sq q-opuklog, qkwo k q q k q k f x kh = −∑ −     + 0 1( ) ( ) ≥ 0, x ∈ [ 0, 1], h ∈ 0 1, −    x q . Poznaçatymemo ce f ∈ ∆q . Zrozumilo, wo 1- ta 2-opukli funkci] — vidpovidno nespadni ta opukli donyzu funkci]. Rizni vlastyvosti q-opuklyx funkcij moΩ- na znajty v ·1‚. Zadaçi monotonnoho ta opukloho nablyΩennq kuskovo-polinomial\nymy funkciqmy z fiksovanymy vuzlamy na skinçennomu intervali rozhlqdalys\, napryklad, u robotax ·2;–;6‚. Formozberihagçe nablyΩennq vywyx porqdkiv, tobto q-opukle nablyΩennq pry q ≥ 3, intensyvno doslidΩu[t\sq v ostanni roky z dewo nespodivanymy rezul\tatamy. A same, analohy vstanovlenyx dlq q = 1, 2 pozytyvnyx rezul\tativ ne magt\ miscq dlq q ≥ 4 (dyv. ·7‚), toçniße, pry q ≥ 4 ne moΩna otrymaty Ωodno] ocinky typu DΩeksona z porqdkom nablyΩennq navit\ n–3 qk dlq nablyΩennq mnohoçlenamy, tak i dlq nably- Ωennq kuskovo-polinomial\nymy funkciqmy. Tomu zalyßavsq vypadok q = 3, dlq qkoho newodavno dovedeno pozytyvni rezul\taty, analohiçni vstanovlenym dlq q = 1, 2 (dyv. ·8;–;10‚). Sformulg[mo ci rezul\taty dlq vypadku rivnoviddalenyx vuzliv. Nexaj ωk ( f ; h) — modul\ hladkosti k-ho porqdku neperervno] na [ 0, 1] funkci] f z krokom h. Todi qkwo nevid’[mni k, r, ( k, r ) ≠ ( 4, 0 ), taki, wo k + r ≥ 3 i abo k + + r ≤ 4 abo r ≥ 3, to dlq dovil\no] f ∈ ∆3 ∩ C (r) [ 0, 1] isnu[ kuskovo- polinomial\na funkciq s ∈ ∆3 stepenq ≤ k + r – 1 z n rivnoviddalenymy vuzlamy taka, wo f s C− [ , ]0 1 ≤ c k r n f n r k r( , ) ;( )−    ω 1 . (1) © A. V. PRYMAK, 2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 277 278 A. V. PRYMAK Ale wodo hladkosti takyx kuskovo-polinomial\nyx funkcij u statti ·10‚ dovedeno lyße moΩlyvist\ zhladΩuvannq 3-opuklyx kuskovo-polinomial\nyx funkcij do kuskovo-polinomial\nyx funkcij z C (2) zi zbereΩennqm porqdku nablyΩennq. Ce da[ moΩlyvist\ pobuduvaty kubiçni 3-opukli splajny naj- menßoho defektu, wo dagt\ porqdok nablyΩennq n–4 (n — kil\kist\ vuzliv). U cij roboti my navodymo konstrukcig 3-opukloho splajnu çetvertoho stepenq i najmenßoho defektu, wo da[ ocinku dlq nablyΩennq porqdku n–5 , poßyrggçy ocinku (1) dlq k + r = 5, r ≥ 3 i na splajny najmenßoho defektu (dyv. naslidok 1). Toçniße, my dovodymo nastupnu teoremu, wo dozvolq[ zhla- dyty dovil\nu 3-opuklu kuskovo-polinomial\nu funkcig stepenq ≤ 4 z rivno- viddalenymy vuzlamy do splajnu najmenßoho defektu z tymy Ω vuzlamy, zberi- hagçy ocinku na nablyΩennq. Teorema 1. Dlq koΩno] 3-opuklo] kuskovo-polinomial\no] funkci] s stepe- nq ≤ 4 z n rivnoviddalenymy vuzlamy na [ 0, 1] isnu[ 3-opuklyj splajn s1 (s1 ∈ C (3)) stepenq ≤ 4 z tymy samymy vuzlamy, wo zadovol\nq[ nerivnist\ s s C− 1 0 1[ , ] ≤ c s n ω5 1;    , (2) de c — absolgtna stala. Vraxovugçy rezul\taty statej ·10, 6‚, otrymu[mo nastupni naslidky. Naslidok 1. Dlq dovil\no] f ∈ ∆3 ∩ C (3) [ 0, 1] isnu[ splajn s ∈ ∆3 çet- vertoho stepenq minimal\noho defektu z n rivnoviddalenymy vuzlamy, wo za- dovol\nq[ nerivnist\ f s C− [ , ]0 1 ≤ cn f n −     3 2 3 1ω ( ); , de c — absolgtna stala. Naslidok 2. Dlq dovil\no] f ∈ ∆3 ∩ C (1) [ 0, 1] isnu[ çyslo N ( f ) take, wo dlq bud\-qkoho n ≥ N ( f ) isnu[ splajn s ∈ ∆3 çetvertoho stepenq minimal\- noho defektu z n rivnoviddalenymy vuzlamy, wo zadovol\nq[ nerivnist\ f s C− [ , ]0 1 ≤ cn f n − ′    1 4 1ω ; , (3) de c — absolgtna stala. ZauvaΩymo, wo ocinka (3), vzahali kaΩuçy, ne vykonu[t\sq dlq vsix n. U p. 2 my dovedemo deqki dopomiΩni lemy, a v p. 3 — teoremu 1. 2. DopomiΩni lemy. Poznaçymo ( )a k + : = max{ ; }0 a k( ) , k = 1, 2, … , ta ( )a + 0 : = 1, qkwo a ≥ 0, i ( )a + 0 : = 0, qkwo a < 0. Nastupna lema [ modyfikaci[g lemy 3 z ·11‚ (dyv. takoΩ ·10‚, lema 11) dlq rivnoviddalenyx vuzliv i B = 3. Vona dovodyt\sq analohiçno, tomu my ne navo- dymo ]] dovedennq. Lema 1. Nexaj x j = j l, j = 0, … , n, l = n–1. Dlq dovil\no] funkci] g ( x ) = i n i ix x = − +∑ − 1 1 0α ( ) , x ∈ [ 0, 1] , de αi ≥ 0, isnu[ lamana p ( x ) = i n i il x x = − − +∑ − 1 1 1β ( ) taka, wo ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 ZHLADÛUVANNQ ZI ZBEREÛENNQM FORMY 3-OPUKLYX SPLAJNIV … 279 βi < αi 3 , i = 1, … , n – 1, i \| g ( x ) – p ( x ) \| < 24 1 1 max , ,i n i = … − α , x ∈ [ 0, 1] . Lema 2. Nexaj s — kuskovo-polinomial\na funkciq stepenq ≤ k – 1 na [ a, b] z [dynym vuzlom rozbyttq c : = a b+ 2 . Todi s c s cr r( ) ( )( ) ( )+ − − ≤ c k r b a s b ar k ( , ) ( ) ( ; ) − −ω , r = 0, 1, … . Dovedennq. Za nerivnistg Uitni (dyv., napryklad, ·12‚) isnu[ mnohoçlen p stepenq ≤ k – 1 takyj, wo s p C a b− [ , ] ≤ 3ωk s b a( ; )− . Za nerivnistg Markova s c p cr r( ) ( )( ) ( )+ − ≤ 4 1 2( ) [ , ] k b a s p r C a b − −     − ≤ ≤ 3 4 1 2( ) ( ; )k b a s b a r k − −     −ω i analohiçno s c p cr r( ) ( )( ) ( )− − ≤ 3 4 1 2( ) ( ; )k b a s b a r k − −     −ω . OtΩe, s c s cr r( ) ( )( ) ( )+ − − ≤ s c p c p c s cr r r r( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+ − + − − ≤ ≤ 6 4 1 2( ) ( ; )k b a s b a r k − −     −ω = c k r b a s b ar k ( , ) ( ) ( ; ) − −ω . Lema 3. Nexaj x j = j l, j = 0, … , n , l = n–1, α 1, … , α n – 1 — deqki dijsni çysla. Isnugt\ β β1 1 * , ,… −n taki, wo β j ≥ – \| α j \| , j = 1, … , n – 1, (4) ta dlq x ∈ [ 0, 1] = [ x 0, x n ] j n j j j n j j jl x x l x x l x x = − + = − + +∑ ∑ − − − + −   1 1 2 1 1 2 3 0 3 2 12 α β ( ) ( ) ( )* < cl j n i 3 1 1 max , ,= … − α . (5) Dovedennq. Dlq zruçnosti poklademo α –1 = α 0 = α n = α n + 1 : = 0. Spoçat- ku pokaΩemo, wo dlq koΩno] poslidovnosti λ j , \| λ j \| ≤ 1 3 , j = 1, … , n – 1, isnugt\ β j , j = 0, … , n, taki, wo ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 280 A. V. PRYMAK βj ≥ − α j , j = 0, … , n, (6) i j n j j j n j j jl x x l x x l x x = − + = + +∑ ∑ − − − + −      1 1 2 0 2 3 0 3 2 12 α β ( ) ( ) ( ) = = j n j j j j n j jl x x l x x r x = − + = − +∑ ∑− − − + 1 1 2 1 1 3 0λ α α( ) ( ) ( ), x ∈ [ 0, 1] , (7) de r taka, wo \| r ( x ) \| ≤ c l j n j0 3 1 1 max , ,= … − α , x ∈ [ 0, 1] . (8) Dlq c\oho, pokladagçy λ –1 = λ 0 = λ n = λ n + 1 : = 0, vyznaça[mo βj : = − + + − + − +− − − + + +α λ α α λ α α j j j j j j j1 2 6 1 2 6 1 1 1 1 1 1 , j = 0, … , n. (9) Zrozumilo, wo 1 2 1 1 ∓ λ αj j ± ± ≥ 1 3 1α j± ≥ ∓ 1 6 1α j± , j = 0, … , n, tomu vykonu[t\sq (6). Bezposerednq perevirka pokazu[, wo pry j = 1, … , n – 1 funkciq rj, zadana spivvidnoßennqm α λ α α j j j j j j jl x x l x x l x x2 1 2 3 1 0 3 1 2 6 2 12 ( ) ( ) ( )− − − +     − + −      + − + − + + + α j j jl x x l x x( ) ( )− + −    + + 2 3 0 2 12 – – 1 2 6 2 12 1 2 3 1 0+ −    − + −    + + + +λ α αj j j j jl x x l x x( ) ( ) = = λ α αj j j j j jl x x l x x r x2 3 0( ) ( ) ( )− − − ++ + , x ∈ [ 0, 1] , (10) zadovol\nq[ rj ( x ) = 0, x ∉ x xj j− +[ ]1 1, , (11) ta \| rj ( x ) \| ≤ c l j1 3 α , x ∈ x xj j− +[ ]1 1, . (12) Tomu (9) ta (10) zabezpeçugt\ (7) z r ( x ) = j n jr x = − ∑ 1 1 ( ), x ∈ [ 0, 1] . Zavdqky (11) ta (12) otrymu[mo (8) z c0 = 2c1 . OtΩe, (7) dovedeno. Wob zakinçyty dovedennq lemy, zastosu[mo lemu 1, qka zabezpeçu[ isnuvannq λ j , \| λ j \| ≤ 1 3 , j = 1, … , n, takyx, wo λ α αj j j n j j j n jl x x l x x = − + = − +∑ ∑− − − 1 1 2 1 1 3 0( ) ( ) ≤ c l j n j0 3 1 1 max , ,= … − α , x ∈ [ 0, 1] . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 ZHLADÛUVANNQ ZI ZBEREÛENNQM FORMY 3-OPUKLYX SPLAJNIV … 281 Z ostann\o] nerivnosti ta z (7) i (8) dlq x ∈ [ 0, 1] ma[mo j n j j j n j j jl x x l x x l x x = − + = + +∑ ∑ − − − + −      1 1 2 0 2 3 0 3 2 12 α β ( ) ( ) ( ) < c l j n j0 3 1 1 max , ,= … − α . Beruçy β1 * : = β1 + β0, β j * : = βj, j = 2, … , n – 1, pryxodymo do (5). 3. Dovedennq teoremy 1. Zafiksu[mo n ≥ 2, l : = n–1, x j : = j l, j = –1, … , n + + 1. Vvedemo funkci] ϕ j , ψ j , j = 0, … , n. Poklademo ϕj ( x ) : = ( ) , ( , ], ( ) , ( , ), , [ , ] \ ( , ), x x l x x x x x l x x x x x x j j j j j j j j − ∈ − − ∈ ∈      − − − + − + − + 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 i ψj ( x ) : = ( ) , ( , ], ( ) , ( , ), , [ , ] \ ( , ). x x l x x x x x l x x x x x x j j j j j j j j − ∈ − ∈ ∈      − − − + − + − + 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 Nastupni dvi lemy perevirqgt\sq za dopomohog bezposeredn\oho obçyslennq. Lema 4. KoΩna kuskovo-linijna funkciq q z vuzlamy x j , j = 1, … , n – 1, na [ 0, 1 ] , ma[ vyhlqd q ( x ) = j n i j j n i jx u x = − = ∑ ∑+ 1 1 0 α ψ ϕ( ) ( ), x ∈ [ 0, 1] , x ≠ x k , k = 1, … , n – 1, (13) de αj = q x q xj j( ) ( )− − + 2 , j = 1, … , n – 1, (14) i uj = q x q xj j( ) ( )− + + 2 , j = 0, … , n. Qkwo q nevid’[mna, to pry c\omu uj = q x q xj j( ) ( )− + + 2 ≥ \| α j \| ≥ 0, j = 0, … , n. (15) Lema 5. Dlq funkcij rj k, ϕ , j = 1, … , n – 1, k = 1, 2, 3, vyznaçenyx spivvidno- ßennqmy 0 1 1 x j t dt∫ ϕ ( ) = l x x r xj j( ) ( ),− ++ 0 1 ϕ , x ∈ [ 0, 1] , 0 0 2 2 1 1x t j t dt dt∫ ∫ ϕ ( ) = l x x r xj j( ) ( ),− ++ 2 ϕ , x ∈ [ 0, 1] , 0 0 0 3 3 2 1 1 2x t t j t dt dt dt∫ ∫ ∫ ϕ ( ) = l x x l x x r xj j j2 12 2 3 0 3( ) ( ) ( ),− + − ++ + ϕ , x ∈ [ 0, 1] , vykonu[t\sq ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 282 A. V. PRYMAK r xj k, ( )ϕ = 0, x ∉ x xj j− +( )1 1, , j = 1, … , n – 1, k = 1, 2, 3, ta r xj k, ( )ϕ ≤ clk , x ∈ x xj j− +( )1 1, , j = 1, … , n – 1, k = 1, 2, 3. TakoΩ dlq funkcij rj k, ψ , j = 1, … , n – 1, k = 1, 2, 3, vyznaçenyx spivvidnoßen- nqmy 0 1 1 x j t dt∫ ψ ( ) = r xj, ( )1 ψ , x ∈ [ 0, 1] , 0 0 2 2 1 1x t j t dt dt∫ ∫ ψ ( ) = l x x r xj j 2 0 23 ( ) ( ),− ++ ψ , x ∈ [ 0, 1] , 0 0 0 3 3 2 1 1 2x t t j t dt dt dt∫ ∫ ∫ ψ ( ) = l x x r xj j 2 33 ( ) ( ),− ++ ψ , x ∈ [ 0, 1] , vykonu[t\sq r xj k, ( )ψ = 0, x ∉ x xj j− +( )1 1, , j = 1, … , n – 1, k = 1, 2, 3, ta r xj k, ( )ψ ≤ clk , x ∈ x xj j− +( )1 1, , j = 1, … , n – 1, k = 1, 2, 3. Dovedennq teoremy 1. Za teoremog 5 ·10‚ isnu[ 3-opukla kuskovo-polino- mial\na funkciq s̃ ∈ C( )[ , ]2 0 1 stepenq ≤ 4 z rivnoviddalenymy vuzlamy, wo zadovol\nq[ nerivnist\ s s C− ˜ [ , ]0 1 ≤ c s n ω5 1;    . (16) Todi q ( x ) : = ˜ ( )( )s x3 , x ∈ [ 0, 1] , [ kuskovo-linijnog nevid’[mnog funkci[g, dlq qko] s ( x ) = p x q t dt dt dt x t t 2 0 0 0 3 3 2 1 1 2 ( ) ( )+ ∫ ∫ ∫ , x ∈ [ 0, 1] , (17) de p2 ( x ) = ˜( ) ˜ ( ) ˜ ( )s s x s x0 0 0 2 2+ ′ + ′′ , x ∈ [ 0, 1] . Teper, zastosovugçy lemu 4, otrymu[mo (13). Z (14) i lemy 2 vyplyva[, wo l j n j 3 1 1 max , ,= … − α ≤ c s n ω5 1˜;    . (18) Zastosu[mo lemu 3 i poklademo q1 ( x ) : = u x u x u xn n j n j j j0 0 1 1 ϕ ϕ β ϕ( ) ( ) ( ) ( )+ + + = − ∑ , x ∈ [ 0, 1] , de s1 ( x ) : = p x q t dt dt dt x t t 2 0 0 0 1 3 3 2 1 1 2 ( ) ( )+ ∫ ∫ ∫ , x ∈ [ 0, 1] . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 ZHLADÛUVANNQ ZI ZBEREÛENNQM FORMY 3-OPUKLYX SPLAJNIV … 283 Z nerivnostej (4) i (15) ma[mo uj j+ β ≥ 0, j = 1, … , n – 1, tomu q1 [ nevid’[m- nog kuskovo-linijnog neperervnog funkci[g, zvidky vyplyva[, wo s1 [ 3- opuklym splajnom çetvertoho stepenq z rivnoviddalenymy vuzlamy. Beruçy do uvahy (5), (13), (17), (18) i lemu 5, otrymu[mo s s C1 0 1− ˜ [ , ] ≤ c s n ω5 1˜;    . Teper z (16) vyplyva[ (2). 1. Roberts A. W., Varbeg D. E. Convex functions. – New York: Acad. Press, 1973. 2. DeVore R. A. Monotone approximation by splines // SIAM J. Math. Anal. – 1977. – 8 , # 5. – P. 891 – 905. 3. Beatson R. K. Convex approximation by splines // Ibid. – 1981. – 12. – P. 549 – 559. 4. Hu Y. K. Convex approximation by quadratic splines // J. Approxim. Theory. – 1993. – 74. – P. 69 – 82. 5. Kopotun K. A. Pointwise and uniform estimates for convex approximation of functions by algebraic polynomials // Constr. Approxim. – 1994. – 10. – P. 153 – 178. 6. Shevchuk I. A. One construction of cubic convex spline // Proc. ICAOR. – 1997. – 1 . – P. 357 – 368. 7. Konovalov V. N., Leviatan D. Shape-preserving widths of Sobolev-type classes of s-monotone functions on a finite interval // Isr. J. Math. – 2003. – 133. – P. 239 – 268. 8. Konovalov V. N., Leviatan D. Estimates on the approximation of 3-monotone function by 3- monotone quadratic splines // East J. Approxim. – 2001. – 7. – P. 333 – 349. 9. Prymak A. V. Three-convex approximation by quadratic splines with arbitrary fixed knots // Ibid. – 2002. – 8, # 2. – P. 185 – 196. 10. Leviatan D., Prymak A. V. On 3-monotone approximation by piecewise polynomials // J. Approxim. Theory. – 2005. – 133. – P. 97 – 121. 11. Bondarenko A. V. Jackson type inequality in 3-convex approximation // East J. Approxim. – 2002. – 8, # 3 – P. 291 – 302. 12. Gilewicz J., Kryakin Yu. V., Shevchuk J. A. Boundness by 3 of the Whitney interpolation constant // J. Approxim. Theory. – 2002. – 119. – P. 271 – 290. OderΩano 12.12.2003 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2

Згладжування зі збереженням форми 3-опуклих сплайнів 4-го степеня

Репозитарії

Схожі ресурси