Транзитивні відображення на топологічних просторах
Рассматривается классическая проблема топологической динамики — существование неэквивалентных определений топологической транзитивности, в частности условие на динамическую систему, которое следует из всех имеющихся определений. Полная классификация таких динамических систем является основным резуль...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165627 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Транзитивні відображення на топологічних просторах / Є. Бiлокопитов, С.Ф. Коляда // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1163–1185. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165627 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656272020-02-15T01:27:31Z Транзитивні відображення на топологічних просторах Білокопитов, Є. Коляда, С.Ф. Статті Рассматривается классическая проблема топологической динамики — существование неэквивалентных определений топологической транзитивности, в частности условие на динамическую систему, которое следует из всех имеющихся определений. Полная классификация таких динамических систем является основным результатом данной работы. In the present paper, we consider the problem of existence of nonequivalent definitions of topological transitivity, which is a classical problem of the topological dynamics. In particular, we use the fact that all available definitions of this kind imply a condition imposed on the dynamical system. The main result of our investigations is the complete classification of these dynamical systems. 2013 Article Транзитивні відображення на топологічних просторах / Є. Бiлокопитов, С.Ф. Коляда // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1163–1185. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165627 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Білокопитов, Є. Коляда, С.Ф. Транзитивні відображення на топологічних просторах Український математичний журнал |
| description |
Рассматривается классическая проблема топологической динамики — существование неэквивалентных определений топологической транзитивности, в частности условие на динамическую систему, которое следует из всех имеющихся определений. Полная классификация таких динамических систем является основным результатом данной работы. |
| format |
Article |
| author |
Білокопитов, Є. Коляда, С.Ф. |
| author_facet |
Білокопитов, Є. Коляда, С.Ф. |
| author_sort |
Білокопитов, Є. |
| title |
Транзитивні відображення на топологічних просторах |
| title_short |
Транзитивні відображення на топологічних просторах |
| title_full |
Транзитивні відображення на топологічних просторах |
| title_fullStr |
Транзитивні відображення на топологічних просторах |
| title_full_unstemmed |
Транзитивні відображення на топологічних просторах |
| title_sort |
транзитивні відображення на топологічних просторах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165627 |
| citation_txt |
Транзитивні відображення на топологічних просторах / Є. Бiлокопитов, С.Ф. Коляда // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1163–1185. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bílokopitovê tranzitivnívídobražennânatopologíčnihprostorah AT kolâdasf tranzitivnívídobražennânatopologíčnihprostorah |
| first_indexed |
2025-07-14T19:15:30Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:15:30Z |
| _version_ |
1837650979437150208 |
| fulltext |
УДК 517.9
Є. Бiлокопитов (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
С. Ф. Коляда (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ
In the present paper, we consider a classical problem of topological dynamics, i.e., the problem of existence of nonequivalent
definitions of topological transitivity and, in particular, the condition imposed on the dynamical system, which follows
from all available definitions of this kind. The complete classification of these dynamical systems is the main result of our
investigations.
Рассматривается классическая проблема топологической динамики — существование неэквивалентных определений
топологической транзитивности, в частности условие на динамическую систему, которое следует из всех имею-
щихся определений. Полная классификация таких динамических систем является основным результатом данной
работы.
1. Вступ. Нехай X — топологiчний простiр, а f : X → X — неперервне вiдображення (коротко
будемо писати f ∈ S(X) — простору всiх неперервних вiдображень X в себе — та позначати
вiдповiдну динамiчну систему, що задається iтерацiями цього вiдображення, через (X, f)).
Розглянемо наступнi двi властивостi:
(TT) для довiльної пари непорожнiх вiдкритих1 множин U та V вX iснує натуральне число
n таке, що fn(U) ∩ V 6= ∅,
(DO) iснує точка x0 ∈ X така, що її орбiта {x, f(x), f2(x), . . . , fn(x), . . .} є скрiзь щiльною
в X.
Слiд зауважити, що, взагалi кажучи, далеко не всi топологiчнi простори допускають вi-
дображення, що мають такi властивостi. Так, простiр X = {0} ∪
{
1
n
: n ∈ N
}
(зi звичайною
метрикою на вiдрiзку [0, 1]) не допускає неперервних вiдображень з властивiстю (TT), а довiль-
ний не сепарабельний простiр — з властивiстю (DO). Але коли вони мають мiсце, то здебiльшого
властивiсть (TT) беруть за означення топологiчної транзитивностi, хоча деякi автори беруть
замiсть неї (DO). У цьому пунктi ми також будемо говорити про топологiчну транзитивнiсть
динамiчної системи, коли вона має властивiсть (TT).
Довiльну точку зi скрiзь щiльною орбiтою будемо називати транзитивною точкою. Точку,
що не є транзитивною, назвемо нетранзитивною. Множину транзитивних чи нетранзитивних
точок динамiчної системи (X, f) будемо позначати через trf чи intrf вiдповiдно.
Зауважимо, що часто, коли ми говоримо про якусь властивiсть динамiчної системи (X, f),
чи використовуємо позначення для неї, будемо автоматично використовувати це i для вiдповiд-
ного вiдображення f без додаткових означень.
Взагалi, властивостi (TT) та (DO) є незалежними. Наприклад, вiзьмемо простiр X = {0} ∪
∪
{
1
n
: n ∈ N
}
зi звичайною метрикою та f : X → X означене так, що f(0) = 0 i f
(
1
n
)
=
=
1
n+ 1
, n = 1, 2, . . . . Легко бачити, що вiдображення f є неперервним. Точка x0 = 1 є
1Далi будемо використовувати вираз „вiдкритна множина” замiсть „непорожня вiдкрита множина”.
c© Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1163
1164 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
транзитивною точкою для (X, f), але система не топологiчно транзитивна
(
вiзьмемо, напри-
клад, U =
{
1
2
}
, V = {1}
)
. Тобто з властивостi (DO) не випливає властивiсть (TT).
З властивостi (TT) також не випливає властивiсть (DO). Для цього досить взяти, скажiмо,
простiр I = [0, 1] i стандартне тент-вiдображення g(x) = 1−|2x−1| на I. Нехай X — множина
всiх перiодичних точок g i f = g|X (точка x є перiодичною для g, якщо gn(x) = x для деякого
натурального n). Тодi система (X, f) не задовольняє умову (DO), оскiльки множина X скрiзь
щiльна в I, в той час як орбiта кожної перiодичної точки є скiнченною. Але умова (TT) має
мiсце. Це наслiдок того факту, що для будь-якого невиродженого iнтервалу J в I iснує додатне
цiле k з gk(J) = I. Таким чином, як тiльки J1 i J2 — вiдкритнi iнтервали в I, то iснує перiодична
орбiта g, що перетне J1 та J2. Це дає умови (TT) для (X, f).
Слiд зазначити, що за додаткових умов на фазовий простiр (чи на вiдображення) означення
(TT) та (DO) еквiвалентнi одне одному. Насправдi має мiсце такий результат, що належить
S. Silverman [8]: якщо метричний простiр X без iзольованих точок, то з (DO) випливає (TT).
Якщо X — сепарабельний простiр другої категорiї за Бером, то з (TT) випливає (DO). Також
на довiльних метричних просторах властивостi (TT) та (DO) еквiвалентнi для сюр’єктивних
вiдображень. Якщо компактний метричний простiр допускає транзитивне вiдображення (тобто
якщо iснує неперервне вiдображення f на просторi X, що задовольняє (TT)), то X не має
iзольованих точок тодi i тiльки тодi, коли простiр є нескiнченним.
Має мiсце наступна теорема (див. [1, 6]).
Теорема 1.1. Нехай (X, f) — динамiчна система, X — компактний гаусдорфовий простiр,
а f : X → X є неперервним. Тодi наступнi властивостi є еквiвалентними:
f — топологiчно транзитивне вiдображення;
для довiльної пари вiдкритних множин U та V в X iснує невiд’ємне n таке, що
fn(U) ∩ V 6= ∅;
для довiльної вiдкритної множини U в X
⋃∞
n=1 f
n(U) = X;
для довiльної вiдкритної множини U в X
⋃∞
n=0 f
n(U) = X;
для довiльної пари вiдкритних множин U та V в X iснує додатне n таке, що
f−n(U) ∩ V 6= ∅;
для довiльної пари вiдкритних множин U та V в X iснує невiд’ємне n таке, що f−n(U)∩
∩ V 6= ∅;
для довiльної вiдкритної множини U в X
⋃∞
n=1 f
−n(U) = X;
для довiльної вiдкритної множини U в X
⋃∞
n=0 f
−n(U) = X;
якщо E ⊂ X — замкнена множина i f(E) ⊂ E, то E = X або E є нiде не щiльною в X;
якщо U ⊂ X — вiдкрита множина i f−1(U) ⊂ U, то U = ∅ або U є скрiзь щiльною в X;
множина trf є Gδ-щiльною;
вiдображення f є сюр’єктивним, а множина trf — непорожньою.
Далi, з усiх наведених вище умов випливає, що множина trf є непорожньою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1165
Якщо, додатково, (X, f) задано на просторi без iзольованих точок, то остання умова є
також еквiвалентною всiм попереднiм.
Виникає природне запитання: а якими будуть спiввiдношення мiж названими властивостями
у випадку загального топологiчного простору?
Нехай далi X — топологiчний простiр, а f ∈ S(X). У роботi [7], яка значною мiрою
iнiцiювала написання даної статтi, було доведено наступне твердження.
Теорема 1.2. Якщо iснує така точка x ∈ X, що орбiта точки f(x) є скрiзь щiльною в X,
то вiдображення f є топологiчно транзитивним.
Ця теорема вказує на важливiсть урахування „нульового моменту часу” при характеризацiї
транзитивних властивостей вiдображення. З огляду на це вiзьмемо наступнi двi властивостi
за означення топологiчної транзитивностi (якi, згiдно з теоремою 1.1, є еквiвалентними для
динамiчних систем на компактних гаусдорфових просторах):
(TT)N для довiльної пари вiдкритних множин U та V в X iснує додатне (цiле) число n
таке, що fn(U) ∩ V 6= ∅,
(TT)N0 для довiльної пари вiдкритних множин U та V в X iснує невiд’ємне (цiле) число
n таке, що fn(U) ∩ V 6= ∅.
Вiдповiдно, якщо має мiсце властивiсть (TT)N, то динамiчну систему (X, f) будемо назива-
ти (топологiчно) N-транзитивною (чи просто топологiчно транзитивною), та N0-транзитивною,
якщо має мiсце властивiсть (TT)N0 . Очевидно, N-транзитивнi динамiчнi системи є N0-транзи-
тивними.
Введемо для зручностi ряд нових позначень. Орбiтою пiдмножини A ⊂ X будемо називати⋃
n∈N0
fn(A) та позначати через f+(A), вiдповiдно множину всiх її прообразiв
⋃
n∈N0
f−n(A)
— через f−(A), а їх об’єднання f+(A)
⋃
f−(A) — через f±(A). У випадку, коли множина
складається з однiєї точки (A = {x}), замiсть ({x}) будемо писати просто (x).
Наступнi твердження вказують на зв’язки мiж (TT) та (DO) в означеннях транзитивностi
(їх доведення див. у пунктi 2).
Твердження 1.1. Наступнi властивостi є еквiвалентними:
(i) f — N0-транзитивне вiдображення;
(ii) для довiльної вiдкритної множини U в X f+(U) = X;
(iii) для довiльної вiдкритної множини U в X f−(U) = X.
Твердження 1.2. Наступнi властивостi є еквiвалентними:
(i) f — N-транзитивне вiдображення;
(ii) для довiльної вiдкритної множини U в X f+ (f(U)) = X;
(iii) для довiльної вiдкритної множини U в X f− (f−1(U)) = X.
У випадку гомеоморфiзмiв на некомпактних (метричних) просторах в означеннях транзи-
тивного (чи мiнiмального) гомеоморфiзму (як правило, через властивiсть (DO)) використову-
ється скрiзь щiльнiсть повної орбiти точки простору. Як деяку аналогiю розглянемо наступну
властивiсть транзитивностi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1166 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
(TT)Z для довiльної пари вiдкритних множин U та V в X iснує цiле число n таке, що
fn(U) ∩ V 6= ∅.
Очевидно, що з властивостей (TT)N, (TT)N0
динамiчної системи випливає її Z-транзитив-
нiсть (тобто виконання для неї властивостi (TT)Z).
Це означення ми ввели ще i з наступних мiркувань: „множиннi” означення та критерiї для
обох введених перед цим транзитивностей виявляють симетрiю мiж поведiнкою образiв та
прообразiв (тобто мiж „майбутнiм” та „минулим”). Саме тому ми будемо вивчати такий клас
динамiчних систем, означення якого є аналогiчним означенню топологiчної транзитивностi,
але в той же час є симетричним само по собi.
Основною метою даної статтi є класифiкацiя Z-транзитивних динамiчних систем. У пунк-
тах 2 – 7 дослiджуються властивостi означених класiв транзитивних динамiчних систем. Однак,
перед тим як переходити до їх читання, рекомендуємо ознайомитись iз пунктами 8 – 10, якi є
допомiжними для розумiння результатiв основних пунктiв. У пунктi 8 вивчаються деякi вла-
стивостi орбiт та iнварiантних множин, у пунктi 9 — властивостi так званих множин вiзитiв
та блукаючих множин (див. означення у пунктi 2). В цих двох пунктах розглядаються само-
вiдображення просторiв без жодних додаткових структур на них. У пунктi 10 наведено деякi
допомiжнi топологiчнi факти, зокрема уточнення результатiв пунктiв 8 та 9 для випадку, коли
простiр є топологiчним, а вiдображення — неперервним.
2. Про основнi спiввiдношення мiж рiзними властивостями транзитивностi динамiч-
них систем. Для пiдмножин A та B простору X означимо так званi множини вiзитiв (див.
також [2]) множини A до множини B : nf (A,B) := {n ∈ N0 | A
⋂
f−n(B) 6= ∅}, Nf (A,B) :=
:= {n ∈ Z | A
⋂
f−n(B) 6= ∅}.Легко також бачити, що nf (A,B) = {n ∈ N0 | fn(A)
⋂
B 6= ∅} ,
а Nf (A,B) = {n ∈ Z | fn(A)
⋂
B 6= ∅} . Якщо з контексту зрозумiло, про яку f iде мова, ниж-
нiм iндексом бiля nf та Nf можна нехтувати.
Зрозумiло, що n (·, ·) та N (·, ·) — це вiдображення з аргументами в 2X × 2X та значеннями
в 2Z. Далi ми часто будемо проводити iз множинами цiлих чисел не тiльки звичайнi теоретико-
множиннi дiї, а ще й арифметичнi. Тобто, наприклад, якщо M,N ⊂ Z, а k ∈ Z, то M +N :=
:= {m+ n | m ∈M, n ∈ N} , M + k := {m+ k | m ∈M} . Ми також будемо застосовувати
дiю множення для M,N ⊂ Z та k ∈ Z.
Використавши цi введенi позначення, запишемо означення трьох властивостей транзитив-
ностi у наступному виглядi: система є N-, N0- та Z-транзитивною, якщо для довiльної па-
ри вiдкритних множин U та V в X n(U, V )\ {0} 6= ∅, n(U, V ) 6= ∅ та N(U, V ) 6= ∅ вiд-
повiдно.
Перейдемо до доведення дещо розширених версiй тверджень 1.1 та 1.2.
Твердження 2.1. Наступнi властивостi є еквiвалентними:
(i) f — N0-транзитивне вiдображення;
(ii) для довiльної вiдкритної множини U в X f+(U) = X;
(iii) для довiльної вiдкритної множини U в X f−(U) = X;
(iv) якщо f(A) ⊂ A, то A або скрiзь щiльна, або нiде не щiльна множина;
(v) якщо F 6= X — замкнена множина та f(F ) ⊂ F, то intF = ∅;
(vi) якщо f−1 (B) ⊂ B, то intB або порожня, або скрiзь щiльна множина;
(vii) якщо U — вiдкритна множина та f−1(U) ⊂ U, то U — скрiзь щiльна множина.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1167
Доведення. Легко бачити, що властивостi (ii) та (iii) рiвносильнi вiдповiдно таким умовам:
для довiльної пари вiдкритних множин U та V в X f+(U)
⋂
V 6= ∅ та для довiльної пари
вiдкритних множин U та V вX f−(U)
⋂
V 6= ∅, якi очевидно, еквiвалентнi N0-транзитивностi.
(ii) ⇒ (iv). Нехай f(A) ⊂ A. Згiдно з твердженням 10.2 f
(
A
)
⊂ A. Тому з твердження 8.2
маємо f+
(
A
)
= A, а отже, f+
(
intA
)
⊂ A. Якщо intA 6= ∅, то X = f+
(
intA
)
⊂ A.
(v) ⇒ (ii). Нехай U — вiдкритна множина. Тодi з твердження 10.2 маємо, що f
(
f+(U)
)
⊂
⊂ f+(U) i ∅ 6= U ⊂ int f+(U), а отже, f+(U) = X.
(iv)⇒ (v) є очевидним, а для переходу вiд (vi) (та (vii)) до (iv) (та (v)) вiдповiдно достатньо
розглянути множини F = X\U, A = X\B та застосувати твердження 8.2.
Твердження 2.2. Наступнi властивостi є еквiвалентними:
(i) (X, f) — N-транзитивна система;
(ii) для довiльної вiдкритної множини U в X f+ (f(U)) = X;
(iii) для довiльної вiдкритної множини U в X f− (f−1(U)) = X;
(iv) (X, f) — N0-транзитивна система та для довiльної вiдкритної множини U в X
f−1(U) 6= ∅;
(v) (X, f) — N0-транзитивна система та f(X) = X;
(vi) для довiльних вiдкритних множин U, V в X множина n(U, V ) є нескiнченною.
Доведення. Еквiвалентнiсть пунктiв (i), (ii) та (iii) доводиться так само, як i в тверджен-
нi 2.1. Очевидно також, що пункти (iv) та (v) еквiвалентнi мiж собою та випливають з пункту (i),
а з пункту (vi) випливає пункт (i).
(iv) ⇒ (iii). Для довiльної вiдкритної U f−1(U) — вiдкритна множина, тому
f− (f−1(U)) = X.
(iv) ⇒ (vi). Нехай iснує N ∈ N таке, що n(U, V ) ⊂ [0, N ] . f−N−1 (V ) 6= ∅, тому ∅ 6=
6= n
(
U, f−N−1 (V )
)
= (n(U, V )\ [0, N ])−N − 1. Суперечнiсть.
Множину A ⊂ X називають блукаючою, якщо N (A,A) ⊂ {0} . Топологiчно транзитивнi
системи мають також наступнi властивостi, що є наслiдками попереднього твердження.
Наслiдок 2.1. (i) Якщо f — N-транзитивне вiдображення, то для довiльного n ∈ N0 має
мiсце fn(X) = X.
(ii) Якщо f — N-транзитивне вiдображення, то для довiльної вiдкритної U i довiльного
n ∈ N0 має мiсце f− (f−n(U)) = f+ (f−n(U)) = f− (fn(U)) = f+ (fn(U)) = X.
(iii) В N-транзитивних системах немає вiдкритних блукаючих множин.
Доведення. Пункт (i) є безпосереднiм наслiдком попереднього твердження.
(ii). Скрiзь щiльнiсть перших трьох множин є очевидною. Якщо f+ (fn(U)) 6= X, то V :=
:= X\f+ (fn(U)) — вiдкритна множина та n(U, V ) ⊂ [0, n] , що суперечить твердженню.
(iii). Якщо U — вiдкрита блукаюча множина, то n (U,U) \ {0} = ∅, що дає U = ∅.
Перейдемо до дослiдження властивостей Z-транзитивних динамiчних систем та їх зв’язку
з N- i N0-транзитивнiстю.
Твердження 2.3. Наступнi властивостi є еквiвалентними:
(i) f — Z-транзитивне вiдображення;
(ii) для довiльної вiдкритної множини U в X f±(U) = X;
(iii) для довiльних вiдкритних U, V в X f−(U)
⋂
f− (V ) 6= ∅;
(iv) X не мiстить двох диз’юнктних вiдкритних зворотно iнварiантних множин;
(v) X не можна зобразити як об’єднання двох власних замкнених iнварiантних пiдмножин;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1168 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
(vi) для довiльних вiдкритних U, V, W в X виконується „нерiвнiсть трикутника”: N(U,
W ) ⊂ N(U, V ) +N(V,W ).
Доведення. Обидвi умови (i) та (ii) еквiвалентнi тому, що для довiльних вiдкритних U, V
f±(U)
⋂
V 6= ∅.Умови (iii) та (iv) еквiвалентнi, бо кожна зворотна орбiта вiдкритної множини є
зворотно iнварiантною та вiдкритною, а кожна зворотно iнварiантна множина слугує зворотною
орбiтою для самої себе. Умови (iv) та (v) є двоїстими умовами.
(i) ⇒ (iii). Насправдi з Z-транзитивностi випливає сильнiша умова: для довiльних вiдкрит-
них U, V в X f−(U)
⋂
V
⋃
f− (V )
⋂
U 6= ∅.
(iii) ⇒ (i). Розглянемо довiльнi вiдкритнi U, V в X. За умовою iснують такi m,n ∈ N0, що
f−n(U)
⋂
f−m (V ) 6= ∅. Тодi якщо, наприклад, n ≥ m, n ∈ n (f−m (V ) , U) ⊂ n(V,U) + m,
то n(V,U) 6= ∅. Аналогiчно, якщо m ≥ n, то n(U, V ) 6= ∅, отже, в будь-якому випадку
N(U, V ) 6= ∅.
(vi)⇒ (i). Оскiльки 0 ∈ N (U,U) ⊂ N(U, V ) +N(V,U), маємо N(U, V ) 6= ∅.
(i) ⇒ (vi). Нехай n ∈ n(U,W ). Тодi S := f−n (W )
⋂
U — вiдкритна, a тому iснує m ∈
∈ N (S, V ) ⊂ N (f−n (W ) , V )
⋂
N(U, V ) ⊂ (N(W,V ) + n)
⋂
N(U, V ). Звiдси m ∈ N(U, V ),
m−n ∈ N(W,V ), а отже, n(U,W ) ⊂ N(U, V )+N(V,W ). Аналогiчно з n(W,U) ⊂ N(W,V )+
+ N(V,U) випливає, що −n(W,U) ⊂ N(U, V ) + N(V,W ), а отже, N(U,W ) = n(U,W )
⋃⋃
(−n(W,U)) ⊂ N(U, V ) +N(V,W ).
Наступне твердження та його наслiдок взято з [4].
Твердження 2.4. Якщо f — Z-транзитивне вiдображення, то для довiльних вiдкритних
U, V в X iснує вiдкритна W така, що N(W,W ) ⊂ N (U,U)
⋂
N (V, V ) .
Доведення. Нехай n ∈ N(U, V ). Тодi якщо n ≥ 0, то W := f−n (V )
⋂
U — вiдкритна
i N(W,W ) ⊂ N (f−n (V ) , f−n (V ))
⋂
N (U,U) ⊂ N (V, V )
⋂
N (U,U) . Якщо n ≤ 0, то для
W := fn(U)
⋂
V включення перевiряється аналогiчно попередньому.
Наслiдок 2.2. Якщо f — N-транзитивне вiдображення, то для довiльних вiдкритних в X
U1, U2, . . . , Un
⋂n
k=1 n (Uk, Uk) 6= {0} .
Доведення. При n = 1 це твердження мiститься в наслiдку 2.1. Далi доведення проводиться
за iндукцiєю з використанням твердження 2.4.
Твердження 2.5. Якщо f — Z-транзитивне вiдображення, а Y ⊂ X — канонiчно замкне-
на2 iнварiантна множина, то g := f|Y також Z-транзитивне.
Доведення. Нехай U := intY, а V, W — вiдкритнi множини в Y. Оскiльки Y — канонiчно
замкнена множина, то згiдно з твердженням 10.4 V
⋂
U i W
⋂
U — вiдкритнi в X i ∅ 6=
6= N (V
⋂
U,W
⋂
U) ⊂ N(V,W ) (Nf = Ng, див. твердження 9.6 ). Внаслiдок довiльностi V,
W має мiсце Z-транзитивнiсть g.
Як буде видно пiзнiше, наявнiсть у фазовому просторi X пiдмножин спецiального типу,
якi ми будемо називати атомами, є дуже принциповою. Пiдмножину A ⊂ X будемо називати
топологiчним атомом (скорочено атомом), якщо для довiльної B ⊂ A маємо або A = B, або
A = A\B. Очевидно, що всi одноточковi множини та ∅ є топологiчними атомами.
Далi, зокрема, буде доведено, що поняття N- та N0-транзитивностi не збiгаються лише на
дуже патологiчних просторах, а точнiше, коли X — не атом, поняття N- та N0-транзитивностi
збiгаються. Також буде показано, що поняття N- та Z-транзитивностi на непатологiчних про-
сторах тiсно пов’язанi, точнiше, має мiсце наступна теорема, що є основним результатом даної
роботи.
2Така, що є замиканням своєї внутрiшностi. Аналогiчно, вiдкрита множина називається канонiчно вiдкритою,
якщо вона є внутрiшнiстю свого замикання.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1169
Теорема 2.1 (зв’язок мiж Z- та N-транзитивнiстю). Нехай (X, f) — Z-транзитивна систе-
ма. Якщо V — об’єднання всiх вiдкритих атомiв (яке можна зобразити як не бiльш нiж злi-
ченне об’єднання), то Y := X\V — iнварiантна (можливо, порожня) множина i
(
Y, f|Y
)
—
N-транзитивна система.
Доведення цiєї теореми ми наведемо пiсля теореми 7.2.
Наслiдок 2.3. У просторах без вiдкритних атомiв поняття N- та Z-транзитивностi
збiгаються.
Типовим прикладом таких просторiв є гаусдорфiв простiр без iзольованих точок.
3. Топологiчнi атоми. Цей пункт присвячено дослiдженню властивостей атомiв у тополо-
гiчних просторах.
Твердження 3.1 (характеризацiя атомiв). Нехай A ⊂ X. Наступнi твердження є еквiва-
лентними:
(i) A — атом;
(ii) A — атом;
(iii) якщо E, F — замкненi пiдмножини в X та A ⊂ E
⋃
F, то або A ⊂ E, або A ⊂ F ;
(iv) якщо F1, F2, . . . , Fn — замкненi пiдмножини в X та A ⊂
⋃n
k=1 Fk, то iснує k ∈ 1, n
таке, що A ⊂ Fk;
(v) якщо (Fn)
∞
n=1 — послiдовнiсть замкнених множин в X та A ⊂
⋃∞
n=1 Fn, то або iснує
n ∈ N таке, що A ⊂ Fn, або A ⊂
⋂∞
n=1
⋃∞
k=n Fk;
(vi) якщо для U, V, вiдкритих пiдмножин в X, A
⋂
U 6= ∅ та A
⋂
V 6= ∅, то V
⋂
A
⋂
U 6=
6= ∅;
(vii) якщо для U1, U2, . . . , Un, вiдкритих пiдмножин в X, i всiх k ∈ 1, n A
⋂
Uk 6= ∅, то
A
⋂⋂n
k=1 Uk 6= ∅;
Доведення. (i)⇒ (iii). Нехай A ⊂ E
⋃
F, але A 6⊂ E. Тодi A 6= A
⋂
E, тому A = A\E ⊂ F.
(iii) ⇒ (i). Якщо A — не атом, то iснує B ⊂ A таке, що A 6= B =: E, A 6= A\B =: F i
A ⊂ A = E
⋃
F.
(iii) ⇒ (v). Припустимо, що для довiльного n ∈ N A 6⊂ Fn, i покажемо, що тодi для
довiльного n ∈ N A ⊂ En :=
⋃∞
k=n Fk. Доведемо це за iндукцiєю: E1 =
⋃∞
k=1 Fk ⊃ A. Нехай
A ⊂ Em. Em = Em+1
⋃
Fm, тому, оскiльки A 6⊂ Fm, A ⊂ Em+1. Отже, A ⊂
⋂∞
n=1En =
=
⋂∞
n=1
⋃∞
k=n Fk.
(v) ⇒ (iv). Достатньо покласти Fk = ∅ при k > n.
(iv) ⇒ (vii). Припустимо, що A
⋂⋂n
k=1 Uk = ∅. Тодi A ⊂ X\
⋂n
k=1 Uk =
⋃n
k=1 Fk, де
Fk := X\Uk. Звiдси випливає, що iснує k ∈ 1, n таке, що A ⊂ Fk = X\Uk. Тобто A
⋂
Uk = ∅.
Суперечнiсть.
(vii)⇒ (vi). Доведення є очевидним.
(vi)⇒ (iii). Потрiбно припустити протилежне i розглянути U = X\E та V = X\F.
(i) ⇔ (ii). A та A одночасно або є, або не є пiдмножинами замкнених множин. Тому всi
включення у (iii) виконуються для A та A одночасно.
Наслiдок 3.1. Якщо A — атом, то для всiх вiдкритих U i таких, що A
⋂
U 6= ∅, має мiсце
A ⊂ U, але не навпаки.
Доведення. V := X\U — вiдкрита множина. U
⋂
A
⋂
V = ∅, тому ∅ = A
⋂
V = A\U.
Звiдси A ⊂ U.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1170 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
Доведемо, що зворотне твердження не є справедливим. Нехай X = Y × Y, Y = [−1, 1] —
простiр, що надiлений коскiнченною топологiєю. Легко бачити, що Y — атом. Тому з твер-
дження 3.1 випливає, що X також атом. Отже, будь-яка вiдкритна множина в X є скрiзь
щiльною. Тобто всi пiдмножини X задовольняють умову (i) твердження 3.1. Водночас з твер-
дження 3.1 випливає, що A = {(x, y) ∈ X |xy = 0} не є атомом, бо E = {(x, y) ⊂ X |y = 0} та
F = {(x, y) ⊂ X |x = 0} — двi замкненi множини, що не мiстять A поодинцi, але мiстять її в
об’єднаннi.
За деяких умов зворотна iмплiкацiя з наслiдку 3.1 все ж виконується.
Твердження 3.2. Нехай A ⊂ X.
(i) Якщо intA 6= ∅, то A — атом тодi i тiльки тодi, коли для довiльної вiдкритної U, що
перетинає A, має мiсце A ⊂ U.
(ii) Якщо intA 6= ∅, то A — атом тодi i тiльки тодi, коли для довiльної вiдкритної U, що
мiститься в A, має мiсце A = U.
(iii) Будь-яка вiдкрита пiдмножина атома A (зокрема, int(A)) також є атомом.
(iv) Якщо атом A не є нiде не щiльним, то A є канонiчно замкненим.
Доведення. Необхiднiсть (i) доведено в наслiдку 3.1, а необхiднiсть (ii) є її очевидним
наслiдком. Пункт (iii) випливає з (ii) та твердження 3.1.
Доведемо достатнiсть (i). Нехай U, V — вiдкритi i такi, що A
⋂
U 6= ∅ та A
⋂
V 6= ∅.
Згiдно з твердженням 10.4 intU
⋂
A
⋂
V = int
(
U
⋂
A
⋂
V
)
= intU
⋂
A
⋂
intV = intU
⋂⋂
intA
⋂
intV ⊃ intA 6= ∅. Тому U
⋂
A
⋂
V 6= ∅. З твердження 3.1 маємо атомарнiсть A.
Достатнiсть (ii). Очевидно A ⊂ intA. Нехай U — вiдкрита множина, що перетинає A.
З твердження 10.4 випливає, що V := U
⋂
intA — вiдкритна множина, що мiститься в A. За
умови A = V ⊂ U. Отже, з (i) випливає, що A — атом.
(iv). З твердження 10.4 випливає, що A
⋂
int
(
A
)
6= ∅. Тому int
(
A
)
⊂ A ⊂ int
(
A
)
.
Введемо на класi вiдкритих атомiв наступне вiдношення еквiвалентностi: S∼T тодi i тiльки
тодi, коли S = T .
Наслiдок 3.2. (i) Для вiдкритних атомiв S та T S∼T тодi i тiльки тодi, коли S
⋂
T 6= ∅.
(ii) Класом, якому належить вiдкритний атом T, є клас вiдкритних пiдмножин intT (тому
довiльне об’єднання та скiнченний перетин зберiгають належнiсть до класу).
Доведення. (i). Достатнiсть. З наслiдку 3.1 випливає, що якщо S
⋂
T 6= ∅, то S =
= S
⋂
T = T . Необхiднiсть випливає з твердження 10.4. Умова (ii) випливає з твердження 10.4
та (i).
Твердження 3.3. Якщо Y — замкнена пiдмножина X, то A ⊂ Y — атом в Y тодi i тiльки
тодi, коли A — атом в X.
Доведення випливає з твердження 3.1 та того, що якщо Y — замкнена пiдмножина X, то
замикання A в X та Y збiгаються.
Твердження 3.4. Нехай Y — топологiчний простiр.
(i) Якщо f ∈ C (X,Y ) та A ⊂ X — атом, то f(A) також атом.
(ii) Якщо A ⊂ X × Y така, що intA 6= ∅, то A — атом тодi i тiльки тодi, коли його
проекцiї prX A та prY A вiдповiдно на X та Y є атомами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1171
Доведення. (i). Нехай U, V ⊂ Y — вiдкритi множини такi, що f(A)
⋂
U 6= ∅ 6= f(A)
⋂
V.
Тодi f−1(U)
⋂
A 6= ∅ 6= f−1 (V )
⋂
A, а f−1(U) та f−1 (V ) — вiдкритi. Тому з твердження 3.1
маємо f−1(U)
⋂
A
⋂
f−1 (V ) 6= ∅, а отже, V
⋂
f(A)
⋂
U 6= ∅. Знову ж згiдно з тверджен-
ням 3.1 f(A) — атом.
(ii). Необхiднiсть є наслiдком (i), адже проекцiї є неперервними вiдображеннями. Доведемо
достатнiсть. Нехай B := prX A, C := prY A — атоми i U — вiдкрита множина, що перетинає
A. Легко бачити, що iснують V та W, вiдкритi в X та Y вiдповiдно, такi, що V ×W ⊂ U та
V ×W
⋂
A 6= ∅, адже такi прямокутники утворюють базу топологiї. Очевидно B
⋂
V 6= ∅,
звiдки з урахуванням наслiдку 3.1 B ⊂ V . Аналогiчно доводиться, що C ⊂ W. Тому A ⊂
⊂ B × C ⊂ V ×W ⊂ U. Отже, згiдно з твердженням 3.2 A — атом.
У твердженнi 3.4 (ii) вимога intA 6= ∅ є суттєвою. В якостi контрприкладу пiдходить
множина з наслiдку 3.1. Зауважимо також, що водночас твердження 3.1 та 3.4 (i) показують,
що атоми є деяким посиленням поняття зв’язних множин.
4. Топологiчнi атоми в динамiчних системах. Нехай (X, f) — динамiчна система, T —
вiдкритий атом. Для класифiкацiї поведiнки топологiчних атомiв у динамiчнiй системi вве-
демо деякi означення. Будемо називати T блукаючим атомом, якщо T — блукаюча множина,
i перiодичним — у протилежному випадку. Перiодом перiодичного атома T будемо назива-
ти min (n(T, T )\ {0}) (що очевидно iснує). T будемо називати квазiперiодичним, якщо iснує
n ∈ N таке, що fn(T ) ⊂ T (найменше таке n будемо називати квазiперiодом). Очевидно, що ця
умова еквiвалентна fn
(
T
)
⊂ T . З цього, зокрема, випливає, що будь-який атом, еквiвалентний
квазiперiодичному, є квазiперiодичним з тим самим квазiперiодом.
Твердження 4.1. Будь-який перiодичний атом є квазiперiодичним, i їх квазiперiод є не
бiльшим за перiод.
Доведення. Нехай T — перiодичний атом з перiодом n, тодi fn(T )
⋂
T 6= ∅. Оскiльки
fn(T ) — атом, а T — вiдкритий атом, то з наслiдку 3.1 маємо fn(T ) ⊂ T .
Насправдi, в цьому випадку квазiперiод збiгається з перiодом, про що свiдчить пункт (v)
наступного твердження.
Твердження 4.2. Нехай T — квазiперiодичний атом з квазiперiодом n. Тодi:
(i) f+(T ) =
⋃n−1
k=0 f
k(T );
(ii) fk(T ) 6⊂ f l(T ) при 0 ≤ k < l < n;
(iii) N(T, T ) ⊂ nZ;
(iv) S := T\fn(T ) — блукаючий атом;
(v) якщо T — перiодичний, то його перiод — n.
Доведення. (i). Оскiльки fn
(
T
)
⊂ T , то згiдно з твердженням 8.2 маємо f+
(
T
)
=
=
⋃n−1
k=0 f
k
(
T
)
. Отже, з твердження 10.3 випливає, що f+(T ) = f+
(
T
)
=
⋃n−1
k=0 f
k
(
T
)
=
=
⋃n−1
k=0 f
k(T ).
(ii). Нехай це не так, тобто fk(T ) ⊂ f l(T ) для деяких 0 ≤ k < l < n. Тодi fn+k−l(T ) =
= fn−l (fk(T )) ⊂ fn−l (f l(T )) = fn(T ) ⊂ T . Оскiльки k < l, то n + k − l < n. Останнє
суперечить тому, що квазiперiодом T є n.
(iii). Для довiльного k ∈ 1, n− 1 f−k(T )
⋂
T = ∅ (бо навiть якщо T є перiодичним, його
перiод бiльший за n − 1). Оскiльки f−k(T ) — вiдкрита множина, а для довiльного l ∈ N0
f ln(T ) ⊂ T , то f−k(T )
⋂
f ln(T ) = ∅. Звiдси T
⋂
f−ln−k(T ) = ∅, а отже, n(T, T ) ⊂ nN0 i
N(T, T ) ⊂ nZ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1172 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
(iv). Очевидно S — вiдкритий атом. При цьому для довiльного k ∈ N S
⋂
fkn(S) ⊂
⊂ S
⋂
fkn(T ) ⊂ S
⋂
fn(T ) = ∅. Тому n (S, S)
⋂
nN = ∅. Водночас n (S, S) ⊂ n(T, T ) ⊂ nN0,
а отже, n (S, S) = {0} .
(v). Якщо n не є перiодом T, то T
⋂
fn(T ) = ∅. Звiдси з урахуванням пункту (iv) маємо
T = T\fn(T ) — блукаючий атом. Прийшли до суперечностi.
Розглянемо бiльш детально класифiкацiю атомiв, увiвши наступнi поняття. Атом T будемо
називати сильно перiодичним (блукаючим), якщо будь-який вiдкритий атом, що еквiвалентний
T, також перiодичний (блукаючий). Зрозумiло, що сильно перiодичний (блукаючий) атом є
перiодичним (блукаючим). Всi iншi перiодичнi (блукаючi) атоми будемо називати слабко перi-
одичними (блукаючими).
Твердження 4.3. (i) T — сильно блукаючий атом тодi i тiльки тодi, коли intT — блука-
ючий атом.
(ii) Якщо T — квазiперiодичний атом, то T — сильно перiодичний атом тодi i тiльки тодi,
коли fn(T ) = T (де n — квазiперiод).
Доведення. (i). З наслiдку 3.2 маємо intT∼T (необхiднiсть). Якщо S∼T, то S ⊂ intT .
Тому з n
(
intT , intT
)
= {0} випливає n (S, S) = {0} (достатнiсть).
(ii). Необхiднiсть. Якщо fn(T ) 6= T , то з твердження 4.2 випливає, що S := T\fn(T ) —
блукаючий атом, що еквiвалентний до T.
Достатнiсть. Згiдно з твердженням 10.1 з того, що S = T , випливає, що fn(S) = fn(T ) =
= T = S. Отже, fn(S)
⋂
S 6= ∅ (з твердження 10.4).
Пункт (i) показує, що якщо канонiчно вiдкритий атом є блукаючим, то вiн є сильно блука-
ючим.
Наслiдок 4.1. Якщо T — сильно перiодичний атом, то fkn+l(T ) = f l(T ) для довiльних
k, l ∈ N0.
Доведення. Слiд застосувати твердження 10.1 до fkn(T ) та T (для вiдображення f l).
5. Простi динамiчнi системи. Динамiчну систему (X, f) будемо називати простою динамiч-
ною системою, якщо iснує квазiперiодичний атом T з квазiперiодом n такий, що X = f+(T ).
Нехай далi у цьому пунктi (X, f) є простою динамiчною системою, а Tk := int fk(T ) для
довiльного k ∈ 0, n− 1 є вiдкритими атомами.
Твердження 5.1. (i) Tl = X\
⋃
k∈0,n−1,k 6=l Tk для довiльного l ∈ 0, n− 1, тобто атоми
Tk диз’юнктнi для рiзних k, а їх об’єднання є скрiзь щiльною множиною в X.
(ii) ∂f l(T ) = f l(T )
⋂⋃
k∈0,n−1\{l} Tk для довiльного l ∈ 0, n− 1.
(iii) Динамiчна система (X, f) є Z-транзитивною.
Доведення. (i). З твердження 4.2 Tl 6⊂ Tk для 0 ≤ l < k < n. Тому Tl 6= Tk, що згiдно з
наслiдком 3.2 дає диз’юнктнiсть. Скрiзь щiльнiсть є очевидною.
(ii). Випливає з (i) та ∂f l(T ) = f l(T )\Tl.
(iii). Нехай U — вiдкритна множина в X. Оскiльки
⋃n−1
k=0 f
k(T ) скрiзь щiльна в X, то iснує
m ∈ 0, n− 1 таке, що fm(T )
⋂
U 6= ∅. Звiдси fm(T ) ⊂ U. Також для довiльного k ∈ 0,m
fk(T )
⋂
fk−m(U) 6= ∅. Тому з вiдкритостi fk−m(U) та атомарностi fk(T ) маємо fk(T ) ⊂
⊂ fk−m(U). Очевидно, що також для довiльного k ∈ m,n− 1 fk(T ) ⊂ fk−m(U). Отже,
X =
⋃n−1
k=0 f
k(T ) ⊂
⋃n−1
k=0 f
m−k(U) ⊂ f±(U), звiдки випливає Z-транзитивнiсть (X, f).
Твердження 5.2. (i) f−1(T ) 6= ∅ тодi i тiльки тодi, коли T — перiодичний атом.
(ii) Якщо атом T є перiодичним, то f−l(T ) = fn−l(T ) для будь-якого l ∈ 1, n− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1173
Доведення. Нехай f−1(T ) 6= ∅. Тодi f−1(T ) — вiдкритна множина. Тому
⋃n−1
k=0 f
k(T )
⋂⋂
f−1(T ) 6= ∅. Отже, n
(
T, f−1(T )
)
6= ∅, з чого випливає перiодичнiсть T. Якщо ж T —
перiодичний атом, то f−l(T ) — вiдкритна множина для довiльного l ∈ 1, n− 1. Тому f−l(T )
⋂⋂⋃n−1
k=0 f
k(T ) 6= ∅. Оскiльки n
(
T, f−l(T )
)⋂
[0, n− 1] = {n− l} , то f−l(T ) ⊂
⊂ X\
⋃
0≤k<n,k 6=n−l f
k(T ). З останнього та вiдкритностi f−l(T ) випливає, що f−l(T ) ⊂
⊂ X\
⋃
0≤k<n,l 6=n−l f
k(T ) = Tn−l. Тому з твердження 3.2 маємо f−l(T ) = fn−l(T ).
Оскiльки характеристики системи не залежать вiд того, який атом iз класу еквiвалентностi
ми вiзьмемо в якостi „породжуючого”, схожi властивостi мають мiсце i у випадку, коли T —
слабко блукаючий атом. Наступне твердження об’єднує цi два випадки.
Твердження 5.3. (i) f−1
(
intT
)
6= ∅ тодi i тiльки тодi, коли T — не сильно блукаючий
атом.
(ii) Якщо T — не сильно блукаючий атом, то Tl 6= ∅ для всiх l ∈ 0, n− 1 та f (∂Tl) ⊂ ∂Tl+1
(modn).
(iii) Якщо T — не сильно блукаючий атом, а S ⊂ X — вiдкритий атом, то N (S, S) ⊂ nZ.
Доведення. (i), (ii). Згiдно з твердженнями 4.3 та 5.2 T — не сильно блукаючий атом
тодi i тiльки тодi, коли intT — перiодичний атом. Останнє має мiсце тодi i тiльки тодi, коли
f−1
(
intT
)
6= ∅. Можна стверджувати навiть бiльше: у цьому випадку Tl = int f l−n
(
intT
)
6=
6= ∅ для довiльного l ∈ 0, n− 1.
Згiдно з твердженням 5.1 ∂Tl = Tl
⋂⋃
k∈0,n−1,k 6=l Tk. Тому
f (∂Tl) ⊂ f
(
Tl
)⋂
f
⋃
k∈0,n−1,k 6=l
Tk
⊂ Tl+1
⋂ ⋃
k∈0,n−1,k 6=l
Tk+1 = ∂Tl+1
(додавання одиницi розумiється по модулю n, i ми тут користуємося тим, що згiдно з тверджен-
ням 4.3 f (Tn−1) ⊂ T0).
(iii). Нехай S — вiдкритний атом, тодi iснує m ∈ 0, n− 1 таке, що S ⊂ fm(T ). Звiдси
також S ⊂ Tm. Тому з твердження 10.3 маємо n (S, S) ⊂ n (fm(T ), Tm) . Оскiльки з твер-
дження 5.1 Tm = X\
⋃
k∈0,n−1,k 6=m Tk = X\
⋃
k∈N0,k 6=m mod n f
k(T ), то n (fm(T ), Tm) ⊂ nN0.
Звiдси N (S, S) ⊂ nZ.
Пункт (ii) попереднього твердження, зокрема, показує, що для систем розглянутого класу
n залежить лише вiд X.
Твердження 5.4. (i) Якщо T — перiодичний атом, то в X може iснувати сильно блука-
ючий атом.
(ii) Якщо T — блукаючий атом, то в X може iснувати сильно перiодичний атом. Також
можливо, що f
(
∂f l(T )
)
6⊂ ∂f l+1(T ) для деякого l ∈ N0.
Доведення. (i). НехайX = {1, 2, 3, 4} , замкненi множини там такi: ∅, X, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},
{2, 4}, {3, 4}, {4}, а вiдображення f(x) :=
{
x+ 1, x < 4,
4, x = 4.
Неперервнiсть f легко перевiря-
ється. T := {1, 3} — перiодичний атом з перiодом 2, а S = {2} — канонiчно вiдкритий блукаю-
чий атом.
(ii). Нехай X = {1, 2, 3} , замкненi множини там такi: ∅, X, {1, 2} , {2, 3} , {3} , {2} , а вiд-
ображення f(x) :=
{
3, x < 3,
2, x = 3.
Неперервнiсть f легко перевiряється. T := {1} — блукаючий
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1174 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
атом, але S := {3} — сильно перiодичний атом з перiодом 2. Також f
(
∂f2(T )
)
= f (∂ {2}) =
= f ({2}) = {3} 6⊂ ∅ = ∂f3(T ).
Описанi патологiї не зустрiчаються в наступному класi.
Твердження 5.5. (i) T — сильно перiодичний атом тодi i тiльки тодi, коли (X, f) —
N-транзитивна система.
(ii) Якщо T — сильно перiодичний атом i S ⊂ X — вiдкритий атом, то N (S, S) = nZ.
(iii) Якщо T — сильно перiодичний атом, то f
(
∂f l(T )
)
⊂ ∂f l+1(T ) для довiльного l ∈ N0.
Доведення. (i). Необхiднiсть. Нехай U — вiдкритна множина в X. Тодi iснує l ∈ 0, n− 1
таке, що f l(T )
⋂
U 6= ∅. Тому для будь-якого k ∈ 0, n− 1 fk+l(T ) ⊂ fk(U), а отже, X =
=
⋃n−1
k=0 f
k(T ) =
⋃l+n−1
k=l fk(T ) ⊂
⋃n−1
k=0 f
k(U) ⊂ f+(U), що означає транзитивнiсть (X, f).
Достатнiсть випливає з вiдсутностi у транзитивних систем блукаючих вiдкритних множин,
що було доведено у наслiдку 2.1.
(ii). За умови iснує m ∈ 0, n− 1 таке, що S = fm(T ). Для довiльного k ∈ N мають мiсце
fkn(S) = fkn+m(T ) = fm(T ) = S. Звiдси згiдно з твердженням 10.4 маємо fkn(S)
⋂
S 6= ∅.
Отже, nN0 ⊂ N (S, S) i тому nZ ⊂ N (S, S) . Включення в iнший бiк ми вже встановили у
твердженнi 5.2.
(iii). Випливає з наслiдку 4.1 та твердження 5.3.
Наслiдок 5.1. Якщо X — атом, то (X, f) — N-транзитивна система тодi i тiльки тодi,
коли f(X) = X, i тодi i тiльки тодi, коли для довiльних вiдкритних множин U, V в X
N(U, V ) = Z.
Нам залишилось розглянути ще один клас простих динамiчних систем. У пунктах (i) та
(ii) наступного твердження описуються їх загальнi властивостi, в пунктi (iii) — патологiї, що
можуть виникати, а в пунктi (iv) — найрегулярнiшi системи цього класу.
Твердження 5.6. Якщо T — сильно блукаючий атом, то:
(i) iснує m ∈ 0, n− 1 таке, що Tk 6= ∅ для довiльного k ∈ 0,m i int fk(T ) = ∅ для
довiльного k > m;
(ii) в динамiчнiй системi (X, f) немає сильно перiодичних атомiв;
(iii) може статись, що m < n − 1; для деякого l ∈ N0 f
(
∂f l(T )
)
6⊂ ∂f l+1(T ); можуть
iснувати перiодичнi атоми;
(iv) якщо m = n − 1, то f
(
∂f l(T )
)
⊂ ∂f l+1(T ) для всiх l ∈ N0 та в системi немає
перiодичних атомiв.
Доведення. (i). Нехайm ∈ 0, n− 1 — найменше число з можливих таких, що int fm+1(T ) =
= ∅ (таке завжди iснує, адже int fn(T ) = ∅). Доведемо, що для довiльного k > m int fk(T ) =
= ∅. Якщо m < n − 1, то fm+1(T ) ⊂
⋃
l∈0,n−1 Tl. Оскiльки fm+1(T ) — атом, то (з тверджен-
ня 3.1) iснує l ∈ 0, n− 1 таке, що fm+1(T ) ⊂ Tl. Оскiльки з твердження 4.2 випливає, що
fm+1(T ) 6⊂ f l(T ) для l ∈ m+ 2, n− 1, а Tm+1 = ∅, то l ∈ 0,m. Тодi можна зробити висно-
вок, що Tl — квазiперiодичний атом. Насправдi з твердження 4.2 маємо f+ (Tl) =
⋃m
i=l Ti, а
отже, X = f+(T ) =
⋃l−1
i=0 Ti
⋃
f+ (Tl) =
⋃m
i=0 Ti. Насамкiнець з твердження 5.1 випливає, що
int fk(T ) = ∅ для довiльного k ∈ m+ 1, n− 1.
Тепер якщо k = np + r, 0 ≤ r < n, p ∈ N, то fk(T ) = fnp+r(T ) = f r ((fn)p (T )) ⊂
⊂ f r
(
∂T
)
= f r
(
T
⋂⋃
l∈1,m f
l(T )
)
⊂ f r(T )
⋂⋃
l∈1,m f
r+l(T ). З тверджень 3.4 та 3.1 випли-
ває, що iснує l ∈ 1,m таке, що fk(T ) ⊂ f r(T )
⋂
f r+l(T ). Звiдси int fk(T ) ⊂ Tr
⋂
int f r+l(T ).
Якщо l ∈ 1,m− r, то int f r+l(T ) = Tr+l. Якщо l ∈ m− r + 1, n− r − 1, то int f r+l(T ) = ∅.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1175
Для l ∈ n− r,m маємо int f r+l(T ) ⊂ Tr+l−n. Легко бачити, що при таких l цi множини не
перетинаються з Tr, i тому int fk(T ) = ∅.
(ii). З твердження 5.1 достатньо перевiрити лише Tk. f l (Tk) = f l (fk(T )) = f l+k(T ) для
l ∈ N0. Множина f l+k(T ) нiде не щiльна в X, якщо l > m − k, та мiститься в Tk+l, якщо
l ∈ 1,m− k. Тому f l+k(T ) 6= Tk, а отже, з твердження 4.3 випливає, що Tk — не сильно
перiодичний атом.
(iii). Нехай X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , замкненi множини там такi: ∅, X, {5} , {4, 5} , {5, 6} ,
{1, 5, 6} , {3, 5, 6} , {2, 4, 5} та всi можливi їх об’єднання, а вiдображення
f(x) :=
x+ 1, x < 5,
5, x = 5,
4, x = 6.
Неперервнiсть f легко перевiряється. T := {1} — канонiчно вiдкритий атом. Оскiльки T =
= {1, 5, 6} , f5(T ) = {5} ⊂ ∂T = {5, 6} , то T — сильно блукаючий, але квазiперiодичний з
квазiперiодом n = 5 атом. Оскiльки f4(T ) = {4} ⇒ f4(T ) = {4, 5} , то int f4(T ) = ∅. При
цьому S = {2, 4} — перiодичний з перiодом 2 вiдкритий атом, а також f
(
∂T
)
= f ({5, 6}) =
= {5, 4} 6⊂ {5} = ∂ {2, 5, 4} = ∂f(T ).
(iv). Так само, як i при доведеннi твердження 5.3, можна показати, що f (∂Tl) ⊂ ∂Tl+1
(modn) для довiльного l ∈ 0, n− 1. Тому f
(
∂f l(T )
)
⊂ ∂f l+1(T ) випливає з цього та з
того, що ∂f l(T ) = f l(T ) при l ≥ n. Вiдсутнiсть перiодичних атомiв випливає з f+ (f (Tl)) =
=
⋃n−1
k=l+1 Tk
⋃⋃n−1
k=0 ∂Tk.
6. Топологiчнi атоми в транзитивних динамiчних системах.
Твердження 6.1. Нехай (X, f) — Z-транзитивна система.
(i) Якщо T — вiдкрита блукаюча множина, то T — атом.
(ii) Якщо A — iнварiантна множина, то V := int
(
f−1(A)\A
)
— атом.
Доведення. (i). Якщо T — не атом, то в ньому знайдуться неперетиннi вiдкритнi пiдмно-
жини U, V такi, що 0 /∈ N(U, V ) ⊂ N(T, T ) = {0} . Тому N(U, V ) = ∅, що суперечить
Z-транзитивностi.
(ii). Оскiльки A — iнварiантна множина, то f+ (f (V )) ⊂ A ⊂ X\V, отже V — блукаюча
вiдкрита множина.
Твердження 6.2. Якщо X — не атом i (X, f) — N0-транзитивна система, то прообраз
будь-якої вiдкритної множини є непорожнiм.
Доведення. Припустимо протилежне. Тодi iснує вiдкритна множина U вX i f−1(U) = ∅ ⊂
⊂ U. Отже, U — вiдкрита блукаюча множина, (а отже, згiдно з твердженням 6.1 — атом), та
одночасно U — обернено iнварiантна множина. А тому з твердження 2.1 випливає, що U = X.
Таким чином, з твердження 3.1 маємо, що X — атом.
З цього твердження та твердження 2.2 випливає наступне (вже ранiше згадуване) спiввiд-
ношення.
Наслiдок 6.1. ЯкщоX — не атом, то N-транзитивнiсть еквiвалентнаN0-транзитивностi.
Слiд зазначити, що у випадку, коли X — атом, будь-яке вiдображення (навiть не обов’язково
неперервне) задовольняє умову (TT)N0 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1176 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
Теорема 6.1. (X, f) — N-транзитивна система тодi i тiльки тодi, коли (X, f) — Z-
транзитивна система i в нiй немає вiдкритних блукаючих атомiв.
Доведення. Згiдно з наслiдком 2.1 потрiбно довести лише достатнiсть. ЯкщоX — атом, то
X — сильно перiодичний атом. Отже, (X, f) — N-транзитивна система згiдно з твердженням 5.5.
У iншому випадку з наслiдку 6.1 нам достатньо довести, що (X, f) — N0-транзитивна система.
Для цього розглянемо множину F, замкнену i таку, що U := int(F ) 6= ∅ та f(F ) ⊂ F.
З твердження 2.1 достатньо показати, що F = X. Згiдно з твердженням 6.1 f−1(U)\F —
вiдкритий атом, який за умовою може бути тiльки порожнiм, тож f−1(U) ⊂ F. Оскiльки
f−1(U) — вiдкрита множина, то f−1(U) ⊂ intF = U. Звiдси f±(U) ⊂ F, що з урахуванням
твердження 2.3 дає F = X.
Наслiдок 6.2. Нехай у динамiчнiй системi (X, f) є вiдкритний атом T. Тодi (X, f) —
N-транзитивна система тодi i тiльки тодi, коли T — сильно перiодичний атом i X = f+(T ).
Доведення. Оскiльки в транзитивних системах не може бути блукаючих атомiв, то T —
сильно перiодичний атом. Звiдси f+(T ) — замкнена iнварiантна множина з непорожньою внут-
рiшнiстю, тому вона збiгається з X, згiдно з твердженням 2.1.
Нагадаємо, що добутком динамiчних систем (X, f) та (Y, g) називається динамiчна система
(X × Y, f × g). Ми також будемо позначати (X ×X, f × f) через (X, f)2 . Наведемо деякi
факти про транзитивнiсть добуткiв.
Твердження 6.3. (i) Динамiчна система (X × Y, f × g) є N0(N, або Z)-транзитивною
тодi i тiльки тодi, коли для довiльних вiдкритних в X множин U, V та для довiльних вiд-
критних в Y множин S, T nf (U, V )
⋂
ng (S, T ) 6= ∅ (nf (U, V )
⋂
ng (S, T ) \ {0} 6= ∅, або
Nf (U, V )
⋂
Ng (S, T ) 6= ∅ вiдповiдно).
(ii) Якщо Y — не атом, а (X × Y, f × g) — Z–транзитивна система, то (X, f) — N-
транзитивна система.
(iii) ЯкщоX — атом, а (X, f)—N-транзитивна система, то N0(N, або Z)-транзитивнiсть
(X × Y, f × g) еквiвалентна вiдповiднiй транзитивностi (Y, g) .
Доведення. (i). Необхiднiсть випливає з твердження 9.5, бо U × S, V × T — вiдкритнi
множини в X × Y. Достатнiсть випливає з того, що в будь-яку вiдкритну множину в X × Y
можна вписати такий прямокутник.
(ii). З (i) зрозумiло, що (X, f) — Z-транзитивна система. Нехай W — довiльна вiдкритна
пiдмножина X. Оскiльки Y — не атом, то в ньому знайдуться вiдкритнi диз’юнктнi множини
U, V. Тобто 0 /∈ Ng(U, V ), але ∅ 6= Nf (W,W )
⋂
Ng(U, V ). Звiдcи Nf (W,W ) 6= {0} , а отже, W
не є блукаючою. Тому згiдно з теоремою 6.1 (X, f) — N-транзитивна система.
(iii). Випливає з (i) та наслiдку 5.1.
Для добуткiв неатомарних систем зв’язок мiж N- та Z-транзитивностями є винятково тiсним.
Теорема 6.2. (i) Якщо X та Y — не атоми, то для системи (X × Y, f × g) N- та Z-
транзитивностi — еквiвалентнi властивостi.
(ii) Якщо (X, f)2 — N-транзитивна система, то X або не мiстить вiдкритних атомiв,
або ж складається з одного атома.
Доведення. (i). Нехай (X × Y, f × g) — Z-транзитивна система. Потрiбно довести, що вона
є N-транзитивною. Згiдно з теоремою 6.1 та твердженням 3.4 достатньо розглянути випадок,
коли в X та Y — вiдкритнi атоми. З iншого боку, згiдно з твердженням 6.3, (X, f) та (Y, g) — N-
транзитивнi системи. Але згiдно з наслiдком 6.2 це означає, що вони є орбiтами сильно перiоди-
чних атомiв. Нехай цi атоми S, T, а їх перiоди вiдповiдноm, n. Згiдно з твердженням 4.3 S×T —
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1177
сильно перiодичний атом з перiодом HCK (m,n) . Також ∅ 6= Nf
(
S, f−1(S)
)⋂
Ng(T, T ) ⊂
⊂ (nZ− 1)
⋂
mZ, а це можливо тодi i тiльки тодi, коли m i n взаємо простi. Легко бачити, що
у цьому випадку динамiчна система є замиканням орбiти цього атома. Тому за твердженням 5.5
вона є N-транзитивною.
(ii). Iз доведення (i) випливає, що за наявностi атомiв уX (X, f)2 може бутиN-транзитивною
лише тодi, коли X складається iз n атомiв. При цьому n є взаємно простим саме iз собою, тобто
n = 1.
Твердження 6.4. Нехай (X, f) — Z-транзитивна система, а T, S — вiдкритнi атоми. Тодi
або iснує n ∈ N0 таке, що S ⊂ f−n(T ), або iснує n ∈ N0 таке, що T ⊂ f−n(S).
Доведення. З Z-транзитивностi випливає, що N (S, T ) 6= ∅, тобто iснує n ∈ N (S, T ) .
Нехай n ≥ 0, тодi S
⋂
f−n(T ) 6= ∅, що внаслiдок атомарностi S дає S ⊂ f−n(T ). Аналогiчно
доводиться, що T ⊂ f−|n|(S) для n ≤ 0.
7. Блукаючi атоми в Z-транзитивних динамiчних системах. Нехай далi у цьому пунктi
(X, f) є Z-транзитивною динамiчною системою. Позначимо через τ клас блукаючих вiдкритих
атомiв (включаючи порожню множину), i нехай U :=
⋃
T∈τ T.
Твердження 7.1. Нехай T ∈ τ. Тодi:
(i) f−1(T ) ∈ τ ;
(ii) для n ∈ N f−n(T ) 6= ∅ тодi i тiльки тодi, коли n ∈ N (U, T ) .
Доведення. (i). Оскiльки прообраз вiдкритої блукаючої множини є вiдкритою та, згiдно з
твердженням 9.7, блукаючою множиною, вiн є атомом у вiдповiдностi з твердженням 6.1.
(ii). Достатнiсть очевидна. Доведемо необхiднiсть. Оскiльки f−n(T ) ⊂ U, то з f−n(T ) 6=
6= ∅ випливає n ∈ N (U, T ) .
Наслiдок 7.1. f−1(U) ⊂ U.
Доведення. f−1(U) =
⋃
T∈τ f
−1(T ). Оскiльки для довiльного T ∈ τ f−1(T ) ∈ τ, то
f−1(T ) ⊂ U. Звiдси f−1(U) ⊂ U.
Твердження 7.2. Якщо π — клас еквiвалентностi вiдкритих блукаючих атомiв i ∅ 6= θ ⊂
⊂ π, то S :=
⋃
T∈θ T ∈ π.
Доведення. Оскiльки π 6= {∅} , то N (S, S) =
⋃
T,W∈θN (T,W ) =
⋃
T,W∈θ {0} = {0} .
Звiдси S — блукаючий атом, що мiстить хоча б один атом з π, тому, очевидно, еквiвалентний
йому.
Останнє твердження, зокрема, показує, що довiльний клас еквiвалентностi блукаючих вiд-
критих атомiв мiстить найбiльший за включенням елемент; також цей клас можна розглядати
як клас вiдкритих пiдмножин цих найбiльших елементiв.
Твердження 7.3. Нехай T, S,W ∈ τ\ {∅} .
(i) Якщо T∼S, то f−1(T )∼f−1(S).
(ii) |N (T, S)| = 1.
(iii) Якщо для деякого n ∈ Z N (T, S) = {n} , то fn(T ) = S.
(iv) N (T, S) = N (T,W ) +N (W,S) .
(v) N (T,W ) = N (S,W ) тодi i тiльки тодi, коли T∼S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1178 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
(vi) Якщо f−1(T ) 6= ∅, то N
(
S, f−1(T )
)
= N (S, T )− 1.
Доведення. (i). Якщо f−1 (T
⋂
S) 6= ∅, то f−1(T )
⋂
f−1(S) = f−1 (T
⋂
S) 6= ∅. Тому
f−1(T )∼f−1(S). N
(
T
⋂
S, f−1(T )
)
⊂ N(T, T ) − 1 = {−1} (аналогiчно N
(
T
⋂
S, f−1(S)
)
⊂
⊂ {−1}). Тому якщо f−1 (T
⋂
S) = ∅, то N
(
T
⋂
S, f−1(T )
)
= ∅ = N
(
T
⋂
S, f−1(S)
)
,
звiдки з урахуванням Z-транзитивностi вiдображення f маємо f−1(T ) = ∅ = f−1(S), тобто
f−1(T )∼f−1(S).
(ii). Нехайm,n ≥ 0 i n,m ∈ N (S, T ) . Тодi f−m(T )∼S∼f−n(T ). Звiдси f−m(T )
⋂
f−n(T ) 6=
6= ∅ i m = n (останнє твердження випливає з твердження 9.7). Випадок m,n ≤ 0 дово-
диться аналогiчно. Нехай тепер n ≥ 0,m ≤ 0. Тодi f−n(T )∼S, fm(S)∼T, тобто fm−n(T )∼T i
fm−n(T )
⋂
T 6= ∅. Звiдсиm = n.Отже, |N (T, S)| < 2.Але |N (T, S)| > 0, тому |N (T, S)| = 1.
(iii). З твердження 10.4 випливає, що S = X
⋂
S = f±(T )
⋂
S = f±(T )
⋂
S = fn(T )
⋂
S ⊂
⊂ fn(T ). Водночас fn(T ) — атом (при n ≥ 0 — з твердження 3.4, при n ≤ 0 — з твердження 7.1),
що перетинається з S. Отже, згiдно з наслiдком 3.1 fn(T ) ⊂ S.
(iv). Випливає з твердження 2.3 та одноелементностi обох множин.
(vi). Доведення, як i в (iv).
(v). T∼S тодi i тiльки тодi, коли {0} = N (T, S) . Це еквiвалентно тому, що N (T,W ) =
= −N (W,S) , чи N (T,W ) = N (S,W ) .
Наслiдок 7.2. Для вiдкритних множин V, W умова |N(V,W )| = 1 еквiвалентна тому, що
V,W ∈ τ.
Доведення. Достатнiсть доведено в основному твердженнi. Необхiднiсть. Оскiльки 1 ≤
≤ |N (V, V )| ≤ |N(V,W ) +N(W,V )| = 1, то |N (V, V )| = 1. Згiдно з твердженням 6.1 це
означає, що V ∈ τ. Аналогiчно доводиться, що W ∈ τ.
Далi через R будемо позначати N (T ∗, U) для деякого фiксованого T ∗ ∈ τ.
Твердження 7.4. (i) R — вiдрiзок в Z (можливо, необмежений).
(ii) τn := {S ∈ τ |N (T ∗, S) = {n}} — непорожнiй клас еквiвалентних атомiв для довiль-
ного n ∈ R.
(iii) τ =
⋃
n∈R τn
⋃
{∅} i U =
⋃
n∈R Tn, де Tn — найбiльшi елементи τn.
Доведення. (i). Нехай m < n i m,n ∈ N (T ∗, U) . Це означає, що iснують S,W ∈ τ,
для яких {m} = N (T ∗, S) , {n} = N (T ∗,W ) . Звiдси {n−m} = N (S,W ) ⊂ N(U,W ) i
n −m ∈ N. Тому для довiльного k ∈ 0, n−m маємо ∅ 6= f−k (W ) ⊂ U. Отже, [m,n]
⋂
Z ⊂
⊂ N
(
T ∗,
⋃n−m
k=0 f−k (W )
)
⊂ N (T ∗, U) , тобто R — вiдрiзок.
(ii). Випливає з твердження 7.3, а (iii) є очевидним.
Зауважимо, що отримана нумерацiя класiв залежить вiд T ∗, який ми зафiксували. Проте
зрозумiло, що незалежно вiд нього множина iндексiв буде вiдрiзком. Зокрема, можна вибрати
T ∗ так, щоб цей вiдрiзок був якомога зручнiшим (наприклад, 1, N ; −N; N0: Z). N (·, ·) можна
розглядати як орiєнтовану вiдстань мiж класами еквiвалентностi всерединi τ. Також цих класiв
є не бiльш нiж злiченна кiлькiсть.
Далi нехай Tn := ∅ для n < inf R. Легко бачити, що для довiльного n ∈ R множина
f−1 (Tn) є скрiзь щiльною в Tn−1.
Якщо в системi немає вiдкритних блукаючих атомiв, то вважаємо, що R := ∅. У цьому
випадку (згiдно з твердженням 6.1) (X, f) є N-транзитивною системою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1179
Твердження 7.5. Серед Tn може бути лише скiнченна кiлькiсть не канонiчно вiдкритих.
Якщо виконується принаймнi одна з умов, що наводяться нижче, то таких взагалi не iснує.
(i) supR = +∞. У цьому випадку також X = U.
(ii) Iснують замкнена iнварiантна множина F, що не перетинається з
⋃
n∈R intTn, i
m ∈ R таке, що f (Tm) ⊂ F. У цьому випадку також m = supR i X = U
⋃
F.
Доведення. (i). Нехай T ∈ τm. Тодi fn(T ) = Tm+n для довiльного n ∈ R − m. Тому
X = f±(T ) ⊂
⋃
n∈R Tn = U та в системi немає перiодичних атомiв. Отже, всi блукаючi атоми
є сильно блукаючими. Згiдно з твердженням 4.3 Tn, як найбiльшi елементи своїх класiв, є
канонiчно вiдкритими.
(ii). Оскiльки f(F ) ⊂ F, то f+ (f (Tm)) ⊂ F. ТомуX = f± (Tm) = f− (Tm)
⋃
f+ (f (Tm)) ⊂
⊂ f− (Tm)
⋃
F.Оскiльки F не перетинається з
⋃
n∈R intTn, то U ⊂ f− (Tm). Звiдсиm = supR.
Також для довiльного n ∈ R f+
(
f
(
Tn
))
=
⋃m
k=n+1 Tk
⋃
F. З твердження 10.4 випливає, що
ця множина не перетинається з intTn. Тому intTn — блукаюча множина, а отже, intTn = Tn.
Тепер доведемо основне твердження, тобто що серед Tn може бути лише скiнченна кiлькiсть
не канонiчно вiдкритих. Нехай n ∈ R таке, що intTn — перiодичний атом з перiодом m. З (i)
одразу маємо supR < +∞. Достатньо довести, що при k > m Tn−k — канонiчно вiдкритий
атом, чи те саме, що intTn−k — блукаючий атом.
Доведемо спочатку, що n
(
Tn, intTn−k
)
= ∅. Нехай f l (Tn)
⋂
intTn−k 6= ∅ для l ∈ 0,m− 1.
Тодi з наслiдку 3.1 маємо f l (Tn) ⊂ Tn−k, звiдки fm (Tn) ⊂ Tm+n−k−l. Оскiльки m + n − k −
− l < n, то з тверджень 10.1 та 10.4 випливає, що fm
(
intTn
)⋂
intTn = fm (Tn)
⋂
intTn ⊂
⊂ Tm+n−k−l
⋂
intTn = ∅. А це суперечить тому, що intTn є перiодичним з перiодом m.
Отже, з твердження 4.2 отримуємо f+ (Tn)
⋂
intTn−k =
⋃m−1
l=0 f l(T )
⋂
intTn−k = ∅, i тому
n
(
Tn, intTn−k
)
= ∅.
Тепер вже з твердження 10.3 маємо n
(
intTn−k, intTn−k
)
= n
(
Tn−k, intTn−k
)
⊂ N
(
Tn−k,
intTn−k
)
⊂ N (Tn−k, Tn) + N
(
Tn, intTn−k
)
= k + N
(
Tn, intTn−k
)
= k − n
(
intTn−k, Tn
)
=
= k − n (Tn−k, Tn) = {0} , отже, intTn−k — блукаючий атом.
Твердження 7.6. Нехай Z+ :=
⋂+∞
m=0
⋃+∞
n=m Tn та Z− :=
⋂−∞
m=0
⋃−∞
n=m Tn (Z+ = ∅ при
supR < +∞, а Z− = ∅ при inf R > −∞). Тодi Z± — замкненi iнварiантнi множини.
Доведення. f (Z±) ⊂
⋂±∞
m=0 f
(⋃±∞
n=m Tn
)
⊂
⋂±∞
m=0 f
(⋃±∞
n=m Tn
)
=
⋂±∞
m=0
⋃±∞
n=m f (Tn) ⊂
⊂
⋂±∞
m=0
⋃±∞
n=m Tn+1 = Z±.
Твердження 7.6 ми навели тут i тому, що Z− є прикладом множини, яка може задовольняти
умови (ii) у твердженнi 7.5.
Твердження 7.7. Нехай p ∈ R таке, що Tn — канонiчно вiдкритий атом для довiльного
n ∈ R i n ≤ p. Будемо також вимагати, щоб або p + 1 /∈ R, або ж Tp+1 був не канонiчно
вiдкритим атомом. Нехай V :=
⋃
n∈R,n≤p Tn та F := X\V . Тодi F — iнварiантна множина,
i якщо вона не порожня, то f+ (f (Tp)) = F.
Доведення. Для доведення iнварiантностi достатньо показати, що f
(
X\V
)
⊂ F (бо тодi
f(F ) ⊂ f
(
X\V
)
⊂ F ), або що S := f−1
(
intV
)⋂
X\V = ∅ (бо intV = X\X\V = X\F ).
Припустимо, що S 6= ∅. Тодi вiдразу V 6= ∅. f−1 (V ) =
⋃
n∈P f
−1 (Tn) ⊂
⋃
n∈P Tn−1 ⊂
⊂ V. Тому з твердження 8.2 маємо f− (V ) = V ⊂ X\S. Звiдси n (S, V ) = ∅ i, як наслiдок,
n (S, Tp) = ∅. Зрозумiло, що S — вiдкрита множина. Тому (з Z-транзитивностi) n (Tp, S) 6= ∅.
Легко бачити також, що f− (Tp) ⊂ V ⊂ f− (Tp), звiдки, згiдно з твердженням 10.1, f (V ) ⊂
⊂ V
⋃
f (Tp). Таким чином, l := minn (Tp, S) = minn (f− (Tp) , S) = minn
(
V , S
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1180 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
Нехай E :=
⋃l
k=1 f
k (Tp)
⋃
V . Згiдно з твердженням 3.4 та наслiдком 3.1 f l (Tp) ⊂ S i
f (E) ⊂ V
⋃⋃l
k=1 f
k (Tp)
⋃
f (f l (Tp)) ⊂ E
⋃
f
(
S
)
⊂ E
⋃
intV = E. Звiдси f+ (Tp) = E, що
разом з f− (Tp) = V ⊂ E дає X = f± (Tp) = E =
⋃l
k=−∞ f
k (Tp).
Оскiльки f(S) ⊂ V , то n (S, S) \ {0} = n (f(S), S) + 1 ⊂ n
(
V , S
)
+ 1 ⊂ [l + 1,+∞) .
Звiдси n
(
Tp, f
−l(S)
)⋂
[0, l] ⊂ n
(
f l (Tp) , S
)⋂
[0, l] ⊂ n
(
S, S
)⋂
[0, l] . Останнє (згiдно з твер-
дженням 10.3) збiгається з n (S, S)
⋂
[0, l] = {0} . Це разом з N (Tp, S)
⋂
(−∞, l − 1] = ∅
дає N
(
Tp, f
−l(S)
)⋂
(−∞, l] = {0} . Оскiльки f−l(S) — вiдкрита множина, це означає, що
f−l(S) ⊂ X\
⋃
k≤,k 6=0 f
−k (Tp) = intTp = Tp. n (S, S) \ {0} = n (S, S) \ [0, l − 1] =
= n
(
S, f−l(S)
)
+ l ⊂ n (S, Tp) + l = ∅. Отже, S — блукаюча вiдкритна множина i S ⊂ Tp+l,
p+ l = supR.
Водночас для k ∈ R\ {p, p+ l} f (Tk) ⊂ Tk+1, а f (Tp+l) ⊂ V . Отже, f−1
(
intTp+1
)
=
= f−1
(
X\
⋃
k∈p+2,p+l Tk
⋃
V
)
⊂ X\
⋃
k∈R\{p} Tk. Оскiльки f−1
(
intTp+1
)
— вiдкрита мно-
жина, то вона мiститься в X\
⋃
k∈R\{p} Tk = intTp = Tp. Звiдси згiдно з твердженням 10.3
n
(
intTp+1, f
−1 (intTp+1)
)
⊂ n (Tp+1, Tp) = ∅, а отже, intTp+1 — блукаюча множина. Звiдси
Tp+1 = intTp+1, що суперечить умовi на p.
Якщо f (Tp) ⊂ V , то f (V ) ⊂ V . Тодi X = f± (V ) ⊂ V . Тому якщо F 6= ∅, то f (Tp) ⊂ F.
А оскiльки f(F ) ⊂ F, то f+ (f (Tp)) ⊂ F. Водночас f+ (f (Tp)) ⊃ X\f− (Tp) ⊃ X\V ⊃ F.
Отже, f+ (f (Tp)) = F.
Тепер ми можемо пiдсумувати всi отриманi результати в двох наступних теоремах, якi
можна вважати повною класифiкацiєю Z-транзитивних динамiчних систем.
Теорема 7.1. Всi класи еквiвалентностi блукаючих вiдкритних атомiв можна подати у
виглядi послiдовностi {τn |n ∈ R} , де R — вiдрiзок в Z (можливо, необмежений), так що для
довiльного n ∈ R τn 6= ∅, а при n > inf R прообрази всiх елементiв τn мiстяться в τn−1.
Мають мiсце також наступнi властивостi:
(i) Прообрази всiх елементiв τl є порожнiми при l := inf R ∈ Z.
(ii) Атоми Tn, найбiльшi елементи τn, мають такi властивостi: f
(
Tn
)
⊂ Tn+1 та
f (∂Tn) ⊂ ∂Tn+1 при n < supR.
(iii) U =
⋃
n∈R Tn, X = U та всi Tn — канонiчно вiдкритi атоми для n ∈ R при supR =
= +∞.
(iv) Нехай f (Tm) ⊂ Z− або f (Tm) ⊂ Y, де Y := X\U — iнварiантна множина для деякого
m ∈ R. Тодi всi Tn — канонiчно вiдкритi атоми для n ∈ R, а m = supR.
(v) Нехай серед Tn є не канонiчно вiдкритi. Тодi m := supR < +∞ та iснують q ∈ R,
k ∈ N0 такi, що F := X\
⋃
n∈R,n<q Tn є iнварiантною та збiгається з
⋃m+k
n=q Tn, де Tn —
сильно перiодичнi атоми для n ∈ m+ 1,m+ k.
Доведення. За метод розбиття атомiв на класи можна взяти той, що був запропонований при
доведеннi твердження 7.4. Тодi основне твердження, пункт (i) та майже весь (ii) випливають
з нього та з твердження 7.3. Пункти (iii) та (iv) є наслiдками твердження 7.5. Завершимо
доведення пункту (ii). Якщо n ∈ R та n 6= supR, то f−1 (Tn+1) ⊂ Tn. Тому f (∂Tn) ⊂
⊂ f
(
Tn
)⋂
X\Tn+1 ⊂ Tn+1\Tn+1 = ∂Tn+1.
(v). Якщо не всi Tn є канонiчно вiдкритими, то за q потрiбно взяти найменший елемент
множини
{
n ∈ R
∣∣intTn 6= Tn
}
, яка згiдно з твердженням 7.5 є скiнченною. Тодi з тверджен-
ня 7.7 випливає, що F := X\
⋃
n∈R,n<q Tn — iнварiантна множина i F = f+ (Tq). Оскiльки Tq —
слабко блукаючий атом, то вiн є i квазiперiодичним вiдкритим атомом. Тому iснує k ∈ N0 таке,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1181
що F =
⋃m+k−q
n=0 fn (Tq), а отже,
(
F, f|F
)
є простою. Згiдно з твердженням 5.3 та канонiчною
замкненiстю F атом Tn := int fn−q (Tq) є вiдкритним (в X) при n ∈ m+ 1,m+ k. Цей атом не
може бути еквiвалентним жодному блукаючому, адже не перетинається з U, тому вiн є сильно
перiодичним.
Остання теорема, бiльш точно, основне твердження та пункти (i), (ii) показують, як можна
структурувати простiр узгоджено до дiї даного вiдображення. Пункти (iii) та (iv) описують
тi можливi характеристики структури, що ведуть до „регулярностi” системи. Останнiй пункт
дає повний опис систем, у яких виникають патологiї. Наступна теорема детальнiше описує
випадок, що фактично мiститься у пунктi (iv).
Теорема 7.2. Нехай m := supR < +∞ та всi Tn — канонiчно вiдкритi атоми для n ∈ R.
Тодi:
(i) множина Y := X\U є iнварiантною, а динамiчна система
(
Y, f|Y
)
— N-транзитивною;
(ii) вiдрiзок R є порожнiм тодi i тiльки тодi, коли X = Y ;
(iii) множина Y є порожньою тодi i тiльки тодi, коли або iснує n ∈ R таке, що f (Tm) ⊂
⊂ ∂Tn, або f (Tm) ⊂ Z−;
(iv) нехай R 6= ∅ та Y 6= ∅; тодi f+ (f (Tm)) = Y та f (Tm)
⋂
intY 6= ∅.
Доведення. (i). Якщо всi Tn — канонiчно вiдкритi атоми для n ∈ R, то з тверджен-
ня 7.7 випливає, що Y — iнварiантна канонiчно замкнена множина. Тому за твердженням 2.5(
Y, f|Y
)
— Z-транзитивна множина. Водночас якщо S — вiдкритна в Y та блукаюча множина, то
S
⋂
intY — вiдкритна в X та блукаюча множина. А це суперечить побудовi Y. Тому в
(
Y, f|Y
)
немає блукаючих вiдкритих множин. Отже, за теоремою 6.1 вона є N-транзитивною.
(ii). Очевидно, що вiдрiзок R є порожнiм тодi i тiльки тодi, коли множина U є порожньою.
Останнє, очевидно, рiвносильно тому, що X = Y.
(iii). Нехай вiдрiзок R не є порожнiм. Оскiльки N (Tm, U) = R −m, то f (Tm) ⊂ X\U =
= X\U
⋃
U\U = Y
⋃(⋃
n∈R Tn
⋃
Z−
)
\U =
⋃
n∈R ∂Tn
⋃
Z−
⋃
Y. Згiдно з твердженням 3.1
або f (Tm) ⊂ Y, або iснує n ∈ R таке, що f (Tm) ⊂ ∂Tn, або f (Tm) ⊂ Z−. Звiдси безпосередньо
випливає необхiднiсть. Достатнiсть випливає з твердження 7.5, бо за даних умов, згiдно з
твердженням 7.6 та теоремою 7.1, множина
⋃
n∈R ∂Tn
⋃
Z− є замкненою iнварiантною та
неперетинною з
⋃
n∈R intTn.
(iv). Перша частина випливає з твердження 7.7. Припустимо, що f (Tm)
⋂
intY = ∅, тодi
f (Tm) ⊂ ∂Y = Y
⋂
U. Звiдси f (∂Y ) = f
(
Y
⋂
U
)
⊂ f (Y )
⋂
f
(
U
)
⊂ Y
⋂(
U
⋃
f (Tm)
)
⊂
⊂ ∂Y
⋃
f (Tm) ⊂ ∂Y. Тому Y = f+ (f (Tm)) ⊂ ∂Y, що суперечить канонiчнiй вiдкритостi Y.
Зауважимо, що коли в припущеннях пункту (iv) Y є об’єднанням скiнченного числа ато-
мiв (тобто
(
Y, f|Y
)
є простою), то результат цього пункту можна дещо уточнити: якщо Y =
=
⋃m+n
k=m+1 Tk, де Tk — канонiчно вiдкритi (в X) перiодичнi атоми, то f (Tm)
⋂⋃m+n
k=m+1 Tk 6= ∅.
Доведення також проводиться вiд супротивного. Припустивши обернене, так само, як i в до-
веденнi пункту (iv), можна показати, що множина
⋃m+n
k=m+1 ∂Tk є iнварiантною. Для цього
потрiбно використати твердження 5.3 та те, що ∂XTk ⊂ ∂Y Tk
⋃
∂Y.
Для бiльш глибокої класифiкацiї атомiв до випадкiв, що описанi в пунктi (v) теореми 7.1, та
в пунктi (iii) теореми 7.2 (перший випадок), можна застосувати класифiкацiю простих динамiч-
них систем, що мiститься у вiдповiдному пунктi (простою буде звуження початкової системи
на F та на
⋃m
k=n Tk, у позначеннях вiдповiдних пунктiв).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1182 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
Також зауважимо, що неважко зрозумiти, як з наведених вище теорем випливає теорема 2.1.
У випадках, коли всi атоми системи є блукаючими або коли серед атомiв є слабко перiодичнi, це
вже доведено в пунктах (iii), (v) теорем 7.1 та 7.2. Якщо ж всi атоми або блукаючi, або сильно
перiодичнi, то, вiдкинувши всi блукаючi, згiдно з теоремою 7.2, ми отримаємо N-транзитивну
систему, що мiстить атом. За наслiдком 6.2 це означає, що вона є замиканням об’єднання
скiнченного числа вiдкритих атомiв. Отже, весь простiр є замиканням об’єднання вiдкритих
атомiв.
Заключнi пункти 8 – 10, як вже зазначалось, є насамперед допомiжними для розумiння
результатiв основних пунктiв.
8. Деякi властивостi вiдображень множин у себе. Нехай в цьому та наступному пунктах
X — деяка множина („простiр”’) i f — деяке вiдображення X у себе. Далi ми часто будемо
використовувати таку лему.
Лема 8.1. У формулi fm (fn(A))∨fm+n(A) знак ∨ збiгається з =, ⊂, або ⊃ в залежностi
вiд того, чи mn ≥ 0, m > 0, а n < 0, чи m < 0, а n > 0 вiдповiдно.
Нагадаємо, що орбiтою множини A ⊂ X називається множина f+(A) :=
⋃
n∈N0
fn(A).
Множину всiх прообразiв множини A ⊂ X будемо позначати через f−(A) :=
⋃
n∈Z−
0
fn(A), а
їх об’єднання — через f±(A) :=
⋃
n∈Z f
n(A).
Твердження 8.1. Мають мiсце такi властивостi орбiт:
(i) f (f+(A)) = f+ (f(A)) ⊂ f+(A) ⊂ f−1 (f+(A)) ; f−
(
f−1(A)
)
= f−1 (f−(A)) ⊂
⊂ f−(A); f (f±(A)) ⊂ f±(A) ⊂ f−1 (f±(A)) .
(ii) f−(A) = {x ∈ X |f+(X)
⋂
A 6= ∅} ; f+(A) = {x ∈ X |f−(X)
⋂
A 6= ∅} ; f±(A) =
= {x ∈ X |f±(X)
⋂
A 6= ∅} .
(iii) Якщо B ⊂ X, то f+ (A
⋃
B) = f+(A)
⋃
f+ (B) , f− (A
⋃
B) = f−(A)
⋃
f− (B) i
f± (A
⋃
B) = f±(A)
⋃
f± (B) .
(iv) f+(A) = (fn)+
(⋃n−1
k=0 f
k(A)
)
; f−(A) = (fn)−
(⋃n−1
k=0 f
−k(A)
)
для довiльного n ∈ N.
Доведення. Пункт (i) випливає з леми 8.1, (ii) є очевидним, (iii) випливає з того, що
fn (A
⋃
B) = fn(A)
⋃
fn (B) для n ∈ Z, а (iv) — з того, що f+(A) =
⋃
m∈N0
(⋃n−1
k=0 f
mn+k(A)
)
=
= (fn)+
(⋃n−1
k=0 f
k(A)
)
та f−(A) =
⋃
m∈N0
(⋃n−1
k=0 f
−mn−k(A)
)
= (fn)−
(⋃n−1
k=0 f
−k(A)
)
.
Множина A ⊂ X називається iнварiантною (зворотно iнварiантною), якщо f(A) ⊂ A
(вiдповiдно f−1(A) ⊂ A).
Твердження 8.2. Мають мiсце наступнi властивостi iнварiантних множин:
(i) Якщо f(A) ⊂ A, то f+(A) = A, а якщо f−1(A) ⊂ A, то f−(A) = A.
(ii) f(A) ⊂ A тодi i тiльки тодi, коли f−1 (X\A) ⊂ X\A.
(iii) Перетин будь-якої кiлькостi (зворотно) iнварiантних множин є (зворотно) iнварiан-
тною множиною.
(iv) Якщо fn(A) ⊂ A, то f
(⋃n−1
k=0 f
k(A)
)
⊂
⋃n−1
k=0 f
k(A) i f+(A) =
⋃n−1
k=0 f
k(A).
(v) Якщо f−n(A) ⊂ A, то f−1
(⋃n−1
k=0 f
−k(A)
)
⊂
⋃n−1
k=0 f
−k(A) i f−(A) =
⋃n−1
k=0 f
−k(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1183
Доведення. Першi три пункти є очевидними. Доведемо (iv): f
(⋃n−1
k=0 f
k(A)
)
=
=
⋃n−1
k=0 f
k+1(A) = fn(A)
⋃⋃n−1
k=1 f
k(A) ⊂
⋃n−1
k=0 f
k(A). f+(A) = (fn)+
(⋃n−1
k=0 f
k(A)
)
=
=
⋃n−1
k=0 f
k(A) (з твердження 8.1). Пункт (v) доводиться так само.
9. Множини вiзитiв та блукаючi множини. Нагадаємо, що для A,B ⊂ X ми означили
множини вiзитiв A до B як nf (A,B) := {n ∈ N0|A
⋂
f−n(B) 6= ∅} = {n ∈ N0 |fn(A)
⋂
B 6=
6= ∅}, Nf (A,B) := {n ∈ Z|A
⋂
f−n(B) 6= ∅} = {n ∈ Z |fn(A)
⋂
B 6= ∅} . Якщо з контексту
зрозумiло, про яке f йде мова, нижнiм iндексом бiля nf та Nf нехтуємо, як i ранiше.
Розглянемо деякi простi властивостi n (·, ·) i N (·, ·) .
Твердження 9.1. (i) N(A,B) = n(A,B)
⋃
(−n (B,A)) = −N (B,A) .
(ii) n(A,B) = N(A,B)
⋂
N0; n (B,A) = −N(A,B)
⋂
N0.
(iii) n(A,B) = ∅ тодi i тiльки тодi, коли f+(A)
⋂
B = ∅, i тодi i тiльки тодi, коли
A
⋂
f− (B) = ∅.
(iv) N(A,B) = ∅ тодi i тiльки тодi, коли f±(A)
⋂
B = ∅, i тодi i тiльки тодi, коли
A
⋂
f± (B) = ∅.
(v) X\f+(A) =
⋃
n(A,B)=∅B; X\f−(A) =
⋃
n(B,A)=∅B; X\f±(A) =
⋃
N(A,B)=∅B.
Твердження 9.2. Нехай C,D ⊂ X тодi:
(i) N (A
⋃
C,B
⋃
D) = N(A,B)
⋃
N (A,D)
⋃
N (C,B)
⋃
N (C,D) ;
(ii) N (A
⋂
C,B
⋂
D) ⊂ N(A,B)
⋂
N (A,D)
⋂
N (C,B)
⋂
N (C,D) ;
(iii) N (A,∅) = N (∅, A) = ∅.
Доведення. Доведення пункту (iii) є очевидним, а пункти (i) та (ii) випливають з то-
го, що fn(A)
⋂(
B
⋃
D
)
=
(
fn(A)
⋂
B
)⋃ (
fn(A)
⋂
D
)
, fn(A)
⋂(
B
⋂
D
)
=
(
fn(A)
⋂
B
)⋂⋂(
fn(A)
⋂
D
)
для довiльного n ∈ Z.
Наслiдок 9.1. Аналогiчнi властивостi мають мiсце i для n (·, ·) .
Легко бачити, що N (·, ·) та n (·, ·) є монотонними вiдносно природних порядкiв на просто-
рах аргументiв та значень. Розглянемо властивостi N (·, ·) та n (·, ·) вiдносно дiй f та f−1.
Твердження 9.3. (i) N
(
f−1(A), B
)
⊂ N(A,B) + 1 ⊂ N (A, f (B)) та N
(
A, f−1 (B)
)
⊂
⊂ N(A,B)− 1 ⊂ N (f(A), B) .
(ii) n (f(A), B) = (n(A,B)\ {0})− 1 та n
(
A, f−1 (B)
)
= (n(A,B)\ {0})− 1.
Доведення випливає з леми 8.1.
Наслiдок 9.2. (i) N (f(A), f (B)) ⊃ N(A,B) ⊃ N
(
f−1(A), f−1 (B)
)
.
(ii) n (f(A), f (B)) ⊃ n(A,B) ⊃ n
(
f−1(A), f−1 (B)
)
.
Твердження 9.4. Нехай n ∈ N. Тодi Nfn(A,B) = (Nf (A,B)
⋂
nZ) /n та nfn(A,B) =
= (nf (A,B)
⋂
nN0) /n.
Нехай тепер Y — деяка множина i g — вiдображення Y в себе. Розглянемо випадок прямого
добутку (f × g) ((x, y)) := (f(X), g (y)) .
Твердження 9.5. Нехай A,B ⊂ X, C,D ⊂ Y.
(i) Nf×g (A× C,B ×D) = Nf (A,B)
⋂
Ng (C,D).
(ii) nf×g (A× C,B ×D) = nf (A,B)
⋂
ng (C,D).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1184 Є. БIЛОКОПИТОВ, С. Ф. КОЛЯДА
Доведення випливає з (f × g) (A× C) = f(A)× g (C) .
Твердження 9.6. Якщо Y ⊂ X — f -iнварiантна множина i g := f|Y , то для A,B ⊂ Y
ng(A,B) = nf (A,B) та Ng(A,B) = Nf (A,B)3.
Доведення. Для довiльного n ∈ N0 f
n(A) = gn(A). Тому fn(A)
⋂
B 6= ∅ тодi i тiльки
тодi, коли gn(A)
⋂
B 6= ∅. Отже, ng(A,B) = nf (A,B), i Ng(A,B) = −ng (B,A)
⋃
ng(A,B) =
= −nf (B,A)
⋃
nf (A,B) = Nf (A,B).
Нагадаємо, що A ⊂ X — блукаюча множина, якщо N (A,A) = {0} . Легко бачити, що ця
рiвнiсть еквiвалентна кожнiй з наступних: n (A,A) = {0} ; n (f(A), A) = ∅; n
(
A, f−1(A)
)
=
= ∅; f+ (f(A))
⋂
A = ∅; A
⋂
f−
(
f−1(A)
)
= ∅.
Твердження 9.7. Якщо A — блукаюча множина, то:
(i) f−1(A) — також блукаюча множина;
(ii) для довiльних n ∈ N0 та m ∈ Z таких, що m 6= −n, f−n(A)
⋂
fm(A) = ∅.
Доведення. Доведення пункту (i) випливає з наслiдку 9.2, а пункту (ii) — того, що
N (A, f−n(A)) ⊂ {−n} .
10. Допомiжнi факти з топологiї.
Твердження 10.1. НехайX, Y — топологiчнi простори. Наступнi умови є еквiвалентними:
(i) f ∈ C (X,Y ) ;
(ii) для довiльної пiдмножини A ⊂ X f
(
A
)
⊂ f(A);
(iii) для довiльної пiдмножини C ⊂ Y f−1 (intC) ⊂ int f−1 (C) ;
(iv) якщо A = B, то f(A) = f (B).
Доведення. Еквiвалентнiсть пунктiв (i) та (ii) є вiдомою, а пункт (iii) є двоїстою умовою до
(ii). Легко бачити, що з (iv) випливає (ii). Залишилося довести (iii)⇒ (iv). Дiйсно, f(A) = f
(
A
)
,
бо f(A) ⊂ f
(
A
)
⊂ f(A). Тому якщо A = B, то f(A) = f
(
A
)
= f
(
B
)
= f (B).
Твердження 10.2. Нехай f ∈ S(X). Тодi мають мiсце наступнi властивостi:
(i) Замикання iнварiантної множини — iнварiантна множина, а внутрiшнiсть зворотно
iнварiантної — зворотно iнварiантна множина.
(ii) Для довiльної пiдмножини A ⊂ X f
(
f+(A)
)
⊂ f+(A), f
(
f±(A)
)
⊂ f±(A) i
f−1 (int f−(A)) ⊂ int f−(A).
(iii) Для довiльної вiдкритої множини U f−(U) — вiдкрита множина.
Доведення. Доведення пункту (i) випливає з твердження 10.1, пункту (ii) — з (i) та твер-
дження 8.1, а твердження (iii) є очевидним.
Твердження 10.3. Нехай A = B. Тодi:
(i) якщо U — вiдкрита множина, то n (A,U) = n (B,U) ;
(ii) f+(A) = f+ (B).
Доведення. (i). Для n ∈ N0 f
−n(U) — вiдкрита множина. Тому f−n(U)
⋂
A = ∅ тодi i тiльки
тодi, коли f−n(U)
⋂
A = ∅. Звiдси n (A,U) = n
(
A,U
)
= n
(
B,U
)
= n (B,U) . Доведення
пункту (ii) випливає з пункту (i). Оскiльки X\f+(A) =
⋃
{U : U— вiдкрита та n (A,U) =
= ∅} =
⋃
{U : U— вiдкрита та n (B,U) = ∅} = X\f+ (B) (згiдно з твердженням 9.1 та тим,
що X\f+(A) — вiдкрита).
3 В таких випадках ми не вказуємо нижнiй iндекс.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ТРАНЗИТИВНI ВIДОБРАЖЕННЯ НА ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ 1185
В наступному твердженнi мiститься кiлька корисних фактiв iз загальної топологiї.
Твердження 10.4. (i) Якщо U, V — неперетиннi вiдкритi множини, то intU
⋂
V = ∅.
(ii) Якщо U — вiдкрита множина, то для довiльної A ⊂ X A
⋂
U = A
⋂
U.
(iii) Якщо U — вiдкрита множина, то для довiльної A ⊂ X int
(
A
⋂
U
)
= intA
⋂
U.
(iv) Якщо U — вiдкрита множина, то з int
(
A
⋂
U
)
6= ∅ випливає, щоA
⋂
U 6= ∅. Зокрема,
якщо intA 6= ∅, то A
⋂
intA 6= ∅.
(v) Якщо U — вiдкрита множина,A ⊂ intA i U
⋂
A 6= ∅, то U
⋂
intA = int (A
⋂
U) 6= ∅.
Доведення. (i). Якщо U
⋂
V = ∅, то U
⋂
V = ∅. Звiдси intU
⋂
V = ∅, i тому intU
⋂
V =
= ∅.
(ii). Оскiльки F := X\U — замкнена множина, то A\F ⊂ A\F . При цьому A\F = A\F ⊂
⊂ A\F . Тому A\F = A\F , а отже, A
⋂
U = A
⋂
U.
(iii). З пункту (ii) маємо intA
⋂
U = intA
⋂
U ⊃ int intA
⋂
U = int intA
⋂
U ⊃
⊃ int
(
intA
⋂
U
)
= intA
⋂
intU = int
(
A
⋂
U
)
. Включення в iнший бiк є очевидними, а
пункт (iv) випливає з пункту (iii).
(v). Нехай V := intA. Якщо U
⋂
V = ∅, то U
⋂
A = U
⋂
V = ∅. Суперечнiсть.
Насамкiнець зауважимо, що рецензент звернув нашу увагу на нещодавнi публiкацiї [3, 5].
У першiй з них серед iншого показано, що N- та N0-транзитивностi, взагалi кажучи, нееквiва-
лентнi, та наведено деякi умови для їх еквiвалентностi. У роботi [3] також отримано основнi
результати нашої роботи у випадку, коли фазовий простiр є гаусдорфовим. Оскiльки за цього
припущення вiдкритними атомами можуть бути лише iзольованi точки, конструкцiї дещо спро-
щуються. З цiєї роботи ми додали умови (iv) та (v) у твердженнi 2.3. Зауважимо, що в обох
роботах мiститься велика кiлькiсть прикладiв, яких дещо бракує у нашiй.
1. Akin E. The general topology of dynamical systems // Grad. Stud. Math. – 1993. – 1. – x+261 p.
2. Akin E. Recurrence in topological dynamics: Furstenberg families and Ellis actions. – New York: Plenum, 1997. –
x+265 p.
3. Akin E., Carlson J. D. Conceptions of topological transitivity // Topology Appl. – 2012. – 159. – P. 2815 – 2830.
4. Banks J. Topological mapping properties defined by digraphs // Discrete Contin. Dynam. Systems. – 1999. – 5. –
P. 83 – 92.
5. Banks J., Stanley B. A note on equivalent definitions of topological transitivity // Discrete and Contin. Dynam.
Systems. Ser. A. – 2013. – 33. – P. 1293 – 1296.
6. Kolyada S., Snoha L. Some aspects of topological transitivity — a survey // Grazer Math. Berichte. – 1997. – 334. –
P. 3 – 35.
7. Mai J.-H., Sun W.-H. Transitivities of maps of general topological spaces // Topology Appl. – 2010. – 157. –
P. 353 – 375.
8. Silverman S. On maps with dense orbits and the definition of chaos // Rocky Mountain J. Math. – 1992. – 22. –
P. 353 – 375.
Одержано 29.12.12,
пiсля доопрацювання — 05.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
|