Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем

Вводится понятие базового изменчивого множества и исследуются основные свойства таких множеств. Базовые изменчивые множества технически необходимы для построения общей теории изменчивых множеств. Тематика работы тесно связана с известной шестой проблемой Гильберта....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Грушка, Я.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2013
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165629
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем / Я.I. Грушка // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1198–1218. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165629
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1656292020-02-15T01:26:29Z Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем Грушка, Я.І. Статті Вводится понятие базового изменчивого множества и исследуются основные свойства таких множеств. Базовые изменчивые множества технически необходимы для построения общей теории изменчивых множеств. Тематика работы тесно связана с известной шестой проблемой Гильберта. We introduce the notion of base changeable sets and study the principal properties of these sets. Base changeable sets are required for the construction of the general theory of changeable sets. The problem studied in our paper is closely connected with the famous sixth Hilbert problem. 2013 Article Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем / Я.I. Грушка // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1198–1218. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165629 510.22 + 51-71 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Грушка, Я.І. Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем Український математичний журнал
description	Вводится понятие базового изменчивого множества и исследуются основные свойства таких множеств. Базовые изменчивые множества технически необходимы для построения общей теории изменчивых множеств. Тематика работы тесно связана с известной шестой проблемой Гильберта.
format	Article
author	Грушка, Я.І.
author_facet	Грушка, Я.І.
author_sort	Грушка, Я.І.
title	Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем
title_short	Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем
title_full	Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем
title_fullStr	Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем
title_full_unstemmed	Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем
title_sort	базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165629
citation_txt	Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем / Я.I. Грушка // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1198–1218. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT gruškaâí bazovímínlivímnožinitamatematičnemodelûvannâevolûcíísistem
first_indexed	2025-07-14T19:15:54Z
last_indexed	2025-07-14T19:15:54Z
_version_	1837651004055617536
fulltext	УДК 510.22 + 51-71 Я. I. Грушка (Iн-т математики НАН України, Київ) БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ We introduce the notion of basic variable sets and study the principal properties of these sets. The basic variable sets are required for the construction of the general theory variable sets. The problem studied in the paper is closely connected with the famous sixth Hilbert problem. Вводится понятие базового изменчивого множества и исследуются основные свойства таких множеств. Базовые изменчивые множества технически необходимы для построения общей теории изменчивых множеств. Тематика работы тесно связана с известной шестой проблемой Гильберта. Вступ. Досягнення сучасної теоретичної фiзики широко вiдомi, але проблема математично строгого обґрунтування її основ, тобто шоста проблема Гiльберта, залишається вiдкритою i сьогоднi [1 – 3]. Окремi напрямки формалiзацiї певних фiзичних теорiй було запропоновано в роботах [4 – 9]. Зауважимо, що в зазначених роботах не було сформульовано єдиного абстракт- ного пiдходу. Тому математичний апарат цих робiт виглядає штучним i недостатньо гнучким. Взагалi, головною особливiстю iснуючих математично строгих моделей теоретичної фiзики є їхня складнiсть i громiздкiсть, в той час як математично строге визначення i формулювання найбiльш елементарних (базових) фiзичних понять та постулатiв, отриманих на основi дослiдiв, життєвого досвiду або ж здорового глузду (якi i привели до появи цих математичних моделей) залишаються нерозв’язаною задачею. В роботах [10, 11] висловлюється думка, що загальне розв’язання цiєї задачi в рамках iснуючих на даний час математичних теорiй є неможливим, i ставиться проблема побудови теорiї „динамiчних множин” — нових абстрактних математичних структур, у рамках яких можна було б строго математично моделювати рiзноманiтнi процеси в фiзичних, бiологiчних та iнших складних системах. У данiй роботi дослiджуються базовi мiнливi множини, якi можна iнтерпретувати як матема- тичну абстракцiю моделей фiзичних та iнших процесiв макросвiту в певнiй фiксованiй системi вiдлiку. В цiй роботi описано з абстрактної математично строгої точки зору таке базове поняття фiзики, як еволюцiя систем. Базовi мiнливi множини є технiчно необхiдними для побудови бiльш загальної теорiї мiнливих множин — сукупностей об’єктiв, якi, на вiдмiну вiд елемен- тiв звичайних (статичних) множин, можуть перебувати у процесi постiйних трансформацiй, а також змiнювати свої властивостi залежно вiд способу спостереження (тобто, фактично, сис- теми вiдлiку). Теорiю мiнливих множин можна вважати вiдповiддю на проблему, поставлену в [10, 11]. Зауважимо, що основнi положення теорiї мiнливих множин було анонсовано в [16]. Опишемо коротко структуру статтi. Теорiя базових мiнливих множин будується на математичних об’єктах „нижчого рiвня iє- рархiї” — примiтивних мiнливих множинах [17, 18]. Тому для зручностi подальшого викладу у першому пунктi наведено основнi тези робiт [17, 18]. У другому пунктi введено поняття елементарно-часового стану i на конкретному прикладi показано, що напрямного вiдношення змiн, заданого на множинi елементарних станiв довiльної примiтивної мiнливої множини, недостатньо для адекватного i водночас зручного опису еволю- c© Я. I. ГРУШКА, 2013 1198 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1199 цiї елементарно-часових станiв. У зв’язку з цим введено поняття бази елементарних процесiв (певного бiнарного вiдношення на множинi елементарно-часових станiв, яке „в проекцiї” на множину елементарних станiв дає напрямне вiдношення змiн) i наведено означення базової мiнливої множини (як примiтивної мiнливої множини разом з певною базою елементарних процесiв, визначеною на нiй). Також у цьому пунктi наведено приклади базових мiнливих мно- жин i доведено, що довiльна система абстрактних траєкторiй R генерує деяку базову мiнливу множину At (T,R) . У третьому пунктi дано означення лiнiї долi довiльної базової мiнливої множини i дове- дено, що множина всiх лiнiй долi є системою абстрактних траєкторiй, яка генерує вихiдну базову мiнливу множину. Це, зокрема, означає, що довiльну базову мiнливу множину завжди можна породити з допомогою певної системи абстрактних траєкторiй. Також у цьому пунктi обговорюється проблема вiдновлення вихiдних траєкторiй базової мiнливої множини вигляду At (T,R) за допомогою її лiнiй долi. На конкретному прикладi доведено, що в загальнiй си- туацiї розв’язання зазначеної проблеми негативне, i наведено найпростiший клас частинних випадкiв, коли дана проблема має позитивне розв’язання. В четвертому пунктi введено поняття мiнливої системи i процесу базової мiнливої множини i побудовано природну взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж мiнливими системами i процеса- ми довiльної базової мiнливої множини. З точки зору механiки цi поняття можна iнтерпретувати як абстрактний аналог поняття фiзичного тiла зi змiнним складом, а з теоретико-множинної точ- ки зору поняття мiнливої системи є аналогом поняття „пiдмножини” в класичнiй („статичнiй”) теорiї множин. Також на основi поняття лiнiї долi введено поняття елементарного процесу i обґрунтовано, що елементарнi процеси можуть служити аналогом елементiв у класичнiй теорiї множин. 1. Примiтивнi мiнливi множини та їх основнi властивостi. 1.1. Мотивацiя. Орiєнто- ванi множини. Коли спробувати подивитися з найбiльш абстрактної точки зору на будь-яку картину реальної дiйсностi (область реальностi), то можна лише сказати, що така картина в кожну мить свого iснування складається з певних предметiв (об’єктiв). У процесi науко- вого дослiдження заданої областi реальностi предмети, з яких вона складається, розбивають на дрiбнiшi, елементарнi, об’єкти, якi ми будемо називати елементарними станами. Спосiб розбиття заданої областi реальностi на елементарнi стани залежить вiд рiвня наших знань про цю область, вiд необхiдного для практики рiвня деталiзацiї дослiджень або ж вiд рiвня фiзико-математичної iдеалiзацiї дослiджуваної системи. В залежностi вiд зазначених факторiв елементарними станами можуть бути, наприклад, положення матерiальної точки чи елемен- тарної частинки в заданий момент часу, значення скалярного, векторного чи тензорного поля в заданiй точцi простору-часу, стан особини того чи iншого бiологiчного виду в заданий мо- мент часу (в математичних моделях бiологiї) та iн. I якщо б картина реальної дiйсностi не змiнювалася з часом, то для опису такої картини реальної дiйсностi (в найбiльш абстрактнiй формi) цiлком би вистачило класичної теорiї множин, коли елементарнi стани ототожнюються з елементами певної множини. Проте реальна дiйснiсть мiнлива. Елементарнi стани в процесi еволюцiї можуть змiнювати свої властивостi (а отже, втрачати свою формально-математичну самототожнiсть), зникати або народжуватись, розпадатися на декiлька елементарних станiв або ж, навпаки, декiлька елементарних можуть зливатись в один. Але здоровий глузд пiд- казує, що завжди, коли є можливiсть прослiдкувати „лiнiї еволюцiї” дослiджуваної системи, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1200 Я. I. ГРУШКА можна чiтко вiдповiсти на питання: чи є елементарний стан „y” результатом трансформа- цiй (тобто „трансформацiйним нащадком”) елементарного стану „x”? Отже, найпримiтивнiшу (стартову) модель сукупностi мiнливих об’єктiв можна описати з допомогою наступного озна- чення. Означення 1.1. Нехай M — довiльна непорожня множина (M 6= ∅). Довiльне рефле- ксивне бiнарне вiдношення C−− на M (тобто таке, що ∀x ∈ M xC−−x) будемо називати орiєнтацiєю, а паруM = (M,C−−) — орiєнтованою множиною. При цьому множину M буде- мо називати базовою, або множиною всiх елементарних станiв орiєнтованої множиниM i позначатимемо її через Bs(M), а вiдношення C−− будемо називати напрямним вiдношенням змiн (трансформацiй)M i позначатимемо його через← M . Якщо вiдомо, про яку орiєнтовану множину M йде мова, в позначеннi ← M символом M будемо нехтувати, використовуючи позначення ← . Для елементiв x, y ∈ Bs(M) запис y←x слiд розумiти як „елементарний стан y є результатом трансформацiй, або трансформацiйним нащадком елементарного стану x”. Зауваження 1.1. Певнi спроби побудови абстрактних математичних структур для моде- лювання фiзичних систем зроблено в роботах [8, 9], де в якостi базової абстрактної моделi запропоновано розглядати пару вигляду (M,≺) , (1.1) M — деяка множина, ≺ — бiнарне вiдношення на M, що задовольняє наступнi умови: (Pm1) не iснує елементiв x, y ∈M таких, що x ≺ y i y ≺ x; (Pm2) для довiльного p ∈M вiдношення ≺ є транзитивним на множинах p+ = {x ∈M \| p ≺ x} , p− = {x ∈M \| x ≺ p} , (1.2) а також додатковi аксiоми ТК1 – ТК3 [9]. Головним недолiком даного пiдходу є те, що автор вiдштовхувався не вiд абстрактно-фiлософських мiркувань, а вiд конкретного прикладу вiдно- шення порядку, породженого „свiтловим конусом” у просторi часу Мiнковського [9, с. 15], що в свою чергу породило накладання додаткових штучних аксiом i зробило запропоновану мо- дель недостатньо гнучкою. Зокрема, завдяки топологiчним аксiомам ТК1 – ТК3 [9] дана модель непридатна для опису дискретних процесiв, а завдяки аксiомi (Pm2) (ослабленому варiанту транзитивностi) недостатньо зручна для розгляду на абстрактному рiвнi складних гiллястих процесiв, у яких рiзнi „гiлки” процесу можуть „перетинатись” або „зливатись” пiд час транс- формацiй. Крiм того, побудова математичної моделi спецiальної теорiї вiдносностi на основi вiдношення порядку „свiтлового конуса” робить неможливим математично строге дослiдження тахiонiв у рамках цiєї моделi, тодi як побудова формальної теорiї тахiонiв є одним iз актуальних напрямкiв сучасної теоретичної i математичної фiзики [12, 13]. Зазначимо, що моделi робiт [8, 9] можна розглядати як частиннi випадки орiєнтованих мно- жин, визначених в означеннi 1.1. Справдi, спочатку вiдкинемо аксiоми топологiчного характеру ТК1 – ТК3, оскiльки вони лише зменшують загальнiсть даних моделей, i розглянемо пару ви- гляду (1.1), де вiдношення ≺ задовольняє умови (Pm1), (Pm2). Враховуючи умову (Pm1), без обмеження загальностi замiсть вiдношення ≺ можна розглядати вiдношення �=≺ ∪{(x, x) \| x ∈M} , (1.3) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1201 тобто таке вiдношення, що для довiльних x, y ∈ M умова x � y має мiсце тодi i тiльки тодi, коли x ≺ y або x = y. Справдi, з умови (Pm1) випливає, що об’єднання у правiй частинi (1.3) є диз’юнктним, тобто вiдношення ≺ однозначно вiдновлюється за вiдношенням � (≺=� \{(x, x) \| x ∈M}). (Зауважимо, що, згiдно з теорiєю вiдношень, довiльне бiнарне вiдношення на множинi M є пiдмножиною її декартового квадрата M ×M, тому застосування теоретико- множинних операцiй до бiнарних вiдношень є коректним.) Отже, модель (1.1) еквiвалентна моделi (M,�), в якiй вiдношення � вже є рефлексивним, але ще й, додатково, асиметричним i транзитивним на множинах вигляду (1.2) (нагадаємо, що асиметричнiсть вiдношення� означає, що для довiльних x, y ∈ M з умов x � y i y � x випливає, що x = y). Таким чином, у роботах [8, 9] вiдношення � крiм рефлексивностi повинно задовольняти ще й додатковi обтяжуючi умови асиметричностi i транзитивностi на множинах вигляду (1.2), в той час як в означеннi 1.1 напрямне вiдношення змiн є лише рефлексивним. Неважко навести безлiч прикладiв рефлексивних, але не асиметричних i тим бiльше не транзитивних на множинах вигляду (1.2) бiнарних вiдношень. Зазначимо, що крiм бiльшої загальностi моделi, запропонованої в цiй роботi, в порiвняннi з моделями Пiменова [8, 9], мiж зазначеними моделями iснує ще й певна „iдеологiчна” вiдмiн- нiсть у способi трактування. Справа в тому, що напрямне вiдношення змiн в означеннi 1.1 на вiдмiну вiд вiдношення ≺ в роботах [8, 9] вiдображає лише реальнi трансформацiї елементар- них станiв модельованої системи, а не всi „потенцiйно можливi”, „дозволенi” (як, наприклад, порядок „свiтлового конусу” в просторi Мiнковського). Отже, розглядаючи певну примiтивну (або базову) мiнливу множину, ми завжди уявляємо конкретну еволюцiю якоїсь конкретної сис- теми, а не всi потенцiйно можливi напрямки еволюцiї певної групи систем, що задовольняють певнi умови. НехайM — орiєнтована множина. Означення 1.2. Непорожня пiдмножина N ⊆ Bs(M) називається транзитивною в M, якщо для довiльних x, y, z ∈ N з умов z← y i y←x випливає умова z←x. Транзитивна множина N ⊆ Bs(M) називається максимально транзитивною вM, якщо не iснує транзитивної множини N1 ⊆ Bs(M) такої, що N ⊂ N1 (тут знак ⊂ означає строге включення, тобто N 6= N1). Транзитивна пiдмножина L ⊆ Bs(M) називається ланцюгом в M, якщо для довiльних x, y ∈ L має мiсце хоча б одне iз спiввiдношень y←x або x← y. Ланцюг L ⊆ Bs(M) на- зивається максимальним ланцюгом в M, якщо не iснує ланцюга L1 ⊆ Bs(M) такого, що L ⊂ L1. Твердження 1.1. НехайM — орiєнтована множина. 1. Довiльна непорожня пiдмножина N ⊆ Bs(M), яка мiстить не бiльше двох елементiв, є транзитивною. 2. Не бiльш нiж двохелементна непорожня пiдмножина L = {x, y} ⊆ Bs(M) є ланцюгом тодi i тiльки тодi, коли y←x або x← y. Зокрема, одноелементна пiдмножина L = {x} ⊆ ⊆ Bs(M) завжди є ланцюгом. Доведення твердження 1.1 зводиться до тривiальної перевiрки. Твердження 1.2 [17, 18]. 1. Для довiльної транзитивної множини N в орiєнтованiй мно- жинiM iснує максимально транзитивна множина Nmax така, що N ⊆ Nmax. 2. Для довiльного ланцюга L в орiєнтованiй множинiM iснує максимальний ланцюг Lmax такий, що L ⊆ Lmax. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1202 Я. I. ГРУШКА Зауважимо, що другий пункт твердження 1.2 можна вважати узагальненням принципу мак- симальностi Хаусдорфа в рамках даної теорiї. З тверджень 1.2 та 1.1 випливає наступний наслiдок. Наслiдок 1.1. 1. Для довiльних двох елементiв x, y ∈ Bs(M) в орiєнтованiй множинiM iснує максимально-транзитивна множина N ⊆ Bs(M) така, що x, y ∈ N. 2. Для довiльних двох елементiв x, y ∈ Bs(M) таких, що y←x, в орiєнтованiй множинi M iснує максимальний ланцюг L ⊆ Bs(M) такий, що x, y ∈ L. Покладаючи x = y (враховуючи, що, за означенням, множина Bs(M) непорожня), при- ходимо до висновку, що в довiльнiй орiєнтованiй множинi M завжди iснують максимально- транзитивнi множини i максимальнi ланцюги. 1.2. Означення часу. Примiтивнi мiнливi множини. В теоретичнiй фiзицi звикли вважати моменти часу дiйсними числами. Проте абстрактна математика може мати справу з об’єктами довiльної потужностi. Тому в данiй абстрактнiй теорiї ми не будемо обмежуватись дiйсно- числовими моментами часу. В наступному означеннi в якостi моментiв часу можуть вико- ристовуватись елементи довiльної лiнiйно впорядкованої множини (в сенсi [14, с. 12]). Таке розумiння часу близьке до фiлософського уявлення про час як певний „хронологiчний порядок”, узгоджений з процесами змiн. Означення 1.3. НехайM — орiєнтована множина i T = (T,≤) — лiнiйно впорядкована множина. Вiдображення ψ : T 7→ 2Bs(M) називається часом на M, якщо виконуються такi умови: 1) для довiльного елементарного стану x ∈ Bs(M) iснує елемент t ∈ T такий, що x ∈ ψ(t); 2) якщо x1, x2 ∈ Bs(M), x2←x1 i x1 6= x2, то iснують елементи t1, t2 ∈ T такi, що x1 ∈ ψ (t1) , x2 ∈ ψ (t2) i t1 < t2 (тобто має мiсце часова вiдокремленiсть послiдовних неоднакових елементарних станiв). При цьому елементи t ∈ T будемо називати моментами часу, пару H = (T, ψ) = = ((T,≤) , ψ) — хронологiзацiєюM, а трiйку P = (M,T, ψ) = (M, (T,≤) , ψ) — примiтивною мiнливою множиною. Зауваження 1.2. Легко бачити, що умови 1, 2 означення 1.3 є логiчно незалежними. Справдi, розглянемо довiльну орiєнтовану множинуM, що задовольняє умову iснують x, y ∈ Bs(M) такi, що y← M x i x 6= y. (1.4) Зрозумiло, що iснує безлiч орiєнтованих множин (тобто реляцiйних систем з одним рефлек- сивним бiнарним вiдношенням), що задовольняють умову (1.4). Також розглянемо довiльну лiнiйно впорядковану множину T = (T,≤) i зафiксуємо довiльний елемент t0 ∈ T. Побудуємо вiдображення ψ : T 7→ 2Bs(M) за формулою ψ(t) := { Bs(M), t = t0, ∅, t 6= t0. Таке вiдображення ψ задовольняє першу умову означення 1.3, але не задовольняє другу. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1203 З iншого боку, розглянемо орiєнтовану множину M = ( Bs(M),← M ) , в якiй множина Bs(M) складається з трьох елементiв: Bs(M) := {x1, x2, x3} , а напрямне вiдношення змiн задається множиною пар ← M = {(x1, x1) , (x2, x2) , (x3, x3) , (x2, x1)} . Розглянемо також лiнiйно впорядковану множину T = (N,≤) , де ≤ — стандартне вiдношення порядку на множинi натуральних чисел N. Покладемо ψ(t) :=  {x1} , t = 1, {x2} , t = 2, ∅, t /∈ {1, 2} , t ∈ N. Таке вiдображення ψ : N 7→ 2Bs(M) задовольняє другу умову означення 1.3, але не задовольняє першу. Зауваження 1.3. Використання лiнiйно впорядкованих множин в якостi „часових шкал” зустрiчається також в роботах [8, 9], проте означення часу, запропоноване в цих роботах, iстотно вiдрiзняється вiд означення 1.3 i, в цiлому, є менш загальним (оскiльки, як було зазначено вище, менш загальною є сама модель, запропонована у [8, 9]). Будемо говорити, що орiєнтовану множину M можна хронологiзувати, якщо iснує хоча б одна хронологiзацiяM. Виявляється, що будь-яку орiєнтовану множину завжди можна хро- нологiзувати. Найпримiтивнiший спосiб це зробити — взяти лiнiйно впорядковану множину T = (T,≤) , що мiстить не менше двох елементiв, i покласти ψ(t) := Bs(M), t ∈ T. Бiльш нетривiальнi способи хронологiзацiї орiєнтованих множин розглянуто в роботах [17, 18]. Зокре- ма, там доведено теореми про iснування часу та iснування i єдинiсть внутрiшнього („найбiльш природного”) часу на орiєнтованiй множинi iз заданою синхронiзацiєю. Зауваження 1.4. Далi примiтивнi мiнливi множини будемо позначати калiграфiчними ве- ликими буквами. Нехай P = (M,T, φ) = (M, (T,E), φ) — примiтивна мiнлива множина. Введемо наступнi позначення: Bs(P) := Bs(M); ← P :=← M ; Tm(P) := T; ≤P :=E; ψP := φ. Також будемо використовувати позначення ≥P , <P , >P для оберненого, строгого та строгого оберненого порядку, породженого нестрогим порядком ≤P . Множину Bs(P) будемо називати базовою множиною, або множиною всiх елементарних станiв примiтивної мiнливої множини P. Елементи множини Bs(P) будемо називати елементарними станами P, а вiдношення ← P — напрямним вiдношенням змiн P. Множину Tm(P) будемо називати множиною моментiв часу P. Вiдношення ≤P , <P , ≥P , >P будемо називати вiдповiдно вiдношеннями нестрогого, строгого, нестрогого оберненого i строгого оберненого часового порядку на P. Вiдображення ψP : Tm(P) : 7→ 2Bs(P) будемо називати часом на P. У випадку, коли зрозумiло, про яку примiтивну мiнливу множину P йде мова, в позначеннях ← P , ≤P , <P , ≥P , >P , ψP символом P будемо нехтувати, використовуючи замiсть них позначення←, ≤, <, ≥, >, ψ вiдповiдно. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1204 Я. I. ГРУШКА 1.3. Системи абстрактних траєкторiй i примiтивнi мiнливi множини, породженi ними. Означення 1.4. Нехай M — довiльна непорожня множина i T = (T,≤) — довiльна лiнiйно впорядкована множина. 1. Вiдображення r : D(r) 7→M (D(r) 6= ∅) будемо називати абстрактною траєкторiєю з T в M, якщо D(r) ⊆ T (де D(r) — область визначення траєкторiї r). 2. Системою абстрактних траєкторiй з T в M будемо називати довiльну множину R, елементами якої є абстрактнi траєкторiї з T в M, таку, що⋃ r∈R R (r) = M (де R(r) — область значень абстрактної траєкторiї r). Теорема 1.1 [17, 18]. Для довiльної системи R абстрактних траєкторiй з T = (T,≤) в M iснує, причому єдина, примiтивна мiнлива множина Atp(T,R) така, що: 1. Bs(Atp(T,R)) = M, Tm(Atp(T,R)) = T, ≤Atp(T,R)=≤ . 2. Для довiльних x, y ∈ Bs (Atp(T,R)) = M умова y←x має мiсце тодi i тiльки тодi, коли iснують абстрактна траєкторiя r = rx,y ∈ R та елементи t, τ ∈ D(r) такi, що x = r(t), y = r(τ) i t ≤ τ. 3. Для довiльних x ∈ Bs (Atp(T,R)) = M i t ∈ Tm(Atp(T,R)) = T умова x ∈ ψ(t) має мiсце тодi i тiльки тодi, коли iснує абстрактна траєкторiя r = rx ∈ R така, що t ∈ D(r) i x = r(t). У випадку, коли це не викликає непорозумiнь, замiсть позначення Atp(T,R) часто будемо використовувати позначення Atp(R). 2. Елементарно-часовi стани та базовi мiнливi множини. 2.1. Елементарно-часовi стани примiтивних мiнливих множин та їхнi властивостi. Означення 2.1. Нехай P — примiтивна мiнлива множина. Пару (t, x) (x ∈ Bs(P), t ∈ ∈ Tm(P)) будемо називати елементарно-часовим станом, якщо x ∈ ψ(t). Множину всiх елементарно-часових станiв P будемо позначати через Bs(P): Bs(P) := {ω \| ω = (t, x) , де t ∈ Tm(P), x ∈ ψ(t)} . Для елементарно-часового стану ω = (t, x) ∈ Bs(P) введемо позначення bs (ω) := x, tm (ω) := t. Зауваження 2.1. З означень 1.1 та 1.3 випливає, що Bs(P) 6= ∅ для довiльної примiтивної мiнливої множини P. Означення 2.2. Будемо вважати, що елементарно-часовий стан ω2 ∈ Bs(P) формально послiдовний елементарно-часовому стану ω1 ∈ Bs(P), i позначатимемо ω2← (f) P ω1, якщо ω1 = ω2 або bs (ω2)← P bs (ω1) i tm (ω1) <P tm (ω2) . Якщо це не викликає непорозумiнь, замiсть позначення ω2← (f) P ω1 будемо використовувати позначення ω2← (f)ω1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1205 Твердження 2.1. 1. Якщо ω1, ω2 ∈ Bs(P) i ω2← (f)ω1, то tm (ω1) ≤ tm (ω2) . Якщо, додатково, ω1 6= ω2, то tm (ω1) < tm (ω2) . 2. Вiдношення← (f) =← (f) P є асиметричним вiдношенням на множинi Bs(P), тобто якщо ω1, ω2 ∈ Bs(P), ω2← (f)ω1 i ω1← (f)ω2, то ω1 = ω2. Доведення. Перший пункт цього твердження є наслiдком означення 2.2, а другий пункт випливає з першого пункту. Означення 2.3. Орiєнтована множина M називається антициклiчною, якщо для до- вiльних x, y ∈ Bs(M) з умов x← y i y←x випливає x = y. Твердження 2.2. Нехай P — примiтивна мiнлива множина. Тодi: 1. Пара Q = ( Bs(P),← (f) P ) = (Bs(P),← (f)) є антициклiчною орiєнтованою множиною. 2. Вiдображення ψ̃(t) = ψ̃P(t) := {ω ∈ Bs(P) \| tm (ω) = t} ∈ 2Bs(P), t ∈ Tm(P), (2.1) є часом на Q. 3. При t1 6= t2 ψ̃ (t1) ∩ ψ̃ (t2) = ∅. Доведення. 1. Перший пункт твердження 2.2 випливає з означення 2.2 та другого пункту твердження 2.1. 2.1. Нехай ω ∈ Bs(P). Тодi згiдно з (2.1) ω ∈ ψ̃(t), де t = tm (ω) . 2.2. Нехай ω1, ω2 ∈ Bs(P), ω2← (f)ω1 i ω1 6= ω2. Згiдно з (2.1) для t1 = tm (ω1) , t2 = tm (ω2) отримуємо ω1 ∈ ψ̃ (t1) , ω2 ∈ ψ̃ (t2) . Оскiльки ω2← (f)ω1 i ω2 6= ω1, то за пунктом 1 твердженням 2.1 t1 < t2. З пунктiв 2.1, 2.2 випливає, що ψ̃ є часом на Q. 3. Нехай t1, t2 ∈ Tm(P). Припустимо, що ψ̃ (t1) ∩ ψ̃ (t2) 6= ∅. Тодi iснує елементарно- часовий стан ω ∈ ψ̃ (t1) ∩ ψ̃ (t2) . Звiдси згiдно з (2.1) отримуємо t1 = tm (ω) = t2. 2.2. База елементарних процесiв та базовi мiнливi множини. Як було доведено у твер- дженнi 2.2, для довiльної примiтивної мiнливої множини P пара (Bs(P),← (f)) є орiєнтованою множиною, в якiй вiдношення← (f) є напрямним вiдношенням змiн (трансформацiй). Проте ви- являється, що насправдi це вiдношення може „генерувати” такi „трансформацiї” елементарно- часових станiв, яких реально нiколи не було у фiзичнiй системi. Для iлюстрацiї цiєї думки розглянемо наступний приклад. Приклад 2.1. Розглянемо систему абстрактних траєкторiй, що описує рiвномiрний прямо- лiнiйний рух континуальної системи однакових матерiальних точок, рiвномiрно розподiленої по прямiй, вздовж якої вони рухаються. Однаковiсть всiх матерiальних точок означає, що всi характеристики цих точок визначаються виключно їхнiми координатами у певний момент часу. Тобто точка, яка має певнi координати, в певний момент часу повнiстю математично тотожна тiй точцi, що мала цi ж самi координати, але в iнший момент часу. Таку систему рухомих матерiальних точок можна, наприклад, задати за допомогою наступної системи абстрактних траєкторiй iз R в R: R = {rα \| α ∈ R} , (2.2) де ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1206 Я. I. ГРУШКА rα(t) := t+ α, t ∈ R, α ∈ R (D (rα) = R, α ∈ R). Покладемо P := Atp((R,≤) ,R), де ≤ — стандартний порядок на полi дiйсних чисел. Згiдно з умовою 1 теореми 1.1, Bs(P) = Tm(P) = R. Доведемо, що для елементiв x1, x2 ∈ Bs(P) = R умова x2←x1 рiвносильна умовi x1 ≤ x2. Справдi, якщо x1 ≤ x2, то для t1 = x1, t2 = x2 маємо x1 = r0 (t1) , x2 = r0 (t2) , де t1 ≤ t2. Отже, згiдно з умовою 2 теореми 1.1, x2←x1. Навпаки, якщо x2←x1, то за умовою 2 теореми 1.1 iснують числа α, t1, t2 ∈ R такi, що t1 ≤ t2, x1 = rα (t1) , x2 = rα (t2) , тобто x1 = t1 + α, x2 = t2 + α, де t1 ≤ t2. Звiдси x1 ≤ x2. Доведемо, що Bs(P) = R×R, де символ × означає декартовий добуток. Оскiльки Bs(P) = = Tm(P) = R, то Bs(P) ⊆ R × R. Отже, залишилося довести обернене включення. Нехай ω = (τ, x) ∈ R×R. Покладемо αω := x− τ. Тодi rαω(τ) = τ + (x− τ) = x. Отже, за умовою 3 теореми 1.1 x ∈ ψP(τ). А це означає, що ω = (τ, x) ∈ Bs(P). Рiвнiсть Bs(P) = R×R доведено. За означенням 2.2 формально послiдовних елементарно-часових станiв для ω1 = (t1, x1) , ω2 = (t2, x2) ∈ Bs(P) умова ω2← (f)ω1 має мiсце тодi i тiльки тодi, коли ω1 = ω2 або t1 < t2 i x1 ≤ x2. Отже, якщо ми виберемо довiльнi елементарно-часовi стани ω1 = (t1, x1) , ω2 = (t2, x2) ∈ Bs(P) таким чином, щоб виконувались умови t1 < t2 i x1 ≤ x2, то отримаємо ω2← (f)ω1. Але якщо при цьому x1 − t1 6= x2 − t2, то не iснує жодної траєкторiї rα ∈ R такої, що ω1, ω2 ∈ rα. Це означає, що в реальному фiзичному процесi при умовi x1 − t1 6= 6= x2− t2 елементарно-часовий стан ω2 не є результатом трансформацiй елементарно-часового стану ω1. Таким чином, в даному прикладi, вiдношення ← (f) породжує безлiч „паразитичних трансформацiйних зв’язкiв”, якi нiколи не iснували в реальностi. Iснує спосiб виходу iз наведеної вище незручної ситуацiї шляхом введення формальної „ознаки неоднаковостi” матерiальних точок, що рухаються по зазначених траєкторiях. Наприк- лад, замiсть системи абстрактних траєкторiй (2.2) можна було б розглянути систему абстракт- них траєкторiй з R в R2 вигляду R = {rα \| α ∈ R} , де rα(t) := (t+ α, α) ∈ R2, t ∈ R (α ∈ R). Зазначимо, що число α у другiй координатi rα(t) слiд розумiти не як просторову координату, а як „номер” траєкторiї rα. Проте такий пiдхiд в абстрактнiй ситуацiї є недостатньо зручним, оскiльки вiн може ускладнити опис на абстрактному рiвнi рiзноманiтних „гiллястих процесiв”, коли елементарнi стани в процесi еволюцiї „розпадаються” на декiлька, або, навпаки, декiлька елементарних станiв „зливаються” в один. Iнший (бiльш гнучкий) спосiб виходу iз наведеної вище ситуацiї — задати „напрямне вiдно- шення змiн” не лише на множинi елементарних станiв Bs(P), але й на множинi елементарно- часових станiв Bs(P) примiтивної мiнливої множини. Справдi, якщо в прикладi 2.1 для ω1 = = (t1, x1) , ω2 = (t2, x2) ∈ Bs(P) покласти ω2 C−−ω1 тодi i тiльки тодi, коли t1 ≤ t2 i iснує траєкторiя rα ∈ R така, що ω1, ω2 ∈ rα (тобто така, що x1 = rα (t1) , x2 = rα (t2)), таке вiд- ношення C−− буде вiдображати лише тi трансформацiї елементарно-часових станiв, якi мають мiсце в реальностi. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1207 Означення 2.4. Нехай P — примiтивна мiнлива множина. 1. Вiдношення C−− на Bs(P) будемо називати базою елементарних процесiв в P, якщо: a) ∀ω ∈ Bs(P) ωC−−ω; б) якщо ω1, ω2 ∈ Bs(P) i ω2 C−−ω1, то ω2← (f)ω1 (тобто C−− ⊆ ← (f)); в) для довiльних x1, x2 ∈ Bs(P) таких, що x2←x1, iснують ω1, ω2 ∈ Bs(P) такi, що bs (ω1) = x1, bs (ω2) = x2 i ω2 C−−ω1. 2. Якщо P — примiтивна мiнлива множина i C−− — база елементарних процесiв на P, то пару B = (P,C−−) будемо називати базовою мiнливою множиною. Далi базовi мiнливi множини будемо позначати великими калiграфiчними буквами. Нехай B = (P,C−−) — базова мiнлива множина. Введемо наступнi позначення: Bs(B) := Bs(P); Bs(B) := Bs(P), ← B :=← P , ← (f) B :=← (f) P , Tm(B) := Tm(P), ≤B:=≤P , <B:=<P , ≥B:=≥P , >B:=>P , ψB := ψP . Також у випадку елементарно-часових станiв ω1, ω2 ∈ Bs(B) будемо позначати через ω2← B ω1 той факт, що ω2 C−−ω1. Коли вiдомо, про яку базову мiнливу множину B йде мова, в позначеннях ← B , ← (f) B , ≤B, <B, ≥B, >B, ψB символом B будемо нехтувати, використовуючи замiсть них позначення ←, ← (f), ≤, <, ≥, >, ψ вiдповiдно. З означень 2.4 та 2.1, 2.2 випливають наступнi властивостi базових мiнливих множин (у властивостях 1 – 5 символ B позначає довiльну базову мiнливу множину). Властивостi 2.1. 1. Пара B0 = (Bs(B),←) є орiєнтованою множиною. 2. ψ = ψB є часом на B0 = (Bs(B),←) . 3. Для довiльного елементарно-часового стану ω ∈ Bs(B) ω←ω. 4. Якщо ω1, ω2 ∈ Bs(B) i ω2←ω1, то ω2← (f)ω1, а отже, bs (ω2)← bs (ω1) i tm (ω1) ≤ ≤ tm (ω2) . 5. Для довiльних x1, x2 ∈ Bs(B) умова x2←x1 має мiсце тодi i тiльки тодi, коли iснують елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що bs (ω1) = x1, bs (ω2) = x2 i ω2←ω1. 6. Bs(B) = {bs (ω) \|ω ∈ Bs(B)} . 2.3. Приклади базових мiнливих множин. Приклад 2.2. Нехай P — довiльна примiтивна мiнлива множина. Тодi вiдношення← (f) = = ← (f) P є базою елементарних процесiв на P. Справдi, умови а) i б) означення 2.4 для вiд- ношення ← (f) виконуються тривiальним чином. Розглянемо довiльнi x1, x2 ∈ Bs(P) такi, що x2←x1. У випадку x1 = x2, за означенням часу, iснує момент часу t1 ∈ Tm(P) такий, що x1 ∈ ψ (t1) . Отже, для ω1 = ω2 = (t1, x1) ∈ Bs(P) будемо мати bs (ω1) = bs (ω2) = x1 = x2 i ω2← (f)ω1. Тому у випадку x1 = x2 умова в) означення 2.4 виконується. У випадку x1 6= x2, за означенням часу, iснують моменти часу t1, t2 ∈ Tm(P) такi, що x1 ∈ ψ (t1) , x2 ∈ ψ (t2) i ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1208 Я. I. ГРУШКА t1 < t2. Тому для ω1 = (t1, x1) , ω2 = (t1, x2) ∈ Bs(P) будемо мати bs (ω1) = x1, bs (ω2) = x2 i ω2← (f)ω1. Отже, i в цьому випадку умова в) означення 2.4 також виконується. Таким чином, довiльну примiтивну мiнливу множину завжди можна ототожнити з базовою мiнливою множиною P(f) = (P,← (f)), у якiй← (f) є базою елементарних процесiв. Приклад 2.3. Розглянемо довiльну систему абстрактних траєкторiй R з T = (T,≤) в M. Покладемо P := Atp(T,R). За теоремою 1.1 Bs(P) = M, Tm(P) = T. Крiм того, згiдно з третiм пунктом теореми 1.1, для (t, x) ∈M ×T умова (t, x) ∈ Bs(P) має мiсце тодi i тiльки тодi, коли iснує абстрактна траєкторiя r = rt,x ∈ R така, що t ∈ D(r) i x = r(t), тобто така, що ω = (t, x) ∈ r. Отже, Bs(P) = ⋃ r∈R r. (2.3) Для ω1, ω2 ∈ Bs(P) покладемо ω2 C−−[R]ω1 тодi i тiльки тодi, коли tm (ω1) ≤ tm (ω2) i iснує абстрактна траєкторiя r ∈ R така, що ω1, ω2 ∈ R (тобто така, що bs (ω1) = r (tm (ω1)) , bs (ω2) = r (tm (ω2))). Доведемо, що вiдношення C−−[R] є базою елементарних процесiв. (а) Нехай ω ∈ Bs(P). Тодi, згiдно з (2.3) , iснує абстрактна траєкторiя r ∈ R така, що ω ∈ r. Отже, за означенням вiдношення „C−−[R]” ωC−−[R]ω. (б) Нехай ω1 = (t1, x1) , ω2 = (t2, x2) ∈ Bs(P) i ω2 C−−[R]ω1. Тодi, за означенням вiдношення „C−−[R]”, t1 ≤ t2 i iснує абстрактна траєкторiя r ∈ R така, що ω1, ω2 ∈ R, тобто така, що x1 = r (t1) , x2 = r (t2) . Звiдси за пунктом 2 теореми 1.1 x2 ← Atp(R) x1. У випадку t1 = t2 отримуємо x1 = r (t1) = r (t2) = x2, тобто ω1 = ω2, а у випадку t1 6= t2 маємо t1 < t2 i x2←x1. Отже, в обох випадках спiввiдношення ω2← (f)ω1 є iстинним. (в) Нехай x1, x2 ∈ Bs(P), x2←x1. Тодi за пунктом 2 теореми 1.1 iснує абстрактна тра- єкторiя r ∈ R така, що x1 = r (t1) , x2 = r (t2) для деяких t1, t2 ∈ Tm(P) таких, що t1 ≤ t2. Покладемо ωi := (ti, xi) , i ∈ {1, 2}. Тодi ω1, ω2 ∈ r ⊆ ⋃ ρ∈R ρ = Bs(P), bs (ωi) = xi, i ∈ {1, 2}, i за означенням вiдношення C−−[R] ω2 C−−[R]ω1. З пунктiв (а) – (в) випливає, що вiдношення C−−[R] є базою елементарних процесiв на Atp(R). Отже, пара At(T,R) = (Atp(R),C−−[R] ) = (Atp(T,R),C−−[R] ) є базовою мiнливою множиною. З властивостей 2.1 (5, 6) випливає, що, знаючи множини Tm(B), Bs(B), вiдношення ча- сового порядку та базу елементарних процесiв деякої базової мiнливої множини B, можна однозначно вiдновити множину Bs(B), напрямне вiдношення змiн ← B на Bs(B) та час ψB (за формулою ψB(t) = {x ∈ Bs(B) \| (t, x) ∈ Bs(B)}, t ∈ Tm(B)), а отже, i всю базову мiнливу множину B. Тому з даного прикладу випливає справедливiсть наступної теореми. Теорема 2.1. Для довiльної системи абстрактних траєкторiйR з T = (T,≤) в M iснує, причому єдина, базова мiнлива множина At(T,R) така, що: 1) ( Tm(At(T,R)),≤At(T,R) ) = T; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1209 2) Bs(At(T,R)) = ⋃ r∈R r; 3) для довiльних ω1, ω2 ∈ Bs(At(T,R)) умова ω2 ← At(T,R) ω1 має мiсце тодi i тiльки тодi, коли tm (ω1) ≤ tm (ω2) i iснує траєкторiя r ∈ R така, що ω1, ω2 ∈ r. Зауваження 2.2. 1. Оскiльки базова мiнлива множина At (R) будується на основi примi- тивної мiнливої множини Atp (R) , то для довiльної базової мiнливої множини вигляду At (R) (де R — система абстрактних траєкторiй з (T,≤) в M ) залишаються правильними пункти 1 – 3 теореми 1.1 (з замiною Atp (T,R) на At (T,R)). 2. Далi, коли лiнiйно впорядкована множина T є наперед заданою, замiсть позначення At(T,R) будемо використовувати позначення At (R) . 3. Лiнiї долi базових мiнливих множин. Використовуючи властивостi 2.1, а також твер- дження 2.2, отримуємо наступне твердження. Твердження 3.1. Нехай B — базова мiнлива множина. Тодi: 1) пара Q = ( Bs(B),← B ) = (Bs(B),←) є антициклiчною орiєнтованою множиною; 2) вiдображення ψ̃(t) = ψ̃B(t) := {ω ∈ Bs(B) \| tm (ω) = t} ∈ 2Bs(B), t ∈ Tm(B), (3.1) є часом на Q. Зауваження 3.1. Можна довести, що час ψ̃, визначений у (3.1), є монотонним у сенсi [17, 18], а при умовi ψ(t) 6= ∅, t ∈ Tm(B), — строго монотонним (у сенсi [17, 18]). Згiдно з твердженням 3.1, для довiльної базової мiнливої множини B пара (Bs(B),←) є (антициклiчною) орiєнтованою множиною. Як i в довiльнiй орiєнтованiй множинi, в (Bs(B),←) можна розглядати транзитивнi множини i ланцюги. З антициклiчностi орiєнтованої множини (Bs(B),←) випливає наступне твердження. Твердження 3.2. Нехай B — базова мiнлива множина. 1. Довiльна транзитивна пiдмножина N ⊆ Bs(B) орiєнтованої множини (Bs(B),←) є (частково) впорядкованою множиною (вiдносно вiдношення ←). 2. Довiльний ланцюг L орiєнтованої множини (Bs(B),←) є лiнiйно впорядкованою множи- ною (вiдносно вiдношення ←). Зазначимо, що поняття частково впорядкованої множини слiд розумiти в сенсi [14, с. 11]. Означення 3.1. Нехай B — базова мiнлива множина. 1. Довiльний максимальний ланцюг L ⊆ Bs(B) орiєнтованої множини (Bs(B),←) будемо називати лiнiєю долi B. При цьому множину всiх лiнiй долi B будемо позначати через Ld(B): Ld(B) = {L ⊆ Bs(B) \| L є лiнiєю долi B} . 2. Довiльну лiнiю долi, що мiстить елементарно-часовий стан ω ∈ Bs(B), будемо називати власною лiнiєю долi елементарно-часового стану ω (в B). 3. Лiнiю долi L ∈ Ld(B) будемо називати власною лiнiєю долi елементарного стану x ∈ ∈ Bs(B), якщо iснує елементарно-часовий стан ωx ∈ Bs(B) такий, що bs (ωx) = x i L є лiнiєю долi ωx. Зрозумiло, що елементарний (елементарно-часовий) стан може мати, взагалi кажучи, не одну власну лiнiю долi. Будемо говорити, що елементарнi (елементарно-часовi) стани x1, x2 ∈ Bs(B), ω1, ω2 ∈ ∈ Bs(B), об’єднанi долею, якщо iснує хоча б одна лiнiя долi L ∈ Ld(B), яка є власною лiнiєю долi кожного iз станiв x1, x2 (ω1, ω2) одночасно. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1210 Я. I. ГРУШКА Твердження 3.3. 1. Довiльний елементарно-часовий стан має хоча б одну власну лiнiю долi. 2. Для того щоб елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) були об’єднанi долею, необхiдно i достатньо, щоб виконувалась хоча б одна з умов ω2←ω1 або ω1←ω2. (3.2) Доведення. Перший пункт даного твердження випливає з наслiдку 1.1. 2а) Нехай елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) мають спiльну лiнiю долi L ⊆ Bs(B), ω1, ω2 ∈ L. Згiдно з твердженням 3.2 (пункт 2), пара (L,←) є лiнiйно впорядкованою множи- ною. Тому хоча б одна з умов (3.2) повинна виконуватись. 2б) Нехай ω1, ω2 ∈ Bs(B) i ω2←ω1. Тодi, згiдно з наслiдком 1.1, iснує максимальний ланцюг (лiнiя долi) L ⊆ Bs(B) такий, що ω1, ω2 ∈ L. Твердження 3.4. 1. Довiльний елементарний стан x ∈ Bs(B) має хоча б одну власну лiнiю долi. 2. Для того щоб елементарнi стани x, y ∈ Bs(B) були об’єднанi долею, необхiдно i достат- ньо, щоб виконувалась хоча б одна з умов y←x або x← y. (3.3) Доведення. 1. Нехай x ∈ Bs(B). За означенням часу iснує момент часу t ∈ Tm(B) такий, що x ∈ ψ(t). Згiдно з твердженням 3.3, елементарно-часовий стан ωx = (t, x) ∈ Bs(B) має влас- ну лiнiю долi. Ця лiнiя долi, за означенням 3.1, i буде власною лiнiєю долi для елементарного стану x. 2а) Нехай x, y ∈ Bs(B), y←x. За властивiстю 2.1 (пункт 5) iснують елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що bs (ω1) = x, bs (ω2) = y i ω2←ω1. Згiдно з твердженням 3.3, цi елементарно-часовi стани мають спiльну лiнiю долi L ⊆ Bs(B). Дана лiнiя долi L, за означенням 3.1, i буде власною лiнiєю долi для кожного з елементарних станiв x i y. 2б) Нехай елементарнi стани x, y ∈ Bs(B) мають спiльну лiнiю долi L. Тодi iснують елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що bs (ω1) = x, bs (ω2) = y i ω1, ω2 ∈ L. Тому, згiдно з пунктом 2 твердження 3.3, повинна виконуватись хоча б одна з умов ω2←ω1 або ω1←ω2. Отже, за властивiстю 2.1 (пункт 4), хоча б одна з умов (3.3) повинна мати мiсце. Означення 3.2. Нехай R — система абстрактних траєкторiй з T = (T,≤) в M. 1. Траєкторiю r ∈ R системи абстрактних траєкторiй R будемо називати максималь- ною (вiдносноR), якщо не iснує траєкторiї ρ ∈ R (ρ 6= r) такої, що D (r) ⊂ D (ρ) i r(t) = ρ(t), t ∈ D (r) , тобто такої, що r ⊂ ρ. 2. Систему абстрактних траєкторiй R будемо називати системою максимальних тра- єкторiй, якщо кожна траєкторiя r ∈ R є максимальною (вiдносно R). Далi для довiльної базової мiнливої множини B будемо використовувати позначення Tm(B) := (Tm(B),≤B) . Твердження 3.5. Нехай B — базова мiнлива множина. Тодi: 1) довiльний ланцюг L ⊆ Bs(B) орiєнтованої множини (Bs(B),←) є абстрактною траєк- торiєю з Tm(B) в Bs(B); 2) множина Ll(B) всiх ланцюгiв орiєнтованої множини (Bs(B),←) є системою абстракт- них траєкторiй з Tm(B) в Bs(B); ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1211 3) довiльна лiнiя долi L ⊆ Bs(B) базової мiнливої множини B є максимальною траєкторiєю (вiдносно Ll(B)); 4) множина Ld(B) є системою максимальних траєкторiй з Tm(B) в Bs(B). Доведення. 1. Нехай L ⊆ Bs(B) — ланцюг орiєнтованої множини (Bs(B),←) . Такий лан- цюг складається з елементарно-часових станiв, тобто з пар вигляду ω = (t, x), де t ∈ Tm(B), x ∈ Bs(B), тобто L є бiнарним вiдношенням з множини Tm(B) у множину Bs(B). Отже, для обґрунтування того, що L є абстрактною траєкторiєю з Tm(B) в Bs(B), досить довести, що вiдношення L є функцiєю. Припустимо, що L не є функцiєю. Тодi iснують елементарно-часовi стани вигляду ω1 = (t, x1) , ω2 = (t, x2) такi, що x1 6= x2 i ω1, ω2 ∈ L. Оскiльки x1 6= x2, то ω1 6= ω2. Далi, оскiльки L — ланцюг, то хоча б одна з умов ω2←ω1 або ω1←ω2 повинна вико- нуватись. Припустимо, наприклад, що ω2←ω1. Тодi за властивiстю 2.1 (пункт 4) ω2← (f)ω1. Звiдси, враховуючи, що ω2 6= ω1, за пунктом 1 твердження 2.1 отримаємо t < t, що неможли- во. Аналогiчно приходимо до суперечностi, якщо припустити, що ω1←ω2. Тому припущення хибне, а ланцюг L є функцiєю (тобто абстрактною траєкторiєю). Враховуючи доведене вище, маємо право використовувати позначення D(L) для областi визначення L i x = L(t) (де t ∈ D(L)) для позначення того факту, що (t, x) ∈ L. 2. Нехай Ll(B) — множина всiх ланцюгiв орiєнтованої множини (Bs(B),←) . Розглянемо довiльний елементарний стан x ∈ Bs(B). За означенням часу iснує момент часу t ∈ Tm(B) такий, що x ∈ ψ(t). Тодi множина Lx = {(t, x)} ⊆ Bs(B) буде (одноелементним) ланцюгом орiєнтованої множини (Bs(B),←) . При цьому R (Lx) = {x} 3 x. Отже, довiльний елемен- тарний стан x ∈ Bs(B) мiститься в областi значень якоїсь абстрактної траєкторiї Lx ∈ Ll(B). Тому ⋃ L∈Ll(B) R(L) ⊇ Bs(B). Враховуючи, що за доведеним вище довiльний елемент L ∈ ∈ Ll(B) є абстрактною траєкторiєю з Tm(B) в Bs(B), отримуємо обернене включення, тобто⋃ L∈Ll(B) R(L) = Bs(B). Тому Ll(B) є системою абстрактних траєкторiй з Tm(B) в Bs(B). 3. Третiй пункт даного твердження випливає безпосередньо з означень лiнiї долi та макси- мального ланцюга. 4. Доведемо, що ⋃ L∈Ld(B) R(L) = Bs(B). Оскiльки ⋃ L∈Ld(B) L ⊆ Bs(B) ⊆ Tm(B) × ×Bs(B), то ⋃ L∈Ld(B) R(L) ⊆ Bs(B). Отже, залишилось довести обернене включення. Роз- глянемо довiльний елементарний стан x ∈ Bs(B). Згiдно з пунктом 1 твердження 3.4, x має власну лiнiю долi Lx ∈ Ld(B). Це за означенням 3.1 означає, що iснує елементарно-часовий стан ωx = (t, x) ∈ Bs(B) такий, що ωx ∈ Lx. Оскiльки (t, x) ∈ Lx, то Lx(t) = x. Отже, x ∈ R (Lx) ⊆ ⋃ L∈Ld(B) R(L). Тому ⋃ L∈Ld(B) R(L) ⊇ Bs(B), тобто ⋃ L∈Ld(B) R(L) = Bs(B). Отже, Ld(B) є системою абстрактних траєкторiй з Tm(B) в Bs(B). Оскiльки Ld(B) ⊆ Ll(B) i, згiдно з пунктом 3 даного твердження, довiльна лiнiя долi L ∈ Ld(B) є максимальною траєкто- рiєю вiдносно Ll(B), то вона також буде максимальною траєкторiєю i вiдносно вужчої системи абстрактних траєкторiй Ld(B). Наступна теорема показує, що довiльна базова мiнлива множина може бути породжена деякою системою максимальних траєкторiй. Теорема 3.1. Для довiльної базової мiнливої множини B має мiсце рiвнiсть At (Tm(B), Ld(B)) = B. Доведення. Покладемо R := Ld(B) i доведемо, що At(R) = B. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1212 Я. I. ГРУШКА 1. Оскiльки, згiдно з твердженням 3.5, R = Ld(B) є системою абстрактних траєкторiй з Tm(B) в Bs(B), то, згiдно з першим пунктом теореми 2.1, Tm (At(R)) = Tm(B), ≤At(R)=≤B . 2. Згiдно з другим пунктом теореми 2.1 Bs (At(R)) = ⋃ r∈R r = ⋃ L∈Ld(B) L ⊆ Bs(B). (3.4) З iншого боку, оскiльки, згiдно з твердженням 3.3, довiльний елементарно-часовий стан ω ∈ ∈ Bs(B) має власну лiнiю долi Lω ⊆ Bs(B) таку, що ω ∈ Lω, то Bs(B) ⊆ ⋃ L∈Ld(B) L = = Bs (At(R)) , тобто, враховуючи включення (3.4), маємо Bs (At(R)) = Bs(B). 3. Розглянемо довiльнi елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) = Bs (At(R)) . 3а) Нехай ω2← B ω1. Тодi, за властивiстю 2.1 (пункт 4) tm (ω1) ≤ tm (ω2) . Крiм того, згiдно з пунктом 2 твердження 3.3, iснує лiнiя долi L ∈ Ld(B) така, що ω1, ω2 ∈ L. Таким чином, згiдно з пунктом 3 теореми 2.1, ω2 ← At(Ld(B)) ω1, тобто ω2 ← At(R) ω1. 3б) Нехай ω2 ← At(R) ω1, тобто ω2 ← At(Ld(B)) ω1. Тодi, згiдно з пунктом 3 теореми 2.1, tm (ω1) ≤ ≤ tm (ω2) i iснує лiнiя долi L ∈ Ld(B) така, що ω1, ω2 ∈ L. Оскiльки L — лiнiя долi в B, то хоча б одна з умов ω2← B ω1 або ω1← B ω2 повинна мати мiсце. Доведемо, що ω2← B ω1. Припустимо супротивне, тобто ω2 66← B ω1. Тодi маємо ω2 6= ω1 i ω1← B ω2 (оскiльки у випадку ω1 = ω2 ми б отримали ω2← B ω1). Тобто за властивiстю 2.1 (пункт 4) ω1← (f) B ω2. Оскiльки ω1← (f) B ω2 i ω2 6= ω1, то за пунктом 1 твердження 2.1 tm (ω2) < tm (ω1) . Остання нерiвнiсть є неможливою, оскiльки вона суперечить доведенiй вище нерiвностi tm (ω1) ≤ tm (ω2) . Тому ω2← B ω1. З пунктiв 3а) i 3б) випливає рiвнiсть баз елементарних процесiв← B = ← At(R) (на Bs (At(R)) = = Bs(B)). Отже, базова мiнлива множина B задовольняє умови 1 – 3 теореми 2.1 для системи абстракт- них траєкторiй R = Ld(B), i, згiдно з цiєю теоремою, At(R) = B. Наступний приклад показує, що рiвнiсть Ld(At(R)) = R для довiльної системи максималь- них траєкторiй R, взагалi кажучи, не має мiсця. При цьому, в загальному випадку, не можна, навiть, говорити про включення однiєї з цих множин в iншу. Приклад 3.1. Розглянемо функцiю f : R 7→ R вигляду f(t) := \|t\| − t 2 , t ∈ R. Побудуємо систему абстрактних траєкторiй R = {rα\|α ∈ [0,∞)}: rα(t) := f(t+ α), t ∈ (−∞, α] (D (rα) = (−∞, α]), α ∈ (0,∞); r0(t) := 0, t ∈ [0,∞) (D (r0) = [0,∞)), α = 0. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1213 Легко переконатись, що R є системою максимальних траєкторiй з R в [0,∞), хоча при цьому абстрактна траєкторiя r0 ∈ R не є лiнiєю долi для базової мiнливої множини At(R), тобто r0 /∈ Ld(At(R)). Отже, R 6⊆ Ld(At(R)). З iншого боку, розглянемо траєкторiю вигляду r∼0 (t) = 0, t ∈ R (D (r∼0 ) = R). Легко перевiрити, що r∼0 є лiнiєю долi для базової мiнливої множини At(R), хоча при цьому r∼0 /∈ R. Отже, Ld(At(R)) 6⊆ R. Нижче буде описано найпростiший клас випадкiв, коли рiвнiсть Ld(At(R)) = R, все ж таки, має мiсце. Означення 3.3. Систему абстрактних траєкторiйR з T = (T,≤) вM будемо називати системою iндивiдуальних траєкторiй, якщо будь-якi двi неоднаковi траєкторiї r1, r2 ∈ R попарно не перетинаються (∀r1, r2 ∈ R (r1 6= r2 =⇒ r1 ∩ r2 = ∅)). Легко бачити, що система абстрактних траєкторiй R з T = (T,≤) в M є системою iндивi- дуальних траєкторiй тодi i тiльки тодi, коли для довiльних r1, r2 ∈ R таких, що r1 6= r2, має мiсце одне iз спiввiдношень D (r1) ∩D (r2) = ∅ або r1(t) 6= r2(t) (∀t ∈ D (r1) ∩D (r2)). Звiдси, зокрема, випливає, що система траєкторiй R у прикладi 2.1 є системою iндивiдуальних траєкторiй. Теорема 3.2. Якщо R є системою iндивiдуальних траєкторiй з T = (T,≤) в M, то Ld(At(R)) = R. Доведення. Скрiзь у даному доведеннi символ← буде означати напрямне вiдношення змiн або базу елементарних процесiв у At(R). 1. Нехай r ∈ R. Згiдно з пунктом 2 теореми 2.1, r ⊆ ⋃ ρ∈R ρ = Bs(At(R)). З третьо- го пункту теореми 2.1 випливає, що для довiльних ω1, ω2 ∈ r спiввiдношення ω2←ω1 має мiсце тодi i тiльки тодi, коли tm (ω1) ≤ tm (ω2) . Отже, оскiльки ( Tm(At(R)),≤At(R) ) = T — лiнiйно впорядкована множина, траєкторiя r ⊆ Bs(At(R)) є ланцюгом орiєнтованої мно- жини (Bs(At(R)),←) . Доведемо, що r є лiнiєю долi At(R)) (тобто максимальним ланцюгом Bs(At(R))). Припустимо супротивне. Тодi iснує лiнiя долi L ∈ Ld (At(R)) така, що r ⊂ L. Оскiльки ми маємо строге включення r ⊂ L, то iснує елементарно-часовий стан ω ∈ L такий, що ω /∈ r. З iншого боку, за означенням системи абстрактних траєкторiй всi траєкторiї системи R непорожнi. Отже, iснує елементарно-часовий стан ω0 ∈ r. Оскiльки r ⊂ L, то ω0 ∈ L. Отже, елементарно-часовi стани ω i ω0 об’єднанi долею. Тому, згiдно iз твердженням 3.3, повинна виконуватись хоча б одна з умов ω←ω0 або ω0←ω. Але в обох випадках за теоремою 2.1 (пункт 3) повинна iснувати траєкторiя r1 ∈ R така, що ω, ω0 ∈ r1. Оскiльки ω /∈ r i ω ∈ r1, то r 6= r1. Проте, з iншого боку, ω0 ∈ r ∩ r1, що суперечить тому факту, що R є системою iндивi- дуальних траєкторiй. Отримана суперечнiсть остаточно доводить, що r є лiнiєю долi At(R)). Таким чином, R ⊆ Ld (At(R)) . (3.5) 2. Нехай L ∈ Ld (At(R)) . Iз зауваження 2.1 та пункту 2 твердження 1.1 випливає, що лiнiя долi будь-якої базової мiнливої множини є непорожньою множиною. Отже, iснує елементарно- часовий стан ω такий, що ω ∈ L. Оскiльки ω ∈ L ⊆ Bs(At(R)), то за пунктом 2 теореми 2.1 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1214 Я. I. ГРУШКА iснує траєкторiя r ∈ R така, що ω ∈ r. Розглянемо довiльний елементарно-часовий стан ω1 ∈ L. Оскiльки ω, ω1 ∈ L, то елементарно-часовi стани ω i ω1 об’єднанi долею, i, згiдно з твердженням 3.3, повинна виконуватись хоча б одна з умов ω1←ω або ω←ω1. Тобто за пунктом 3 теореми 2.1 повинна iснувати траєкторiя r1 ∈ R така, що ω, ω1 ∈ r1. Отже, ω ∈ r ∩ r1. Але оскiльки R є системою iндивiдуальних траєкторiй, то останнє спiввiдношення можливе лише за умови r = r1. Тому довiльний елементарно-часовий стан ω1 ∈ L належить до r. Це означає, що L ⊆ r. Але, згiдно з доведеним у пунктi 1, траєкторiя r також є лiнiєю долi для At(R). Оскiльки r i L є лiнiями долi для At(R), то включення L ⊆ r можливе лише за умови L = r. Таким чином, L = r ∈ R, звiдки, враховуючи довiльнiсть вибору лiнiї долi L ∈ Ld (At(R)) , отримуємо включення, обернене до (3.5). Приклад 3.2. Нехай X — повний метричний простiр. Нагадаємо [15, с. 4], що динамiчною системою на X називається пара вигляду S = (Θ,W ) , (3.6) де Θ ⊆ R — довiльна пiдмножина числової прямої R; W — операторнозначна функцiя, визна- чена на множинi Θ̃ = { (τ, t0) ∈ R2\| t0, t0 + τ ∈ Θ } , яка ставить у вiдповiднiсть довiльнiй парi (τ, t0) ∈ Θ̃ оператор W (τ, t0) : X 7→ X i задовольняє умови W (0, t0)x = x, x ∈ X, t0 ∈ Θ, (3.7) W (t+ s, t0) = W (t, t0 + s)W (s, t0) , t0, t0 + s, t0 + t+ s ∈ Θ, (3.8) добуток операторiв визначається стандартним чином (W (t, t0 + s)W (s, t0)x = W ((t, t0 + +s)) (W (s, t0)x) , x ∈ X). (Зауважимо, що оператори W (τ, t0) ((τ, t0) ∈ Θ̃) можуть бути i нелiнiйними.) Довiльна динамiчна система S вигляду (3.6) породжує систему абстрактних траєкторiй RS = {rx,t0 \| x ∈ X, t0 ∈ Θ} , rx,t0(t) = W (t− t0, t0)x, x ∈ X, t ∈ Θ, (3.9) з TΘ = (Θ,≤) в X, де ≤ — звичайний порядок на полi дiйсних чисел. З (3.7), (3.8) випливає, що довiльнi траєкторiї з системи RS мають такi властивостi: rx,t0 (t0) = x, x ∈ X, t0 ∈ Θ, rx,t′0 = r[ rx,t′0 (t0) ] ,t0 , x ∈ X, t0, t ′ 0 ∈ Θ. Отже, при довiльному фiксованому t0 ∈ Θ систему траєкторiй RS можна подати у виглядi RS = {rx,t0 \| x ∈ X} . (3.10) Доведемо, що RS — система iндивiдуальних траєкторiй. Справдi, зафiксуємо довiльне чис- ло t0 ∈ Θ. Використавши рiвнiсть (3.10), розглянемо довiльнi траєкторiї rx1,t0 , rx2,t0 ∈ RS. Припустимо, що для деякого фiксованого t ∈ Θ rx1,t0(t) = rx2,t0(t). Тодi, використовуючи (3.7) – (3.9), отримуємо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1215 x2 = W (0, t0)x2 = W (t0 − t, t)W (t− t0, t0)x2 = W (t0 − t, t) rx2,t0(t) = = W (t0 − t, t) rx1,t0(t) = W (t0 − t, t)W (t− t0, t0)x1 = x1. Отже, rx1,t0 = rx2,t0 . Це означає, що для довiльних траєкторiй rx1,t0 , rx2,t0 ∈ RS з умови rx1,t0 6= rx2,t0 випливає, що rx1,t0(t) 6= rx2,t0(t) (∀t ∈ Θ). Тому RS — система iндивiдуальних траєкторiй. Зокрема, для довiльних x ∈ X i t0 ∈ Θ iснує, причому єдина, траєкторiя ρx,t0 ∈ RS така, що ρx,t0 (t0) = x (де ρx,t0 = rx,t0). Система iндивiдуальних траєкторiй RS породжує базову мiнливу множину At (RS) , при- чому за теоремою 2.1 Tm (At (RS)) = Θ. Згiдно з теоремою 3.2, знаючи базову мiнливу множину At (RS) , можна вiдновити систему траєкторiй RS. Звiдси, в свою чергу, однозначно вiдновлюються оператори еволюцiї { W (τ, t0) \| (τ, t0) ∈ Θ̃ } за допомогою формули W (τ, t0)x = ρx,t0 (τ + t0) , x ∈ X, t0, t0 + τ ∈ Θ, де ρx,t0 ∈ RS — траєкторiя, що задовольняє умову ρx,t0 (t0) = x. Отже, динамiчна система S однозначно вiдновлюється за базовою мiнливою множиною At (RS) . Таким чином, динамiчнi системи вигляду (3.6) можна вважати частинними випадками базових мiнливих множин. 4. Мiнливi системи i процеси. Означення 4.1. Нехай B — базова мiнлива множина. Будь-яку пiдмножину S ⊆ Bs(B) будемо називати мiнливою системою базової мiнливої множини B. В механiцi елементарними станами є стани (тобто положення) матерiальних точок у рiзнi моменти часу. Саме тому на поняття мiнливої системи можна дивитись, як на абстрактне узагальнення поняття фiзичного тiла, склад якого, взагалi кажучи, не є постiйним i може змiнюватись довiльним чином протягом часу в процесi трансформацiй цього тiла. Означення 4.2. Нехай B — базова мiнлива множина. Довiльне вiдображення s : Tm(B) : 7→ 2Bs(B) таке, що s(t) ⊆ ψ(t), t ∈ Tm(B), будемо називати процесом базової мiнливої множини B. Оскiльки примiтивнi мiнливi множини можна розглядати як базовi мiнливi множини з базою елементарних процесiв ← (f), то хронометричнi процеси, введенi в [16 – 18], можна вважати частинними випадками процесiв, уведених в означеннi 4.2. Нехай S ⊆ Bs(B) — довiльна мiнлива система довiльної базової мiнливої множини B. Покладемо S∼(t) := {x ∈ Bs(B) \| (t, x) ∈ S} , t ∈ Tm(B). (4.1) Легко бачити, що S∼(t) ⊆ ψ(t), t ∈ Tm(B). Отже, за означенням 4.2 S∼ є процесом на базовiй мiнливiй множинi B. Означення 4.3. Процес S∼ будемо називати процесом трансформацiй мiнливої систе- ми S. Твердження 4.1. Нехай B — базова мiнлива множина. 1. Для довiльних мiнливих систем S1, S2 ∈ Bs(B) S∼1 = S∼2 тодi i тiльки тодi, коли S1 = S2. 2. Для довiльного процесу s базової мiнливої множини B iснує, причому єдина, мiнлива система S ⊆ Bs(B) така, що s = S∼. Доведення. 1. Очевидно, досить довести, що для S1, S2 ∈ Bs(B) з рiвностi S∼1 = S∼2 випливає рiвнiсть S1 = S2. Отже, нехай S∼1 = S∼2 . Тодi для довiльного t ∈ Tm(B) S∼1 (t) = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1216 Я. I. ГРУШКА = S∼2 (t). Отже, згiдно з (4.1), для довiльних t ∈ Tm(B) i x ∈ Bs(B) умова (t, x) ∈ S1 рiвносильна умовi (t, x) ∈ S2. А це й означає, що S1 = S2. 2. Нехай s — процес базової мiнливої множини B. Покладемо S := {(t, x) \| t ∈ Tm(B), x ∈ s(t)} = ⋃ t∈Tm(B) ({t} × s(t)), де у випадку s(t) = ∅ {t} × s(t) = ∅. Оскiльки для довiльної пари (t, x) ∈ S маємо x ∈ s(t) ⊆ ψ(t), то S ⊆ Bs(B). Отже, S є мiнливою системою B. Для довiльного t ∈ Tm(B) маємо S∼(t) = {x ∈ Bs(B) \| (t, x) ∈ S} = {x ∈ Bs(B) \| x ∈ s(t)} = s(t). Отже, S∼ = s. Доведемо єдинiсть мiнливої системи S. Нехай S1 — iнша мiнлива система, така, що S∼1 = s. Тодi S∼ = S∼1 , а отже, згiдно з першим пунктом даного твердження, S = S1. Отже, згiдно з твердженням 4.1, вiдображення (·)∼ встановлює взаємно однозначну вiд- повiднiсть мiж мiнливими системами i процесами базової мiнливої множини. Враховуючи зазначений факт, далi мiж поняттями мiнливої системи i процесу завжди будемо ставити „знак рiвностi”, а говорячи про процеси на базових мiнливих множинах, будемо позначати цi проце- си великими буквами з хвилькою у верхньому iндексi, маючи на увазi, що довiльний процес є процесом трансформацiй певної мiнливої системи. Будемо говорити, що мiнлива система U ⊆ Bs(B) базової мiнливої множини B є пiдсисте- мою мiнливої системи S ⊆ Bs(B), якщо U ⊆ S. Твердження 4.2. Мiнлива система U ⊆ Bs(B) є пiдсистемою мiнливої системи S ⊆ ⊆ Bs(B) тодi i тiльки тодi, коли ∀ t ∈ Tm(B) U∼(t) ⊆ S∼(t). Доведення. 1. Нехай S,U ⊆ Bs(B) i U ⊆ S. Тодi, згiдно з (4.1), для довiльного t ∈ Tm(B) отримуємо U∼(t) = {x ∈ Bs(B) \| (t, x) ∈ U} ⊆ {x ∈ Bs(B) \| (t, x) ∈ S} = S∼(t). 2. Навпаки, нехай U∼(t) ⊆ S∼(t) для довiльного t ∈ Tm(B). Покладемо S1 := ⋃ t∈Tm(B) {t} × S∼(t), U1(t) := ⋃ t∈Tm(B) {t} × U∼(t). Згiдно з отриманим пiд час доведення другого пункту твердження 4.1, S∼1 = S∼, U∼1 = U∼. Отже, згiдно з першим пунктом твердження 4.1, S1 = S, U1 = U. Тому U = U1 = ⋃ t∈Tm(B) {t} × U∼(t) ⊆ ⋃ t∈Tm(B) {t} × S∼(t) = S1 = S. Означення 4.4. Будемо говорити, що елементарний стан x ∈ Bs(B) базової мiнливої множини B належить до мiнливої системи S ⊆ Bs(B) в момент часу t ∈ Tm(B), якщо x ∈ S∼(t). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 БАЗОВI МIНЛИВI МНОЖИНИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦIЇ СИСТЕМ 1217 Той факт, що елементарний стан x базової мiнливої множини B належить до мiнливої системи S в момент часу t, будемо позначати таким чином: x ∈[t,B]S, а у випадку, коли зрозумiло про яку базову мiнливу множину йде мова, будемо використовувати позначення x ∈[t]S. З твердження 4.2 випливає, що для мiнливих систем U, S ⊆ Bs(B) спiввiдношення U ⊆ S має мiсце тодi i тiльки тодi, коли для довiльних t ∈ Tm(B) i x ∈ Bs(B) з умови x ∈[t] U випливає спiввiдношення x ∈[t] S. Останнє зауваження свiдчить про те, що на мiнливу систему довiльної базової мiнливої множини B можна дивитись як на аналог поняття пiдмножини у класичнiй теорiї множин, а на вiдношення ∈[·] — як на аналог вiдношення належностi класичної теорiї множин. Проте, з iншого боку, нi елементарнi, нi елементарно-часовi стани не можуть повнiстю претендувати на аналог поняття елемента у класичнiй теорiї множин, оскiльки, знаючи всi елементарнi чи елементарно-часовi стани базової мiнливої множини, ми не зможемо вiдновити нi напрямне вiдношення змiн, нi базу елементарних процесiв, а отже, не зможемо повнiстю вiдновити базову мiнливу множину за її „елементами”. Очевидно, що довiльна лiнiя долi L ∈ Ld(B) базової мiнливої множини B є її мiнливою системою. Означення 4.5. ПроцесL∼, породжений лiнiєю долiL ∈ Ld(B) базової мiнливої множини B, будемо називати елементарним процесом B. Розглянемо довiльну систему матерiальних точок, якi не втрачають свою „iндивiдуаль- нiсть” у процесi еволюцiї (тобто матерiальнi точки не зливаються в одну i не розпадаються на декiлька). Еволюцiю такої системи можна описати за допомогою базової мiнливої множини B = At (R) , де R — деяка система iндивiдуальних траєкторiй. Згiдно з теоремою 3.2, лiнiї долi (тобто мiнливi системи, що породжують елементарнi процеси) для такої базової мiнливої множини B збiгаються з траєкторiями r ∈ R, якi описують еволюцiю кожної з матерiальних точок, що входять в цю систему (Ld(B) = R). Це означає, що в цьому випадку кожен еле- ментарний процес мiстить всю необхiдну iнформацiю для самоiдентифiкацiї вiдповiдної йому матерiальної точки в кожен момент часу еволюцiй системи, а тому може бути ототожнений з цiєю матерiальною точкою i названий „елементом” вiдповiдної базової мiнливої множини. Отже, поняття елементарного процесу природно вважати аналогом поняття елемента звичайної (статичної) множини i в загальнiй ситуацiї довiльної базової мiнливої множини, що не поро- джується iндивiдуальними траєкторiями. Крiм того, з елементарних процесiв, використовуючи теорему 3.1, можна повнiстю вiдновити базову мiнливу множину. 1. Проблемы Гильберта / Сборник под ред. П. С. Александрова. – М: Наука, 1969. – 240 с. 2. Гладун А. Д. Шестая проблема Гильберта // Потенциал. – 2006, № 3 (http://potential.org.ru/Home/ProblemGilbert). 3. Petunin Yu. I., Klyushin D. A. A structural approach to solving the 6th Hilbert problem // Theory Probab. and Math. Statist. – 2005. – № 71. – P. 165 – 179. 4. McKinsey J. C. C., Sugar A. C., Suppes P. Axiomatic foundations of classical particle mechanics // J. Ration. Mech. and Anal. – 1953. – № 2. – P. 253 – 272. 5. Schutz John W. Foundations of special relativity: kinematic axioms for Minkowski space-time // Lect. Notes Math. – 1973. – 361. – 314 p. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1218 Я. I. ГРУШКА 6. da Costa N. C. A., Doria F. A. Suppes predicates for classical physics // Space Math.: Proc. Int. Symp. Structures Math. Theories (San Sebastian, Spain, 1990). – Berlin; New York: De-Gruyter, 1992. – P. 168 – 191. 7. Adonai S. Sant’Anna. The definability of physical concepts // Bol. Soc. Parana. Mat. (3s.). – 2005. – 23, № 1-2. – P. 163 – 175. 8. Пименов Р. И. Математические темпоральные конструкции // Конструкции времени в естествознании: На пути к пониманию феномена времени. – М.: Изд-во. Моск. ун-та, 1996. – Ч. I. – С. 153 – 199. 9. Пименов Р. И. Основы теории темпорального универсума. – М.: Ленанд, 2006. – 200 с. 10. Левич А. П. Методологические трудности на пути к пониманию феномена времени // http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/levich_trudnosti.pdf. – 10 c. 11. Левич А. П. Почему скромны успехи в изучении времени // На пути к пониманию феномена времени: кон- струкции времени в естествознании / Под ред. А. П. Левич. – М.: Прогресс-Традиция, 2009. – Ч. 3. – С. 15 – 29. 12. Бiланюк О. Тахiони. Вибранi публiкацiї до 40-рiччя тахiонової гiпотези. – Л.: Євросвiт, 2002. – 160 с. 13. Hill J. M., Cox B. J. Einstein’s special relativity beyond the speed of light // Proc. Roy. Soc. London. – Publ. ahead of print October 3, 2012. 14. Биркгоф Г. Теория решеток. – М.: Наука, 1984. – 567 с. 15. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е. Лекции по нелинейной динамике. – М.; Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаоти- ческая динамика”, 2011. – 516 с. 16. Грушка Я. I. Мiнливi множини та їх властивостi // Доп. НАН України. – 2012. – № 5. – С. 12 – 18. 17. Грушка Я. I. Примiтивнi мiнливi множини та їх властивостi // Мат. вiсн. НТШ. – 2012. – 9. – С. 52 – 80. 18. Grushka Ya. I. Abstract concept of changeable set // Препринт: arXiv:1207.3751 (http://arxiv.org/abs/1207.3751). Одержано 20.07.12, пiсля доопрацювання — 08.01.13 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9

Базові мінливі множини та математичне моделювання еволюції систем

Репозитарії

Схожі ресурси