Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп
Досліджується вплив властивостей підгруп, що мають додаток, на будову скінченної групи. Отримано умови, за яких нормальна підгрупа скінченної групи має циклічні головні p-фактори....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165631 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп / Ий Сяолан, О.Л. Шеметкова // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1227–1235. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165631 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656312020-02-15T01:26:36Z Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп Сяолан, Ий Шеметкова, О.Л. Статті Досліджується вплив властивостей підгруп, що мають додаток, на будову скінченної групи. Отримано умови, за яких нормальна підгрупа скінченної групи має циклічні головні p-фактори. We study the influence of the properties of supplemented subgroups on the structure of finite groups. The conditions under which a normal subgroup of a finite group possesses cyclic chief p-factors are obtained. 2013 Article Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп / Ий Сяолан, О.Л. Шеметкова // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1227–1235. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165631 512.542 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сяолан, Ий Шеметкова, О.Л. Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп Український математичний журнал |
| description |
Досліджується вплив властивостей підгруп, що мають додаток, на будову скінченної групи. Отримано умови, за яких нормальна підгрупа скінченної групи має циклічні головні p-фактори. |
| format |
Article |
| author |
Сяолан, Ий Шеметкова, О.Л. |
| author_facet |
Сяолан, Ий Шеметкова, О.Л. |
| author_sort |
Сяолан, Ий |
| title |
Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп |
| title_short |
Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп |
| title_full |
Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп |
| title_fullStr |
Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп |
| title_full_unstemmed |
Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп |
| title_sort |
конечные группы с системой se-добавляемых подгрупп |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165631 |
| citation_txt |
Конечные группы с системой SE-добавляемых подгрупп / Ий Сяолан, О.Л. Шеметкова // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1227–1235. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT sâolanij konečnyegruppyssistemojsedobavlâemyhpodgrupp AT šemetkovaol konečnyegruppyssistemojsedobavlâemyhpodgrupp |
| first_indexed |
2025-07-14T19:16:16Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:16:16Z |
| _version_ |
1837651022928936960 |
| fulltext |
УДК 512.542
Ий Сяолан* (Чжэцзян. науч.-техн. ун-т, Китай),
О. Л. Шеметкова (Рос. экон. ун-т им. Г. В. Плеханова, Москва)
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С СИСТЕМОЙ SE-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУПП
We investigate the influence of the properties of supplemented subgroups on the structure of finite groups. The conditions
under which a normal subgroup of a finite group possesses cyclic chief p-factors are obtained.
Дослiджується вплив властивостей пiдгруп, що мають додаток, на будову скiнченної групи. Отримано умови, за
яких нормальна пiдгрупа скiнченної групи має циклiчнi головнi p-фактори.
1. Введение. В статье рассматриваются только конечные группы, G обозначает некоторую
группу. Пусть A и B — такие подгруппы из G, что G = AB. Тогда B называют добавлением к
A в G. Если, к тому же, A ∩B = 1, то B называется дополнением к A в G.
Группы с различными системами дополняемых подгрупп изучаются уже давно (см., на-
пример, [1, 2]). При изучении групп с системой добавляемых подгрупп, или групп с факто-
ризациями [3], приходится вводить определенные ограничения. О. Кегель называет подгруппу
S-квазинормальной в G, если она перестановочна с каждой силовской подгруппой из G (см.
[4]). Подгруппа A из G называется S-квазинормально вложенной в G, если для любого просто-
го делителя p порядка A выполняется условие: силовская p-подгруппа из A является силовской
подгруппой в некоторой S-квазинормальной подгруппе из G (см. [5]). Группы с системой S-
квазинормально вложенных подгрупп изучались в [5 – 7]. Согласно [7], через BseG обозначается
подгруппа, порожденная всеми теми подгруппами из B, которые S-квазинормально вложены в
G. Следуя А. Н. Скибе [7], подгруппу B будем называть SE-добавляемой в G, если найдется
такая подгруппа H, что G = BH и B ∩H ≤ BseG.
В настоящей статье изучаются группы с системой SE-добавляемых подгрупп. Развивая и
обобщая результаты работ [5 – 9], мы докажем следующие две теоремы.
Теорема A. Пусть E — нормальная подгруппа из G и p — такой простой делитель
|E|, что (p − 1, |E|) = 1. Пусть P — силовская p-подгруппа из E. Предположим, что SE-
добавляемыми вG являются все максимальные подгруппы из P, не имеющие p-сверхразрешимых
добавлений в G. Тогда E p-нильпотентна и все ее G-главные p-факторы циклические.
Теорема B. Пусть E — нормальная подгруппа из G и p — такой простой делитель |E|,
что (p − 1, |E|) = 1. Пусть P — силовская p-подгруппа из E. Предположим, что выполнены
два условия:
1) каждая подгруппа порядка p из P либо QU-центральна в G, либо SE-добавляема в G;
2) если p = 2, то каждая кватернионная подгруппа порядка 4 из P либо Q-центральна в
G, либо SE-добавляема в G.
Тогда E p-нильпотентна и все ее G-главные p-факторы циклические.
Подгруппу L из P мы называем кватернионной в P (см. [9]), если P имеет секцию A/B,
изоморфную группе кватернионов порядка 8, причем L ≤ A и L ∩ B = 1. Следуя Л. А. Ше-
меткову, циклическую подгруппу L = 〈x〉 называет: 1) QU-центральной в G, если найдется
*Поддержан грантом NNSF Китая (грант № 11101369).
c© ИЙ СЯОЛАН, О. Л. ШЕМЕТКОВА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1227
1228 ИЙ СЯОЛАН, О. Л. ШЕМЕТКОВА
такой циклический главный фактор A/B группы G, что x ∈ A\B; 2) Q-центральной в G, если
найдется такой главный фактор A/B группы G, что x ∈ A \B и A/B ≤ Z(G/B).
Отметим, что наши результаты остаются новыми и в случае E = G. В конце статьи мы
обсудим приложения теорем А и B.
2. Предварительные сведения. Для удобства читателя в этом пункте мы приведем резуль-
таты, используемые при доказательствах теорем A и B. Мы используем стандартные обозначе-
ния [10]. Op(G) — подгруппа, порожденная всеми p′-элементами из G, HG — ядро подгруппы
H в G, т. е. наибольшая G-инвариантная подгруппа, содержащаяся в H. Группа Шмидта — это
ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Группу называют
p-сверхразрешимой, если она p-разрешима и все ее главные p-факторы циклические. Группу
называют: 1) p-замкнутой, если ее силовская p-подгруппа нормальна; 2) p-нильпотентной, если
ее силовская p-подгруппа имеет нормальное дополнение.
2.1. Если G — группа Шмидта, то G является p-замкнутой {p, q}-группой для некоторых
простых чисел p, q. Пусть P — нормальная силовская p-подгруппа из G. Тогда:
(a) если P неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппа Фраттини совпадают и имеют
экспоненту p;
(b) если p > 2, то экспонента подгруппы P равна p; при p = 2 экспонента подгруппы P
не превышает 4;
(c) P/Φ(P ) — главный фактор группы G и |P/Φ(P )| = pn ≡ 1 (mod q), где n — порядок
p по модулю q (см. [10], теорема VII.6.18; [11], теоремы 26.1 и 26.2).
2.2. Если G не p-нильпотентна, то она содержит p-замкнутую подгруппу Шмидта,
порядок которой делится на p (см. [12], теорема 7.2.4).
2.3. Пусть p — такой простой делитель |G|, что (p− 1, |G|) = 1. Тогда:
(a) если M ≤ G и |G : M | = p, то M �G;
(b) если силовская p-подгруппа в G циклическая, то G p-нильпотентна;
(c) если G p-сверхразрешима, то G p-нильпотентна.
Доказательство. Утверждения (b) и (c) легко следуют из утверждений 2.1, 2.2.
Докажем утверждение (a). Случай, когда p — наименьший простой делитель |G|, хорошо
известен (см. [13], 1A.1, следствие 5.14, [14], теорема VI.9.2). Пусть p > 2. Тогда G разрешима,
поскольку имеет нечетный порядок. Мы можем считать, что MG = 1. Тогда G = LM и
L ∩M = 1, где L — минимальная нормальная подгруппа в G. Очевидно, |L| = p. Поскольку
L = CG(L), |M | делит p− 1, что противоречит условию.
2.4. Пусть H ≤ K ≤ G. Тогда:
(a) если H S-квазинормальна в G, то H S-квазинормальна в K;
(b) если H нормальна в G, то K/H S-квазинормальна в G/H тогда и только тогда, когда
K S-квазинормальна в G;
(c) если H S-квазинормальна в G, то H субнормальна в G;
(d) если A и B S-квазинормальны в G, то A ∩B и 〈A,B〉 S-квазинормальны в G;
(e) если H S-квазинормальна в G, то H/HG нильпотентна (см. [4, 15]).
2.5. Если p-подгруппа H S-квазинормальна в группе G, то H ≤ Op(G) и Op(G) ≤ NG(H)
(см. [16]).
2.6. Предположим, что подгруппа U S-квазинормально вложена в G. Пусть H ≤ G и
K — нормальная подгруппа в G. Тогда:
(a) если U ≤ H, то U S-квазинормально вложена в H;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С СИСТЕМОЙ SE-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУПП 1229
(b) UK S-квазинормально вложена в G, а UK/K S-квазинормально вложена в G/K
(см.[5]).
2.7. Пусть H — SE-добавляемая подгруппа в G, а N — нормальная подгруппа в G. Тогда:
(a) если H ≤ K ≤ G, то H SE-добавляема в K;
(b) если N ≤ H, то H/N SE-добавляема в G/N ;
(c) если (|N |, |H|) = 1, то HN/N SE-добавляема в G/N (см. [7], лемма 2.8).
2.8. Пусть R � G и R/Op′(R) не содержится в гиперцентре группы G/Op′(R). Тогда
G имеет p-замкнутую подгруппу Шмидта S со следующим свойством: силовская p-подгруппа
Sp 6= 1 из S содержится в R (см. [9], лемма 3).
2.9. Пусть S — группа Шмидта с неабелевой нормальной силовской 2-подгруппой P.
Тогда любая циклическая подгруппа порядка 4 является кватернионной в P. В частности, если
|Z(P )| = 2, то любой элемент порядка 4 из S содержится в подгруппе, изоморфной группе
кватернионов Q8 (см. [9], лемма 4).
Следующий результат является следствием теоремы 3.1 из [17].
2.10. Пусть H � G, p — нечетное простое число. Если каждая подгруппа порядка p из
H QU-центральна в G, то H p-сверхразрешима и каждый G-главный p-фактор подгруппы H
является циклическим.
2.11. Пусть G = AB, где A — циклическая 2-подгруппа, B 6= G. Тогда G = AM, где M —
нормальная подгруппа индекса 2 (см. [18], лемма 3.2).
2.12. Пусть p — такой простой делитель |G|, что (p− 1, |G|) = 1. Пусть Gp — силовская
p-подгруппа в G, K�G, P = Gp∩K. Если G/K — p-группа и каждая максимальная подгруппа
из Gp либо содержит P, либо имеет p-нильпотентное добавление в G, то K p-нильпотентна.
Доказательство. Предположим, что K не p-нильпотентна. Тогда в силу [14] (теоре-
ма IV.4.7) P не содержится в Φ(Gp). Пусть M1 — максимальная подгруппа из Gp, не со-
держащая P. По условию существует такая p-нильпотентная подгруппа T1, что G = M1T1.
Очевидно, Gp = M1(Gp ∩ T1), и мы можем считать, что T1 = NG(H1), где H1 — p′-холлова
подгруппа из K. Теперь мы замечаем, что в силу [19] любые две p′-холловы подгруппы в K
сопряжены (в силу условия либо p = 2, либо |G| — нечетное число). По лемме Фраттини
G = KT1 = PT1. Следовательно, Gp = P (Gp ∩T1) и Gp ∩T1 < Gp. Пусть M2 — максимальная
подгруппа в Gp, содержащая Gp ∩ T1. Тогда G = M2T2, где T2 — нормализатор в G некоторой
p′-холловой подгруппы H2 из K. Поскольку Hx
1 = H2, T
x
1 = T2 для некоторого x ∈ G, то
G = M2T2 = M2T
x
1 = M1T1 = M2T1. Поэтому
Gp = M1(Gp ∩ T1) = M2(Gp ∩ T1) = M2,
и мы получаем противоречие.
2.13. Пусть E ≤ G и L = 〈x〉 ≤ E. Тогда:
(a) если L Q-центральна в G, то L Q-центральна и в E;
(b) если E�G и LQU-центральна в G, то найдется такой циклический G-главный фактор
X/Y подгруппы E, что x ∈ X \ Y.
Доказательство. Пункт (a) установлен в [9]. Докажем пункт (b). По условию существует
такой циклический главный фактор A/B группы G, что x ∈ A \ B. Факторы AE/BE и
A/B(A∩E) G-изоморфны. Но так как x ∈ A \B, то B 6= B(A∩E). Поэтому A = B(A∩B),
и мы получаем G-изоморфизм A/B ' (A ∩E)/(B ∩E). Поскольку x ∈ (A ∩E) \ (B ∩E), то
фактор (A ∩ E)/(B ∩ E) и будет искомым.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1230 ИЙ СЯОЛАН, О. Л. ШЕМЕТКОВА
2.14. Пусть E � G, P — силовская 2-подгруппа из E, W — множество всех циклических
кватернионных подгрупп из P. Пусть K — нормальная 2′-подгруппа в G. Тогда WK/K =
= {LK/K | L ∈W} — множество всех циклических кватернионных подгрупп из PK/K.
Доказательство. Пусть Q8 обозначает группу кватернионов порядка 8. Если H ∈W, то в
P найдется секция A/B такая, что A/B ' Q8, H ≤ A, H∩B = 1. Так как 1 = K∩HB = (K∩
∩H)(K∩B), то согласно [10] (лемма A.1.2) справедливо равенство KH∩KB = K(H∩B) = K.
Но тогда HK/K ∩BK/K = K(H ∩B)/K = K/K и
AK/K/BK/K ' AK/BK ' A/A ∩BK = A/B(A ∩K) ' A/B ' Q8.
Значит, HK/K — кватернионная подгруппа в PK/K.
Обратно, пусть H1/K — циклическая кватернионная подгруппа в PK/K. Это значит, что
PK/K имеет такую секцию A1/K/B1/K ' Q8, что H1/K ≤ A1/K, H1/K ∩ B1/K = K/K.
Заметим, что H1 � A1, B1 � A1. Пусть A — силовская 2-подгруппа из A1. Тогда H = A ∩H1
— силовская 2-подгруппа в H1, B = A ∩B1 — силовская 2-подгруппа в B1. Поэтому
A1/B1 = AK/BK ' A/A ∩BK = A/B(A ∩K) = A/B.
Поскольку HK ∩BK = K, получаем H ∩B = 1. Таким образом, H ∈W.
3. Доказательство теоремы A. Предположим, что теорема A не верна, и рассмотрим контр-
пример (G,E), для которого |G|+ |E| минимально. Мы установим справедливость нескольких
утверждений, которые приведут к противоречию.
3.1. Подгруппа P не является циклической.
Это вытекает из утверждения 2.3.
3.2. Op′(E) = 1.
Допустим, что K = Op′(E) 6= 1. Любая максимальная подгруппа из PK/K имеет вид
LK/K, где L — максимальная подгруппа в P. Понятно, что если L имеет p-сверхразрешимое
добавление в G, то LK/K имеет p-сверхразрешимое добавление в G/K. Если же L не име-
ет p-сверхразрешимого добавления в G, то L SE-добавляема в G, а согласно утвержде-
нию 2.7 LK/K SE-добавляема в G/K. Таким образом, условие теоремы выполняется для
пары (G/K,E/K). Поэтому из минимальности выбора пары (G,E) следует, что для пары
(G/K,E/K) теорема справедлива, а значит, она справедлива и для (G,E).
3.3. Если E 6= G, то E = P.
Пусть E 6= G. В силу утверждения 2.7 условие теоремы выполняется для (E,E). Следова-
тельно, E p-нильпотентна. Теперь из утверждения 3.2 следует, что E = P.
3.4. Op′(G) = 1.
Предположим, что V = Op′(G) 6= 1. Тогда из утверждений 3.2 и 3.3 следует E = P. В силу
утверждения 2.7 условие теоремы выполняется для (G/V,EV/V ). Таким образом, вследствие
минимальности (G,E) теорема для (G/V,EV/V ) справедлива, а значит, она справедлива и для
(G,E).
3.5. |P | > p2.
Допустим, что это не так. Тогда в силу утверждения 3.1 P — нециклическая группа по-
рядка p2. Рассмотрим сначала случай, когда (p − 1, |G|) = 1. Из утверждения 2.3 следует,
что подгруппы порядка p не имеют дополнений и p-сверхразрешимых добавлений. Применяя
утверждения 2.1 – 2.3 и 2.8, находим в G p-замкнутую подгруппу Шмидта S = PQ, где Q —
q-группа для некоторого простого q 6= p. Каждая подгруппа порядка p из P SE-добавляема в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С СИСТЕМОЙ SE-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУПП 1231
G, а значит, в силу утверждения 2.7 и в S. В силу утверждения 2.4 из SE-добавляемости под-
групп порядка p из S следует их S-квазинормальность в S. Поскольку S = Op(S), то согласно
утверждению 2.5 подгруппы порядка p нормальны в S, т. е. S p-сверхразрешима и согласно
утверждению 2.3 p-нильпотентна, что невозможно.
Теперь предположим, что (p− 1, |G|) 6= 1. Тогда E 6= G и согласно утверждению 3.3 имеем
E = P. Если G = HT, |H| = p и H∩T = 1, то P∩T имеет порядок p и нормальна в G. Поэтому
из условия и утверждения 2.4 следует, что все подгруппы порядка p из P S-квазинормальны в
G. Применяя утверждение 2.5, видим, что индекс нормализатора любой подгруппы порядка p
делится на p. Значит, число всех подгрупп порядка p в P делится на p, что противоречит [14]
(теорема I.7.2).
3.6. Если E = P, то E не является минимальной нормальной подгруппой в G.
Допустим, что E = P — минимальная нормальная подгруппа в G. Пусть L — максимальная
подгруппа из P, имеющая добавление T в G. Если T 6= G, то из G = LT = PT следует
P = L(P ∩ T ), причем P ∩ T 6= 1 нормальна в G, что приводит к противоречию. Если T = G,
то T не p-сверхразрешима, и по условию L ∩ T = L = LseG. Значит, в силу утверждения 2.4
все максимальные подгруппы из P будут S-квазинормальны в G. Применяя утверждения 2.5,
видим, что индекс нормализатора любой максимальной подгруппы из P делится на p. Значит,
число всех подгрупп индекса p в P делится на p, что противоречит [14] (теорема I.7.2).
3.7. Если N — минимальная нормальная p-подгруппа в G и N ≤ E, то теорема для
(G/N,E/N) справедлива.
В силу утверждения 2.7 это утверждение очевидно.
3.8. E = G.
Предположим, что E 6= G. Согласно утверждению 3.3 имеем E = P. Если Φ(P ) 6= 1,
то в силу утверждения 3.7 все G-главные факторы между P и Φ(P ) циклические. По теореме
П. Шмидта [10] (теорема IV.6.7) все G-главные факторы между Φ(P ) и 1 циклические. Поэтому
Φ(P ) = 1, т. е. P является элементарной абелевой. В силу утверждения 3.7 G имеет единствен-
ную минимальную нормальную подгруппу L, содержащуюся в P. В силу утверждений 3.6
и 3.7 L 6= P и |L| 6= p. Пусть M — максимальная подгруппа из P. Допустим, что M имеет
p-сверхразрешимое добавление T в G. Тогда ясно, что T 6= G и T ∩ P является неединичной
нормальной подгруппой в G. Тогда L ≤ T ∩ P ≤ T, а поскольку T p-сверхразрешима, то ми-
нимальная нормальная подгруппа из T, содержащаяся в T ∩P, будет циклической нормальной
подгруппой группы G. Получили противоречие. Таким образом, мы будем иметь в виду, что
максимальные подгруппы из P не имеют p-сверхразрешимых добавлений.
Пусть L1 — максимальная подгруппа из L. Мы покажем, что L1 S-квазинормальна в G. В
P найдется, очевидно, такая максимальная подгруппа V, что V ∩ L = L1 (это возможно, так
как P элементарная абелева). По условию V SE-добавляема в G, т. е. G = V T и V ∩T ≤ VseG.
Предположим сначала, что T = G. Тогда в силу утверждения 2.4 V = VseG S-квазинормальна
в G. Согласно утверждению 2.4 V ∩L = L1 S-квазинормальна в G. Пусть теперь T 6= G. Тогда
T ∩ P — неединичная нормальная подгруппа в G. Ясно, что L содержится в T ∩ P. Но тогда
L1 ≤ V ∩ T ≤ VseG, и теперь из
L1 ≤ L ∩ VseG ≤ L ∩ V = L1
следует, в силу утверждения 2.4, что L1 = L ∩ VseG S-квазинормальна. Таким образом, все
максимальные подгруппы из L S-квазинормальны в G. Поскольку теорема для пары (G,L)
справедлива, то |L| = p. Полученное противоречие доказывает утверждение 3.8.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1232 ИЙ СЯОЛАН, О. Л. ШЕМЕТКОВА
3.9. В P содержится максимальная подгруппа, не имеющая p-сверхразрешимого добавле-
ния в G.
Это непосредственно следует из утверждений 2.3 и 2.12.
3.10. Если P ≤M ≤ G, то M p-нильпотентна.
Это следует из утверждений 2.6, 2.7 и минимальности (G,E).
3.11. G разрешима.
Предположим, что G не является разрешимой. Поскольку G = E, то по условию (p −
−1, |G|) = 1. Если p > 2, то G имеет нечетный порядок. Поэтому будем считать, что p = 2. Если
PG 6= 1, то согласно утверждению 3.7 теорема для G/PG справедлива, а значит, утверждение
3.11 верно. Рассмотрим теперь случай PG = 1. В силу утверждения 2.5 неединичные подгруппы
из P не являются S-квазинормальными в G.
Пусть K — минимальная нормальная подгруппа из G. В силу утверждений 3.7 и 3.10 K
неабелева и PK = G. Ясно, что K — единственная минимальная нормальная подгруппа в G.
Теперь заметим, что если неединичная подгруппа из P S-квазинормально вложена в G, то
она содержит P ∩ K. Действительно, пусть 1 6= L ≤ P и L является силовской подгруппой
в S-квазинормальной подгруппе D группы G. Если DG = 1, то D нильпотентна согласно
утверждению 2.4. Но тогда из утверждений 3.4 и 3.7 следует, что G разрешима. Значит, DG 6= 1
и K ≤ D. Поскольку L является силовской подгруппой в D, то L ∩D — силовская подгруппа
в K. Таким образом, L ∩D = P ∩K.
Пусть V — максимальная подгруппа из P, не содержащая P ∩K и не имеющая 2-нильпо-
тентных добавлений в G. По условию V SE-добавляема в G. Значит, найдется такая подгруппа
T, что G = V T и V ∩ T ≤ VseG. Если VseG 6= 1, то согласно сделанному выше замечанию
в V найдется подгруппа, содержащая P ∩ K, что невозможно. Поэтому VseG = 1. Таким
образом, T — дополнение к V в G. Так как силовская 2-подгруппа из T имеет порядок 2, то T
2-нильпотентна согласно утверждению 2.3. Получили противоречие.
Итак, мы установили, что любая максимальная подгруппа из P, не содержащая P ∩ K,
имеет 2-нильпотентное добавление в G. Согласно утверждению 2.12 K 2-нильпотентна. Тем
самым утверждение 3.11 доказано.
Завершение доказательства теоремы А. По доказанному G разрешима и имеет един-
ственную минимальную нормальную подгруппу, фактор-группа по которой p-нильпотентна.
Таким образом, G имеет нормальную подгруппу K такую, что G/K является неединичной
p-группой, а P ∩ K — минимальной нормальной подгруппой в G. Заметим, что P ∩ K не
содержится в Φ(G). Кроме того, P ∩ K = CG(P ∩ K) = Op(G), G = (P ∩ K)M, где M —
максимальная подгруппа в G.
Пусть V — максимальная подгруппа из P, не содержащая P ∩K и не имеющая p-нильпо-
тентных добавлений в G. По условию V SE-добавляема в G. Значит, найдется такая подгруппа
T, что G = V T и V ∩ T ≤ VseG. Поскольку T не p-нильпотентна, то V ∩ T 6= 1. Но тогда
в V найдется подгруппа L 6= 1, являющаяся S-квазинормально вложенной в G. Пусть L
является силовской подгруппой в S-квазинормальной подгруппе D группы G. Если DG 6= 1,
то P ∩ K ≤ DG ≤ D, и мы получаем P ∩ K ≤ L ≤ V, что противоречит допущению. Если
же DG = 1, то в силу утверждения 2.4 D нильпотентна, а значит, D = L — S-квазинормальная
p-подгруппа. Но тогда VseG — S-квазинормальная p-подгруппа, входящая в P ∩ K согласно
утверждению 2.5. Так как по утверждению 2.5 Op(G) ≤ NG(VseG) и G = POp(G), то мы
приходим к следующему:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С СИСТЕМОЙ SE-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУПП 1233
P ∩K ≤ 〈(VseG)x | x ∈ G〉 = 〈(VseG)x | x ∈ P 〉 ≤ V,
что невозможно в силу P∩K 6⊆ V. Тем самым установлено, что любая максимальная подгруппа
из P, не содержащая P∩K, имеет p-нильпотентное добавление в G. Согласно утверждению 2.12
K p-нильпотентна.
Теорема A доказана.
4. Доказательство теоремы B. Предположим, что теорема B не верна и пара (G,E)
представляет собой контрпример, для которого |G| + |E| минимально. Мы установим справед-
ливость нескольких утверждений, которые приведут к противоречию.
4.1. Подгруппа P не является циклической.
Это вытекает из утверждения 2.3.
4.2. Op′(E) = 1.
Допустим, что K = Op′(E) 6= 1. Применяя утверждения 2.7 и 2.14, видим, что условие
теоремы выполняется для пары (G/K,E/K). Поэтому из минимальности выбора пары (G,E)
следует, что для пары (G/K,E/K) теорема справедлива, а значит, она справедлива и для
(G,E).
4.3. Если E 6= G, то E = P.
Пусть E 6= G. В силу утверждения 2.7 условие теоремы выполняется для (E,E). Следова-
тельно, E p-нильпотентна. Теперь из утверждения 4.2 следует, что E = P.
4.4. Op′(G) = 1.
Предположим, что V = Op′(G) 6= 1. Тогда из утверждений 4.2 и 4.3 следует E = P. В
силу утверждений 2.7 и 2.14 условие теоремы выполняется для (G/V,EV/V ). Таким обра-
зом, вследствие минимальности (G,E) теорема для (G/V,EV/V ) справедлива, а значит, она
справедлива и для (G,E).
4.5. |P | > p2.
Справедливость утверждения 4.5 следует из утверждения 2.13 и теоремы А.
4.6. (p− 1, |G|) = 1.
Предположим, что утверждение 4.6 не верно. Тогда в силу утверждения 4.3 E = P и p > 2.
Из минимальности выбора пары (G,E) получаем, что P имеет единственный нециклический
G-главный фактор E/V. Рассмотрим подгруппу L порядка p из P. Допустим, что L не QU-
центральна в G. По условию L SE-добавляема в G, т. е. найдется такая подгруппа D, что
G = LD и L ∩ D ≤ LseG. Если L ∩ D = 1, то D ∩ P нормальна в G и имеет индекс p в P,
т. е. L QU-центральна в G. Остается принять, что L∩D = L = LseG, т. е. L S-квазинормально
вложена в G. Но так как L ≤ P � G, то в силу утверждения 2.4 L S-квазинормальна в G.
Итак, мы получили, что каждая подгруппа порядка p из P либо QU-центральна в G, либо
S-квазинормальна в G. Если Op(G) = G, то в силу утверждения 2.5 все подгруппы порядка p
из P будут QU-центральны в G, и тогда согласно утверждению 2.10 все G-главные факторы
группы P будут циклическими. Значит, Op(G) 6= G. Если P не содержится в Op(G), то P
не содержится и в некоторой максимальной нормальной подгруппе M группы G индекса p, и
тогда MP = G и M ∩P является G-инвариантной подгруппой, имеющей индекс p в P. Таким
образом, P ≤ Op(G) 6= G.
Пусть H — произведение всех тех подгрупп порядка p из P, которые S-квазинормальны, но
не QU-центральны в G. Учитывая утверждение 2.5, видим, что H нормальна в G и является
элементарной абелевой. Так как P нециклическая и p > 2, то |H| > p. Предположим, что
H 6= P. Поскольку для пары (G,H) теорема справедлива, то все подгруппы порядка p из P QU-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1234 ИЙ СЯОЛАН, О. Л. ШЕМЕТКОВА
центральны в G, и можно применить утверждение 2.10. Рассмотрим теперь случай, когда P =
= H — нециклическая элементарная абелева группа. Поскольку все максимальные подгруппы
из P, содержащие V, S-квазинормальны и не нормальны в G, то в силу утверждения 2.5 число
всех максимальных подгрупп в P/V делится на p. Но это противоречит [14] (теорема I.7.2).
Утверждение 4.6 доказано.
Завершение доказательства теоремы B. Поскольку G не p-нильпотентна и E не гипер-
центральна в G, то в силу утверждений 2.2 и 2.8 G имеет p-замкнутую подгруппу Шмидта
U = P1Q, силовская p-подгруппа P1 6= 1 которой содержится в P. Согласно утверждению 2.1
экспонента P1 равна либо p, либо 4. Пусть L — такая циклическая подгруппа из P1, что
|L| ∈ {p, 4} и L порождена элементом x ∈ P1 \Φ(P1). Если |L| = 4, то в силу утверждений 2.1
и 2.9 L является кватернионной в P1.
Допустим, что LQU-центральна в G. Тогда L, в силу утверждения 4.6, будет Q-центральной
в G, а согласно утверждению 2.13 и в U. Но тогда из утверждений 2.1 и 4.6 следует, что U
p-нильпотентна, и мы получаем противоречие. Пусть теперь L SE-добавляема в G, а значит,
согласно утверждению 2.7, и в U. Тогда найдется такая подгруппа T, что U = LT и L ∩ T ≤
≤ LseG. С помощью утверждений 2.3 и 2.11 убеждаемся, что случай L ∩ T 6= L невозможен.
Значит, L∩T = L, и мы приходим к тому, что L S-квазинормально вложена в U. Но тогда, в силу
утверждения 2.4, L S-квазинормальна в U. Согласно утверждению 2.5 U = Op(U) нормализует
L, и теперь получаем, что LΦ(P1)/Φ(P1) — главный фактор в U. В силу утверждения 2.1 U
сверхразрешима и, согласно утверждению 2.3 p-нильпотентна. Противоречие.
Теорема В доказана.
5. Приложения теорем A и B. Доказанные теоремы и методы их доказательства допускают
многие приложения. Следствиями теорем А и B являются результаты работ [5, 6]. Отметим
новые результаты, которые получаются из теорем A и B в случае G = E.
Следствие 5.1. Пусть p — такой простой делитель |G|, что (p − 1, |G|) = 1. Пусть
P — силовская p-подгруппа из G. Предположим, что SE-добавляемыми в G являются все
максимальные подгруппы из P. Тогда G p-нильпотентна.
Следствие 5.2. Пусть p — такой нечетный простой делитель |G|, что (p− 1, |G|) = 1.
Пусть P — силовская p-подгруппа из G. Предположим, что все подгруппы порядка p из P
SE-добавляемы в G. Тогда G p-нильпотентна.
Следствие 5.3. Пусть P — силовская 2-подгруппа группы G. Предположим, что все
подгруппы порядка 2 из P и все кватернионные подгруппы порядка 4 из P SE-добавляемы в
G. Тогда G 2-нильпотентна.
Н. Ито доказал [20], что группа нечетного порядка нильпотентна, если каждая ее подгруппа
простого порядка содержится в центре этой группы. В [9] установлено, что группа нильпотент-
на, если каждая ее подгруппа простого порядка и каждая кватернионная подгруппа порядка 4
Q-центральны. Следствие 5.4 дополняет эти результаты.
Следствие 5.4. Пусть E — нормальная подгруппа группы G. Следующие условия эквива-
лентны:
(a) E 2-нильпотентна и E/O2′(E) содержится в гиперцентре группы G/O2′(E);
(b) каждая подгруппа порядка 2 и каждая кватернионная подгруппа порядка 4 из E Q-
центральны в G;
(c) каждая подгруппа порядка 2 и каждая кватернионная подгруппа порядка 4 из E нор-
мальны в G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С СИСТЕМОЙ SE-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУПП 1235
Следствие 5.5. Пусть E — нормальная подгруппа из G. Предположим, что для каждой
нециклической силовской подгруппы P из E выполнено следующее условие: SE-добавляемыми
в G являются либо все максимальные подгруппы из P, либо все подгруппы простого порядка
и кватернионные подгруппы порядка 4 из P. Тогда E сверхразрешима и все ее G-главные
факторы циклические.
Если B ≤ G, то BsG — S-ядро подгруппы B в G, т. е. подгруппа, порожденная всеми
теми подгруппами из B, которые S-квазинормальны в G. Ясно, что BsG S-квазинормальна в
G. А. Н. Скиба называет подгруппу B S-добавляемой в G (см. [8]), если найдется подгруппа
T такая, что G = BT и B ∩ T ≤ BsG. Очевидно, S-добавляемая подгруппа является SE-
добавляемой. Поэтому из следствия 5.5 вытекает следующий результат А. Н. Скибы.
Следствие 5.6 (см. [8], теорема A). Пусть E — нормальная подгруппа группы G. Предпо-
ложим, что для каждой нециклической силовской подгруппы P из E выполняется следующее
условие: либо все максимальные подгруппы из P, либо все циклические подгруппы из P про-
стого порядка и порядка 4 S-добавляемы в G. Тогда каждый G-главный фактор подгруппы E
является циклическим.
1. Группы с ограничениями для подгрупп // Под ред. С. Н. Черникова. – Киев: Наук. думка, 1971. – 228 с.
2. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
3. Черников Н. С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. – Киев: Наук. думка, 1987. –
205 с.
4. Kegel O. Sylow-Gruppen and Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. – 1962. – 78. – S. 205 – 221.
5. Ballester-Bolinches A., Pedraza-Aguilera M. C. Sufficient conditions for supersolvability of finite groups // J. Pure
and Appl. Algebra. – 1988. – 127. – P. 113 – 118.
6. Al-Sharo Kh. A., Shemetkova O. An application of the concept of a generalized central element // Algebra and Discrete
Math. – 2007. – 4. – P. 1 – 10.
7. Skiba A. N. On the SE-core of subgroups of a finite group // Проблемы физики, математики и техники. – 2010. –
4, № 5. – С. 39 – 45.
8. Skiba A. N. On two questions of L.A. Shemetkov concerning hypercyclically embedded subgroups of finite groups //
J. Group Theory. – 2010. – 13. – P. 841 – 850.
9. Шеметкова О. Л. О конечных группах с Q-центральными элементами простого порядка // Труды Ин-та
математики (Минск). – 2008. – 16, № 1. – С. 97 – 99.
10. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.
11. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 272 c.
12. Kurzweil H., Stellmacher B. The theory of finite groups: an introduction. – New York: Springer-Verlag, 2004. – 388 p.
13. Isaacs I. Martin Finite group theory. – Rhode Island: Providence, 2008. – 350 p.
14. Huppert B. Endliche Gruppen I. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1967. – 793 S.
15. Deskins W. E. On quasinormal subgroups of finite groups // Math. Z. – 1963. – 82. – S. 125 – 132.
16. Schmid P. Subgroups permutable with all Sylow subgroups // J. Algebra. – 1998. – 82. – P. 285 – 293.
17. Shemetkova O. L. Finite groups with a system of generalized central elements // Algebra and Discrete Math. – 2004. –
4. – P. 59 – 71.
18. Al-Sharo Kh. A., Molokova E. A., Shemetkov L. A. Factorizable groups and formations // Acta Appl. Math. – 2005. –
85. – P. 3 – 10.
19. Gross F. Conjugacy of odd Hall subgroups // Bull. London Math. Soc. – 1987. – 19. – P. 311 – 319.
20. Ito N. A note on (LM)-groups of finite orders // Kodai Math. Semin. Repts. – 1951. – 1-2. – P. 1 – 6.
Получено 19.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
|