О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Рязанов, В.И., Салимов, Р.Р., Севостьянов, Е.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2013
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165634
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1254–1265. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165634
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1656342020-02-15T01:27:40Z О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. Статті 2013 Article О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1254–1265. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165634 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле Український математичний журнал
format	Article
author	Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А.
author_facet	Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А.
author_sort	Рязанов, В.И.
title	О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле
title_short	О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле
title_full	О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле
title_fullStr	О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле
title_full_unstemmed	О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле
title_sort	о классах орлича – соболева и отображениях с ограниченным интегралом дирихле
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165634
citation_txt	О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле / В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1254–1265. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT râzanovvi oklassahorličasobolevaiotobraženiâhsograničennymintegralomdirihle AT salimovrr oklassahorličasobolevaiotobraženiâhsograničennymintegralomdirihle AT sevostʹânovea oklassahorličasobolevaiotobraženiâhsograničennymintegralomdirihle
first_indexed	2025-07-14T19:16:53Z
last_indexed	2025-07-14T19:16:53Z
_version_	1837651056664772608
fulltext	УДК 517.5 В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк) О КЛАССАХ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА И ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ДИРИХЛЕ It is showed that homeomorphisms f in Rn, n ≥ 2, with finite distortion by Iwaniec of the Orlicz – Sobolev class W 1,ϕ loc , under the Calderon condition on ϕ, in particular, the Sobolev classes W 1,p loc , p > n − 1, are differentiable almost everywhere and have the Luzin (N)–property on the almost everywhere hyperplane. It allows to obtain the connection of the corresponding inverse homeomorphisms with the class of the mappings with bounded Dirichlet integral and the uniform equicontinuity and normality of the class of the inverse mappings. Показано, що гомеоморфiзми f в Rn, n ≥ 2, зi скiнченним спотворенням за Iванцем класiв Орлiча – Соболєва W 1,ϕ loc за умовою типу Кальдерона на функцiю ϕ, зокрема, класiв Соболєва W 1,p loc , p > n− 1, є диференцiйовними майже скрiзь та мають (N)-властивiсть Лузiна на майже всiх гиперплощинах. Це дозволяє довести теореми про належнiсть вiдповiдних обернених гомеоморфiзмiв до класу вiдображень з обмеженим iнтегралом Дiрiхле, а також одностайну неперервнiсть i нормальнiсть сiмей обернених вiдображень. 1. Введение. Основной целью настоящей статьи является установление связи отображений конечного искажения классов Орлича – Соболева с отображениями с ограниченным интегралом Дирихле (см., например, [1]). Основные результаты работы содержатся в пункте 4, в то время как в пунктах 2 и 3 приведены некоторые необходимые сведения из теории отображений и вспомогательные утверждения. В работах Ю. Г. Решетняка и его учеников С. К. Водопьянова, В. М. Гольдштейна и дру- гих была развита теория отображений с ограниченным искажением, которая уже давно стала классикой теории отображений (см., например, [2 – 5]). Напомним, что непрерывное отобра- жение f : U → Rn открытого множества U в Rn, n ≥ 2, называется отображением с огра- ниченным искажением, если f ∈ W 1,n loc , его якобиан Jf (x) = det f ′(x) не меняет знак в U и ‖f ′(x)‖n ≤ K\|Jf (x)\| при почти всех x ∈ U для некоторого числа K ∈ [1,∞), где f ′(x) — якобиева матрица f, ‖f ′(x)‖ — ее операторная норма: ‖f ′(x)‖ = sup \|f ′(x) · h\|, где супремум берется над всеми векторами-столбцами h в Rn единичной длины. Как известно, в последнее десятилетие интенсивно развивается теория так называемых отображений с конечным искажением. Напомним, что гомеоморфизм f : U → Rn в Rn, n ≥ 2, называется отображением с конечным искажением, если f ∈W 1,1 loc и ‖f ′(x)‖n ≤ K(x) · Jf (x) (1) для некоторой почти всюду конечной функции K(x). В дальнейшем Kf (x) обозначает наи- меньшую функцию K(x) ≥ 1 в (1), т. е. мы полагаем Kf (x) = ‖f ′(x)‖n/ Jf (x) при Jf (x) 6= 0, Kf (x) = 1 при f ′(x) = 0 и Kf (x) = ∞ в остальных точках. Впервые понятие отображения с конечным искажением введено в случае плоскости для f ∈W 1,2 loc в работе [6]. В дальнейшем это условие было заменено требованием f ∈W 1,1 loc , предполагающим дополнительно, что Jf ∈ L1 loc (см., например, [7]). Заметим, что упомянутое выше дополнительное условие Jf ∈ L1 loc излишне в случае го- меоморфизмов. Действительно, для каждого гомеоморфизма f между областями D и D ′ в Rn, c© В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2013 1254 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 О КЛАССАХ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА И ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ДИРИХЛЕ 1255 имеющего почти всюду частные производные в D, существует множество E лебеговой меры нуль такое, что f обладает (N)-свойством Лузина в D \ E и∫ A Jf (x) dm(x) = m(f(A)) для каждого измеримого по Лебегу множества A ⊂ D \E (см., например, пункты 3.1.4, 3.1.8 и 3.2.5 в [8]). Здесь и в дальнейшем D — область в Rn, n ≥ 2, m — мера Лебега Rn. Следуя Орличу, для заданной выпуклой возрастающей функции ϕ : [0,∞)→ [0,∞), ϕ(0) = = 0, обозначим символом Lϕ пространство всех функций f : D → R таких, что∫ D ϕ ( \|f(x)\| λ ) dm(x) <∞ при некотором λ > 0 (см., например, [9]). Пространство Lϕ называется пространством Орлича. Другими словами, Lϕ есть конус над классом всех функций g : D → R таких, что∫ D ϕ (\|g(x)\|) dm(x) <∞ , который называется классом Орлича. Классом Орлича – Соболева W 1,ϕ loc (D) называется класс всех локально интегрируемых функ- ций f, заданных в D, с первыми обобщенными производными по Соболеву, градиент ∇f которых локально в области D принадлежит классу Орлича. Заметим, что по определению W 1,ϕ loc ⊂ W 1,1 loc . Как обычно, мы пишем f ∈ W 1,p loc , если ϕ(t) = tp, p ≥ 1. Известно, что непрерывная функция f принадлежит классу W 1,p loc тогда и только тогда, когда f ∈ ACLp, т. е. если f локально абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных координатным осям, а первые частные производные f локально интегрируемы в степени p в области D (см., например, разд. 1.1.3 в [10]). Далее, если f — вектор-функция n вещественных переменных x1, . . . , xn, f = (f1, . . . , fm), fi ∈W 1,1 loc , i = 1, . . . ,m, G — компактная область в D и∫ G ϕ (\|∇f(x)\|) dm(x) <∞ , где \|∇f(x)\| = √∑m i=1 ∑n j=1 ( ∂fi ∂xj )2 , то мы также пишем f ∈ W 1,ϕ loc . Мы также используем обозначение W 1,ϕ loc в случае более общих функций ϕ, чем в классах Орлича, всегда предпола- гавших выпуклость функции ϕ и нормировку ϕ(0) = 0. В настоящей статье Hk, k ∈ [0,∞), обозначает k-мерную меру Хаусдорфа в Rn, n ≥ 2 (см., например, [11]). Точнее, если A — множество в Rn, то полагаем Hk(A) = sup ε>0 Hk ε (A) , Hk ε (A) = inf ∞∑ i=1 (diam (Ai)) k , (2) где diamE обозначает евклидов диаметр множества E ⊂ Rn, а инфимум в (2) берется по всем покрытиям A множествами Ai с diamAi < ε. Если Hk1(A) < ∞, то Hk2(A) = 0 для любого ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1256 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ k2 > k1 (см., например, разд. 1B гл. VII в [11]). Величина dimHA = sup Hk(A)>0 k называется хаусдорфовой размерностью множества A. 2. Теорема Кальдерона о дифференцируемости и следствия из нее. Следующий результат восходит к Кальдерону [12]. Лемма 1. Пусть Ω — открытое множество в Rk, k ≥ 2, f : Ω → R — непрерывная функция класса W 1,ϕ loc (Ω), где ϕ : [0,∞)→ [0,∞) — возрастающая функция, удовлетворяющая условию A := ∞∫ 1 [ t ϕ(t) ]1/(k−1) dt <∞ . Тогда f имеет полный дифференциал почти всюду в Ω. Следующее свойство доказано в монографии [4] для классов f ∈ W 1,p loc (см. теорему 5.5 из разд. 5.5 гл. II), и, как показывают приведенные ниже рассуждения, может быть распространено на классы Орлича – Соболева. Предложение 1. Пусть U — открытое множество в Rn и f : U → Rm, m ≥ 1, — отображение класса Орлича – Соболева W 1, ϕ loc (U), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция. Тогда для почти всех гиперплоскостей P, параллельных фиксированной координатной гиперплоскости P0, сужение отображения f на множество P ∩ U является отображением класса W 1, ϕ loc (P ∩ U). Доказательство. Прежде всего по теореме 5.5 из [4] (гл. II) f \|P ∈ W 1,1 loc на почти всех гиперплоскостях P, параллельных фиксированной координатной гиперплоскости P0. Таким образом, осталось показать, что для почти всех гиперплоскостей P, параллельных фиксированной координатной гиперплоскости P0, и произвольного компакта K ⊂ P ∩ U вы- полнено условие ∫ K ϕ (\|∇g(z)\|) dmn−1(z) <∞, где g := f \|P∩U .Не ограничивая общности рас- суждений, будем считать, что гиперплоскостьP0 образована n−1 векторами (1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1, 0) (доказательство для остальных гиперплоскостей проводится аналогично). Пусть C — произвольный сегмент, такой, что C ⊂ U, C = {x ∈ Rn : a1 < x1 < b1, . . . , an < < xn < bn}. Тогда по теореме Фубини (см., например, теорему 8.1 в [13], гл. III) получаем ∞ > ∫ C ϕ(\|∇f(x)\|)dm(x) ≥ ∫ C ϕ √(∂f1 ∂x1 (x) )2 + . . .+ ( ∂fn ∂xn−1 (x) )2  dm(x) = = bn∫ an  ∫ Pt∩C ϕ(\|∇gt(z)\|)dmn−1(z)  dt , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 О КЛАССАХ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА И ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ДИРИХЛЕ 1257 где gt(z) := f(z, t), z = (x1, . . . , xn−1) и Pt обозначает гиперплоскость, перпендикулярную n-й оси с xn = t. Отсюда следует, что для почти всех t ∈ [an, bn]∫ Pt∩C ϕ(\|∇gt(z)\|)dmn−1(z) <∞ . (3) Покроем U с помощью всех сегментов Cm, m = 1, 2, . . . , Cm = {x ∈ Rn : a (m) 1 < x1 < < b (m) 1 , . . . , a (m) n < x1 < b (m) n }, с рациональными a (m) k и b (m) k такими, что Cm ⊂ U. Пусть Gm состоит из таких чисел t ∈ (a (m) n , b (m) n ), для которых ϕ(\|∇gt(z)\|) 6∈ L1(Pt ∩ Cm)}. Для произвольного t ∈ R \ ⋃∞ m=1Gm выберем гиперплоскость Pt и произвольный компакт K ⊂ ⊂ P ∩ U. Заметим, что по доказанному выше m1 ( ⋃∞ m=1Gm) = 0 и для компакта K найдутся номера s1, . . . sk ∈ N такие, что K ⊂ ⋃k l=1Csl . По построению имеем∫ Pt∩K ϕ(\|∇gt(z)\|)dmn−1(z) ≤ k∑ l=1 ∫ Pt∩Csl ϕ(\|∇gt(z)\|)dmn−1(z) < ∞ . Таким образом, ∫ K ϕ (\|∇gt(z)\|) dmn−1(z) <∞ для почти всех гиперплоскостей Pt, параллель- ных гиперплоскости P0, и произвольного компакта K ⊂ Pt ∩ U, что и требовалось доказать. Комбинируя лемму 1 с предложением 1, получаем следующее утверждение. Следствие 1. Пусть Ω — открытое множество в Rn, n ≥ 3, и f : Ω→ R — непрерывная функция класса W 1,ϕ loc (Ω), где ϕ : [0,∞)→ [0,∞) — возрастающая функция, удовлетворяющая условию ∞∫ 1 [ t ϕ(t) ]1/(n−2) dt <∞ . (4) Тогда на почти каждой гиперплоскости, параллельной фиксированной координатной гипер- плоскости, отображение f : Ω→ R имеет почти всюду полный дифференциал. Напомним также теорему Вяйсяля – Фаделя, которая позволяет на основе теоремы Каль- дерона распространить известную теорему Меньшова – Геринга – Лехто на плоскости, а также теорему Вяйсяля в пространстве Rn, n ≥ 3, о дифференцируемости почти всюду открытых отображений классов Соболева (см., например, [14 – 17]) на открытые отображения классов Ор- лича – Соболева в Rn, n ≥ 3. Напомним, что отображение f : Ω→ Rn называется открытым, если образ любого открытого множества в Ω является открытым множеством в Rn. Предложение 2. Пусть Ω — открытое множество в Rn, n ≥ 3, и f : Ω → Rn — непрерывное открытое отображение. Если f имеет почти всюду полный дифференциал в Ω относительно n − 1 переменной в направлении каждой координатной гиперплоскости, то f имеет полный дифференциал почти всюду в Ω относительно всех n переменных. Комбинируя следствие 1 с результатом Вяйсяля – Фаделя, получаем основной результат настоящего пункта. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1258 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ Теорема 1. Пусть Ω — открытое множество в Rn, n ≥ 3, f : Ω → Rn — непрерывное открытое отображение класса W 1,ϕ loc (Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция, удовлетворяющая условию (4). Тогда отображение f имеет полный дифференциал почти всюду в Ω. Замечание 1. В частности, заключение теоремы 1 имеет место, если f ∈ W 1,p loc при неко- тором p > n − 1. Последнее утверждение — результат Вяйсяля (см. лемму 3 в [17]). Теорема 1 является также распространением в пространство известной теоремы Меньшова – Геринга – Лехто на плоскости (см., например, [15, 16]). 3. Свойства Лузина и Сарда на поверхностях. Следующий результат также принадлежит Кальдерону (см., например, [12, c 208]). Предложение 3. Пусть ϕ : [0,∞)→ [0,∞) — возрастающая функция, удовлетворяющая условию A : = ∞∫ 0 [ t ϕ(t) ]1/(k−1) dt < ∞ при некотором натуральном k ≥ 2. Предположим, что f : D → R — непрерывная функция, заданная в области D ⊂ Rk класса f ∈ W 1,ϕ(D). Тогда для каждого куба C ⊂ D, ребра которого ориентированы вдоль координатных осей, выполняется условие diam f(C) ≤ αkA(k−1)/k  ∫ C ϕ (\|∇f \|) dm(x) 1/k , (5) где αk — постоянная, зависящая только от k. Замечание 2. Функция (t/ϕ(t))1/(k−1) может иметь в нуле неинтегрируемую особенность. Однако ясно, что поведение функции ϕ вблизи нуля не существенно. Действительно, пусть A∗ : = [ 1 ϕ(1) ]1/(k−1) + ∞∫ 1 [ t ϕ(t) ]1/(k−1) dt < ∞ и ϕ∗(t) ≡ ϕ(1) при t ∈ (0, 1), ϕ∗(0) = 0 и ϕ∗(t) = ϕ(t) при t ≥ 1. Применяя предложение 3 к однопараметрическому семейству функций ϕλ(t) = ϕ(t)+λ · [ϕ∗(t)−ϕ(t)], λ ∈ [0, 1), получаем при λ→ 1 соотношение (5) с заменами A 7→ A∗ и ϕ 7→ ϕ∗. Теорема 2. Пусть Ω — открытое множество в Rk, k ≥ 2, и f : Ω → Rm, m ≥ 1, — непрерывное отображение класса W 1,ϕ(Ω), где ϕ : [0,∞)→ [0,∞) — возрастающая функция, удовлетворяющая условию A := ∞∫ 1 [ t ϕ(t) ]1/(k−1) dt <∞ . (6) Тогда для любого измеримого множества E ⊂ Ω имеет место оценка ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 О КЛАССАХ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА И ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ДИРИХЛЕ 1259 Hk(f(E)) ≤ γk,mAk−1∗ ∫ E ϕ∗ (\|∇f \|) dm(x) , (7) где γk,m = (mαk) k, αk — постоянная из предложения 3, зависящая только от k, A∗ = = A+ 1/[ϕ(1)]1/(k−1), ϕ∗(0) = 0, ϕ∗(t) ≡ ϕ(1) при t ∈ (0, 1) и ϕ∗(t) = ϕ(t) при t ≥ 1. Доказательство теоремы 2 основано на следующей лемме. Лемма 2. Пусть Ω — открытое множество в Rk, k ≥ 2, и f : Ω → Rm, m ≥ 1, — непрерывное отображение класса W 1,ϕ(Ω), где ϕ : [0,∞)→ [0,∞) — возрастающая функция, удовлетворяющая условию (6). Тогда для каждого куба C ⊂ Ω с ребрами, параллельными координатным осям, имеет место оценка diam f(C) ≤ mαk A (k−1)/k ∗  ∫ C ϕ∗ (\|∇f \|) dm(x) 1/k . (8) Доказательство. Покажем справедливость (8) индукцией поm = 1, 2, . . . . Действительно, при m = 1 соотношение (8) имеет место в силу предложения 3 и замечания 2. Предположим, что неравенство (8) справедливо при некоторомm = l, и докажем его приm = l+1. Рассмотрим произвольный вектор ~V = (v1, v2, . . . , vl, vl+1) в Rl+1, а также векторы ~V1 = (v1, v2, . . . , vl, 0) и ~V2 = (0, 0, . . . , 0, vl+1). По неравенству треугольника \|~V \| = \|~V1 + ~V2\| ≤ \|~V1\| + \|~V2\|. Таким образом, обозначая через Pr1 ~V = ~V1 и Pr2 ~V = ~V2 перпендикулярные проекции векторов из Rl+1 на координатную гиперплоскость yl+1 = 0 и на (l + 1)-ю координатную ось в Rl+1 соответственно, получаем diam f(C) ≤ diam Pr1f(C) + diam Pr2f(C), и, применяя (8) при m = l и m = 1, приходим к неравенству (8) при m = l + 1 вследствие монотонности функ- ции ϕ. Лемма 2 доказана. Доказательство теоремы 2. В силу счетной аддитивности интеграла и меры, не ограни- чивая общности рассуждений, можем считать, что множество E ограничено и E ⊂ Ω, т. е. E — компакт в Ω. Для каждого ε > 0 существует открытое множество ω ⊂ Ω такое, что E ⊂ ω и m (ω \ E) < ε (см., например, теорему III в [13]). Учитывая замечание, приведенное выше, можем считать, что ω — компакт и, следовательно, отображение f равномерно непрерывно в ω. Поэтому ω может быть покрыто счетным набором замкнутых ориентированных кубов Ci, лежащих в ω, внутренности которых попарно не пересекаются, и таких, что diam f(Ci) < δ для каждого предписанного заранее δ > 0 и m ( ⋃∞ i=1 ∂Ci) = 0. Таким образом, по лемме 2 имеем Hk δ (f(E)) ≤ Hk δ (f(ω)) ≤ ∞∑ i=1 [ diam f(Ci)] k ≤ γk,mAk−1∗ ∫ ω ϕ∗ (\|∇f \|) dm(x) . Наконец, вследствие абсолютной непрерывности неопределенного интеграла, произвольности ε и δ > 0 получаем (7). Теорема 2 доказана. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1260 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ По теореме 2 приходим к следующему заключению о свойстве Лузина отображений классов Орлича – Соболева. Следствие 2. При условиях теоремы 2 f обладает (N)-свойством Лузина, более того, отображение f абсолютно непрерывно относительно k-мерной хаусдорфовой меры. По теореме 2 (см. также теорему VII.3 в [11]) получаем дополнительно следующие заклю- чения типа Сарда для классов Орлича – Соболева. Следствие 3. При условиях теоремы 2 Hk(f(E)) = 0, если \|∇f \| = 0 на измеримом множестве E ⊂ Ω, поэтому dimH f(E) ≤ k и dim f(E) ≤ k − 1. Из следствий 2, 3 и предложения 1 вытекает следующий результат об (N)-свойстве отоб- ражений класса Орлича – Соболева на гиперплоскостях. Теорема 3. Пусть U — открытое множество в Rn, n ≥ 3, и ϕ : [0,∞) → [0,∞) — воз- растающая функция, удовлетворяющая условию (4). Тогда любое непрерывное отображение f : U → Rm, m ≥ 1, класса W 1,ϕ loc обладает (N)-свойством, более того, локально абсолютно непрерывно относительно (n− 1)-мерной хаусдорфовой меры на почти всех гиперплоскостях P, параллельных фиксированной координатной гиперплоскости P0. Кроме того, на почти всех таких P Hn−1(f(E)) = 0, если \|∇f \| = 0 на E ⊂ P. 4. Классы Орлича – Соболева и интеграл Дирихле. Приведем необходимые сведения из теории отображений с ограниченным интегралом Дирихле. Следующее определение можно найти в § 2 гл. IV [1]. Пусть D — область в Rn, n ≥ 2. Будем говорить, что непрерывное отображение f : D → Rn принадлежит классу BLn/2k в D, если f ∈W 1,1 loc и J(f,D) = ∫ D  n∑ i=1 n∑ j=1 ( ∂fi ∂xj )2 n/2 dm(x) ≤ k <∞ . (9) При этом будем говорить, что f ∈ BLn/2, если найдется k < ∞ такое, что f ∈ BL n/2 k . Напомним, что колебанием отображения f : D → Rn на множестве E ⊂ D называется величина ω(E, f) = sup x1,x2∈E \|f(x1)− f(x2)\| . Согласно § 1 гл. V в [1], отображение f : D → Rn будем называть монотонным, если для любой области G ⊂ D такой, что G ⊂ D, выполнено условие ω(G, f) = ω(∂G, f). Отметим, что, в частности, каждый гомеоморфизм f : D → Rn является монотонным отображением. Следую- щие определения можно найти в монографии [18, c. 518, 539]. Сечение фиксированной сферы S(a, r) в Rn любой гиперплоскостью, не проходящей через ее центр, будем называть малой окружностью. Очевидно, произвольная малая окружность разделяет сферу на две компоненты; та из них, которая не выходит за пределы полусферы, называется сферическим кругом. Пусть K — сферический круг. Заметим, что существует единственная точка O ∈ K, называемая цент- ром сферического круга, обладающая следующим свойством: длины дуг, соединяющих точку ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 О КЛАССАХ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА И ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ДИРИХЛЕ 1261 O с произвольной точкой сферы вдоль сферы S(a, r), постоянны. Эту длину дуги называют сферическим радиусом круга K. Следующее утверждение доказано в монографии [1, c. 120] (см. следствие в § 2 гл. IV). Предложение 4. Пусть отображение f : D → Rn принадлежит классу BLn/2. Пред- положим, что найдутся r1, r2 > 0, r1 < r2, такие, что множество S(a, r) ∩ D не пусто при всех r ∈ [r1, r2]. Обозначим через Kr открытый сферический круг сферического радиуса R(r) ≤ πr 2 , Kr ⊂ S(a, r) ∩D. Пусть почти всюду на [r1, r2] определены измеримые функции Ω(r) ≤ ω(Kr, f) и α(r) > 2R(r) πr . Тогда для каждого ε > 0 найдется r ∈ [r1, r2], для которого Ω(r) ≤ (α(r)(Mn + ε)J(f,Dr1,r2))1/n · log−1/n ( r2 r1 ) , где Dr1,r2 := ⋃ r∈[r1,r2] S(a, r) ∩D. Следующая оценка искажения расстояния в классе ∈ BLn/2 была получена в монографии [1] при n = 3. Мы приводим здесь полное доказательство этой оценки в случае произвольного n ≥ 2, так как доказательство в [1] содержало неточности. Предложение 5. Пусть f : D → Rn — монотонное отображение, принадлежащее клас- су BLn/2, точки x ′ и x ′′ ∈ D удовлетворяют условию \|x ′ − x ′′\| < 2 и, кроме того, шар B ( x ′ + x ′′ 2 , √ \|x ′ − x ′′\| 2 ) содержится в D вместе со своим замыканием. Тогда \|f(x ′)− f(x ′′)\| ≤ (2MnJ(f,D))1/n log−1/n 2 \|x ′ − x ′′\| , (10) где J(f,D) задается соотношением (9), а Mn — некоторая постоянная, зависящая только от n. Доказательство. Положим x0 := 1 2 (x ′ + x ′′), r := 1 2 \|x ′ − x ′′\|, r0 := √ r и рассмотрим сферу S(x0, t), t ∈ [r, r0]. Поскольку f непрерывно, а S(x0, t) — компакт в Rn, найдутся точки a, b ∈ S(x0, t), для которых ω(S(x0, t), f) = \|f(a)−f(b)\|.ПустьKt — сферический круг радиуса R ≤ πt/2 такой, что a и b ∈ Kt. Тогда ω(S(x0, t), f) = ω(Kt, f) вследствие непрерывности f, и по предложению 4 для каждого ε > 0 найдется r ∈ [r, r0] такое, что ω(S(x0, r), f) ≤ [α(r)(2(Mn + ε))J(f,D)]1/n · log−1/n ( 2 \|x ′ − x ′′\| ) , (11) где Mn — некоторая постоянная. Поскольку отображение f монотонно, ω(B(x0, r), f) ≤ ω(B(x0, r), f) = ω(S(x0, r), f) . (12) Заметим, что x ′, x ′′ ∈ B(x0, r) и поэтому \|f(x ′)− f(x ′′)\| ≤ ω(B(x0, r), f) . (13) Таким образом, из соотношений (11) – (13) и произвольности ε > 0 в (11) получаем неравен- ство (10). Предложение 5 доказано. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1262 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ Используемое ниже определение аппроксимативного дифференциала отображения f мож- но найти, например, в разд. 3.1.2 [8]. Пусть A — невырожденная (n × n)-матрица. Тогда ее присоединенная матрица (обозначаемая символом adjA) определяется из соотношения A · adjA = IdetA, т. е. adjA = A−1detA. Полагаем l (f ′(x)) = minh∈Rn, \|h\|=1 \|f ′(x)h\|. Внутренней дилатацией отображения f в точке x называется величина KI(x, f) = \|Jf (x)\| l (f ′(x))n , если Jf (x) 6= 0; KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) =∞ в остальных точках. Внешней дилатацией отображения f в точке x называется величина KO(x, f) = ‖f ′(x)‖n \|J(x, f)\| , если J(x, f) 6= 0; KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) =∞ в остальных точках. Одним из главных результатов настоящего пункта является следующая теорема. Теорема 4. Пусть f : D → D ′ — гомеоморфизм класса Орлича – Соболева W 1,ϕ loc с услови- ем Кальдерона (4) такой, что KO(x, f) ∈ Ln−1loc . Тогда отображение g := f −1 принадлежит классу W 1,n loc и ∫ D ′ ‖g ′(y)‖ndm(y) = ∫ D KI(x, f)dm(x) . (14) Доказательство. По теореме 1.2 в [20] отображение f обладает (N −1)-свойством. По- скольку по теореме 1 настоящей статьи отображение f дифференцируемо почти всюду, по теореме 1 в [21] Jf (x) 6= 0 при почти всех x ∈ D. Заметим, что в каждой точке x0 дифферен- цируемости отображения f с Jf (x0) 6= 0 выполнено неравенство ‖adj f ′(x0)‖ ≤ ‖f ′(x0)‖n−1 (15) (см. п. 2.1 § 1 гл. I в [2, с. 21]). Далее, по неравенству Гельдера ‖∂if‖Ln−1(C) ≤ ‖Kf‖ 1/n Ln−1(C) (m(f(C)))1/n <∞ , (16) где C — произвольный компакт в области D. Из (15) и (16) следует, что ‖adj f ′(x)‖ ∈ L1 loc. Кроме того, согласно следствию 2 отображение f обладает (N)-свойством на почти всех ги- перплоскостях. Следовательно, f −1 ∈ W 1,1 loc (f(D)) по теореме 1 в [19]. Теперь для того, что- бы показать включение f −1 ∈ W 1,n(D ′), достаточно проверить, что ‖g ′(y)‖n ∈ L1(D), т. е.∫ D ′ ‖g ′(y)‖n dm(y) <∞, где g := f −1 (см. теорему 2 из разд. 1.1.3 в [10]). Поскольку, как было установлено, g ∈ W 1,1 loc (D ′), при почти всех y ∈ D ′ отображение g имеет обычные частные производные (см. теорему 1 из разд. 1.1.3 в [10]), вследствие чего g ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 О КЛАССАХ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА И ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ДИРИХЛЕ 1263 почти всюду аппроксимативно дифференцируемо (см. теорему 3.1.4 в [8]). Так как g является отображением с конечным искажением (см. теорему 1 в [19]), якобиева матрица g ′(y) нулевая при почти всех y таких, что Jg(y) = 0; таким образом, ‖g ′(y)‖n = Kg(y) ·Jg(y) при почти всех y ∈ D ′ (согласно теории интеграла 0 · ∞ = 0, см. § 3 гл. I в [13]). Обозначим через B (борелево) множество всех точек y ∈ D ′, где отображение g имеет обычные частные производные и Jg(y) = det g ′(y) 6= 0. По теореме 3.1.8 из [8] множество B может быть разбито на не более чем счетное число борелевских множеств Bl, l = 1, 2, . . . , таких, что отображение gl = g\|Bl является липшицевым. По теореме Кирсбрауна (см. теорему 2.10.43 в [8]) каждое отображение gl может быть продолжено до липшицевого отображения g̃l : Rn → Rn, при этом по теореме Радемахера – Степанова g̃l дифференцируемо почти всюду в Rn (см. теорему 3.1.6 в [8]), и в силу единственности аппроксимативного дифференциала (см. разд. 3.1.2 в [8]) можно считать, что при всех y ∈ Bl выполнено равенство g̃l ′(y) = g ′(y). Также можно считать, что g̃l — однолистные (взаимно однозначные) на Bl (см., например, лемму 3.2.2 в [8]) и множества Bl попарно не пересекаются. Применяя теорему 3.2.5 из [8] на Bl, l = 1, 2, . . . , суммируя по всем Bl и учитывая (N −1)- свойство отображения f, получаем∫ D ′ ‖g ′(y)‖n dm(y) = ∫ D ′ Kg(y) · Jg(y) dm(y) = = ∫ D ′ Kg(g −1(g(y))) · Jg(y) dm(y) = ∫ f −1(D ′) Kg ( g−1(x) ) dm(x) . (17) Отметим, что согласно введенным обозначениям g ′(g−1(x)) = g′(f(x)) и по теореме 4 из гл. VIII § 3 в [22] g′(f(x)) = (f ′(x))−1 в каждой точке x дифференцируемости и невырожденности отображения f. Значит, при почти всех x ∈ D ‖g ′ (f(x)) ‖ = 1 l (f ′(x)) , Jg (f(x)) = 1 Jf (x) (18) (см. теорему 2.1 и соотношения (2.4) – (2.7) из п. 2.1 § 1 гл. I [2]). Таким образом, из (17) и (18) получаем (14). Теорема 4 доказана. Следствие 4. При условиях теоремы 4∫ D ′ ‖g ′(y)‖ndm(y) ≤ ∫ D Kn−1 O (x, f)dm(x) . (19) Доказательство вытекает из теоремы 4 и известного неравенства KI(x, f) ≤ Kn−1 O (x, f) в произвольной точке x ∈ D дифференцируемости отображения f с Jf (x) 6= 0 (см. п. 2.1 гл. I в [2]). Следствие 5. В частности, равенство (14) и неравенство (19) имеют место, если f ∈ ∈W 1,p loc при p > n− 1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1264 В. И. РЯЗАНОВ, Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ Доказательство. Достаточно выбрать в теореме 4 и следствии 4 функцию ϕ = tp, p > n−1. Для произвольных областей D ⊂ Rn иD ′ ⊂ Rn обозначим символомOϕQ(D,D ′) семейство всех гомеоморфизмов f : D → D ′, f(D) = D ′, с конечным искажением класса Орлича – Собо- лева W 1,ϕ loc таких, что и Kn−1 O (x, f) ≤ Q(x) почти всюду. Заметим, что при почти всех x ∈ D n∑ i=1 n∑ j=1 ( ∂gi ∂yj )2 n/2 ≤ nn/2 ‖g ′(y)‖n , (20) поэтому из (19) вытекает следующее утверждение. Следствие 6. Пусть f ∈ OϕQ(D,D ′) — гомеоморфизм с конечным искажением, при этом выполнено условие Кальдерона (4) и, кроме того, Q ∈ L1(D). Тогда отображение g := f −1 принадлежит классу BLn/2 в D ′ и ∫ D ′  n∑ i=1 n∑ j=1 ( ∂gi ∂yj (y) )2 n/2 dm(y) ≤ C(D,Q, n) <∞ , где постоянная C(D,Q, n) зависит только от размерности пространства n и L1-нормы функции Q в D. Более того, для любой точки y0 ∈ D ′ найдется δ > 0, δ < dist (y0, D ′), такое, что для всех x ′, x ′′ ∈ B(y0, δ) и отображений g таких, что g−1 = f ∈ OϕQ(D,D ′), выполнено неравенство \|g(x ′)− g(x ′′)\| ≤ C0(D,Q, n) log−1/n 2 \|x ′ − x ′′\| , (21) где постоянная C0(D,Q, n) зависит только от n и L1-нормы Q в D. Доказательство. Из неравенств (19) и (20) следует, что ∫ D ′  n∑ i=1 n∑ j=1 ( ∂gi ∂yj )2 n/2 dm(y) ≤ nn/2 ∫ D Q(x) dm(x) <∞ . (22) Значит, g := f −1 ∈ BLn/2(D ′). Соотношение (21), выполненное с некоторой постоянной C0(D,Q, n) <∞ (зависящей только от размерности пространства n и L1-нормы функции Q в D), следует из (22) на основе предложения 5. Из оценки (21) вытекает следующее важное следствие. Следствие 7. В условиях следствия 6 семейство всех отображений g = f −1 таких, что f ∈ OϕQ(D,D ′), образует равностепенно непрерывное, а следовательно, и нормальное семейство отображений. 1. Суворов Г. Д. Обобщенный принцип длины и площади в теории отображений. – Киев: Наук. думка, 1985. – 280 с. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 О КЛАССАХ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА И ОТОБРАЖЕНИЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ДИРИХЛЕ 1265 2. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982. – 286 с. 3. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Пространства Соболева и специальные классы отображений. – Новоси- бирск: Новосиб. гос. ун-т, 1981. – 72 с. 4. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазикон- формные отображения. – Новосибирск: Наука, 1983. – 284 с. 5. Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и с конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. – 1999. – 40, № 4. – С. 764 – 804. 6. Iwaniec T., Sverák V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. – 1993. – 118. – P. 181 – 188. 7. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001. – 552 p. 8. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987. – 760 с. 9. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. – М.: Физматгиз, 1958. – 271 с. 10. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. – Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1985. – 416 с. 11. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948. – 165 p. 12. Calderon A. P. On the differentiability of absolutely continuous functions // Riv. mat. Univ. Parma. – 1951. – 2. – P. 203 – 213. 13. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949. – 494 с. 14. Fadell A. G. A note on a theorem of Gehring and Lehto // Proc. Amer. Math. Soc. – 1975. – 49. – P. 195 – 198. 15. Gehring F. W., Lehto O. On the total differentiability of functions of a complex variable // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. – 1959. – 272. – P. 3 – 8. 16. Menchoff D. Sur les differencelles totales des fonctions univalentes // Math. Ann. – 1931. – 105. – P. 75 – 85. 17. Väisälä J. Two new characterizations for quasiconformality // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. – 1965. – 362. – P. 1 – 12. 18. Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая. Геометрия. – М.: Физматгиз, 1963. – 568 с. 19. Водопьянов С. К. Отображения с конечным коискажением и классы функций Соболева // Докл. АН. – 2008. – 440, № 3. – С. 301 – 305. 20. Koskela P., Maly J. Mappings of finite distortion: The zero set of Jacobian // J. Eur. Math. Soc. – 2003. – 5, № 2. – P. 95 – 105. 21. Пономарев С. П. N −1-свойство отображений и условие (N) Лузина // Мат. заметки. – 1995. – 58, вып. 3. – С. 411 – 418. 22. Зорич В. А. Математический анализ. – М.: Наука, 1981. – Ч. I. – 544 с. Получено 26.06.12 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9

О классах Орлича – Соболева и отображениях с ограниченным интегралом Дирихле

Institution

Ähnliche Einträge