Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками
Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных дифференциальных уравнений.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165635 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1266–1275. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165635 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656352020-02-15T01:26:39Z Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками Слюсарчук, В.Ю. Статті Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных дифференциальных уравнений. We obtain conditions for the absolute instability of trivial solutions of the nonlinear differential equations. 2013 Article Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1266–1275. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165635 517.929 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Слюсарчук, В.Ю. Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками Український математичний журнал |
| description |
Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных дифференциальных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками |
| title_short |
Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками |
| title_full |
Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками |
| title_fullStr |
Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками |
| title_full_unstemmed |
Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками |
| title_sort |
диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165635 |
| citation_txt |
Диференціальні рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв’язками / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 9. — С. 1266–1275. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû diferencíalʹnírívnânnâzabsolûtnonestíjkiminulʹovimirozvâzkami |
| first_indexed |
2025-07-14T19:17:02Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:17:02Z |
| _version_ |
1837651072585302016 |
| fulltext |
УДК 517.929
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ
З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ
We obtain conditions for the absolute instability of the trivial solutions of nonlinear differential equations.
Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных дифференциальных уравнений.
1. Основнi позначення й об’єкт дослiджень. Нехай R+ — множина всiх дiйсних невiд’ємних
чисел, N — множина всiх натуральних чисел, E — комплексний банаховий простiр нескiнченної
розмiрностi з нормою ‖ · ‖E i L(X1, X2) — банаховий простiр усiх лiнiйних неперервних
операторiв A : X1 → X2 з нормою ‖A‖L(X1,X2) = sup‖x‖X1
=1 ‖Ax‖X2 (X1 i X2 — довiльнi
банаховi простори).
Позначимо через K алгебру цiлком неперервних операторiв K ∈ L(E,E), а через F клас
усiх неперервних вiдображень F : R+ × E → E, кожне з яких задовольняє такi умови:
1) для деякої неперервної функцiї L : R+ → R+, що залежить вiд F, та всiх x1, x2 ∈ E i
t ∈ R+
‖F (t, x1)− F (t, x2)‖E 6 L(t)‖x1 − x2‖E ; (1)
2) iснують неперервнi неспадна функцiя ϕ : R+ → R+ i вiдображення K : R+ → K, залежнi
вiд F , для яких
ϕ(0) = 0 (2)
i
‖F (t, x)‖E 6 ϕ (‖K(t)x‖E) (3)
для всiх (t, x) ∈ R+ × E.
Очевидно, що на пiдставi (2) i (3)
F (t, 0) ≡ 0
для кожного F ∈ F.
Розглянемо диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
= Ax(t) + F (t, x(t)), t ∈ R+, (4)
де A ∈ L(E,E) i F ∈ F.
Завдяки вимогам до розглянутих вище операторiв для кожних числа t0 ∈ R+ i вектора
x0 ∈ E рiвняння (4) має єдиний залежний вiд t0 i x0 розв’язок x = x(t, t0, x0), що задовольняє
початкову умову
x(t0, t0, x0) = x0.
Очевидно, що x(t, t0, 0) ≡ 0.
Метою статтi є встановлення умов нестiйкостi нульового розв’язку рiвняння (4) одночасно
для всiх вiдображень F ∈ F.
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2013
1266 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 1267
Нагадаємо, що нульовий розв’язок рiвняння (4) називається нестiйким, якщо iснує таке
число a > 0, що для кожного як завгодно малого числа δ > 0 для деяких вектора x0 ∈ E i
числа T > 0 справджуються спiввiдношення
‖x0‖E < δ
i
‖x(T, 0, x0)‖E > a.
Нульовий розв’язок рiвняння (4) будемо називати абсолютно нестiйким по вiдношенню до
вiдображень F ∈ F, якщо цей розв’язок нестiйкий для кожного вiдображення F ∈ F.
2. Формулювання основного результату. Позначимо через σess.a(A) iстотно апроксима-
тивний спектр оператора A (означення та деякi властивостi цього спектра наведемо в наступ-
ному пунктi), а через C+ множину {z ∈ C : Re z > 0}.
Справджується таке твердження.
Теорема 1. Нехай σess.a(A) ∩ C+ 6= ∅. Тодi нульовий розв’язок рiвняння (4) абсолютно
нестiйкий по вiдношенню до вiдображень F ∈ F.
Доведення наведемо пiсля розгляду допомiжних результатiв.
3. Допомiжнi результати. Наведемо потрiбнi для подальшого данi про iстотно апроксима-
тивний спектр лiнiйного неперервного оператора та про зображення розв’язкiв рiвняння (4).
3.1. Iстотно апроксимативний спектр оператора. Обмежену послiдовнiсть (yn) векто-
рiв простору E називатимемо iстотно розбiжною, якщо вона не мiстить збiжних пiдпослi-
довностей. Множина таких послiдовностей не є порожньою завдяки нескiнченнiй розмiрностi
простору E i, як наслiдок, некомпактностi кожної кулi радiуса R > 0 цього простору [1, с. 235].
Нехай Ω — довiльна пiдмножина простору E i diam Ω — її дiаметр, визначений рiвнiстю
diam Ω = sup {‖x− y‖ : x, y ∈ Ω},
який для необмеженого Ω вважається рiвним нескiнченностi, а для порожнього Ω — нулю.
Для обмеженої множини Ω мiрою некомпактностi (див. [2, с. 7; 3, с. 321]) називається
число
α(Ω) = inf
{
d : iснує скiнченне число пiдмножин Ω1, . . . ,Ωn простору E,
для яких diam Ω1 6 d, . . . ,diam Ωn 6 d i Ω ⊂
n⋃
i=1
Ωi
}
.
Iстотно апроксимативним спектром оператора A ∈ L(E,E) називається множина
σess.a(A) ⊂ σ(A) (σ(A) — спектр оператора A), для кожної точки λ якої iснує така iстотно
розбiжна послiдовнiсть (xn) елементiв простору E, що
lim
n→∞
‖(A− λI)xn‖E = 0.
Наведемо деякi властивостi iстотно апроксимативного спектра оператора за допомогою
наступних теорем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1268 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Теорема 2 [4, с. 241]. У випадку dim E =∞ для кожного оператора A ∈ L(E,E) iстот-
но апроксимативний спектр σess.a(A) є непорожньою компактною множиною.
Теорема 3 [5]. Наступнi твердження рiвносильнi:
1) λ ∈ σess.a(A);
2) iснує обмежена множина B ⊂ E, для якої α(B) > 0 i α((A− λI)B) = 0;
3) dim ker(A− λI) =∞ або Im(A− λI) 6= Im(A− λI).
Теорема 4 [5]. Кожна гранична не внутрiшня точка спектра σ(A) є точкою iстотно
апроксимативного спектра σess.a(A).
Теорема 5 [5]. Для довiльних числа λ ∈ σess.a(A) i вiдносно компактної множини B цiлком
неперервних операторiв K ∈ L(E,E1) (E1 — банаховий простiр) iснує iстотно розбiжна по-
слiдовнiсть (xn) векторiв простору E, для якої
lim
n→∞
(
‖(A− λI)xn‖E + sup
K∈B
‖Kxn‖E1
)
= 0.
Теорема 6 [6, с. 47]. Нехай A — лiнiйний неперервний оператор, що дiє в комплексному
банаховому просторi E i f — локально голоморфна на σ(A) функцiя.
Тодi
σess.a(f(A)) = f(σess.a(A)).
3.2. Зображення розв’язкiв диференцiального рiвняння (4) . Зафiксуємо довiльнi число
t0 ∈ R+, вектор x0 ∈ E i вiдображення F ∈ F.
Розглянемо задачу
dx(t)
dt
= Ax(t) + F (t, x(t)), t ∈ R+,
x(t0) = x0.
(5)
Ця задача має єдиний розв’язок x = x(t, t0, x0) (див., наприклад, [7, с. 46; 8, с. 392 – 394]), який
можна подати у виглядi
x(t, t0, x0) = x0(t) +
∞∑
n=0
(xn+1(t)− xn(t)), (6)
де
x0(t) = e(t−t0)Ax0
i
xn+1(t) = e(t−t0)Ax0 +
t∫
t0
e(t−s)AF (s, xn(s)) ds, n > 0. (7)
У цьому легко переконатися, якщо врахувати, що розв’язки задачi (5) та iнтегрального рiвняння
x(t) = e(t−t0)Ax0 +
t∫
t0
e(t−s)AF (s, x(s)) ds, t ∈ R+,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 1269
збiгаються мiж собою [8] i для членiв ряду в рiвностi (6) завдяки (1) i (7) для кожного числа
T > 0 виконується спiввiдношення
‖xn+1(t)− xn(t)‖E 6
Mn+1|t− t0|n+1
(n+ 1)!
eT‖A‖L(E,E)‖x0‖E ,
t ∈ [t0 − T, t0 + T ] ∩ R+, n > 0,
в якому
M = eT‖A‖L(E,E) sup
s∈[t0−T,t0+T ]∩R+
L(s). (8)
4. Доведення теореми 1. Нехай µ — один iз елементiв множини σess.a(A) ∩ C+ i ε — до-
вiльне додатне число, менше за одиницю. Iснує таке додатне число T (ε), що
εeT (ε)Re µ = 2. (9)
За теоремою 6
eT (ε)µ ∈ σess.a(eT (ε)A).
Тому для деякої iстотно розбiжної послiдовностi нормованих векторiв am ∈ E, m > 1, справ-
джується спiввiдношення
lim
m→∞
∥∥∥eT (ε)Aam − eT (ε)µam∥∥∥
E
= 0. (10)
Далi будемо розглядати задачу
dx(t)
dt
= Ax(t) + F (t, x(t)), t ∈ [0, T (ε)],
x(0) = εam,
(11)
де F — довiльний фiксований елемент множини F.
Визначимо функцiї xn(t, 0, εam), n > 0, за допомогою спiввiдношень
x0(t, 0, εam) = etAεam (12)
i
xn+1(t, 0, εam) = etAεam +
t∫
0
e(t−s)AF (s, xn(s, 0, εam)) ds, n > 0. (13)
Згiдно з п. 3.2 розв’язок x(t, 0, εam) задачi (11) можна подати у виглядi
x(t, 0, εam) = etAεam +
∞∑
n=0
(xn+1(t, 0, εam)− xn(t, 0, εam)) (14)
i
‖xn+1(t, 0, εam)− xn(t, 0, εam)‖E 6
Mn+1(T (ε))n+1
(n+ 1)!
eT (ε)‖A‖L(E,E)ε‖am‖E , (15)
де M — число, визначене рiвнiстю (8) при T = T (ε), i t ∈ [0, T (ε)].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1270 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Розглянемо множину
{
K(s)esA : s ∈ [0, T (ε)]
}
, елементами якої є лiнiйнi цiлком неперервнi
оператори, що дiють у просторi E. Завдяки неперервнiй залежностi вiд s на [0, T (ε)] оператор-
них функцiй K(s) i esA ця множина є компактною в L(E,E). Тому на пiдставi теореми 5 для
деякої iстотно розбiжної послiдовностi нормованих векторiв (bm) буде виконуватися спiввiд-
ношення
lim
m→∞
sup
s∈[0,T (ε)]
∥∥K(s)esAεbm
∥∥
E
= 0. (16)
Не порушуючи загальностi, можна вважати (на пiдставi теореми 5), що
bm = am, m > 1. (17)
Покажемо, що для кожного n > 0
lim
m→∞
sup
t∈[0,T (ε)]
‖xn+1(t, 0, εam)− xn(t, 0, εam)‖E = 0. (18)
Це спiввiдношення випливає з того, що для кожного n > 0 функцiю xn+1(t, 0, εam) можна
записати у виглядi
xn+1(t, 0, εam) = etAεam + ϕn,m(t), (19)
де ϕn,m : [0, T (ε)]→ E — неперервна функцiя, для якої
lim
m→∞
sup
t∈[0,T (ε)]
‖ϕn,m(t)‖E = 0. (20)
Справдi, на пiдставi (12) i (13) для n = 0
x1(t, 0, εam) = etAεam +
t∫
0
e(t−s)AF
(
s, esAεam
)
ds.
Оскiльки завдяки (3)
sup
t∈[0,T (ε)]
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
e(t−s)AF
(
s, esAεam
)
ds
∥∥∥∥∥∥
E
6
T (ε)∫
0
eT (ε)‖A‖L(E,E)ϕ
(∥∥K(s)esAεam
∥∥
E
)
ds 6
6 T (ε)eT (ε)‖A‖L(E,E) sup
s∈[0,T (ε)]
ϕ
(∥∥K(s)esAεam
∥∥
E
)
=
= T (ε)eT (ε)‖A‖L(E,E)ϕ
(
sup
s∈[0,T (ε)]
∥∥K(s)esAεam
∥∥
E
)
(тут використано те, що функцiя ϕ : R+ → R+ є неперервною i неспадною), то на пiдставi (2),
(16) та (17)
lim
m→∞
sup
t∈[0,T (ε)]
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
e(t−s)AF
(
s, esAεam
)
ds
∥∥∥∥∥∥
E
= 0
i, отже, виконуються спiввiдношення (19) i (20) при n = 0, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 1271
ϕ0,m(t) =
t∫
0
e(t−s)AF
(
s, esAεam
)
ds.
Далi використаємо метод математичної iндукцiї. Припустимо, що рiвнiсть (19) справджу-
ється при n = k. Покажемо, що ця рiвнiсть справджується i при n = k+1. Звiдси випливатимуть
спiввiдношення (19) i (20).
На пiдставi (13) i (19) при n = k маємо
xk+2(t, 0, εam) = etAεam +
t∫
0
e(t−s)AF
(
s, esAεam + ϕk,m(s)
)
ds.
Оскiльки завдяки (3) та властивостям функцiї ϕ
sup
t∈[0,T (ε)]
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
e(t−s)AF
(
s, esAεam + ϕk,m(s)
)
ds
∥∥∥∥∥∥
E
6
6
T (ε)∫
0
eT (ε)‖A‖L(E,E) sup
t∈[0,T (ε)]
ϕ
(∥∥K(t)etAεam +K(t)ϕk,m(t)
∥∥
E
)
ds =
=
T (ε)∫
0
eT (ε)‖A‖L(E,E)ϕ
(
sup
t∈[0,T (ε)]
∥∥K(t)etAεam +K(t)ϕk,m(t)
∥∥
E
)
ds 6
6
T (ε)∫
0
eT (ε)‖A‖L(E,E)ϕ
(
sup
t∈[0,T (ε)]
∥∥K(t)etAεam
∥∥
E
+ sup
t∈[0,T (ε)]
‖K(t)ϕk,m(t)‖E
)
ds 6
6 T (ε)eT (ε)‖A‖L(E,E)ϕ
(
sup
t∈[0,T (ε)]
∥∥K(t)etAεam
∥∥
E
+ sup
t∈[0,T (ε)]
‖K(t)‖E sup
t∈[0,T (ε)]
‖ϕk,m(t)‖E
)
,
то на пiдставi (2), (16), обмеженостi K(t) на [0, T (ε)] та виконання спiввiдношення (20) при
n = k справджуються спiввiдношення (19) i (20) при n = k + 1. У цьому випадку
ϕk+1,m(t) =
t∫
0
e(t−s)AF
(
s, esAεam + ϕk,m(s)
)
ds.
Таким чином, спiввiдношення (19) i (20) виконуються при всiх n > 0.
Оскiльки на пiдставi (19)
xn+1(t, 0, εam)− xn(t, 0, εam) =
ϕ0,m(t), якщо n = 0,
ϕn,m(t)− ϕn−1,m(t), якщо n > 1,
то завдяки (20) виконується спiввiдношення (18). Звiдси, з (14) та (15) випливає, що
lim
m→∞
∥∥∥x(T (ε), 0, εam)− eT (ε)Aεam
∥∥∥
E
= 0. (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1272 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Оскiльки завдяки (9)
‖x(T (ε), 0, εam)− 2‖E =
∣∣∣∥∥∥x(T (ε), 0, εam)− εeT (ε)Re µ
∥∥∥
E
∣∣∣ =
=
∣∣∣‖x(T (ε), 0, εam)‖E −
∣∣∣eT (ε)µ∣∣∣ ε‖am‖E∣∣∣ =
∣∣∣‖x(T (ε), 0, εam)‖E −
∥∥∥eT (ε)µεam∥∥∥
E
∣∣∣ 6
6
∥∥∥x(T (ε), 0, εam)− eT (ε)µεam
∥∥∥
E
6
∥∥∥x(T (ε), 0, εam)− eT (ε)Aεam
∥∥∥
E
+
+
∥∥∥eT (ε)Aεam − eT (ε)µεam∥∥∥
E
,
то на пiдставi (10) i (21)
lim
m→∞
‖x(T (ε), 0, εam)‖E = 2.
Це спiввiдношення, довiльнiсть числа ε ∈ (0, 1) та те, що ‖am‖E = 1, m > 1, означає нестiй-
кiсть нульового розв’язку рiвняння (4).
Теорему 1 доведено.
5. Застосування теореми 1. Наведемо один аналог теореми про нестiйкiсть за першим
наближенням.
Розглянемо нелiнiйне диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
= Ax(t) +G(t, x(t)), t ∈ R+, (22)
де A : E → E — лiнiйний неперервний оператор i G : R+ × E → E — неперервний оператор,
що задовольняє такi умови:
1) для деякої додатної сталої N
sup
t∈R+
‖G(t, x1)−G(t, x2)‖E 6 N‖x1 − x2‖E , x1, x2 ∈ E; (23)
2) G(t, 0) ≡ 0.
Очевидно, що завдяки вимогам до оператора G рiвняння (22) має нульовий розв’язок.
Справджується наступне твердження.
Теорема 7. Нехай:
1) σ(A) ∩ {z : Re z > 0} 6= ∅;
2) для деякої неперервної й обмеженої на R+ функцiї K(t) зi значеннями в алгебрi K цiлком
неперервних операторiв K ∈ L(E,E) виконується спiввiдношення
‖G(t, x)‖E 6 ‖K(t)x‖E
для всiх (t, x) ∈ R+ × E.
Тодi для достатньо малого числа
Q = sup
t∈R+
‖K(t)‖L(E,E)
нульовий розв’язок рiвняння (22) є нестiйким.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 1273
Зауваження 1. У сформульованiй теоремi алгебру K цiлком неперервних операторiв K ∈
∈ L(E,E) не можна замiнити алгеброю L(E,E). Нульовий розв’язок рiвняння (22) може стати
експоненцiально стiйким [9].
Теорема 7 є наслiдком теореми 1 та наступного твердження.
Теорема 8. Нехай:
1) iснує таке число r > 0, що σ(A) ∩ {z : Re z = r} = ∅ i σ(A) ∩ {z : Re z > r} 6= ∅;
2) iснують такi числа q ∈ (0, N ] i ρ > 0, що supt∈R+
‖G(t, x)‖E 6 q‖x‖E , ‖x‖E 6 ρ.
Тодi для достатньо малого числа q нульовий розв’язок рiвняння (22) є нестiйким.
Теорема 8 у випадку r = 0 випливає з теореми 3.1 монографiї [7, с. 65]. Теорему 8 у випадку
r > 0 отримано автором у [10, с. 37].
Доведення теореми 7. Розглянемо число γ = maxz∈σ(A) Re z > 0. Очевидно, що σ(A) ∩
∩ {z : Re z = r} = ∅ для деякого r ∈ [0, γ) або σ(A) ∩ {z : Re z = r} 6= ∅ для всiх r ∈ [0, γ).
У першому випадку з теореми 8 випливає нестiйкiсть нульового розв’язку рiвняння (22) при
достатньо малому Q. У другому випадку завдяки теоремi 4 σess.a(A) ∩ C+ 6= ∅. Тому за
теоремою 1 нульовий розв’язок рiвняння (22) також є нестiйким (у цьому випадку Q може
бути довiльним).
Теорему 7 доведено.
Зауваження 2. Оператор G, що задовольняє умову 2 теореми 7, може не бути цiлком
неперервним, що пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад. Розглянемо оператор, що визначається формулою
G(t, x) = ‖Kx‖E sgn x, (t, x) ∈ R+ × E, (24)
де K — ненульовий цiлком неперервний елемент простору L(E,E) i
sgn x =
‖x‖
−1
E x, якщо x ∈ E \ {0},
0, якщо x = 0.
Цей оператор не є цiлком неперервним. Справдi, розглянемо довiльнi вектор a ∈ E такий,
що
‖a‖E = 2 (25)
i
Ka 6= 0, (26)
та iстотно розбiжну послiдовнiсть нормованих векторiв xn, n > 1, для якої
lim
n→∞
‖Kxn‖E = 0. (27)
Для цiєї послiдовностi
lim
k→∞
inf
m>n>k
‖xn − xm‖E > 0. (28)
Далi розглянемо обмежену послiдовнiсть (a + xn). Покажемо, що послiдовнiсть
(
‖K(a +
+ xn)‖E sgn(a+ xn)
)
не мiстить збiжних пiдпослiдовностей.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1274 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Припустимо, що iснує збiжна пiдпослiдовнiсть
(
‖K(a+ xnk
)‖E sgn (a+ xnk
)
)
послiдов-
ностi (‖K(a+ xn)‖E sgn(a+ xn)). Тодi
lim
k1,k2→∞
∥∥∥∥∥∥K(a+ xnk1
)
∥∥∥
E
sgn(a+ xnk1
)−
∥∥∥K(a+ xnk2
)
∥∥∥
E
sgn(a+ xnk2
)
∥∥∥
E
= 0.
Iз цього спiввiдношення, (26) та (27) випливає, що
lim
k1,k2→∞
∥∥∥sgn(a+ xnk1
)− sgn(a+ xnk2
)
∥∥∥
E
= 0,
тобто
lim
k1,k2→∞
∥∥∥∥∥∥∥a+ xnk1
∥∥∥−1
E
(a+ xnk1
)−
∥∥∥a+ xnk2
∥∥∥−1
E
(a+ xnk2
)
∥∥∥∥
E
= 0. (29)
Оскiльки послiдовнiсть
(
‖a+ xnk
‖−1E
)
числова й обмежена, то iснує збiжна пiдпослiдов-
нiсть цiєї послiдовностi. Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що сама послiдовнiсть(
‖a+ xnk
‖−1E
)
є збiжною. Завдяки (25) її границею є деяке додатне число. Звiдси та з (29)
отримуємо, що
lim
k1,k2→∞
∥∥∥(a+ xnk1
)− (a+ xnk2
)
∥∥∥
E
= 0.
Тому
lim
k1,k2→∞
∥∥∥xnk1
− xnk2
∥∥∥
E
= 0,
що суперечить (28).
Таким чином, припущення про iснування збiжної пiдпослiдовностi послiдовностi
(‖K(a+ xn)‖E sgn(a+ xn)) є хибним. Тому оператор G не є цiлком неперервним.
Для оператора G також виконується спiввiдношення (23). Справдi, якщо використати не-
рiвнiсть
‖sgn x1 − sgn x2‖E 6
2‖x1 − x2‖E
max{‖x1‖E , ‖x2‖E}
,
що справджується для x1, x2 ∈ E\{0} (див. [11, c. 20]), то одержуємо наступнi спiввiдношення.
Якщо ‖x1‖E > ‖x2‖E > 0, то∥∥‖Kx1‖E sgn x1 − ‖Kx2‖E sgn x2
∥∥
E
=
=
∥∥(‖Kx1‖E sgn x1 − ‖Kx1‖E sgn x2) + (‖Kx1‖E sgn x2 − ‖Kx2‖E sgn x2)
∥∥
E
6
6
∥∥‖Kx1‖E sgn x1 − ‖Kx1‖E sgn x2
∥∥
E
+
∥∥‖Kx1‖E sgn x2 − ‖Kx2‖E sgn x2
∥∥
E
=
= ‖Kx1‖E‖sgn x1 − sgn x2‖E +
∣∣‖Kx1‖E − ‖Kx2‖E∣∣ 6
6 ‖K‖L(E,E)‖x1‖E
2‖x1 − x2‖E
max{‖x1‖E , ‖x2‖E}
+ ‖K‖L(E,E)‖x1 − x2‖E =
= 2‖K‖L(E,E)‖x1 − x2‖E + ‖K‖L(E,E)‖x1 − x2‖E = 3‖K‖L(E,E)‖x1 − x2‖E .
Аналогiчнi спiввiдношення отримуємо у випадку ‖x2‖E > ‖x1‖E > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 1275
Якщо x1 6= 0 i x2 = 0, то∥∥‖Kx1‖E sgn x1 − ‖Kx2‖E sgn x2
∥∥
E
=
=
∥∥‖Kx1‖E sgn x1
∥∥
E
= ‖Kx1‖E 6 ‖K‖L(E,E)‖x1‖E = ‖K‖L(E,E)‖x1 − x2‖E .
Аналогiчнi спiввiдношення одержуємо у випадку x1 = 0 i x2 6= 0.
Отже, для оператора G, що визначається формулою (24), спiввiдношення (23) виконується,
якщо N = 3‖K‖L(E,E).
6. Узагальнення теореми 1. Розглянемо диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
= Ax(t) +
n∑
k=1
Fk(t, x(t)), t ∈ R+, (30)
де A ∈ L(E,E), n ∈ N i Fk ∈ F, k = 1, n, окремим випадком якого є рiвняння (4).
За допомогою методу доведення теореми 1 можна показати, що справджується наступне
твердження.
Теорема 9. Нехай σess.a(A)∩C+ 6= ∅. Тодi нульовий розв’язок рiвняння (30) є абсолютно
нестiйким по вiдношенню до вiдображень Fk ∈ F, k = 1, n.
1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968. –
496 с.
2. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов А. С., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Меры некомпактности и
уплотняющие операторы. – Новосибирск: Наука, 1986. – 266 с.
3. Клемент Ф., Хейманс Х., Ангенент С., ван Дуйн К., де Пахтер В. Однопараметрические полугруппы. – М.:
Мир, 1992. – 352 с.
4. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. – Рiвне: Рiвнен. держ. ун-т вод. госп-ва
та природокористування, 2003. – 288 с.
5. Слюсарчук В. Е. Существенно неустойчивые решения разностных уравнений // Укр. мат. журн. – 1999. – 51,
№ 12. – С. 1659 – 1672.
6. Слюсарчук В. Ю. Рiвняння з iстотно нестiйкими розв’язками. – Рiвне: Укр. держ. ун-т вод. госп-ва та природо-
користування, 2005. – 217 с.
7. Крейн М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1964. – 187 с.
8. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. –
М.: Наука, 1970. – 535 с.
9. Слюсарчук В. Е. К вопросу о неустойчивости систем по первому приближению // Мат. заметки. – 1978. – 23,
№ 5. – С. 721 – 723.
10. Слюсарчук В. Е. Устойчивость решений разностных уравнений в банаховом пространстве: Дис. . . . канд. физ.-
мат. наук. – Черновцы, 1972. – 91 с.
11. Массера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. – М.: Мир,
1970. – 456 с.
Одержано 02.08.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
|