Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w

У встановленому Луї де Бранжем у 1959 р. критерії поліноміальної щільності у просторі C⁰w вимогу існування цілої функції замінено еквівалентною вимогою існування послідовності многочленів. Уведено поняття строгої компактності поліноміальних множин та встановлено достатні умови існування цієї властив...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Бакан, А.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165639
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w / А.Г. Бакан // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 3. — С. 305–319. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165639
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1656392020-02-16T01:26:21Z Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w Бакан, А.Г. Статті У встановленому Луї де Бранжем у 1959 р. критерії поліноміальної щільності у просторі C⁰w вимогу існування цілої функції замінено еквівалентною вимогою існування послідовності многочленів. Уведено поняття строгої компактності поліноміальних множин та встановлено достатні умови існування цієї властивості. In the criterion for polynomial denseness in the space C⁰w established by de Brange in 1959, we replace the requirement of the existence of an entire function by an equivalent requirement of the existence of a polynomial sequence. We introduce the notion of strict compactness of polynomial sets and establish sufficient conditions for a polynomial family to possess this property. 2005 Article Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w / А.Г. Бакан // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 3. — С. 305–319. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165639 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Бакан, А.Г. Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w Український математичний журнал
description	У встановленому Луї де Бранжем у 1959 р. критерії поліноміальної щільності у просторі C⁰w вимогу існування цілої функції замінено еквівалентною вимогою існування послідовності многочленів. Уведено поняття строгої компактності поліноміальних множин та встановлено достатні умови існування цієї властивості.
format	Article
author	Бакан, А.Г.
author_facet	Бакан, А.Г.
author_sort	Бакан, А.Г.
title	Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w
title_short	Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w
title_full	Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w
title_fullStr	Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w
title_full_unstemmed	Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w
title_sort	полиномиальный вид условий луи де бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве c⁰w
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165639
citation_txt	Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w / А.Г. Бакан // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 3. — С. 305–319. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT bakanag polinomialʹnyjviduslovijluidebranžaplotnostialgebraičeskihmnogočlenovvprostranstvec0w
first_indexed	2025-07-14T19:17:43Z
last_indexed	2025-07-14T19:17:43Z
_version_	1837651108268343296
fulltext	UDK 517.5 A. H. Bakan (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA PLOTNOSTY ALHEBRAYÇESKYX MNOHOÇLENOV V PROSTRANSTVE Cw 0 In the criterion for polynomial denseness in the space Cw 0 established by de Brange in 1959, we replace the requirement of the existence of an entire function by an equivalent requirement of the existence of a polynomial sequence. We introduce the notion of strict compactness of polynomial sets and establish sufficient conditions for a polynomial family to possess this property. U vstanovlenomu Lu] de BranΩem u 1959 r. kryteri] polinomial\no] wil\nosti u prostori Cw 0 vymohu isnuvannq cilo] funkci] zamineno ekvivalentnog vymohog isnuvannq poslidovnosti mno- hoçleniv. Uvedeno ponqttq stroho] kompaktnosti polinomial\nyx mnoΩyn ta vstanovleno dostatni umovy isnuvannq ci[] vlastyvosti. 1. Predvarytel\n¥e svedenyq y osnovnoj rezul\tat. Pust\ C ( R ) obozna- çaet lynejnoe prostranstvo vsex dejstvytel\noznaçn¥x y neprer¥vn¥x na R funkcyj, Pn ( R ) — mnoΩestvo vsex alhebrayçeskyx mnohoçlenov s dejstvy- tel\n¥my koπffycyentamy stepeny ne v¥ße n, hde n ∈ Z+ : = { 0, 1, 2, … } , y P ( R ) : = Pnn ( )R≥0∪ . Nosytelem proyzvol\noj funkcyy F : R R→ budem naz¥vat\ mnoΩestvo SF : = { }( )x F x∈ ≠R 0 , a mnoΩestvo vsex nulej nekoto- roj celoj funkcyy B budem oboznaçat\ ΛB . Napomnym, çto funkcyq MF ( x ) : = : = limδ↓0 sup ( , )y x x∈ − +δ δ F ( y ) naz¥vaetsq verxnej funkcyej Bπra dlq funkcyy F (sm. [1, c. 185; 2, c. 122]). Nakonec, pust\ N : = { 1, 2, … } , Z : = { … , – 2, – 1, 0, 1, 2, … } y χA ( x ) — yndykatornaq funkcyq mnoΩestva A ⊆ R, ravnaq71, es- ly x ∈ A, y 0 — v protyvnom sluçae. Dlq proyzvol\noj funkcyy w : [ , ]R → 0 1 rassmotrym polunormyrovannoe prostranstvo Cw 0 : = f C w x f x x w∈ =      ⋅   →∞ ( ) lim ( ) ( ) ,R 0 , hde f w : = sup ( ) ( )x w x f x∈R . V 1958 h. S. N. Merhelqn [3, c. 121] zametyl, çto vesov¥e svojstva proyzvol\- noj funkcyy w : [ , ]R → 0 1 ne yzmenqtsq, esly ee zamenyt\ na verxngg funk- cyg Bπra M xw( ) . Druhymy slovamy [4, c. 611], polunormyrovann¥e prostranst- va Cw 0 y CMw 0 toΩdestvenno sovpadagt. Sledovatel\no, bez ohranyçenyq obw- nosty moΩno rassmatryvat\ tol\ko poluneprer¥vn¥e sverxu (pn.7sv.) vesov¥e funkcyy w, t. e. te, dlq kotor¥x ymeet mesto sootnoßenye w ( x ) = M xw( ) ∀ x ∈ R. V 1924 h. S. N. Bernßtejn [5] sformulyroval problemu o naxoΩdenyy uslovyj na ves w, pry kotor¥x alhebrayçeskye mnohoçlen¥ plotn¥ v prost- ranstve Cw 0 . S toho vremeny πta problema y ee razlyçn¥e obobwenyq yssledo- valys\ vo mnohyx rabotax, hde b¥la v¥qvlena ee vaΩnost\ y ustanovlena ee tes- naq svqz\ s rqdom hlubokyx voprosov obwej teoryy funkcyj (sm. [3, 6 – 9]). Oboznaçym çerez W ∗( )R mnoΩestvo pn. sv. funkcyj w : [ , )R → + ∞0 , udovletvorqgwyx uslovyg xn w < ∞ dlq vsex n ∈ Z+ . Yz yzloΩennoho v¥- © A. H. BAKAN, 2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 305 306 A. H. BAKAN ße qsno, çto v probleme S. N. Bernßtejna bez ohranyçenyq obwnosty moΩno predpolahat\, çto vesovaq funkcyq w prynadleΩyt klassu W ∗( )R . V na- stoqwee vremq yzvestno neskol\ko reßenyj πtoj problem¥: N. Y. Axyezera y S. N. Bernßtejna (1947 h.) [10], S. N. Merhelqna (1958 h.) [3] y Luy de BranΩa (1959 h.) [11]. V 1996 h. teorema Luy de BranΩa [11] b¥la uluçßena M.7Sodyn¥m y P. Gdytskym [12] y formulyruetsq teper\ tak. Teorema.A. Pust\ dlq w ∈ ∗W ( )R mnoΩestvo Sw : = { }( )x w x∈ >R 0 qvlqetsq neohranyçenn¥m. Alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw 0 tohda y tol\ko tohda, kohda suwestvuet takaq celaq funkcyq B ne v¥ße per- voho porqdka y nulevoho typa, çto vse ee nuly ΛB prost¥e y vewestvenn¥e, ΛB ⊆ Sw y λ λ λ∈ ∑ ′ΛB w B 1 ( ) ( ) < ∞ . (1) Cel\g nastoqwej stat\y qvlqetsq poluçenye πkvyvalentnoho (1) uslovyq, kotoroe b¥ vmesto celoj funkcyy B soderΩalo mnohoçlen¥. Dlq πtoho samo uslovye (1) neobxodymo vnaçale nemnoho modyfycyrovat\. Napomnym (sm. [13, c. 113]), çto celaq funkcyq ne v¥ße pervoho porqdka y normal\noho typa naz¥vaetsq celoj funkcyej koneçnoj stepeny, a celaq funk- cyq porqdka men\ßeho edynyc¥ yly pervoho porqdka, no mynymal\noho typa — celoj funkcyej nulevoj stepeny. V 1944 h. H. Hamburher [14] vvel klass H ce- l¥x funkcyj f, kotor¥e ymegt tol\ko prost¥e y dejstvytel\n¥e nuly y udov- letvorqgt sledugwym dvum uslovyqm: a) çysla ′f ( )λ , λ ∈Λ f , stremqtsq k beskoneçnosty pry λ → ∞ b¥stree, çem lgbaq stepennaq funkcyq ot λ ; b) pry kaΩdom z f∈C \ Λ ymeet mesto absolgtno sxodqweesq razloΩenye 1 f z( ) = λ λ λ∈ ∑ ′ −Λ f f z 1 ( )( ) . Esly celaq funkcyq B udovletvorqet uslovyqm teorem¥7A, to, prymenqq teoremu Frahmen – Lyndelefa (sm. [15, c. 208, 12, c. 221, (3)]), ubeΩdaemsq, çto B prynadleΩyt H. Esly Ωe celaq funkcyq B prynadleΩyt H y dlq neko- toroho w ∈ ∗W ( )R udovletvorqet uslovyg (1), to sohlasno teoreme M.7H. Krej- na (sm. [13, c. 333]) B — celaq funkcyq koneçnoj stepeny, a sohlasno lemme71 v [15, c. 202] ymegt mesto ravenstva λ λ λ∈ ∑ ′ΛB n B ( ) = 0 ∀ n ∈ Z+ . Poπtomu zarqd µ (sm. opredelenye 16.1 v [1, c. 51]) d µ ( x ) : = λ λδ λ∈ ∑ ′ΛB x B ( ) ( ) , x ∈ R , hde δλ oboznaçaet obobwennug funkcyg Dyraka v toçke λ, opredelqet na prostranstve Cw 0 lynejn¥j neprer¥vn¥j funkcyonal f x d x( ) ( )µ R ∫ , f Cw∈ 0 , s normoj (sm. [4, c. 612]) w x d x( ) ( )−∫ 1 R µ = λ λ λ∈ ∑ ′ΛB w B 1 ( ) ( ) < ∞ , y πtot funkcyonal raven nulg na vsex stepenn¥x funkcyqx xn, n ∈ Z+ . Poπtomu v πtom sluçae alhebrayçeskye polynom¥ ne plotn¥ v Cw 0 . Takym obra- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 307 zom, dostatoçnoe uslovye v teoreme7A moΩno oslabyt\, trebuq suwestvovanye takoj funkcyy B ∈ H, çto ΛB wS⊆ y v¥polnqetsq neravenstvo (1). PredpoloΩym teper\, çto v¥polnqgtsq dostatoçn¥e uslovyq teorem¥7A. Esly 0 ∈Sw , to moΩno sçytat\, çto 0 ∈ΛB , tak kak v sluçae 0 ∉ΛB neraven- stvu (1) budet udovletvorqt\ takΩe y funkcyq z B ( z ) . V¥delyv mnoΩytel\ z yz funkcyy B ( z ) , neravenstvo (1) posle pereoboznaçenyj zamenym πkvyvalent- n¥m λ λ λ λ∈ ∑ ′ΛB w B 1 ( ) ( ) < ∞ , hde moΩno sçytat\ B ( 0 ) = 1. Esly Ωe 0 ∉Sw , to nul\ ne moΩet b¥t\ nulem funkcyy B, y poπtomu uslovye B ( 0 ) = 1 moΩno predpolahat\ v¥polnenn¥m neposredstvenno v neravenstve (1). Takym obrazom, vvodq çyslo σ χ: ( ) { , }= ∈Sw 0 0 1 , m¥ moΩem v teoreme7A do- bavyt\ uslovye B ( 0 ) = 1, a osnovnoe neravenstvo (1) perepysat\ sledugwym obrazom: λ σλ λ λ∈ ∑ ′ΛB w B 1 ( ) ( ) < ∞ . (2) Y, nakonec, tak kak celaq funkcyq B v neravenstve (2) ymeet koneçnug ste- pen\, to pokazatel\ sxodymosty ee nulej ne bol\ße edynyc¥ y, znaçyt, λ λ∈ ∑ ΛB 1 2 < + ∞ . Poπtomu πto neravenstvo moΩet b¥t\ prybavleno k (2) s soxranenyem utverΩde- nyq teorem¥7A. V rezul\tate m¥ pryxodym k sledugwej modyfycyrovannoj formulyrovke teorem¥7A. Teorema.A* . Pust\ dlq w ∈ ∗W ( )R mnoΩestvo Sw : = { }( )x w x∈ >R 0 qvlqetsq neohranyçenn¥m. Oboznaçym σ χ: ( ) { , }= ∈Sw 0 0 1 . 1. Esly alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw 0 , to suwestvuet celaq funkcyq B nulevoj stepeny, kotoraq ravna edynyce v nule: B( )0 1= , ymeet vse prost¥e y vewestvenn¥e korny ΛB ⊆ Sw y udovletvorqet neraven- stvu λ λ∈ ∑ ΛB 1 2 + λ σλ λ λ∈ ∑ ′ΛB w B 1 ( ) ( ) < ∞ . (3) 2. Esly suwestvuet celaq funkcyq B ∈H , dlq kotoroj B( )0 1= , Λ B ⊆ ⊆ Sw , y ymeet mesto neravenstvo (3), to alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw 0 . Pust\ P ∗( )R oboznaçaet mnoΩestvo mnohoçlenov P ∈P( )R , vse nuly koto- r¥x prost¥e y vewestvenn¥e y dlq kotor¥x P( )0 1= . Zametym, çto dlq lgboho P ∈ ∗P ( )R : ′ − ′′P P( ) ( )0 02 = λ λ∈ ∑ ΛP 1 2 . Osnovn¥m rezul\tatom rabot¥ qvlqetsq sledugwaq teorema. Teorema.1. Pust\ dlq w ∈ ∗W ( )R mnoΩestvo Sw : = { }( )x w x∈ >R 0 qvlqetsq neohranyçenn¥m. Oboznaçym σ χ: ( ) { , }= ∈Sw 0 0 1 . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 308 A. H. BAKAN Alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw 0 tohda y tol\ko tohda, kohda lim inf ( ) ( ) ( ) ( )( ) , degn P P n SP w P P P w P→∞ = = ⊂ ∈ ′ − ′′ + ′      ∑ 0 1 20 0 1 Λ Λλ σλ λ λ < ∞ . (4) V p.72 dokazano, çto celaq funkcyq B, udovletvorqgwaq neravenstvu (3), ymeet posledovatel\nost\ polynomyal\n¥x delytelej, na kotor¥x realyzuetsq nyΩnyj predel v neravenstve (4). Obratno, esly neravenstvo (4) v¥polnqetsq, to v pp.73.3 pokazano, çto yz lgboj posledovatel\nosty mnohoçlenov, dlq koto- r¥x v¥raΩenye v kvadratn¥x skobkax levoj çasty neravenstva (4) ravnomerno ohranyçeno y stepeny kotor¥x stremqtsq k beskoneçnosty, moΩno yzvleç\ pod- posledovatel\nost\, kotoraq na kaΩdom kompaktnom podmnoΩestve C budet ravnomerno sxodyt\sq k celoj funkcyy B ∈H , udovletvorqgwej neravenstvu (3) y B( )0 1= , ΛB ⊆ Sw . Takym obrazom, uslovye (4) predstavlqet soboj ynug, polynomyal\nug formu uslovyq de BranΩa (3). Razlyçye meΩdu πtymy dvumq uslovyqmy sostoyt v tom, çto trebovanye suwestvovanyq celoj funkcyy, udov- letvorqgwej neravenstvu (3), zamenqetsq uslovyem koneçnosty nyΩneho prede- la pry n → ∞ znaçenyj koneçnomern¥x πkstremal\n¥x zadaç vyda inf ( ) /−∞< < <…< < +∞ = = − = ≠ ∑ ∑ ∏ + −             x x x kk n k n k k m m k n k mn x w x x x x1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 σ , n ≥ 1, (5) hde predpolahaetsq 1 0/ := + ∞ . Poπtomu vvydu uΩe ukazannoho rezul\tata pp.73.3 uslovye (4) moΩet rassmatryvat\sq kak odyn yz konstruktyvn¥x putej naxoΩdenyq celoj funkcyy B v teoreme7A* . Dlq system¥ uzlov¥x toçek x : x x xn1 2< <…< oboznaçym çerez l xk ( ), x ∈ ∈ R , 1 ≤ k ≤ n, fundamental\n¥e mnohoçlen¥ LahranΩa l xk ( ) : = ω ω n n k k x x x x ( ) ( )( )′ − , ωn x( ) : = k n kx x = ∏ − 1 ( ). Napomnym, çto tohda funkcyq λx x( ) : = l xk k n ( ) = ∑ 1 naz¥vaetsq funkcyej Lebeha, sootvetstvugwej systeme uzlov x (sm. [2, c. 512]). Netrudno ubedyt\sq, çto pry kaΩdom natural\nom n ≥ 2 πkstremal\- nug zadaçu (5) moΩno predstavyt\ v sledugwem vyde: inf ( ) ( ) x kk n k n k k k x w x x l 1 1 02 1 1= = ∑ ∑+      σ . (6) Esly uzl¥ x raspoloΩen¥ na koneçnom yntervale [ , ]a b , to zadaça yzuçenyq sootvetstvugwej x konstant¥ Lebeha λn x a b, [ , ]( ) : = max ( ) [ , ]x a b k n kl x ∈ = ∑ 1 tak Ωe, kak y zadaça opredelenyq optymal\noj system¥ uzlov x∗ na [ , ]a b : ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 309 λn x a b∗( ), [ , ] = inf max ( ) [ , ]x x a b k n kl x ∈ = ∑ 1 , davno yzvestna y b¥la predmetom yzuçenyq v rabotax H. Fabera, S. N. Bern- ßtejna, P. ∏rdeßa, H. ∏xlyça, K. Cellera, T. Ryvlyna, E. Çejny, K. de Bura, A.7Pynkusa, T. Kylhora, V. K. Dzqd¥ka, V. V. Yvanova y V. K. Zadyraky (sm. [16]). Po sravnenyg s πtymy zadaçamy, hde uΩe razrabotan¥ dostatoçno πffektyvn¥e metod¥ yssledovanyq, v πkstremal\noj zadaçe (6) vmesto maksymuma funkcyy Lebeha fyhuryruet znaçenye v nule „vzveßennoj” funkcyy Lebeha, a koneçn¥j ynterval zamenen na vsg prqmug za sçet dobavlenyq kvadrata l2-norm¥ ve- lyçyn, obratn¥x znaçenyqm uzlov. Takaq zadaça, po-vydymomu, qvlqetsq novoj, y poluçenye ee reßenyq xotq b¥ dlq odnoho vesa w ∈ ∗W ( )R predstavlqet so- boj otkr¥tug problemu. 2. Dokazatel\stvo neobxodymosty utverΩdenyq teorem¥.1. Pust\ alheb- rayçeskye mnohoçlen¥ P( )R ne plotn¥ v Cw 0 . Tohda prymenyma teorema7A* , sohlasno kotoroj suwestvuet celaq funkcyq B nulevoj stepeny, udovletvo- rqgwaq vsem uslovyqm p.71 teorem¥7A* . 2.1. PredpoloΩym, çto mnoΩestvo nulej ΛB funkcyy B ohranyçeno lybo snyzu, lybo sverxu. Zamena v (3) w ( x ) na w ( – x ) y B ( z ) na B ( – z ) pozvolqet sçytat\ bez ohranyçenyq obwnosty, çto mnoΩestvo ΛB ohranyçeno snyzu. Pust\ { }λn n N≥ − , N ∈ Z+ , — vse πlement¥ ΛB , zanumerovann¥e v porqdke voz- rastanyq, pryçem λ0 0> . Poskol\ku B qvlqetsq celoj funkcyej nulevoj stepeny, sohlasno teoremam Adamara [13, c. 38] y Lyndelefa [13, c. 42] λnn N≥ − −∑ < ∞1 y mnohoçlen¥ P zn( ) : = k N n k z = − ∏ −    1 λ , n ∈ Z+ , sxodqtsq k B ( z ) ravnomerno na kaΩdom kompakte v C. Najdem çyslo N∗ +∈Z tak, çtob¥ λ λ− ≥ −∑ <N kk m 1 1 dlq proyzvol\no- ho m N≥ ∗, esly N ≥ 1, y poloΩym N∗ = 0 , esly N = 0 . Zafyksyruem proyz- vol\noe n N≥ ∗ y pust\ x n∈ +[ , )λ λ0 1 . Poskol\ku B ( x ) = P x x n k n k ( ) ≥ + ∏ −   1 1 λ y 0 < x / λk < 1 dlq vsex k ≥ n + 1, to B x( ) ≤ P xn( ) ∀ ∈ +x n[ , )λ λ0 1 . Teper\ dlq proyzvol\noho çysla 0 ≤ m ≤ n voz\mem nekotor¥j x ∈ ∈ [ , ) { }\λ λ λ0 1n m+ y razdelym poslednee neravenstvo na poloΩytel\noe çyslo x m− λ : B x x m ( ) − λ ≤ P x x n m ( ) − λ ∀ ∈ +x n m[ , ) { }\λ λ λ0 1 , 0 ≤ m ≤ n . Perexodq k predelu pry x m→ λ , x m≠ λ , poluçaem ′B m( )λ ≤ ′Pn m( )λ , 0 ≤ m ≤ n . (7) Esly N ≥ 1, to pry 1 ≤ m ≤ N y x m∈ −( , )λ 0 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 310 A. H. BAKAN B x( ) = P x x n k n k ( ) ≥ + ∏ +   1 1 λ ≤ P x en N kk n( ) ( )λ λ− − ≥ +∑ 1 1 ≤ e P xn( ) , otkuda posle delenyq na poloΩytel\noe çyslo x m− −λ y perexoda k predelu pry x m→ −λ ymeem ′ −B m( )λ ≤ e Pn m′ −( )λ , 1 ≤ m < N . (8) Neravenstva (7) y (8) dagt vozmoΩnost\ sdelat\ v¥vod o tom, çto dlq kaΩdoho n N≥ ∗ ′ − ′′ + ′∈ ∑P P w P n n nP ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 12 λ σλ λ λΛ ≤ λ λ σλ λ λ λ∈ ∈ ∑ ∑+ ′Λ ΛB B e e w B2 ( ) ( ) < ∞ , y, znaçyt, neravenstvo (4) v¥polnqetsq. 2.2. Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda mnoΩestvo ΛB neohranyçeno y sver- xu y snyzu. Pust\ Λ B : = { } { }λ λk k l l≥ − ≥−0 1∪ , hde 0 1< < +λ λk k , 0 1 2< <− − − −λ λk k ∀ ∈ +k Z . Poskol\ku B ( z ) qvlqetsq celoj funkcyej koneçnoj stepeny, sohlasno teo- reme Adamara [13, c. 38] λλ − ∈∑ < ∞2 ΛB y dlq z ∈ C, R , a ∈ R, R ≥ ≥ max{ , }λ λ0 1− B ( z ) = e z ea z z Bλ λ λ∈ ∏ −    Λ 1 / = e Q z B z a z R R B R R+∑( )− ∈ − λλ 1 Λ ∩[ , ] ( ) ( ), (9) hde Q zR( ) : = λ λ∈ − ∏ −    ΛB R R z ∩[ , ] 1 , B zR( ) : = λ λ λ∈ − ∏ −    ΛB R R zz e \ [ , ] /1 , y funkcyq B zR( ) sxodytsq pry R → + ∞ k 1 ravnomerno na lgbom kompakte C. Pry πtom esly porqdok funkcyy B ( z ) men\ße edynyc¥, sohlasno teoreme Adamara [13, c. 38] λλ − ∈∑ < ∞1 ΛB y a + λ λ∈ ∑ ΛB 1 = 0. Esly Ωe porqdok funkcyy B ( z ) raven edynyce, to sohlasno teoreme Lyndele- fa [13, c. 42] a R R RB + → +∞ ∈ − ∑lim [ , ]λ λΛ ∩ 1 = 0. V oboyx sluçaqx verno poslednee ravenstvo y, znaçyt, suwestvuet takaq vozras- tagwaq k beskoneçnosty posledovatel\nost\ poloΩytel\n¥x çysel { }Rp p∈N, çto a p R RB p p + →∞ ∈ − ∑lim [ , ]λ λΛ ∩ 1 = 0. (10) Vvydu (9) πto oznaçaet, çto posledovatel\nost\ mnohoçlenov { }QR pp ∈N pry p → ∞ sxodytsq k B ( z ) ravnomerno na lgbom kompaktnom podmnoΩestve C. Dlq proyzvol\noho natural\noho p vvedem sledugwye oboznaçenyq: n p+( ) : = max k Rk p≥ ≤{ }0 λ , n p−( ) : = max l Rl p≥ ≤{ }−1 λ . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 311 Lehko vydet\, çto ΛB p pR R∩ [ , ]− = { } { }( ) ( )λ λk k n p l l n p0 1≤ ≤ − ≤ ≤+ − −∪ , (11) lim ( ) p n p →∞ + = lim ( ) p n p →∞ − = ∞ , y mnohoçlen Q zRp ( ) moΩno zapysat\ v vyde Q zRp ( ) : = k n p k l n p l z z = = − + − ∏ ∏−    +   0 1 1 1 ( ) ( ) λ λ , p ≥ 1. Poπtomu dlq proyzvol\n¥x n ∈ Z+ , m ∈ N y dostatoçno bol\ßyx p ≥ 1 budem ymet\ Q zRp ( ) : = k n k l m l k n n p k l m n p l z z z z = = − = + = + − ∏ ∏ ∏ ∏−    +    −    +    + − 0 1 1 1 1 1 1 1 λ λ λ λ ( ) ( ) , otkuda s pomow\g predel\noho perexoda pry p → ∞ dlq proyzvol\noho z ∈ C poluçym B ( z ) = k n k l m l n m z z z = = − ∏ ∏−    +   0 1 1 1 λ λ R , ( ), (12) hde R n m z, ( ) : = lim ( ) ( ) p k n n p k l m n p l z z →∞ = + = + − + − ∏ ∏−    +          1 1 1 1 λ λ . Yspol\zovav yzvestnoe neravenstvo log( )1+ x ≤ x ∀ x > – 1, lehko polu- çyt\ 0 < R n m x, ( ) ≤ e xS n m− ( , ) ∀ x ∈ ( ),− − − +λ λm n1 1 , n ∈ Z0 , m ∈ N , (13) hde v sylu (10) S ( n, m ) : = lim ( ) ( ) p k n n p k l m n p l→∞ = + = + − + − ∏ ∏−       1 1 1 1 λ λ = l m l k n k a = − = ∑ ∑− − 1 0 1 1 λ λ . (14) Poπtomu B x( ) ≤ �n m xS n mx e, ( , )( ) − ∀ x ∈ ( ),− − − +λ λm n1 1 , n ∈ Z0 , m ∈ N , (15) hde �n m z, ( ) : = k n k l m l z z = = − ∏ ∏−    +   0 1 1 1 λ λ . Razdelyv (15) na poloΩytel\noe çyslo x − λ pry nekotor¥x λ ∈ ∈ ΛB m n∩ ( , )− − − +λ λ1 1 y x ∈ ( , ) { }\− − − +λ λ λm n1 1 y perejdq zatem k predelu pry x → λ , budem ymet\ ′B ( )λ ≤ ′ −�n m S n me, ( , )( )λ λ (16) ∀ λ ∈ ΛB m n∩ [ , ]− −λ λ = Λ� n m, , n ∈ Z0 , m ∈ N . 2.2.1. Teper\ po proyzvol\nomu natural\nomu çyslu p opredelym paru çy- sel np ∈ +Z y mp ∈N sledugwym obrazom. Vvedem oboznaçenyq S rp +( ) : = S n p r n p+ −+( )( ) , ( ) ; S rp −( ) : = S n p n p r+ − +( )( ), ( ) , p ∈ N , r ∈ +Z , y dlq proyzvol\noho p ∈ N rassmotrym try vozmoΩn¥x sluçaq. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 312 A. H. BAKAN 2.2.1a. Pust\ Sp +( )0 = 0. PoloΩym np : = n p+( ) , m p : = n p−( ). Tohda yz neravenstva (16) ymeem ′B ( )λ ≤ ′� n mp p, ( )λ ∀ λ ∈ ΛB m np p ∩ [ , ]− −λ λ = Λ� n mp p, . (17) 2.2.1b. PredpoloΩym, çto Sp +( )0 > 0. Poskol\ku v sylu (14) S rp +( ) = 1 1 1 0λ λ−= = +− + ∑ ∑− − ll n p kk n p r a ( ) ( ) , r ∈ +Z , posledovatel\nost\ S rp r + ∈{ } + ( ) Z stroho ub¥vaet ot Sp +( )0 > 0 do lim ( ) r pS r →∞ + = lim ( ) ( ) q ll n p kk n q a →∞ −= = − + ∑ ∑− −     1 1 1 0λ λ = = lim ( ) ( ) ( ) ( ) q ll n p n q ll n q kk n q a →∞ −= + −= = − + − −    − + − + ∑ ∑ ∑1 1 1 1 1 0λ λ λ = ( )10 – 1 1 λ−≥ +− ∑ ll n p( ) ∈ [ – ∞ , 0 ) . Poπtomu suwestvuet takoj rp + +∈Z , çto S rp p + ++( )1 ≤ 0 < S rp p + +( ), (18) pryçem S rp p + ++( )1 = S rp p r n pp + + + +− + + ( ) / ( ) 1 1 λ . PoloΩym v πtom sluçae np : = : = 1+ ++ +r n pp ( ) , m p : = n p−( ). S uçetom ravenstv S n mp p( , ) = S rp p + ++( )1 y S n mp p( , ) = S rp p r n pp + + + +− + + ( ) / ( ) 1 1 λ poluçaem e xS n mp p− ( , ) ≤ 1 0 0 1 1 ∀ ≤ − +       ≤ ∀ ∈      + + + + + + + + + + x xS r x e xp p r n p r n p p p , exp ( ) , , ( ) ( ) [ ] λ λ y, znaçyt, neravenstvo (16) v πtom sluçae moΩno perepysat\ v vyde ′B ( )λ ≤ e n mp p ′� , ( )λ ∀ λ ∈ ΛB m np p ∩ [ , ]− −λ λ = Λ� n mp p, . (19) 2.2.1v. PredpoloΩym teper\, çto Sp +( )0 < 0. Poskol\ku Sp +( )0 = Sp −( )0 , to Sp −( )0 < 0 y poπtomu posledovatel\nost\ S rp −( ) = 1 1 1 0λ λ−= + = − + ∑ ∑− − ll n p r kk n p a ( ) ( ) , r ≥ 0, stroho vozrastaet ot Sp −( )0 < 0 do lim ( ) r pS r →∞ − = lim ( ) ( ) q ll n q kk n p a →∞ −= = − + ∑ ∑− −     1 1 1 0λ λ = = lim ( ) ( ) ( ) ( ) q kk n p n q ll n q kk n q a →∞ = + −= =+ + − + ∑ ∑ ∑+ − −     1 1 1 1 1 0λ λ λ = ( )10 1 1 λkk n p≥ ++ ∑ ( ) ∈ ( 0, + ∞ ] . Poπtomu suwestvuet takoj rp − +∈Z , çto S rp p − −( ) < 0 ≤ S rp p − −+( )1 , (20) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 313 pryçem S rp p − −+( )1 = S rp p r n pp − − − + ++ − − ( ) / ( ( )) 1 1 λ . PoloΩym v πtom sluçae np : = : = n p+( ) , m p : = 1+ +− −r n pp ( ). S uçetom ravenstv S n mp p( , ) = S rp p − −+( )1 y S n mp p( , ) = S rp p r n pp − − − + ++ − − ( ) / ( ( )) 1 1 λ poluçaem e xS n mp p− ( , ) ≤ exp ( ) , , , ( ( )) ( ( )) [ ]− −       ≤ ∀ ∈ − ∀ ≥      − − − + + − + + − − − − xS r x e x x p p r n p r n p p pλ λ 1 1 0 1 0 y poπtomu neravenstvo (16) v dannom sluçae moΩet b¥t\ zapysano v vyde (19). 2.2.2. Takym obrazom, dlq postroennoj posledovatel\nosty mnohoçlenov �p z( ) : = �n mp p z, ( ) = k n k l m l p p z z = = − ∏ ∏−    +   0 1 1 1 λ λ , p ∈ N , v¥polnqgtsq neravenstva ′B ( )λ ≤ e p′� ( )λ ∀ λ ∈ ΛB m np p ∩ [ , ]− −λ λ = Λ�p , p ∈ N . (21) Teper\ zametym, çto vo vsex sluçaqx 2.2.1a, 2.2.1b y 2.2.1v np ≥ n+ ( p ) , mp ≥ ≥ n– ( p ) , y poπtomu vvydu (11) çysla np , mp tak Ωe, kak y deg �p = 1 + np + mp , stremqtsq k beskoneçnosty pry p → ∞ . Krome toho, dlq lgboho p ∈ N ′ − ′′ + ′∈ ∑� � �� p p pw p ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 12 λ λ λσ λ Λ ≤ λ λ σλ λ λ λ∈ ∈ ∑ ∑+ ′Λ ΛB B e e w B2 ( ) ( ) < ∞ , y, sledovatel\no, neravenstvo (4) v¥polnqetsq. Neobxodymost\ utverΩdenyq teorem¥71 dokazana. 3. Stroho kompaktn¥e mnoΩestva mnohoçlenov y dokazatel\stvo dos- tatoçnosty utverΩdenyq teorem¥.1. Dlq dokazatel\stva dostatoçnosty ut- verΩdenyq teorem¥71 nam ponadobytsq rqd vspomohatel\n¥x, no ymegwyx sa- mostoqtel\noe znaçenye rezul\tatov o svojstvax podmnoΩestv polynomyal\no- ho semejstva P ∗( )R . 3.1. Opredelenye strohoj kompaktnosty. DokaΩem vnaçale sledugwyj kryteryj kompaktnosty, kotor¥j utoçnqet lemmu71 v [13, c. 423] (hl.8, §1) dlq sluçaq, kohda rassmatryvaemoe polynomyal\noe mnoΩestvo soderΩytsq v P ∗( )R . Lemma.1. Polynomyal\noe mnoΩestvo G ⊂ ∗P ( )R qvlqetsq kompaktn¥m 1 tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnen¥ sledugwye uslovyq: a) λ1( )G : = sup P G P ∈ ∈ ∑ λ λΛ 1 < ∞ ; b) λ2( )G : = sup P G P ∈ ∈ ∑ λ λΛ 1 2 < ∞ . Zdes\ predpolahaetsq, çto λ ∈∅∑ : = 0. Dokazatel\stvo. Esly mnoΩestvo G kompaktno, to sohlasno teoreme Montelq (sm. [18, c. 368], hl. 4, §1) ono qvlqetsq ravnomerno ohranyçenn¥m v C, 1 MnoΩestvo cel¥x funkcyj naz¥vaetsq kompaktn¥m (sm. [17, c. 228], hl. 4, §12), esly yz kaΩ- doj posledovatel\nosty funkcyj πtoho mnoΩestva moΩno yzvleç\ podposledovatel\nost\, sxodqwugsq ravnomerno na lgbom kompaktnom podmnoΩestve C. Dlq uprowenyq formulyro- vok pust¥e mnoΩestva budem sçytat\ kompaktamy. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 314 A. H. BAKAN t. e. dlq lgboho kompaktnoho mnoΩestva K ⊂ C: sup ( ),P G z K P z∈ ∈ < ∞ . Tohda yz neravenstv Koßy dlq edynyçnoj okruΩnosty s centrom v nule (sm. [17, c. 111], hl. 2, § 6) poluçym sup ( ) ( )P G P P∈ ′ + ′′( )0 0 < ∞ , çto vmeste s oçevyd- n¥my ravenstvamy λ 1 ( G ) = sup ( )P G P∈ ′ 0 , λ 2 ( G ) = sup ( ) ( )P G P P∈ ′ − ′′0 02 dokaz¥vaet v¥polnenye neravenstv a) y b). Obratno, neravenstva a), b) y oçevydnoe sootnoßenye ( )1− z ez ≤ e z4 2 ∀ z ∈ C (sm. [19], hl. 3, § 3, p. 3.3) pozvolqgt zaklgçyt\, çto pry proyzvol\n¥x P ∈ G y z ∈ C P z e z P( ) /1 λλ∈∑ Λ = λ λ λ∈ ∏ −    ΛP z ez1 / ≤ e G z4 2 2λ ( ) , otkuda P z( ) ≤ exp ( ) ( )( )λ λ1 2 24G z G z+ . Takym obrazom, semejstvo G qv- lqetsq ravnomerno ohranyçenn¥m v C y sohlasno teoreme Montelq (sm. [17, c. 228], hl. 4, § 12) kompaktn¥m. Lemma71 dokazana. Pust\ � oboznaçaet lynejnoe prostranstvo vsex cel¥x funkcyj y dlq A ⊂ ⊂ � çerez Close� A oboznaçym zam¥kanye mnoΩestva A v topolohyy τ� , po- roΩdaemoj posledovatel\nost\g norm na � vyda ⋅ N , N ≥ 1, hde f N : = : = max ( )z N f z≤ , f ∈ � . Sleduet zametyt\, çto rassuΩdenyqmy ot protyvnoho vmeste s prymenenyem formul¥ Koßy dlq proyzvodn¥x (sm. [17, c. 119], hl.72, § 6) k ravnomerno sxodqwejsq v topolohyy τ� posledovatel\nosty mnohoçlenov { }Pn n≥1 lehko poluçaem suwestvovanye koneçnoho yly beskoneçnoho predela limn nP→∞ deg . Druhymy slovamy, lybo suwestvuet limn nP→∞ deg = ∞ , lybo, naçynaq s nekotoroho nomera vse stepeny mnohoçlenov Pn odynakov¥ y ravn¥ nekotoromu neotrycatel\nomu celomu çyslu. Napomnym takΩe, çto celaq funkcyq, ne qvlqgwaqsq mnohoçlenom, naz¥vaetsq transcendentnoj. Opredelenye.1. Budem naz¥vat\ mnoΩestvo G ⊂ ∗P ( )R stroho kompakt- n¥m, esly G kompaktno y lybo suwestvuet takoe natural\noe n, çto G n⊂ P ( )R , lybo v sluçae, kohda G n\ ( )P R ≠ ∅ dlq vsex n ∈ N , dlq lgboj sxodqwejsq v topolohyy τ� posledovatel\nosty { }P Gn n≥ ⊂1 , kotoraq udovletvorqet uslovyg limn nP→∞ deg = ∞ , predel\naq celaq funkcyq lim ( )n nP z→∞ qvlqetsq transcendentnoj. Lehko ubedyt\sq, çto kompaktnoe mnoΩestvo G ⊂ ∗P ( )R qvlqetsq stroho kompaktn¥m v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda G G n n∩ ∩ ≥       1 Close� ( \ )( )P R = ∅. Hlavnoj cel\g dannoho punkta qvlqetsq poluçenye naybolee slab¥x dostatoç- n¥x uslovyj strohoj kompaktnosty podmnoΩestv P ∗( )R . 3.2. Dostatoçn¥e uslovyq strohoj kompaktnosty. Ymegt mesto sle- dugwye dostatoçn¥e uslovyq kompaktnosty podmnoΩestv P ∗( )R . Lemma.2. Dlq lgb¥x koneçn¥x postoqnn¥x α, β ≥ 0 y A > 0 mnoΩestvo P e A P e A P P∈ ≤ ′ ≥ ∀ ∈       ∗ ∈ − − ∑P ( ) ; ( )R λ α λ β λ λ λ λ Λ Λ2 (22) qvlqetsq kompaktn¥m. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 315 Dokazatel\stvo. Pust\ M = + +2 1α β , α πn M n: ( )/= −−1 1 2 , n ∈ Z , y P — proyzvol\n¥j polynom yz mnoΩestva (22) stepeny ne nyΩe71. Poskol\ku dlq lgboho z n n∈ ≥C \ { }α 1 ymeet mesto razloΩenye 1 ch( )M z = 1 1 1 + − + + −    ≥ ∑ n n n n nM z z i z z i ( ) α α α , oboznaçyv ΛP k k N: { }= =λ 1, 0 1 2< ≤ ≤…≤λ λ λN , dlq proyzvol\noho z ∈ ∈ C \ ( ){ }ΛP n n∪ α ≥1 poluçym Φ ( z ) : = 1 P z Mz( ) ( )ch = k N k k k n n z P M i M= ≥ ∑ ∑− ′ + − 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λch × × 1 1 ( ) ( )( ) ( )z i P i z i P in n n n− + + −    α α α α . (23) Dyfferencyruq ravenstvo (23) y polahaq z = 0, ymeem ′ = − ′Φ ( ) ( )0 0P , ′′ = ′ − ′′ −Φ ( ) ( ) ( )0 2 0 02 2P P M y ′P ( )0 = k N k k k n n n n nP M i M P i P i= ≥ ∑ ∑′ + − − −   1 2 1 2 1 1 1 1 λ λ λ α α α( ) ( ) ( ) ( ) ( )ch , ′′ + − ′P M P( ) ( )0 2 02 2 = k N k k kP M= ∑ ′1 3 1 λ λ λ( ) ( )ch + + 1 1 1 1 1 3M P i P in n n n n≥ ∑ − + −     ( ) ( ) ( )α α α . Poslednye dva ravenstva s uçetom toho, çto P i( )λ ≥ 1 ∀ λ ∈ R y ( , )n n − − ≥∑ 0 5 2 1 = π2 / 2, ( , )n n − − ≥∑ 0 5 3 1 ≤ π3 / 2 (sm. [20], hl. 5, p. 5.1.4), ozna- çagt, çto ′P ( )0 ≤ M P Mk N k k k + ′= ∑ 1 2 1 λ λ λ( ) ( )ch , (24) 2 0 02′ − ′′P P( ) ( ) ≤ 2 12 1 3M P Mk N k k k + ′= ∑ λ λ λ( ) ( )ch . (25) Yspol\zovav (22) dlq mnohoçlena P v neravenstvax (24) y (25), m¥ smoΩem poluçyt\ sledugwye ocenky velyçyn 1 1 /λkk N =∑ = ′P ( )0 y 1 2 1 /λkk N =∑ = = ′ − ′′P P( ) ( )0 02 : k N k= ∑ 1 1 λ ≤ M A e k N M k k + = − − ∑2 1 2 ( )β λ λ ≤ M A e k N k k + = − ∑2 1 2 α λ λ ≤ M A+ 2 2, k N k= ∑ 1 2 1 λ ≤ 2 22 1 3M A e k N M k k + = − − ∑ ( )β λ λ ≤ 2 22 15 1 0 5 2M A e k N M k k + = − − − ∑, ( , )β α λ λ ≤ ≤ 2 22 15 1 2M A e k N k k + = − ∑, α λ λ ≤ 2 22 2 5M A+ , . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 316 A. H. BAKAN Poluçenn¥e neravenstva dokaz¥vagt, çto v¥polnqgtsq uslovyq a) y b) lemm¥71 y, znaçyt, mnoΩestvo (22) qvlqetsq kompaktn¥m. Lemma72 dokazana. Sledugwaq teorema qvlqetsq osnovn¥m rezul\tatom dannoho punkta. Teorema.2. Dlq lgboj funkcyy γ ∈ ∗W ( )R y lgb¥x koneçn¥x postoqnn¥x α ≥ 0, C > 0 mnoΩestvo P e C P C P P∈ ≤ ′ ≥ ∀ ∈       ∗ ∈ − ∑P ( ) ; ( ) ( ) R λ α λ λ λ γ λ λ Λ Λ2 1 (26) qvlqetsq stroho kompaktn¥m. Zdes\ predpolahaetsq, çto 1 / 0 : = + ∞ . Dokazatel\stvo. Poskol\ku funkcyq γ ravnomerno ohranyçena na vewestvennoj osy, to lgboj mnohoçlen yz mnoΩestva (26) udovletvorqet uslovyqm (22) pry β = 0 y A = C ⋅ 1 γ . Poπtomu mnoΩestvo (26) qvlqetsq kompaktn¥m. Oboznaçym polynomyal\noe semejstvo (26) çerez G. Dlq dokazatel\stva strohoj kompaktnosty G sohlasno opredelenyg71 sleduet rassmotret\ tol\ko sluçaj, kohda G n\ ( )P R ≠ ∅ dlq vsex n ∈ N . Rassmotrym proyzvol\nug ravno- merno sxodqwugsq na lgbom kompakte C k celoj funkcyy f posledovatel\- nost\ mnohoçlenov { }Pn n≥1 ⊆ G, udovletvorqgwyx uslovyg limn nP→∞ deg = = + ∞ , y dokaΩem, çto f ne qvlqetsq mnohoçlenom. Pust\ ΛPn = { }( )λk n k rn =1, hde 0 1 2< ≤ ≤… ≤λ λ λ( ) ( ) ( )n n r n n < ∞ ∀ n ≥ 1 y v sylu uslovyq (26) vse çysla yz mnoΩestva ΛPn qvlqgtsq razlyçn¥my. Krome toho, λ λ∈ ∑ ΛPn 1 2 ≤ M ∀ n ≥ 1, (27) hde v sootvetstvyy s oboznaçenyqmy lemm¥71 M : = max ( ), ( )λ λ1 2G G{ } . Po proyzvol\nomu natural\nomu çyslu p ≥ 1 najdem takoe natural\noe çyslo np , çto rn ≥ p dlq vsex n ≥ np , y dlq kaΩdoho n ≥ np opredelym mno- hoçlen ∆n p x, ( ) sledugwym obrazom: ∆n x, ( )1 ≡ 1 y ∆n p x, ( ) : = 1 1 1 1 2 1 −     −     … −    − x x x n n p nλ λ λ( ) ( ) ( ) , p ≥ 2. Dlq ukazann¥x znaçenyj n y p poloΩym P xn p, ( ) : = P x xn n p( ) ( )/ ,∆ . Tohda dlq proyzvol\noho p ≤ k ≤ rn ′Pn k n( )( )λ = ∆ p n k n n p k nP, ( ) , ( )( ) ( )λ λ′ ≤ ( )27 1 1 +( ) ′− λ λk n p n p k nM P( ) , ( )( ) , y, znaçyt, ′Pn p k n , ( )( )λ ≥ ′ +( ) − P Mn k n k n p ( )( ) ( )λ λ1 1 . Prymenqq πto neravenstvo k razloΩenyg na prost¥e droby funkcyy P zn p, ( )−1 pry z = 0 s uçetom Pn p, ( )0 = = 1 y svojstv (26), ymeem 1 ≤ k p r n p k n k n n P= ∑ ′ 1 1 , ( ) ( )( )λ λ ≤ k p r k n p k n n k n n M P= − ∑ +( ) ′ 1 1 λ λ λ ( ) ( ) ( )( ) ≤ 1 1 1 λ λ λp n k p r k n p n k n n M P( ) ( ) ( )( )= − ∑ +( ) ′ ≤ ≤ C M p n k p r k n k n pn λ γ λ λ( ) ( ) ( )( ) = −∑ +( )1 1 ≤ MC x x M p n p λ γ( ) 2 11 +( ) − , ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 317 otkuda λm n( ) ≤ Rp : = MC x x M p2 11 +( ) − γ ∀ n ≥ np , 1 ≤ m ≤ p, p ∈ N . (28) Zafyksyruem teper\ proyzvol\noe, skol\ uhodno bol\ßoe natural\noe çys- lo N. V sylu (28) vnutry kruha s centrom v nule y radyusa 1 + RN kaΩd¥j mnohoçlen Pn ymeet ne menee N nulej, esly tol\ko n ≥ nN . Poπtomu sohlas- no teoreme Hurvyca (sm. [18, c. 426], hl. 4, § 3) v πtom Ωe kruhe predel\naq funk- cyq f takΩe ymeet ne menee N nulej. Proyzvol\nost\ çysla N dokaz¥vaet trebuemug transcendentnost\ funkcyy f . Teorema72 dokazana. Sledstvye. P u s t \ G oboznaçaet polynomyal\noe semejstvo (26) y G n\ ( )P R ≠ ∅ dlq vsex n ∈ N . Tohda esly f G G∈( ) \Close� , to f qvlqet- sq transcendentnoj celoj funkcyej yz klassa H y f ( 0 ) = 1. Dokazatel\stvo. Sohlasno uslovyg sledstvyq suwestvuet posledova- tel\nost\ mnohoçlenov { }Pn n≥1 ⊆ G, kotoraq na lgbom kompakte v C ravno- merno sxodytsq k f . Sohlasno teoreme Polya – Lahhera (sm. [21, 22], [19], hl. 3, § 3) funkcyq f , buduçy ravnomern¥m predelom mnohoçlenov yz mnoΩestva P ∗( )R , ymeet vyd e x a ea x bx k k x ak− + ≥ ∏ −    2 2 1 1 / , (29) hde a , b , a k, k ∈ N , — vewestvenn¥, 0 1 2< ≤ ≤…≤ ≤…≤ + ∞a a ak y akk − ≥∑ 2 1 < ∞ , pryçem predpolahaetsq vozmoΩn¥m, çto naçynaq s nekotoroho nomera vse ak ravn¥ beskoneçnosty. Poπtomu f qvlqetsq celoj funkcyej, ymegwej tol\ko dejstvytel\n¥e nuly, y f ( 0 ) = 1. Sohlasno teoreme Hurvyca dlq proyzvol\noho k ≥ 1 suwestvuet takaq po- sledovatel\nost\ ζn Pn ∈Λ , n ≥ 1, çto limn n→∞ ζ = ak . Tohda po formule Koßy dlq pervoj proyzvodnoj (sm. [17, c. 119], hl. 2, § 6) po okruΩnosty s cent- rom v ak y nekotor¥m, ne zavysqwym ot n, poloΩytel\n¥m radyusom s uçetom ravnomernoj sxodymosty Pn k f na πtoj okruΩnosty y poluneprer¥vnosty sverxu funkcyy γ poluçaem ′f ak( ) = lim ( ) n n nP →∞ ′ ζ ≥ ( )26 lim ( )n nC→∞ 1 γ ζ = 1 C n nlim ( ) →∞ γ ζ ≥ 1 C akγ ( ) , k ≥ 1. (30) Neravenstva (30) dokaz¥vagt, çto vse korny funkcyy f qvlqgtsq prost¥my. V sootvetstvyy s zameçanyem, sdelann¥m pered opredelenyem71, predpolo- Ωym, çto naçynaq s nekotoroho nomera vse stepeny mnohoçlenov Pn odynakov¥ y ravn¥ m ≥ 1. Tohda f qvlqetsq mnohoçlenom toj Ωe stepeny so vsemy dejst- vytel\n¥my y razlyçn¥my kornqmy ak , 1 ≤ k ≤ m. Prymenqq teoremu Hurvyca, poluçaem suwestvovanye takoj perenumeracyy kornej { }( )λ p n p m =1 mnohoçlena Pn , çto lim ( ) n p n → ∞ λ = ap . ∏to pozvolqet perejty k predelu pry n → ∞ v per- vom neravenstve (26) y v sylu (30) sdelat\ v¥vod o tom, çto f ∈ G. Poluçennoe protyvoreçye s uslovyem sledstvyq dokaz¥vaet, çto limn nP→∞ deg = + ∞ . Po- πtomu sohlasno teoreme72 funkcyq f qvlqetsq transcendentnoj, pryçem sohlasno neravenstvam (30) çysla ′f ( )λ , λ ∈Λ f , stremqtsq k beskoneçnosty pry λ → ∞ b¥stree, çem lgbaq stepennaq funkcyq ot λ . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 318 A. H. BAKAN Dlq proyzvol\noho k ≥ 1 poloΩym a0 0:= , R a ak n n k k n: inf ,= −− ≥ ≠3 1 0 y Ik : = [ , ]a R a Rk k k k− + . Oçevydno, çto otrezky Ik, k ≥ 1, ne peresekagtsq y su- westvugt takye dve stremqwyesq k + ∞ posledovatel\nosty poloΩytel\n¥x çysel BN + , BN − , N ≥ 1, çto BN + , – BN − ∈ R \ Ikk≥1∪ dlq vsex N ≥ 1. Sohlasno teoreme Hurvyca dlq lgboho N ≥ 1 moΩno najty takoe natural\noe çyslo mN, çto dlq proyzvol\noho n ≥ mN otrezok ∆N : = [ , ]− − +B BN N soderΩyt odynako- voe çyslo nulej funkcyy f y mnohoçlena Pn , pryçem kaΩd¥j otrezok Ik ⊂ ⊂ ∆N soderΩyt rovno odyn πlement λk n( ) mnoΩestva ΛPn , stremqwyjsq k ak pry n → ∞ . Po formule Koßy dlq perv¥x proyzvodn¥x, vzqtoj po okruΩno- sty z z a Rk k∈ − ={ }C , s uçetom ravnomernoj sxodymosty Pn k f na πtoj ok- ruΩnosty poluçaem lim ( )( ) n n k nP→∞ ′ λ = ′f ak( ). Poπtomu dlq lgb¥x N ≥ 1, n ≥ ≥ mN y z ∈ C, Im z ≠ 0, ymeem 1 1 P z z Pn nN Pn ( ) ( ) ( ) − − ′∈ ∑ λ λ λ∆ Λ∩ = λ λ λ∈ ∑ − ′Λ ∆P Nn z Pn\ ( ) ( ) 1 ≤ ( )26 ≤ ( )26 λ γ λ λ∈ ∑ −Λ ∆P Nn C z\ ( ) ≤ ( )27 MC z x x P N N N n x B Binf sup ( ) \ min{ , }λ λ γ ∈ ≥− + − Λ ∆ 2 , otkuda, perexodq k predelu pry n → ∞ , poluçaem neravenstvo 1 1 f z z f N f ( ) ( ) ( ) − − ′∈ ∑ λ λ λ∆ Λ∩ ≤ MC z x x f N N Nx B Binf sup ( ) \ min{ , }λ λ γ ∈ ≥− + − Λ ∆ 2 , perexod k predelu v kotorom pry N → ∞ dokaz¥vaet spravedlyvost\ absolgt- no sxodqwehosq razloΩenyq 1 f z( ) = λ λ λ∈ ∑ ′ −Λ f f z 1 ( )( ) pry kaΩdom z f∈C \ Λ . Takym obrazom, f ∈H , y dokazatel\stvo sledstvyq71 zaverßeno. 3.3. Dokazatel\stvo dostatoçnosty utverΩdenyq teorem¥.1. Nera- venstvo (4) oznaçaet suwestvovanye takyx posledovatel\nosty Pn ⊂ ∗P ( )R , n ≥ ≥ 1, y koneçnoj poloΩytel\noj postoqnnoj D, çto λ λ∈ ∑ ΛPn 1 2 + λ σλ λ λ∈ ∑ ′ΛPn w Pn 1 ( ) ( ) ≤ D ∀ n ≥ 1, (31) y limn nP→∞ deg = + ∞ . Oçevydno, çto vse mnohoçlen¥ Pn prynadleΩat mno- Ωestvu (26) s C = D, α = 0 y γ ( x ) = x w xσ ( ), x ∈R. Poπtomu sohlasno teo- reme72 yz posledovatel\nosty { }Pn n≥1 moΩno v¥delyt\ podposledovatel\- nost\ { }Pn kk ≥1, sxodqwugsq k celoj transcendentnoj funkcyy f v topolohyy τ� , kotoraq po sledstvyg71 budet prynadleΩat\ klassu H y f ( 0 ) = 1. Pere- oboznaçaq posledovatel\nost\ { }Pn kk ≥1 snova çerez { }Pn n≥1 y yspol\zuq obo- znaçenyq yz dokazatel\stva sledstvyq71, dlq lgb¥x N ≥ 1 y n ≥ mN ymeem λ λ∈ ∑ ∆ ΛN Pn ∩ 1 2 + λ σλ λ λ∈ ∑ ′∆ ΛN Pn w Pn∩ 1 ( ) ( ) ≤ ( )31 D , ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 POLYNOMYAL\|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 319 otkuda posle perexoda k predelu pry n → ∞ poluçaem λ λ∈ ∑ ∆ ΛN f∩ 1 2 + λ σλ λ λ∈ ∑ ′∆ ΛN f w f∩ 1 ( ) ( ) ≤ D , çto v sylu proyzvol\nosty N oznaçaet v¥polnenye neravenstva (3). Sohlasno teoreme7A* alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw 0 . Teorema717dokazana. 1. Berezanskyj G. M., Us H. F., Íeftel\ Z. H. Funkcyonal\n¥j analyz. – Kyev: V¥wa ßk., 1990. – 600 s. 2. Natanson Y. P. Teoryq funkcyj vewestvennoj peremennoj. – M.: Nauka, 1974. – 480 s. 3. Merhelqn S. N. Vesov¥e pryblyΩenyq mnohoçlenamy // Uspexy mat. nauk. – 1956. – 11, # 5. – S.7107 – 152. 4. Bakan A. H. Kryteryj polynomyal\noj plotnosty y obwyj vyd lynejnoho neprer¥vnoho funkcyonala na prostranstve Cw 0 // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 5. – S. 610 – 622. 5. Bernstein S. Le probleme de l’approximation des fonctions continues sur tout l’axe reel at l’une de ses applications // Bull. Math. France. – 1924. – 52. – P. 399 – 410. 6. Koosis P. The logarithmic integral. I. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. – 350 p. 7. Berg Ch. Moment problems and polynomial approximation // Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse. Stieltjes spec. issue. – 1996. – P. 9 – 32. 8. Borichev A., Sodin M. The Hamburger moment problem and weighted polynomial approximation on discrete subsets of the real line // J. Anal. Math. – 1998. – 71. – P. 219 – 264. 9. Bakan A. G. Polynomial density in L R dp( , )1 µ and representation of all measures which generate a determinate Hamburger moment problem // Approximation, Optimization and Math. Economics (Pointe-aa-Pitre, 1999) / Ed. M. Lassonde. – Heidelberg: Physica-Verlag, 2001. – P. 37 – 46. 10. Axyezer N. Y. O vzveßennom pryblyΩenyy neprer¥vn¥x funkcyj na vsej çyslovoj osy // Uspexy mat. nauk. – 1956. – 11, # 4. – S.73 – 43. 11. Branges L. Rhe Bernstein problem // Proc. Amer. Math. Soc. – 1959. – 10. – P. 825 – 832. 12. Sodin M., Yuditskii P. Another approach to de Branges’ theorem on weighted polynomial approximation // Proc. Ashkelon Workshop Complex Function Theory, Isr. Math. Conf. Proc. (May 1996) / Ed. L. Zalcman. – Providence, RI: Amer. Math Soc., 1997. – 11. – P. 221 – 227. 13. Levyn B. Q. Raspredelenye kornej cel¥x funkcyj. – M.: Hostexteoretyzdat, 1956. – 632 s. 14. Hamburger H. Hermitian transformations of deficiency index (1, 1), Jacobi matrices and undetermined moment problems // Amer. J. Math. – 1944. – 66. – P. 489 – 522. 15. Axyezer N. Y. Klassyçeskaq problema momentov. – M.: Fyzmathyz, 1961. – 310 s. 16. Dzjadyk V. K., Ivanov V. V. On asymptotics and estimates for the uniform norms of the Lagrange interpolation polynomials corresponding to the Chebyshev nodal points // Anal. Math. – 1983. – 9. – P. 85 – 97. 17. Íabat B. V. Vvedenye v kompleksn¥j analyz. – M.: Nauka, 1985. – Ç.1. – 336 s. 18. Markußevyç A. Y. Teoryq analytyçeskyx funkcyj: V 2 t. – M.: Nauka, 1967. – T.1. – 486 s. 19. Hirschman I. I., Widder D. V. The convolution transform. – Princeton, New York: Princeton Univ. Press, 1955. – 312 p. 20. Prudnykov A. P., Br¥çkov G. A., Maryçev O. Y. Yntehral¥ y rqd¥. – M.: Nauka, 1981. – 8007s. 21. Laguerre E. Sur les fonctions du genre zero et du genre un // C. r. Acad. sci. Paris. – 1982. – 98. – P. 828 – 831. 22. Polya G. Uber annaherung durch polylome mit lauter reelen wurzein // Rend. Circ. math. Palermo. – 1913. – 36. – P. 279 – 295. Poluçeno 27.07.2004 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3

Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве C⁰w

Репозитарії

Схожі ресурси