Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій
Исследуется радиальное граничное поведение функций, аналитических в единичном круге комплексной плоскости.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165660 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій / О.М. Пiддубний // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 10. — С. 1420–1426. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165660 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656602020-02-16T01:25:57Z Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій Піддубний, О.М. Короткі повідомлення Исследуется радиальное граничное поведение функций, аналитических в единичном круге комплексной плоскости. We study the radial boundary behavior of functions analytic in a unit disk of the complex plane. 2013 Article Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій / О.М. Пiддубний // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 10. — С. 1420–1426. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165660 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Піддубний, О.М. Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій Український математичний журнал |
| description |
Исследуется радиальное граничное поведение функций, аналитических в единичном круге комплексной плоскости. |
| format |
Article |
| author |
Піддубний, О.М. |
| author_facet |
Піддубний, О.М. |
| author_sort |
Піддубний, О.М. |
| title |
Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій |
| title_short |
Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій |
| title_full |
Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій |
| title_fullStr |
Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій |
| title_full_unstemmed |
Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій |
| title_sort |
оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165660 |
| citation_txt |
Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій / О.М. Пiддубний // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 10. — С. 1420–1426. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT píddubnijom ocínkizrostannâvzdovžradíusapohídnihanalítičnihfunkcíj |
| first_indexed |
2025-07-14T19:25:04Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:25:04Z |
| _version_ |
1837651583661244416 |
| fulltext |
УДК 517.5
О. М. Пiддубний (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Лесi Українки)
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ
АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ
We study the radial boundary behavior of functions analytic in a unit disk of the complex plane.
Исследуется радиальное граничное поведение функций, аналитических в единичном круге комплексной плоскости.
1. Класична теорема Гардi – Лiттлвуда [1] описує зв’язок мiж гладкiстю граничних значень
аналiтичної функцiї на межi круга аналiтичностi та швидкiстю зростання модуля її похiдних
вищих порядкiв. Ця теорема стала ефективним знаряддям у розв’язаннi багатьох задач тео-
рiї функцiй i теорiї тригонометричних рядiв. Але досить часто виникає потреба оцiнювати
похiднi вищих порядкiв аналiтичної функцiї, використовуючи iнформацiю лише про модуль
неперервностi граничних значень її дiйсної частини.
У данiй роботi ми розглянемо таке питання.
Нехай функцiя f є аналiтичною в крузi D := {z ∈ C : |z| < 1}, а функцiя u := Re f —
неперервною в D. Вiдомо, що при даному n ∈ Z+ функцiю t 7→ u(eit) можна зобразити у
виглядi
u(eit) =
n+k−1∑
j=0
ajt
j +Rn+k(t), k ∈ N, (1)
де aj — дiйснi числа, а Rn+k — деяка функцiя, визначена на [−π, π], що задовольняє певнi
умови. Якими при цьому будуть швидкостi зростання величин
∣∣f (n+k)(z)∣∣, k ∈ N, коли точка z
наближається до точки 1 вздовж радiуса [0, 1]?
Це питання мотивоване таким твердженням, доведеним у [2].
Нехай виконується (1) при k = 1 i при цьому функцiя Rn+k задовольняє умову
Rn+k(t) = O
(
|t|nλ
(
|t|
))
, (2)
де λ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя. Якщо t = O
(
λ(|t|)
)
, то iснує стала M,
залежна тiльки вiд n, чисел {aj} i сталої у спiввiдношеннi (2), така, що
∣∣f (n+1)(%)
∣∣ ≤M π∫
1−%
λ(t)
t2
dt,
1
2
≤ % < 1. (3)
Подiбнi задачi дослiджувалися також у [3].
Наша мета полягає в тому, щоб поширити останнє твердження на випадок довiльних нату-
ральних k.
Теорема 1. Нехай f — функцiя, аналiтична в крузi D, а функцiя u = Re f є неперервною
в D. Якщо для деякого n ∈ Z+ i k ∈ N функцiю t 7→ u(eit) можна подати у виглядi (1), в
якому Rn+k задовольняє умову (2), де λ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя, для якої
c© О. М. ПIДДУБНИЙ, 2013
1420 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ 1421
|t|k = O
(
λ
(
|t|
))
, то iснує стала M > 0, яка залежить тiльки вiд n, чисел {aj}n+k−1j=0 i сталої
у спiввiдношеннi (2), така, що виконується нерiвнiсть
∣∣∣f (n+k)(%)∣∣∣ ≤M π∫
1−%
λ(t)
tk+1
dt ∀ % ∈ [1/2, 1). (4)
Доведення теореми 1 спирається на таке твердження, не позбавлене й самостiйного iнтересу.
Лема 1. Нехай функцiя f є аналiтичною в крузi D, а функцiя u = Re f — неперервною в D
i θ ∈ [0, 2π]. Якщо для деякого n ∈ Z+ виконується нерiвнiсть∣∣∣u(ei(t+θ))− u(eiθ)∣∣∣ ≤ A|t|nλθ(|t|), |t| ≤ π,
де A = A(θ) > 0, λθ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя, то для будь-якого k ∈ N i
% ∈ [1/2, 1)
∣∣∣f (n+k)(%eiθ)∣∣∣ ≤M π∫
1−%
λθ(t)
tk+1
dt, (5)
де M =M(θ, n, k,A) > 0 — величина, залежна тiльки вiд вказаних параметрiв.
Зауваження. Оцiнка (5), взагалi кажучи, є непокращуваною. Наприклад, якщо n = θ = 0,
λ(t) = tα, 0 < α ≤ 1, i k = 1, то за теоремою 1 справджується iмплiкацiя∣∣∣u(ei(t+θ))− u(eiθ)∣∣∣ ≤ Atα =⇒
=⇒
∣∣f ′(%)∣∣ ≤M π∫
1−%
tα−2dt ≤ C
(1− %)α−1, 0 < α < 1,
− ln(1− %), α = 1,
∀% ∈ [1/2, 1).
Якщо ж n = θ = 0, λ(t) = tα, 0 < α ≤ 1, i k = 2, то∣∣∣u(ei(t+θ))− u(eiθ)∣∣ ≤ Atα =⇒
=⇒
∣∣f ′′(%)∣∣ ≤M π∫
1−%
tα−2dt ≤ C
(1− %)α−1, 0 < α < 1,
(1− %)−1, α = 1,
∀% ∈ [1/2, 1).
Нескладно показати, що для функцiї
f(z) = Li2(z) =
∞∑
k=1
zk
k2
виконується спiввiдношення∣∣u(eit)− u(1)∣∣
|t|
=
1
|t|
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
cos kt− 1
k2
∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1422 О. М. ПIДДУБНИЙ
=
1
|t|
∣∣∣∣∣∣∣
|t|∫
0
∞∑
k=1
sin kx
k
dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
1
|t|
|t|∫
0
π − x
2
dx =
π
2
− |t|
4
<
π
2
.
Таким чином, функцiя u задовольняє умови теореми 1 при n = 0 i λ(t) = t.
З iншого боку,
f ′(z) =
∞∑
k=1
zk−1
k
=
1
z
ln
1
1− z
i ∣∣f ′′(z)∣∣ = 1
z(1− z)
− 1
z2
ln
1
1− z
.
Отже,
ln
1
1− %
≤
∣∣f ′(%)∣∣ ≤ 2 ln
1
1− %
∀ % ∈ [1/2, 1)
i
c
1− %
≤
∣∣f ′′(%)∣∣ ≤ 2
1− %
∀ % ∈ [1/2, 1),
де
c = min
%∈[1/2,1)
(
1
%
− 1− %
%2
ln
1
1− %
)
= 2− 2 ln 2.
Доведення леми. Не втрачаючи загальностi будемо вважати, що θ = 0, а u(1) = 0.
За iнтегральною формулою Шварца
f(z) =
1
π
π∫
−π
u(eit)
1− e−itz
dt+ i Im f(0) ∀z ∈ D.
Отже,
f (n+k)(z)
(n+ k)!
=
1
π
π∫
−π
(
u(eit)− u(ei0)
)
e−i(n+k)t
(1− e−itz)n+k+1
dt. (6)
Використовуючи вiдомi спiввiдношення∣∣1− %e−it∣∣ =√1− 2% cos t+ %2,
1− 2% cos t+ %2 = (1− %)2 + 4% sin2
t
2
i
sinα ≥ 2
π
α, 0 ≤ α ≤ π
2
,
з рiвностi (6) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ 1423∣∣∣f (n+k)(r)∣∣∣
(n+ k)!
≤ 1
π
π∫
0
2Atnλ0(t)dt
(1− 2% cos t+ %2)(n+k+1)/2
≤
≤ 2A
π
1−%∫
0
tnλ0(t)
(1− %)n+k+1
dt+
π∫
1−%
tnλ0(t)dt(
4%t2
π2
)(n+k+1)/2
≤
≤ 2A
π
λ0(1− %)
(1− %)n+k+1
1−%∫
0
tndt+
(
π2
4%
)(n+k+1)/2 π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt
≤
≤ A1
λ0(1− %)
(1− %)k
+B1
π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt, (7)
де
A1 :=
2A(n+ k)!
π(n+ 1)
, B1 :=
(
π2
2
)(n+k+1)/2
— сталi, якi не залежать вiд %.
Порiвняємо доданки в нерiвностi (7), врахувавши, що за умовою 1/2 ≤ % < 1.
Внаслiдок монотонностi функцiї λ0 маємо
π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt ≥ λ0(1− %)
π∫
1−%
dt
tk+1
=
1
k
(
1
(1− %)k
− 1
πk
)
λ0(1− %) (8)
для всiх % ∈ [1/2, 1).
Легко бачити, що для будь-якого % ∈ [1/2, 1)
1
k
(
1
(1− %)k
− 1
πk
)
> C
1
(1− %)k
,
де
C = min
%∈[1/2,1)
1
k
(
1− (1− %)k
πk
)
=
(2π)k − 1
k(2π)k
.
Таким чином, з (8) випливає оцiнка
π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt ≥ Cλ0(1− %)
(1− %)k
.
Об’єднавши це спiввiдношення з (7), одержимо нерiвнiсть (5).
Лему доведено.
Нехай
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1424 О. М. ПIДДУБНИЙ
ω(u, δ) := sup
|t|≤δ
∥∥u(eit·)− u(·)∥∥, δ > 0,
— модуль неперервностi функцiї u в просторi неперервних функцiй на колi T :=
{
z : |z| = 1
}
,
надiленому нормою ‖u‖ = maxx∈[−π,π]
∣∣u(eix)∣∣.
Наслiдок. Нехай λ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя, λ(0) = 0, а f — функцiя,
така, як у лемi 1. Якщо для деякого n ∈ Z+ виконується нерiвнiсть
ω(u, δ) ≤ Aδnλ(δ), 0 < δ ≤ π,
де A = const > 0, то для будь-якого k ∈ N
∣∣∣f (n+k)(z)∣∣∣ ≤M π∫
1−|z|
λ(t)
tk+1
dt, 1/2 ≤ |z| < 1, (9)
де M =M(n, k,A) = const — стала, залежна тiльки вiд вказаних параметрiв.
Доведення теореми 1. Покладемо
pm(t) := Re
(eit − 1)m
im
= Re
(
imtm
im
+
m
2
im+1tm+1
im
+ . . .
)
=
=
n+k−1∑
j=m
aj,mt
j +O
(
|t|n+k
)
,
де am,m = 1, 0 ≤ m ≤ n+ k − 1.
Розглянемо рiвнiсть
n+k−1∑
m=0
xmpm(t) =
n+k−1∑
m=0
xm
n+k−1∑
j=m
aj,mt
j +O
(
|t|n+k
),
де xm, m = 0, 1, . . . , n+ k − 1, — дiйснi числа, якi вибираємо так, щоб виконувалась рiвнiсть
n+k−1∑
m=0
xm
n+k−1∑
j=m
aj,mt
j
=
n+k−1∑
j=0
ajt
j .
Отже, числа xm можуть бути знайденi як розв’язок системи рiвнянь (при вiдомих aj,m, aj):
a0,0 0 . . . 0
a1,0 a1,1 . . . 0
...
...
...
an+k−1,0 an+k−1,1 . . . an+k−1,n+k−1
x0
x1
...
xn+k−1
=
a0
a1
...
an+k−1
.
Покладемо
p(z) =
n+k−1∑
m=0
xm
(z − 1)m
im
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ 1425
i розглянемо функцiю g = f − p− u(1) + x0.
Зрозумiло, що функцiя g є аналiтичною в крузi D, неперервною в D i
g(n+k)(z) = f (n+k)(z) ∀ z ∈ D. (10)
Крiм того, справджується спiввiдношення∣∣Re g(eit)− Re g(1)
∣∣ = ∣∣u(eit)− Re p(eit)
∣∣ =
=
∣∣∣∣∣u(eit)−
n+k−1∑
m=0
xmpm(t)
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
n+k−1∑
j=0
ajt
j +O
(
|t|nλ
(
|t|
))
−
n+k−1∑
j=0
ajt
j −O
(
|t|n+k
)∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ O
(
|t|nλ
(
|t|
))
+O
(
|t|n+k
)
.
Якщо тепер врахувати умову |t|k = O
(
λ(|t|)
)
, то одержимо оцiнку∣∣Re g(eit)− Re g(1)
∣∣ ≤ O(|t|nλ(|t|)). (11)
Отже, функцiя g задовольняє умови леми 1 при θ = 0, згiдно з якою на пiдставi (10)
справджується (4).
Як видно з наведеного доведення, стала M > 0 в (4) залежить вiд n, послiдовностi (aj) i
сталої в залишковому членi O
(
|t|nλ
(
|t|
))
.
Теорему доведено.
2. У цьому пунктi ми розглянемо умови iснування граничних радiальних значень функцiї
f, яка є аналiтичною в одиничному крузi D, а її похiднi вищих порядкiв задовольняють умову
типу (9), в якiй λ є функцiєю типу модуля неперервностi.
Теорема 2. Нехай f — функцiя, аналiтична в крузi D. Якщо для даного n ∈ N виконується
умова ∣∣∣f (n)(%eiθ)∣∣∣ ≤M π∫
1−%
λ(t)
tn+1
dt, M = const > 0, (12)
для всiх θ ∈ [−π, π] i всiх % ∈ [0, 1), де λ — функцiя типу модуля неперервностi, яка задовольняє
умову Дiнi
π∫
0
λ(t)
t
dt <∞,
то iснує скiнченна границя
lim
%→1−
f(%eiθ) = f(eiθ) ∀θ ∈ [−π, π]. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1426 О. М. ПIДДУБНИЙ
Доведення. В лемi 3 роботи [2] доведено, що аналiтична в D функцiя f, яка задовольняє
умову
∣∣f ′(z)∣∣ ≤M π∫
1−r
λ(t)
t2
dt, |z| = r < 1, (14)
є неперервною в замкненому крузi D та iснує границя (13).
Покажемо, що з умови (12) при довiльному n ∈ N випливає умова (14). Цим самим ми
покажемо, що за наших умов спiввiдношення (13) випливає з результату Ф. Леслi [2].
Справдi, оскiльки для довiльного n ∈ N справджується рiвнiсть
f (n−1)(z) =
z∫
0
f (n)(w)dw + f (n−1)(0), |z| < 1,
то, покладаючи w = ρeiθ i розглядаючи iнтегрування по вiдрiзку, що з’єднує точки 0 та z,
одержуємо спiввiдношення
∣∣∣f (n−1)(reiθ)∣∣∣ ≤ r∫
0
∣∣∣f (n)(ρeiθ)∣∣∣dρ+ ∣∣∣f (n−1)(0)∣∣∣ ≤
≤
r∫
0
M
π∫
1−ρ
λ(t)
tn+1
dtdρ+
∣∣∣f (n−1)(0)∣∣∣ ≤
≤M
1∫
1−r
λ(t)
tn+1
r∫
1−t
dρdt+Mλ(π)(π − 1) +
∣∣∣f (n−1)(0)∣∣∣ ≤
≤M
1∫
1−r
λ(t)
tn
dt+A,
де A = const > 0. Понижуючи далi порядок диференцiювання, отримуємо при r, близьких до
1, оцiнку (14).
Теорему доведено.
1. Hardy G., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals. II // Math. Z. – 1931. – 34. – S. 403 – 439.
2. Lesley F. D. Differentiability of minimal surfaces at the boundary // Pacif. J. Math. – 1971. – 37, № 1. – P. 123 – 139.
3. Warschawski S. Boundary derivatives of minimal surfaces // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1970. – 38. – P. 241 –
256.
Одержано 14.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
|