Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I
Установлено, что ядра аналитических функций вида удовлетворяют введенному Кушпелем условию C,2n, начиная с некоторого номера nh, который в явном виде выражается через параметр h гладкости ядра. В результате для всех n≥nh получены оценки снизу колмогоровских поперечников d2n в пространстве C функцион...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165667 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I / В.В. Боденчук, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 6. — С. 719–738. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165667 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656672020-02-16T01:26:22Z Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. Статті Установлено, что ядра аналитических функций вида удовлетворяют введенному Кушпелем условию C,2n, начиная с некоторого номера nh, который в явном виде выражается через параметр h гладкости ядра. В результате для всех n≥nh получены оценки снизу колмогоровских поперечников d2n в пространстве C функциональных классов, которые представимы свертками ядра Hh,β с функциями φ⊥1, принадлежащими единичному шару пространства L∞. We prove that the kernels of analytic functions of the form satisfy Kushpel’s condition C y,2n starting from a certain number n h explicitly expressed via the parameter h of smoothness of the kernel. As a result, for all n ≥ n h , we establish lower bounds for the Kolmogorov widths d 2n in the space C of functional classes that can be represented in the form of convolutions of the kernel H h,β with functions φ⊥1 from the unit ball in the space L ∞ . 2015 Article Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I / В.В. Боденчук, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 6. — С. 719–738. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165667 517.51 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I Український математичний журнал |
| description |
Установлено, что ядра аналитических функций вида удовлетворяют введенному Кушпелем условию C,2n, начиная с некоторого номера nh, который в явном виде выражается через параметр h гладкости ядра. В результате для всех n≥nh получены оценки снизу колмогоровских поперечников d2n в пространстве C функциональных классов, которые представимы свертками ядра Hh,β с функциями φ⊥1, принадлежащими единичному шару пространства L∞. |
| format |
Article |
| author |
Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. |
| author_facet |
Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. |
| author_sort |
Боденчук, В.В. |
| title |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I |
| title_short |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I |
| title_full |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I |
| title_fullStr |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I |
| title_full_unstemmed |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I |
| title_sort |
точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. i |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165667 |
| citation_txt |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. I / В.В. Боденчук, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 6. — С. 719–738. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bodenčukvv točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíji AT serdûkas točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíji |
| first_indexed |
2025-07-14T19:27:29Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:27:29Z |
| _version_ |
1837651724979929088 |
| fulltext |
УДК 517.51
В. В. Боденчук, А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ
КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I
We prove that the kernels of analytic functions of the form Hh,β(t) =
∑
∞
k=1
1
ch kh
cos
(
kt−
βπ
2
)
, h > 0, β ∈ R,
satisfy Kushpel’s condition Cy,2n beginning with a certain number nh, which is explicitly expressed by the parameter h
of smoothness of the kernel. As a result, for all n ≥ nh, we establish lower bounds for the Kolmogorov widths d2n in the
space C of functional classes that can be represented in the form of convolutions of the kernel Hh,β with functions ϕ ⊥ 1
from the unit ball in the space L∞.
Установлено, что ядра аналитических функций вида Hh,β(t) =
∑
∞
k=1
1
ch kh
cos
(
kt−
βπ
2
)
, h > 0, β ∈ R, удовле-
творяют введенному Кушпелем условию Cy,2n, начиная с некоторого номера nh, который в явном виде выражается
через параметр h гладкости ядра. В результате для всех n ≥ nh получены оценки снизу колмогоровских попе-
речников d2n в пространстве C функциональных классов, которые представимы свертками ядра Hh,β с функциями
ϕ ⊥ 1, принадлежащими единичному шару пространства L∞.
1. Вступ. Позначимо через L = L1 простiр 2π-перiодичних сумовних функцiй f з нормою
‖f‖1 =
∫ π
−π
|f(t)|dt, через L∞ простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй
з нормою ‖f‖∞ = ess supt∈R |f(t)|, а через C простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй f,
у якому норма задається рiвнiстю ‖f‖C = maxt∈R |f(t)|.
Нехай Ψβ(t) — фiксоване сумовне ядро вигляду
Ψβ(t) =
∞
∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0,
∞
∑
k=1
ψ(k) <∞, β ∈ R. (1)
Через Cψβ,p, p = 1,∞, позначимо клас 2π-перiодичних функцiй f, що зображуються у виглядi
згортки з ядром Ψβ:
f(x) = A+ (Ψβ ∗ ϕ) (x) = A+
1
π
π
∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, A ∈ R, (2)
де ‖ϕ‖p ≤ 1, ϕ ⊥ 1.Функцiю ϕ в рiвностi (2) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають
через fψβ . Поняття (ψ, β)-похiдної введене О. I. Степанцем (див., наприклад, [1], § 7, 8).
У роботi розглядаються ядра Ψβ(t) вигляду (1) при ψ(k) =
1
ch kh
, h > 0, тобто функцiї
c© В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6 719
720 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
Hh,β(t) =
∞
∑
k=1
1
ch kh
cos
(
kt− βπ
2
)
, h > 0, β ∈ R. (3)
При зазначених ψ класи Cψβ,p будемо позначати через Chβ,p.
Кажуть, що ядро K ∈ L є CVD-ядром (ядром, що не збiльшує осциляцiї), i записують
K ∈ CVD, якщо для довiльної функцiї ϕ ∈ C виконується нерiвнiсть ν(K ∗ϕ) ≤ ν(ϕ), де ν(g)
— число змiн знака на [0, 2π) функцiї g ∈ C.
Зауважимо, що при β = 2l, l ∈ Z, ядра Hh,β(t) є CVD-ядрами (див. [2]). Якщо ж β 6= 2l,
l ∈ Z, то ядра Hh,β(t) можуть збiльшувати осциляцiї (див. [3, с. 111]).
Як показано в [1, с. 141], функцiї з класiв Chβ,p, h > 0, складаються з функцiй f ∈ C, що
допускають регулярне продовження f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) у смугу
{z = x+ iy : −h < y < h} (4)
комплексної площини. Зокрема (див. [4, с. 269]), при β = 2l, l ∈ Z, i p = ∞ класи Chβ,p
збiгаються з вiдомими класами Ah∞ функцiй f ∈ C, якi допускають аналiтичне продовження у
смугу (4) i такi, що ‖Re f(·+ iy)‖∞ ≤ 1, |y| < h.
Нехай dm(N,X) — поперечник за Колмогоровим порядку m центрально-симетричної мно-
жини N ⊂ X у банаховому просторi X, тобто величина вигляду
dm(N,X) = inf
Fm⊂X
sup
f∈N
inf
y∈Fm
‖f − y‖X , (5)
де зовнiшнiй iнфiмум розглядається по всiх m-вимiрних лiнiйних пiдпросторах Fm iз X.
Розв’язується задача знаходження точних значень поперечникiв d2n(C
h
β,∞, C),
d2n−1(C
h
β,∞, C) та d2n−1(C
h
β,1, L) для довiльних h > 0, β ∈ R та всiх натуральних n, бiльших
за деякий номер nh, що залежить лише вiд параметра h. У першiй частинi роботи встановлено
оцiнки
d2n(C
h
β,∞, C) ≥ ‖Hh,β ∗ ϕn‖C , (6)
d2n−1(C
h
β,1, L) ≥ ‖Hh,β ∗ ϕn‖C (7)
для всiх номерiв n, починаючи з деякого номера nh. У другiй її частинi для всiх номерiв n, по-
чинаючи з деякого номера n∗h 6 nh знайдено точнi значення найкращих наближень класiв Chβ,∞
та Chβ,1 у метриках просторiв C i L вiдповiдно тригонометричними полiномами tn−1 порядку
не вищого за n− 1. При цьому буде показано, що при n ≥ nh в (6) i (7) можна поставити знак
„дорiвнює”, i, як наслiдок, знайдено точнi значення колмогоровських поперечникiв зазначених
класiв.
При β = 2l, l ∈ Z, В. М. Тихомиров [5, 6] одержав нерiвнiсть (6), яка разом з результатами
роботи Н. I. Ахiєзера [7] дозволила записати рiвностi
d2n−1(C
h
β,∞, C) = d2n(C
h
β,∞, C) = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C , n ∈ N.
Однак доведення нерiвностi (6) у [5, 6] не було повним. Коректне доведення зрештою було
отримане Форстом [2], який фактично показав, що ядроHh,β(t) при β = 2l, l ∈ Z, є CVD-ядром.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 721
Згодом А. Пiнкус розробив методи, якi дозволяють отримувати точнi оцiнки поперечникiв для
класiв згорток, що породжуються довiльними CVD-ядрами (див. [8, 9]). Як зауважено вище,
при β 6= 2l, l ∈ Z, ядра Hh,β(t) не є CVD-ядрами i тому точнi оцiнки знизу поперечникiв
d2n(C
h
β,∞, C) та d2n−1(C
h
β,1, L) неможливо отримати, користуючись методами, якi розвинув
А. Пiнкус [9].
Зауважимо також, що для всiх h > 0 таких, що
ch kh
ch(k + 1)h
≤ chh
ch 2h
≤ ρ(β), k ∈ N, (8)
де ρ(β) = 0, 2, якщо β ∈ Z, i ρ(β) = 0, 193864, якщо β ∈ R \ Z, нерiвностi (6) та (7) при
довiльних n ∈ N випливають з роботи [10, с. 1118, 1119]. Обчислення показують, що умова (8),
а разом з нею i оцiнки (6) та (7), має мiсце при всiх h ≥ 1, 644651, якщо β ∈ Z, i h ≥ 1, 67423,
якщо β ∈ R \ Z.
2. Допомiжнi твердження. Нерiвностi (6), (7) встановимо, використавши запропонований
О. К. Кушпелем [11] метод знаходження оцiнок знизу поперечникiв класiв згорток iз твiрними
ядрами Ψβ, що задовольняють так звану умову Cy,2n. Наведемо означення i вiдомi твердження,
якi будуть використовуватись у подальшому.
Нехай ∆2n = {0 = x0 < x1 < . . . < x2n = 2π}, xk = kπ/n — розбиття промiжку [0, 2π] та
Ψβ,1(t) = (Ψβ ∗B1)(t) =
∞
∑
k=1
ψ(k)
k
cos
(
kt− (β + 1)π
2
)
,
де Ψβ(t) — ядро вигляду (1), а B1(t) =
∑∞
k=1
k−1 sin kt — ядро Бернуллi. Через SΨβ,1(∆2n)
позначатимемо простiр SK-сплайнiв SΨβ,1(·) за розбиттям ∆2n, тобто множину функцiй ви-
гляду
SΨβ,1(·) = α0 +
2n
∑
k=1
αkΨβ,1(· − xk),
2n
∑
k=1
αk = 0, (9)
αk ∈ R, k = 0, 1, . . . , 2n.
Фундаментальним SK-сплайном називають функцiю SΨβ,1(·) = SΨβ,1(y, ·) вигляду (9), що
задовольняє спiввiдношення
SΨβ,1(y, yk) = δ0,k =
{
0, k = 1, 2n − 1,
1, k = 0,
де yk = xk + y, xk = kπ/n, y ∈
[
0,
π
n
)
. Як зазначено у роботi [10], серед (ψ, β)-похiдних
будь-якого сплайна вигляду (9) iснує функцiя, яка є сталою на кожному iнтервалi (xk, xk+1).
Саме таку функцiю будемо розумiти пiд записом (SΨβ,1(·))ψβ .
Означення. Будемо казати, що для деякого дiйсного числа y i розбиття ∆2n ядро Ψβ(·)
вигляду (1) задовольняє умову Cy,2n (i записувати Ψβ ∈ Cy,2n), якщо для цього ядра iснує
єдиний фундаментальний сплайн SΨβ,1(y, ·) i для нього виконуються рiвностi
sign (SΨβ,1(y, tk))
ψ
β = (−1)kεek, k = 0, 2n − 1,
де tk = (xk + xk+1)/2, ek дорiвнює або 0, або 1, а ε набуває значень ±1 i не залежить вiд k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
722 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
Теорема 1 [11, 12]. Нехай при деякому n ∈ N функцiя Ψβ вигляду (1), що породжує класи
Cψβ,p, p = 1,∞, задовольняє умову Cy,2n, де y — точка, в якiй функцiя |(Ψβ ∗ ϕn)(t)|, ϕn(t) =
= sign sinnt, набуває максимального значення. Тодi
d2n(C
ψ
β,∞, C) ≥ ‖Ψβ ∗ ϕn‖C ,
d2n−1(C
ψ
β,1, L) ≥ ‖Ψβ ∗ ϕn‖C .
Достатнi умови включення Ψβ ∈ Cy,2n для ядер вигляду (1) при тих чи iнших обмеженнях
на ядра Ψβ були встановленi у роботах [10, 11, 13, 14]. Це дозволило авторам зазначених
робiт застосувати теорему 1 i одержати для низки нових випадкiв точнi оцiнки поперечникiв
dm(C
ψ
β,∞, C) та dm(C
ψ
β,1, L).
Для успiшного застосування теореми 1 необхiдно отримати певну iнформацiю про поведiн-
ку функцiй (SΨβ,1(y, t))
ψ
β . З цiєю метою встановимо наступне допомiжне твердження.
Лема 1. Нехай β ∈ R,
∑∞
k=1
ψ(k) <∞ i y ∈
[
0,
π
n
)
таке, що
|λl(y)| 6= 0, l = 1, n, (10)
де
λl(y) =
1
n
2n
∑
ν=1
eilνπ/nΨβ,1
(
y − νπ
n
)
. (11)
Тодi для довiльного t ∈
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
, k = 1, 2n, виконується рiвнiсть
(SΨβ,1(y, t))
ψ
β = (−1)k+1 π
4nψ(n)
×
×
1
2
+ 2
ψ(n)
n
n−1
∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ γ1(y) + γ2(y)
, (12)
в якiй tk =
kπ
n
− π
2n
, а
γ1(y) = γ1(ψ, β, k, y) =
ψ(n)
n
z0(y)
|λn(y)|2
+ 2
n−1
∑
j=1
zj(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
, (13)
γ2(y) = γ2(ψ, β, y) = −
R0(y)
n
ψ(n)
2
(
2 +R0(y)
n
ψ(n)
) sign sin
(
ny − βπ
2
)
, (14)
zj(y) = zj(ψ, β, k, y) = |rj(y)| cos(j(tk − y) + arg(rj(y)))−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 723
−Rj(y) cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
, j = 0, n− 1, (15)
Rj(y) = Rj(ψ, β, y) = |λn−j(y)| −
ψ(n − j)
n− j
− ψ(n+ j)
n+ j
, j = 0, n− 1, (16)
rj(y) =
3
∑
ν=1
r
(ν)
j (y), j = 0, n− 1, (17)
r
(1)
j (y) = r
(1)
j (ψ, β, y) =
ψ(3n − j)e
i
(
3ny− (β+1)π
2
)
3n − j
+
+
∞
∑
m=2
ψ((2m+ 1)n − j)e
i
(
(2m+1)ny− (β+1)π
2
)
(2m+ 1)n − j
+
ψ((2m − 1)n + j)e
−i
(
(2m−1)ny− (β+1)π
2
)
(2m− 1)n+ j
,
(18)
r
(2)
j (y) = r
(2)
j (ψ, β, y) = i
(
ψ(n + j)
n+ j
− ψ(n − j)
n− j
)
cos
(
ny − βπ
2
)
, (19)
r
(3)
j (y) = r
(3)
j (ψ, β, y) =
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n + j)
n+ j
)
×
×
(∣
∣
∣
∣
sin
(
ny − βπ
2
)∣
∣
∣
∣
− 1
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
. (20)
Доведення. Будемо виходити з отриманого у роботi [10] зображення функцiї (SΨβ,1(y, t))
ψ
β ,
згiдно з яким за умови |λj(y)| 6= 0, j = 1, n, для довiльного t ∈ (xk−1, xk) виконується рiвнiсть
(SΨβ,1(y, t))
ψ
β =
π
4n2
2
n−1
∑
j=1
sin jtk · ρj(y)− cos jtk · σj(y)
|λj(y)|2 sin
jπ
2n
+
(−1)k+1ρn(y)
|λn(y)|2
, (21)
де
λj(·) =
1
n
2n
∑
ν=1
eijνπ/nΨβ,1
(
· − νπ
n
)
,
i — уявна одиниця, ρj(·) = Re (λj(·)), σj(·) = Im (λj(·)), tk =
kπ
n
− π
2n
.
Змiнюючи порядок пiдсумовування доданкiв у правiй частинi рiвностi (21), маємо
n−1
∑
j=1
sin jtk · ρj(y)− cos jtk · σj(y)
|λj(y)|2 sin
jπ
2n
=
=
n−1
∑
j=1
sin(n − j)tk · ρn−j(y)− cos(n− j)tk · σn−j(y)
|λn−j(y)|2 sin
(n− j)π
2n
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
724 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
= (−1)k+1
n−1
∑
j=1
cos jtk · ρn−j(y)− sin jtk · σn−j(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
. (22)
З урахуванням (21) i (22) для фундаментального SK-сплайна SΨβ,1(y, t) за умови |λj(y)| 6= 0,
j = 1, n, одержуємо зображення
(SΨβ,1(y, t))
ψ
β =
=
(−1)k+1π
4n2
2
n−1
∑
j=1
cos jtk · ρn−j(y)− sin jtk · σn−j(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
+
ρn(y)
|λn(y)|2
. (23)
Покажемо, що величини λn−j(y) вигляду (11) при j = 0, n− 1 можна виразити таким чином:
λn−j(y) = e−ijy
((
ψ(n − j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ rj(y)
)
, (24)
де величини rj(y) задаються рiвностями (17).
Запишемо ядро Ψβ,1 у комплекснiй формi
Ψβ,1(t) = (Ψβ ∗B1)(t) =
∞
∑
k=1
ψ(k)
k
cos
(
kt− (β + 1)π
2
)
=
1
2
∞
∑′
k=−∞
cke
ikt,
де
ck =
ψ(k)
k
e−i
(β+1)π
2 , c−k =
ψ(k)
k
ei
(β+1)π
2 , k ∈ N, (25)
а штрих бiля знака суми означає, що при пiдсумовуваннi вiдсутнiй доданок з нульовим номером.
Пiдставивши у (11) замiсть ядра Ψβ,1 його розклад у комплексний ряд Фур’є, одержимо
λl(y) =
1
n
2n
∑
ν=1
eilνπ/n
1
2
∞
∑′
k=−∞
cke
ik(y−νπ/n) =
1
2n
2n
∑
ν=1
∞
∑′
k=−∞
cke
i(ky+(l−k)νπ/n) =
=
1
2n
∞
∑′
k=−∞
cke
iky
2n
∑
ν=1
ei((l−k)νπ/n). (26)
Неважко переконатись, що
2n
∑
ν=1
ei((l−k)νπ/n) =
0, якщо k 6= l − 2mn, m ∈ Z,
2n, якщо k = l − 2mn, m ∈ Z.
(27)
З (26) та (27) при l = 1, n випливає таке зображення:
λl(y) =
+∞
∑
m=−∞
cl−2mne
i(l−2mn)y =
+∞
∑
m=−∞
c2mn+le
i(2mn+l)y .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 725
Звiдси при l = n− j, j = 0, n − 1, отримуємо
λn−j(y) =
+∞
∑
m=−∞
c(2m+1)n−je
i((2m+1)n−j)y =
= e−ijy(cn−je
iny + c−(n+j)e
−iny + r
(1)
j (y)). (28)
З урахуванням (25) перетворимо першi два доданки у (28) таким чином:
cn−je
iny + c−(n+j)e
−iny =
ψ(n − j)
n− j
e
i
(
ny− (β+1)π
2
)
+
ψ(n + j)
n+ j
e
−i
(
ny− (β+1)π
2
)
=
=
(
ψ(n − j)
n− j
+
ψ(n + j)
n+ j
)
cos
(
ny − (β + 1)π
2
)
+
+i
(
ψ(n − j)
n− j
− ψ(n+ j)
n+ j
)
sin
(
ny − (β + 1)π
2
)
=
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n + j)
n+ j
)
sin
(
ny − βπ
2
)
+ r
(2)
j (y). (29)
Записуючи sin
(
ny − βπ
2
)
у виглядi
sin
(
ny − βπ
2
)
=
∣
∣
∣
∣
sin
(
ny − βπ
2
)∣
∣
∣
∣
sign sin
(
ny − βπ
2
)
,
з (29) маємо
cn−je
iny + c−(n+j)e
−iny =
(
ψ(n − j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
+
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n + j)
n+ j
)(∣
∣
∣
∣
sin
(
ny − βπ
2
)∣
∣
∣
∣
− 1
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ r
(2)
j (y) =
=
(
ψ(n − j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ r
(2)
j (y) + r
(3)
j (y). (30)
Рiвностi (28), (30) доводять формулу (24).
Перетворимо чисельник кожного доданка у правiй частинi рiвностi (23). Для цього, з ура-
хуванням (24), запишемо
ρn−j(y) = Re (λn−j(y)) =
=
(
ψ(n − j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
cos jy sign sin
(
ny − βπ
2
)
+Re (e−ijyrj(y)), (31)
σn−j(y) = Im (λn−j(y)) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
726 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
= −
(
ψ(n − j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sin jy sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ Im (e−ijyrj(y)). (32)
Застосовуючи (31) та (32), отримуємо
cos jtk · ρn−j(y)− sin jtk · σn−j(y) =
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n + j)
n+ j
)
cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
+cos jtk · Re (e−ijyrj(y))− sin jtk · Im (e−ijyrj(y)) =
=
(
ψ(n − j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
+Rj(y)
)
cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
+zj(y) = |λn−j(y)| cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ zj(y), (33)
де
zj(y) = cos jtk · Re (e−ijyrj(y))− sin jtk · Im (e−ijyrj(y))−
−Rj(y) cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
,
а Rj(y) означенi у (16).
Внаслiдок очевидної рiвностi
e−ijyrj(y) = |rj(y)|(cos(arg(rj(y))− jy) + i sin(arg(rj(y))− jy))
величину zj(y) можна зобразити у виглядi (15).
При j = 0 формула (24) перетворюється у рiвнiсть
λn(y) = 2
ψ(n)
n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ r0(y), (34)
де r0(y) визначається формулою (17), у якiй
r
(1)
0 (y) = 2
∞
∑
m=2
ψ((2m − 1)n)
(2m− 1)n
cos
(
(2m− 1)ny − (β + 1)π
2
)
, (35)
r
(2)
0 (y) = 0, (36)
r
(3)
0 (y) = 2
ψ(n)
n
(∣
∣
∣
∣
sin
(
ny − βπ
2
)∣
∣
∣
∣
− 1
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
. (37)
З (34) – (37) випливає, що σn(y) = 0, i тому
ρn(y) = λn(y) = 2
ψ(n)
n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ r0(y).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 727
Звiдси, враховуючи (15) та (16), можемо записати
ρn(y) =
(
2
ψ(n)
n
+R0(y)
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ z0(y) =
= |λn(y)| sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ z0(y), (38)
де
z0(y) = r0(y)−R0(y) sign sin
(
ny − βπ
2
)
.
Iз зображення (23) i рiвностей (33), (38) отримуємо
(SΨβ,1(y, t))
ψ
β =
=
(−1)k+1π
4nψ(n)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
2
ψ(n)
n
n−1
∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
+
ψ(n)
n|λn(y)|
+
+ 2
ψ(n)
n
n−1
∑
j=1
zj(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
+
ψ(n)z0(y)
n|λn(y)|2
=
=
(−1)k+1π
4nψ(n)
(
sign sin
(
ny − βπ
2
)
×
×
(
2
ψ(n)
n
[
√
n]
∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
+
ψ(n)
n|λn(y)|
)
+ γ1(y)
)
. (39)
Згiдно з (16)
ψ(n)sign sin
(
ny − βπ
2
)
n|λn(y)|
=
sign sin
(
ny − βπ
2
)
2 +R0(y)
n
ψ(n)
=
=
1
2
−
R0(y)
n
ψ(n)
2(2 +R0(y)
n
ψ(n)
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
=
1
2
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ γ2(y). (40)
Iз (39), (40) отримуємо (12).
Лему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
728 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
Лема 1 дозволяє одержати зручне для подальших дослiджень зображення величин
(SΨβ,1(y, t))
ψ
β , що породжуються ядрами Ψβ вигляду (1), коефiцiєнти ψ(k) яких задовольняють
умову Даламбера Dq:
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ (0, 1), ψ(k) > 0.
При цьому записуватимемо ψ ∈ Dq.
Лема 2. Нехай ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R, y ∈
[
0,
π
n
)
. Тодi при виконаннi умови (10) для
довiльного t ∈
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
, k = 1, 2n, справджується рiвнiсть
(SΨβ,1(y, t))
ψ
β =(−1)k+1 π
4nψ(n)
(
Pq(tk − y) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
5
∑
m=1
γm(y)
)
, (41)
в якiй tk =
kπ
n
− π
2n
, Pq(t) — ядро аналiтично продовжуваних у смугу функцiй:
Pq(t) =
1
2
+ 2
∞
∑
j=1
cos jt
qj + q−j
, q ∈ (0, 1),
величини γ1(y) та γ2(y) задано рiвностями (13) i (14) вiдповiдно, а
γ3(y) = γ3(ψ, β, k, y) = 2
n−1
∑
j=[
√
n]+1
cos j(tk − y)
n
ψ(n)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
, (42)
γ4(y) = γ4(ψ, β, k, y) = −2
[
√
n]
∑
j=1
δj(y) cos j(tk − y)
n
ψ(n)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
, (43)
γ5(y) = γ5(q, β, k, y) = −2
∞
∑
j=[
√
n]+1
cos j(tk − y)
qj + q−j
sign sin
(
ny − βπ
2
)
, (44)
δj(y) = δj(ψ, y) =
n|λn−j(y)| cos
jπ
2n
(q−j + qj)ψ(n)
− 1, j = 1, [
√
n], (45)
[a] — цiла частина числа a.
Доведення. Згiдно з позначенням (42)
2
ψ(n)
n
n−1
∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
= 2
ψ(n)
n
[
√
n]
∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ γ3(y). (46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 729
Далi з огляду на формули (43) – (45) можна записати рiвностi
2
ψ(n)
n
[
√
n]
∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
= 2
[
√
n]
∑
j=1
cos j(tk − y)
(qj + q−j)(1 + δj(y))
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
=
2
[
√
n]
∑
j=1
cos j(tk − y)
qj + q−j
− 2
[
√
n]
∑
j=1
δj(y) cos j(tk − y)
(qj + q−j)(1 + δj(y))
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
=
(
Pq(tk − y)− 1
2
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ γ4(y) + γ5(y). (47)
Iз (12), (46) та (47) отримуємо (41).
Лему 2 доведено.
Послiдовностi ψ(k) =
1
ch kh
ядра Hh,β(t) вигляду (3) задовольняють умову Dq при q = e−h,
а тому для вказаних ψ справджується лема 2. Отже, при виконаннi нерiвностей (10) для SK-
сплайнiв, породжених ядром Hh,β(t), має мiсце зображення (41).
Наступне твердження мiстить оцiнку зверху суми
∑5
k=1
|γk(y)| у зображеннi (41) для ядер
Ψβ(t) = Hh,β(t) у випадку, коли y = y0, де y0 — точка, в якiй функцiя |Ψβ ∗ ϕn| набуває
найбiльшого значення.
Лема 3. Нехай величини γl(y0), l = 1, 5, задаються рiвностями (13), (14), (42) – (44), в яких
ψ(n) =
1
ch nh
=
2qn
1 + q2n
, h > 0, q = e−h, β ∈ R, а y0 = y0(n, h, β) =
θnπ
n
, де θn — єдиний на
[0, 1) корiнь рiвняння
∞
∑
ν=0
1
ch((2ν + 1)nh)
cos
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)
= 0. (48)
Тодi при n ≥ 9 та виконаннi умови
qn
1− q2n
≤ 7q
√
n
37n2
(49)
для довiльного t ∈
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
, k = 1, 2n, має мiсце зображення
(SΨβ,1(y0, t))
ψ
β =(−1)k+1 π
4nψ(n)
(
Pq(tk − y0)sign sin
(
ny0 −
βπ
2
)
+
5
∑
l=1
γl(y0)
)
(50)
та справджується оцiнка
5
∑
l=1
|γl(y0)| ≤
37
5(1 − q)
q
√
n +
q
(1− q)2
min
{
160
27(n −√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
730 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
Доведення. Встановимо спочатку зображення (50). Для цього достатньо показати, що при
y = y0 виконується умова (10). Знайдемо оцiнки зверху величин |rj(y0)| та |Rj(y0)| при j =
= 0, n − 1. З (18) маємо
|r(1)j (y0)| ≤
2q3n−j
(3n− j)(1 + q2(3n−j))
+ 2
∞
∑
m=2
(
q(2m+1)n−j
((2m+ 1)n− j)(1 + q2((2m+1)n−j))
+
+
q(2m−1)n+j
((2m − 1)n + j)(1 + q2((2m−1)n+j))
)
<
<
2q3n−j
3n− j
+ 2
∞
∑
m=2
(
q(2m+1)n−j
(2m+ 1)n− j
+
q(2m−1)n+j
(2m− 1)n+ j
)
=
= 2
∞
∑
m=1
(
q(2m+1)n−j
(2m+ 1)n− j
+
q(2m+1)n+j
(2m+ 1)n+ j
)
. (51)
Оскiльки внаслiдок опуклостi послiдовностi
qk
k
виконується нерiвнiсть
qk−j
k − j
+
qk+j
k + j
<
qk−n
k − n
+
+
qk+n
k + n
, k > n, j = 0, n− 1, iз (51) знаходимо
|r(1)j (y0)| ≤ 2
∞
∑
m=1
(
q2mn
2mn
+
q2(m+1)n
2(m+ 1)n
)
=
=
q2n
n
+ 2
∞
∑
m=2
q2mn
mn
≤ 1
n
∞
∑
m=1
q2mn =
q2n
n(1− q2n)
. (52)
Iз рiвняння (48) при q = e−h отримуємо
∣
∣
∣
∣
cos
(
θnπ − βπ
2
)∣
∣
∣
∣
= (1 + q2n)
∣
∣
∣
∣
∣
∞
∑
ν=1
q2νn
1 + q2(2ν+1)n
cos
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)
∣
∣
∣
∣
∣
<
< (1 + q2n)
∞
∑
ν=1
q2νn =
q2n
1− q2n
(1 + q2n). (53)
У свою чергу, з (53) випливає, що
0 ≤ 1−
∣
∣
∣
∣
sin
(
θnπ − βπ
2
)∣
∣
∣
∣
≤
∣
∣
∣
∣
cos
(
θnπ − βπ
2
)∣
∣
∣
∣
<
q2n
1− q2n
(1 + q2n). (54)
Iз (53) та (19) маємо
|r(2)j (y0)| <
2q2n(1 + q2n)
1− q2n
(
qn−j
(n− j)(1 + q2(n−j))
− qn+j
(n+ j)(1 + q2(n+j))
)
. (55)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 731
Iз (54) та (20) знаходимо
|r(3)j (y0)| <
2q2n(1 + q2n)
1− q2n
(
qn−j
(n− j)(1 + q2(n−j))
+
qn+j
(n+ j)(1 + q2(n+j))
)
. (56)
З умови (49) випливає, що
q2n <
49
1369n4
. (57)
Отже, з (52), (55) – (57) при n ≥ 9 випливає оцiнка величини |rj(y0)|:
|rj(y0)| ≤
∣
∣
∣
∣
∣
3
∑
ν=1
r
(ν)
j (y0)
∣
∣
∣
∣
∣
<
q2n
1− q2n
(
4(1 + q2n)qn−j
(n − j)(1 + q2(n−j))
+
1
n
)
<
<
q2n
1− q2n
(
4q(1 + q2n) +
1
n
)
<
38
9
q2n
1− q2n
, j = 0, n− 1. (58)
При j = 0 оцiнку (58) можна покращити. Дiйсно, згiдно з (35) маємо
|r(1)0 (y0)| ≤ 4
∞
∑
m=2
q(2m−1)n
((2m− 1)n)(1 + q2(2m−1)n)
<
4
3n
∞
∑
m=2
q(2m−1)n =
4
3n
q3n
1− q2n
,
а з (37) та (54) випливає, що
∣
∣
∣r
(3)
0 (y0)
∣
∣
∣ <
4q3n
n(1− q2n)
.
Тодi, враховуючи (36), можемо записати
|r0(y0)| ≤ |r(1)0 (y0) + r
(3)
0 (y0)| ≤
16
3n
q3n
1− q2n
. (59)
Iз (24) отримуємо зображення
|λn−j(y0)| =
=
∣
∣
∣
∣
sign sin
(
ny − βπ
2
)(
2qn−j
(n− j)(1 + q2(n−j))
+
2qn+j
(n+ j)(1 + q2(n+j))
)
+ rj(y0)
∣
∣
∣
∣
,
з якого безпосередньо випливає оцiнка
|λn−j(y0)| ≤
2qn−j
(n− j)(1 + q2(n−j))
+
2qn+j
(n+ j)(1 + q2(n+j))
+ |rj(y0)|. (60)
Оскiльки внаслiдок (54) та умови (49)
∣
∣
∣
∣
sin
(
ny0 −
βπ
2
)∣
∣
∣
∣
≥ 1− q2n
1− q2n
(1 + q2n) > 0, (61)
то отримуємо також оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
732 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
|λn−j(y0)| ≥
2qn−j
(n− j)(1 + q2(n−j))
+
2qn+j
(n+ j)(1 + q2(n+j))
− |rj(y0)|. (62)
Iз (16), (60) та (62) випливає, що
|Rj(y0)| ≤ |rj(y0)|, j = 0, n − 1. (63)
Беручи до уваги оцiнки (62), (58), маємо
|λn−j(y0)| >
qn−j
n− j
+
qn+j
n+ j
− 38
9
q2n
1− q2n
=
qn
n− j
(
q−j +
n− j
n+ j
qj − 38(n − j)qn
9(1 − q2n)
)
. (64)
Оскiльки при j = 0, n − 1 та n ≥ 9
9q−j
380(n − j)
>
9
380n
>
7q
√
n
37n2
, то з умови (49) випливає
нерiвнiсть
9
380(n − j)
q−j >
qn
1− q2n
,
яка еквiвалентна нерiвностi
q−j
10
>
38(n − j)qn
9(1 − q2n)
, j = 0, n − 1. (65)
Внаслiдок (65) виконуються оцiнки
q−j +
n− j
n+ j
qj − 38(n − j)qn
9(1− q2n)
=
=
9q−j
10
+
q−j
10
+
n− j
n+ j
qj − 38(n − j)qn
9(1− q2n)
>
9q−j
10
, j = 0, n − 1. (66)
Об’єднуючи (64) та (66), маємо
|λn−j(y0)| >
9qn−j
10(n − j)
. (67)
З нерiвностi (67) випливає виконання умови (10), а отже, i справедливiсть зображення (50).
Встановимо оцiнки зверху кожної з величин |γl(y0)|, l = 1, 5. Розпочнемо з оцiнки величини
|γ1(y0)|. Оскiльки для x ∈
[
0,
π
2
)
виконується нерiвнiсть cos x ≥ 1 − 2x
π
> 0, отримуємо
спiввiдношення
cos
jπ
2n
≥ 1− j
n
=
n− j
n
, j = 0, n − 1. (68)
З (67) та (68) маємо
n(1 + q2n)
2qn
|λn−j(y0)|2 cos
jπ
2n
>
81(1 + q2n)
200n
qn−2j. (69)
З (63) i (15) випливає, що |zj(y0)| ≤ 2|rj(y0)|. Тому, враховуючи (58), (69) та умову (49), з
(13) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 733
|γ1(y0)| ≤
800
81(1 + q2n)
max
0≤j≤n−1
|rj(y0)|
n
qn
n−1
∑
j=0
q2j <
<
30400nqn
729(1 + q2n)(1− q2n)
∞
∑
j=0
q2j ≤ 212800
26973n
q
√
n 1
1− q2
. (70)
Оцiнимо |γ2(y0)|. З (14), (63), (59), (49) i (57) отримуємо
|γ2(y0)| ≤
8q2n(1 + q2n)
3(1− q2n)
2
∣
∣
∣
∣
2− 8q2n(1 + q2n)
3(1 − q2n)
∣
∣
∣
∣
=
2q2n(1 + q2n)
|3− 7q2n − 4q4n| <
4q2n
3− 11q2n
=
=
1− q2n
3− 11q2n
4q2n
1− q2n
=
(
1
11
+
8
11(3 − 11q2n)
)
4q2n
1− q2n
<
<
5
11
4q2n
1− q2n
<
140qn+
√
n
407n2
. (71)
Оцiнимо величину |γ3(y0)|. Беручи до уваги (67) та (68), маємо
n(1 + q2n)
2qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
>
9(1 + q2n)q−j
20
. (72)
Тому з огляду на (72) з (42) знаходимо
|γ3(y0)| <
40
9(1 + q2n)
n−1
∑
j=[
√
n]+1
qj =
40(q[
√
n]+1 − qn)
9(1− q)(1 + q2n)
≤ 40q
√
n
9(1− q)
. (73)
Перш нiж оцiнити |γ4(y0)|, встановимо оцiнки зверху для величини |δj(y0)|, означеної в
(45). З урахуванням (16)
n(1 + q2n)
2qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
=
=
(
n
n− j
(1 + q2n)qn−j
qn(1 + q2(n−j))
+
n
n+ j
(1 + q2n)qn+j
qn(1 + q2(n+j))
+Rj(y0)
(1 + q2n)n
2qn
)
cos
jπ
2n
=
= (q−j + qj)
(
1− 2 sin2
jπ
4n
)
+
(
n
n− j
q−j(1 + q2n)
1 + q2(n−j)
− q−j +
+
n
n+ j
qj(1 + q2n)
1 + q2(n+j)
− qj +Rj(y0)
n(1 + q2n)
2qn
)
cos
jπ
2n
. (74)
Оскiльки
∣
∣
∣
∣
n
n− j
1 + q2n
1 + q2(n−j)
− 1
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
(
1 +
j
n− j
)
(
1− q2(n−j) − q2n
1 + q2(n−j)
)
− 1
∣
∣
∣
∣
∣
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
734 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
=
∣
∣
∣
∣
∣
j
n− j
− n
n− j
q2(n−j) − q2n
1 + q2(n−j)
∣
∣
∣
∣
∣
<
j
n− j
+
n
n− j
q2(n−j),
∣
∣
∣
∣
n
n+ j
1 + q2n
1 + q2(n+j)
− 1
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
(
1− j
n+ j
)
(
1 +
q2n − q2(n+j)
1 + q2(n+j)
)
− 1
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∣
∣
∣
∣
∣
− j
n+ j
+
n
n+ j
q2n − q2(n+j)
1 + q2(n+j)
∣
∣
∣
∣
∣
<
j
n+ j
+
n
n+ j
q2n,
то
max
{∣
∣
∣
∣
n
n− j
1 + q2n
1 + q2(n−j)
− 1
∣
∣
∣
∣
,
∣
∣
∣
∣
n
n+ j
1 + q2n
1 + q2(n+j)
− 1
∣
∣
∣
∣
}
<
j
n− j
+
n
n− j
q2(n−j). (75)
Тодi з (45), (58), (63), (74), (75) з урахуванням опуклостi послiдовностi qk для величин |δj(y0)|
будемо мати
|δj(y0)| ≤
≤ 2 sin2
jπ
4n
+
1
q−j + qj
((
j
n− j
+
nq2(n−j)
n− j
)
(q−j + qj) + |Rj(y0)|
n(1 + q2n)
2qn
)
≤
≤ 2
(
jπ
4n
)2
+
j
n− j
+
nq2(n−j)
n− j
+
n(1 + q2n)|rj(y0)|
2(qn−j + qn+j)
≤
≤ j2π2
8n2
+
j
n− j
+
nq2(n−j)
n− j
+
19n(1 + q2n)
18
qn
1− q2n
=
=
4j
3(n− j)
+
(
j2π2
8n2
+
nq2(n−j)
n− j
+
19n(1 + q2n)
18
qn
1− q2n
− j
3(n − j)
)
. (76)
Покажемо, що для всiх j = 1, [
√
n]
|δj(y0)| ≤
4j
3(n − j)
. (77)
Для цього внаслiдок (76) досить переконатися, що при j = 1, [
√
n] виконується нерiвнiсть
j
3(n − j)
− j2π2
8n2
−
√
nq2(n−
√
n)
√
n− 1
>
19n(1 + q2n)
18
qn
1− q2n
. (78)
Дiйсно, як показано у роботi [15, с. 104], при кожному фiксованому x ≥ 9 функцiя f(x, τ) =
=
τ
3(x− τ)
− τ2π2
8x2
на [1,
√
x] набуває найменшого значення у точцi τ = 1. Тому при n ≥ 9 з
урахуванням (49) для всiх j = 1, [
√
n] маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 735
j
3(n − j)
− j2π2
8n2
−
√
nq2(n−
√
n)
√
n− 1
≥ 1
3(n − 1)
− π2
8n2
−
√
nq2(n−
√
n)
2
>
>
1
3(n − 1)
− π2
8n2
− 49
2738n3
√
n
. (79)
При n = 9, враховуючи (49) та (57), отримуємо
1
3(n − 1)
− π2
8n2
− 49
2738n3
√
n
=
1
24
− π2
648
− 49
5988006
>
17
648
− 49
5988006
>
> 0, 025 >
7 · 19(1 + q18)q3
18 · 37 · 9 =
7 · 19(1 + q2n)q
√
n
18 · 37n >
19n(1 + q2n)qn
18(1 − q2n)
. (80)
При n ≥ 10, враховуючи (49) та (57), отримуємо
1
3(n − 1)
− π2
8n2
− 49
2738n3
√
n
>
1
n
(
1
3
− π2
80
)
− 49
2738n3
√
n
>
>
5
24n
− 49
2738n3
√
n
>
7 · 19(1 + q2n)q
√
n
18 · 37n >
19n(1 + q2n)qn
18(1− q2n)
. (81)
З (79) – (81) випливає справедливiсть (78), а отже, i (77).
Формули (43), (72) та (77) дозволяють одержати при n ≥ 9 оцiнку величини γ4(y0):
|γ4(y0)| ≤ 2
[
√
n]
∑
j=1
4j
3(n − j)
9(1 + q2n)q−j
20
=
160
27(1 + q2n)
[
√
n]
∑
j=1
j
n− j
qj ≤
≤ 160
27(n −√
n)
[
√
n]
∑
j=1
jqj <
160
27(n −√
n)
∞
∑
j=1
jqj <
160
27(n −√
n)
q
(1− q)2
. (82)
Водночас для величини |γ4(y0)| можна отримати iншу оцiнку зверху. З цiєю метою, помiтивши,
що внаслiдок (45)
n(1 + q2n)
2qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
= (qj + q−j)(1 + δj(y0)),
з (43), (77) при n ≥ 9 одержуємо
|γ4(y0)| ≤ 2
[
√
n]
∑
j=1
4j
3(n− j)
1− 4j
3(n − j)
qj = 2
[
√
n]
∑
j=1
4j
3n− 7j
qj ≤
≤ 8
3n− 7
√
n
[
√
n]
∑
j=1
jqj <
8
3n− 7
√
n
∞
∑
j=1
jqj <
8
3n− 7
√
n
q
(1− q)2
. (83)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
736 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
Iз (82) i (83) випливає оцiнка
|γ4(y0)| ≤
q
(1− q)2
min
{
160
27(n −√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
. (84)
Згiдно з (44) для величини |γ5(y0)| маємо
|γ5(y0)| ≤ 2
∞
∑
j=[
√
n]+1
qj = 2
q[
√
n]+1
1− q
< 2
q
√
n
1− q
. (85)
Беручи до уваги оцiнки (70), (71), (73), (84) та (85), при n ≥ 9 одержуємо, що при виконаннi
умови (49)
5
∑
k=1
|γk(y0)| <
212800
26973n
q
√
n 1
1− q2
+
140qn+
√
n
407n2
+
40q
√
n
9(1− q)
+
+
q
(1− q)2
min
{
160
27(n −√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
+
2q
√
n
1− q
<
<
q
√
n
1− q
(0, 877 + 0, 0043 + 4, 45 + 2) +
q
(1− q)2
min
{
160
27(n −√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
<
<
37
5(1 − q)
q
√
n +
q
(1− q)2
min
{
160
27(n −√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
.
Лему 3 доведено.
3. Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв. Для кожного фiксованого h > 0 через
nh будемо позначати найменший iз номерiв n ≥ 9, для якого виконується нерiвнiсть
37
5(1− e−h)
e−h
√
n +
e−h
(1− e−h)2
min
{
160
27(n −√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
≤
≤
(
1
2
+
1
(1− e−h) ch h
)(
1− e−h
1 + e−h
)
4
1−e−2h
. (86)
У прийнятих позначеннях має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. Нехай h > 0, β ∈ R. Тодi для всiх номерiв n таких, що n ≥ nh, виконуються
нерiвностi (6) i (7).
Доведення. Вiдповiдно до теореми 1 для встановлення нерiвностей (6) i (7) достатньо пока-
зати, що для довiльних h > 0, β ∈ R i всiх номерiв n > nh ядра Hh,β(t) задовольняють умову
Cy0,2n, де y0 — точка, в якiй модуль функцiї Φh,β,n(·) = (Hh,β ∗ ϕn)(·), ϕn(t) = sign sinnt,
досягає найбiльшого значення, тобто
|Φh,β,n(y0)| = |(Hh,β ∗ ϕn)(y0)| = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C .
Оскiльки, як неважко переконатись,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. I 737
Φh,β,n(t) = (Hh,β ∗ ϕn)(t) =
4
π
∞
∑
ν=0
1
(2ν + 1) ch ((2ν + 1)nh)
sin
(
(2ν + 1)nt− βπ
2
)
,
то Φh,β,n(·) — перiодична з перiодом 2π/n диференцiйовна функцiя i така, що Φh,β,n
(
·+ π
n
)
=
= −Φh,β,n(·). Тому максимальне значення π/n-перiодичної функцiї |Φh,β,n(·)| на
[
0,
π
n
)
дося-
гається у точцi y0 = y0(n, h, β) =
θnπ
n
, де θn — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння (48).
Згiдно з лемою 2 роботи [15] для довiльного x ∈ R i довiльного q ∈ (0, 1)
Pq(x) >
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
)
4
1−q2
. (87)
Тодi з леми 3 i нерiвностi (87) випливає, що при n ≥ 9, q = e−h, k = 1, 2n, за умов (86) та (49)
виконується нерiвнiсть
Pq(tk − y0) +
5
∑
m=1
γm(y0) sign sin
(
ny0 −
βπ
2
)
≥ 0. (88)
На пiдставi зображення (50), а також нерiвностей (61) i (88) робимо висновок, що при n ≥ 9
за умов (86) та (49) справджується включення Hh,β ∈ Cy0,2n. Залишається лише переконатись,
що (49) випливає з (86).
У роботi [16] було показано, що нерiвнiсть (49) випливає з умови
43
10(1 − q)
q
√
n +
q
(1− q)2
min
{
160
57(n −√
n)
,
8
3n − 7
√
n
}
≤
≤
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1 − q)
)(
1− q
1 + q
)
4
1−q2
. (89)
При q = e−h безпосередньо переконуємося, що з (86) випливає (89), а отже, з (86) випливає (49).
Теорему доведено.
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40,
ч. 1. – 427 c.
2. Forst W. Uber die Breite von Klassen holomorpher periodischer Funktionen // J. Approxim. Theory. – 1977. – 19,
№ 4. – P. 325 – 331.
3. Кушпель А. К. Вопросы оптимального приближения функциональных классов: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. –
Киев, 1988. – 283 с.
4. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 408 с.
5. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений
// Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – C. 81 – 120.
6. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1976. – 304 c.
7. Ахиезер Н. И. О наилучшем приближении аналитических функций // Докл. АН. – 1938. – 18, № 4 – 5. –
C. 241 – 245.
8. Pinkus A. On n-widths of periodic functions // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 209 – 235.
9. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – Springer-Verlag, 1985. – 291 p.
10. Степанец А. И., Сердюк А. С. Оценки снизу поперечников классов сверток периодических функций в метриках
C и L // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 8. – С. 1112 – 1121.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
738 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
11. Кушпель А. К. Точные оценки поперечников классов сверток // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1988. – 52, № 6. –
С. 1305 – 1322.
12. Кушпель А. К. Оценки поперечников классов сверток в пространствах C и L // Укр. мат. журн. – 1989. – 41,
№ 8. – С. 1070 – 1076.
13. Сердюк А. С. Оцiнки поперечникiв та найкращих наближень класiв згорток перiодичних функцiй // Ряди
Фур’є: теорiя i застосування: Працi Iн-ту математики НАН України. – 1998. – 20. – С. 286 – 299.
14. Сердюк А. С. Поперечники та найкращi наближення класiв згорток перiодичних функцiй // Укр. мат. журн. –
1999. – 51, № 5. – С. 674 – 687.
15. Serdyuk A. S., Bodenchuk V. V. Exact values of Kolmogorov widths of classes of Poisson integrals // J. Approxim.
Theory. – 2013. – 173, № 9. – P. 89 – 109.
16. Сердюк А. С., Боденчук В. В. Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв класiв iнтегралiв Пуассона // Теорiя
наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. –
С.204 – 222.
Одержано 11.08.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 6
|