О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²

Доведено, що скінченна група з доповнюваними підгрупами порядку p² для всіх p є розв'язною i її похідна довжина не перевищує 4.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2015
Автори: Княгина, В.Н., Монахов, В.С.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2015
Назва видання:Український математичний журнал
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165680
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p² / В.Н. Княгина, В.С. Монахов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 874–881. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165680
record_format dspace
spelling irk-123456789-1656802020-02-16T01:26:33Z О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p² Княгина, В.Н. Монахов, В.С. Статті Доведено, що скінченна група з доповнюваними підгрупами порядку p² для всіх p є розв'язною i її похідна довжина не перевищує 4. It is shown that a finite group with complemented subgroups of order p² is soluble for all p and its derived length does not exceed 4. 2015 Article О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p² / В.Н. Княгина, В.С. Монахов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 874–881. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165680 512.542 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Княгина, В.Н.
Монахов, В.С.
О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²
Український математичний журнал
description Доведено, що скінченна група з доповнюваними підгрупами порядку p² для всіх p є розв'язною i її похідна довжина не перевищує 4.
format Article
author Княгина, В.Н.
Монахов, В.С.
author_facet Княгина, В.Н.
Монахов, В.С.
author_sort Княгина, В.Н.
title О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²
title_short О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²
title_full О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²
title_fullStr О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²
title_full_unstemmed О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²
title_sort о производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p²
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2015
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165680
citation_txt О производной длине конечной группы с дополняемыми под- группами порядка p² / В.Н. Княгина, В.С. Монахов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 874–881. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT knâginavn oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2
AT monahovvs oproizvodnojdlinekonečnojgruppysdopolnâemymipodgruppamiporâdkap2
first_indexed 2025-07-14T19:29:58Z
last_indexed 2025-07-14T19:29:58Z
_version_ 1837651898444808192
fulltext УДК 512.542 В. Н. Княгина (Гос. учреждение образования „Гомел. инж. ин-т” МЧС Республики Беларусь), В. С. Монахов (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Республика Беларусь) О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 It is proved that a finite group with complemented subgroups of order p2 for all p is solvable and its derived length does not exceed 4. Доведено, що скiнченна група з доповнюваними пiдгрупами порядку p2 для всiх p є розв’язною i її похiдна довжина не перевищує 4. Введение. Рассматриваются только конечные группы. Принятые обозначения стандартны и соответствуют [1, 2]. Как обычно, Φ(G) и G′ — соответственно подгруппа Фраттини и ком- мутант группы G, а G(n) — n-й коммутант: G(n) = (G(n−1))′. Наименьшее натуральное n, для которого G(n) = 1, называется производной длиной разрешимой группы G и обозначает- ся через d(G). Дополнением к подгруппе H в группе G называется такая подгруппа K, что G = HK и H ∩K = 1. Результаты о группах, как конечных, так и бесконечных, с системами дополняемых подгрупп изложены в монографии С. Н. Черникова [3]. В 1937 г. Ф. Холл [4] установил, что конечные группы, в которых дополняемы все под- группы, исчерпываются сверхразрешимыми группами с элементарными абелевыми силов- скими подгруппами. Такие группы получили название вполне факторизуемых групп. Позже Ю. М. Горчаков [5] показал, что дополняемость всех подгрупп равносильна дополняемости подгрупп простых порядков. Понятно, что производная длина вполне факторизуемой группы не выше 2. Я. П. Сысак [6] исследовал строение конечных групп с дополняемыми элементарными абелевыми примарными подгруппами непростых порядков, которые названы им элементарно факторизуемыми группами. Группа G тогда и только тогда элементарно факторизуема, когда для всех p ∈ π(G) она удовлетворяет условию дополняемости для элементарных абелевых под- групп порядков p2 и p3 [7] (лемма 10). Ранг [2] (п. VI.5) разрешимой элементарно факторизуе- мой группы G не превышает 2 [6] (следствие 2). Разрешимые группы, у которых ранг не превы- шает 2, исследованы в [8]. В частности, в такой группеG существует нормальная {2, 3}′-холлова подгруппа, а d(G/Φ(G)) ≤ 5. Силовская 2-подгруппа неразрешимой элементарно факторизуе- мой группы является обобщенной группой кватернионов, а ее неабелевы композиционные фак- торы изоморфны PSL(2, p) [6] (теорема 2). Элементарно факторизуемыми группами, в частно- сти, являются вполне факторизуемые группы и группы, не содержащие нециклические элемен- тарные абелевы подгруппы. Конечные группы с последним свойством — это группы, силовские p-подгруппы которых при p > 2 циклические, а при p = 2 либо циклические, либо обобщенные группы кватернионов (в частности, группы кватернионов). Отметим, что разрешимые группы с указанными силовскими подгруппами описал Цассенхауз [9], а неразрешимые — Сузуки [10]. По сравнению с классом всех элементарно факторизуемых групп более широкий класс сос- тавляют все конечные группы с дополняемыми подгруппами типа (p, p) для всех p, изученные в работе Я. П. Сысака [7] и названные им (p, p)-факторизуемыми. Теорема (Я. П. Сысак). Конечная не элементарно факторизуемая группаG тогда и толь- ко тогда для каждого p ∈ π(G) удовлетворяет условию дополняемости для абелевых под- групп типа (p, p), когда G = [A]B, где A — абелева холлова подгруппа в G, у которой для c© В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ, 2015 874 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 875 каждого p ∈ π(A) силовская p-подгруппа Ap является прямым произведением двух или бо- лее G-изоморфных минимальных нормальных подгрупп порядка p2 группы G и фактор-группа G/CG(Ap) циклическая, а B — элементарно факторизуемая группа. Применяя теорему 1 из [8], отсюда можно получить оценку производной длины фактор- группы G/Φ(G) разрешимой (p, p)-факторизуемой для всех p группы G. Она не превышает 6, а для таких групп нечетного порядка — 4. В настоящей работе мы исследуем строение конечной группы с дополняемыми подгруппами порядка p2 для всех p ∈ π(G). Доказывается следующая теорема. Теорема. Пусть в группе G для каждого p ∈ π(G) дополняемы все подгруппы порядка p2. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) группа G разрешима и ее производная длина d(G) ≤ 4; кроме того, если порядок G нечетен, то d(G) ≤ 3; 2) {2, 3}′-холлова подгруппа нормальна; 3) 2′-холлова подгруппа имеет силовскую башню сверхразрешимого типа; 4) если группа G не имеет силовской башни сверхразрешимого типа, то существует нормальная подгруппа N такая, что фактор-группа G/N изоморфна знакопеременной группе A4 степени 4. 1. Вспомогательные результаты. Для доказательства теоремы нам потребуются следую- щие леммы. Лемма 1. 1. Пусть A и H — подгруппы группы G и A ⊆ H. Если A дополняема в G и все ее дополнения в H дополняемы в G, то H дополняема в G. 2. Пусть H — подгруппа группы G. Если все подгруппы простых порядков из H дополняемы в G, то H дополняема в G. Доказательство. 1. Пусть K — дополнение к подгруппе A в группе G. Тогда G = AK, A ∩K = 1, H = A(H ∩K), A ∩H ∩K = 1, т. е. H ∩K — дополнение к A в H. По условию существует подгруппа L такая, что G = (H ∩K)L, H ∩K ∩ L = 1. Вычислим порядок произведения подгрупп H и K ∩ L : |H(K ∩ L)| = |H||K ∩ L| = |A||H ∩K||K ∩ L| = |G| |K| |G| |L| |K ∩ L| = |G|2 |KL| ≥ |G|. Поэтому G = H(K ∩ L) и K ∩ L — дополнение к подгруппе H в группе G. 2. Применим индукцию по числу |G|+ |H|. Пусть A — подгруппа простого порядка из H. По условию существует подгруппа B такая, что G = AB и A∩B = 1. По тождеству Дедекинда H = A(H∩B). ЕслиH∩B = 1, тоH = A иH дополняема вG.ПустьH∩B 6= 1. Теперь каждая подгруппа простого порядка из H ∩B дополняема в G. Поскольку |G|+ |H ∩B| < |G|+ |H|, то применима индукция к группе G с подгруппой H ∩B, т. е. подгруппа H ∩B дополняема в G. По первому утверждению доказываемой леммы подгруппа H дополняема в G. Лемма доказана. Лемма 2. Зафиксируем p ∈ π(G). Пусть в группе G все подгруппы порядка p2 дополняемы. Тогда справедливы следующие утверждения: (1) если H — подгруппа группы G, то в H все подгруппы порядка p2 дополняемы; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 876 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ (2) если N — нормальная p′-подгруппа группы G, то в фактор-группе G/N все подгруппы порядка p2 дополняемы; (3) силовская p-подгруппа является группой одного из следующих типов: (3.1) элементарной абелевой p-группой; (3.2) циклической группой порядка p или p2; (3.3) группой диэдра порядка 8; (3.4) неабелевой группой порядка p3 экспоненты p. Доказательство. Первые два утверждения доказываются простой проверкой. 3. В силу первого утверждения доказываемой леммы можно считать, что G = Gp — p- группа. Если в G нет подгрупп порядка p2, то |G| = p. Если Φ(G) = 1, то G — элементарная абелева p-группа. Пусть в p-группе G имеются подгруппы порядков p2 и Φ = Φ(G) 6= 1. Пред- положим, что |Φ| ≥ p2 и P — подгруппа порядка p2 из Φ. По условию подгруппа P дополняема в G, что невозможно по свойствам подгруппы Фраттини. Поэтому |Φ| = p. Пусть A — нор- мальная подгруппа порядка p2, содержащая Φ. По условию существует подгруппа B такая, что G = [A]B. Согласно [2] (п. III.3.12) Φ(B) ⊆ Φ ⊆ A, поэтому Φ(B) = 1 и B — элементарная абелева. Подгруппа CB(A) нормальна в G. Если CB(A) 6= 1, то существует подгруппа D прос- того порядка, содержащаяся в CB(A) и нормальная в G. По условию подгруппа ΦD = Φ×D дополняема в группе G, поэтому существует подгруппа H такая, что G = [Φ × D]H. Но теперь подгруппа DH будет дополнением к подгруппе Φ в группе G, что невозможно. Зна- чит, допущение неверно, CB(A) = 1 и CG(A) = A. Теперь подгруппа B становится группой автоморфизмов для группы A. Если A — циклическая, то по [2] (п. I.4.6) |B| ≤ p. Если A — элементарная абелева, то AutA = GL(2, p) и снова |B| ≤ p. Итак, в любом случае |B| ≤ p. Если B = 1, то G = A — циклическая группа порядка p2. Если |B| = p, то G становится неабелевой группой порядка p3, строение которой известно [2] (п. I.14.10). Проверка показывает, что G — либо группа диэдра порядка 8, либо неабелева группа порядка p3 экспоненты p. Лемма доказана. Понятие p-ранга p-разрешимой группы и его свойства можно найти, например, в [2] (п. VI.5). Лемма 3. Пусть G — p-разрешимая группа, p ∈ π(G). Предположим, что в G все под- группы порядка p2 дополняемы. Тогда справедливы следующие утверждения: (1) если N — минимальная нормальная подгруппа группы G, то либо N — p′-группа, либо |N | = p, либо |N | = p2; в частности, p-ранг G не превышает 2; (2) если N — нормальная подгруппа группы G, то в G/N каждая подгруппа порядка p2 дополняема. Доказательство. Пусть N — минимальная нормальная подгруппа группы G. Предполо- жим, что N не является p′-группой. Тогда N — элементарная абелева p-подгруппа. Допустим, что |N | ≥ p3 и N1 — подгруппа порядка p2 из N. По условию подгруппа N1 дополняема в G, т. е. существует подгруппа H такая, что G = [N1]H. Поскольку G = NH, то N ∩ H 6= 1 и N ∩H — нормальная в G подгруппа, собственно содержащаяся в N. Противоречие. Поэтому допущение неверно и |N | ≤ p2. Таким образом, каждая минимальная нормальная подгруппа является либо p′-подгруппой, либо имеет порядок p или p2. Теперь проверим, что если N — нормальная подгруппа группы G, то в G/N каждая под- группа порядка p2 дополняема. В силу индукции достаточно доказать утверждение, когда N — ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 877 минимальная нормальная подгруппа. Если N — p′-подгруппа, то утверждение справедливо по лемме 2 (2). Если |N | = p, то в G/N все подгруппы порядка p дополняемы. По лемме 1 (2) каж- дая подгруппа порядка p2 дополняема в G/N. Остается случай, когда |N | = p2. Пусть A/N — подгруппа порядка p2. По условию подгруппа N дополняема в G, т. е. существует такая под- группа H, что G = [N ]H. По тождеству Дедекинда A = [N ](A ∩H). Поскольку |A ∩H| = p2, то подгруппа A ∩H дополняема в H, т. е. существует такая подгруппа K, что H = [A ∩H]K. Подгруппа K будет дополнением к подгруппе A в группе G и KN/N — дополнение к подгруп- пе A/N в фактор-группе G/N. Следовательно, если N — нормальная подгруппа группы G, то в G/N каждая подгруппа порядка p2 дополняема. Осталось проверить, что p-ранг G не превышает 2. Пусть K/N — главный pd-фактор группы G, т. е. K/N является минимальной нормальной pd-подгруппой в G/N. Так как G/N p-разрешима, то K/N — элементарная абелева p-подгруппа. По доказанному каждая подгруппа порядка p2 дополняема в G/N и |K/N | ≤ p2. Лемма доказана. Лемма 4. Если в p-разрешимой группе каждая подгруппа порядка p2 дополняема, то lp(G) ≤ 1. Доказательство. Если в группе G нет подгрупп порядка p2, то силовская p-подгруппа имеет порядок, не превышающий p, и lp(G) ≤ 1 по [2] (п. VI.6.6). Пусть в группе G имеются подгруппы порядка p2. В силу леммы 3 (2) и индукции lp(G/N) ≤ 1 для каждой нормальной неединичной подгруппы N. По [2] (п. VI.6.9) Φ(G) = 1, Op′,p(G) = Op(G) = F (G), N = F (G) = CG(F (G)) и N является единственной минимальной нормальной подгруппой в G, которая будет элемен- тарной абелевой p-подгруппой, и N дополняема в G. Если |N | = p, то G/N — подгруппа циклической группы порядка p − 1, поэтому lp(G) ≤ 1. По лемме 3 (1) считаем, что |N | = p2 и G/N изоморфна подгруппе из GL(2, p). Поэтому силовская p-подгруппа P в группе G имеет порядок p3. Предположим, что G не бипримарна. По [10] (п. 5.3.13) существует {p, q}-холлова под- группа G{p,q} = GpGq для каждого q ∈ π(G) \ {p}. По индукции lp(GpGq) ≤ 1. Поскольку N ⊆ GpGq, то Op′(GpGq) ⊆ CG(N) = N, Op′(GpGq) = 1 и Gp — нормальная подгруппа в GpGq. Теперь Gp — нормальная подгруппа в 〈Gq | q ∈ π(G)〉 = = G, т. е. lp(G) ≤ 1. Итак, следует считать, что G является {p, q}-группой для некоторого простого q. Пусть P и R — различные силовские p-подгруппы группы G. Предположим, что подгруппа 〈P,R〉, порожденная ими, является собственной подгруппой в G. По индукции lp(〈P,R〉) ≤ 1, Op′(〈P,R〉) ⊆ CG(N) = N, Op′(〈P,R〉) = 1, и P нормальна в 〈P,R〉, P = R. Противоречие. Следовательно, 〈P,R〉 = G, а по [8] (п. 8.6.7) фактор-группа G/N изоморфна группе SL(2, p). Поскольку G бипримарна, то p ≤ 3. Допустим, что p = 2. Тогда G/N ' SL(2, 2) — группа порядка 6 и G ' S4 по [2] (п. II.6.17). Но в S4 имеется недополняемая подгруппа A порядка 4: A = 〈(12)〉 × 〈(12)(34)〉 = {1, (12), (12)(34), (34)}. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 878 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ Проверим этот факт. Поскольку в S4 нет элементов порядка 6, то каждая подгруппа порядка 6 не 2-замкнута и изоморфна S3. Поэтому она является нормализатором силовской 3-подгруппы. Значит, все подгруппы порядка 6 сопряжены между собой и их количество равно 4. Пусть Bi — стабилизатор точки i ∈ {1, 2, 3, 4}. Это все подгруппы порядка 6 в S4. Поскольку (12) ∈ A ∩B3 ∩B4, (34) ∈ A ∩B1 ∩B2, то ни одна из подгрупп порядка 6 не может быть дополнением к A в S4. Остался случай, когда p = 3. Пусть H — дополнение к N в группе G. Тогда G = [N ]H, G/N ' SL(2, 3) ' H = [Q]T, |T | = 3, P = [N ]T, а Q — группа кватернионов порядка 8. Поскольку P неабелева, то Z = Z(P ) = N ∩ P и P1 = ZT = Z × T — подгруппа порядка 9. Она по условию дополняема в G. Пусть K — дополнение к P1 в G. Ясно, что |K| = 3 · 23. Если N ∩K = 1, то G = [N ]K, подгруппы H и K сопряжены в G. Теперь G = P1H, P1 ∩H ⊇ T, что невозможно. Следовательно, N ∩K 6= 1 и N1 = N ∩K — нормальная подгруппа порядка 3 в V = [N ]K. По теореме Машке существует нормальная в V подгруппаN2 такая, чтоN = N1×N2. Так как V/CV (Ni) — подгруппа порядка 1 или 2, то V/(CV (N1) ∩ CV (N2)) — подгруппа порядка 1, 2 или 4. Но CV (N1) ∩ CV (N2) = CV (N) ⊆ CG(N) = N, поэтому |V | = 32 · 23 делит |N | · 4 = 36, что невозможно. Лемма доказана. Лемма 5. Если в группе G все подгруппы порядка 4 дополняемы, то G разрешима. Доказательство. Если в G нет подгрупп порядка 4, то силовская 2-подгруппа имеет порядок не выше 2 и G 2-нильпотентна. Пусть в группе G имеются подгруппы порядка 4 и P — одна из них. По условию существует подгруппа H такая, что G = PH и H ∩ P = 1. Согласно лемме 2.1 (1) все подгруппы порядка 4 из H дополняемы в H. По индукции H разрешима. Поскольку G/CoreGH изоморфна подгруппе из симметрической группы S4 степени 4, то G разрешима. Лемма 6 [11] (3.4). Любая подгруппа в группеGL(2, pα) сопряжена с подгруппойG одного из следующих типов: 1) G циклическая; 2) G = QM, где Q — подгруппа p-группы〈( 1 0 τ 1 ) | τ ∈ GF (q) 〉 , M ⊆ NG(Q) и M — подгруппа группы D всех диагональных матриц; 3) G = 〈Cu, s〉, где u делит q2 − 1, ys = yp α для всех y ∈ Cu, и s2 — скалярный 2-элемент в Cu; 4) G = 〈M, s〉, где M ⊆ D, s — антидиагональный 2-элемент, |G : M | = 2; 5) G = 〈SL(2, pβ), V 〉 или G = 〈 SL(2, pβ), V, ( b 0 0 εb )〉 , где V — скалярная матрица, ε — образующий элемент ( GF (pβ) )∗ , pβ > 3, β делит α. Во втором случае |G : 〈SL(2, pβ), V 〉| = 2; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 879 6) G/〈−E〉 изоморфна S4 × Cu, A4 × Cu или A5 × Zu для p 6= 5, где Cu — скалярная подгруппа в GL(2, pα)/〈−E〉, а E — единичная матрица; 7) G не является группой из пункта 6, ноG/〈−E〉 содержит A4×Cu в качестве подгруппы индекса 2 и A4 в качестве подгруппы с циклической фактор-группой, Cu — группа, как в пунк- те 6, и u — четное число. Лемма 7. Пусть G — p′-подгруппа группы GL(2, p). Если для каждого r ∈ π(G) все подгруппы порядка r2 дополняемы в G, то G метабелева. Доказательство. Согласно лемме 5 группа G разрешима. Теперь G — группа из пунк- тов 1 – 7 леммы 6. Группа из п. 1 абелева. Порядок группы из пп. 2 и 5 делится на p. Учитывая, что группа всех диагональных матриц является абелевой, получаем, что в пп. 3 и 4 группа G метабелева. Пусть G — группа из пп. 6, 7 леммы 6 и A/〈−E〉 — подгруппа, изоморфная A4, из G/〈−E〉. По лемме 2 каждая подгруппа порядка 4 из A дополняема в A. Но этого свойства не имеет подгруппа B порядка 4 из A, содержащая 〈−E〉. Противоречие. Лемма доказана. Пусть F — формация и G — группа. Пересечение всех нормальных подгрупп группы G, фактор-группы по которым принадлежат F, обозначается через GF и называется F-корадикалом группы G (см. [1], глава 5, [2], п. VI.7). Произведением формаций X и Y называется класс XY = { G | GY ∈ X }, состоящий из всех групп G, у которых Y-корадикал принадлежит X. Формация X называется насыщенной, если из условия G/N ∈ X, N ⊆ Φ(G) всегда следует, что G ∈ X. Через A и N обозначаются формации всех абелевых и нильпотентных групп, а Ak — произведение k копий формации A. Лемма 8 [12] (VII.4, VII.5). Если F — насыщенная формация, N ⊆ F, и H — формация, то FH — насыщенная формация. В частности, NAk — насыщенная формация для любого натурального k. Определения и свойства примитивных групп изложены в [1] (4.6), [2] (II.1), [12] (I). Лемма 9. Пусть F — насыщенная формация и G — разрешимая группа. Предположим, что G не принадлежит F, но G/N ∈ F для всех неединичных нормальных подгрупп N группы G. Тогда G — примитивная группа. Доказательство. Утверждение легко выводится из соответствующих определений. 2. Доказательство теоремы. 1. Воспользуемся индукцией по порядку группыG и докажем, что G ∈ NA2. Группа G разрешима по лемме 5. Из лемм 2, 3 и индукции следует, что каждая собственная подгруппа и каждая фактор-группа, отличная от G, принадлежит NA2. По лемме 8 NA2 — насыщенная формация, а по лемме 9 G — примитивная группа. Из [1] (4.6) следует, что G = [F ]M, F = F (G) = CG(F ) и F является единственной минимальной нормальной подгруппой группы G. Пусть для определенности F является p-подгруппой. По лемме 4 F — силовская p-подгруппа группы G. Теперь |F | = p или |F | = p2 по лемме 3. Если |F | = p, то G/F абелева. Если |F | = p2, то G/F изоморфна p′-подгруппе группы GL(2, p) и G/N метабелева по лемме 7. Если порядок G нечетен, то G/N абелева [2] (II.7). Итак, G ∈ NA2 в общем случае и G ∈ NA, когда порядок группы нечетен. Поскольку по лемме 2 порядок подгруппы Фраттини Φ(G) свободен от квадратов, то Φ(G) — циклическая группа. Но F (G)/Φ(G) абелева в любой разрешимой группе, поэтому d(F (G)) ≤ 2 и d(G) ≤ 4 в общем случае и d(G) ≤ 3, когда порядок группы нечетен. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 880 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ 2. Применим индукцию по порядку группы G. Пусть π = π(G)\{2, 3} и Oπ(G) — наи- большая нормальная π-подгруппа группы G. Если Oπ(G) 6= 1, то по индукции подгруппа Gπ/Oπ(G) нормальна в G/Oπ(G), поэтому Gπ нормальна в G. Пусть Oπ(G) = 1. Поскольку класс всех π-замкнутых групп является насыщенной формацией, то группа G примитивна по лемме 9. Теперь в группе G существует единственная минимальная нормальная подгруппа, которая совпадает с F (G), причем G = [F (G)]H, подгруппа Фиттинга F (G) является элемен- тарной абелевой подгруппой порядка pn и n ≤ 2 по лемме 2, H — максимальная подгруппа. Поскольку Oπ(G) = 1, то F (G) является 2- или 3-подгруппой. Предположим, что F (G) — 2-группа. Если |F (G)| = 2, то |G| = 2, а поэтому Gπ = 1. Если |F (G)| = 4, то группа G изоморфна A4 или S4, поэтому Gπ = 1. Пусть F (G) — 3-группа. Если |F (G)| = 3, то H изоморфна подгруппе циклической группы порядка 2, поэтому Gπ = 1. Если |F (G)| = 9, то H изоморфна подгруппе группы GL(2, 3). Так как порядок группы GL(2, 3) равен 48, то снова Gπ = 1. Таким образом, доказано, что {2, 3}′-холлова подгруппа Gπ нормальна в G. 3. Говорят, что группа G порядка pα1 1 pα2 2 . . . pαnn , где p1 > p2 > . . . > pn, имеет силовскую башню сверхразрешимого типа, если для каждого i = 1, . . . , n в группе G имеется нормальная подгруппа порядка pα1 1 pα2 2 . . . pαii . С помощью индукции проверим, что подгруппа G2′ имеет силовскую башню сверхразре- шимого типа. Если G2′ — собственная подгруппа группы G, то это справедливо по индукции. Пусть G2′ = G, т. е. G — группа нечетного порядка. Поскольку класс всех групп с силовской башней сверхразрешимого типа является насыщенной формацией, то группа G примитивна по лемме 9,G = [F ]H, где F = F (G) — подгруппа Фиттинга группыG, она является минимальной нормальной в G подгруппой, а по лемме 4 F совпадает с некоторой силовской p-подгруппой группы G. По лемме 3 |F | делит p2. Если |F | = p, то H изоморфна подгруппе циклической группы порядка p−1. Поэтому p — наибольший простой делитель порядка группы G и G имеет силовскую башню сверхразрешимого типа. Если |F | = p2, то H изоморфна подгруппе полной линейной группы GL(2, p). Порядок группы GL(2, p) равен p(p−1)2(p+1). Если p — наиболь- ший простой делитель порядка группы G, то G имеет силовскую башню сверхразрешимого типа. Предположим, что p не является наибольшим. Тогда q = p + 1 — наибольший простой делитель порядка группы G. Это возможно, когда p = 2, q = 3. Противоречие. Утверждение 3 доказано. 4. Предположим, что группа G не содержит фактор-групп, изоморфных A4. В этом случае с помощью индукции по порядку G докажем наличие силовской башни сверхразрешимого типа. Предположим, что G не является {2, 3}-группой. По доказанному в пп. 2 и 3 π-холлова подгруппа Gπ нормальна в G и имеет силовскую башню сверхразрешимого типа для π = = π(G)\{2, 3}. Пусть R — силовская r-подгруппа в G для наибольшего простого r ∈ π(G). Тогда r > 3, R ≤ Gπ и R нормальна в G. Если предположить, что фактор-группа G/R содержит нормальную подгруппу N/R такую, что (G/R)/(N/R) ∼= A4, то подгруппа N будет нормальной в группе G и фактор-группа G/N ∼= (G/R)/(N/R) ∼= A4. Имеем противоречие с условием. Поэтому для фактор-группы G/R условия теоремы выполняются и G/R имеет силовскую башню сверхразрешимого типа по индукции. Из того, что r — наибольший простой делитель порядка группы G, следует, что группа G имеет силовскую башню сверхразрешимого типа. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 О ПРОИЗВОДНОЙ ДЛИНЕ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ ПОДГРУППАМИ ПОРЯДКА p2 881 Пусть теперь G — {2, 3}-группа. Поскольку класс всех групп, имеющих силовскую башню сверхразрешимого типа, является насыщенной формацией, то группа G примитивна, G = = [F (G)]H, где F (G) — минимальная нормальная подгруппа группы G, H — максимальная подгруппа. В силу леммы 4 следует считать, что F (G) — силовская 2-подгруппа группы G. Теперь |F (G)| = 4 и H — подгруппа группы GL(2, 2) ' S3. Поскольку F (G) — силовская 2-подгруппа группы G, то |H| = 3 и G ' A4. Теорема доказана. Пример 1. Пусть E72 — элементарная абелева группа порядка 72. Ее группой автомор- физмов является полная линейная группа GL(2, 7), в которой имеется неабелева подгруппа H порядка 21. Группа G = [E72 ]H, являющая расщепляемым расширением E72 посредством H, является группой с дополняемыми подгруппами порядка p2. Производная длина группы G рав- на 3. Следовательно, оценка производной длины, полученная в теореме для группы нечетного порядка, является точной. Пример 2. Пример знакопеременной группы A4 указывает на то, что разрешимая группа с дополняемыми подгруппами порядка p2 не обязана иметь силовскую башню сверхразрешимого типа, а тем более быть сверхразрешимой. 1. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Минск: Вышэйш. шк., 2006. 2. Huppert B. Endliche Gruppen. I. – Berlin etc.: Springer, 1967. 3. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. 4. Hall Ph. Complemented group // J. London Math. – 1937. – 12. – P. 201 – 204. 5. Горчаков Ю. М. Примитивно факторизуемые группы // Учен. зап. Перм. ун-та. – 1960. – № 17. – С. 15 – 31. 6. Сысак Я. П. Конечные элементарно факторизуемые группы // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 1. – С. 67 – 76. 7. Сысак Я. П. Группы с дополняемыми абелевыми подгруппами типа (p, p) // Строение групп и свойства их подгрупп: Сб. науч. трудов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. – С. 63 – 79. 8. Монахов В. С., Трофимук А. А. О конечных разрешимых группах фиксированного ранга // Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 5. – С. 1123 – 1137. 9. Zassenhaus Н. Über endliche Fastkörper // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. – 1935. – 11. – S. 187 – 220. 10. Suzuki M. On finite groups with cyclic Sylow subgroups for all odd primes // Amer. J. Math. – 1955. – 77. – P. 657 – 691. 11. Bloom D. The subgroups of PSL(3, q) for odd q // Trans. Amer. Math. Soc. – 1967. – 127, № 1. – P. 150 – 178. 12. Gaschutz W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups // Notes Pure Math. – Canberra: Austral. Nat. Univ., 1979. – № 11. Получено 23.07.14 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7