Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі
Изучается динамический аналог бифуркации инвариантных торов в системе взаимосвязанных быстрых фазовых переменных и медленно изменяющихся параметров. Показано, что в такой системе вследствие медленной эволюции параметров возникают переходные процессы от затухающих к многочастотным колебаниям, асимпто...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165682 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі / І.О. Парасюк, Б.В. Репета, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 890–915. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165682 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656822020-02-16T01:26:38Z Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі Парасюк, І.О. Репета, Б.В. Самойленко, А.М. Статті Изучается динамический аналог бифуркации инвариантных торов в системе взаимосвязанных быстрых фазовых переменных и медленно изменяющихся параметров. Показано, что в такой системе вследствие медленной эволюции параметров возникают переходные процессы от затухающих к многочастотным колебаниям, асимптотически близким к движениям на инвариантном торе. We study a dynamical analog of bifurcations of invariant tori for a system of interconnected fast phase variables and slowly varying parameters. It is shown that, in this system, due to the slow evolution of the parameters, we observe the appearance of transient processes (from the damping process to multifrequency oscillations) asymptotically close to motions on the invariant torus. 2015 Article Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі / І.О. Парасюк, Б.В. Репета, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 890–915. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165682 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Парасюк, І.О. Репета, Б.В. Самойленко, А.М. Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі Український математичний журнал |
| description |
Изучается динамический аналог бифуркации инвариантных торов в системе взаимосвязанных быстрых фазовых переменных и медленно изменяющихся параметров. Показано, что в такой системе вследствие медленной эволюции параметров возникают переходные процессы от затухающих к многочастотным колебаниям, асимптотически близким к движениям на инвариантном торе. |
| format |
Article |
| author |
Парасюк, І.О. Репета, Б.В. Самойленко, А.М. |
| author_facet |
Парасюк, І.О. Репета, Б.В. Самойленко, А.М. |
| author_sort |
Парасюк, І.О. |
| title |
Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі |
| title_short |
Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі |
| title_full |
Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі |
| title_fullStr |
Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі |
| title_full_unstemmed |
Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі |
| title_sort |
динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165682 |
| citation_txt |
Динамічна біфуркація багаточастотних коливань у швидкоповільній системі / І.О. Парасюк, Б.В. Репета, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 890–915. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT parasûkío dinamíčnabífurkacíâbagatočastotnihkolivanʹušvidkopovílʹníjsistemí AT repetabv dinamíčnabífurkacíâbagatočastotnihkolivanʹušvidkopovílʹníjsistemí AT samojlenkoam dinamíčnabífurkacíâbagatočastotnihkolivanʹušvidkopovílʹníjsistemí |
| first_indexed |
2025-07-14T19:30:29Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:30:29Z |
| _version_ |
1837651922504384512 |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
I. О. Парасюк, Б. В. Репета (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ
У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI
We study a dynamical counterpart of bifurcation to invariant torus for a system of interconnected fast phase variables and
slowly varying parameters. It is shown that, in this system, due to the slow evolution of the parameters, we observe the
appearance of transient processes from damping to multifrequency oscillations, asymptotically close to motions on the
invariant torus.
Изучается динамический аналог бифуркации инвариантных торов в системе взаимосвязанных быстрых фазовых
переменных и медленно изменяющихся параметров. Показано, что в такой системе вследствие медленной эволю-
ции параметров возникают переходные процессы от затухающих к многочастотным колебаниям, асимптотически
близким к движениям на инвариантном торе.
1. Вступ. У монографiї М. М. Крилова i М. М. Боголюбова [1] було показано, що неконсер-
вативнi збурення пари зв’язаних гармонiчних осциляторiв за достатньо загальних умов спри-
чиняють виникнення у 4-вимiрному фазовому просторi такої системи локального атрактора,
гомеоморфного 2-вимiрному тору. Явище бiфуркацiї iнварiантного тора внаслiдок втрати стiй-
костi граничного циклу, коли при змiнi параметрiв системи пара комплексних мультиплiкаторiв
перетинає одиничне коло, було дослiджене в [2, 3] i стало вiдомим широкому загалу з появою
робiт [4, 5] (див. також [6]). Математичний апарат, який давав змогу отримувати строгi резуль-
тати з дослiдження бiфуркацiй багатовимiрних iнварiантних торiв, було розроблено в [7 – 13].
Серед iнших праць iз зазначеної тематики вiдзначимо [14 – 19].
Згаданi вище результати стосуються статичної теорiї бiфуркацiй, у якiй вивчаються систе-
ми вигляду ẋ = f(x, u), залежнi вiд незмiнних у часi параметрiв u = (u1, . . . , um), де f(·, ·) :
Rd×Rm → Rd — вiдображення певного класу гладкостi. Коли стверджується, наприклад, що в
такiй системi при змiнi параметрiв u вздовж деякої кривої u = u(s), s ∈ (−1, 1), м’яко народжу-
ється k-вимiрний стiйкий iнварiантний тор внаслiдок втрати стiйкостi положення рiвноваги, то
це означає, що при s ∈ (−1, 0) система
ẋ = f(x, u(s)) (1)
має асимптотично стiйке положення рiвноваги x∗, яке для значень s ∈ (0, 1) стає нестiйким, i
при цьому iснує неперервне (достатньо гладке) вiдображення X(·, ·) : Tk×(−1, 1)→ Rd таке, що
X(·, 0) ≡ x∗ для всiх s ∈ (−1, 0], а для кожного s ∈ (0, 1) образ вiдображення X(·, s) : Tk → Rd
є iнварiантним орбiтально асимптотично стiйким тороїдальним многовидом системи (1).
З певних мiркувань буває доцiльно сiм’ю систем iнтерпретувати як систему в Rd × Rm
ẋ = f(x, u), u̇ = 0. (2)
Тодi описана вище бiфуркацiя iнварiантного тора характеризується тим, що ця система має
iнварiантну множину, перерiзи якої площинами Πs := {(x, u) : u = u(s)} при s ∈ (0, 1) є iн-
варiантними тороїдальними многовидами Ts := X(Tk, s) × {u(s)}. Цi многовиди при s → +0
c© А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА, 2015
890 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 891
стягуються в точкову множину {x∗}×{u(0)} i кожен многовид Ts є локальним атрактором зву-
ження системи (2) на площину Πs (iнварiантнiсть цiєї площини очевидна). Таким чином, коли
кажуть, що описана вище бiфуркацiя полягає у виникненнi у фазовому просторi iнварiантного
тора, то насправдi йдеться швидше про просторове, а не про динамiчне явище.
З появою робiт [20 – 22] розпочалося систематичне вивчення власне динамiчних бiфуркацiй
— ефектiв, пов’язаних з якiсними перебудовами поведiнки системи, якi розвиваються у часi i
зумовленi реальною повiльною еволюцiєю параметрiв, коли тi проходять через певнi критичнi
значення. Один iз найбiльш резонансних результатiв, отриманих у цьому напрямку, стосувався
явища затримки втрати стiйкостi у так званих швидко-повiльних системах вигляду
ẋ = f(x, u, ε), u̇ = εg(x, u, ε), (3)
де x = (x1, . . . , xd) — швидкi фазовi змiннi, u = (u1, . . . , um) — повiльно змiннi параметри, а
ε — малий статичний параметр [22, 23]. Не маючи змоги наводити повний перелiк посилань
з теорiї динамiчних бiфуркацiй, згадаємо лише роботи [24 – 27]. Зокрема, в [24] висвiтлено
зв’язок явища затримки втрати стiйкостi з теорiєю розв’язкiв-«качок» сингулярно збурених
систем [28], а в [26] вивчено динамiчний аналог бiфуркацiї Андронова – Гопфа. Водночас нам
невiдомi результати, присвяченi динамiчним аналогам бiфуркацiй iнварiантних торiв.
У цiй роботi розглядається (2n + m)-вимiрна система (3) (d = 2n) за припущення, що
iнварiантний многовид повiльних рухiв (i.м.п.р.) задається рiвнянням x = 0, тобто f(0, u, ε) ≡
≡ 0, а для лiнiйної системи
ẋ =
[
f ′x(0, u, 0) + εf ′′x,ε(0, u, 0)
]
x,
яка є першим наближенням системи у варiацiях для фазових змiнних вiдносно i.м. п. р., у
просторi параметрiв iснують зони асимптотичної стiйкостi Ds, невизначеностi D∗ та цiлковитої
нестiйкостi Du. При цьому характеристичний полiном оператора f ′x(0, u, 0) має суто уявнi
коренi для всiх u з об’єднання зазначених областей. Крiм того, припускається, що система
u̇ = εg(0, u, 0) конвергентна i її атрактором є точка з областi Du. За певних додаткових умов
буде показано, що в системi (3) в O(
√
ε)-околi i.м.п.р. спостерiгається динамiчна бiфуркацiя
такого типу. Спочатку, поки параметри u(t) протягом часу порядку O(ε−1) рухаються в зонi Ds,
фазовi компоненти x(t) розв’язку описують експоненцiально згасаючi коливання. Пiсля того, як
u(t), пройшовшиD∗, опиняються вDu, амплiтуда коливань починає зростати i врештi-решт при
t → +∞ вiдповiдна траєкторiя системи (3) притягується до iнварiантного тора, асимптотично
зближуючись з певною траєкторiєю на ньому.
Вiдзначимо такi двi обставини: 1) для дослiдження системи в O(
√
ε)-околi i.м.п.р. здiйсню-
ється масштабування x 7→
√
εx, пiсля чого задача набуває нелокального характеру; 2) встанов-
лення самого факту iснування iнварiантного тора не викликає суттєвих труднощiв i здiйсню-
ється з використанням результатiв [7, 10] приблизно за тiєю ж схемою, що й у [17, 19]; натомiсть
значно складнiше завдання полягає у визначеннi нелокального басейну iнварiантного тора сис-
теми, одержаної внаслiдок зазначеного масштабування. Тут нам вдалося показати, що вiдносна
мiра басейну оцiнюється знизу величиною порядку 1−O(εk/n).
Опишемо коротко структуру статтi. У п. 2 сформульовано низку умов щодо дослiджуваної
системи, побудовано її часткову нормальну форму за фазовими змiнними x та здiйснено пе-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
892 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
рехiд до координат полярного типу. У п. 3 дослiджено поведiнку розв’язкiв системи першого
наближення. У п. 4 сформульовано основний результат, обґрунтування якого випливає з низки
допомiжних тверджень п. 5 та з тверджень п. 6, що стосуються iснування iнварiантного тора i
його властивостей як атрактора.
2. Побудова нормальної форми системи за фазовими змiнними та основнi припущення.
Далi щодо системи (3) припускаємо, що:
C1) правi частини системи задовольняють умови гладкостi та обмеженостi, а саме, f(·, ·, ·) ∈
∈ Ĉ∞
(
R2n × Rm × R→ R2n
)
, g(·, ·, ·) ∈ Ĉ∞
(
R2n × Rm × R→ Rm
)
, де через Ĉ∞(X → Y)
позначено простiр гладких обмежених вiдображень з областi X у множину Y, якi мають обме-
женi похiднi всiх порядкiв1;
C2) система має i.м.п.р., заданий рiвнянням x = 0, тобто f(0, u, ε) = 0 для всiх (u, ε) ∈
∈ Rm × R;
C3) при всiх u ∈ Rm оператор f ′x(0, u, 0) має суто уявнi власнi числа ±iωj(u), j = 1, . . . , n,
причому
inf
u∈Rm
ωj(u) > 0, inf
u∈Rm
|ωj(u)− ωk(u)| > 0, j, k = 1, . . . , n, j 6= k.
Для довiльних натуральних N ≥ 2 та s ≥ 2 cистему (3) подамо у виглядi
ẋ =
N∑
k=1
Fk(u, ε)x
k + F̃N,s+1(x, u, ε)x, u̇ = ε
[
N∑
k=0
Gk(u, ε)x
k + G̃N+1,s(x, u, ε)
]
. (4)
Тут Fk(u, ε)xk та Gk(u, ε)xk — вiдповiдно R2n- та Rm-значнi однорiднi форми степеня k
щодо x i полiноми степеня s та s − 1 щодо ε вiдповiдно, а для залишкових членiв формули
Тейлора — F̃N,s+1(x, u, ε)x (тут F̃N,s+1(x, u, ε) — (2n × 2n)-матриця) та G̃N+1,s(x, u, ε) — при
‖x‖+ |ε| → 0 справджуються вiдношення пiдпорядкування∥∥∥F̃N,s+1(x, u, ε)
∥∥∥ = O
(
‖x‖N + |ε|s+1
)
,
∥∥∥G̃N+1,s(x, u, ε)
∥∥∥ = O
(
‖x‖N+1 + |ε|s
)
.
Без обмеження загальностi мiркувань можемо вважати, що для заданого натурального s i вiд-
повiдного достатньо малого ε0 > 0 матриця F1(u, ε) на множинi Rm × (−ε0, ε0) є дiйсною
нормальною формою вигляду
J(u, ε) := diag
[(
εᾱ1(u, ε) −ω̄1(u, ε)
ω̄1(u, ε) εᾱ1(u, ε)
)
, . . . ,
(
εᾱn(u, ε) −ω̄n(u, ε)
ω̄n(u, ε) εᾱn(u, ε)
)]
.
Тут кожна з функцiй ᾱj(u, ε), ω̄j(u, ε) є полiномом щодо ε степеня, не вищого за s − 1 та s
вiдповiдно, з гладкими щодо u коефiцiєнтами класу Ĉ∞ (Rm → R) , причому ω̄j(u, 0) = ωj(u).
Щоб у цьому пересвiдчитися, достатньо скористатися таким твердженням.
Лема 1. Нехай A(·, ·) ∈ Ĉ∞
(
Rm × R→ Rd×d
)
, G(·, ·) ∈ Ĉ∞ (Rm × R→ Rm) , де Rd×d
позначає простiр (d × d)-матриць з дiйсними елементами. Якщо для всiх u ∈ Rm матриця
A0(u) := A(u, 0) має рiзнi власнi числа λj(u), j = 1, . . . , d, причому
1Оскiльки подальшi дослiдження стосуються поведiнки розв’язкiв системи (3) в обмеженiй областi змiнних x, u
та при малих значеннях параметра ε, то виконання умови C1 для гладких, але необмежених вiдображень f та g
завжди можна досягти, якщо правi частини системи домножити на гладку фiнiтну функцiю, що дорiвнює 1 в кулi,
яка має достатньо великий радiус i центр якої розташовано в початку координат простору R2n+m+1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 893
inf
u∈Rm
|λi(u)− λj(u)| > 0 ∀i, j = 1, . . . , d, i 6= j, (5)
то для будь-якого натурального s iснує вiдображення T (·, ·) ∈ C∞
(
Rm × R→ Rd×d
)
з та-
кими властивостями: 1) вiдображення ε 7→ T (u, ε) є Rd×d-значним полiномом степеня s
щодо ε, коефiцiєнти якого належать класу Ĉ∞
(
Rm → Rd×d
)
; 2) iснує ε0 > 0 таке, що
inf(u,ε)∈Rm×(−ε0,ε0) |detT (u, ε)| > 0, i внаслiдок перетворення x 7→ T (u, ε)x система
ẋ = A(u, ε)x, u̇ = εG(u, ε) (6)
набирає вигляду
ẋ =
[
B(u, ε) + εs+1B̃(u, ε)
]
x, u̇ = εG(u, ε),
де матриця B(u, ε) =
∑s
k=0 ε
kBk(u) є дiйсною нормальною формою, причому
Bk(·) ∈ Ĉ∞
(
Rm → Rd×d
)
, k = 0, . . . , s, B̃(·, ·) ∈ Ĉ∞
(
Rm × (−ε0, ε0)→ Rd×d
)
.
Доведення. Оскiльки виконано умову (5), то iснує вiдображення T0(·) ∈ Ĉ∞
(
Rm → Rd×d
)
таке, що матриця B0(u) := T−10 (u)A0(u)T0(u) є дiйсною нормальною формою. Крiм того, iснує
стала матриця S, у загальному випадку з комплексними елементами, така, що S−1B0(u)S є
дiагональною. Побудуємо формальну замiну змiнних
x 7→
∑
k≥0
εkTk(u)x
з коефiцiєнтами Tk(·) ∈ Ĉ∞
(
Rm → Rd×d
)
, в результатi якої система (6) набере вигляду
ẋ =
∑
k≥0
εkBk(u)x, u̇ = εG(u, ε),
де Bk(·) ∈ Ĉ∞
(
Rm → Rd×d
)
i Bk(u) комутує з B0(u) для кожного k ≥ 1.
З цiєю метою введемо в Rd×d скалярний добуток 〈X,Y 〉 := tr(XY ) i зауважимо, що
оскiльки
〈ZX −XZ, Y 〉 = tr [(ZX −XZ)Y ] = tr (Y ZX − ZY X) = −〈X,ZY − Y Z〉 ,
то для кожного Z ∈ Rd×d оператор X 7→ adZX := ZX − XZ є кососиметричним, а отже,
Rd×d = ker adZ ⊕ im adZ (сума — ортогональна та adZ-iнварiантна). Звiдси випливає, що, по-
значивши для довiльного Y ∈ Rd×d його ортогональну проекцiю на ker adZ через Y0, рiвняння
adZX = Y − Y0 з фiксованим Z можна однозначно розв’язати вiдносно X ∈ im adZ . При
цьому, якщо Z має N рiзних власних чисел, iснує невироджена матриця S (з комплексними
елементами) така, що матриця S−1ZS є дiагональною. Оператор X належить ker adZ тодi й
лише тодi, коли матриця S−1XS є дiагональною.
Далi, нехай
∑
i≥0
εiAi(u) та
∑
j≥0
εjGj(u) — формальнi розвинення вiдповiдно дляA(u, ε)
та G(u, ε) за степенями ε. Зрiвнявши коефiцiєнти при однакових степенях ε у формальнiй
рiвностi
ε
∑
i≥0
εi
∂Ti
∂u
∑
j≥0
εjGj(u) +
∑
i≥0
εiTi(u)
∑
j≥0
εjBk(u) =
∑
i≥0
εiAi(u)
∑
j≥0
εjTj(u),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
894 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
яку мають задовольняти коефiцiєнти Bk(u) та Tk(u), дiстанемо спiввiдношення
T0(u)B0(u) = A0(u)T0(u),
Tk(u)B0(u) + T0(u)Bk(u) = A0(u)Tk(u) +Ak(u)T0(u) +Rk(u), k = 1, 2, . . . ,
де кожен оператор Rk(u) виражається через Ti(u), Bj(u), Al(u) з iндексами, меншими за
k. Поклавши Tk(u) := T0(u)Xk(u) при k ≥ 1 та домноживши всi рiвностi злiва на T−10 (u),
матимемо
B0(u) = T−10 (u)A0(u)T0(u),
−adB0(u)Xk(u) = T−10 (u)Ak(u)T0(u) +Rk(u)−Bk(u), k ≥ 1.
Тепер звiдси можна однозначно визначити Xk(u) ∈ im adB0(u), якщо за Bk(u) взяти ортого-
нальну проекцiю матрицi Pk(u) := T−10 (u)Ak(u)T0(u) + Rk(u) на ker adB0(u). (З викладеного
вище випливає, що Bk(u) дорiвнює дiагональнiй частинi матрицi S−1Pk(u)S, домноженiй злiва
на S та справа на S−1.)
Тепер зрозумiло, що шуканим неформальним перетворенням є T (u, ε) =
∑s
k=0
εkTk(u).
Лему 1 доведено.
Нехай sj ∈ C2n — власний вектор матрицi J0(u) := F1(u, 0) = J(u, 0), який вiдповiдає
власному числу iωj(u), k = 1, . . . , n. Оскiльки
J0(u) = diag
[(
0 −ω1(u)
ω1(u) 0
)
, . . . ,
(
0 −ωn(u)
ωn(u) 0
)]
,
то вектори sj не залежать вiд u. Утворимо матрицю S, першими n стовпцями якої є вектори
s1, . . . , sn, а n останнiми — вiдповiднi комплексно-спряженi вектори, i визначимо базиснi форми
ςq(y) := [S−1y]q, ei,q(y) = ςq(y)si, (7)
де q := (q1, . . . , q2n) ∈ Z2n
+ , x
q = xq11 . . . xq2n2n .
Перейдемо до побудови перетворення, яке зводить до нормальної форми за швидкими змiн-
ними N -струмiнь системи (4) за додаткового припущення про вiдсутнiсть резонансiв певного
порядку мiж частотами ωk(u), k = 1, . . . , n. Для того щоб сформулювати вiдповiдний результат,
визначимо (n× 2n)-матрицю I = [En;−En], де En — n-вимiрна одинична матриця, покладемо
ω(u) := (ω1(u), . . . , ωn(u)), |q| := |q1|+ . . .+ |q2n|,
позначимо через ei i-й орт координатного простору R2n (тобто вектор, i-а координата якого
дорiвнює 1, а всi iншi — нулi) i для додатних ν та σ визначимо множини
Ai(N, ν) :=
{
u ∈ Rm : |〈ω(u), I(q− ei)〉| > ν ∀q ∈ Z2n
+ : 2 ≤ |q| ≤ N, I(q− ei) 6= 0
}
,
A0(N, ν) :=
{
u ∈ Rm : |〈ω(u), Iq〉| > ν ∀q ∈ Z2n
+ : 2 ≤ |q| ≤ N, Iq 6= 0
}
,
A(N, ν) :=
n⋂
i=0
Ai(N, ν), B2n
δ (y0) := {y : ‖y − y0‖ < δ} , B2n
δ := B2n
δ (0),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 895
R0(N) :=
{
q ∈ Z2n
+ : 0 ≤ |q| ≤ N, Iq = 0
}
,
Ri(N) :=
{
q ∈ Z2n
+ : 2 ≤ |q| ≤ N, I(q− ei) = 0
}
.
Твердження 1. Нехай виконано умови C1 – C3 i s ≥ 2 — задане натуральне число. Припус-
тимо, що для деяких N ∈ N, N > 2, та ν > 0 множина A(N, ν) непорожня. Тодi iснують
числа δ > 0 та ε0 > 0 такi, що в результатi замiни змiнних
x = y +
N∑
k=2
Xk(v, ε)y
k, u = v + ε
N∑
k=1
Uk(v, ε)y
k, (y, v, ε) ∈ B2n
δ ×A(N, ν)× (−ε0, ε0),
(8)
де
Xk(v, ε)y
k =
s∑
j=0
εjXk,j(v)yk, U(v, ε) =
s−1∑
j=0
εjUk,j(v)yk
i
Xk,j(·)yk ∈ Ĉ∞
(
A(N, ν)→ R2n
)
,
Uk,j(·)yk ∈ Ĉ∞ (A(N, ν)→ Rm) ∀y ∈ R2n, k = 1, . . . , s,
система (4) набирає вигляду
ẏ = J(v, ε)y +
2n∑
i=1
∑
q∈Rk(N)
Hi,q(v, ε)ei,q(y) + H̃N,s+1(y, v, ε)y,
v̇ = ε
∑
q∈R0(N)
ςq(y)Cq(v, ε) + C̃N+1,s(y, v, ε)
.
(9)
При цьому
Hi,q(v, ε) =
s∑
j=0
εjHi,q,j(v), Cq(v, ε) =
s−1∑
j=0
εjCq,j(v),
де Hi,q,j(·) ∈ Ĉ∞ (A(N, ν)→ C) , Cq,j(·) ∈ Ĉ∞ (A(N, ν)→ Cm) , а для залишкових членiв
формули Тейлора — H̃N,s+1(y, v, ε)y та C̃N+1,s(y, v, ε) — справджуються вiдношення пiдпо-
рядкування ∥∥∥H̃N,s+1(y, v, ε)
∥∥∥ = O
(
‖y‖N + εs+1
)
,
∥∥∥C̃N+1,s(y, v, ε)
∥∥∥ = O
(
‖y‖N+1 + εs
)
, ‖y‖+ |ε| → 0.
Доведення. Розглянемо вкорочену систему
ẋ = J(u, ε)x+
N∑
k=2
Fk(u, ε)x
k, u̇ = ε
N∑
k=0
Gk(u, ε)x
k
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
896 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
i застосуємо до неї полiномiальне перетворення (8).
Якщо
ẏ = J(v, ε)y +
∑
k≥2
Hk(v, ε)y
k, v̇ = ε
∑
k≥0
Ck(v, ε)y
k
— перетворена система, то справджуються рiвностi
J(v, ε)y +
∑
k≥2
Hk(v, ε)y
k +
N∑
j=2
∂
(
Xj(v, ε)y
j
)
∂y
J(v, ε)y +
∑
i≥2
Hi(v, ε)y
i
+
+
N∑
j=2
∂
(
Xj(v, ε)y
j
)
∂v
ε∑
i≥0
Ci(v, ε)y
i
=
= J
v + ε
N∑
j=1
Uj(v, ε)y
j , ε
[y +
N∑
i=2
Xi(v, ε)y
i
]
+
+
N∑
j=2
Fj
(
v + ε
N∑
l=1
Ul(v, ε)y
l, ε
)[
y +
N∑
i=2
Xi(v, ε)y
i
]j
,
∑
k≥0
Ck(v, ε)y
k +
N∑
j=1
∂
[
Uj(v, ε)y
j
]
∂y
J(v, ε)y +
∑
i≥2
Hi(v, ε)y
i
+
+
N∑
j=1
∂
(
Uj(v, ε)y
j
)
∂v
ε∑
i≥0
Ci(v, ε)y
i
=
=
N∑
j=0
Gj
(
v + ε
N∑
l=1
Ul(v, ε)y
l, ε
)[
y +
N∑
i=2
Xi(v, ε)y
i
]j
.
Зрiвнявши однорiднi форми щодо y у лiвiй та правiй частинах, дiстанемо
C0(v, ε) := G0(v, ε),
C1(v, ε)y + U1(v, ε)J(v, ε)y + ε
∂U1(v, ε)y
∂v
C0(v, ε) =
= ε
∂G0(v, ε)
∂v
[U1(v, ε)y] +G1(v, ε)y,
Hk(v, ε)y
k +
∂
(
Xk(v, ε)y
k
)
∂y
J(v, ε)y + ε
∂
(
Xk(v, ε)y
k
)
∂v
C0(v, ε) =
= J(v, ε)Xk(v, ε)y
k + Fk(v, ε)y
k +Mk(v, ε)y
k, k = 2, . . . , N,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 897
Ck(y, ε)y
k +
∂[Uk(v, ε)y
k]
∂y
J(v, ε)y + ε
∂
(
Uk(v, ε)y
k
)
∂v
C0(v, ε) =
= ε
∂G0(v, ε)
∂v
Uk(v, ε)y
k +G1(v, ε)Xk(v, ε)y
k +Gk(v, ε)y
k +Nk(v, ε)y
k, k = 2, . . . , N,
де кожна з форм Mk(u, ε) та Nk(u, ε) визначається формами, що входять до перетворюваної та
перетвореної систем, а також до самих перетворень, i мають iндекси, меншi за k. Форми, що
входять до записаних рiвностей, допускають розвинення вигляду Hk(u, ε) ∼
∑
j≥0
εjHk,j(u)
i т. д. Пiсля введення операторiв
LJ0(v)y· :=
∂·
∂y
J0(y)y − J0(v)·, ∂J0(v)y· :=
∂·
∂y
J0(y)y
i зрiвнювання коефiцiєнтiв у лiвих i правих частинах дiстаємо гомологiчнi рiвняння для визна-
чення Xk,j(u), Hk,j(u), Uk,j(u), Ck,j(u) :
U1,j(v)J0(v)y = G1,j(v)y −
j−1∑
i=0
U1,i(v)Jj−i(v)y+
+
j−1∑
i=0
[
∂C0,j−i−1(v)
∂v
U1,i(v)y − ∂U1,i(v)y
∂v
C0,j−i−1(v)
]
− C1,j(v)y,
де j = 0, . . . , s− 1, i
LJ0(v)yXk,j(v)yk = Fk,j(v)yk + Pk,j(v)yk −Hk,j(v)yk,
∂J0(v)yUk,j(v)yk = G1,0(v)Xk,j(v)yk +Gk,j(v)yk +Qk,j(v)yk − Ck,j(v)yk,
де k = 2, . . . , N, j = 0, . . . , s. Тут форми Pk,j(u), Qk,j(u) будуються з використанням форм,
знайдених з аналогiчних рiвнянь на попередньому кроцi, тобто з рiвнянь, у яких замiсть iндексу
k фiгурує k − 1, а форми Hk,j(v) та Ck,j(v) вибираємо так, щоб перетворена система мала в
певному сенсi максимально просту структуру. Зауважимо, що оскiльки J0(v) невироджена,
то U1,j(v) однозначно знайдемо, поклавши C1,j(v) = 0, j ≥ 0. Пiсля цього перейдемо до
визначення iнших шуканих форм, подавши їх у виглядi розкладiв за базисними формами (7):
Xk,j(v) =
∑
|q|=k
ςq(y)Xq,j(v) =
2n∑
i=1
∑
|q|=k
Xi,q,j(v)ei,q(y), Uk,j(v) =
∑
|q|=k
ςq(y)Uq,j(v) i т. д.
Оскiльки S−1J0(v)S := diag [iω1(v), . . . , iωn(v),−iω1(v), . . . ,−iωn(v)], то неважко дiстати рiв-
ностi
∂J0(v)yςq(y) = [ςq(y)]′yJ0(v)y =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
[(
S−1eJ0(v)ty
)q]
= 〈ω(v), Iq〉 ςq(y),
LJ0(v)yei,q(y) = [ei,q(y)]′y J0(v)y − J0(v)ei,q(y) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
e−J0(v)tei,q
(
eJ0(v)ty
)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
898 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
= 〈ω(v), I(q− ei)〉 ei,q(y),
тодi рiвняння для визначення коефiцiєнтiв шуканих форм набирають вигляду
〈ω(v), I(q− ei)〉Xi,q,j(v) = Fi,q,j(v)− Pi,q,j(v)−Hi,q,j(v),
〈ω(v), Iq〉Uq,j(v) = G1,0(v)Xq,j(v) +Gq,j(v) +Qq,j(v)− Cq,j(v).
Якщо v ∈ Ai(N, ν), i 6= 0, то у випадку I(q−ei) = 0 покладаємоHi,q,j(v) = Fi,q,j(v)−Pi,q,j(v),
Xi,q,j(v) = 0, а в iншому випадку Hi,q,j(v) = 0 i однозначно визначаємо Xi,q,j(v). Аналогiчно,
якщо v ∈ A0(N, ν), то Cq,j(v) = G1,0(v)Xq,j(v) + Gq,j(v) + Qq,j(v), Uq,j(v) = 0 при Iq = 0,
Cq,j(v) = 0 при Iq 6= 0, i в цьому випадку однозначно знаходимо Uq,j(v).
Виконавши побудовану замiну змiнних у системi (4), дiстанемо систему (9).
Твердження 1 доведено.
Перейдемо в системi (9) до комплексних змiнних z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn, поклавши
y =
n∑
j=1
zjsj +
n∑
j=1
z̄j s̄j = 2Re
n∑
j=1
zjsj
.
Система (9) набирає вигляду
żj =
εᾱj(v, ε) + iω̄j(v, ε) +
∑
3≤2|p|+1≤N
hj,p(v, ε)(|z|)2p
zj+
+O
(
‖z‖N+1 + εs+1‖z‖
)
, j = 1, . . . , n,
v̇ = ε
∑
0≤2|p|≤N
cp(v, ε)(|z|)2p +O
(
‖z‖N+1 + εs
) ,
де p ∈ Zn+, hj,p(v, ε) := Hj,(p,p)+ej (v, ε), cp(v, ε) := C(p,p)(v, ε), (p,p) := (p1, . . . , pn,
p1, . . . , pn), (|z|) = (|z1|, . . . , |zn|), а вiдношення пiдпорядкування виглядуO(‖y‖N+1+εs+1‖y‖)
та O(‖y‖N+1 + εs) позначають залишковi члени такого самого типу, що й H̃N,s+1(y, v, ε)y та
C̃N+1,s(y, v, ε) вiдповiдно. Зауважимо, що, як неважко показати, рiвняння для z̄j є комплексно-
спряженим з рiвнянням для zj .
Далi вважатимемо, що параметр ε набуває лише невiд’ємних значень. Увiвши координати rj ,
ϕj | mod 2π полярного типу zj =
√
εrje
iϕj , j = 1, . . . , n, позначивши aj,p(v, ε) := Rehj,p(v, ε),
bj,p(v, ε) := Imhj,p(v, ε), r = (r1, . . . , rn),
√
r = (
√
r1, . . . ,
√
rn), ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) та поклавши
s = (N + 1)/2, матимемо систему вигляду
ṙj = 2ε
ᾱj(v, ε) +
∑
3≤2|p|+1≤N
ε|p|−1aj,p(v, ε)rp
rj + εN/2
√
rjRj(r, v, ϕ, ε),
v̇ = ε
∑
0≤2|p|≤N
ε|p|cp(v, ε)rp + ε(N+1)/2Z(r, v, ϕ, ε)
, (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 899
ϕ̇j = ω̄j(v, ε) +
∑
3≤2|p|+1≤N
ε|p|bj,p(v, ε)rp + εN/2r
−1/2
j Φj(r, v, ϕ, ε), j = 1, . . . , n,
де залишковi члени допускають зображення
Rj(r, v, ϕ, ε) :=
∑
|q|=N+1
ãj,q(
√
εr, v, ϕ, ε)
√
r
q
+ 2
∑
|q|=1
âj,q(
√
εr, v, ϕ, ε)
√
r
q
,
Φj(r, v, ϕ, ε) :=
∑
|q|=N+1
b̃j,q(
√
εr, v, ϕ, ε)
√
r
q
+
∑
|q|=1
b̂j,q(
√
εr, v, ϕ, ε)
√
r
q
,
Z(r, v, ϕ, ε) :=
∑
|q|=N+1
c̃q(
√
εr, v, ϕ, ε)
√
r
q
+ ĉ(
√
εr, v, ϕ, ε),
в яких функцiї ãj,q(ρ, v, ϕ, ε), âj,q(ρ, v, ϕ, ε), . . . є гладкими в [0, %0]
n×Rm×Tn×[0, ε0], а %0 > 0
i ε0 � 1 — деякi додатнi числа.
Ввiвши для пари векторiв p = (p1, . . . , pn), q = (q1, . . . , qn) операцiю p • q = (p1q1, . . . , pnqn)
та поклавши
α(v) := (α1(v), . . . , αn(v)), A(v) := −
{
ai,εj (v, 0)
}n
i,j=1
, c(v) := c0(v, 0)
(тут εj позначає j-й координатний орт простору Rn), запишемо систему (10) у виглядi
ṙ = 2ε [α(v)−A(v)r + εB(r, v, ε)] • r + εN/2
√
r •R(r, v, ϕ, ε),
v̇ = εc(v) + ε2W (r, v, ε) + ε(N+3)/2Z(r, v, ϕ, ε), (11)
ϕ̇ = ω(v) + εΨ(r, v, ε) + εN/2r−1/2 • Φ(r, v, ϕ, ε).
Усi вiдображення, якi фiгурують в цiй системi, обмеженi в [0, %]n × Rm × Tn × [0, ε0], де
0 < % < %0/ε0, а характер їхньої гладкостi визначається вiдповiдними членами системи (10).
Крiм того, рiвномiрно щодо v ∈ Bm
R∗ , ϕ ∈ Tn, ε ∈ [0, ε0] виконано вiдношення пiдпорядкування
‖R(r, v, ϕ, ε)‖ = O(‖
√
r‖), ‖Φ(r, v, ϕ, ε)‖ = O(‖
√
r‖) при ‖r‖ → 0.
Зауваження 1. Формально система (11) через наявнiсть члена r−1/2 • Φ(r, v, ϕ, ε) визна-
чена на (0, %]n × Bm
R∗ × Tn. Однак слiд мати на увазi, що в цiй системi можуть зустрiчатися
пари розв’язкiв (r−(t), v−(t), ϕ−(t)), t ∈ (t−, t0), та (r+(t), v+(t), ϕ+(t)), t ∈ (t0, t+), такi, що
limt→t0±0 r±(t) = r0, серед компонент вектора r0 є нульовi, але вiдповiднi компоненти функцiй
r±(t) не є тотожними нулями. Неважко зрозумiти, що цi два розв’язки породжуються деяким
розв’язком (y(t), v(t)) системи (9), визначеним на (t−, t+). Тому вважатимемо, що зазначена
пара породжує розв’язок системи (11), визначений на всьому (t−, t+).
Аби не ускладнювати подальшi мiркування, розглядатимемо випадок, коли областi Ds, D∗
та Du, про якi йшлося у вступi, утворено за допомогою вкладених куль. А саме, для трiйки
чисел R0, R∗, R
∗ таких, що 0 < R0 < R∗ < R∗, введемо позначення
α0 := min
1≤j≤m
inf
v∈Bm
R0
αj(v), α∗ := − max
1≤j≤m
sup
v∈Bm
R∗\Bm
R∗
αj(v), α∗ := sup
v∈Bm
R∗
‖α(v)‖,
A∗ := inf
v∈Bm
R∗
min
‖ξ‖=1
〈A(v)ξ, ξ〉 , A∗ := sup
v∈Bm
R∗
‖A(v)‖
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
900 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
i сформулюємо такi припущення:
C4) iснують числа R0 < R∗ < R∗ такi, що α∗ > 0, α0 > 0, A∗ > 0;
C5) виконано умови вiдсутностi резонансiв: Bm
R∗ ⊂ A(N, ν) для деяких N ≥ 3, ν > 0; при
цьому якщо N < 5, то 0 ∈ A(5, ν);
C6) виконано умови конвергентностi системи v̇ = c(v): iснує κ > 0 таке, що 〈c(v), v〉 <
< −κ‖v‖2 для всiх v ∈ Bm
R∗ ;
C7) усi компоненти вектора r∗ := A−1(0)α(0) додатнi.
Крiм того, далi без обмеження загальностi мiркувань можемо вважати, що r∗ = (1, 1, . . . , 1).
Цього завжди можна досягти за допомогою масштабного перетворення r 7→ r∗ • r.
З огляду на припущення C4 вважаємо, що
Ds = Bm
R∗ \Bm
R∗ , D∗ = Bm
R∗ \B
m
R0
, Du = Bm
R0
. (12)
3. Аналiз системи першого наближення. Щоб зрозумiти, якою приблизно може бути
поведiнка розв’язкiв системи (11), виокремимо систему першого наближення
ṙ = 2ε[α(v)−A(v)r] • r, v̇ = εc(v), ϕ̇ = ω(v) + εΨ(r, v, ε).
На цьому етапi основний iнтерес для нас становить поведiнка пiдсистеми щодо змiнних r i v:
ṙ = 2ε[α(v)−A(v)r] • r, (13)
v̇ = εc(v). (14)
Покажемо, що за перелiчених вище умов розв’язок цiєї системи, який стартує з точки (v(0), r(0)),
де v(0) ∈ Ds, демонструє таку поведiнку. Вiдстань вiд v(t) до початку координат простору па-
раметрiв Rm строго монотонно прямує до нуля при t → +∞. При цьому, поки v(t) перебуває
в зонi Ds, компонента r(t) з експоненцiальною швидкiстю наближається до початку координат
простору Rn. Пiд час перебування точки v(t) в зонi D∗ характер поведiнки компоненти r(t)
поступово змiнюється, зокрема при наближеннi v(t) ззовнi до сфери радiуса R0 коефiцiєнти
αj(v(t)) стають додатними, i з цього часу тривiальний розв’язок пiдсистеми (13) починає вiдi-
гравати роль репелера. Нарештi, з моменту, коли точка v(t) входить у зону Du, компонента r(t)
прямує до фiнального значення r∗. Оскiльки для повної системи першого наближення рiвняння
r = r∗, v = 0 визначають у фазовому просторi n-вимiрний iнварiантний тор, то описаний вище
процес природно трактувати як явище динамiчної бiфуркацiї iнварiантного тора у пiдсистемi
(13) внаслiдок повiльної еволюцiї параметрiв v.
Твердження 2. У кулi Bm
R∗ початок координат є глобальним атрактором системи (14).
Доведення. З умови C6 випливає, що вздовж кожного розв’язку системи (14) функцiя 〈v, v〉
монотонно прямує до нуля.
Нехай {v(t)}t≥0 — додатна пiвтраєкторiя системи (14). Розглянемо розв’язок r(·) системи
ṙ = 2ε[α(v(t))−A(v(t))r] • r,
у якого r(0) ∈ (0,∞)n. Оскiльки j-ту компоненту rj(·) цього розв’язку можна трактувати
як нетривiальний розв’язок лiнiйного однорiдного рiвняння з неперервним коефiцiєнтом, то
rj(t) > 0 для всiх t ≥ 0.
Твердження 3. Нехай v(0) ∈ Ds i T ∗ = sup{t ≥ 0 : v(t) ∈ Ds}. Тодi |r(t)| ≤ |r(0)|e−2εα∗t
для всiх t ∈ [0, T ∗].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 901
Доведення. З урахуванням умови C4 на промiжку [0, T ∗] маємо
d|r(t)|
dt
≤ 2ε [−α∗|r(t)| − 〈A(v(t))r(t), r(t)〉] ≤ 2ε
[
−α∗|r(t)| −A∗‖r(t)‖2
]
≤ −2εα∗|r(t)|,
звiдки й випливає оцiнка для |r(t)|.
Наслiдок 1. Для всiх v ∈ Ds похiдна функцiї |r| внаслiдок пiдсистеми (13) менша за
−2εα∗|r|.
Твердження 4. Точка (r∗, 0) є глобальним атрактором системи (13), (14) в областi
(0,∞)n ×Bm
R∗ .
Доведення. З нерiвностi
d|r(t)|
dt
≤ 2ε [|α(v(t)) • r(t)| − 〈A(v(t))r(t), r(t)〉] ≤ 2ε‖r(t)‖ [α∗ −A∗‖r(t)‖]
випливає, що |r(t)| спадає, поки ‖r(t)‖ > α∗/A∗, а отже, принаймнi поки всi точки гiперплощи-
ни |r| = |r(t)| знаходяться поза сферою ‖r‖ = α∗/A∗, або, що те саме, вiдстань гiперплощини
|r| = |r(t)| до початку координат бiльша за α∗/A∗. Оскiльки ця вiдстань дорiвнює |r(t)|/
√
n,
то яке б мале не було δ > 0, iснує єдиний невiд’ємний момент часу, починаючи з якого точка
r(t) належатиме обмеженiй множинi {r ∈ (0,∞)n : |r| ≤
√
n (α∗ + δ) /A∗} .
Водночас, як тiльки в деякий момент t0 ≥ 0 точка v(t) ввiйде в Du, почне виконуватися
нерiвнiсть
d|r(t)|
dt
≥ 2ε
[
α∗|r(t)| −A∗‖r(t)‖2
]
≥ 2ε|r(t)| [α∗ −A∗|r(t)|] .
Тому настане момент часу t1 ≥ t0, починаючи з якого виконуватиметься нерiвнiсть |r(t)| ≥
≥ (α∗ − δ)/A∗. Таким чином, якщо покласти
K :=
{
r ∈ Rn+ : (α∗ − δ)/A∗ ≤ |r| ≤
√
n(α∗ + δ)/A∗
}
, (15)
то настане момент часу tK = tK(r(0)) ≥ t1 такий, що r(tK) ∈ K, i тодi r(t) ∈ K для всiх t ≥ tK.
Зауважимо, що, вибравши число ε0 достатньо малим, без обмеження загальностi далi можна
вважати, що % >
√
n(α∗ + δ)/A∗, а отже, |r| < % для всiх r ∈ K.
Доведемо, що r(t)→ r∗ при t→ +∞. Розглянемо граничну систему
ṙ = 2ε[α(0)−A(0)r] • r.
Вона має додатно визначену в (0,∞)n (вiдносно положення рiвноваги r∗) функцiю Ляпунова
V0(r) :=
n∑
i=1
(ri − 1− ln ri) ≡ |r| − ln
n∏
i
ri − n, (16)
похiдна якої внаслiдок граничної системи є вiд’ємно визначеною. Справдi,
〈∇V0(r), 2ε[α(0)−A(0)r] • r〉 = 2ε
n∑
i=1
(
ri − 1
ri
)
[α(0)−A(0)r]iri =
= 2ε 〈r − r∗, α(0)−A(0)r〉 = −2ε 〈r − r∗, A(0) [r − r∗]〉 ≤ −2εA∗ ‖r − r∗‖2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
902 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
Тепер покладемо q := sup0<‖v‖≤R∗ ‖v‖−1[‖α(v) − α(0)‖ + ‖A(v) − A(0)‖%] i обчислимо
похiдну внаслiдок системи (13), (14) функцiї
V (r, v) := V0(r) + λ‖v‖2/2, (17)
де λ > q2/(2A∗κ). З критерiю Сильвестра додатної визначеностi квадратичної форми випливає
iснування числа µ > 0 такого, що
〈∇V0(r), 2ε[α(v)−A(v)r] • r〉+ ελ 〈c(v), v〉 = −2ε 〈r − r∗, A(0) [r − r∗]〉+
+2ε 〈r − r∗, α(v(t))− α(0) + [A(0)−A(v(t))] r〉+ ελ 〈c(v), v〉 ≤
≤ −ε
[
2A∗ ‖r − r∗‖2 − 2q ‖r − r∗‖ ‖v‖+ λκ‖v‖2
]
≤ −εµ
[
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2
]
(18)
для всiх v ∈ Bm
R∗ i r ∈ (0,∞)n таких, що |r| ≤ %. Оскiльки (r(t), v(t)) ∈ K × Du для всiх
достатньо великих t, то V (r(t), v(t))→ 0 при t→ +∞, а тодi й r(t)→ r∗ при t→ +∞.
Твердження 4 доведено.
Наслiдок 2. Для всiх v ∈ Bm
R∗ i r ∈ (0,∞)n таких, що |r| >
√
n(α∗ + δ)/A∗, похiдна
функцiї |r| внаслiдок пiдсистеми (13) менша за −2εδ (α∗ + δ) /A∗. Якщо ж v ∈ Du i 0 < |r| <
< (α∗−δ)/A∗, то ця похiдна перевищує 2εδ|r|. Множина K×Du є додатно напiвiнварiантною
множиною системи (13), (14), причому кожна додатна пiвтраєкторiя цiєї системи така, що
(r(0), v(0)) ∈ (0,∞)n ×Bm
R∗ , входить в K ×Du.
Позначимо через J(r) матрицю Якобi
∂
∂r
[(α(0)−A(0)r)• r], а через HV0(r) матрицю Гессе
функцiї V0(·) в точцi r. Неважко перевiрити, що квадратична форма 〈HV0(r∗)r, r〉 є додатно
визначеною.
Твердження 5. Лiнiйна система ṙ = J(r∗)r асимптотично стiйка, причому похiдна квад-
ратичної форми 〈HV0(r∗)r, r〉 внаслiдок цiєї системи є вiд’ємно визначеною.
Доведення. Запишемо рiвнiсть
−〈r − r∗, A(0) [r − r∗]〉 = 〈∇V0(r), [α(0)−A(0)r] • r〉 =
= 〈HV0(r∗)(r − r∗), J(r∗)(r − r∗〉+O(‖r − r∗‖3).
Оскiльки вираз злiва є квадратичною формою, то i справа має бути квадратична форма, а тому
〈HV0(r∗)r, J(r∗)r〉 = −〈A(0)r, r〉 ∀r ∈ Rn.
Твердження 5 доведено.
4. Основна теорема. Скрiзь далi вважаємо, що % > max {
√
n (α∗ + δ) /A∗, 1} , а отже,
множина K, визначена формулою (15), мiститься в симплексi
S% :=
{
r ∈ Rn+ : |r| ≤ %
}
⊂ [0, %]n.
Перш нiж формулювати основну теорему, наведемо важливу властивiсть об’єднання пiдрiвне-
вих множин функцiї V0(·), визначеної формулою (16):⋃
c>0
V −10 ([0, c]) = (0,∞)n.
Цей факт, зокрема, випливає з такої леми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 903
Лема 2. Для k > 0 i c ≥ 0 визначимо множину
Qε(k, c) :=
{
r ∈ Rn : rj ≥ e−cεk, j = 1, . . . , n
}
.
Якщо ε0 ∈ (0, 1) i c ≥ 1, то
V −10
([
0,
∣∣∣ln εk∣∣∣+ c− 1
])
:=
{
r ∈ (0,∞)n : V0(r) ≤
∣∣∣ln εk∣∣∣+ c− 1
}
⊂ Qε(k, c) ∀ε ∈ (0, ε0).
Якщо додатково вимагати, щоб
∣∣∣ln εk/n0
∣∣∣ > %− ln %, то
Qε
(
k
n
, 0
)
∩ S% ⊂ V −10
([
0,
∣∣∣ln εk∣∣∣]) ∀ε ∈ (0, ε0).
Доведення. Покажемо, що коли V0(r) ≤
∣∣ln εk∣∣ + c − 1, то r ∈ Qε(k, c). Справдi, в iншому
випадку ми б мали нерiвнiсть rj < e−cεk < 1 хоча б для одного j, а тодi
V0(r) > e−cεk − 1− ln εk + c >
∣∣∣ln εk∣∣∣+ c− 1.
Нехай тепер r ∈ Qε
(
k
n
, 0
)
∩ S%. Тодi εk/n ≤ rj < % i
rj − 1− ln rj ≤ max
{
εk/n − 1 +
1
n
∣∣∣ln εk∣∣∣ , %− 1− ln %
}
<
1
n
∣∣∣ln εk∣∣∣ , j = 1, . . . , n.
Пiдсумувавши цi нерiвностi, дiстанемо V0(r) < | ln εk|.
Наслiдок 3. mes
(
S% \ V −10
([
0, | ln εk|
]))
= O(εk/n), ε→ +0.
Тепер сформулюємо основний результат.
Теорема 1. Нехай виконано умови C4 – C7 i 0 < k < N − 2. Iснує ε0 > 0 таке, що:
1) для всiх ε ∈ (0, ε0) розв’язок (r(t), v(t), ϕ(t)) системи (11) з початковими значеннями
(r(0), v(0), ϕ(0)) ∈ S% × Ds × Tn продовжується на пiввiсь [0,∞), задовольняє нерiвнiсть
|r(t)| ≤ |r(0)|e−εα∗t на промiжку [0, T1(ε)) := {t ≥ 0 : v(t) ∈ Ds} i знайдеться момент
T2(ε) > T1(ε) такий, що r(t) ∈ K, v(t) ∈ Du при t ≥ T2(ε), де множини K, Ds та Du визначе-
но формулами (15), (12); 2) cистема (11) має n-вимiрний iнварiантний тор Tε, розташований
в O(ε)-околi тора {r∗}×{0}×Tn, i її звуження на Tε має вигляд ϕ̇ = ω(0) + εf(ϕ, ε), де f(·, ε) :
Tn → Rn — лiпшицеве векторне поле; 3) якщо додатково припустити, що V0(r(0)) ≤ | ln εk|,
то на торi Tε iснує траєкторiя {(r̃(t), ṽ(t), ϕ̃(t))}t∈R така, що
lim
t→+∞
[|r(t)− r̃(t)|+ |v(t)− ṽ(t)|+ |ϕ(t)− ϕ̃(t)|] = 0,
i це твердження залишається правильним для довiльного r(0) ∈ S%, якщо додатково виконують-
ся умови
Rj(r, v, ϕ, ε)|rj=0 = 0 ∀(r, v, ϕ, ε) ∈ S% ×Bm
R∗ × Tn × (0, ε0), j = 1, . . . , n. (19)
Доведення цiєї теореми отримуємо, синтезувавши твердження, якi мiстяться нижче в пп. 5, 6.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
904 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
5. Попереднiй аналiз нормалiзованої системи. Далi вважаємо, що умови основної тео-
реми виконано. Наступне твердження фiксує низку схожих рис у поведiнцi системи першого
наближення та системи (11).
Твердження 6. Нехай (r(t), v(t), ϕ(t)), t ∈ I, — непродовжуваний розв’язок системи (11),
причому r(0) ∈ S%, v(0) ∈ Bm
R∗ . Тодi для достатньо малого ε0 > 0 i всiх ε ∈ (0, ε0) цей розв’язок
має такi властивостi: 1) iнтервал I мiстить додатну пiввiсь, i, отже, S%×Bm
R∗×Tn є додатно
напiвiнварiантною множиною системи (11); 2) iснує момент часу τε ≥ 0, починаючи з якого
v(t) не виходить з деякого O(ε)-околу початку координат в Rm, причому на промiжку [0, τε]
функцiя ‖v(t)‖ монотонно спадає; 3) поки v(t) ∈ Ds, функцiя |r(t)| спадає з експоненцiальною
швидкiстю, задовольняючи нерiвнiсть |r(t)| ≤ |r(0)|e−εα∗t; 4) множина K×Du×Tn є додатно
напiвiнварiантною множиною системи (11), причому знайдеться невiд’ємний момент часу,
починаючи з якого (r(t), v(t), ϕ(t)) ∈ K ×Du × Tn.
Доведення. Обчисливши й оцiнивши з урахуванням наслiдкiв 1, 2 похiднi функцiй |r| та
〈v, v〉 внаслiдок вiдповiдних пiдсистем системи (11), легко переконатись у тому, що за умови
достатньої мализни ε0 у вiдповiдних областях цi похiднi мають тi самi знаки, що й похiднi
функцiй |r| та 〈v, v〉 внаслiдок системи (13), (14). На пiдставi тих самих мiркувань, що й при
доведеннi тверджень 2 – 4, з урахуванням зауваження 1 дiстаємо потрiбний результат.
Твердження 6 доведено.
Наявнiсть члена εN/2
√
r•R(r, v, ϕ, ε) в системi (11) ускладнює встановлення аналога тверд-
ження 4. У твердженнi, яке наводиться нижче, сформульовано умови на початковi значення
розв’язку системи (11), якi гарантують, що, починаючи з певного моменту, цей розв’язок
потрапляє i в подальшому залишається в деякому O(
√
ε)-околi тора, заданого у фазовому
просторi рiвняннями r = r∗, v = 0.
Твердження 7. Знайдуться додатнi числа ε0 i C∗ такi, що при всiх ε ∈ (0, ε0) для кожного
розв’язку (r(t), v(t), ϕ(t)) системи (11) з початковими значеннями r(0) ∈ S%∩V −10
(
[0,
∣∣ln εk∣∣])
i v(0) ∈ Bm
R∗ iснує момент tε > τε такий, що
‖r(t)− r∗‖ < C∗
√
ε, ‖v(t)‖ < C∗ε ∀t > tε. (20)
Якщо додатково припустити виконання умов (19), то iснування tε гарантоване для кожного
розв’язку системи (11) такого, що |r(0)| < %, rj(0) > 0, j = 1, . . . , n, v(0) ∈ Bm
R∗ .
Доведення. З огляду на твердження 6 достатньо обґрунтувати першу з нерiвностей (20).
Нехай C0 — стала, що обмежує зверху кожну з норм ‖B(r, v, ε)‖, ‖R(r, v, ϕ, ε)‖, ‖W (r, v, ε)‖,
‖Z(r, v, ϕ, ε)‖ на множинi [0, %]n ×Bm
R∗ ×Tn × [0, ε0]. З урахуванням (18) на множинi (0, %]n ×
× Tn × Bm
R∗ × [0, ε0] похiдна функцiї V (r, v) (див. (17)) внаслiдок системи (11) допускає таку
оцiнку зверху:
V̇(11)(r, v, ϕ, ε) :=
〈
∇V0(r), 2ε [α(v)−A(v)r + εB(r, v, ε)] • r + εN/2
√
r •R(r, v, ϕ, ε)
〉
+
+λ
〈
v, εc(v) + ε2W (r, v, ε) + ε(N+3)/2Z(r, v, ϕ, ε)
〉
≤
≤ −εµ
(
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2
)
+ 2ε2 〈r − r∗, B(r, v, ε)〉+ εN/2
〈
r − r∗, r−1/2 •R(r, v, ϕ, ε)
〉
+
+ε2λ 〈v,W (r, v, ε)〉+ ε(N+3)/2λ 〈v, Z(r, v, ϕ, ε)〉 ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 905
≤ −ε
[
µ
(
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2
)
− ‖r − r∗‖
(
2C0ε+ εN/2−1‖r−1/2 •R(r, v, ϕ, ε)‖
)
− 2ελC0‖v‖
]
.
Покажемо, що при достатньо малому ε0 ця похiдна не перевищує деякого вiд’ємного числа на
множинi{
(r, v, ϕ, ε) ∈ [Qε(k, c) ∩ S%]×Bm
R∗ × Tn × (0, ε0] :
√
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2 ≥ 6
√
εC0/µ
}
, (21)
де c ≥ λ[R∗]2/2 + 1. Насамперед зауважимо, що
−ε‖v‖ [µ‖v‖ − 2ελC0] ≤ ε3λ2C2
0/µ ∀v ∈ Bm
R∗ .
Нехай (r, v, ϕ, ε) належить множинi (21). Якщо ‖r − r∗‖ > 1/4, то, використовуючи нерiвностi
rj ≥ e−cεk для перших n координат точки множини (21), дiстаємо
εN/2−1
∥∥∥r−1/2 •R(r, v, ϕ, ε)
∥∥∥ ≤ εN/2−1C0e
c/2ε−k/2 = ε(N−k−2)/2C0e
c/2,
тодi при достатньо малому ε0 маємо
V̇(11)(r, v, ϕ, ε) ≤ −
ε
4
[µ
4
− 2C0ε− ε(N−k−2)/2C0e
c/2
]
+ ε3λ2C2
0/µ < 0 ∀ε ∈ (0, ε0].
Якщо ж ‖r − r∗‖ ≤ 1/4, то |rj − 1| < 1/4, а отже, rj > 1/4, i тодi, беручи до уваги, що в цьому
випадку
∥∥r−1/2 •R(r, v, ϕ, ε)
∥∥ ≤ 2C0, при достатньо малому ε0 i всiх ε ∈ (0, ε0] дiстаємо
V̇(11)(r, v, ϕ, ε) ≤ −ε
[
µ
(
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2
)
− 4
√
εC0 ‖r − r∗‖ − 2ελC0‖v‖
]
≤
≤ −ε
[
µ
(
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2
)
− 4
√
2εC0
√
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2
]
< 0.
Оскiльки згiдно з лемою 2 множина V −10
([
0,
∣∣ln εk∣∣+ c− 1
])
мiститься в Qε(k, c), то
S := V −1
([
0,
∣∣∣ln εk∣∣∣+ c− 1
])
∩ [S% ×Bm
R∗ ] ⊂ [Qε (k, c) ∩ S%]×Bm
R∗ .
Тодi з твердження 6 та з отриманих оцiнок для V̇(11)(r, v, ϕ, ε) випливає, що множина S × Tn
є додатно напiвiнварiантною i якщо (r(0), v(0)) ∈ S, то iснує момент τ∗ε > 0 такий, що
V (r(t), v(t)) < c∗(ε) для всiх t > τ∗ε , де
c∗(ε) = max
{
V (r, v) :
√
‖r − r∗‖2 + ‖v‖2 = 6
√
εC0/µ
}
.
Справдi, максимальнi значення в замкненiй кулi з центром у точцi (r∗, 0) функцiя V (·, ·) досягає
лише на межi кулi. Тому у вiдкритiй кулi радiуса 6
√
2εC0/µ з центром у (r∗, 0) функцiя V (·, ·)
набуває значень, менших за c∗(ε) , а отже, ця куля мiститься у множинi V −1 ([0, c∗(ε)]) . Тепер
iснування tε випливає з вiд’ємностi V̇ (r, v, ϕ, ε) у точках множини (21).
Очевидно, що коли r ∈ S%, V0(r) ≤
∣∣ln εk∣∣ i ‖v‖ ≤ R∗, то V (r, v) ≤
∣∣ln εk∣∣ + c − 1. Отже,
множина S мiстить множину
[
V −10
([
0,
∣∣ln εk∣∣]) ∩ S%]×Bm
R∗ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
906 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
Далi, оскiльки V0(r) ∼
1
2
〈HV (r∗)(r − r∗), r − r∗〉 поблизу r∗, то можна вказати такеC∗ > 0,
що множина V −1([0, c∗(ε)]) мiстититься в кулi радiуса C∗
√
ε з центром у (r∗, 0) при всiх
достатньо малих ε > 0. Тепер можна покласти tε = max {τε, τ∗ε } .
Нарештi, якщо виконано умови (19), то Rj(r, v, ϕ, ε) =
√
rjR̃j(r, v, ϕ, ε), j = 1, . . . , n, i тодi
всi мiркування стосуються також випадку, коли r(0) ∈ S% ∩ (0,∞)n, якщо пiдсистему для r у
системi (11) замiнити на
ṙ = 2ε
[
α(v)−A(v)r + εB(r, v, ε) + εN/2−1R̃(r, v, ϕ, ε)
]
• r.
Твердження 7 доведено.
Зауваження 2. З тверджень 6 та 7 випливає, що у випадку, коли додатна пiвтраєкторiя⋃
t≥0
(r(t), v(t), ϕ(t)) не має спiльних точок з множиною S × Tn, знайдеться момент часу,
пiсля якого r(t) ∈ K \ V −10
(
[0,
∣∣ln εk∣∣]) .
Тепер основне питання полягає в тому, чи має система (11) iнварiантний тор, близький до
iнварiантного тора системи першого наближення, i якщо такий тор iснує, то яким є басейн його
притягування.
6. Iснування iнварiантного тора та характеристика його басейну. З урахуванням уже
доведених тверджень подальший аналiз системи (11) будемо проводити в околi iнварiантного
тора r = r∗, v = 0 системи першого наближення.
Задля спрощення записiв об’єднаємо змiннi r та v в однiй векторнiй змiннiй y = (r, v) (ця
(n+m)-вимiрна змiнна не пов’язана з однойменною 2n-вимiрною локальною змiнною з п. 2).
Систему (11) запишемо у виглядi
ẏ = εF (y, ε) + εN/2G(y, ϕ, ε),
ϕ̇ = ω̄(y, ε) + εN/2H(y, ϕ, ε),
(22)
де
F (y, ε) := (2 [α(v)−A(v)r + εB(r, v, ε)] • r, c(v) + εW (r, v, ε)) ,
G(y, ϕ, ε) :=
(√
r •R(r, v, ϕ, ε), ε3/2Z(r, v, ϕ, ε)
)
,
ω̄(y, ε) := ω(v) + εΨ(r, v, ε), H(y, ϕ, ε) := r−1/2 • Φ(r, v, ϕ, ε).
Позначимо y∗ := (r∗, 0). Тодi F (y∗, 0) = 0. Оскiльки
F ′(y∗, 0) =
(
J(r∗) 2 [α′(0)−A′(0)r∗] • r∗
0 c′(0)
)
i згiдно з твердженням 5 та умовою C6 лiнiйнi системи ṙ = J(r∗)r та v̇ = c′(0)v асимптотично
стiйкi, а отже, всi власнi числа матриць цих систем мають вiд’ємнi дiйснi частини, то таку саму
властивiсть має й система ẏ = F ′(y∗, 0)y. Вiдомо, що iснує додатно визначена квадратична
форма, похiдна якої внаслiдок асимптотично стiйкої лiнiйної системи зi сталою матрицею є
вiд’ємно визначеною. Ця додатно визначена квадратична форма задає структуру скалярного
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 907
добутку. Тому далi вважаємо, що простiр Rn+m надiлено скалярним добутком 〈·, ·〉 , для якого
квадратична форма
〈
F ′y(y
∗, 0)y, y
〉
є вiд’ємно визначеною.
Тепер можна вибрати додатнi числа γ, σ та ε0 так, щоб виконувалася нерiвнiсть〈[
F ′y(y, ε) + ε(N−2)/2G′y(y, ϕ, ε)
]
z, z
〉
≤
≤ −2γ‖z‖2 ∀(y, z, ϕ, ε) ∈ Bn+m
σ (y∗)× Rn+m × Tn × [0, ε0]. (23)
Звiдси випливає, що Bn+m
σ (y∗) × Tn є додатно напiвiнварiантною множиною системи (22), а
отже, для кожної точки (y, ϕ) ∈ Bn+m
σ (y∗) × Tn її додатна пiвтраєкторiя, яку позначатимемо
{(ηt(y, ϕ)), φt(y, ϕ)}t≥0 , мiститься в Bn+m
σ (y∗)× Tn. Iншими словами, система (22) породжує
в Bn+m
σ (y∗)× Tn напiвпотiк{
(ηt(·, ·), φt(·, ·)) : Bn+m
σ (y∗)× Tn → Bn+m
σ (y∗)× Tn
}
t≥0 .
Важливо зауважити, що насправдi, як випливає з результатiв п. 3, система (22) породжує
напiвпотiк на множинi S% × Bm
R∗ × Tn, причому кожна точка, яка пiд дiєю цього напiвпотоку
в певний момент потрапляє в множину
[
S% ∩ V −10
(
[0,
∣∣ln εk∣∣])] × Bm
R∗ × Tn, через якийсь час
обов’язково опиняється в Bn+m
σ (y∗) × Tn, а згодом продовжує рухатися в O(
√
ε)-околi тора
{y∗} × Tn.
Тепер покажемо, що при всiх достатньо малих ε > 0 множина Bn+m
σ (y∗)×Tn мiстить n-ви-
мiрний iнварiантний тор системи (22), який притягує всi додатнi пiвтраєкторiї з цiєї множини,
а отже, басейн цього тора мiстить множину
[
S% ∩ V −10 ([0, k |ln ε|])
]
×Bm
R∗ × Tn.
Зауваження 3. При малому σ з умови C5 випливає, що Bm
σ ⊂ A(5, ν), а тодi для v ∈ Bm
σ
результати п. 2 будуть дiйсними для N = 5. Тому далi розглядаємо систему (22), в якiй N ≥ 5.
З (23) випливає, що матрицант Ωt
s лiнiйної системи
ż = ε
[
F ′y(ηt(y, ϕ), ε) + ε(N−2)/2G′y(ηt(y, ϕ), φt(y, ϕ), ε)
]
z =: εP (t; y, ϕ, ε)z
допускає оцiнку ∥∥Ωt
s
∥∥ ≤ e−2εγ·(t−s), t ≥ s ≥ 0.
Додатнi числа σ та K виберемо так, щоб для всiх (yi, ϕi, ε) ∈ Bn+m
2σ (y∗) × Tn × [0, ε0]
виконувалися нерiвностi∥∥∥ω̄ (y1, ε)+ εN/2H
(
y1, ϕ1, ε
)
− ω̄
(
y2, ε
)
− εN/2H
(
y2, ϕ2, ε
)∥∥∥ ≤
≤ K
[∥∥y1 − y2∥∥+ εN/2
∥∥ϕ1 − ϕ2
∥∥] , (24)
∥∥∥F (y1, ε) + ε(N−2)/2G(y1, ϕ1, ε)− F (y2, ε)− ε(N−2)/2G(y2, ϕ2, ε)−
−
[
F ′y(y
3, ε) + ε(N−2)/2G′y(y
3, ϕ3, ε)
]
(y1 − y2)
∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥F (y1, ε) + ε(N−2)/2G(y1, ϕ2, ε)− F (y2, ε)− ε(N−2)/2G(y2, ϕ2, ε)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
908 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
−
[
F ′y(y
2, ε) + ε(N−2)/2G′y(y
2, ϕ2, ε)
]
(y1 − y2)
∥∥∥+
+
∥∥∥[F ′y(y2, ε)− F ′y(y3, ε) + ε(N−2)/2G′y(y
2, ϕ2, ε)− ε(N−2)/2G′y(y3, ϕ3, ε)
]
(y1 − y2)
∥∥∥+
+ε(N−2)/2
∥∥G(y1, ϕ1, ε)−G(y1, ϕ2, ε)
∥∥ ≤
≤ K
[(∥∥y1 − y2∥∥+
∥∥y2 − y3∥∥+ ε(N−2)/2
∥∥ϕ2 − ϕ3
∥∥)∥∥y1 − y2∥∥+ ε(N−2)/2
∥∥ϕ1 − ϕ2
∥∥] . (25)
Твердження 8. Покладемо Bε := {(y, z) ∈ Rn+m × Rn+m : y, z ∈ Bn+m
σ (y∗), ‖y − z‖ ≤ ε}
iM := 4K/γ. Iснує ε0 > 0 таке, що коли ε ∈ (0, ε0), то кожнiй точцi (y, z, ϕ) ∈ Bε×Tn можна
поставити у вiдповiднiсть єдину точку θ(y, z, ϕ) ∈ Tn так, щоб для всiх t ≥ 0 справджувалися
нерiвностi
‖ηt (y, ϕ)− ηt (z, θ(y, z, ϕ))‖ ≤ 2e−εγt ‖y − z‖ ,
‖φt(y, ϕ)− φt(z, θ(y, z, ϕ))‖ ≤ M
ε
e−εγt‖y − z‖.
(26)
При цьому θ(·, ·, ·) ∈ C (Bε × Tn → Tn) , для будь-яких
(
y, zi, ϕ
)
∈ Bε×Tn, i = 1, 2, справджу-
ється нерiвнiсть ∥∥θ (y, z1, ϕ)− θ (y, z2, ϕ)∥∥ ≤ M
ε
∥∥z1 − z2∥∥
i для довiльної фiксованої точки (y, z) ∈ Bε вiдображення θ(y, z, ·) : Tn → Tn — гомеоморфiзм.
Доведення. Позначимо через Mε простiр, утворений неперервними вiдображеннями
Uε := R+ × Bε × Tn 3 (t, y, z, ϕ) 7→ (ζ(t, y, z, ϕ), ψ(t, y, z, ϕ)) ∈ Rn+m × Tn,
якi для всiх (t, y, z, ϕ), (t, y, zi, ϕ) ∈ R+ × Bε × Tn, i = 1, 2, задовольняють нерiвностi
‖ηt(y, ϕ)− ζ(t, y, z, ϕ)‖ ≤ 2e−εγt‖y − z‖,
‖φt(y, ϕ)− ψ(t, y, z, ϕ)‖ ≤ M
ε
e−εγt‖y − z‖,
∥∥ζ(t, y, z1, ϕ)− ζ(t, y, z2, ϕ)
∥∥ ≤ 2e−εγt
∥∥z1 − z2∥∥ ,
∥∥ψ(t, y, z1, ϕ)− ψ(t, y, z2, ϕ)
∥∥ ≤ M
ε
e−εγt
∥∥z1 − z2∥∥
i рiвнiсть ζ(0, y, z, ϕ) = z.
Далi задля спрощення записiв, де це не викликає непорозумiнь, для функцiй, аргументами
яких є t, y, z, ϕ, ми вказуємо залежнiсть лише вiд часової змiнної t i пишемо ηt, φt, ζt i ψt замiсть
ηt(y, ϕ), φt(y, ϕ), ζ(t, y, z, ϕ) i ψ(t, y, z, ϕ) вiдповiдно. Крiм того, з урахуванням зауваження 3
у подальших мiркуваннях покладаємо N = 5.
Введемо в Mε структуру повного метричного простору, визначивши вiдстань мiж парою
елементiв
(
ζi, ψi
)
∈Mε, i = 1, 2, за формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 909
d
[
(ζ1, ψ1), (ζ2, ψ2)
]
:= M sup
Uε
[
eεγt
∥∥ζ1t − ζ2t ∥∥]+ ε sup
Uε
[
eεγt
∥∥ψ1
t − ψ2
t
∥∥] .
Визначимо на Mε вiдображення
F [ζ, ψ](t) := φt +
∞∫
t
[ω̄(ηs, ε)− ω̄(ζs, ε)] ds+ ε5/2
∞∫
t
[H(ηs, φs, ε)−H(ζs, ψs, ε)] ds,
G[ζ, ψ](t) := Ωt
0z + ε
t∫
0
Ωt
s
[
F (ζs, ε) + ε3/2G(ζs, ψs, ε)−
(
F ′y(ηs, ε) + ε3/2G′y(ηs, φs, ε)
)
ζs
]
ds.
При фiксованому наборi (y, z, ϕ) ∈ Bε × Tn елемент простору Mε породжує розв’язок систе-
ми (22) тодi й лише тодi, коли
ζt = G[ζ, ψ](t), ψt = F [ζ, ψ](t) ∀t ≥ 0. (27)
Справдi, зазначений елемент простору Mε породжує розв’язок тодi й лише тодi, коли при t ≥ 0
виконуються рiвностi
ζt = G[ζ, ψ](t),
ψt − φt = ψ0 − ϕ+
t∫
0
[
ω̄(ζs, ε)− ω̄(ηs, ε) + ε5/2 (H(ζs, ψs, ε)−H(ηs, φs, ε))
]
ds.
Друга з цих рiвностей є очевидною, а щоб дiстати першу, достатньо записати розв’язок y = ζt
лiнiйної неоднорiдної системи ẏ = εP (t; y, ϕ, ε)y + f(t), де
f(t) := ε
[
F (ζt, ε) + ε3/2G(ζt, ψt, ε)−
(
F ′y(ηt, ε) + ε3/2G′y(ηt, φt, ε)
)
ζt
]
,
який при t = 0 набуває значення z. Оскiльки φt − ψt → 0, t→∞, то дiстаємо єдине можливе
початкове значення
ψ0 = ϕ−
∞∫
0
[
ω̄(ζs, ε)− ω̄(ηs, ε) + ε5/2 (H(ζs, ψs, ε)−H(ηs, φs, ε))
]
ds, (28)
звiдки ψt = F [ζ, ψ](t). Навпаки, якщо виконуються рiвностi (27), то очевидно, що t 7→ (ζt, ψt)
— розв’язок системи (22).
Покажемо, що число ε0 можна вибрати так, щоб вiдображення
Mε 3 (ζ, ψ) 7→ (G,F)
було стиском. Далi вважаємо, що 2ε0 < σ. Нехай (ζ, ψ) ∈ Mε. З урахуванням нерiвностi (24)
маємо
‖F [ζ, ψ](t)− φt‖ ≤ K
∞∫
t
[
‖ζs − ηs‖+ ε5/2 ‖ψs − φs‖
]
ds ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
910 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
≤
K
[
2‖y − z‖+Mε3/2‖y − z‖
]
e−εγt
εγ
≤ M
ε
[
1
2
+
Mε
3/2
0
4
]
e−εγt‖y − z‖ ≤ M
ε
e−εγt‖y − z‖
за умови, що
ε
3/2
0 ≤ 2/M. (29)
Якщо взяти до уваги рiвнiсть
ηt = Ωt
0y + ε
t∫
0
Ωt
s
[
F (ηs, ε) + ε3/2G(ηs, φs, ε)−
(
F ′y(ηs, ε) + ε3/2G′y(ηs, φs, ε)
)
ηs
]
ds
та нерiвнiсть (25) при y1 = ζs, ϕ
1 = ψs, y
2 = y3 = ηs, ϕ
2 = ϕ3 = φs, то дiстанемо
‖G[ζ, ψ](t)− ηt‖ ≤ e−2εγt‖y − z‖+
+ε
t∫
0
e−2εγ·(t−s)K
[(
‖ζs − ηs‖+ ε3/2‖ψs − φs‖
)
‖ζs − ηs‖+ ε3/2‖ψs − φs‖
]
ds ≤
≤ e−2εγt‖y − z‖+ 4Kε2e−2εγtt‖y − z‖+
KMε1/2
γ
e−γεt‖y − z‖ ≤
≤
[
1 +
Mε0
e
+
M2 ε
1/2
0
4
]
e−εγt‖y − z‖ ≤ 2e−εγt‖y − z‖
за умови, що
Mε0
e
+
M2 ε
1/2
0
4
≤ 1.
Далi, позначивши ζit := ζ(t, y, zi, ϕ), ψit := ψ(t, y, zi, ϕ), i = 1, 2, i поклавши в нерiвностях
(24) та (25) (yi, ϕi) = (ζis, ψ
i
s), i = 1, 2, y3 = ηs, ϕ
3 = φs, будемо мати
eεγt
[∥∥F [ζ1, ψ1](t)−F [ζ2, ψ2](t)
∥∥] ≤
≤ eεγt
∞∫
t
e−εγsKeεγs
[
‖ζ1s − ζ2s‖+ ε5/2
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥] ds ≤
≤ M
4ε
sup
s≥0
[
eεγs
∥∥ζ1s − ζ2s∥∥]+
Mε
3/2
0
4
sup
s≥0
[
eεγs
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥] ≤
≤
[
1
2
+
Mε
3/2
0
4
]
M
ε
∥∥z1 − z2∥∥ ,
eεγt
[∥∥G[ζ1, ψ1](t)− G[ζ2, ψ2](t)
∥∥] ≤ e−εγt ∥∥z1 − z2∥∥+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 911
+e−εγtεK
t∫
0
eεγs
[
‖ζ1s − ηs‖+ 2
∥∥ζ2s − ηs∥∥+ ε3/2
∥∥ψ2
s − φs
∥∥] ds
sup
s≥0
[
eεγs
∥∥ζ1s − ζ2s∥∥]+
+e−εγtε5/2K
t∫
0
eεγsds
sup
s≥0
[
eεγs
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥] ≤ ∥∥z1 − z2∥∥+
+εK
(
6ε+Mε3/2
)
e−εγtt sup
s≥0
[
eεγs
∥∥ζ1s − ζ2s∥∥]+
Kε3/2
γ
sup
s≥0
[
eεγs
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥] ≤
≤
[
1 +
3Mε0
e
+
M2ε
3/2
0
2e
+
M2ε
1/2
0
4
]∥∥z1 − z2∥∥ .
Якщо вибрати ε0 > 0 так, щоб виконувалися нерiвностi (29) та
3Mε0
e
+
M2ε
3/2
0
2e
+
M2ε
1/2
0
4
≤ 1, (30)
а також врахувати рiвномiрну щодо y, z, ϕ збiжнiсть невласного iнтеграла, який фiгурує у виразi
для F , то для всiх ε ∈ (0, ε0) i (ζ, ψ) ∈Mε отримаємо
Mε 3 (ζ, ψ) 7→ (G[ζ, ψ],F [ζ, ψ]) ∈Mε. (31)
Далi, для довiльних (ζ1, ψ1), (ζ2, ψ2) ∈Mε, позначивши ζit = ζi(t, y, z, ϕ), ψit = ψi(t, y, z, ϕ)
та поклавши в нерiвностях (24) i (25) (yi, ϕi) = (ζis, ψ
i
s), i = 1, 2, y3 = ηs, ϕ
3 = φs, аналогiчно
до попереднiх викладок одержимо
eεγt
[∥∥F [ζ1, ψ1](t)−F [ζ2, ψ2](t)
∥∥] ≤
≤ M
4ε
sup
Uε
[
eεγs
∥∥ζ1s − ζ2s∥∥]+
Mε
3/2
0
4
sup
Uε
[
eεγs
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥] ,
eεγt
[∥∥G[ζ1, ψ1](t)− Gt[ζ2, ψ2](t)
∥∥] ≤
≤ εK
(
6ε+Mε3/2
)
e−εγtt sup
Uε
[
eεγs
∥∥ζ1s − ζ2s∥∥]+
Kε3/2
γ
sup
Uε
[
eεγs
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥] ≤
≤ Mε0
4e
(
6 +Mε
1/2
0
)
sup
Uε
[
eεγs
∥∥ζ1s − ζ2s∥∥]+
Mεε
1/2
0
4
sup
Uε
[
eεγs
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥] .
Звiдси
d
[(
G[ζ1, ψ1],F [ζ1, ψ1]
)
,
(
G[ζ2, ψ2],F [ζ2, ψ2]
)]
≤
≤ Mε
3/2
0 +M2ε
1/2
0
4
ε sup
Uε
[
eεγs
∥∥ψ1
s − ψ2
s
∥∥]+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
912 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
+
1
4
+
ε0M
(
6 +Mε
1/2
0
)
4e
M sup
Uε
[
eεγs
∥∥ζ1s − ζ2s∥∥] .
Неважко переконатися в тому, що при достатньо малому ε0 нерiвностi (29), (30) гарантують
виконання умови стиску на Mε для вiдображення (31) при всiх ε ∈ (0, ε0). Нерухома точка
(ζ, ψ) цього вiдображення i буде розв’язком системи (22), який належить простору Mε.
З урахуванням формули (28) однозначно визначаємо
θ(y, z, ϕ) := ψ(0, y, z, ϕ).
Неперервнiсть вiдображення θ(·, ·, ·) i його лiпшицевiсть щодо z з константою M/ε очевиднi.
Оскiльки, крiм того, ζ(0, y, z, ϕ) = z, то
ζ(t, y, z, ϕ) = ηt (z, θ(y, z, ϕ)) , ψ(t, y, z, ϕ) = φt (z, θ(y, z, ϕ)) .
Нарештi, з самої побудови вiдображення ϑzy(·) := θ(y, z, ·) випливає, що для всiх (y, z, ϕ) ∈
∈ Bε×Tn справджується рiвнiсть ϑyz ◦ϑzy(ϕ) = ϕ. Справдi, з урахуванням (26) точцi (z, y, ϕ′)) ∈
∈ Bε×Tn, де ϕ′ = ϑzy(ϕ), вiдповiдає точка ϑ(z, y, ϕ′) = ϕ. Отже, на множинi ϑzy (Tn) визначено
неперервне обернене вiдображення
[
ϑzy
]−1
(·) = ϑyz(·). Але тодi ϑzy (Tn) , як вiдкрито-замкнена
пiдмножина тора, який теж є вiдкрито-замкненою множиною, збiгається з Tn. Тому ϑzy(·) —
гомеоморфiзм тора на себе.
Твердження 8 доведено.
Оскiльки detF ′y(y
∗, 0) 6= 0, то за теоремою про неявну функцiю при достатньо малому ε0) >
> 0 iснує єдине гладке вiдображення y∗(·) : [0, ε0]→ Rn+m таке, що y∗(0) = y∗ i F (y∗(ε), ε) = 0
для всiх ε ∈ [0, ε0]. Спираючись на теорiю збурень iнварiантних торiв [7, 9, 11, 12, 16], доведемо
таке твердження.
Твердження 9. Iснує ε0 > 0 таке, що при всiх ε ∈ (0, ε0) система (22) має iнварiантний
тор Tε, заданий рiвнянням y = y∗(ε) + εξε(ϕ), де вiдображення ξε(·) : Tn → Bn+m
%(ε) (0) задо-
вольняє умову Лiпшиця зi сталою Лiпшиця L(ε), причому L(ε) → 0 та %(ε) → 0 при ε → 0.
Цей тор є локальним атрактором i притягує до себе всi додатнi пiвтраєкторiї, що мають
початок у ε(1− %(ε))-околi точки y∗(ε).
Доведення. Перейдемо в системi (22) до нової змiнної ξ за формулою y = y∗(ε) + εξ.
Дiстанемо
ξ̇ = ε
[
F ′(y∗(ε), ε)ξ +
√
εG(y∗(ε) + εξ, ϕ, ε)
]
,
ϕ̇ = ω̄(y∗(ε) + εξ, ε) + ε5/2H(y∗(ε) + εξ, ϕ, ε).
Запишемо цю систему у виглядi
ξ̇ = ε
[
F ′y(y
∗, 0)ξ + Ξ(ξ, ϕ, ε)
]
,
ϕ̇ = ω̄(y∗(ε), ε) + εΘ(ξ, ϕ, ε),
(32)
де
Ξ(ϕ, ξ, ε) =
[
F ′y(y∗(ε), ε)− F ′y(y∗, 0)
]
ξ +
√
εG(y∗(ε) + εξ, ϕ, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 913
Θ(ϕ, ξ, ε) =
1∫
0
ω̄′y (y∗(ε) + εsξ, ε) ξds+ ε3/2H(y∗(ε) + εξ, ϕ, ε).
Легко переконатися в тому, що до системи (32) можна застосувати лему 2.1 з [7]. Згiдно з цiєю
лемою iснує ε0 > 0 таке, що для кожного ε ∈ (0, ε0) система має iнварiантний тор, заданий
рiвнянням ξ = ξε(ϕ), де вiдображення ξε(·) має всi вказанi вище властивостi.
Таким чином, система (22) в ε%(ε)-околi точки y∗(ε) має iнварiантний тор Tε, заданий
рiвнянням y = y∗(ε) + εξε(ϕ). Покладемо zε(ϕ) := y∗(ε) + εξε(ϕ). При достатньо малому ε0 i
ε ∈ (0, ε0) точка y∗(ε) належить Bn+m
σ (y∗) разом зi своїм ε-околом, а для будь-якого y0 такого,
що ‖y0 − y∗(ε)‖ < ε(1− %(ε)), i довiльного ϕ ∈ Tn справджуються нерiвностi
‖y0 − zε(ϕ)‖ ≤ ‖y0 − y∗(ε)‖+ ‖y∗(ε)− zε(ϕ)‖ < ε(1− %(ε)) + ε%(ε) = ε.
Отже, якщо y0 — довiльна точка з ε(1 − %(ε))-околу точки y∗(ε), то (y0, zε(ϕ)) ∈ Bε при всiх
ϕ ∈ Tn. Тодi згiдно з твердженням 8 для всiх t ≥ 0 маємо
‖ηt (y0, ϕ0)− ηt (zε(ϕ), θ(y0, zε(ϕ), ϕ0))‖ ≤ 2e−εγt ‖y0 − zε(ϕ)‖ ,
‖φt (y0, ϕ0)− φt (zε(ϕ), θ(y0, zε(ϕ), ϕ0))‖ ≤
M
ε
e−εγt ‖y0 − zε(ϕ)‖ ,
тобто додатна пiвтрєкторiя точки (y0, ϕ0) притягується до додатної пiвтраєкторiї точки
(zε(ϕ), θ(y0, zε(ϕ), ϕ0)). Для того щоб траєкторiя останньої лежала на iнварiантному торi, по-
винна справджуватись умова нерухомої точки
θ(y0, zε(ϕ), ϕ0) = ϕ.
Покажемо, що така нерухома точка на торi Tn iснує. Число ε0 можна вважати настiльки малим,
що ML(ε) < 1 для всiх ε ∈ (0, ε0). А тодi згiдно з твердженням 8 для довiльних ϕ1, ϕ2 ∈ Tn
матимемо
‖θ(y0, zε(ϕ1), ϕ0)− θ(y0, zε(ϕ2), ϕ0)‖ ≤ML(ε) ‖ϕ1 − ϕ2‖ .
Отже, за принципом стиснених вiдображень дiйсно iснує єдина точка ϕ∗ = ϕ∗(y0, ϕ0) ∈ Tn
така, що θ(y0, zε(ϕ∗), ϕ0) = ϕ∗, а це означає, що додатна пiвтраєкторiя точки (y0, ϕ0) притягу-
ється до додатної пiвтраєкторiї точки (zε(ϕ∗), ϕ∗) iнварiантного тора Tε. При цьому
‖ηt(y0, ϕ0)− zε (φt(ϕ∗))‖ ≤ 2e−εγt ‖y0 − zε(ϕ∗)‖ , t ≥ 0. (33)
Зазначимо, що оскiльки ϕ∗ можна знайти методом послiдовних наближень, то ϕ∗(y0, ϕ0) не-
перервно залежить вiд (y0, ϕ0). З (26) при t = 0 випливає, що θ(zε(ϕ0), zε(ϕ0), ϕ0) = ϕ0,
а отже, ϕ∗(zε(ϕ0), ϕ0) = ϕ0. Тому ϕ∗(y0, ϕ0) → ϕ0 при y0 → zε(ϕ0). А тодi водночас
zε(ϕ∗(y0, ϕ0)) → y0. Звiдси з урахуванням (33) випливає, що для будь-якого ∆ > 0 iснує
δ > 0 таке, що додатна пiвтраєкторiя точки з δ-околу тора Tε належить ∆-околу цього тора i
притягується до нього. Це й означає, що Tε — локальний атрактор.
Твердження 9 доведено.
Зауваження 4. У випадку квазiперiодичного потоку на iнварiантному торi оцiнку, аналогiч-
ну до (33), було одержано у [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
914 А. М. САМОЙЛЕНКО, I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА
Твердження 10. Басейн iнварiантного тора Tε мiстить додатно напiвiнварiантну мно-
жину
[
V −10
(
[0,
∣∣ln εk∣∣]) ∩ S%]×Bm
R∗ × Tn.
Доведення. З огляду на твердження 6 та 7 достатньо довести, що Bn+m
σ (y∗)×Tn належить
басейну тора Tε. Нехай (y0, ϕ0) — довiльна точка областi Bn+m
σ (y∗)×Tn. Виберемо скiнченну
послiдовнiсть точок {yi}Ii=1 так, щоб ‖yi−1 − yi‖ < ε i остання точка yI належала ε(1 −
− %(ε))-околу точки y∗(ε). Тодi, послiдовно застосовуючи твердження 8, можемо довести, що
знайдеться ϕI ∈ Tn таке, що додатна пiвтраєкторiя точки (ϕ0, y0) притягується до додатної
пiвтраєкторiї точки (ϕI , yI), яка згiдно з твердженням 9, в свою чергу, притягується до тора Tε.
Отже, (ϕ0, y0) пiд дiєю напiвпотоку системи (22) притягується до тора Tε.
Твердження 10 доведено.
Висновки. У цiй роботi проаналiзовано один iз типiв перехiдних процесiв, який спостерi-
гається у швидко-повiльнiй системi в околi i.м.п.р. i який можна iнтерпретувати як динамiчну
бiфуркацiю багаточастотних коливань. Змiна характеру поведiнки фазових змiнних x(t) — пе-
рехiд вiд затухаючих до багаточастотних коливань, асимптотично близьких до рухiв на iнва-
рiантному торi Tε, — зумовлена повiльною еволюцiєю параметрiв u(t), внаслiдок якої останнi
перемiщуються з зони стiйкостi Ds до зони нестiйкостi Du.
Варто зауважити, що описане вище явище вiдбувається при кожному фiксованому достатньо
малому значеннi параметра ε. З iншого боку, оскiльки при ε → +0 тори Tε стягуються до
початку координат простору R2n×Rm, то в системi має мiсце також i статична м’яка бiфуркацiя
стiйкого iнварiантного тора з положення рiвноваги внаслiдок малого зсуву параметра ε вправо
вiд нуля. На жаль, у вiдомих нам роботах ми не знайшли конкретної iнформацiї про басейн
iнварiантного тора.
Насамкiнець доречно звернути увагу на наявнiсть певного зв’язку отриманих нами ре-
зультатiв з теорiєю бiфуркацiй без параметрiв (див. [29] та наведену там бiблiографiю). У [29]
система (3) вивчалась у випадку, коли i.м.п.р. x = 0 повнiстю складається з положень рiвноваги,
причому спектр оператора f ′x(0, 0, ε) розташовано на уявнiй осi. У цьому випадку перебудо-
ви фазового портрета системи зумовленi рiзними типами гiперболiчностi системи в варiацiях
вiдносно точок i.м.п.р. (0, u) при u 6= 0.
1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колеба-
ний. – Киев: Изд-во АН УССР, 1934. – 81 с.
2. Неймарк Ю. И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров // Докл. АН
СССР. – 1959. – 129, № 4. – С. 736 – 739.
3. Sacker R. A new approach to the perturbation theory of invariant surfaces // Communs Pure and Appl. Math. –
1965. – 18. – P. 717 – 732.
4. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Communs Math. Phys. – 1971. – 20. – P. 167 – 192.
5. Marsden J., McCracken M. Hopf bifurcation and its applications. – New York: Springer-Verlag, 1976. – 408 p.
6. Kuznetsov Yu. A. Elements of applied bifurcation theory. – New York: Springer, 1998. – 591 p.
7. Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential systems // Ann. Math. (2). – 1961. – 73, № 3. – P. 496 – 531.
8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 248 с.
9. Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds and flows // Indiana Univ. Math. – 1971. – 21, № 3. –
P. 193 – 226.
10. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании слабо нелинейных систем //
Укр. мат. журн. – 1976. – 28, № 4. – С. 483 – 500.
11. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1991. – 313 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ У ШВИДКО-ПОВIЛЬНIЙ СИСТЕМI 915
12. Samoilenko A. M. Perturbation theory of smooth invariant tori of dynamical systems // Nonlinear Anal. – 1997. – 30,
№ 5. – P. 3121 – 3133.
13. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань. – Київ: Наук. думка,
2004. – 474 с.
14. Langford W. Periodic and steady mode interactions lead to tori // SIAM J. Appl. Math. – 1979. – 37. – P. 22 – 48.
15. Гаврилов Н. К. О бифуркациях состояния равновесия с двумя парами чисто мнимых корней // Методы качест-
венной теории дифференциальных уравнений. – Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1980. – С. 17 – 30.
16. Бибиков Ю. Н. Бифуркация устойчивого инвариантного тора из состояния равновесия // Мат. заметки. – 1990. –
48, вып. 1. – С. 15 – 19.
17. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1991. –
142 c.
18. Goltser Ya. M. On the bifurcation of invariant tori in the mappings, with a spectrum on a unit circle // Funct. Different.
Equat. – 1998. – 5, № 1 – 2. – P. 121 – 138.
19. Бибиков Ю. Н., Букаты В. Р. Многочастотные колебания сингулярно возмущенных систем // Дифференц.
уравнения. – 2012. – 48 № 1. – С. 21 – 26.
20. Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших
производных // Докл. АН СССР. – 1973. – 209, № 3. – С. 576 – 579.
21. Нейштадт А. И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохожде-
нии пары собственных чисел через мнимую ось // Успехи мат. наук. – 1985. – 40, № 5. – С. 300 – 301.
22. Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях // Дифференц. уравне-
ния. – 1987. – 23, № 12. – С. 2060 – 2067; 1988. – 24, № 2. – С. 226 – 233.
23. Neishtadt A. On stability loss delay for dynamical bifurcations // Discrete Contin. Dynam. Syst., Ser. 2. – 2009. – 2,
№ 4. – P. 897 – 909.
24. Benoı̂t É. (ed.) Dynamic bifurcations // Lect. Notes Math. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1991. – 1493. – 219 p.
25. Butuzov V. F., Nefedov N. N., Schneider K. R. Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities // J.
Math. Sci. – 2004. – 121, № 1. – P. 1973 – 2079.
26. Rachinskii D., Schneider K. Dynamic Hopf bifurcations generated by nonlinear terms // J. Different. Equat. – 2005. –
210, № 1. – P. 65 – 86.
27. Аносова О. Д. Инвариантные многообразия и динамические бифуркации // Успехи мат. наук. – 2005. – 60,
№ 1. – С. 157 – 158.
28. Картье П. Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений и нестандартный анализ
// Успехи мат. наук. – 1984. – 39, № 2. – С. 57 – 76.
29. Liebscher S. Dynamics near manifolds of equilibria of codimension one and bifurcation without parameters // Electron.
J. Different. Equat. – 2001. – 2011, № 63. – P. 1 – 12 (URL: http://ejde.math.txstate.edu).
Одержано 11.12.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
|