Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности
Розглядається задача оптимального керування процесами, що описуються рівнянням теплопровідності і системою звичайних диференціальних рівнянь. Для цієї задачі доведено теорему існування і єдиності розв'язку, встановлено достатні умови диференційовності за Фреше цільового функціоналу та отримано...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165685 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности / Р.А. Теймуров // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 962–972. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165685 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656852020-02-16T01:26:26Z Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности Теймуров, Р.А. Статті Розглядається задача оптимального керування процесами, що описуються рівнянням теплопровідності і системою звичайних диференціальних рівнянь. Для цієї задачі доведено теорему існування і єдиності розв'язку, встановлено достатні умови диференційовності за Фреше цільового функціоналу та отримано вираз для його градієнта. Отримано також необхідну умову оптимальності у вигляді інтегрального принципу максимуму. We study the problem of optimal control over the processes described by the heat equation and a system of ordinary differential equations. For the problem of optimal control, we prove the existence and uniqueness of solutions, establish sufficient conditions for the Fréchet differentiability of the purpose functional, deduce the expression for its gradient, and obtain necessary conditions of optimality in the form of an integral maximum principle. 2015 Article Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности / Р.А. Теймуров // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 962–972. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165685 517.977 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Теймуров, Р.А. Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности Український математичний журнал |
| description |
Розглядається задача оптимального керування процесами, що описуються рівнянням теплопровідності і системою звичайних диференціальних рівнянь. Для цієї задачі доведено теорему існування і єдиності розв'язку, встановлено достатні умови диференційовності за Фреше цільового функціоналу та отримано вираз для його градієнта. Отримано також необхідну умову оптимальності у вигляді інтегрального принципу максимуму. |
| format |
Article |
| author |
Теймуров, Р.А. |
| author_facet |
Теймуров, Р.А. |
| author_sort |
Теймуров, Р.А. |
| title |
Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности |
| title_short |
Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности |
| title_full |
Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности |
| title_fullStr |
Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности |
| title_full_unstemmed |
Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности |
| title_sort |
оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165685 |
| citation_txt |
Оптимальное управление подвижными источниками для уравнения теплопроводности / Р.А. Теймуров // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 962–972. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT tejmurovra optimalʹnoeupravleniepodvižnymiistočnikamidlâuravneniâteploprovodnosti |
| first_indexed |
2025-07-14T19:31:41Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:31:41Z |
| _version_ |
1837651986588106752 |
| fulltext |
© Р. А. ТЕЙМУРОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 962
УДК 517.977
Р. А. Теймуров (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ*
We consider the problem of optimal control over the processes described by the heat equation and the system of ordinary
differential equations. For the problem of optimal control, we prove the existence and uniqueness of solutions, establish
sufficient conditions for the Fréchet differentiability of the purpose functional, deduce the expression for its gradient, and
obtain necessary condition of optimality in the form of an integral maximum principle.
Розглядається задача оптимального керування процесами, що описуються рівнянням теплопровідності і системою
звичайних диференціальних рівнянь. Для цієї задачі доведено теорему існування і єдиності розвʼязку, встановлено
достатні умови диференційовності за Фреше цільового функціоналу та отримано вираз для його градієнта.
Отримано також необхідну умову оптимальності у вигляді інтегрального принципу максимуму.
1. Введение. Практическими примерами подвижных источников являются электронный, ла-
зерный и ионный лучи, электрическая дуга, индукционный ток, возбуждаемый движущимся
индуктором. Такие источники используются во многих процессах, таких как процессы плавки
и рафинирования металла в металлургии; процессы термообработки, сварки и микрообработ-
ки в машиностроении и приборостроении; процессы изготовления полупроводниковых и ре-
зисторных элементов в микроэлектронике и др.
Одной из основных особенностей систем оптимального управления подвижными источни-
ками является их нелинейность относительно управления, определяющего закон движения ис-
точника. Это особенно наглядно видно, если сформулировать задачу управления в терминах
проблемы моментов. Проблема моментов становится нелинейной. Таким образом, метод мо-
ментов, который широко используется для отыскания оптимальных управлений в линейных
системах с распределенными и сосредоточенными параметрами, становится непригодным для
систем с управлением подвижными источниками.
В [1, 2] приведены многочисленные примеры систем с подвижными источниками различ-
ной природы и выявлены основные особенности таких систем, которые делают невозможным
их исследование известными, уже разработанными методами, например, такими, как метод
моментов. В [3, 5 – 9] рассмотрены задачи оптимального управления точечными источниками
для параболического уравнения при условии, что управлением является только интенсивность
неподвижных источников. В [4] исследованы вопросы управляемости линейных систем с
обобщенным воздействием. В [10, 11] рассмотрен вариационный метод для решения задачи
оптимального управления подвижными источниками для систем, описываемых только уравне-
нием теплопроводности.
Кроме того, в указанных работах рассмотрены только системы с распределенными пара-
метрами. В то же время при построении математических моделей многих динамических си-
стем приходится учитывать вспомогательные элементы, без которых невозможно управление
рассматриваемым процессом. Эти элементы обычно имеют сосредоточенные параметры. По-
ведение таких систем описывается совокупностью дифференциальных уравнений в обыкно-
венных и частных производных при начальных и граничных условиях.
* Выполнена при финансовой поддержке гранта Фонда науки Государственной нефтяной компании Азербайджан-
ской Республики (SOCAR) за 2014 г.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ … 963
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
В настоящей работе рассматривается вариационный метод для решения задачи оптималь-
ного управления подвижными источниками, заданной уравнением теплопроводности и сис-
темой обыкновенных дифференциальных уравнений (при начальных и граничных условиях).
Для этой задачи доказана теорема существования и единственности решения, установлены до-
статочные условия дифференцируемости по Фреше целевого функционала и получено выра-
жение для его градиента. Также получено необходимое условие оптимальности в виде инте-
грального принципа максимума.
2. Постановка задачи. Обозначим Ωt = (0, l) × (0, t), Ω = ΩT , где l > 0 , T > 0 —
некоторые числа. Пусть управляемый процесс описывается в области Ω следующей началь-
но-краевой задачей:
ut = a2uxx + pi (t)δ(x − si (t))
i=1
n
∑ , (x, t) ∈Ω, (1)
ux x=0 = 0 , ux x=l = 0, 0 < t ≤ T , (2)
u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ l , (3)
где δ(⋅) — функция Дирака, a > 0 — заданное число.
Предполагается, что выполняется следующее условие:
А) начальная функция φ(x) ∈L2(0, l), вектор-функция p(t) ∈L2(0, T ; Rn ) имеет вид
p(t) = (p1(t), p2(t),… , pn (t)), вектор-функция s(t) ∈C([0, T ], Rn ) является решением задачи
Коши [12, с. 91, 92]
!s = f (s, q(t), t), 0 < t ≤ T , s(0) = s0 , (4)
где s0 ∈[0, l] — заданное число; вектор-функция q(t) ∈L2(0, T ; Rm ) является непрерывно
дифференцируемой и таковой, что выполняется ограничение на положение подвижного воз-
действия: 0 ≤ s(t) ≤ l; вектор-функция f (s, q(t), t) считается известной и при каждом s
принадлежит пространству L2(0, T ; Rn ).
Пара функций ϑ = (p(t), q(t)) называется управлением. Для краткости обозначим через
H = L2(0, T ; Rn ) × L2(0, T ; Rm ) гильбертово пространство пар ϑ = (p(t), q(t)) со скалярным
произведением
ϑ1, ϑ2
H
= [(p1(t), p2(t)) + (q1(t), q2(t))]dt
0
T
∫
и нормой ϑ H = ϑ, ϑ H = p L2
2 + q L2
2 , где ϑk = (pk , qk ) , k = 1, 2 .
В дальнейшем, чтобы подчеркнуть зависимость решений задач (1) – (3) и (4) от управления,
иногда используются обозначения u(x, t, ϑ) и s(t, q).
Введем множество допустимых управлений
V = ϑ = (p, q) ∈H : 0 ≤ pi ≤ Ai , q j ≤ Bj , i = 1, n, j = 1, m{ }, (5)
где Ai > 0, i = 1, n, Bj > 0, j = 1, m, — заданные числа.
964 Р. А. ТЕЙМУРОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Рассмотрим следующую задачу: найти такое допустимое управление ϑ = (p(t), q(t)) ∈V и
соответствующее ему решение (u(x, t), s(t)) задачи (1) – (4), чтобы функционал
J(ϑ) = [u(x, t) − u0(x, t)]2 dx dt
0
T
∫
0
l
∫ +
+
α1 [pi (t) − !pi (t)]2 dt
0
T
∫
i=1
n
∑ +
α2 [q j (t) − !q j (t)]2 dt
0
T
∫
j=1
m
∑ , (6)
где u0(x, t) ∈L2(Ω); ω = ( !p(t), !q(t)) ∈H , !p(t) ∈ L2(0, T ; Rn ), !q(t) ∈L2(0, T ; R
m ) — заданные
вектор-функции; α1, α2 ≥ 0, α1 + α2 > 0, — заданные параметры, принимал наименьшее воз-
можное значение.
В дальнейшем используются функциональные пространства W2
1,0 (Ω), W2
1,1(Ω), V2
1,0 (Ω),
определения которых имеются, например, в [13].
3. Существование и единственность решения.
Определение 1. Под решением задачи (1) – (4) при заданном управлении ϑ = (p(t),
q(t)) ∈V понимается пара функций (u, s) = (u(x, t, ϑ), s(t, q)), где функция u ∈V21,0 (Ω) удо-
влетворяет интегральному тождеству
[−uηt + a2uxηx ]dx dt =
0
T
∫
0
l
∫ φ(x)η(x, 0)dx + pi (t)η(si (t), t)dt
0
T
∫
i=1
n
∑
0
l
∫ (7)
для всех η = η(x, t) ∈W2
1,1(Ω), η(x, T ) = 0 , а функция s ∈C([0, T ], Rn ) — интегральному
уравнению
s(t) = f
0
t
∫ (s, q(τ), τ)dτ + s0, 0 ≤ t ≤ T . (8)
Отметим, что существование единственного обобщенного решения из V21,0 (Ω) при фик-
сированном управлении ϑ ∈V краевой задачи (1) – (4) следует из результатов работы [14,
с. 265 – 270]. Далее везде будем использовать этот факт.
Поскольку целью настоящей работы является исследование задачи оптимального управле-
ния (1) – (6), в дальнейшем предполагается, что решение задачи (1) – (4) существует и един-
ственно. Как следствие получаем, что при выполнении условия А задача (1) – (6) имеет хотя
бы одно решение. Заметим, что задача (1) – (6) в случае α j = 0, j = 1, 2, некорректна в клас-
сическом смысле [15].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. При выполнении условия А существует плотное подмножество K про-
странства H такое, что для любого ω ∈K при αi > 0, i = 1, 2, задача оптимального
управления (1) – (6) имеет единственное решение.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ … 965
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Доказательство. Докажем непрерывность функционала
J0(ϑ) = u(x, t) − u0(x, t) L2 (Ω)
2 .
Пусть δϑ = (δp, δq) ∈V — приращение управления на элементе ϑ ∈V , удовлетворяющее
условию ϑ + δϑ ∈V . Обозначим
δu ≡ δu(x, t) = u(x, t; ϑ + δϑ) − u(x, t; ϑ),
δsi ≡ δsi (t) = si (t; q + δq) − si (t; q).
Из (1) – (4) следует, что функция δu является обобщенным решением краевой задачи
δut = a2δuxx + [(pi + δpi )δ(x − (si + δsi )) − piδ(x − si )]
i=1
n
∑ , (x, t) ∈Ω, (9)
δux x=0 = δux x=l = 0, t ∈[0, T ], (10)
δu t=0 = 0, x ∈[0, l], (11)
а функции δsi, i = 1, n, — решения задач Коши
!δsi (t) = δfi (s, q, t), δsi (0) = 0, i = 1, n, (12)
где δfi (s, q, t) = fi (s + δs, q + δq, t) − fi (s, q, t).
Докажем, что для функции δu = δu(x, t) имеет место оценка
δu V2
1,0 (Ω) ≤ c1 δϑ H , (13)
где c1 > 0 — некоторая постоянная.
Умножая обе части уравнения (9) на η = η(x, t) и интегрируя по области Ω по частям,
получаем соотношение
δutη+ a2δuxηx( )
0
T
∫ dx dt = (pi + δpi )η(si + δsi , t) − piη(si , t)[ ]
0
T
∫
i=1
n
∑
0
l
∫ dt. (14)
Пусть t1, t2 ∈[0, T ] такие, что t1 ≤ t2. В тождестве (14) положим
η(x, t) =
δu(x, t), t ∈(t1, t2 ],
0, t ∈[0, t1]∪ (t2, T ].
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Используя формулы конечных приращений для функции δu(si + δsi , t), i = 1, n, в виде
δu(si + δsi , t) = δu(si , t) + δux (si , t)δsi, где si = si + θδsi, θ ∈[0, 1],
966 Р. А. ТЕЙМУРОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
получаем уравнение энергетического баланса для задачи (9) – (12):
1
2
δu(x, t) L2 (0, l )
2
t=t1
t=t2 + a2 δux (x, t) L2 (Ωt )
2
t=t1
t=t2 =
= [(pi + δpi )δsi δux (si , t) + δpi δu(si , t)]dt
t1
t2
∫
i=1
n
∑ . (15)
Применение неравенства Коши –Буняковского к правой части этого уравнения приводит к
неравенству
1
2
δu(x, t) L2 (0, l )
2
t=t1
t=t2 + a2 δux (x, t) L2 (Ωt )
2
t=t1
t=t2 ≤
≤ pi L2 (t1,t2 )
+ δpi L2 (t1,t2 )( )⎡
⎣
i=1
n
∑ max
t1≤t≤t2
δsi (t) δux (si , t) L2 (t1, t2 )
+
+ δpi L2 (t1,t2 )
δu(si , t) L2 (t1,t2 )
⎤⎦ . (16)
Функции δsi (t), i = 1, n, как решения задач Коши (12), при достаточно малом значении вели-
чины ε = t2 − t1 удовлетворяют неравенству [12, с. 94]
δsi (t) C[t1,t2 ]
≤ c2 δq(t) L2 (t1,t2 )
, i = 1, n.
Несложно показать, что для функции u(x, t) выполняются неравенства
δu(si , t) L2 (t1, t2 )
≤ c3 δu V2
1,0 (Ω), δux (si , t) L2 (t1, t2 )
≤ c4 δu V2
1,0 (Ω),
где c2 > 0, c3 > 0, c4 > 0 — некоторые постоянные.
Тогда при δϑ L2 (t1,t2 )
→ 0 из (16) получаем неравенство
1
2
δu(x, t) L2 (0, l )
2
t=t1
t=t2 + a2 δux (x, t) L2 (Ωt )
2
t=t1
t=t2 ≤ c5 δϑ L2 (t1, t2 )
δu V2
1,0 (Ω) , (17)
где c5 > 0 — некоторая постоянная.
Аналогично [16, с. 166 – 168], при произвольном t ∈[0, T ] разобьем [0, t] на конечное
число таких интервалов достаточно малой длины, что на каждом из них выполняется неравен-
ство вида (17). Тогда, сложив такие неравенства (для каждого из интервалов), будем иметь
1
2
δu(x, t) L2 (0, l )
2 + a2 δux (x, t) L2 (Ω)
2 ≤ c5 δϑ H δu V2
1,0 (Ω) ,
откуда, очевидно, получаем неравенство (13).
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ … 967
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Таким образом, имеем δu V2
1,0 (Ω) → 0 при δϑ H → 0 . Отсюда и из теоремы о следах
[17] следует, что δu(x, t) L2 (Ω)
→ 0 при δϑ H → 0 . Тогда, поскольку приращение функ-
ционала J0(ϑ) представимо в виде
δJ0(ϑ) = J0(ϑ + δϑ) − J0(ϑ) =
= 2 [u(x, t) − u0(x, t)]δu(x, t)dx dt + δu(x, t) L2 (Ω)
2
0
T
∫
0
l
∫ ,
отсюда следует непрерывность функционала J0(ϑ).
Далее, поскольку функционал J0(ϑ) ограничен снизу и является непрерывным в V ,
H — равномерно выпуклое и рефлексивное банахово пространство [18], из теоремы Бидо [19]
следует существование плотного подмножества K пространства H такого, что для любого
ω = ( !p(t), !q(t)) ∈H при αi > 0, i = 1, 2 , задача оптимального управления (1) – (6) имеет
единственное решение.
Теорема 1 доказана.
4. Необходимое условие оптимальности. Для задачи оптимального управления (1) – (6)
введем сопряженное состояние ψ = ψ(x, t) как решение задачи
ψ t + a2ψ xx = − 2[u(x, t) − !u(x, t)], (x, t) ∈Ω, (18)
ψ x x=0 = ψ x x=l = 0 , 0 ≤ t < T , (19)
ψ(x, T ) = 0 , 0 ≤ x ≤ l , (20)
и функции ξi (t), i = 1, n , как решения сопряженной системы уравнений
!ξi (t) = − ∂ fk
∂si
ξk (t)
k=1
n
∑ + pi (t)ψ x (si (t), t) , 0 ≤ t < T , ξi (T ) = 0 , i = 1, n . (21)
Сопряженные задачи (18) – (20) и (21) получены по обычной схеме [12, с. 91 – 93, 128, 129].
Определение 2. Под обобщенным решением задачи (18) – (21), соответствующей управ-
лению ϑ = (p(t), q(t)) ∈H , понимается пара функций (ψ, ξ) = (ψ(x, t), ξ(t)) , где функция
ψ ∈W2
1,1(Ω) удовлетворяет интегральному тождеству
ψη1t + a2ψ xη1x( )dx dt
0
T
∫ =
0
l
∫ 2 u(x, t) − u0(x, t)[ ] η1(x, t)dx dt
0
T
∫
0
l
∫ (22)
при всех η1 = η1(x, t) ∈W2
1,1(Ω) , η1(x, 0) = 0, а функции ξi ∈C([0, T ], Rn ), i = 1, n , удов-
летворяют интегральному уравнению
968 Р. А. ТЕЙМУРОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
ξi (t) = ∂ fk
∂sik=1
n
∑ ξk (τ) − pi (τ)ψ x (si (τ), τ)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
t
T
∫ dτ , 0 ≤ t ≤ T , i = 1, n . (23)
Функцию
H (t, s, ψ, q, ϑ) = − − fi (s(t), q(t), t)ξi (t) + ψ(si (t), t)pi (t)⎡⎣
i=1
n
∑
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
+
+
α1 pi (t) − !pi (t)( )2 ⎤⎦ + α2 q j (t) − !q j (t)( )2
j=1
m
∑
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
(24)
назовем функцией Гамильтона –Понтрягина задачи (1) – (6).
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
1) функция f (s, q, t) определена и непрерывна по совокупности своих аргументов и име-
ет непрерывные ограниченные частные производные по переменным s и q при (s, q, t) ∈
∈ Rn × Rm × [0, T ];
2) функции f (s, q, t), fs =
∂ f (s, q, t)
∂s
, fq = ∂ f (s, q, t)
∂q
удовлетворяют условию Липшица
по переменным s , q , т. е.
f (s + δss , q + δq, t) − f (s, q, t) ≤ L δs + δq( ) ,
fs (s + δs, q + δq, t) − fs (s, q, t) ≤ L δs + δq( ) ,
fq (s + δs, q + δq, t) − fq (s, q, t) ≤ L δs + δq( )
при всех (s + δs, q + δq, t) , (s, q, t) ∈Rn × Rm × [0, T ], где L = const ≥ 0 , δs , δq — прираще-
ние соответственно по переменным s и q .
Тогда если (ψ(x, t), ξ(t)) — решение сопряженной задачи (18) – (21), то функционал (6)
дифференцируем по Фреше на множестве V и для его градиента справедливо соотношение
′J (ϑ) = ∂J(ϑ)
∂p
, ∂J(ϑ)
∂q
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − ∂H
∂p
, − ∂H
∂q
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. (25)
Доказательство. Рассмотрим приращение функционала (6). Имеем
δJ ≡ J(ϑ + δϑ) − J(ϑ) = 2 [u(x, t) − u0(x, t)]δu(x, t)dx dt + δu(x, t) 2 dx dt
0
T
∫
0
l
∫
0
T
∫
0
l
∫ +
+
2α1 pi (t) − !pi (t)[ ]δpi (t)dt + α1 δpi (t)
2 dt
0
T
∫
0
T
∫
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪i=1
n
∑ +
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ … 969
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
+
2α2 q j (t) − !q j (t)⎡⎣ ⎤⎦δq j (t)dt + α2 δq j (t)
2 dt
0
T
∫
0
T
∫
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪j=1
m
∑ , (26)
где ϑ = (p, q) ∈V , ϑ + δϑ ∈V , δpi , δq j — приращение по переменным pi и q j соответ-
ственно.
Если положить в (22) η1 = δu(x, t) , а в (14) соответственно η = ψ(x, t) и вычесть полу-
ченные соотношения, то получим
2 u(x, t) − u0(x, t)[ ]δu(x, t)dx dt
0
T
∫
0
l
∫ = (pi + δpi )ψ(si + δsi , t) − piψ(si , t)[ ]dt
0
T
∫
i=1
n
∑ . (27)
Задачи (12), (21), соответственно, можно записать в виде эквивалентных интегральных со-
отношений следующим образом:
δsi (t)!θi (t) + δfi (s(t), q(t), t)θi (t)⎡⎣ ⎤⎦dt = 0
0
T
∫ (28)
для всех θi (t) ∈L2(0, T ) , θi (T ) = 0 , i = 1, n ,
ξi (t)!θ1i (t) −
∂ fk
∂si
ξk (t)
k=1
n
∑ − pi (t)ψ x (si (t), t)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
θ1i (t)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
dt
0
T
∫ = 0 (29)
для всех θ1i (t) ∈L2(0, T ) , θ1i (0) = 0, i = 1, n .
Eсли в этих соотношениях положить θ1i (t) = δsi (t), θi (t) = ξi (t) и сложить полученные
соотношения, то получим
δsi (t)ξi (t)[ ] t=0
t=T = ∂ fk
∂si
ξk (t)
k=1
n
∑ − pi (t)ψ x (si (t), t)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
δsi (t) − δfiξi (t)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
dt
0
T
∫ .
Поскольку согласно условиям теоремы 2 приращение δfi = δfi (s, q, t) можно представить
в виде
δfi = ∂ fi
∂sk
δsk
k=1
n
∑ + ∂ fi
∂qrr=1
m
∑ δqr + R1, где R1 = o δs C[0, T ]
2 + δq L2 (0, T )
2( ),
из последнего равенства следует
δsi (t)ξi (t)[ ] t=0
t=T = ∂ fk
∂si
ξk (t)
k=1
n
∑ − pi (t)ψ x (si (t), t))
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
δsi (t)
⎡
⎣
⎢
⎢0
T
∫ –
970 Р. А. ТЕЙМУРОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
– ∂ fi
∂qr
δqr (t)ξi (t)
r=1
m
∑ − ∂ fi
∂sk
δsk (t)ξi (t)
k=1
n
∑
⎤
⎦
⎥ dt + R1,
что с учетом (12) и (21) равносильно равенству
pi (t)ψ x (si (t), t)δsi (t)dt
0
T
∫ = − ∂ fi
∂qr
δqr (t)ξi (t)dt
0
T
∫
r=1
m
∑ –
– ∂ fi
∂sk
ξi (t)δsk (t) −
∂ fk
∂si
ξk (t)δsi (t)
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
t
∫
k=1
n
∑ dt + R1. (30)
Согласно формуле Тейлора справедливо представление
ψ(si + δsi , t) = ψ(si , t) + ψ x (si , t)δsi + o δsi( ),
с учетом которого из (27) получаем
2 [u(x, t) − u0(x, t)]δu(x, t)dx dt
0
T
∫
0
l
∫ = (pi (t)ψ x (si (t), t)δsi (t)[
0
T
∫
i=1
n
∑ +
+ ψ(si (t), t)δpi (t) + ψ x (si (t), t)δpi (t)δsi (t) + o δsi( ) ] dt .
Поскольку
∂ fi
∂sk
ξi (t)δsk (t) −
∂ fk
∂si
ξk (t)δsi (t)
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥k=1
n
∑
i=1
n
∑ = 0,
из последнего равенства и соотношения (30) находим
2 [u(x, t) − u0(x, t)]δu(x, t)dx dt
0
T
∫
0
l
∫ =
0
T
∫
i=1
n
∑ − ∂ fi
∂qrr=1
m
∑ ξi (t)δqr (t) + ψ(si , t)δpi
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ dt + R2,
(31)
где
R2 = ψ x (si (t), t)δpi (t)δsi (t) + o δsi( )[ ]dt
0
T
∫ + R1
i=1
n
∑ .
По обычной схеме [12, с. 94] можно доказать оценку
δs C[0, T ] ≤ c6 δq L2 (0, T )
, (32)
где c6 > 0 — некоторая постоянная.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ … 971
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
Отсюда следует соотношение R2 = o δϑ H( ).
С другой стороны, из (13) следует равенство δu(x, t) L2 (Ω)
= O δϑ H( ) .
Подставляя полученные соотношения в (26), находим
δJ(ϑ) = J1(i) + J2(i, j)
j=1
m
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i=1
n
∑ + o δϑ H( ) при δϑ H → 0 ,
где
J1(i) = ψ(si (t), t) + 2α1 pi (t) − !pi (t)( )[ ]δpi (t)dt
0
T
∫ ,
J2(i, j) = − ∂ fi (s(t), q(t), t)
∂q j
ξi (t) + 2α2 q j (t) − !q j (t)( )⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
T
∫ δq j (t)dt , i = 1, n , j = 1, m .
Отсюда с учетом (24) имеем
δJ(ϑ) = − ∂H
∂ϑ
, δϑ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ H
+ o δϑ H( ) при δϑ H → 0 ,
что доказывает дифференцируемость по Фреше функционала (6) и справедливость форму-
лы (25).
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть выполняются все условия теоремы 2. Тогда для оптимальности
управления ϑ* = (p*(t), q*(t)) ∈V необходимо выполнение условия
〈 ′J (ϑ*), ϑ − ϑ*〉H = ψ*(si*(t), t) + 2α1(pi*(t) − !pi (t)), pi (t) − pi*(t)( )⎡
⎣
⎢
⎢i=1
n
∑
0
T
∫ +
+
− ∂ fi (s*(t), ϑ*(t), t)
∂q j
ξi*(t) + 2α2(q j*(t) − !q j (t)), q j (t) − q j*(t)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟j=1
m
∑
⎤
⎦
⎥
⎥
dt ≥ 0 (33)
для всех ϑ = (p(t), q(t)) ∈V , где ψ*(si*(t), t), ξi*(t) — решения задач (18) – (20) и (21) при
ϑ = ϑ* .
Доказательство теоремы несложно и проводится следующим образом: для оптимально-
сти управления ϑ* = (p*(t), q*(t)) ∈V необходимо [12, с. 28] выполнение неравенства
〈 ′J (ϑ*), ϑ − ϑ*〉H ≥ 0 ∀ϑ ∈V . (34)
Вычислим выражение для градиента функционала (6) и затем расмотрим неравенство (34),
которое с учетом соотношения (25) и явного вида функции Гамильтона –Понтрягина приводит
к неравенству (33).
Теорема 3 доказана.
972 Р. А. ТЕЙМУРОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
5. Заключение. Для задачи оптимального управления, описываемой уравнением тепло-
проводности и системой обыкновенных дифференциальных уравнений, доказана теорема су-
ществования и единственности решения, установлены достаточные условия дифференцируе-
мости по Фреше целевого функционала и получено явное выражение для его градиента. По-
лучено также необходимое условие оптимальности в виде интегрального принципа максимума.
1. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1975. – 568 c.
2. Бутковский А. Г., Пустыльников Л. М. Теория подвижного управления системами с распределенными пара-
метрами. – М.: Наука, 1980. – 384 c.
3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. –
М.: Мир, 1972. – 416 c.
4. Ляшко С. И. Обобщенное управление линейными системами. – Киев: Наук. думка, 1998. – 472 с.
5. Droniou J., Raymond J. -P. Optimal pointwise control of semilinear parabolic equations // Nonlinear Anal. – 2000. –
39. – P. 135 – 156.
6. Leykekhman D., Vexler B. Optimal a priori error estimates of parabolic optimal control problems with pointwise
control // SIAM J. Numer. Anal. – 2013. – 51. – P. 2797 – 2821.
7. Meidner D., Rannacher R., Vexler B. A priori error estimates for finite element discretizations of parabolic
optimization problems with poinwise state constants in time // SIAM J. Control Optim. – 2011. – 49. – P. 1961 –
1997.
8. Gong W., Hinze M., Zhou Z. A priori error estimates for finite element approximation of parabolic optimal control
problems with poinwise control // SIAM J. Control Optim. – 2014. – 52. – P. 97 – 119.
9. Kunisch K., Pieper K., Vexler B. Measure valued directional sparsity for parabolic optimal control problems // SIAM
J. Control Optim. – 2014. – 52. – P. 3078 – 3108.
10. Теймуров Р. А. Задача оптимального управления подвижными источниками для уравнений теплопроводно-
сти // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. – 2012. – № 4. – С. 17 – 20.
11. Теймуров Р. А. О задаче управления подвижными источниками для систем с распределенными параметрами //
Вестн. Том. гос. ун-та. Математика и механика. – 2013. – №1(21). – C. 24 – 33.
12. Васильев Ф. П. Mетоды решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1981. – 400 c.
13. Ладыженская О. А., Солoнников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболиче-
ского типа. – М.: Наука, 1976. – 736 c.
14. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 c.
15. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Mетоды решения некорректных задач. – М.: Наука, 1974. – 286 c.
16. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 408 с.
17. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983. – 392 c.
18. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 406 c.
19. Goebel M. On existence of optimal control // Math. Nachr. – 1979. – 93. – S. 67 – 73.
Получено 28.11.13,
после доработки — 10.03.15
|