О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165698 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки / А.А. Мохонько // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 505–513. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165698 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1656982020-02-16T01:26:46Z О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки Мохонько, А.А. Статті 2005 Article О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки / А.А. Мохонько // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 505–513. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165698 517.923 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мохонько, А.А. О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Мохонько, А.А. |
| author_facet |
Мохонько, А.А. |
| author_sort |
Мохонько, А.А. |
| title |
О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки |
| title_short |
О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки |
| title_full |
О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки |
| title_fullStr |
О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки |
| title_full_unstemmed |
О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки |
| title_sort |
о теореме мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165698 |
| citation_txt |
О теореме Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки / А.А. Мохонько // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 505–513. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mohonʹkoaa oteorememalʹmkvistadlârešenijdifferencialʹnyhuravnenijvokrestnostiizolirovannojosobojtočki |
| first_indexed |
2025-07-14T19:34:35Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:34:35Z |
| _version_ |
1837652172348588032 |
| fulltext |
UDK 517.923
A. A. Moxon\ko (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
O TEOREME MAL|MKVYSTA
DLQ REÍENYJ DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ
V�OKRESTNOSTY YZOLYROVANNOJ OSOBOJ TOÇKY
The statement of Malmquist’s theorem (1913) about the growth of meromorphic solutions of the
differential equation f ′ =
P z f
Q z f
( , )
( , )
, where P z f( , ) , Q z f( , ) are polynomials in all variables, is proved
for the case of solutions with isolated singularity at infinity.
TverdΩennq teoremy Mal\mkvista (1913) pro rist meromorfnyx rozv’qzkiv dyferencial\noho
rivnqnnq f ′ =
P z f
Q z f
( , )
( , )
, de P z f( , ) , Q z f( , ) — polinomy po vsix zminnyx, dovodyt\sq dlq vypadku
rozv’qzkiv z izol\ovanog osoblyvog toçkog v neskinçennosti.
Yspol\zuem oboznaçenyq teoryy meromorfn¥x funkcyj [1]. Symvol¥ Landau
o( )… , O( )… rassmatryvagtsq pry r → ∞ . Pust\ dano dyfferencyal\noe
uravnenye
f ′ =
P z f
Q z f
( , )
( , )
= j
t
j
j
j
s
j
j
p z f
p z f
=
=
∑
∑
0 1
0 2
( )
( )
, (1)
hde p zjq( ) — mnohoçlen¥. Esly v (1) deg f P ≤ 2, deg f Q = 0, to poluçaem
uravnenye Rykkaty f ′ = a z f2
2( ) + a z f1( ) + a z0( ), hde a zi( ) — racyonal\n¥e
funkcyy.
Yzvestna sledugwaq teorema Mal\mkvysta [2; 3, s. 67, 68]: esly uravnenye
(1) ne est\ uravnenye Rykkaty, to lgboe eho meromorfnoe reßenye qvlqetsq
racyonal\noj funkcyej. UtverΩdenye, πkvyvalentnoe teoreme Mal\mkvysta,
moΩno sformulyrovat\ v termynax nevanlynnovskyx xarakterystyk [4] (ysto-
ryg voprosa y byblyohrafyg sm. v [5, 6]): pust\ odnoznaçnaq meromorfnaq
funkcyq f z( ), z G∈ = { z : r0 ≤ z < + ∞ }, — reßenye dyfferencyal\noho
uravnenyq (1); esly (1) ne est\ uravnenye Rykkaty, to rost reßenyq ne prev¥-
ßaet rosta koπffycyentov:
T r f O T r p O r
j q
jq( , ) ( , ) (ln )
,
=
+∑ .
V nastoqwej stat\e πta teorema rasprostranqetsq na reßenyq s loharyfmy-
çeskoj osoboj toçkoj v ∞, a zatem na reßenyq s yzolyrovannoj osoboj toçkoj.
Uravnenyq pervoho porqdka, alhebrayçeskye otnosytel\no neyzvestnoj
funkcyy y ee proyzvodnoj, ne mohut ymet\ v yntehralax podvyΩn¥x trans-
cendentn¥x y suwestvenno osob¥x toçek [3, s.A54], odnako mohut ymet\ ne-
podvyΩn¥e transcendentn¥e y suwestvenno osob¥e toçky. Naprymer, yntehral
uravnenyq 2z f f ′ = 1 ymeet vyd f z( ) = ln( / )z C , C = const; funkcyq f z( ) =
= exp ln2 z( ) — reßenye uravnenyq z f ′ = 2 f zln .
Rassmotrym dyfferencyal\noe uravnenye (1), hde
p z h z z zjq jq
a bjq jq( ) ( ) (ln )= , h z c ojq jq( ) ( )= + 1 , cjq ∈C , ct1, cs2 0≠ , (2)
ajq , bjq ∈R , p zjq( ) , z G∈ = { z : r0 ≤ z < + ∞ }, — analytyçeskye funkcyy.
Budem predpolahat\, çto asymptotyçeskye sootnoßenyq (2) v¥polnqgtsq rav-
© A. A. MOXON|KO, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 505
506 A. A. MOXON|KO
nomerno po θ v lgboj uhlovoj oblasty, a ymenno: ( ∀ α, β : – ∞ < α < β < + ∞ )
(∀ ε > 0 ) ( ∃ d = d ( α, β, ε ) > 0 ) : h zjq( ) = cjq + vjq z( ), vjq z( ) < ε, z ∈ { z = r eiθ
:
d ≤ r < + ∞, α ≤ θ ≤ β }, vjq z( ) — nekotoraq analytyçeskaq funkcyq.
Çerez Al oboznaçym mnoΩestvo analytyçeskyx v G = { z : r0 ≤ z < ∞ }
funkcyj, dlq kotor¥x ∞ qvlqetsq edynstvennoj osoboj toçkoj — loharyf-
myçeskoj osoboj toçkoj. MnoΩestvo Al qvlqetsq kommutatyvn¥m kol\com
bez delytelej nulq (celostn¥m kol\com). Çerez Ml oboznaçym pole çastn¥x
kol\ca Al (kaΩdoe celostnoe kol\co moΩno pohruzyt\ v nekotoroe pole [7
s.A52, 58]): Al ⊂ Ml . Esly f Al∈ , to budem hovoryt\, çto f z( ), z G∈ , —
funkcyq s yzolyrovannoj loharyfmyçeskoj osoboj toçkoj v ∞. Esly f Ml∈ ,
to funkcyq f z( ), z G∈ , naz¥vaetsq meromorfnoj funkcyej s loharyfmyçes-
koj osoboj toçkoj (nyΩe dano πkvyvalentnoe opredelenye meromorfnoj funk-
cyy s loharyfmyçeskoj osoboj toçkoj, osnovannoe na ponqtyy analytyçeskoho
prodolΩenyq).
Pust\ f z( ), z G∈ , — meromorfnaq funkcyq s loharyfmyçeskoj osoboj
toçkoj v ∞. V¥berem proyzvol\n¥e α, β; – ∞ < α < β < + ∞. PoloΩym k =
= π
β α−
. Rassmotrym uhlovug oblast\ gαβ = { z = r eiθ
: α ≤ θ ≤ β, 0 < r0 ≤ r <
< + ∞ } y sootvetstvugwug odnoznaçnug vetv\ f z( ), z g∈ αβ, funkcyy f z( ),
z G∈ . Nevanlynnovskye xarakterystyky vetvy f z( ), z g∈ αβ, opredelqgtsq
sledugwym obrazom [1, s.A40]:
A r f k
t
t
r
f t e f t e dt
r
r
k
k
k
i i
αβ
α β
π
( , ) ln ( ) ln ( )= −
+[ ]∫ +
−
+ +
0
1
1
1
2 ,
B r f k
r
f r e k dk
i
αβ
α
β
θ
π
θ α θ( , ) ln ( ) sin ( )= −( )∫ +2
, (3)
C r f k c t f
t
t
r
dt
r
r
k
k
kαβ αβ( , ) ( , )= +
∫ +
−
2 1
0
1
1
2 ,
hde
c t f c t k
r t
n
n n
αβ αβ
ρ α ψ β
ψ α( , ) ( , ) sin ( )
,
= ∞ = −( )
< ≤ ≤ ≤
∑
0
,
a ρ ψ
n
ie n
— polgs¥ funkcyy f z( ), z g∈ αβ, rassmatryvaem¥e s uçetom krat-
nosty,
S r f A r f B r f C r fαβ αβ αβ αβ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + + . (4)
V stat\e [8] dokazana sledugwaq teorema.
Teorema A. Pust\ meromorfnaq funkcyq f z( ), z G∈ , s loharyfmyçeskoj
osoboj toçkoj v ∞ f Ml∈( ) qvlqetsq reßenyem uravnenyq (1), koπffycyen-
t¥ pjq kotoroho opredelen¥ v (2). Esly (1) ne qvlqetsq uravnenyem Rykka-
ty f ′ = p z f21
2( ) + p z f11( ) + p z01( ) , to rost reßenyq ne prev¥ßaet rosta
koπffycyentov, t.,e. dlq lgboj vetvy f z( ), z g∈ αβ, v¥polnqetsq
S r f O S r p O O
j q
jqαβ αβ( , ) ( , ) ( ) ( )
,
=
+ =∑ 1 1 . (5)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O TEOREME MAL|MKVYSTA DLQ REÍENYJ … 507
Teoremu A moΩno utoçnyt\, esly rassmatryvat\ reßenyq, prynadleΩawye
kol\cu Al , Al ⊂ Ml . A ymenno, budet dokazana takaq teorema.
Teorema 1. Pust\ funkcyq f z( ), z G∈ , s yzolyrovannoj loharyfmyçeskoj
osoboj toçkoj v ∞ ( f Al∈ , Al ⊂ Ml ) qvlqetsq reßenyem uravnenyq (1), (2).
Esly (1) ne qvlqetsq lynejn¥m uravnenyem vyda f ′ = p z f11( ) + p z01( ) , to dlq
lgboj vetvy f z( ), z g∈ αβ, v¥polnqetsq sootnoßenye (5).
Analohyçnoe svojstvo ymegt y reßenyq, ymegwye yzolyrovannug osobug
toçku lgboj pryrod¥ (suwestvenno osobug, alhebrayçeskug, loharyfmyçes-
kug, polgs).
Napomnym opredelenye nevanlynnovskyx xarakterystyk odnoznaçnoj mero-
morfnoj funkcyy f z( ), z G∈ = { z : r0 ≤ z < + ∞ }. Çerez n r f( , ) oboznaçym
çyslo polgsov funkcyy f v kol\ce { z : r0 ≤ z ≤ r }. Dlq x ≥ 0 oboznaçym
ln+ x = max ln ,x 0( ). Tohda [1, s.A23]
m r f f r e di( , ) ln= ( )∫ +1
2
0
2
π
ϕ
π
ϕ
,
(6)
N r f
n t f
t
dt
r
r
( , )
( , )= ∫
0
, T r f m r f N r f( , ) ( , ) ( , )= + .
Analohyçno opredelqgtsq nevanlynnovskye xarakterystyky m r f( , ), N r f( , ) ,
T r f( , ) dlq ν-znaçn¥x funkcyj f z( ), z G∈ , ymegwyx v ∞ alhebrayçeskug
toçku vetvlenyq (sm. [9]).
Teorema 2. Pust\ funkcyq f z( ), z G∈ , s yzolyrovannoj osoboj toçkoj v
∞ qvlqetsq reßenyem uravnenyq (1), (2). Esly (1) ne qvlqetsq lynejn¥m
uravnenyem, to rost reßenyq ne prev¥ßaet rosta koπffycyentov, t.,e. lybo
dlq lgboj vetvy f z( ), z g∈ αβ, v¥polnqetsq sootnoßenye (5), lybo (esly
f z( ), z G∈ , — odnoznaçnaq holomorfnaq yly ν -znaçnaq alhebroydnaq funk-
cyq) v¥polnqetsq sootnoßenye
T r f O T r p O r O r
j q
jq( , ) ( , ) (ln ) (ln )
,
=
+ =∑ , r → + ∞ . (7)
Utoçnym, kak m¥ ponymaem operacyy nad mnohoznaçn¥my funkcyqmy. Ras-
smotrym kruh g = { z : z r− 0 < ε }, hde r0, ε > 0 ( ε — dostatoçno maloe). V¥-
berem kakye-nybud\ pravyl\n¥e πlement¥ [10, s.A480] exp lna zjq 0( ) , ln0 z bjq( ) ,
z g∈ , sootvetstvenno funkcyj z
a jq = exp lna zjq( ) , ln z bjq( ) . Yz svojstv πtyx
funkcyj sleduet, çto v¥brann¥e πlement¥ moΩno analytyçesky prodolΩyt\
vdol\ lgboj neprer¥vnoj kryvoj v oblasty G = { z : r0 ≤ z < + ∞ }. Pred-
poloΩym, çto suwestvuet pravyl\n¥j πlement f z0( ) , z g∈ , takoj, çto pry
podstanovke f z0( ) , exp lna zjq 0( ) , ln0 z bjq( ) , z g∈ , v (1), (2) vmesto sootvet-
stvenno f, z
a jq , ln z bjq( ) poluçaem toΩdestvo pry z g∈ . M¥ predpolahaem,
çto πlement f z0( ) , z g∈ , moΩno analytyçesky prodolΩyt\ vdol\ lgboj
neprer¥vnoj kryvoj z = λ( )t , t0 ≤ t ≤ t1, λ( )t0 = r0
, λ( )t1 = z1
, prynadleΩa-
wej G, pryçem rezul\tatom prodolΩenyq qvlqetsq lybo pravyl\n¥j πlement
f z1( ), z ∈ { z : z z− 1 < ε1}, ε1 > 0, lybo πlement, ymegwyj v toçke z1 neraz-
vetvlenn¥j polgs (πlement vyda
j s j
ja z z= −
+∞∑ −( )1 , s ∈N). PredpoloΩym, çto
dlq lgboho z G1 ∈ suwestvuet beskoneçnoe mnoΩestvo razlyçn¥x πlementov
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
508 A. A. MOXON|KO
ukazannoho vyda s centrom z1, kotor¥e qvlqgtsq neposredstvenn¥my
analytyçeskymy prodolΩenyqmy πlementa f z0( ) , z g∈ . MnoΩestvo vsex takyx
πlementov oboznaçym çerez f z( ), z G∈ . Budem hovoryt\, çto f z( ), z G∈ , —
meromorfnaq funkcyq s loharyfmyçeskoj osoboj toçkoj v ∞, f Ml∈ . V
çastnosty, esly pry vsex analytyçeskyx prodolΩenyqx πlementa f z0( ) , z g∈ ,
v oblasty G rezul\tatom prodolΩenyq qvlqetsq pravyl\n¥j πlement, to
f z( ), z G∈ , ymeet v ∞ yzolyrovannug loharyfmyçeskug osobug toçku
f Al∈( ).
V¥berem proyzvol\n¥e α, β; – ∞ < α < β < + ∞. Pust\, naprymer, α > 0.
Rassmotrym kryvug z = r eit
0 = µ( )t , 0 ≤ t ≤ α, µ( )0 = r0
, µ α( ) = r ei
0
α
.
Analytyçesky prodolΩym πlement¥ f z0( ) , exp lna zjq 0( ) , ln0 z bjq( ) , z g∈ ,
vdol\ kryvoj µ( )t , 0 ≤ t ≤ α. V rezul\tate prodolΩenyq poluçym πlement¥
f zα( ) , exp lna zjq α( ) , lnα z bjq( ) s centrom v toçke r ei
0
α
. Dalee analytyçesky
prodolΩym πty πlement¥ vdol\ vsevozmoΩn¥x kryv¥x z = r t ei t( ) ( )θ , t ∈ t t1 2,[ ],
hde r t( ), θ( )t , t1 ≤ t ≤ t2 , — neprer¥vn¥e funkcyy, takye, çto r0 ≤ r t( ) < + ∞,
α ≤ θ( )t ≤ β , t1 ≤ t ≤ t2 . MnoΩestvo vsex πlementov, poluçenn¥x v rezul\tate
takyx prodolΩenyj, budem oboznaçat\ sootvetstvenno çerez
f z( ), z g∈ αβ = z r e r ri= ≤ ≤ ≤ < + ∞{ }θ α θ β: , 0 ,
(8)
z
a jq
, z g∈ αβ, ln z bjq( ) , z g∈ αβ;
gαβ — uhlovaq oblast\ na rymanovoj poverxnosty funkcyy f z( ), z G∈ . Esly
β – α < 2π, to sohlasno teoreme o monodromyy [10, s.A488] funkcyy (8) —
odnoznaçn¥e analytyçeskye funkcyy v oblasty gαβ ⊂ C. Esly β – α ≥ 2π, to
oblast\ gαβ moΩno rassmatryvat\ kak odnosvqznug oblast\ na rymanovoj po-
verxnosty funkcyy f z( ), z G∈ . V πtoj oblasty takΩe prymenyma teorema o
monodromyy. Poπtomu funkcyy (8) — odnoznaçn¥e analytyçeskye funkcyy na
kuske rymanovoj poverxnosty gαβ .
Spravedlyva sledugwaq teorema [11]: pust\
F =
P f
Q f
( )
( )
= j
t
j
j
j
s
j
j
p f
p f
=
=
∑
∑
0 1
0 2
, d t s= max( , ) ,
f, p Mjq l∈ , pt1, ps2 ≠ 0, pryçem P f( ) , Q f( ) vzaymno prost¥, kak mnohoçlen¥
ot f nad polem Ml . Tohda
S r F dS r f O S r p O
j q
jqαβ αβ αβ( , ) ( , ) ( , ) ( )
,
= +
+∑ 1 . (9)
Esly f, p Mjq ∈ , M — pole odnoznaçn¥x meromorfn¥x yly alhebroydn¥x v ob-
lasty G funkcyj, pryçem P f( ) , Q f( ) vzaymno prost¥, kak mnohoçlen¥ ot f
nad polem M, to
T r F dT r f O T r p O r
j q
jq( , ) ( , ) ( , ) (ln )
,
= +
+∑ . (10)
Nam ponadobytsq sledugwaq lemma (sm. [8], formula (14)).
Lemma 1. Pust\ f z( ), z ∈ { z = r eiθ
: α1 ≤ θ ≤ β1, r0 ≤ r < + ∞ }, — mero-
morfnaq funkcyq. Esly α1 ≤ α < β ≤ β1, to
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O TEOREME MAL|MKVYSTA DLQ REÍENYJ … 509
S r f S r f Oα β αβ1 1
1( , ) ( , ) ( )≥ + . (11)
Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Kak sleduet yz teorem¥ A, esly uravnenye
(1), (2) ymeet reßenye f ∈ Al ⊂ M y uravnenye (1) ne qvlqetsq uravnenyem Ryk-
katy (a sledovatel\no, y lynejn¥m uravnenyem), to dlq lgboj vetvy f z( ),
z g∈ αβ, v¥polnqetsq sootnoßenye (5).
Pust\ teper\ (1) — uravnenye Rykkaty, t.Ae. ymeet vyd
′ = + +f p z f p z f p z21
2
11 01( ) ( ) ( ). (12)
PokaΩem, çto esly v (12) koπffycyent p z21( ) � 0, to takΩe v¥polnqetsq so-
otnoßenye (5).
Prymenqq k (12) formulu (9), poluçaem
S r f S r f O S r p O
j
jαβ αβ αβ( , ) ( , ) ( , ) ( )′ = +
+
=
∑2 1
0
2
1 . (13)
Yzvestno [12] (teorema 1), çto meromorfnoe reßenye f z( ), z G∈ , s loha-
ryfmyçeskoj osoboj toçkoj v ∞ dyfferencyal\noho uravnenyq (1) s koπf-
fycyentamy p zjq( ) vyda (2) ymeet koneçn¥j porqdok rosta p.
Pust\ A, B takye, çto A < α < β < B. Rassmotrym odnoznaçn¥e vetvy f z( ),
z g∈ αβ y f z( ), z gAB∈ = { z = r eiθ
: A ≤ θ ≤ B, r0 ≤ r < + ∞ } funkcyy f z( ),
z G∈ . Pust\ { }cq — mnoΩestvo vsex nulej y polgsov vetvy f z( ), z gAB∈ .
V¥berem proyzvol\noe ε > 0 y dlq kaΩdoho c cq q∈{ } postroym okruΩnost\ s
centrom cq radyusa δq = cq
p− − −1 2ε /
. Çerez E oboznaçym mnoΩestvo toçek
oblasty gAB rymanovoj poverxnosty funkcyy f z( ), z G∈ , leΩawyx vnutry
vsex πtyx okruΩnostej. Tohda [12] (lemma 4) (∃ d = d A B( , , )ε > 0) :
′ < + +f z
f z
z p( )
( )
2 2 ε
, z g EAB∈ \ , z d≥ ,
(14)
∑ ∑= < = < +∞− − −δ ε
q q
p
c K
1 2/
const , c cq q∈{ }.
Dlq kaΩdoho c cq q∈{ } postroym ynterval cq q−[ δ , cq q+ ]δ . Pust\ ∆ —
mnoΩestvo toçek, prynadleΩawyx πtym yntervalam. Yz (14) sleduet, çto E —
mnoΩestvo kruhov s koneçnoj summoj radyusov, mes ∆ < 2K.
MoΩno sçytat\, çto luçy Λ( )α = { z = r eiα
: r ≥ d }, Λ( )β = { z = r eiβ
: r ≥ d }
ne peresekagtsq s E, kohda d — dostatoçno bol\ßoe (E ∩ ( Λ( )α ∪ Λ( )β ) =
= ∅). Dejstvytel\no, poskol\ku E — mnoΩestvo kruhov s koneçnoj summoj
radyusov, to (∃ α1: A < α1 < α ) ( ∃ d = d A( , )α > 0 ) takoe, çto luç Λ( )α1 = { z :
z = r eiα1
: r ≥ d } ne peresekaet kruhy yz mnoΩestva E, ( Λ( )α1 ∩ E = ∅ ) [13]
(formula (31)). Analohyçno suwestvuet β1, β < β1 < B, takoe, çto luç Λ( )β1 =
= { z = r eiβ1
: r ≥ d } ne peresekaet kruhy yz E, ( Λ( )β1 ∩ E = ∅ ). Poπtomu
vmesto vetvy f z( ), z g∈ αβ, moΩno rassmatryvat\ vetv\ f z( ), z g∈ α β1 1
, hde A <
< α1 ≤ α < β ≤ β1 < B.
Esly r ∉∆ , to, uçyt¥vaq (14) y to, çto k = π
β α−
> 0, sin ( )k θ α−( ) ≥ 0, α ≤
≤ θ ≤ β, poluçaem
′( )
( )
f r e
f r e
i
i
θ
θ < r p2 2+ + ε , α ≤ θ ≤ β,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
510 A. A. MOXON|KO
B r
f
fαβ , ′
= 2k
r
f r e
f r e
k dk
i
iπ
θ α θ
α
β θ
θ∫ + ′( )
( ) −ln sin ( ) <
< 2 2 21k p r rkπ ε β α− −+ + −( ) ln ( ) = o( )1 , r → + ∞, r ∉∆ . (15)
Na luçax Λ( )α , Λ( )β v¥polnqetsq ocenka (14). Poπtomu
A r
f
fαβ , ′
= k
t
t
r
f t e
f t e
f t e
f t e
dt
t
r
r
k
k
k
i
i
i
iπ
α
α
β
β
0
1
2∫ −
′( )
( ) +
′( )
( )
+ +ln ln =
= k
r
d
d
r
π
0
∫ ∫… + …
< O( )1 + 2 1 2 2
2
k
t
t
r
p t dt
t
d
r
k
k
kπ
ε∫ −
+ +( ) ln
= O( )1 . (16)
Dalee, v¥polnqgtsq ocenky [1, s.A45] (formula (6.9))
B r fαβ , ′( ) = B r f
f
fαβ , ′
≤ B r fαβ ,( ) + B r f
f
fαβ , ′
,
A r fαβ , ′( ) = A r f
f
fαβ , ′
≤ A r fαβ ,( ) + A r f
f
fαβ , ′
.
Poπtomu, uçyt¥vaq (15), (16), poluçaem
B r fαβ , ′( ) ≤ B r fαβ ,( ) + o( )1 , r ∉∆ , r → + ∞,
(17)
A r fαβ , ′( ) ≤ A r fαβ ,( ) + O( )1 .
Poskol\ku funkcyq f z( ), z G∈ , s yzolyrovannoj loharyfmyçeskoj osoboj
toçkoj ne ymeet polgsov, to (sm. (3))
C r fαβ ,( ) = C r fαβ , ′( ) ≡ 0, r ≥ r0
. (18)
Yz (18), (17), (4) sleduet
S r fαβ , ′( ) ≤ S r fαβ ,( ) + O( )1 , r ∉∆ . (19)
Uçyt¥vaq (13), (19), ymeem
S r fαβ ,( ) ≥ 2 S r fαβ ,( ) + O S r p
j
j
=
∑ ( )
0
2
1αβ , + O( )1 ,
(20)
S r fαβ ,( ) = O S r p
j
j
=
∑ ( )
0
2
1αβ , + O( )1 , r ∉∆ , mes ∆ < + ∞.
Yz (2) – (4) sleduet
S r pjqαβ ,( ) = O( )1 . (21)
Otsgda s uçetom (20) poluçaem
S r fαβ ,( ) = O( )1 , r ∉∆ . (22)
PokaΩem, çto v (22) ysklgçytel\noe mnoΩestvo ∆ moΩno opustyt\. Suwest-
vuet neub¥vagwaq neprer¥vnaq funkcyq
�
S r fαβ ,( ) takaq, çto [1, s.A43]
�
S r fαβ ,( ) = S r fαβ ,( ) + O( )1 . (23)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O TEOREME MAL|MKVYSTA DLQ REÍENYJ … 511
Yz (22), (23) poluçaem
�
S r fαβ ,( ) = O( )1 , r ∉∆ , mes ∆ < ∞. Poskol\ku
�
S r fαβ ,( )
— neub¥vagwaq funkcyq, yz pred¥duweho sleduet
�
S r fαβ ,( ) < C = const ∀ r ≥
≥ r0
. Poπtomu s uçetom (23)
S r fαβ ,( ) < const ∀ ≥r r0. (24)
Otsgda y yz (21) sleduet sootnoßenye (5).
Esly b¥ luç Λ( )α = { z = r eiα
: r ≥ d } yly luç Λ( )β = { z = r eiβ
: r ≥ d } pry
lgbom d peresekal mnoΩestvo E (sm. (14)), to, kak otmeçalos\ v¥ße, m¥
rassmatryvaly b¥ vetv\ f z( ), z g∈ α β1 1
, A < α1 < α < β < β1 < B, y analohyçno
pred¥duwemu dokazaly b¥ ocenku S r fα β1 1
,( ) = O( )1 . Poskol\ku α1 < α < β <
< β1, yz (11) sleduet S r fαβ ,( ) < S r fα β1 1
,( ) + O( )1 = O( )1 . Poπtomu ocenka (5)
spravedlyva dlq lgboj vetvy.
Ostalos\ rassmotret\ sluçaj, kohda v (12) p z21 0( ) ≡ . V πtom sluçae (12),
(1)Aqvlqetsq lynejn¥m uravnenyem f ′ = p z f11( ) + p z01( ) , hde p zj1( ) opredele-
n¥ vA(2).
Teorema 1 dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ 2. Dlq funkcyy f z( ), z G∈ , s yzolyrovannoj
osoboj toçkoj v ∞ vozmoΩn¥ try predpoloΩenyq: 1) funkcyq ymeet v ∞
loharyfmyçeskug osobug toçku (πtot sluçaj rassmotren v teoreme 1); 2) f z( ),
z G∈ , — odnoznaçnaq holomorfnaq funkcyq; 3) f z( ), z G∈ , qvlqetsq ν-
znaçnoj alhebroydnoj funkcyej, pryçem f z( ) =
n n
nz= −∞
+∞∑ α ν/ , z G∈ , ν > 1,
ν ∈N . Pust\ teper\ reßenyem uravnenyq (1), (2) qvlqetsq lybo odnoznaç-
naqAAholomorfnaq funkcyq f z( ), z G∈ , lybo ν-znaçnaq funkcyq f z( ) =
=
n n
nz= −∞
+∞∑ α ν/ , z G∈ .
V [3, s.A67] yz-za sloΩnosty dokazatel\stva pryvodytsq tol\ko formulyrov-
ka teorem¥ Mal\mkvysta [2]. Prostoe dokazatel\stvo teorem¥ moΩno polu-
çyt\ metodom Josyd¥ [4], yspol\zuq formulu (10). V¥polnym v (1) zamenu f =
= u−1 + κ, hde κ — takaq konstanta, çto P z( , )κ � 0, Q z( , )κ � 0. V rezul\ta-
te poluçym
′ =u
R z u
V z u
( , )
( , )
, (25)
hde R, V — mnohoçlen¥ otnosytel\no u s koπffycyentamy P zjq( ) vyda (2),
qvlqgwymysq lynejn¥my kombynacyqmy koπffycyentov p zjq( ) uravnenyq
(1), (2). Stepeny R, V otnosytel\no u sootvetstvenno ravn¥ t y t – 2 (esly
t – 2 ≥ s) y s + 2 y s (esly t – 2 < s ). Pust\, dlq opredelennosty, t – 2 < s.
Tohda deg /u R V = s + 2. Prymenqq k (25) formulu (10), poluçaem
T r u s T r u O T r P O rjq( , ) ( ) ( , ) ( , ) (ln )′ = + + ( ) +∑2 . (26)
Poskol\ku koπffycyent¥ P zjq( ) qvlqgtsq lynejn¥my kombynacyqmy ko-
πffycyentov p zjq( ) uravnenyq (1), (2), yz svojstv xarakterystyky T r f( , )
sleduet [1, s.A45] (formul¥ (6.5) – (6.7)) T r Pjq( , ) = O T r pjq( , )∑( ) + O( )1 . Ot-
sgda s uçetom (26) ymeem
T r u s T r u O T r p O rjq( , ) ( ) ( , ) ( , ) (ln )′ = + + ( ) +∑2 . (27)
Tak kak funkcyq u z( ) , z G∈ , ne ymeet toçek vetvlenyq, otlyçn¥x ot ∞ ,
polgs¥ funkcyj ′u z( ), z G∈ , y u z( ) , z G∈ , raspoloΩen¥ v odnyx y tex Ωe
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
512 A. A. MOXON|KO
toçkax. KaΩdomu polgsu porqdka m funkcyy u z( ) sootvetstvuet polgs po-
rqdka m + 1 proyzvodnoj ′u z( ). Poπtomu n r u( , )′ ≤ 2n r u( , ) [1, s.A131],
N r u N r u( , ) ( , )′ ≤ 2 . (28)
Dlq odnoznaçnoj meromorfnoj funkcyy u z( ) , z G∈ , y dlq ν-znaçnoj
funkcyy u z( ) , z G∈ , spravedlyva lemma o loharyfmyçeskoj proyzvodnoj [1,
s.A122] (teorema 1.3), [9]:
m r u
u
o T r u, ( , )′
= ( ), r ∉∆ , mes ∆ < ∞,
poπtomu [1, s.A44] (formula (6.1))
m r u( , )′ = m r u u
u
, ′
≤ m r u( , ) + m r u
u
, ′
= m r u( , ) + o T r u( , )( ), r ∉∆ .
Otsgda, uçyt¥vaq (28), poluçaem
T r u( , )′ = N r u( , )′ + m r u( , )′ ≤ 2N r u( , ) + m r u( , ) + o T r u( , )( ) ≤
≤ 2 1+( )o T r u( ) ( , ), r ∉∆ , mes ∆ < ∞. (29)
Yz (27), (29) sleduet
2 1+( )o T r u( ) ( , ) ≥ ( ) ( , )s T r u+ 2 + O T r pjq( , )∑( ) + O r(ln ), r ∉∆ ,
(30)
s o T r u+( )( ) ( , )1 = O T r pjq( , )∑( ) + O r(ln ), r ∉∆ .
Esly s > 0, a znaçyt, uravnenye (1) ne qvlqetsq uravnenyem Rykkaty (a tem bo-
lee lynejn¥m uravnenyem), to (30) moΩno zapysat\ sledugwym obrazom:
T r u( , ) = O T r pjq( , )∑( ) + O r(ln ), r ∉∆ . (31)
Uçyt¥vaq (2), (6), poluçaem
T r pjq( , ) = O r(ln ) . (32)
Yz (31), (32) sleduet, çto suwestvuet M = const > 0 takoe, çto
T r u( , ) < M ln r, r ∉∆ , mes ∆ < K = const. (33)
Pust\ r > K. Poskol\ku mes ∆ < K , to ∃ ∈ +[ ]r r r K1 , , r1 ∉∆ . Funkcyq
T r u( , ), r ≥ r0
, — vozrastagwaq [1, s.A33] (teorema 4.3), poπtomu, uçyt¥vaq (33),
ymeem
T r u( , ) < T r u( , )1 < M rln 1 < M rln( )2 < 2 M rln ∀ ≥ ( )r Kmax , ln 2 .
Sledovatel\no,
T r u( , ) = O r(ln ), r ≥ r0
. (34)
Poskol\ku u = 1
f − κ
, κ = const, to, prymenqq pervug osnovnug teoremu
Nevanlynn¥ [1, s.A27] (teorema 4.1), poluçaem T r u( , ) = T r
f
, 1
−
κ
= T r f( , ) +
+ O( )1 . Otsgda y yz (31), (34) sleduet (7).
Pust\ s = 0. Po predpoloΩenyg t – 2 < s. Sledovatel\no, 0 ≤ t < s + 2 = 2,
poπtomu s = 0, t = 1. Takym obrazom, uravnenye (1) qvlqetsq lynejn¥m uravne-
nyem f ′ = p z f11( ) + p z01( ) , hde p zj1( ) opredelen¥ v (2). Analohyçno yssledu-
etsq sluçaj t – 2 ≥ s.
Teorema 2 dokazana.
Zameçanye. Pust\ f z( ) — analytyçeskaq funkcyq s yzolyrovannoj su-
westvenno osoboj toçkoj v ∞ (naprymer, celaq transcendentnaq funkcyq)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O TEOREME MAL|MKVYSTA DLQ REÍENYJ … 513
yly ν-znaçnaq analytyçeskaq funkcyq s alhebrayçeskoj toçkoj vetvlenyq v
∞. Zapyßem ee arhument v pokazatel\noj forme; funkcyq f r eiθ( ), r 0
≤ r <
< + ∞, – ∞ < θ < + ∞, ymeet po θ peryod 2π (sootvetstvenno, peryod 2πν ). ∏to
pozvolqet rassmatryvat\ funkcyg f r eiθ( ) s suwestvenno osoboj toçkoj (s al-
hebrayçeskoj toçkoj vetvlenyq) v ∞ kak raznovydnost\ funkcyy s loharyf-
myçeskoj osoboj toçkoj v ∞, ymegwej po θ peryod 2π (sootvetstvenno, pe-
ryod 2πν ) (sm. v¥ße opredelenye funkcyy f Ml∈ , osnovannoe na ponqtyy
analytyçeskoho prodolΩenyq). Poπtomu ocenka (5) rosta reßenyq s loharyf-
myçeskoj osoboj toçkoj prymenyma takΩe k reßenyqm s suwestvenno osoboj
yly alhebrayçeskoj toçkoj vetvlenyq. Dostatoçno v (5) vzqt\ α = 0, β = 2π y
rassmatryvat\ xarakterystyku S r f0 2, ( , )π .
Esly Ωe ocenyvat\ rost reßenyq s pomow\g xarakterystyky T r f( , ) , to
nuΩno dopolnytel\no predpoloΩyt\, çto koπffycyent¥ p zjq( ) (sm. (2)) pry-
nadleΩat polg funkcyj, v kotorom prymenyma formula (10): neobxodymo sçy-
tat\, çto v (2) pokazately stepenej ajq ∈Q , bjq = 0 .
1. Hol\dberh A. A., Ostrovskyj Y. V. Raspredelenye znaçenyj meromorfn¥x funkcyj. – M.:
Nauka, 1970. – 592 s.
2. Malmquist J. Sur les fonctions á un nombre fini de branches défínes par les équations différentielles
du premier order // Acta Math. – 1913. – 36. – P. 297 – 343.
3. Holubev V. V. Lekcyy po analytyçeskoj teoryy dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.; L.:
Hostexteoryzdat, 1950. – 436 s.
4. Yosida K. A generalization of a Malmquist’s theorem // Jap. J. Math. – 1933. – 9. – P. 253 – 256.
5. Hol\dberh A. A., Levyn B. Q., Ostrovskyj Y. V. Cel¥e y meromorfn¥e funkcyy // Ytohy
nauky y texnyky. Sovr. probl. matematyky. Fundam. napravlenyq / VYNYTY. – 1991. – 85. –
S. 5 – 186.
6. Laine I. Nevanlinna theory and complex differential equations. – Berlin; New York: Walter
Gruyter, 1993. – 400 p.
7. Van der Varden B. L. Alhebra. – M.: Nauka, 1979. – 624 s.
8. Moxon\ko A. A. Teorema Mal\mkvysta dlq reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj
vAAokrestnosty loharyfmyçeskoj osoboj toçky // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 4. –
S.A476A–A483.
9. Valiron G. Sur la dérivée des fonctions algébroides // Bull. Soc. math. France. – 1931. – 59,
# 1–2. – P. 17 – 39.
10. Markußevyç A. Y. Teoryq analytyçeskyx funkcyj: V 2 t. – M.: Nauka, 1968. – T. 2. – 624 s.
11. Moxon\ko A. Z. Pole alhebroydn¥x funkcyj y ocenky yx nevanlynnovskyx xarakterystyk
// Syb. mat. Ωurn. – 1981. – 22, # 3. – S. 214 – 218.
12. Mokhon’ko A. Z., Mokhon’ko V. D. On order of growth of analytic solutions for
algebraic differential equations having logarithmic singularity // Math. Stud. – 2000. – 13, # 2. –
P. 203 – 218.
13. Moxon\ko A. Z. O meromorfn¥x reßenyqx alhebrayçeskyx dyfferencyal\n¥x uravnenyj
v uhlov¥x oblastqx // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 4. – S. 514 – 523.
Poluçeno 23.02.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|