Наилучшие n-членные приближения сограничениями
Знайдено точні значення найкращих n-членних наближень з обмеженнями на поліноми, що використовуються як апарат наближення λ,q-еліпсоїдів у просторах Sᵩᵖ,ᶣ.
Gespeichert in:
Datum: | 2005 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165700 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Наилучшие n-членные приближения сограничениями / А.И. Степанец // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 533–553. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-165700 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1657002020-02-16T01:26:37Z Наилучшие n-членные приближения сограничениями Степанец, А.И. Статті Знайдено точні значення найкращих n-членних наближень з обмеженнями на поліноми, що використовуються як апарат наближення λ,q-еліпсоїдів у просторах Sᵩᵖ,ᶣ. We determine exact values of the best n-term approximations with restrictions on polynomials used for the approximation of λ,q-ellipsoids in the spaces Sᵩᵖ,ᶣ. 2005 Article Наилучшие n-членные приближения сограничениями / А.И. Степанец // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 533–553. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165700 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Степанец, А.И. Наилучшие n-членные приближения сограничениями Український математичний журнал |
description |
Знайдено точні значення найкращих n-членних наближень з обмеженнями на поліноми, що використовуються як апарат наближення λ,q-еліпсоїдів у просторах Sᵩᵖ,ᶣ. |
format |
Article |
author |
Степанец, А.И. |
author_facet |
Степанец, А.И. |
author_sort |
Степанец, А.И. |
title |
Наилучшие n-членные приближения сограничениями |
title_short |
Наилучшие n-членные приближения сограничениями |
title_full |
Наилучшие n-членные приближения сограничениями |
title_fullStr |
Наилучшие n-членные приближения сограничениями |
title_full_unstemmed |
Наилучшие n-членные приближения сограничениями |
title_sort |
наилучшие n-членные приближения сограничениями |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2005 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165700 |
citation_txt |
Наилучшие n-членные приближения сограничениями / А.И. Степанец // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 533–553. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT stepanecai nailučšienčlennyepribliženiâsograničeniâmi |
first_indexed |
2025-07-14T19:34:49Z |
last_indexed |
2025-07-14T19:34:49Z |
_version_ |
1837652186216005632 |
fulltext |
UDK 517.5
A. Y. Stepanec (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ
S�OHRANYÇENYQMY
We find exact values of the best n-term approximations with restrictions on polynomials that are used as
an instrument of approximation of λ, q-ellipsoids in the spaces S p
ϕ
µ, .
Znajdeno toçni znaçennq najkrawyx n-çlennyx nablyΩen\ z obmeΩennqmy na polinomy, wo vy-
korystovugt\sq qk aparat nablyΩennq λ, q-elipso]div u prostorax S p
ϕ
µ,
.
V nastoqwej rabote prodolΩagtsq yssledovanyq approksymacyonn¥x xarakte-
rystyk prostranstv S p
ϕ , naçat¥e v [1 – 10].
Pryvedem neobxodym¥e opredelenyq.
1. Prostranstva Sp
ϕϕ
µµ,
. Pust\ � — nekotoroe lynejnoe kompleksnoe pro-
stranstvo y ϕ = ϕk k{ } =
∞
1 — fyksyrovannaq sçetnaq systema v nem. Predpolo-
Ωym, çto lgboj pare πlementov x, y ∈ �, v kotoroj xotq b¥ odyn yz vektorov
prynadleΩyt ϕ, sopostavleno çyslo ( , )x y — „skalqrnoe proyzvedenye” —
tak, çto v¥polnqgtsq uslovyq:
1) ( , )x y = ( , )y x , hde z — çyslo, kompleksno-soprqΩennoe s z;
2) λ νx x y1 2+( ), = λ x y1,( ) + ν x y2,( ) , λ, ν — proyzvol\n¥e çysla;
3) ϕ ϕk l,( ) =
0
1
, ,
, .
k l
k l
≠
=
Pust\, dalee, µ = µk k{ } =
∞
1 — nekotoraq systema neotrycatel\n¥x çysel,
µk ≥ 0, k ∈ N = {1, 2, … }.
KaΩdomu πlementu x ∈ � sopostavym systemu çysel ˆ( )x k = ˆ ( )x kϕ posred-
stvom ravenstv ˆ( )x k = ( , )x kϕ , k ∈ N, y pry dannom fyksyrovannom p ∈ (0, ∞)
poloΩym
S S x x kp p
k
k
p
ϕ
µ
ϕ
µ
ϕ µ, , : ˆ ( )= ( ) = ∈ < ∞
=
∞
∑� �
1
. (1)
∏lement¥ x, y ∈ S p
ϕ
µ,
sçytagtsq toΩdestvenn¥my, esly pry vsex k ∈ N
ˆ ( )x kϕ = ˆ ( )y kϕ .
V sluçae, kohda µk ≡ 1, k ∈ N, mnoΩestva S p
ϕ
µ,
sovpadagt s mnoΩestvamy
S p
ϕ , kotor¥e vveden¥ y yzuçalys\ v [1 – 6] ; v obwem sluçae ony vperv¥e ras-
smatryvalys\ v [7].
Dlq proyzvol\n¥x vektorov x, y ∈ � opredelym ϕ, µ -rasstoqnye meΩdu
nymy s pomow\g ravenstva
ρ µµ µ µ ϕ ϕ ϕ( , ) ˆ ( ) ˆ ( ), , , ,x y x y x y x k y kp p p
k
p
k
p p
= − = − = −
=
∞
∑df
1
1
. (2)
Nulev¥m πlementom prostranstva S p
ϕ
µ,
naz¥vaetsq vektor θ, dlq kotoroho
ˆ ( )θϕ k = 0 pry vsex k ∈ N. Rasstoqnye ρ θ µ( , ) ,x p , x S p∈ ϕ
µ,
, naz¥vaetsq ϕ, µ -
© A. Y. STEPANEC, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 533
534 A. Y. STEPANEC
normoj πlementa x y oboznaçaetsq x p,µ . Takym obrazom, po opredelenyg
x p,µ = x p, ,µ ϕ = ρ θ µ( , ) ,x p =
k
k
p p
x k
=
∞
∑
1
1
ϕ µ( ) . (3)
V [7] pokazano, çto mnoΩestvo S p
ϕ
µ,
— lynejnoe prostranstvo s temy Ωe ope-
racyqmy sloΩenyq y umnoΩenyq na çysla vektorov, kotor¥e opredelen¥ vo
vsemBB�.
Esly v systeme µ vse çysla µk otlyçn¥ ot nulq, to ravenstvo x p,µ = 0
vozmoΩno tol\ko pry x = θ. Otsgda sleduet, çto pry p ≥ 1 y µk > 0, k ∈ N,
funkcyonal ⋅ p,µ , opredelqem¥j ravenstvom (3), udovletvorqet vsem aksyo-
mam norm¥, a pry p ∈( , )0 1 — kvazynorm¥.
Poπtomu esly µk > 1, k ∈ N, to pry p ≥ 1 S p
ϕ
µ,
— lynejnoe normyrovannoe
prostranstvo, a pry p ∈( , )0 1 — prostranstvo s kvazynormoj, soderΩawee or-
tohonal\nug systemu ϕ = ϕk k{ } =
∞
1, pryçem ϕk = µk , k ∈ N.
Pust\ teper\ f — proyzvol\n¥j πlement prostranstva S p
ϕ
µ,
y
S f f k
k
k[ ] =
=
∞
∑ϕ ϕ ϕ
1
ˆ ( ) (4)
— eho formal\n¥j rqd po systeme ϕ.
Prostranstva S p
ϕ
µ,
nasledugt vaΩnejßye svojstva separabel\n¥x hyl\ber-
tov¥x prostranstv: ravenstvo Parsevalq v vyde sootnoßenyq (3) y mynymal\noe
svojstvo çastn¥x summ Fur\e, kotoroe formulyruetsq sledugwym obrazom.
PredloΩenye 1. Pust\ gα{ } — semejstvo ohranyçenn¥x podmnoΩestv
mnoΩestva N, zavysqwyx ot parametra α y takyx, çto lgboe çyslo n ∈ N
prynadleΩyt vsem mnoΩestvam gα{ } s dostatoçno bol\ßymy yndeksamy α.
Pust\, dalee, f S p∈ ϕ
µ, , p ∈ ∞( , )0 , y
S f S f f kg
k g
kα α
α
ϕ( ) ( ) ˆ( )= =
∈
∑
— çastnaq summa rqda Fur\e S f[ ]ϕ πlementa f, sootvetstvugwaq mno-
Ωestvu gα{ }. Tohda sredy vsex summ vyda
Φα
α
ϕ=
∈
∑
k g
k kc
naymenee uklonqetsq ot f v prostranstve S p
ϕ
µ,
çastnaq summa S fα( ),
t.,e.
inf ( ), ,c p p
k
f f S f− = −Φα µ α µ .
Pry πtom
f S f f f kp
p
p
p
k g
k
p
− = −
∈
∑α µ µ
α
µ( ) ˆ( ), ,
y
lim ( ) ,α α µ→∞
− =f S f p 0 . (5)
Yz (5) sleduet, çto dlq lgboho πlementa f S p∈ ϕ
µ,
eho rqd Fur\e (4) po
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 535
systeme ϕ sxodytsq k f po norme prostranstva S p
ϕ
µ,
, t.Be. systema ϕ polna v
S p
ϕ
µ,
y S p
ϕ
µ,
separabel\no.
2. ψψψψ-Yntehral¥. V¥delym v prostranstvax S p
ϕ
µ,
obæekt¥ pryblyΩenyq —
obæedynenyq πlementov f ∈ �, sootvetstvugwyx v teoryy approksymacyy ponq-
tyg klassa funkcyj.
Pust\ ψ = ψk k{ } =
∞
1 — proyzvol\naq systema kompleksn¥x çysel. Esly dlq
dannoho πlementa f ∈ �, rqd Fur\e kotoroho ymeet vyd (4), suwestvuet πlement
F ∈ �, dlq kotoroho
S f f k
k
k k[ ] =
=
∞
∑ϕ ψ ϕ
1
ˆ( ) , (6)
t.Be. kohda
ˆ ( ) ˆ( )F k f kkϕ ψ= , k ∈ N, (7)
to vektor F naz¥vaetsq ψ-yntehralom vektora f. V takom sluçae zapys¥vaem
F = �
ψ f . Esly � — nekotoroe podmnoΩestvo yz �, to çerez ψ � oboznaça-
etsq mnoΩestvo ψ -yntehralov vsex πlementov yz � . V çastnosty, ψ ϕ
µS p,
—
mnoΩestvo ψ-yntehralov vsex vektorov, prynadleΩawyx dannomu prostranstvu
S p
ϕ
µ,
.
Esly f y F svqzan¥ sootnoßenyem (6) yly (7), to ynohda udobno f naz¥vat\
ψ -proyzvodnoj πlementa F y pysat\ f = D Fψ = Fψ
.
V dal\nejßem predpolahaetsq, çto systema ϕ podçynena uslovyg
lim
k k→∞
=ψ 0 . (8)
Qsno, çto πto uslovye obespeçyvaet vklgçenye ψ ϕ
µS p, ⊂ S p
ϕ
µ,
y dlq takoho
vklgçenyq neobxodym¥m y dostatoçn¥m qvlqetsq uslovye ohranyçennosty
mnoΩestva çysel ψk , k ∈ N.
Pust\
U f S fp p
pϕ
µ
ϕ
µ
µ
, ,
,:= ∈ ≤{ }1 (9)
— edynyçn¥j ßar v dannom prostranstve S p
ϕ
µ,
y ψ ϕ
µU p,
— mnoΩestvo ψ -
yntehralov vsex πlementov yz U p
ϕ
µ,
. MnoΩestva ψ ϕ
µU p,
y qvlqgtsq osnovn¥-
my obæektamy, ç\y approksymacyonn¥e xarakterystyky zdes\ yzuçagtsq. Zame-
tym, çto esly ψk ≠ 0 ∀ ∈k N , to v sylu (7) y (9)
ψ µ
ψϕ
µ
ϕ
µU f S
f kp p
k
k
k
p
, , :
ˆ( )= ∈ ≤
=
∞
∑
1
1 , (10)
t.Be. mnoΩestvo ψ ϕ
µU p,
qvlqetsq p-πllypsoydom v prostranstve S p
ϕ
µ,
s polu-
osqmy, ravn¥my ψk .
3. Approksymacyonn¥e xarakterystyky. Pust\ Γn — mnoΩestvo vsex na-
borov γn yz n razlyçn¥x natural\n¥x çysel, n ≥ 1, y � n — mnoΩestvo vsex
polynomov vyda
P c
n
nk
k kγ
γ
ϕ=
∈
∑ , (11)
hde ck — nekotor¥e kompleksn¥e çysla. Tohda velyçyna
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
536 A. Y. STEPANEC
E f f P
n
n n
np
P pγ µ γ µγ
( ) inf, ,
= −
∈�
, f S p∈ ϕ
µ,
, (12)
naz¥vaetsq nayluçßym pryblyΩenyem πlementa f posredstvom polynomov,
postroenn¥x po zadannomu naboru γn yz n bazysn¥x vektorov, a velyçyna
e f E fn p p
n n
n
( ) inf ( ), ,µ γ γ µ=
∈Γ
(13)
— nayluçßym n-çlenn¥m pryblyΩenyem πlementa f S p∈ ϕ
µ,
.
Narqdu s e fn p( ) ,µ budem rassmatryvat\ velyçyn¥
e f E fn n p p
n n
n
( ; ) inf ( ), ,
′ =
∈ ′
Γ
Γ
µ
γ
γ µ , (14)
v kotor¥x ′Γn — nekotoroe sobstvennoe podmnoΩestvo yz Γn
.
V svqzy s πtym velyçynu e fn p( ) ,µ moΩno nazvat\ absolgtn¥m nayluçßym
pryblyΩenyem, a velyçynu e fn p( ; ) ,
′Γ µ — nayluçßym n-çlenn¥m pryblyΩeny-
em s ohranyçenyqmy, ymeq v vydu, çto termyn „ohranyçenye” zdes\ otnosytsq k
v¥boru podmnoΩestva ′Γn .
V rabote v kaçestve ′Γn rassmatryvagtsq dva podmnoΩestva Γn
( )1
y Γn
( )2
.
Çerez Γn
( )1
oboznaçaetsq mnoΩestvo naborov
γ n
( )1 = in in i n+ + … +{ }1 2 1, , , ( ) , i = 0, 1, … ,
a çerez Γn
( )2
— mnoΩestvo naborov
γ n
( )2 = i i i n+ + … +{ }1 2, , , , i = 0, 1, … .
Qsno, çto vsehda Γn
( )1 ⊂ Γn
( )2 ⊂ Γn
, y poπtomu v¥polnqgtsq neravenstva
e fn p( ) ,µ ≤ e fn n p
; ( )
,
Γ 2( ) µ
≤ e fn n p
; ( )
,
Γ 1( ) µ
. (15)
Poπtomu esly poloΩyt\
e e fn n p
f
n n p�
�
; sup ( ; ), ,′( ) = ′
∈
Γ Γµ µ ,
hde � — nekotoroe podmnoΩestvo yz S p
ϕ
µ,
, to budut v¥polnqt\sq ocenky
e e en p n n p n n p
� � �( ) ≤ ( ) ≤ ( ),
( )
,
( )
,
; ;µ µ µ
Γ Γ2 1
. (16)
V kaçestve mnoΩestv � budut yspol\zovat\sq mnoΩestva ψ ϕ
λUq,
ψ -yntehra-
lov vsex πlementov edynyçnoho ßara Uq
ϕ
λ,
v prostranstve Sq
ϕ
λ,
.
Takym obrazom, v rabote yssledugtsq velyçyn¥
e U e fn
q
n
i
p
f U
n n
i
pq
ψ ϕ
λ
µ ψ
µ
ϕ
λ
, ( )
,
( )
,
; sup ;
,
Γ Γ( ) = ( )
∈
, i = 1, 2.
4. Osnovn¥e rezul\tat¥. Srazu otmetym, çto sluçay, kohda p ≥ q > 0 y
q > p > 0, trebugt otdel\n¥x rassmotrenyj. Poπtomu snaçala rassmotrym per-
vug sytuacyg. Spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 1. Pust\ p y q — dejstvytel\n¥e çysla takye, çto p ≥ q > 0;
ψ, µ y λ — posledovatel\nosty, dlq kotor¥x velyçyn¥
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 537
′ =ψ ψ µ
λk
k k
k
, k = 1, 2, … , (17)
ne vozrastaq, stremqtsq k nulg. Tohda pry lgbom n N∈ v¥polnqgtsq ra-
venstva
e Un
q
p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 1( ) = e Un
q
p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 2( ) = ( )* /
( )
/*
l p
k
l
k n
q
q
− ′
=
− +
−
−
∑1 1
1
1 1
1
ψ ,
(18)
hde l*
— natural\noe çyslo, dlq kotoroho
sup( ) /
( )
/
l
p
k
l
k n
q
q
l
> =
− +
−
−
− ′
∑
1
1
1
1 1
1
1 ψ = ( )*
( )
/*
l
k
l
k n
q
q
− ′
=
− +
−
−
∑1
1
1 1
1
ψ .
Takoe çyslo l*
vsehda suwestvuet.
Dokazatel\stvo. ∏ta teorema v sluçae, kohda µk ≡ λk ≡ 1, k N∈ , po su-
westvu dokazana v [7]. Y v obwem sluçae ee dokazatel\stvo poluçaetsq fakty-
çesky s pomow\g rassuΩdenyj yz [7].
PreΩde vseho ubedymsq, çto v rassmatryvaemom sluçae
ψ ϕ
λ
ϕ
µU Sq p, ,⊂ . (19)
Dejstvytel\no, esly f Uq∈ψ ϕ
λ,
, to v sylu (7)
ˆ ( ) ˆ ( )f k f kkϕ ϕ
ψψ= y
ˆ ( )
,
f f k
q k
q
k
qψ
λ ϕ
ψ λ= ≤
=
∞
∑
1
1. (20)
Poπtomu s uçetom neravenstva Yensena
f p,µ =
k
p
k
pf k
=
∞
∑
1
ˆ ( )ϕ µ =
k
k
p p
k
p p
f k
=
∞
∑ ′ ≤ ′
1
1ψ λ ψϕ
ψˆ ( ) ,
otkuda y sleduet vklgçenye (19).
Vsledstvye sootnoßenyq (16) dlq dokazatel\stva teorem¥ dostatoçno
ubedyt\sq, çto velyçyna e Un
q
p q
ψ ϕ
λ, ( )
,
; Γ 1( ) ne bol\ße, a velyçyna
e Un
q
p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 2( ) ne men\ße pravoj çasty (18).
V sylu predloΩenyq 1 dlq lgboho nabora γ n n∈Γ y lgboho πlementa
f S p∈ ϕ
µ,
E f
n pγ µ( ) , =
� γ µn
f p( ) , = f f k
k
k
pn
−
∈
∑
γ
ϕ
µ
ϕˆ ( )
,
,
poπtomu dlq lgboho podmnoΩestva ′ ⊂Γ Γn n ymeem
e fn
p
n p
;
,
′( )Γ
µ
=
inf
γ γ µ
n n
n
p
pf
∈ ′Γ
� ( ) , = inf
γ
γ µ
n n
n
f S f
p
p
∈ ′
−
Γ
( )
,
=
= inf
γ γ
ϕ µ
n n
nk
p
k
pf k
∈ ′ ∈
∑
Γ
ˆ ( ) = inf
γ
ϕ
γ
ϕµ µ
n n nk
p
k
p
k
p
k
pf k f k
∈ ′ =
∞
∈
∑ ∑−
Γ 1
ˆ ( ) ˆ ( ) =
= f p
p
,µ – sup ˆ ( )
γ γ
ϕ µ
n n nk
p
k
pf k
∈ ′ ∈
∑
Γ
. (21)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
538 A. Y. STEPANEC
Sledovatel\no, s uçetom (7) pry i = 1, 2 ymeem
e Un
p q
n
i
p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
;Γ( ) =
= sup sup
f U k
k
p p
k
p
k
k
p p
k
p
q
n n
i
n
f k f k
∈ =
∞
∈ ∈
∑ ∑−
ψ
ϕ
ψ
γ γ
ϕ
ψ
ϕ
λ
ψ µ ψ µ
, ( )
ˆ ( ) ˆ ( )
1 Γ
.
Otsgda, prynymaq vo vnymanye (20) y polahaq mk = ˆ ( )f k k
q
ϕ
ψ λ , poluçaem
e Un
p q
n
i
p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
;Γ( ) ≤ sup
( )k
k
p
k
r
k
k
p
k
rm m
n n
i
n=
∞
∈ ∈
∑ ∑′ − ′
1
ψ ψ
γ γ
sup
Γ
, i = 1, 2,
r
p
q
m m
k
k k= ≤ ≥
=
∞
∑: ,
1
1 0 . (22)
Dlq naxoΩdenyq toçnoho znaçenyq pravoj çasty (22) pry i = 1 vospol\zuemsq
sledugwej lemmoj, dokazannoj v [7].
Lemma 1. Pust\ α = αk k{ } =
∞
1 — nevozrastagwaq posledovatel\nost\ po-
loΩytel\n¥x çysel, dlq kotoroj
lim
k k→∞
=α 0, (23)
y m = mk k{ } =
∞
1 — posledovatel\nost\ neotrycatel\n¥x çysel takaq, çto
m m
k
k= ≤
=
∞
∑
1
1. (24)
(V takom sluçae zapys¥vaem α ∈ A y, sootvetstvenno, m ∈� .)
Pust\, dalee, pry kaΩdom n ∈ N
F mn r,
( ) ,1 α( ) =
k
k k
rm
=
∞
∑
1
α – sup
( )γ γ
α
n n
i
nk
k k
rm
∈ ∈
∑
Γ
, α ∈A, m ∈� , r > 0,
y
σ α αn r
m
n rF m, ,
( )( ) sup ( , )=
∈�
1
.
Tohda pry lgbom r ≥ 1 y n N∈ v¥polnqetsq ravenstvo
σ α αn r
q i
q
i n
r
r
q, ( )
/( ) sup ( )= −
> =
− +
−
−
∑
1 1
1 1
11 . (25)
Verxnqq hran\ v pravoj çasty (25) vsehda dostyhaetsq pry nekotorom znaçenyy
q*
. Pry πtom dlq posledovatel\nosty ′ = ′{ } =
∞
m mk k 1
yz �,
′ =
= − + = …
− +
−
= − +
−
−
∑m
k i n i q
k
k
i n
r
j
q
j n
rα α( )
/
( )
/ *
*
, ( ) , , , , ,
,
1 1
1
1 1 1
1
1
1 1 1 2
0 — pry ostal\n¥x znaçenyqx
(26)
v¥polnqetsq ravenstvo
F m qn r
i
q
i n
r
r
,
( ) *
( )
/, ( )
*
1
1
1 1
11α α′( ) = −
=
− +
−
−
∑ .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 539
Polahaq α ψk k
p= ′ , k N∈ , vydym, çto dlq naxoΩdenyq znaçenyj pravoj
çasty (22) prymenyma lemma 1, sohlasno kotoroj naxodym
e Un
p q
n p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
;Γ 1( ) ≤ sup( ) ( )
l i
l
i n
q
p
q
l
> =
− +
−
−
− ′
∑
1 1
1 11 ψ , (27)
pry πtom suwestvuet znaçenye l*
, realyzugwee verxngg hran\ pravoj çasty
πtoho sootnoßenyq. Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ ostaetsq poka-
zat\, çto velyçyna e Un
q
p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 2( ) ne men\ße pravoj çasty (27). Dlq πtoho
pokaΩem, çto vo mnoΩestve ψ ϕ
λUq,
ymeetsq πlement f
*
, dlq kotoroho
e fn
p
n p*
( )
,
;Γ 2( ) µ
= ( )*
( )
*
l
i
l
i n
q
p
q
− ′
=
− +
−
−
∑1
1
1 1ψ . (28)
S πtoj cel\g, ysxodq yz sootnoßenyq (26), polahaem
h c
k
k k=
=
∞
∑
1
ϕ ,
hde çysla ck podobran¥ tak, çto
c
k i n i l
k
k
q
i n
q
i n
q j
l
j n
q
=
′
′
= − + = …
− +
−
− +
= − +
− −
∑
ψ
λ
ψ( )
( )
( )
*
*
, ( ) , , , , ,
.
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1 1 2
0 — pry ostal\n¥x znaçenyqx
(29)
∏lement h qvlqetsq lynejnoj kombynacyej koneçnoho çysla πlementov sys-
tem¥ ϕ, poπtomu on prynadleΩyt vsem prostranstvam S p
ϕ pry lgbom p > 0, y
tak kak
h cq
q
k
k
q
k
q
,λ λ= =
=
∞
∑
1
1,
to h Uq∈ ϕ
λ,
. Poπtomu, polahaq f h
*
= �ψ
, vydym, çto f Uq
*
,∈ ϕ
λ
y f h
*
ψ = . V to
Ωe vremq (sm. (21))
e fn
p
n p*
( )
,
;Γ 2( ) µ
=
k
k
p p
k
pf k
=
∞
∑
1
ψ µψˆ ( )
*
– sup
γ γ
ψψ µ
n n nk
k
p p
k
pf k
∈ ∈
∑
Γ ( )
ˆ ( )
*2
=
=
k
k
p
k
p
k
pc
=
∞
∑
1
ψ µ – sup
γ γ
ψ µ
n n nk
k
p
k
p
k
pc
∈ ∈
∑
Γ ( )2
.
Sohlasno (29)
c
k i n i l
k
k
p
i n
p
i n
p j
l
j n
q
p
q
=
′
′
= − + = …
− +
−
− +
= − +
− −
∑
ψ
λ
ψ( )
( )
( )
*
*
, ( ) , , , , ,
.
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 2
0 — pry ostal\n¥x znaçenyqx
(30)
Sledovatel\no, uçyt¥vaq, çto mnoΩestvo γ n n⊂ Γ( )2
moΩet soderΩat\ tol\ko
odno çyslo vyda ( )i n− +1 1, i = 1, *l , poluçaem ravenstvo (28):
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
540 A. Y. STEPANEC
e fn
p
n p*
( )
,
;Γ 2( ) µ
=
=
i
l
i n
p
i n
p
i n
pc
=
− + − + − +∑
1
1 1 1 1 1 1
*
( ) ( ) ( )ψ µ – max
*
( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1 1 1
≤ ≤
− + − + − +
i l
i n
p
i n
p
i n
pcψ µ =
= ( )*
( )
*
l
i
l
i n
q
p
q
− ′
=
− +
−
−
∑1
1
1 1ψ ,
poskol\ku pry lgbom i, i = 1, *l , sohlasno (30)
ψ µ( ) ( ) ( )i n
p
i n
p
i n
pc− + − + − +1 1 1 1 1 1 =
i
l
i n
q
p
q
=
− +
−
−
∑ ′
1
1 1
*
( )ψ .
Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda q > p > 0. V πtom sluçae uslovyq (17) uΩe ne
obespeçyvagt vklgçenye (19). Takoe vklgçenye na πtot raz budut haranty-
rovat\ uslovyq
k
k
pq
q p
=
∞
−∑ ′ < ∞
1
ψ , ′ =ψ ψ µ
λk k
k
k
, k N∈ , (31)
v çem netrudno ubedyt\sq, naprymer, s pomow\g neravenstva Hel\dera. Zame-
tym, çto uslovyq (31) budut takΩe y neobxodym¥my dlq sxodymosty rassmatry-
vaem¥x zdes\ rqdov.
DokaΩem sledugwee utverΩdenye, pozvolqgwee naxodyt\ velyçyn¥
e Un
q
n
i
p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ( ) pry q > p > 0.
Teorema 2. Pust\ p y q — dejstvytel\n¥e çysla takye, çto q > p > 0;
ψ, µ y λ — posledovatel\nosty, dlq kotor¥x velyçyn¥ (17), ne vozrastaq,
stremqtsq k nulg y, krome toho, udovletvorqgt uslovyg (31). Tohda pry
lgbom n N∈ v¥polnqetsq ravenstvo
e Un
p q
n p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 1( ) = ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ˜ ( )σ σ σ1 1 21
− − −
−
− +
p
q
q
q p
p
q p
q p
q
s s s s , (32)
v kotorom
˜ ( )
( )
σ ψ1
1 1 1
s
k
s
i k n
i
pq
q
q p
q
= ′
= = − +
∞ − −
∑ ∑ , (33)
˜ ( )σ ψ2
1
s
k sn
k
pq
q p= ′
= +
∞
−∑ . (34)
Çyslo s v¥brano yz uslovyq
k s n
sn
k
pq
q p
q p
p
= − +
−
− −
∑ ′
( )1 1
ψ ≤
˜ ( )σ1
1
s
s −
<
k sn
s n
k
pq
q p
q p
p
= +
+
−
− −
∑ ′
1
1( )
ψ . (35)
Takoe çyslo s vsehda suwestvuet y edynstvenno.
Dokazatel\stvo. Ustanovym neobxodymug ocenku sverxu velyçyn¥
e Un
q
n p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 1( ) . Dlq πtoho budem pol\zovat\sq neravenstvom (22), a takΩe
sledugwym analohom lemm¥ 1.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 541
Lemma 2. Pust\ α = αk k{ } =
∞
1 — nevozrastagwaq posledovatel\nost\ po-
loΩytel\n¥x çysel, udovletvorqgwyx uslovyg (23), y, krome toho, pry dannom
r ∈( , )0 1
k
k
r
=
∞
−∑ < ∞
1
1
1α ,
a m = mk k{ } =
∞
1 — posledovatel\nost\ neotrycatel\n¥x çysel, dlq kotoroj
v¥polnqetsq uslovye (24). (V takom sluçae zapys¥vaem α ∈Ar y, kak y ran\-
ße, m ∈� .)
Pust\, dalee, pry kaΩdom n N∈
F m m mn r
k
k k
r
k
k k
r
n n n
,
( )( , )
( )
1
1 1
α α α
γ γ
= −
=
∞
∈ ∈
∑ ∑sup
Γ
, α ∈Ar , m ∈� , r ∈( , )0 1 , (36)
y
σ α αn r
m
n rF m, ,
( )( ) sup ( , )=
∈�
1
. (37)
Tohda pry lgb¥x r ∈( , )0 1 y n N∈ v¥polnqetsq ravenstvo
σ α σ σ σn r
r r
r
r
r
s s s s, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − +
− − −
−
1
1
1
1
1
2
1
1 , (38)
hde
σ σ α α1 1
1 1 1
1
1
1
1
( ) ( ; )
( )
s s
k
s
i k n
kn
r
r
r
= =
= = − +
−
− −
∑ ∑ , (39)
σ σ α α2 2
1
1
1( ) ( ; )s s
k sn
i
r= =
= +
∞
−∑ ; (39′)
çyslo s v¥brano yz uslovyq
a
s
s
ai
r
s
r−
+
−
≤
−
<
1
1
1
1
1
σ ( )
, aj =
i j n
jn
i
r
r
= − +
−
−
∑
( )1 1
1
1
1
α , j = 1, 2, … ; (40)
takoe çyslo s vsehda suwestvuet y edynstvenno.
Verxnqq hran\ v (37) realyzuetsq posledovatel\nost\g m*
, dlq kotoroj
m ak i k
r
i
r* *= −
−
−µ α
1
1
1
1
, ( )i n k in− + ≤ ≤1 1 , i = 1, 2, … , (41)
hde
µ
σ
σ
σ σ σ
i
s
i
r
s
r
i
r
s
r
r
t
a
i s
t s
s
a i s
t s
s
s
s
*
/
/
, , , , ,
( )
( )
, ,
( )
( )
( ) .
=
= …
− >
= +
−
−
−
−
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1 2
1
1
(42)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
542 A. Y. STEPANEC
Dokazatel\stvo lemm¥ 2. Qsno, çto pry sdelann¥x predpoloΩenyqx
toçnaq verxnqq hran\ v (36) vsehda dostyhaetsq dlq nekotoroho (vozmoΩno, ne
edynstvennoho) nabora ′ ∈γ n nΓ
( )1
y ravna nekotoromu çyslu S:
sup
γ γ γ
α α
n n n nk
k k
r
k
k k
rm m S
∈ ∈ ∈ ′
∑ ∑= =
Γ ( )1
.
Otmetyv πto, rqd v (36) pry dannom m ∈� predstavym v vyde
k
k k
r
i
im A m
=
∞
=
∞
∑ ∑=
1 1
α α( , ), A m mi
k i n
in
k k
r( , )
( )
α α=
= − +
∑
1 1
. (43)
Dlq ocenky sverxu velyçyn¥ A mi( , )α vospol\zuemsq sledugwym utverΩde-
nyem, kotoroe lehko sleduet yz neravenstva Hel\dera (eho dokazatel\stvo pry-
vedeno v [5], § 11.7).
UtverΩdenye 1. Esly
f x xn
k
n
n k
r( ) =
=
∑
1
α , α ∈Ar , 0 < r < 1, n N∈ ,
to
sup ( ): , , ( )*f x x x c c f xn k
k
n
k n≥ ≤ >
=
=
∑0 0
1
,
hde
x
c
k
k
r
k
k
r
* =
−
=
∞
−∑
α
α
1
1
1
1
1
.
Otsgda poluçaem takoe sledstvye.
Sledstvye 1. Pust\ µ µ= { } =
∞
k k 1, µk ≥ 0, y
Mi
j i n
in
j=
= − +
∑
( )1 1
µ , i = 1, 2, … .
Tohda
A Ai i
k i n
in
k k
r( , ) ( , )
( )
α µ α µ α µ≤ =
= − +
∑
1 1
,
hde
µ α αk i k
r
k i n
in
k
rM=
−
= − +
−
−
∑
1
1
1 1
1
1
1
( )
,
tak çto
A a Mi i i
r( , )α µ = , ai
k i n
in
k
r
r
=
= − +
−
−
∑
( )1 1
1
1
1
α , i = 1, 2, … . (44)
Rukovodstvuqs\ πtym faktom, dlq dannoho m ∈� poluçym ocenky velyçyn
A mi( , )α . Pust\
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 543
M mi
j i n
in
j=
= − +
∑
( )1 1
, i = 1, 2, … .
Esly dlq dannoho i a M Si i
r ≤ , to poloΩym M Mi i= ; esly Ωe a M Si i
r > , to
çerez Mi oboznaçym çyslo, dlq kotoroho a M Si i
r = . V takom sluçae vsehda
M Mi i≤ y, sledovatel\no,
i
i
i
i
k
kM M m m
=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑≤ = = ≤
1 1 1
1.
V to Ωe vremq
A m a Mi i i
r( , )α ≤ ,
poπtomu y
k
k k
r
i
i i
rm a M
=
∞
=
∞
∑ ∑≤
1 1
α . (45)
Rassmotrym v¥raΩenye
a M a M a M
i
i i
r
i
i i
r, sup( ) = −∑ ∑
=
∞
≥1 1
. (46)
Po postroenyg sup
i
i i
ra M ≤ S, sledovatel\no, sohlasno (36) y (45) ymeem
F m a Mn r,
( )( , ) ,1 α ≤ ( )∑
y, znaçyt,
sup ( , ) sup ,,
( )
m
n r
M
F m a M
≤ ≤
≤ ( )∑
1
1
1
α , M M
i
i=
=
∞
∑
1
. (47)
V sylu (46)
sup , sup sup ( , )
M k
k k
r
k
k k
ra M a a a r
≤ ≤ =
∞
≥
( ) = −
=∑ ∑
1 1 1 1
1
µ
µ µ
df
� . (48)
Dlq naxoΩdenyq znaçenyq �1( , )a r vospol\zuemsq sledugwym utverΩdenyem,
poluçenn¥m v [5] (§ 11.7).
Lemma 3. Pust\ pry dannom r ∈( , )0 1 α ∈Ar y m ∈� . Pust\, dalee,
F m m mn r
k
k k
r
k
k k
r
n n
, ( , )α α α
γ γ
= −
=
∞
∈
∑ ∑
1
sup ,
hde γ n — proyzvol\n¥j nabor yz n natural\n¥x çysel. Tohda
�n = �n r( , )α = sup
m
n r
r r r
r
F s s n s s
∈
− − −
−
= − +
�
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α σ σ σ1
1
1
1
1
1
2
1
, (49)
hde
σ α1
1
1
( )s
k
s
k
r=
=
−
∑ , σ α2
1
1
1( )s
k s
k
r=
= +
∞
−∑ ,
çyslo s v¥brano yz uslovyq
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
544 A. Y. STEPANEC
α σ αs
r
s
rs
s n
−
+
−
≤
−
<
1
1
1
1
( )
, s > n. (50)
Takoe çyslo s vsehda suwestvuet y edynstvenno. Verxnqq hran\ v sootnoße-
nyy (49) realyzuetsq posledovatel\nost\g m = mk k{ } =
∞
1 yz �, u kotoroj
µ
σ
σ
k
s
k
r
s
r
k
r
t
a
i s
t s
s
a k s
=
= …
− >
−
1
1
1
2
1
1
1 2
1
/
/
, , , , ,
( )
( )
, ,
(51)
t s
s
s n
ss
r
r
= +
−
−
−
σ σ σ1
1
1
1
2( )
( )
( ) .
Sopostavlqq (48) y (49), vydym, çto velyçyna �1( , )a r sovpadaet s �1( , )α r
pry α = a. Posledovatel\nost\ a udovletvorqet vsem trebovanyqm lemm¥ 3:
çysla ai ne vozrastagt y ai > 0 pry vsex i N∈ . Krome toho,
i
i
r
i j i n
j
r
i
i
ra
=
∞
−
=
∞
= − +
∞
−
=
∞
−∑ ∑ ∑ ∑= = < ∞
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
( )
α α .
Prymenqq lemmu 3, naxodym
�1( ; )a r = σ σ σ1
1
1
1
1
2
1
1− − −
−
− +
r r
r
r
r
s s s s( ) ( ) ( ) ( ) , (52)
hde çyslo s v¥brano yz uslovyq (40), a velyçyn¥ σ1( )s y σ2( )s opredelen¥
sootnoßenyqmy (39) y (39′ ). Pry πtom toçnaq verxnqq hran\ v (48) realyzuetsq
posledovatel\nost\g µ*
, dlq kotoroj
µ
σ
σ
σ σ σ
k
s
k
r
s
r
k
r
s
r
r
t
a
k s
t s
s
a k s
t s
s
s
s
*
/
/
, , , , ,
( )
( )
, ,
( )
( )
( ) .
=
= …
− >
= +
−
−
−
−
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1 2
1
1
(53)
Obæedynqq sootnoßenyq (38) y (48) – (52), poluçaem
σ α σ σ σn r
r r
r
r
r
s s s s, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )≤ − +
− −
−
−
−
1
1
1
1
1
2
1
1 , (54)
y dlq zaverßenyq dokazatel\stva lemm¥ ostaetsq pokazat\, çto velyçyna
F mn r,
( ) *( , )1 α ravna pravoj çasty (54) y m* ∈� .
Sohlasno (36) y (43)
F mn r,
( ) *( , )1 α =
i
i
i
iA m A m
=
∞
∑ −
1
( , ) sup ( , )* *α α
y v sylu (41)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 545
A m a
t i s
t s
s
a i si i i
r
s
s
r r
i
r( , )
, , , , ,
( )
( )
, .
* * /α µ σ
σ
= =
= …
−
>
−
1 2
1 1
1
2
1
1 (55)
Posledovatel\nost\ µ*
qvlqetsq πkstremal\noj v lemme 3 (pry n = 1 y α =
= a ) y, kak pokazano pry dokazatel\stve πtoj lemm¥ v [5] (§ 11.7), ymeet to
svojstvo, çto çysla ai i
rµ*
ne vozrastagt. Poπtomu yz (54) y (55) zaklgçaem,
çto
F mn r,
( ) *( , )1 α =
i
iA m
=
∞
∑
2
( , )*α =
i
s
iA m
=
∑
2
( , )*α +
i s
iA m
= +
∞
∑
1
( , )*α =
= ( )s ts− 1 + 1 1
1 2
1−( ) ( ) −t s ss
r r r/ ( ) ( )σ σ .
Podstavlqq sgda znaçenye ts , ubeΩdaemsq v spravedlyvosty trebuemoho raven-
stva. Tot fakt, çto m
* ∈� , proverqetsq neposredstvenno: m* ≥ 0 y sohlas-
noB(41)
m m
i k i n
in
k
i
i
*
( )
* *= = =
=
∞
= − + =
∞
∑ ∑ ∑
1 1 1 1
1µ .
Lemma 2 dokazana.
ProdolΩym dokazatel\stvo teorem¥. Polahaq α ψk k
p= ′ , k N∈ , zameça-
em, çto dlq naxoΩdenyq znaçenyj pravoj çasty (22) v rassmatryvaemom sluçae
prymenyma lemma 2, v sylu kotoroj
e U s s s sn
q
n p
q
q
q p
p
q p
q p
q p
ψ σ σ σϕ
λ
µ
, ( )
,
; ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ˜ ( )Γ 1
1
1
1 21( ) ≤ − +
−
− −
−
, (56)
hde velyçyn¥ ˜ ( )σ1 ⋅ , ˜ ( )σ2 ⋅ y çyslo s opredelqgtsq sootnoßenyqmy (32) – (35).
Teper\ dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ sleduet pokazat\, çto v sootno-
ßenyy (56) strohoho neravenstva b¥t\ ne moΩet. Ponqtno, çto dlq πtoho dosta-
toçno pokazat\, çto dlq lgboho ε > 0 vo mnoΩestve ψ ϕ
λUq,
est\ πlement fε
,
dlq kotoroho znaçenye e fn n pε µ
; ( )
,
Γ 1( ) otlyçaetsq ot pravoj çasty (56) ne bol\-
ße, çem na ε.
V¥berem çyslo s yz uslovyq (35). Poskol\ku ˜ ( )σ s = σ ψ1 ′( )p
s; , hde
σ ψ1 ′( )p
s; — velyçyna yz (39) pry αk = ′ψk
p
, sohlasno lemme 2 takoe çyslo
vsehda suwestvuet y edynstvenno.
Pry v¥brannom s najdem znaçenye t̃s sohlasno formule
t̃s = ˜ ( )
˜ ( ) ˜ ( )σ σ σ1
1
21
s
s
s
s
q
q p
p
q
+
−
−
−
, (57)
hde ˜ ( )σ2 s = σ ψ2 ′( )p
s; , y poloΩym
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
546 A. Y. STEPANEC
˜
˜
˜
, , , , ,
˜ ˜ ( )
˜ ( )
˜ , ,
/
/
µ
σ
σ
i
s
k
q p
s
q p
i
q
q p
t
a
i s
t s
s
a i s
=
= …
− >
−
1 2
1 1
2
(58)
hde
ãi =
k i n
in
k
pq
q p
q p
q
= − +
−
−
∑ ′
( )1 1
ψ ;
˜ ˜ ˜m ak i k
q p
q p
i
q
q p= ′ − − −µ ψ , ( )i n k in− + ≤ ≤1 1 , i = 1, 2, … . (59)
Pry kaΩd¥x k N0 ∈ y n N∈ rassmotrym πlement
h ck
k
k n
k k0
0
1
=
=
∑ ϕ , (60)
u kotoroho
c
m
k
k
q
=
˜
1
λ
. (61)
∏lement hk0
, qvlqqs\ lynejnoj kombynacyej koneçnoho çysla πlementov
ϕk , prynadleΩyt vsem prostranstvam S p
ϕ
µ,
y Sq
ϕ
λ,
pry lgb¥x znaçenyqx
p > 0 y q > 0, y tak kak
h c mk q
q
k
k
k
q
k
q
k
k
k0
0 0
1 1
1
,
˜
λ
λ= = ≤
= =
∑ ∑ ,
to h Uk
q
0
∈ ϕ
λ,
. Sledovatel\no, polahaq f hk k0 0
= �ψ
, vydym, çto f Uk
q
0
∈ψ ϕ
λ,
y
fk0
1ψ ≤ .
Sçytaq çyslo k0 dostatoçno bol\ßym y yspol\zuq formulu (21), najdem
znaçenye e fn
p
k n p0
1; ( )
,
Γ( ) µ
. S uçetom sootnoßenyj (57) – (61) ymeem
e fn
p
k n p0
1; ( )
,
Γ( ) µ
= fk p
p
0 ,µ
– sup
γ γ
µ
n n nk
k
p
k
pf k
∈ ∈
∑
Γ ( )
ˆ ( )
1 0
=
=
k
k
p
k
p
k
pf k
=
∞
∑
1
0
ψ µψˆ ( ) – sup
γ γ
ψψ µ
n n nk
k
p
k
p
k
pf k
∈ ∈
∑
Γ ( )
ˆ ( )
1 0
=
=
k
k n
k
p
k
p
qm
=
∑ ′
1
0
ψ ˜ – sup
γ γ
ψ
n n nk
k
p
k
p
qm
∈ ∈
∑ ′
Γ ( )
˜
1
=
=
i
k
k i n
in
k
p
k
p
qm
= = − +
∑ ∑ ′
1 1 1
0
( )
˜ψ – sup
i k j i n
in
k
p
k
p
qm
≤ = − +
∑ ′
0 1 1( )
˜ψ . (62)
Polahaq
˜ ˜
( )
A mi
k i n
in
k
p
k
p
q= ′
= − +
∑
1 1
ψ , (63)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 547
s uçetom formul (57) – (59) naxodym
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
( )
A a ai i
p
q
i
p
q p
k i n
in
k
pq
q p i
p
q
i= ′ =
−
−
= − +
−∑µ ψ µ
1 1
, i = 1, 2, … , k0 .
Poπtomu
˜
˜ , , , , ,
˜ ˜ ( )
˜ ( )
˜ , , , .
/A
t i s
t s
s
a i s k
i
s
s
q p
p
q
i
q
q p=
= …
−
= + …
−
1 2
1
11
2
0
σ
σ
(64)
Obæedynqq sootnoßenyq (61) – (64), ymeem
e f a an
p
k n p
i
k
i i
p
q
i k
i i
p
q
0
0
0
1
1
; ˜ ˜ ˜ ˜( )
,
Γ( ) = −
= ≤
∑µ
µ µsup .
Esly v formulax (57) – (59) poloΩyt\ ′ =ψ αk
p
k y
p
q
r= , to poluçym ã ai i= ,
t̃ ts s= y, sledovatel\no, ˜ *µ µ= i , hde velyçyn¥ ai , ts y µi
*
opredelqgtsq ra-
venstvamy (40) y (53).
Çysla ai
rµ*
, kak uΩe otmeçalos\, ne vozrastagt. Sledovatel\no,
e fn
p
k n0
1; ( )Γ( ) =
i
k
i i
p
qa
=
∑
2
0
˜ µ̃ = ( ) ˜
˜ ˜ ( )
˜ ( )
˜s t
t s
s
a Rs
s
q
p
p
q
i s
i
q
q p
k− + −
−
= +
∞ −∑1
1 1
2 1
0
σ
σ
,
hde
R
t s
s
ak
s
q
p
p
q
i k
i
q
q p
0
0
1 1
2 1
= −
= +
∞ −∑
˜ ˜ ( )
˜ ( )
˜σ
σ
.
No
i s
i
q
q p
i i k i n
in
k
pq
q p
k sn
k
pq
q pa s
= +
∞ −
= +
∞
= − +
−
=
∞
−∑ ∑ ∑ ∑= ′ = ′ =
1 1 1 1
2˜ ˜ ( )
( )
ψ ψ σ
y, znaçyt,
k k
i
q
q pa k
= +
∞
−∑ =
0 1
2 0˜ ˜ ( )σ .
Takym obrazom,
e fn
p
k n p0
1; ( )
,
Γ( ) µ
= ( ) ˜ ˜ ˜ ( ) ˜s t t s Rs s
q
p
p
q
k− + −
−
−
1 1 2 2
1
0
σ σ , (65)
pry πtom Rk0
ymeet vyd
Rk0
=
1 1
2
2 0
−
˜ ˜ ( )
˜ ( )
˜ ( )
t s
s
ks
q
p
p
qσ
σ
σ .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
548 A. Y. STEPANEC
Podstavlqq v (65) znaçenyq t̃s yz (57) y zameçaq, çto v sylu (31) y (34) velyçyna
˜ ( )σ2 0k qvlqetsq ostatkom sxodqwehosq rqda, pryxodym k v¥vodu, çto dlq lg-
boho ε > 0 vo mnoΩestve ψ ϕ
λUq,
dejstvytel\no ymeetsq πlement fε , dlq ko-
toroho v¥polnqetsq ravenstvo
e f s s s sn
p
n p
p
q
q
q p
p
q p
q p
q
ε µ
σ σ σ ε; ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ˜ ( )( )
,
Γ 1
1 1 21( ) = − +
−
− − −
−
.
Rassmotrym vopros ob analohe teorem¥ 2 dlq velyçyn¥ e Un
q
n p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 2( ) .
PreΩde vseho zametym, çto v sylu sootnoßenyj (16) y (32) pry v¥polnenyy
uslovyj teorem¥ 2 ymeet mesto neravenstvo
e U s s s sn
q
n p
q
q
q p
q
q p
q p
qp
ψ σ σ σϕ
λ
µ
, ( )
,
; ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ˜ ( )Γ 2
1
1
1 21( ) ≤ − +
− − −
−
. (66)
Esly teper\ pokazat\, çto dlq lgboho ε > 0 vo mnoΩestve ψ ϕ
λUq,
najdetsq
πlement fε , dlq kotoroho znaçenye e fn n pε µ
; ( )
,
Γ 2( ) otlyçaetsq ot pravoj çasty
(66) ne bol\ße, çem na ε, to πto budet oznaçat\, çto sootnoßenye (66) qvlqetsq
ravenstvom.
Qsno, çto takoj πlement fε udastsq skonstruyrovat\ podobno tomu, kak πto
delalos\ pry zaverßenyy dokazatel\stva teorem¥ 2, po krajnej mere vsqkyj
raz, kohda πkstremal\naq posledovatel\nost\ m*
, opredelqemaq sootnoßeny-
em (41), budet realyzov¥vat\ verxngg hran\ ne tol\ko v sootnoßenyy (37), no y
v sootnoßenyy
σ α αn r
m
n rF m, ,
( )( ) ( , )=
∈
sup
�
2
,
hde
F m m mn r
k
k k
r
k
k k
r
n n n
,
( )( , )
( )
2
1 2
α α α
γ γ
= −
=
∞
∈ ∈
∑ ∑sup
Γ
, α ∈Ar , m ∈� , r ∈( , )0 1 ,
pryçem v tom sluçae, kohda
sup
m
n r n r n rF m F m F m
∈
= =
�
,
( )
,
( ) *
,
( ) *( , ) ( , ) ( , )2 2 1α α α .
Poslednee Ωe ravenstvo vozmoΩno tohda y tol\ko tohda, kohda
e m m mn
k k k
k n
k k
r
k
k k
r
k
n
k k
r
n n n
= = =
′≥ = ′
′ + −
∈ ∈ =
∑ ∑ ∑sup sup
1
1
11
α α α
γ γ
* * *
( )Γ
. (67)
Dlq ustanovlenyq uslovyj spravedlyvosty ravenstva (67) dokaΩem sledug-
wee utverΩdenye.
Lemma 4. Pry v¥polnenyy predpoloΩenyj teorem¥ 2 dostatoçn¥m uslovy-
em spravedlyvosty ravenstv (67) qvlqetsq v¥polnenye neravenstv
k i n
in
k k
r
k k
k n
k k
rm m
i
i
= − + =
+ −
∑ ∑≥
( )
* *
1 1
1
α α , ( )i n k ini− ≤ ≤ +1 1, (68)
pry vsex natural\n¥x znaçenyqx i.
V¥polnenye neravenstv (68) pry vsex i ≤ s qvlqetsq takΩe y neobxodym¥m
uslovyem dlq spravedlyvosty ravenstv (67).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 549
Dokazatel\stvo. Qsno, çto vsehda
sup
γ γ
α α
n n nk
k k
r
k
n
k k
rm m
∈ ∈ =
∑ ∑≥
Γ ( )
* *
2
1
,
a yz uslovyj (68), esly ony v¥polnqgtsq pry vsex i N∈ , sleduet, çto v πtom
sootnoßenyy strohoho neravenstva b¥t\ ne moΩet. ∏tym dostatoçnaq çast\
utverΩdenyq ustanovlena.
V to Ωe vremq sohlasno (41)
k i n
in
k k
r
i
r
i
r
r
i
r
i i
r
sm a a a t
= − +
−
− −∑ = ⋅ = =
( )
* * *
1 1
1
1
1α µ µ , i = 1, 2, … , s. (69)
Poπtomu esly b¥ pry nekotorom i, i ≤ s, uslovye (68) ne v¥polnqlos\, to
ymelo b¥ mesto neravenstvo e tn s> , çto vsledstvye (69) protyvoreçylo b¥
ravenstvu (67).
Teper\ najdem dostatoçn¥e uslovyq na posledovatel\nosty α ∈Ar , pry ko-
tor¥x v¥polnqetsq (68) dlq vsex i N∈ . Ymeem
Ri( )α =
k i n
in
k k
r
k k
k n
k k
rm m
i
i
= − + =
+ −
∑ ∑
( )
* *–
1 1
1
α α =
k i n
k
k k
r
k in
k n
k k
r
i i
m m
= − +
−
= +
+ −
∑ ∑
( )
* *–
1 1
1
1
1
α α .
(70)
Pust\ snaçala i < s. V takom sluçae sohlasno (41)
α αk k
r
k
r
s i
rm t a* = −
−
−
1
1
1
1
, k i n ki∈ − +[ ]( ) ,1 1 ,
y
α αk k
r
k
r
s i
rm t a* = −
+
−
−
1
1
1
1
1
, k in k ni∈ + + −[ ]1 1, .
Sledovatel\no, s uçetom (40)
Ri( )α = t a as i
r
k i n
k
k
r
i
r
k in
k n
k
r
i i−
−
= − +
−
−
+
−
−
= +
+ −
−∑ ∑−
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
( )
α α =
= t a
a
as i
r
k in
k n
k
r
k in
k n
k
r
k i n
k
k
r i
i
ri i i−
−
= +
+ −
−
= +
+ −
−
−
= − +
−
−
+
−
∑ ∑ ∑
−
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
α α α
( )
.
Dlq sokrawenyq zapysy poloΩym αk
r
1
1− = xk y
k in
k n
k
k i n
k
k i n i
i i
x x f k
= +
+ − −
= − +
−
∑ ∑
=
1
1 1
1 1
1
( )
, ( ) .
Tohda sohlasno (40)
a
a
f ini
i
r
i n
+
−
= +
1
1
1
1, ( )
y, znaçyt,
R t a x f k f ini s i
r
k in
k n
k i n i i n
i
( ) ( ) ( ), ,α = − +( )
−
−
= +
+ −
∑
1
1
1
1
1 .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
550 A. Y. STEPANEC
Otsgda vydym, çto neravenstvo Ri( )α ≥ 0 pry i < s πkvyvalentno neraven-
stvu
f in f ki n i n i, ,( ) ( )+ ≤1 , k i n ini ∈ −( ) +[ ]1 1, . (71)
Pust\ teper\ i > s. Polahaq
ν σ
σs
s
rt s
s
= −1
1
1
2
˜ ( )
˜ ( )
,
sohlasno (41) ymeem
α ν αk k
r
s
r
k
rm* = −
1
1
, k > s. (72)
Poπtomu sohlasno (70)
Ri s
r
k i n
k
k
r
k in
k n
k
r
i i
( )
( )
α ν α α= −
= − +
−
−
= +
+ −
−∑ ∑
1 1
1 1
1
1
1 1
1
.
Poskol\ku α ∈Ar , çysla αk ne vozrastagt. Znaçyt,
Ri( )α ≥ 0, i > s.
Pust\, nakonec, i = s. Tohda v sylu (41)
α αk k
r
k
r
s s
rm t a* = −
−
−
1
1
1
1
, k s n ks∈ −( ) +[ ]1 1, ,
y sohlasno (72)
α ν αk k
r
s
r
k
rm* = −
1
1
, k sn k ns∈ + +[ ]1, .
Poπtomu
Ri( )α = t as s
r
k s n
k
k
r
s−
−
= − +
−
−∑
1
1
1 1
1 1
1
( )
α – ν αs
r
k sn
k n
k
r
s
= +
+ −
−∑
1
1 1
1 =
= t a x x x
t
as s
r
k sn
k n
k
k sn
k n
k
k s n
k
k
s
r
s
s
r
s s s−
−
= +
+ −
= +
+ − −
= − +
−
−∑ ∑ ∑
−
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1
( )
ν
.
Vydym, çto neravenstvo Rs( )α ≥ 0 πkvyvalentno sootnoßenyg
f k
t
a
s
s
as n s
s
r
s
s
r r
s
r
, ( )
˜ ( )≥ =
−
− − −ν σ
1
1 1
1
1
1
1
1
. (73)
Rezgmyruem dokazannoe v vyde sledugweho utverΩdenyq.
Teorema 3. Pry v¥polnenyy predpoloΩenyj teorem¥ 2 neobxodym¥m y do-
statoçn¥m uslovyem spravedlyvosty neravenstv (68) pry vsex i N∈ qvlqet-
sq v¥polnenye neravenstv (71) pry vsex i = 1, 2, … , s – 1 y neravenstva (73)
pry i = s.
Esly neravenstva (71) y (73) v¥polnqgtsq, to spravedlyvo ravenstvo
e U s s s sn
q
n p
q
q
q p
q
q p
q p
qp
ψ σ σ σϕ
λ
µ
, ( )
,
; ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ˜ ( )Γ 2
1
1
1 21( ) = − +
−
− −
−
. (74)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 551
Otmetym neskol\ko prostejßyx sluçaev, kohda v¥polnqgtsq uslovyq (71)
pry i < s y neravenstvo (73). S πtoj cel\g zametym, çto v sylu (40)
˜ ( )σ1 1
1
1
1
1
s
s
a
r
r
s
r
−
<−
+
−
−
.
Poπtomu sootnoßenye (73) sleduet yz neravenstva
f k
a
a
f sns n s
s
s
r
s n, ,( ) ( )≥
= +
+
−
1
1
1
1 .
Takym obrazom, dostatoçn¥m uslovyem dlq spravedlyvosty (74) qvlqetsq v¥-
polnenye neravenstv (71) pry vsex i ≤ s, kotor¥e zavedomo budut ymet\ mesto v
tom sluçae, kohda çysla f ki n i, ( ) na promeΩutkax ( ) ,i n in− +[ ]1 1 , i = 1, 2, … , s,
ne vozrastagt.
Polahaq
σ1
1 1
1
=
= − +
−
∑
k i n
k
k
i
x
( )
, σ2
1 1
1
=
= − +
−
+∑
k i n
k
k n
i
x
( )
,
ymeem
f k f k
x
x
x x
x
i n i i n i
k
k n
k n k
k n
i
i
i i
i
, ,( ) ( )− + = −
+
+
=
−
+( )+
+
+
1 1
2
1
2
1 2
2 2
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
.
Znak πtoj raznosty sovpadaet so znakom velyçyn¥
r x x x x x xi k n k
k i n
k
k k n k n ki i
i
i i
= − = −( )+
= − +
−
+ +∑σ σ1 2
1 1
1
( )
,
poπtomu otsgda zaklgçaem, çto çysla f ki n i, ( ) na ukazann¥x promeΩutkax dej-
stvytel\no ne vozrastagt, esly budut v¥polnqt\sq neravenstva
x x x xk k n k n ki i+ +− ≥ 0, k = 1, 2, … , ki – 1, k i n ini ∈ − +[ ]( ) ,1 1 , i s= 1, .
(75)
Teper\ dokaΩem sledugwee utverΩdenye.
Lemma 5. Pust\ ′� — mnoΩestvo v¥pukl¥x vnyz pry vsex t ≥ 1 funkcyj
ϕ( )⋅ , dlq kotor¥x
lim ( )
t
t
→∞
=ϕ 0 , (76)
y, krome toho, takyx, çto funkcyq
ξ ϕ
ϕ
( )
( )
( )
t
t
t
= − ′
, ϕ ϕ( ) ( )t t= = ′ +df
0 , (77)
na mnoΩestve t ≥ 1 ne vozrastaet. Tohda pry lgb¥x natural\n¥x n > 1 y
i ≥ 1 v¥polnqgtsq sootnoßenyq
∆k i i ik k n k n k, ( ) ( ) ( ) ( )= + − + ≥ϕ ϕ ϕ ϕ 0, (78)
k = 1, 2, … , ki – 1, k i n ini ∈ − +[ ]( ) ,1 1 .
Dokazatel\stvo. Ymeem
d
dt
t tln ( ) ( )ϕ ξ= − .
Otsgda
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
552 A. Y. STEPANEC
ϕ ξ τ( ) exp ( )t t d C
t
= − +
∫
1
, C = ln ( )ϕ 1 .
Sledovatel\no,
∆k i, = exp ( )− +
+
∫ ∫
+
1 1
k k ni
t dt Cξ – exp ( )− +
+
+
∫ ∫
1 1
k n ki
t dt Cξ ,
y tohda neravenstvo ∆k i, ≥ 0 budet πkvyvalentno sootnoßenyg
1 1
k k ni
t dt∫ ∫+
+
ξ( ) ≤
1 1
k n ki
t dt
+
∫ ∫+
ξ( ) ,
yly sootnoßenyg
− + ≤∫ ∫
+
+
k
k
k n
k ni i
t dt t dtξ ξ( ) ( ) 0 , (79)
kotoroe v¥polnqetsq dlq lgboj nevozrastagwej funkcyy ξ( )t , otkuda y sle-
duet utverΩdenye lemm¥.
Budem hovoryt\, çto posledovatel\nost\ ϕ = ϕk k{ } =
∞
1 prynadleΩyt mnoΩe-
stvu ′� , esly suwestvuet v ′� funkcyq ϕ = ϕ( )t takaq, çto ϕ( )k = ϕk pry
vsex k N∈ . V takom sluçae yz lemm¥ 5 zaklgçaem, çto esly posledovatel\-
nost\ ϕ = αk
r
k
1
1
1
−
=
∞
prynadleΩyt ′� , to sootnoßenyq (75) v¥polnqgtsq.
Teper\ zametym, çto posledovatel\nosty α = αk k{ } =
∞
1 y αs = αk
s
k{ } =
∞
1
pry
lgbom s > 0 prynadleΩat ′� odnovremenno. Dejstvytel\no, pust\ funkcyq
α = α( )t takaq, çto α( )k = αk , k N∈ , y ϕ( )t = αs t( ) . Tohda
′
=
′ϕ
ϕ
α
α
( )
( )
( )
( )
t
t
s t
t
y, sledovatel\no, funkcyy
′ϕ
ϕ
( )
( )
t
t
y
′α
α
( )
( )
t
t
ne vozrastagt odnovremenno. Otsg-
da zaklgçaem, çto sootnoßenyq (75) budut v¥polnenn¥my dlq lgboj α ∈ ′� .
Takym obrazom, na osnovanyy teorem¥ 3 poluçaem sledugwee utverΩdenye.
Teorema 3′′′′. Pust\ p y q — dejstvytel\n¥e çysla takye, çto q > p > 0;
ψ, µ y λ — posledovatel\nosty, dlq kotor¥x velyçyn¥
ν ψ ψ µ
λk k
k k
k
= ′ = , k = 1, 2, … ,
ne vozrastaq, stremqtsq k nulg,
k
k
pq
q p
=
∞
−∑ < ∞
1
ν ,
y posledovatel\nost\ ν = νk{ }∞1 prynadleΩyt ′� . Tohda pry lgbom natu-
ral\nom n v¥polnqetsq ravenstvo (74).
Po sravnenyg s teoremoj 2 πta teorema ymeet dopolnytel\noe uslovye:
ν ∈ ′� . Otpravlqqs\ ot opredelenyq, zaklgçaem, çto mnoΩestvu ′� prynad-
leΩat funkcyy ϕ( )t = t s− , t ≥ 1, pry lgbom s > 0, ϕ( )t = t t es r− +ln ( ) , t ≥ 1,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
NAYLUÇÍYE n-ÇLENNÁE PRYBLYÛENYQ S OHRANYÇENYQMY 553
pry lgb¥x dejstvytel\n¥x r y lgb¥x s > 0. Funkcyq ϕr t( ) = exp −( )αtr , t ≥
≥ 1, prynadleΩyt ′� pry lgb¥x α > 0 y r ∈( ]0 1, y ne prynadleΩat ′� ,
esly r > 1, poskol\ku
′ϕ
ϕ
r
r
t
t
( )
( )
= − −αrtr 1
.
Takym obrazom, esly, k prymeru,
νk
s rk t e= +− ln ( ), k N∈ , s > 0, r R∈ 1
,
yly Ωe
ν αk
rk= −( )exp , k N∈ , α > 0, r ∈( ]0 1, ,
to ravenstvo (74) sohlasno teoreme 3′ v¥polnqetsq.
Uslovye prynadleΩnosty posledovatel\nosty νk mnoΩestvu ′� , qvlqqs\
dostatoçn¥m dlq v¥polnenyq neravenstv (71), a sledovatel\no, y dlq harantyy
ravenstva (74), qvlqetsq takΩe v sledugwem sm¥sle y neobxodym¥m.
Pust\ ′′� — mnoΩestvo v¥pukl¥x vnyz pry vsex t ≥ 1 funkcyj ϕ( )t ,
udovletvorqgwyx uslovyg (76), dlq kotor¥x funkcyq ξ( )t , opredelqemaq
formuloj (77), stroho vozrastaet. Esly ϕ ∈ ′′� , to dlq nee znak v sootnoße-
nyy (79), a sledovatel\no, y v (78) pomenqetsq na protyvopoloΩn¥j. Poπtomu
esly α ∈ ′′� , to vmesto sootnoßenyq (71) budet neravenstvo
f in f ki n i n i, ,( ) ( )+ >1 , k i n ini ∈ − +[ ]( ) ,1 1 , i = 1, 2, … , s – 1,
çto, v svog oçered\, pryvedet k nev¥polnenyg neravenstva (68) po krajnej mere
dlq sluçaq, kohda i = 1 y k1 = 2, a znaçyt, y k narußenyg ravenstva (67).
Zametym, çto funkcyq ϕr t( ) pry r > 1 kak raz y prynadleΩyt ϕ ∈ ′′� . Vpro-
çem, πto ewe ne oznaçaet, çto esly ν ϕ∈ ∈ ′′� , to ravenstvo (74) ne v¥polnq-
etsq. Vopros o v¥qsnenyy uslovyj, obespeçyvagwyx ravenstvo (74), y tem bolee
o naxoΩdenyy znaçenyj velyçyn¥ e Un
q
n p
ψ ϕ
λ
µ
, ( )
,
; Γ 2( ) v obwem sluçae ostaetsq
otkr¥t¥m.
1. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e xarakterystyky prostranstv S p
ϕ . – Kyev, 2001. – 85 s.
– Preprynt / NAN Ukrayn¥. Yn-t matematyky; 2001.2).
2. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e xarakterystyky prostranstv S p
ϕ // Ukr. mat. Ωurn. –
2001. – 53, # 3. – S. 392 – 416.
3. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e xarakterystyky prostranstv S p
ϕ v razn¥x metrykax
// Tam Ωe. – # 8. – S. 1121 – 1146.
4. Stepanec A. Y., Serdgk A. S. Prqm¥e y obratn¥e teorem¥ teoryy pryblyΩenyj funkcyj
v prostranstve S p
// Tam Ωe. – 2002. – 54, # 1. – S. 106 – 124.
5. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: V 2 ç. // Tr. Yn-ta matematyky NAN Ukray-
n¥. – 2002. – 40. – Ç. II. – 468 s.
6. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e xarakterystyky prostranstv S p
// Teoriq nablyΩen\
ta harmonijnyj analiz: Pr. Ukr. mat. konhresu-2001. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]ny,
2002. – S. 208 – 226.
7. Stepanec A. Y., Rukasov V. Y. Prostranstva S p
s nesymmetryçnoj metrykoj // Ukr. mat.
Ωurn. – 2003. – 55, # 2. – S. 264 – 277.
8. Stepanec A. Y., Rukasov V. Y. Nayluçßye „sploßn¥e” n-çlenn¥e pryblyΩenyq v pro-
stranstvax S p
ϕ // Tam Ωe. – # 5. – S. 663 – 670.
9. Stepanec A. Y. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyj v lynejn¥x prostranstvax //
Tam Ωe. – # 10. – S. 1392 – 1423.
10. Stepanec A. Y. Nayluçßye pryblyΩenyq q-πllypsoydov v prostranstvax S p
ϕ
µ,
// Tam Ωe.
– 2004. – 56, # 10. – S. 1378 – 1383.
Poluçeno 21.01.2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|