О кратности непрерывных отображений областей

Доведено, що або власне відображення області n-вимірного многовиду на область іншого n-вимірного многовиду степеня k буде внутрішнім відображенням, або існує точка в образі, яка має не менше ніж |k|+2 прообрази. Якщо ж обмеження f на внутрішність області є нульвимірним відображенням, то у другому ви...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Зелинский, Ю.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165701
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О кратности непрерывных отображений областей / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 554–558. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165701
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1657012020-02-16T01:26:18Z О кратности непрерывных отображений областей Зелинский, Ю.Б. Короткі повідомлення Доведено, що або власне відображення області n-вимірного многовиду на область іншого n-вимірного многовиду степеня k буде внутрішнім відображенням, або існує точка в образі, яка має не менше ніж \|k\|+2 прообрази. Якщо ж обмеження f на внутрішність області є нульвимірним відображенням, то у другому випадку множина точок образу, що мають не менше ніж \|k\|+2 прообрази, містить підмножину повної розмірності n. Крім цього, побудовано приклад відображення двовимірної області, гомеоморфного на межі, нульвимірного, що має нескінченну кратність і обмеження якого на досить велику частину множини розгалуження є гомеоморфізмом. We prove that either the proper mapping of a domain of an n-dimensional manifold onto a domain of another n-dimensional manifold of degree k is an interior mapping or there exists a point in the image that has at least \|k\|+2 preimages. If the restriction of f to the interior of the domain is a zero-dimensional mapping, then, in the second case, the set of points of the image that have at least \|k\|+2 preimages contains a subset of total dimension n. In addition, we construct an example of a mapping of a two-dimensional domain that is homeomorphic at the boundary and zero-dimensional, has infinite multiplicity, and is such that its restriction to a sufficiently large part of the branch set is a homeomorphism. 2005 Article О кратности непрерывных отображений областей / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 554–558. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165701 513.835 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Зелинский, Ю.Б. О кратности непрерывных отображений областей Український математичний журнал
description	Доведено, що або власне відображення області n-вимірного многовиду на область іншого n-вимірного многовиду степеня k буде внутрішнім відображенням, або існує точка в образі, яка має не менше ніж \|k\|+2 прообрази. Якщо ж обмеження f на внутрішність області є нульвимірним відображенням, то у другому випадку множина точок образу, що мають не менше ніж \|k\|+2 прообрази, містить підмножину повної розмірності n. Крім цього, побудовано приклад відображення двовимірної області, гомеоморфного на межі, нульвимірного, що має нескінченну кратність і обмеження якого на досить велику частину множини розгалуження є гомеоморфізмом.
format	Article
author	Зелинский, Ю.Б.
author_facet	Зелинский, Ю.Б.
author_sort	Зелинский, Ю.Б.
title	О кратности непрерывных отображений областей
title_short	О кратности непрерывных отображений областей
title_full	О кратности непрерывных отображений областей
title_fullStr	О кратности непрерывных отображений областей
title_full_unstemmed	О кратности непрерывных отображений областей
title_sort	о кратности непрерывных отображений областей
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165701
citation_txt	О кратности непрерывных отображений областей / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 554–558. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT zelinskijûb okratnostinepreryvnyhotobraženijoblastej
first_indexed	2025-07-14T19:34:52Z
last_indexed	2025-07-14T19:34:52Z
_version_	1837652194127511552
fulltext	K�O�R�O�T�K�I��P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q UDK 513.835 G.�B.�Zelynskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) O KRATNOSTY NEPRERÁVNÁX OTOBRAÛENYJ OBLASTEJ We prove that either the proper mapping of a domain of n-dimensional manifold onto a domain of another n-dimensional manifold of degree k should be the interior mapping or a point in the image exists that possesses not less than \| k \| + 2 original preimages. If the restrictions f on the interior of domain is the zero-dimensional mapping, than in the second case mentioned above, a set of points of image possessing not less than \| k \| + 2 original preimages contains a subset of complete dimensionality n. In addition, we construct an example of the mapping of two-dimensional domain such that this mapping is gomeomoprphic on a boundary, zero-dimensional, of infinite multiplicity, and whose restrictions on sufficiently large part of the branch set is a gomeomorphism. Dovedeno, wo abo vlasne vidobraΩennq oblasti n -vymirnoho mnohovydu na oblast\ inßoho n -vy- mirnoho mnohovydu stepenq k bude vnutrißnim vidobraΩennqm, abo isnu[ toçka v obrazi, qka ma[ ne,menße niΩ \| k \| + 2 proobrazy. Qkwo Ω obmeΩennq f na vnutrißnist\ oblasti [ nul\vy- mirnym vidobraΩennqm, to u druhomu vypadku mnoΩyna toçok obrazu, wo magt\ ne,menße niΩ \| k \| + 2 proobrazy, mistyt\ pidmnoΩynu povno] rozmirnosti n . Krim c\oho, pobudovano pryklad vidobraΩennq dvovymirno] oblasti, homeomorfnoho na me- Ωi, nul\vymirnoho, wo ma[ neskinçennu kratnist\ i obmeΩennq qkoho na dosyt\ velyku çastynu mnoΩyny rozhaluΩennq [ homeomorfizmom. V rabote [1] ustanovleno, çto yly neprer¥vnoe otobraΩenye zamknutoj oblasty na n -mernom mnohoobrazyy, kotoroe na hranyce oblasty ymeet neçetnug ste- pen\ otobraΩenyq, qvlqetsq homeomorfyzmom, yly suwestvuet toçka v obraze oblasty, proobraz kotoroj soderΩyt ne,menee trex toçek. Esly ohranyçenye f na vnutrennost\ oblasty — nul\mernoe otobraΩenye, to vo vtorom sluçae mno- Ωestvo toçek obraza, ymegwyx ne,menee trex proobrazov, soderΩyt podmno- Ωestvo polnoj razmernosty n . V nastoqwej rabote pokazano, çto yly sobstvennoe otobraΩenye oblasty n - mernoho mnohoobrazyq na oblast\ druhoho n -mernoho mnohoobrazyq stepeny k qvlqetsq vnutrennym otobraΩenyem, yly suwestvuet toçka v obraze, ymegwaq ne,men\ße çem \| k \| + 2 proobraza. Esly Ωe ohranyçenye f na vnutrennost\ ob- lasty — nul\mernoe otobraΩenye, to vo vtorom sluçae mnoΩestvo toçek ob- raza, ymegwyx ne,menee çem \| k \| + 2 proobraza, soderΩyt podmnoΩestvo polnoj razmernosty n . Krome toho, postroen prymer otobraΩenyq dvumernoj oblasty, homeomorf- noho na hranyce, nul\mernoho, ymegweho beskoneçnug kratnost\ y ohranyçenye kotoroho na dovol\no bol\ßug çast\ mnoΩestva vetvlenyq qvlqetsq homeo- morfyzmom. Opredelenye 1. Esly X y Y — lokal\no kompaktn¥e prostranstva, to otobraΩenye f : X → Y naz¥vaetsq sobstvenn¥m, esly proobraz proyzvol\noho kompakta, prynadleΩaweho Y, est\ kompakt v X . © G.,B.,ZELYNSKYJ, 2005 554 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 O KRATNOSTY NEPRERÁVNÁX OTOBRAÛENYJ OBLASTEJ 555 Opredelenye 2. Toçka x naz¥vaetsq toçkoj vzaymnoj odnoznaçnosty, es- ly x = f –1 ( x ) . Lemma 1. Pust\ f : D → D1 — neprer¥vnoe otobraΩenye zamknut¥x ohra- nyçenn¥x oblastej, takoe, çto f ( ∂D ) ∩ f ( D ) = ∅ . Tohda yly ohranyçenye f \| D — homeomorfyzm, yly suwestvuet toçka v obraze, ymegwaq ne+men\ße dvux proobrazov; esly Ωe ohranyçenye f \| D — nul\merno, to vo vtorom sluçae mnoΩestvo toçek, ymegwyx ne+men\ße dvux proobrazov, ymeet polnug razmer- nost\, t.+e. soderΩyt otkr¥toe v D1 podmnoΩestvo. Dokazatel\stvo. Estestvenno predpoloΩyt\, çto ohranyçenye f \| D — nul\merno y ne,qvlqetsq homeomorfyzmom, ynaçe oçevydno v¥polneno odno yz utverΩdenyj lemm¥. V,sylu toho, çto nul\mernoe otobraΩenye ne,ponyΩaet razmernosty, suwestvuet toçka y ∈ int f ( D ) takaq, çto f –1 y soderΩyt ne,menee dvux toçek. Pust\ toçky x1 y x2 prynadleΩat f –1 y . Rassmotrym neperesekagwyesq okrestnosty πtyx toçek U ( x1 ) y U ( x2 ) ; qs- no, çto obraz¥ f ( U ( x1 )) y f ( U ( x2 )) ymegt obwye toçky (po krajnej mere, toçku y ) . Esly mnoΩestvo f ( U ( x1 )) ∩ f ( U ( x2 )) soderΩyt otkr¥toe mnoΩestvo V , to ono y budet yskom¥m, poskol\ku kaΩdaq eho toçka ymeet kak mynymum dva proobraza: odyn v U ( x1 ) , druhoj v U ( x2 ) . Esly Ωe vnutrennost\ pereseçenyq f ( U ( x1 )) ∩ f ( U ( x2 )) pusta, to dlq proyzvol\noj okrestnosty V ( y ) toçky y ohranyçenye f na mnoΩestvo W1 = f ( U ( x1 )) ∩ f –1 ( V ( y )) ne,moΩet b¥t\ ot- kr¥t¥m v toçke x1 otobraΩenyem y otobraΩat\sq na vsg okrestnost\ V ( y ) , od- nako v sylu sobstvennosty f ohranyçenye eho na mnoΩestvo W1 zamknuto. Sle- dovatel\no, obraz f ( W1 ) budet zamknut¥m podmnoΩestvom okrestnosty V ( y ) . Otsgda sleduet, çto otobraΩenye f ynducyruet tryvyal\noe otobraΩenye hrupp kohomolohyj f H V y V H W Wn n 1 1 1 ∗ ( ) → ( ): ( ), ,∂ ∂ . Krome toho, obraz mnoΩestva W1 soderΩyt vnutrennye toçky. V¥berem odnu yz takyx toçek y0 y nekotorug okrestnost\ G ( y0 ) πtoj toçky, leΩawug vnutry V ( y ) . Vnutry πtoho mnoΩestva ne moΩet b¥t\ plotnoho mnoΩestva to- çek, ymegwyx po odnomu proobrazu. Ynaçe sohlasno teoreme,2 [2] ohranyçenye f na f –1 ( G ( y0 )) b¥lo b¥ homeomorfyzmom. No tohda ohranyçenye otobraΩe- nyq f na mnoΩestvo f –1 ( G ( y0 )) ynducyruet yzomorfyzm hrupp kohomolohyj f H G y G y H f G y f G yn n 3 0 0 1 0 1 0 ∗ − −( ) → ( ): ( ), ( ) ( ), ( )∂ ∂ , çto protyvoreçyt kommutatyvnoj dyahramme hrupp kohomolohyj H G y G y H V V G H V V Z H f G y f G y H W W f H W n i n i n f f f n j n j nG ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , \ \ ( ) 0 0 1 0 1 0 1 1 3 2 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ←  ( )  → ( )≈ ( ) ←  ( )  → ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ − − ≈ − ≈ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ↓ ↓ ↓ WW( ), v kotoroj yzomorfyzm¥ i∗, i1 ∗, j∗, j1 ∗ poluçagtsq kak homomorfyzm¥, soot- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 556 G.,B.,ZELYNSKYJ vetstvugwye teoremam o v¥rezanyy [3]. S odnoj storon¥, f1 ∗ — tryvyal\n¥j homomorfyzm, a s druhoj — f1 ∗ = j j f i i1 1 3 1 1∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ −( ) ( ) — yzomorfyzm nenulevoj hrupp¥. Sledovatel\no, vnutry V ( y ) suwestvuet otkr¥toe vsgdu plotnoe mnoΩestvo toçek, ymegwyx ne men\ße dvux proobrazov. Lemma dokazana. Sledstvye. Esly f : D → D1 — nul\mernoe otobraΩenye nulevoj stepe- ny, to v obraze suwestvuet otkr¥toe mnoΩestvo, kaΩdaq toçka kotoroho ymeet ne menee dvux proobrazov. Lemma 2. Pust\ f : D → D1 — neprer¥vnoe otobraΩenye oblastej stepe- ny k , takoe, çto f ( ∂D ) ∩ f ( D ) = ∅ . Tohda mnoΩestvo toçek obraza, ymeg- wyx ne menee \| k \| proobrazov, soderΩyt otkr¥toe vsgdu plotnoe v obraze mnoΩestvo. Dokazatel\stvo. Pust\ suwestvuet otkr¥toe v obraze podmnoΩestvo V toçek, kaΩdaq yz kotor¥x ymeet menee \| k \| toçek v proobraze. Tohda f — ko- neçnokratnoe otobraΩenye, v kaΩdoj toçke kotoroho suwestvuet lokal\naq stepen\ otobraΩenyq, y poπtomu mnoΩestvo vetvlenyq Bf (mnoΩestvo toçek, v kotor¥x f ne,budet lokal\n¥m homeomorfyzmom) ymeet razmernost\ ne,v¥ße n – 1 [4] y obraz f ( Bf ) nyhde ne ploten v obraze. Sledovatel\no, suwestvuet toçka y ∈ V \ f ( Bf ) takaq, çto v kaΩdoj toçke proobraza x ∈ f –1 y otobraΩenye f qvlqetsq lokal\n¥m homeomorfyzmom y stepen\ otobraΩenyq ne,moΩet b¥t\ ravnoj k , tak kak proobrazov toçky y men\ße \| k \| , y v kaΩdoj toçke x ∈ f –1 y lokal\naq stepen\ \| γ ( x ) \| = 1. Lemma dokazana. Teorema. Pust\ f : D → D1 — neprer¥vnoe otobraΩenye oblastej stepe- ny k , takoe, çto f ( ∂D ) ∩ f ( D ) = ∅ . Tohda yly f — vnutrennee otobraΩe- nye, yly suwestvuet toçka, ymegwaq ne+men\ße çem \| k \| + 2 proobraza. Esly Ωe f — nul\mernoe otobraΩenye, to vo vtorom sluçae mnoΩestvo toçek, yme- gwyx ne+menee çem \| k \| + 2 proobraza, ymeet polnug razmernost\. Dokazatel\stvo. Kak y v lemme 1, ne narußaq obwnosty moΩno sçytat\, çto f — nul\mernoe otobraΩenye. Dal\nejßee dokazatel\stvo provedem po yn- dukcyy. Pry k = 0 teorema dokazana v lemme 1, pry \| k \| = 1 — v [1]. Predpolo- Ωym, çto teorema dokazana dlq \| k \| = m , y dokaΩem ee dlq \| k \| = m + 1. Pust\ kaΩdaq toçka nekotoroho otkr¥toho mnoΩestva v obraze ymeet rovno \| k \| proobrazov. Tohda analohyçno lemme 2 v kaΩdoj toçke proobraza lokal\naq stepen\ \| γ ( x ) \| = 1. Bolee toho, vo vsex toçkax ona dolΩna ymet\ odyn znak, ynaçe sohlasno „pryncypu arhumenta” dlq lokal\noj stepeny poluçym protyvo- reçye. No tohda f f V\|−( ) 1 — vnutrennee otobraΩenye. Esly f f V\|−( ) 1 ne,qvlqetsq vnutrennym na vsex komponentax, to razob\em proobraz V na obæedynenye dvux mnoΩestv. Pust\ W1 — obæedynenye komponent proobraza, hde ohranyçenye f — vnutrennee otobraΩenye. Tohda f W\| 1 : W1 → V — vnutrennee otobraΩenye kratnosty \| k1 \| , hde \| k1 \| ≤ \| k \| . Ono ymeet v V plotnoe otkr¥toe mnoΩestvo toçek, dlq kaΩdoj yz kotor¥x suwestvuet rovno \| k1 \| proobrazov. Ohranyçe- nye f na mnoΩestvo W2 = f –1 ( V ) \ W1 ne,qvlqetsq vnutrennym y ymeet stepen\ k2 = k – k1. Tohda sohlasno predpoloΩenyg yndukcyy suwestvuet otkr¥toe podmnoΩestvo U ⊂ V, ymegwee dlq kaΩdoj toçky y ∈ U ne,menee \| k2 \| + 2 proobraza. Sledovatel\no, dlq nekotoroho otkr¥toho podmnoΩestva U 0 ⊂ U kaΩdaq toçka ymeet \| k1 \| proobraz v W1 y ne,menee çem \| k2 \| + 2 proobraza v W2 y vseho ne,menee çem ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 O KRATNOSTY NEPRERÁVNÁX OTOBRAÛENYJ OBLASTEJ 557 \| k1 \| + \| k2 \| + 2 ≥ \| k1 + k2 \| + 2 ≥ \| k \| + 2 proobraza. Teorema dokazana. Zameçanye. Prymenenye mynymal\n¥x nosytelej kocykla [5] y yspol\zo- vannaq pry πtom texnyka pozvolqgt analohyçno pokazat\, çto teorema ostaetsq spravedlyvoj, esly otobraΩenye f budet mnohoznaçn¥m otobraΩenyem s acyk- lyçeskymy obrazamy. Dal\nejßaq naßa cel\ — postroenye beskoneçnokratnoho otobraΩenyq kvadrata na kvadrat, toΩdestvennoho na çasty mnoΩestva vetvlenyq, kotoroe vklgçaet v sebq dekartovo proyzvedenye otrezka na kantorovo mnoΩestvo. Pust\ Θ( x ) — kantorova lestnyca [6], zadannaq na otrezke [0, 1]. Rassmot- rym otobraΩenye otrezka f ( x ) = 3 2 0 1 3 3 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 1 x x x x x x x / , / ; ( ) , / / ; ( ) , / . ( ) / / ≤ ≤ − − ≤ ≤ − ≤ ≤      Θ Lehko ubedyt\sq, çto funkcyq f vozrastaet na otkr¥tom vsgdu plotnom pod- mnoΩestve otrezka [0, 1], a v toçkax x = 1/3 y x = 2/3 prynymaet odynakov¥e znaçenyq. Tohda sohlasno [7] suwestvuet mnoΩestvo vtoroj katehoryy toçek v obraze, ymegwyx beskoneçnoe çyslo proobrazov. Perejdem k postroenyg otobraΩenyq kvadrata. Razdelym kvadrat [0, 1] × × [0, 1] po osy Ox na try ravn¥x prqmouhol\nyka. V srednem prqmouhol\nyke v¥berem dva neperesekagwyxsq romba A1, A2 s dyahonalqmy, parallel\n¥my osqm koordynat. Odna para dyahonalej soedynqet toçky (1/3, 1/4) y (2/3, 1/4), (1/2, 1/8) y (1/2, 3/8) sootvetstvenno, a druhaq — (1/3, 3/4) y (2/3, 3/4), (1/2, 5/8) y (1/2, 7/8) sootvetstvenno. Pust\ ϕ ( x ) — lynejn¥j homeomorfyzm otrezka na vertykal\nug dyahonal\ romba. Tohda superpozycyq ψ1 = ϕ f ϕ–1 otobraΩaet πtu dyahonal\ na sebq neprer¥vn¥m otobraΩenyem, ymegwym massyvnoe mno- Ωestvo beskoneçnokratn¥x toçek. Rasprostranym otobraΩenye ψ1 na ves\ romb kak estestvennoe prodolΩenye na nadstrojku ( rassmatryvaem romb kak nadstrojku vertykal\noj dyahonaly). Analohyçnoe otobraΩenye postroym y dlq vtoroho romba. Zametym, çto na hranycax rombov postroenn¥e otobraΩenyq ψ1, ψ2 qvlqgtsq homeomorfyzmamy. Dalee po analohyy rassmotrym ostavßye- sq dva prqmouhol\nyka 0 ≤ x ≤ 1/3 y 2/3 ≤ x ≤ 1 pry 0 ≤ y ≤ 1. Razdelym kaΩ- d¥j prqmouhol\nyk na try ravn¥x kvadrata po vertykaly. V kaΩdom yz polu- çenn¥x ßesty kvadratov zadadym analohyçn¥e, umen\ßenn¥e v try raza kopyy otobraΩenyj ψ1 y ψ2. Povtorqq dalee process delenyq y postroenyq otobra- Ωenyj ψ sçetnoe çyslo raz, poluçym otobraΩenye nekotoroho sçetnoho çysla rombov v sebq. Dopolnym πtu systemu otobraΩenyj do otobraΩenyq kvadrata toΩdestvenn¥m homeomorfyzmom v toçkax, hde ewe otobraΩenye neopredeleno. Poluçennoe takym obrazom otobraΩenye: 1) ymeet v obraze otkr¥toe mnoΩestvo toçek beskoneçnoj kratnosty; 2) kaΩdaq toçka dekartovoho proyzvedenyq kantorova mnoΩestva K na ot- rezok [0, 1] Q = K × [0, 1] otobraΩaetsq toΩdestvenno, otobraΩenye f ne,homeomorfnoe tol\ko v yntervalax smeΩnosty k kantorovomu mnoΩestvu otrezka osy Ox ; 3) kaΩdaq toçka mnoΩestva Q prynadleΩyt mnoΩestvu vetvlenyq otobra- Ωenyq f (systema rombov po postroenyg ymeet predel\n¥my toçkamy vse toçky mnoΩestva); 4) otobraΩenye f — homeomorfyzm na hranyce kvadrata. V svqzy s poluçenn¥m v rabote rezul\tatom y rezul\tatamy rabot¥ [1] ynte- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 558 G.,B.,ZELYNSKYJ resen vopros o mynymal\noj kratnosty otobraΩenyq konkretnoj oblasty, esly yzvestna stepen\ otobraΩenyq na hranyce. V,çastnosty, kakova mynymal\naq kratnost\ otobraΩenyq n -mernoho lysta Mebyusa v n -mern¥j ßar, esly ot- obraΩenye na hranyce qvlqetsq homeomorfyzmom yly otobraΩenyem stepeny odyn? Suwestvuet ly takoe otobraΩenye pry n ≥ 3, ymegwee kratnost\ ne v¥ße trex? 1. Zelynskyj+G.+B. O nekotor¥x problemax Kosynskoho // Ukr. mat. Ωurn. – 1975. – 27, #,4. – S.,510 – 516. 2. Troxymçuk+G.+G., Bondar\+A.+V. O lokal\noj stepeny nul\mernoho otobraΩenyq // Metry- çeskye vopros¥ teoryy funkcyj y otobraΩenyj. – 1969. – V¥p.,1. – S.,221 – 241. 3. Spen\er+∏. Alhebrayçeskaq topolohyq. – M.: Myr, 1971. – 680,s. 4. Church P. T., Hemmingsen E. Light open mappings on manifolds // Duke Math. J. – 1961. – 27, # 4. – P. 351 – 372. 5. Zelynskyj+G.+B. Prymenenye teoryy puçkov k yssledovanyg neprer¥vn¥x otobraΩenyj // Desqtaq matematyçeskaq ßkola (Kacyvely / Nal\çyk, 1972). – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1974. – S.,260 – 269. 6. Natanson+Y.+P. Teoryq funkcyj dejstvytel\noho peremennoho. – M.: Nauka, 1974. – 480,s. 7. Troxymçuk+G.+G. Neprer¥vn¥e otobraΩenyq oblastej evklydova prostranstva // Ukr. mat. Ωurn. – 1964. – 16, #,2. – S.,196 – 211. Poluçeno 22.06.2004 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4

О кратности непрерывных отображений областей

Репозитарії

Схожі ресурси