Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле / О.Б. Скасків, О.М. Тракало // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 571–576. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165702 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657022020-02-16T01:26:31Z Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле Скасків, О.Б. Тракало, О.М. Короткі повідомлення 2005 Article Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле / О.Б. Скасків, О.М. Тракало // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 571–576. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165702 517.57 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Скасків, О.Б. Тракало, О.М. Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Скасків, О.Б. Тракало, О.М. |
| author_facet |
Скасків, О.Б. Тракало, О.М. |
| author_sort |
Скасків, О.Б. |
| title |
Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле |
| title_short |
Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле |
| title_full |
Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле |
| title_fullStr |
Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле |
| title_full_unstemmed |
Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле |
| title_sort |
про стійкість максимального члена цілого ряду діріхле |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165702 |
| citation_txt |
Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле / О.Б. Скасків, О.М. Тракало // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 4. — С. 571–576. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT skaskívob prostíjkístʹmaksimalʹnogočlenacílogorâdudíríhle AT trakaloom prostíjkístʹmaksimalʹnogočlenacílogorâdudíríhle |
| first_indexed |
2025-07-14T19:35:02Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:35:02Z |
| _version_ |
1837652197244928000 |
| fulltext |
UDK 517.57
O.�B.�Skaskiv, O.�M.�Trakalo (L\viv. nac. un-t)
PRO STIJKIST| MAKSYMAL|NOHO ÇLENA
CILOHO RQDU DIRIXLE
We establish necessary and sufficient conditions for logarithms of the maximal terms of the entire
Dirichlet series F ( z ) = a en
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
and B ( z ) = a b en n
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
to be asymptotically equivalent as
Re z → +∞ outside some set of finite measure.
Vstanovleno neobxidni i dostatni umovy dlq toho, wob loharyfmy maksymal\noho çlena ciloho
rqdu Dirixle F ( z ) = a en
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
i maksymal\noho çlena ciloho rqdu Dirixle B ( z ) =
= a b en n
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
buly asymptotyçno ekvivalentnymy pry Re z → +∞ zovni deqko] mnoΩyny
skinçenno] miry.
Nexaj λ = ( λn ) ⊂ R — dovil\na poslidovnist\. Çerez S ( λ ) poznaçymo klas ab-
solgtno zbiΩnyx v usij kompleksnij plowyni rqdiv Dirixle
F ( z ) = a en
z
n
nλ
=
+∞
∑
0
. (1)
Dlq σ ∈ R poznaçymo çerez µ ( σ , F ) = max { | an | e nσλ
: n ≥ 0} maksymal\nyj
çlen rqdu (1). Nexaj L — klas dodatnyx neperervnyx na [0; + ∞ ) funkcij l
takyx, wo l ( x ) ↑ + ∞ , x → + ∞ , tobto l monotonno zrosta[ do + ∞ na deqkomu
intervali [ x0 ; + ∞ ) . Çerez W poznaçymo klas funkcij w ∈ L takyx, wo
x w x dx−+∞
∫ 2
1
( ) < + ∞ .
Dlq dovil\no], wo ne1peretvorg[t\sq v nul\, kompleksno] poslidovnosti
( bn ) , a takoΩ funkci] w ∈ W vvedemo do rozhlqdu rqdy Dirixle
B ( z ) = a b en n
z
n
nλ
=
+∞
∑
0
, B
–
( z ) = a b en n
z
n
n−
=
+∞
∑ 1
0
λ , Bw ( z ) = a en
w z
n
n n( )λ λ+
=
+∞
∑
0
.
Qkwo poslidovnist\ { bn : n ≥ 0 } ⊂ C \ { 0 } zadovol\nq[ umovu
lim ln
n
n
n nb b
→+∞
−| | | |+( )1 1
λ
< + ∞ , (2)
to F ∈ S( λ) todi i til\ky todi, koly B ∈ S( λ) i B
– ∈ S( λ) , a z toho, wo Bw ∈ S( λ)
i ln( )| | | |+ −b bn n
1 ≤ w ( λn ) , n ≥ n1 , vyplyva[ { F , B , B
–
} ⊂ S( λ ) .
NyΩçe pid mirog budemo rozumity borelevu miru na promeni R+ = [ 0 ; + ∞ ) ,
tobto nevid’[mnu zliçenno-adytyvnu lokal\no skinçennu (tobto taku, wo dlq
koΩnoho skinçennoho intervalu joho mira [ skinçennog) funkcig mnoΩyny,
vyznaçenu na σ -alhebri borelevyx mnoΩyn na R+ .
Nastupnu, anonsovanu v [1], teoremu zastosovano do doslidΩennq zrostannq
cilyx rqdiv Dirixle na kryvyx.
Teorema A [1]. Nexaj λ = ( λn ) — zrostagça do + ∞ pry n → + ∞ posli-
dovnist\ dodatnyx çysel i vykonugt\sq umovy (2) ta
lim
ln
lnn
n
n
→+∞ λ
= a < + ∞ . (3)
© O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 571
572 O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO
Dlq toho wob dlq koΩno] funkci] F ∈ S ( λ) pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny
E ⊂ [ 0 ; + ∞) skinçenno] lebehovo] miry spravdΩuvalys\ asymptotyçni rivnosti
ln µ ( σ , F ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ln µ ( σ , B ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ln µ ( σ , B
–
) , (4)
neobxidno i dostatn\o, wob isnuvala funkciq w ∈ W, dlq qko]
ln( )| | | |+ −b bn n
1 ≤ w ( λn ) , n ≥ n1 . (5)
U vypadku, koly spivvidnoßennq (4) vykonugt\sq pry σ → + ∞ zovni deqko]
mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry, budemo hovoryty, wo maksymal\nyj çlen
rqdu Dirixle (1) [ stijkym (stijkym za Hajsynym).
Nexaj ψ ∈ L . Budemo hovoryty, wo maksymal\nyj çlen rqdu (1) [ ψ -stij-
kym, qkwo spivvidnoßennq
ψ ( ln µ ( σ , F ) ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ψ ( ln µ ( σ , B ) ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ψ ( ln µ ( σ , B
–
) ) (6)
vykonugt\sq pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry.
U cij statti znajdeno neobxidni i dostatni umovy stijkosti maksymal\noho
çlena rqdu Dirixle F ∈ S ( λ) . Zaznaçymo, wo qkwo znajdenu tut umovu interpre-
tuvaty u vyhlqdi okremyx dostatnix umov na pokaznyky i funkcig w (u c\omu
zv’qzku dyv. naslidok11), to zamist\ umovy na pokaznyky (3) stijkist\ za Hajsy-
nym zabezpeçu[ umova
1
1 n nn λ=
+∞
∑ < + ∞ , (7)
qka [ znaçno slabßog za umovu (3).
Krim c\oho, vkazano dostatni umovy ψ -stijkosti. Na dumku avtoriv otrymani
tut tverdΩennq [ cikavymy qk z ohlqdu na znajdeni v [1] zastosuvannq takyx
tverdΩen\, tak i sami po sobi.
ZauvaΩymo, wo, ne zmenßugçy zahal\nosti, dali moΩna vvaΩaty, wo an ≥ 0,
bn > 0, n ≥ 0. Dovedemo spoçatku nastupne tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj Bw ∈ S( λ ) , w ∈ L i vykonu[t\sq umova (5). Qkwo
ln ( )ν t
t
dt2
0
+∞
∫ < + ∞ , (8)
de ν ( t ) = e dn xw xt ( ) ( )
0∫ , n ( x ) = 1λn x≤∑ , to maksymal\nyj çlen µ ( σ , F ) [
stijkym.
Naslidok 1. Nexaj dlq λ = ( λn ) vykonu[t\sq umova (7), a dlq ( bn ) — umo-
va (5). Qkwo F ∈ S ( λ ) i w ∈ W, to maksymal\nyj çlen µ ( σ , F ) [ stijkym.
Dovedennq naslidku. Vidomo (dyv., napryklad, [2]), wo umova (7) [ rivno-
syl\nog do umovy t n t dt−+∞
∫ 2
0
ln ( ) < + ∞ . Vraxovugçy, wo ν ( t ) ≤ e n tw t( ) ( ) i w ∈
∈ W, bezposeredn\o perekonu[mos\, wo vykonu[t\sq umova (8).
Z umovy w ∈ W vyplyva[, wo w ( λn ) = o ( λn ) , n → + ∞ , tomu z umovy F ∈ S ( λ )
ma[mo, wo Bw ∈ S ( λ ) . Zastosuvannq teoremy 1 zaverßu[ dovedennq naslidku.
Dovedennq teoremy 1. Dosyt\ dovesty, wo ln µ (σ, F ) = (1 + o (1)) ln µ (σ, Bw )
pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] miry. Nexaj a ( t ) , b ( t ) — taki
neperervni nevid’[mni funkci], wo a ( λn ) = an , b ( λn ) = ew n( )λ i
µ ( σ , F ) = sup { a ( t ) e
t
σ
: t ≥ 0 } , µ ( σ , Bw ) = sup { a ( t ) b ( t ) e
t
σ
: t ≥ 0 } .
Za umovog (5) dlq vsix dosyt\ velykyx σ
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
PRO STIJKIST| MAKSYMAL|NOHO ÇLENA CILOHO RQDU DIRIXLE 573
µ σ( )−, Bw ≤ µ ( σ , B ) ≤ µ ( σ , Bw ) µ σ( )−, Bw ≤ µ ( σ , B
–
) ≤ µ ( σ , Bw ) ,
de B zw
−( ) = a en
w z
n
n n− +
=
+∞∑ ( )λ λ
0
. Tomu, oskil\ky, z odnoho boku,
µ σ( )−, Bw ≤ µ ( σ , F ) ≤ F ( σ ) ≤ a e en
w
n
n nσλ λ( )
=
+∞
∑
0
= a t e d tt( ) ( )σ ν
0
+∞
∫ =df
B1(σ), (9)
a z inßoho —
µ ( σ , F ) ≤ µ ( σ , Bw ) ≤ Bw ( σ ) ≤ a t e d tt( ) ( )σ ν
0
+∞
∫ = B
( σ ) , (10)
dlq zaverßennq dovedennq dosyt\ dviçi skorystatys\ nastupnym tverdΩennqm
z1[3].
Lema. Nexaj I ( σ ) — funkciq, wo zobraΩu[t\sq dlq vsix σ ≥ 0 intehra-
lom vyhlqdu
I ( σ ) = f t e d tt( ) ( )σ v
0
+∞
∫ , (11)
de v — mira na R+ , a f ( t ) ≥ 0, t ≥ 0, — v -vymirna funkciq. Qkwo vykonu[t\-
sq umova
ln ( )v0
2
0
t
t
dt
+∞
∫ < + ∞ , v0( t ) = v ( ( 0, t ] ), (12)
to
ln I ( σ ) ≤ (1 + o ( 1) ) ln µ∗ ( σ, I ) (13)
pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry, de µ ∗ ( σ, I ) =
= sup { f ( t ) e
σ
t
: t ∈ supp v } , a supp v = { x ∈ R+ : (∀ε > 0) [ v ( ( x – ε ; x + ε ) ) > 0] }
— nosij miry v .
Zastosovugçy lemu do intehraliv v (9) i (10), poslidovno pry σ → + ∞ zovni
deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry otrymu[mo
ln µ ( σ , F ) ≤ ln B1(σ) ≤ (1 + o ( 1) ) ln µ∗ ( σ, B1) = (1 + o ( 1) ) ln µ ( σ , F )
ta
ln µ (σ , F ) ≤ ln µ (σ, Bw ) ≤ ln Bw (σ) ≤ (1 + o (1)) ln µ∗ (σ, B1) =
= (1 + o ( 1)) ln µ (σ, F ) ,
tobto, z ohlqdu na te, wo dlq miry d v ( t ) = d ν ( t ) vykonu[t\sq umova (8), a otΩe i
umova (12), teoremu 1 dovedeno.
Vykorystovugçy inßu teoremu (dovedenu v [3] dlq funkcij vyhlqdu (11)),
podibno do toho, qk my otrymaly teoremu 1, dovodymo nastupne tverdΩennq.
Teorema 2. Nexaj w ∈ L , a ψ ∈ L taka, wo funkciq ψ′( x ) / ψ ( x ) — ne zro-
stagça, ψ ( x ) = o ( x ψ′( x ) ) ( x → + ∞ ) . Qkwo isnugt\ { ω1, ω2 } ⊂ W taki, wo
lim
( )
( )
ln ( ) ; ( )
t
t
t
t t t t
→+∞
+ − −′ − +( ]( )
( )
ψ ω
ψ ω
ν ω ω1
1
2
1
2
1 = 0,
de ν ( a ; b ] = ν ( b ) – ν ( a ) , ν ( t ) = e dn xw xt ( ) ( )
0∫ , ω2
1− — obernena funkciq do ω2,
to u vypadku, koly B w ∈ S ( λ ) i vykonu[t\sq umova (5), maksymal\nyj çlen
µ ( σ , F ) [ ψ -stijkym.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
574 O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO
Toj fakt, wo umova (8) [ neobxidnog dlq stijkosti maksymal\noho çlena
koΩnoho ciloho rqdu Dirixle (1), otryma[mo z nastupno] teoremy.
Teorema 3. Nexaj v — mira na R+ , dlq qko]
d t
t
ln ( )v0
0
+∞
∫ = + ∞ , ln v0( t ) = O ( t ) , t → + ∞ ,
de v0( t ) = v ((0, t ] ) . Isnu[ dodatna funkciq I, vyznaçena dlq vsix σ ∈ R+ inte-
hralom (11), taka, wo dlq deqkyx d > 0, σ0 > 0 i dlq vsix σ ≥ σ0
ln I ( σ ) ≥ ( 1 + d ) ln µ∗ ( σ, I ) .
Dovedennq. Skorysta[mos\ modyfikaci[g konstrukci], qka vykorystovuva-
las\ v [2] dlq dovedennq podibnoho tverdΩennq v klasi S ( λ ) . Pry c\omu okremi
mirkuvannq povtorg[mo majΩe doslivno. Nexaj
V t x xdx B d
t
0 01
11 2( ) ( ) , ( ) ,= = −/∫ −v
ψ ( y ) = − + +( )− ( )/∫By t V A t t dt
y
2
0
1
1 1ln ( ) ln( ) , 0 < A < 1,
f ( y ) =
exp ( ) , ,
, .
{ } ≥
< ≤
ψ y y
y
1
1 0 1
Vraxovugçy, wo
ln ( )v0
2
0
t
t
dt
T
∫ = − ln ( )v0 T
T
+
d t
t
T ln ( )v0
0
∫ ,
V0 ( t ) ≥
v0( )x
x
dx
t e
t
/
∫ ≥
v0
x
e
,
ma[mo
t V A t t dt−
+∞
( )/+ +( )∫ 2
0
1
1 1ln ( ) ln( ) = + ∞ .
Tomu intehral
I ( σ ) =
f y e d yy( ) ( )σ v
0
+∞
∫
dlq vsix σ ∈ R+ vyznaça[ znaçennq I ( σ ) < + ∞ . Spravdi, za umovog, ne1zmenßu-
gçy zahal\nosti, moΩemo vvaΩaty, wo ln v0( t ) ≤ –1/6ψ ( t ) ( t ≥ 2 ) , a pry fikso-
vanomu σ ∈ R
σ ≤ 1
2
1 12
0
1
t V A t t dt
y
− ( )/+ +( )∫ ln ( ) ln( ) , y ≥ y0,
tomu z rozhlqdu intehrala
e d yy1 2
2
/ ( ) ( )ψ v
+∞
∫ =
e d yy1 2
0
2
/ ( ) ( )ψ v
+∞
∫ =
v v0
1 2
2
0
1 2
2
1
2
( ) ( ) ( )/ /( ) ( )y e y e d yy yψ ψ ψ
+∞ +∞
− ∫ ≤
≤ – v0( 2 ) + 1
2
1
2
3e d yy/ ( ) ( )( )ψ ψ−
+∞
∫ = – v0( 2 ) + 3
2
1 3e / < + ∞
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
PRO STIJKIST| MAKSYMAL|NOHO ÇLENA CILOHO RQDU DIRIXLE 575
otrymu[mo potribnyj vysnovok; pry c\omu my skorystalys\ tym, wo ln v0( t ) =
= o (| ψ ( t ) | ) , t → + ∞ , i ψ ( t ) monotonno ne zrosta[ do – ∞ pry t → + ∞ .
Rozhlqnemo teper dlq koΩnoho fiksovanoho σ ∈ R+ funkcig
ψ0 ( y , σ ) = ψ ( y ) + σ y .
Qk i v [2], perekonu[mos\, wo ψ0 ( y , σ ) dlq koΩnoho fiksovanoho σ ∈ R+ [ vhnu-
tog funkci[g vid y ≥ 1. Spravdi,
V0 ( A ( y + 1) =
v0
1
1
( )
( )
t
t
dt
A y+
∫ ≤ v0 (A ( y + 1)) ln (A ( y + 1)) < v0 (A ( y + 1)) ln ( y + 1) ,
tomu
∂ ψ
∂
2
0
2y
=
− + + − +[ ]
+ + +
( ) ( )
( )
B
A y y V A y
y y y V A y
v0 0
0
1 1 1
1 1 1
( ) ln( ) ( )
( ) ln( ) ( )
< 0.
Funkciq ψ0 ( y , σ) pry koΩnomu σ ∈ R+ ma[ [dynu toçku maksymumu y = y (σ) ≥
≥ 1, qku vyznaça[mo, qk i v [2], z rivnqnnq
∂ψ
∂y
= − + +( )− ( )/∫B t V A t t dt
y
2
0
1
1 1ln ( ) ln( ) –
– B
y
V A y yln ( ) ln( )0 1 1( )/+ +( ) + x = 0,
a takoΩ ψ ( y , σ ) ≥ ψ ( 1 , σ ) = σ ≥ 0 ( 1 ≤ y ≤ y , σ ≥ 0 ) . Zvidsy
max { ψ ( y ) + y x : y ≥ 1 } = ψ( )y y x+ = B V A y yln ( ) ln( )0 1 1( )/+ +( ) ≤
≤ B A yln ( )v0 1+( ) ≤ B yln ( )v0 ,
a oskil\ky
ln µ∗ ( σ, I ) = sup { ln f ( y ) + σ y : y ∈ supp v } ≤ max { ψ ( y ) + y x : y ≥ 1 },
to dlq σ ≥ 0 poslidovno ma[mo
I ( σ ) ≥
f y e d yy
y
( ) ( )σ v
1
∫ ≥
d y
y
v( )
1
∫ = v0( )y – v0( 1 )
ta pry σ → + ∞
ln F ( σ ) ≥ ln ln
( )( )
( )
v
v
v
0
0
0
1
1
y
y
+ −
≥ 1
B
ln µ∗ ( σ, I ) + o ( 1 ) =
= ( 1 + 2d ) ln µ∗ ( σ, I ) + o ( 1 ) ≥ ( 1 + d ) ln µ∗ ( σ, I ) .
Teoremu 3 dovedeno.
Z teoremy 3 otrymu[mo nastupne tverdΩennq, qke vkazu[ na neobxidnist\
umovy (8) dlq stijkosti maksymal\noho çlena rqdu (1) u vypadku, koly dlq
poslidovnosti pokaznykiv vykonu[t\sq umova (7).
Teorema 4. Nexaj dlq deqko] poslidovnosti λ = ( λn ) , dlq qko] vykonu[t\sq
umova (7), i dlq deqko] funkci] w ∈ W umova (8) ne vykonu[t\sq. Todi isnugt\
funkciq F ∈ S ( λ ) taka, wo Bw ∈ S( λ ) , mnoΩyna E ⊂ [0; + ∞ ) skinçenno] le-
behovo] miry i stala h > 0 taki, wo ln µ ( σ , Bw ) > ( 1 + h ) ln µ ( σ , F ) dlq vsix
σ ∈ [0; + ∞ ) \ E , tobto maksymal\nyj çlen rqdu (1) ne [ stijkym (za Hajsynym).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
576 O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO
Dovedennq. Z toho, wo umova (8) ne1vykonu[t\sq, za teoremog 3 vyplyva[,
wo isnu[ dodatna funkciq f , dlq qko]
ln F1 ( σ ) > ( 1 + 2h ) ln µ∗ ( σ , F1 ) , σ ≥ σ0 ,
de
F1 ( σ ) =
f x e d xx( ) ( )σ v
0
+∞
∫ = f x e e dn xw x x( ) ( )( ) σ
0
+∞
∫ = B ( σ ) ,
µ∗ ( σ , F1 ) = sup { f ( x ) eσ
x
: x ≥ 0 }. Qkwo teper vybraty an = f ( λn ) i do druhoho
intehrala zastosuvaty lemu (oskil\ky dlq d n ( x ) vykonu[t\sq umova (12)), to
poslidovno pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry
otryma[mo
( 1 + 2h ) ln µ ( σ , F ) ≤ ( 1 + 2h ) ln µ∗ ( σ , F1 ) ≤ ln F1 ( σ ) ≤
≤ (1 + o (1)) ln sup { f ( x )e ew x x( ) σ : x ∈ supp d n ( x ) } =
= (1 + o (1)) ln sup { an e ew n n( )λ σλ
: n ≥ 0 } = (1 + o (1)) ln µ ( σ , B ) .
Teoremu 4 dovedeno.
Z lemy i teoremy 3 bezposeredn\o otrymu[mo takoΩ nastupne tverdΩennq.
Teorema 5. Dlq toho wob dlq koΩno] funkci] vyhlqdu (11) spivvidnoßennq
(13) vykonuvalos\ pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry,
neobxidno i dostatn\o, wob vykonuvalas\ umova (12).
Na zaverßennq vyslovymo prypuwennq, wo u teoremi 4 umova (7) [ zajvog, a
takoΩ, wo u teoremax 1, 2 i naslidku 1 umovu Bw ∈ S( λ ) moΩna zaminyty umo-
vog (∀σ ∈ R+ ) : | | +a en
w n n( )λ σλ → 0 ( n → + ∞ ) .
1. Hajsyn2A.2M. Ocenka rqda Dyryxle s lakunamy Fejera // Dokl. RAN. – 2000. – 370, #16. –
S.1735 – 737.
2. Skaskyv2O.2B. O povedenyy maksymal\noho çlena rqda Dyryxle, zadagweho celug funk-
cyg // Mat. zametky. – 1985. – 37, #11. – S.141 – 47.
3. Skaskyv2O.2B. O nekotor¥x sootnoßenyqx meΩdu maksymumom modulq y maksymal\n¥m
çlenom celoho rqda Dyryxle // Tam Ωe. – 1999. – 56, #12. – S.1282 – 292.
OderΩano 11.07.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|