Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів
Исследована открытость функторов k-нерастягивающих и слабоаддитивных функционалов. В частности, установлено, что данные функторы сохраняют открытость отображений между конечными компактами, однако они не являются открытыми....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165706 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів / Л.І. Карчевська // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1567–1574. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165706 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657062020-02-17T01:25:35Z Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів Карчевська, Л.І. Короткі повідомлення Исследована открытость функторов k-нерастягивающих и слабоаддитивных функционалов. В частности, установлено, что данные функторы сохраняют открытость отображений между конечными компактами, однако они не являются открытыми. We study the property of openness of the functors for k-nonexpanding and weakly additive functionals. In particular, it is shown that these functors preserve the openness of mappings between finite compact sets but they are not open. 2013 Article Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів / Л.І. Карчевська // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1567–1574. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165706 515.12 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Карчевська, Л.І. Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів Український математичний журнал |
| description |
Исследована открытость функторов k-нерастягивающих и слабоаддитивных функционалов. В частности, установлено, что данные функторы сохраняют открытость отображений между конечными компактами, однако они не являются открытыми. |
| format |
Article |
| author |
Карчевська, Л.І. |
| author_facet |
Карчевська, Л.І. |
| author_sort |
Карчевська, Л.І. |
| title |
Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів |
| title_short |
Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів |
| title_full |
Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів |
| title_fullStr |
Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів |
| title_full_unstemmed |
Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів |
| title_sort |
про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165706 |
| citation_txt |
Про відкритість функторів k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів / Л.І. Карчевська // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1567–1574. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT karčevsʹkalí provídkritístʹfunktorívkneroztâguûčihtaslabkoaditivnihfunkcíonalív |
| first_indexed |
2025-07-14T19:35:32Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:35:32Z |
| _version_ |
1837652228421189632 |
| fulltext |
УДК 515.12
Л. I. Карчевська (Львiв. нац. ун-т iм. Iв. Франка)
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ
ТА СЛАБКОАДИТИВНИХ ФУНКЦIОНАЛIВ
We investigate the property of openness of the functors of k-nonexpanding and weakly additive functionals. In particular,
it is shown that these functors preserve the openness of mappings between finite compact sets, but they are not open.
Исследована открытость функторов k-нерастягивающих и слабоаддитивных функционалов. В частности, установ-
лено, что данные функторы сохраняют открытость отображений между конечными компактами, однако они не
являются открытыми.
Вступ. У рамках загальної теорiї функторiв у категорiї компактiв упродовж останнiх десятилiть
досить детально вивчаються топологiчнi властивостi рiзних функторiв. Зокрема, дослiджуються
питання щодо таких властивостей просторiв вигляду FX, де X ∈ Comp i F — деякий функтор
у категорiї Comp, як бути абсолютним ретрактом, чи бути гомеоморфним тихоновському кубу,
який є одним iз основних об’єктiв у топологiї неметризовних компактiв. Основою дослiдження
згаданих задач є вивчення спектральних властивостей просторiв FX, при якому необхiдними
є як хорошi категорнi властивостi функтора (зазвичай дослiджуванi функтори є близькими
до нормального в сенсi [1]), так i така властивiсть функтора, як збереження ним вiдкритих
вiдображень (вiдкритiсть функтора).
Питання вiдкритостi дослiджувалось для випадку таких вiдомих функторiв, як функтор iмо-
вiрнiсних мiр P, функтори гiперпростору exp, гiперпростору компактних опуклих пiдмножин
cc, гiперпросторiв включення G, функтори, що зберiгають порядок функцiоналiв O, та iнших
(див., наприклад, [2, 4, 6]). Iснують також деякi загальнi результати, що стосуються вiдкритостi
нормальних функторiв [6], випадок слабконормальних функторiв менш вивчений.
У цiй роботi ми дослiджуватимемо вiдкритiсть функторiв слабкоадитивних (EA) та k-
нерозтягуючих (Ek) функцiоналiв, якi мiстять згаданi вище функтори як пiдфунктори, i уза-
гальнимо результат, отриманий у роботi [5].
Означення та основнi факти. Нагадаємо, що Comp позначає категорiю компактних хаус-
дорфових просторiв (компактiв) та неперервних вiдображень мiж ними.
Для довiльного простору X ∈ Comp через C(X) позначимо тихоновський простiр усiх
неперервних дiйснозначних функцiй, надiлений стандартною нормою ‖ϕ‖ = sup
{
|ϕ(x)| | x ∈
∈ X
}
. Ця норма породжує метрику на C(X) : d(ϕ,ψ) = sup ‖ϕ−ψ‖. Також через cX позначимо
сталу функцiю, яка набуває значення c ∈ R у всiх точках простору X.
У цiй роботi ми розглядатимемо функтори k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функцiо-
налiв, якi ми зараз визначимо.
Кажемо, що функцiонал ν : C(X)→ R
зберiгає константи, якщо для довiльного c ∈ R виконується умова ν(cX) = c;
є k-лiпшицевим для деякого k ∈ [1,∞), якщо для двох довiльних функцiй ϕ,ψ ∈ C(X)
виконується умова
∣∣ν(ϕ)− ν(ψ)
∣∣ ≤ k · d(ϕ,ψ);
є слабкоадитивним, якщо для довiльного c ∈ R та довiльної функцiї ϕ ∈ C(X) виконується
умова ν(ϕ+ cX) = ν(ϕ) + c.
c© Л. I. КАРЧЕВСЬКА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1567
1568 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Нехай X ∈ Comp — довiльний простiр. Тодi для кожного k ∈ [1,∞) через EkX позначимо
множину всiх зберiгаючих константи k-лiпшицевих функцiоналiв (далi просто k-нерозтягуючi
функцiонали), через EAX — множину всiх 1-лiпшицевих (або просто нерозтягуючих) слаб-
коадитивних зберiгаючих константи функцiоналiв (надалi просто слабкоадитивнi функцiона-
ли). Цi множини розглядаємо з топологiєю пiдпростору, iндукованою топологiєю добутку на∏
ϕ∈C(X)
[minϕ,maxϕ]. Можна перевiрити, що утворенi таким чином простори є компактами
для довiльного компакта X.
Нехай F ∈ {Ek,EA}. Розглянемо довiльне вiдображення f : X → Y. Визначимо вiдобра-
ження Ff таким чином. Для довiльних функцiонала ν ∈ FX i функцiї ϕ ∈ C(Y ) покладемо
Ff(ν)(ϕ) = ν(ϕ ◦ f). Визначена таким чином конструкцiя F утворює коварiантний функтор у
категорiї Comp. Бiльш того, отриманий функтор є слабконормальним.
Введемо деякi позначення. Кажемо, що множина B ⊂ C(X) є
C-пiдмножиною в C(X), якщо вона мiстить всi сталi функцiї;
CA-пiдмножиною в C(X), якщо для довiльної функцiї ϕ ∈ B вона мiстить всi функцiї
вигляду ϕ+ cX , де c ∈ R.
Наступнi леми стосуються продовження k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функцiоналiв
та є незначним узагальненням аналогiчного твердження для випадку нерозтягуючих функцiо-
налiв, яке було доведено в [3].
Лема 1. Нехай A — C-пiдмножина в C(X), k ∈ [1,∞) — довiльне число i µ0 : A → R —
k-нерозтягуючий функцiонал на A. Тодi iснує k-нерозтягуючий функцiонал µ : C(X) → R
такий, що µ|A = µ0.
Лема 2. Нехай A — CA-пiдмножина в C(X) i µ0 : A → R — слабкоадитивний нероз-
тягуючий функцiонал на A. Iснує слабкоадитивний нерозтягуючий функцiонал µ : C(X) → R
такий, що µ|A = µ0.
Дотримуючись позначень iз [6], через π2(X) для довiльного простору X позначатимемо
дiаграму
X4
pr13
//
pr12
��
X2
pr1
��
X2
pr1
// X
.
Кажемо, що дiаграма
X ′1
g1
//
q1
��
X ′2
q2
��
X ′3
g2
// X ′4
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ ТА СЛАБКО . . . 1569
є ретрактом дiаграми
X1
f1
//
p1
��
X2
p2
��
X3
f2
// X4
,
якщо для довiльного i = 1, 4 простiр X ′i є ретрактом простору Xi i дiаграми
Xj
fj
//
rj
��
Xj+1
rj+1
��
X ′j
gj
// X ′j+1
Xj
fj
// Xj+1
X ′j
ij
OO
gj
// X ′j+1
ij+1
OO
та
Xj
rj
//
pj
��
X ′j
qj
��
Xj+2
rj+2
// X ′j+2
Xj
pj
��
X ′j
ij
oo
qj
��
Xj+2 X ′j+2
ij+2
oo
,
де j = 1, 2, комутативнi. Через rj : Xj → X ′j позначимо вiдповiднi ретракцiї, через ij : X ′j →
→ Xj , j = 1, 4, — вкладення.
Нагадаємо, що комутативна дiаграма
X
p
//
q
��
Y
f
��
Z
g
// T
називається бiкомутативною, якщо її характеристичне вiдображення χ : X → Y ×T Z =
=
{
(y, z) ∈ Y × Z |f(y) = g(z)
}
, що дiє за правилом χ(x) =
(
p(x), q(x)
)
, є сюр’єктивним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1570 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Лема 3 [5]. Ретракт бiкомутативної дiаграми є бiкомутативним.
Нарештi, нагадаємо, що функтор називається (скiнченно) вiдкритим, якщо вiн зберiгає
вiдкритi вiдображення (мiж скiнченними просторами).
Бiкомутативнiсть та вiдкритiсть функторiв Ek та EA. Наступне твердження можна до-
вести за допомогою тих самих мiркувань, що i у випадку вiдповiдного твердження з роботи [5].
Теорема 1. Функтори Ek та EA скiнченно вiдкритi.
Далi ми використовуватимемо ту ж саму схему, що i в роботi [5]. Ми покажемо, що функ-
тори, якi ми розглядаємо, не зберiгають бiкомутативнiсть певних дiаграм, i використаємо цей
факт, щоб довести, що вони не вiдкритi.
Почнемо з випадку функторiв Ek.
Лема 4. Функцiонал λ : C(X)→ R, де X ∈ Comp, заданий умовами
λ(ϕ) =
minϕ(X), ϕ(X) ≥ 0,
maxϕ(X), ϕ(X) ≤ 0,
0, 0 ∈ [minϕ, maxϕ],
де ϕ ∈ C(X) — довiльна функцiя, є 1-нерозтягуючим.
Доведення. Легко бачити, що функцiонал λ задано коректно.
Покажемо тепер, що λ є 1-нерозтягуючим функцiоналом. Розглянемо наступнi випадки:
1. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що f ≥ 0 i g ≥ 0. Тодi згiдно з означенням функцiонала λ∣∣λ(f)−λ(g)
∣∣ = |min f−min g|.Нехай min f = f(xf ),min g = g(xg), xf , xg ∈ X.Не зменшуючи
загальностi припустимо, що f(xf ) ≥ g(xg). Тодi маємо
∣∣λ(f) − λ(g)
∣∣ = f(xf ) − g(xg) ≤
≤ f(xg)− g(xg) ≤ d(f, g).
Випадок функцiй f, g таких, що f ≤ 0, g ≤ 0, аналогiчний розглянутому.
2. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що 0 ∈ [min f,max f ]∩ [min g,max g]. В цьому випадку маємо∣∣λ(f)− λ(g)
∣∣ = 0 ≤ d(f, g).
3. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що f ≤ 0, g ≥ 0. Тодi виконується умова
∣∣λ(f) − λ(g)
∣∣ =
= |max f −min g| ≤
∣∣f(x)− g(x)
∣∣ для довiльної точки x ∈ X i тому
∣∣λ(f)− λ(g)
∣∣ ≤ d(f, g).
4. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що f ≤ 0 i 0 ∈ [min g,max g]. Припустимо, що max f = f(x0),
x0 ∈ X. Виберемо точку x ∈ X таку, що g(x) ≥ 0. Тодi маємо
∣∣λ(f) − λ(g)
∣∣ =
∣∣f(x0)
∣∣ ≤
≤
∣∣f(x)− g(x)
∣∣ ≤ d(f, g).
Випадок f, g ∈ C(X) таких, що f ≥ 0 i 0 ∈ [min g,max g], аналогiчний розглянутому.
Лему доведено.
Через X = {a, b, c, d} позначимо дискретний чотириточковий простiр.
Теорема 2. Дiаграма Ek
(
π2(X)
)
, k ∈ [1,∞), не бiкомутативна.
Доведення. Введемо позначення
T =
{
f ◦ pr1 | f ∈ C(X)
}
i виберемо функцiї ϕ,ψ ∈ C(X2) \ T, визначенi таким чином:
ϕ
(
{a} × {a, c}
)
= {−k}, ϕ
(
{a} × {b, d}
)
= {−k + 2}, ϕ
(
{b} ×X
)
= {−k + 1},
ϕ
(
{c} × {a, c}
)
= {k}, ϕ
(
{c} × {b, d}
)
= {k − 2}, ϕ
(
{d} ×X
)
= {k − 1}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ ТА СЛАБКО . . . 1571
i
ψ
(
{a} ×X
)
= {−k + 1}, ψ
(
{b} × {a, c}
)
= {−k}, ψ
(
{b} × {b, d}
)
= {−k + 2},
ψ
(
{c} ×X
)
= {k − 1}, ψ
(
{d} × {a, c}
)
= {k}, ψ
(
{d} × {b, d}
)
= {k − 2}.
Для вибраних функцiй виконується рiвнiсть
d(ϕ ◦ pr12, ψ ◦ pr13) = 1.
Нехай λ ∈ E1(X) — функцiонал з леми 4.
Позначимо Tµ = {ϕ} ∪ T, Tν = {ψ} ∪ T. Визначимо функцiонали µ : Tµ → R та ν : Tν → R
наступними умовами: для довiльної функцiї φ = f ◦ pr1 ∈ T покладемо
µ(φ) = ν(φ) = λ(f)
та
µ(ϕ) = k, ν(ψ) = −k.
Тодi функцiонали µ та ν є k-нерозтягуючими на вiдповiдних множинах Tµ та Tν .
Справдi, перевiримо це твердження для функцiонала µ. Розглянемо довiльну функцiю f ∈
∈ C(X). Маємо
d(ϕ, f ◦ pr1) =
= max
{∣∣f(a) + k
∣∣, ∣∣f(a) + k − 2
∣∣, ∣∣f(b) + k − 1
∣∣, ∣∣f(c)− k
∣∣, ∣∣f(c)− k + 2
∣∣, ∣∣f(d)− k + 1
∣∣}.
Нехай виконується умова f ≥ 0. Тодi∣∣µ(ϕ)− µ(f ◦ pr1)
∣∣ =
∣∣k − λ(f)
∣∣ ≤ ∣∣f(a) + k
∣∣ ≤ d(ϕ, f ◦ pr1).
Подiбним чином можна показати правильнiсть твердження при умовi f ≤ 0. Розглянемо нареш-
тi останнiй випадок, коли 0 ∈ [min f,max f ]. Маємо∣∣µ(ϕ)− µ(f ◦ pr1)
∣∣ = |k − 0| = k,
але d(ϕ, f ◦ pr1) ≥ 1, отже,∣∣µ(ϕ)− µ(f ◦ pr1)
∣∣ = k ≤ k · d(ϕ, f ◦ pr1).
Так само перевiряється i той факт, що ν є k-нерозтягуючим функцiоналом.
Тепер продовжимо побудованi функцiонали до k-нерозтягуючих функцiоналiв µ0, ν0 на
всьому просторi C(X2) (це можна зробити вiдповiдно до леми 1). Легко бачити, що не iснує
функцiонала V ∈ Ek(X
4) з властивостями Ek(pr12)(V ) = µ0, Ek(pr13)(V ) = ν0, оскiльки
виконується умова ∣∣µ0(ϕ)− ν0(ψ)
∣∣ = 2k > k = k · d(ϕ ◦ pr12, ψ ◦ pr13).
Теорему доведено.
Позначимо через D = {0, 1} двоточковий дискретний простiр.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1572 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Теорема 3. Дiаграма EA
(
π2(D)
)
не бiкомутативна.
Доведення. Визначимо функцiонал λ ∈ EA(D) умовою
λ(f) = min
{
f(0), f(1)
}
,
де f ∈ C(D). Позначимо
A =
{
f ◦ pr1 | f ∈ C(D)
}
⊂ C(D2).
Визначимо функцiї ϕ, ψ ∈ C(D2) таким чином:
ϕ : (0, 0) 7→ 2, (0, 1) 7→ 2, (1, 0) 7→ −2, (1, 1) 7→ 0
i
ψ : (0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 2, (1, 0) 7→ −2, (1, 1) 7→ −2.
Зрозумiло, що функцiї ϕ та ψ не мiстяться у множинi A.
Визначимо функцiонали ν, µ на множинах A ∪ {ϕ} та A ∪ {ψ} вiдповiдно наступними
умовами:
ν(f ◦ pr1) = µ(f ◦ pr1) = λ(f), ν(ϕ) = 2, µ(ψ) = −2.
Покажемо, що введенi функцiонали є нерозтягуючими.
Розглянемо функцiонал ν на множинi A∪{ϕ}. Вiзьмемо довiльну функцiю f ∈ C(D). Тодi
вiдстань мiж функцiями f ◦ pr1 та ϕ обчислюється за формулою
d(f ◦ pr1, ϕ) = max
{
|2− f(0)|, |2 + f(1)|, |f(1)|
}
.
Позначимо
a =
∣∣ν(f ◦ pr1)− ν(ϕ)
∣∣ =
∣∣2−min{f(0), f(1)}
∣∣.
Припустимо, що min
{
f(0), f(1)
}
= f(0). Тодi нерiвнiсть a ≤ d(f ◦ pr1, ϕ) є очевидною.
Припустимо, що виконується умова min
{
f(0), f(1)
}
= f(1). Тут потрiбно розглянути два
випадки. По-перше, якщо має мiсце нерiвнiсть f(1) < 0, то виконується i нерiвнiсть
∣∣f(1)
∣∣ ≥ a,
i в цьому випадку нерiвнiсть a ≤ d(f ◦ pr1, ϕ) справджується. У випадку, коли виконується
умова f(1) ≥ 0, маємо
∣∣f(1)+2
∣∣ ≥ ∣∣f(1)−2
∣∣, i нерiвнiсть a ≤ d(f ◦pr1, ϕ) знову справджується.
Тепер покажемо, що функцiонал µ є нерозтягуючим на A∪{ψ}. Вiзьмемо довiльну функцiю
f ∈ C(D). Тодi
d(f ◦ pr1, ψ) = max
{
|f(0)|, |2− f(0)|, |f(1) + 2|
}
.
Введемо позначення
b =
∣∣µ(f ◦ pr1)− µ(ψ)
∣∣ =
∣∣2 + min
{
f(0), f(1)
}∣∣.
Спочатку припустимо, що виконується умова min
{
f(0), f(1)
}
= f(0). Тодi у випадку f(0) ≥ 0
маємо нерiвнiсть f(1) ≥ 0, i тому∣∣f(1) + 2
∣∣ ≥ ∣∣2 + f(0)
∣∣ = b.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ ТА СЛАБКО . . . 1573
Якщо виконується умова f(0) < 0, то∣∣2− f(0)
∣∣ ≥ ∣∣2 + f(0)
∣∣ = b.
Нарештi, у випадку min
{
f(0), f(1)
}
= f(1) нерiвнiсть b ≤ d(f ◦ pr1, ψ) є очевидною.
Ми можемо продовжити функцiонали ν та µ на весь простiр C(D2) до слабкоадитивних
функцiоналiв ν0, µ0 згiдно з лемою 2. Тодi
∣∣ν0(ϕ) − µ0(ψ)
∣∣ = 4, в той час як d(ϕ ◦ pr12, ψ ◦
◦ pr13) = 2, отже, не iснує функцiонала Θ ∈ EA(D4), який має властивiсть EA(pr12)(Θ) = ν0 i
EA(pr13)(Θ) = µ0.
Теорему доведено.
Нагадаємо, що функтор F називаеється бiкомутативним, якщо вiн зберiгає бiкомутативнi
дiаграми.
Наслiдок 1. Функтори Ek, k ∈ [1,∞), та EA не бiкомутативнi.
Вiдомо, що у випадку нормального функтора з його вiдкритостi випливає бiкомутативнiсть
[6]. У випадку слабконормального функтора має мiсце наступна слабша умова.
Теорема 4. Якщо слабконормальний функтор F вiдкритий, то для довiльного метричного
компакта X дiаграма F
(
π2(X)
)
є бiкомутативною.
Доведення. Нехай A — множина всiх граничних ординалiв потужностi ω. Для кожного
α ∈ A позначимо через Aα множину ординалiв, менших за α.
Розглянемо σ-спектр S = {XAα ,prαβ ;α > β, α, β ∈ A}. Через prαβ позначимо природне
проектування XAα → XAβ . Зауважимо, що в даному випадку воно гомеоморфне проек-
туванню Xω × Xω → Xω. Границею цього спектра є простiр Xω1 . Розглянемо морфiзм
Ψ =
(
idA, {pα1 }α∈A
)
мiж спектрами S × S =
{
XAα × XAα ,prαβ × prαβ ;α, β ∈ A
}
та S (тут
pα1 : XAα × XAα → XAα позначає проекцiю на перший спiвмножник). Його границею є вiд-
крите вiдображення проектування pr1 : Xω1 × Xω1 → Xω1 . Квадратнi дiаграми, паралельнi
граничному вiдображенню цього морфiзму, мають вигляд
XAα ×XAα
prαβ×pr
α
β
//
pα1
��
XAβ ×XAβ
pβ1
��
XAα
prαβ
// XAβ
або
XAβ ×XAα\Aβ ×XAβ ×XAα\Aβ
pr13
//
pr12
��
XAβ ×XAβ
pr1
��
XAβ ×XAα\Aβ
pr1
// XAβ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1574 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Остання дiаграма гомеоморфна дiаграмi π2(Xω).
Оскiльки функтор F вiдкритий, вiдображення Fpr1 теж вiдкрите, i тому (див. [1], теорема 17)
морфiзм FΨ =
(
idA, {F (pα1 )}α∈A
)
мiж спектрами F (S × S) та F (S) мiстить бiкомутативний
пiдморфiзм, при цьому його квадратнi дiаграми, паралельнi граничному вiдображенню, гомео-
морфнi дiаграмi F
(
π2(Xω)
)
. Тому дiаграма F
(
π2(Xω)
)
бiкомутативна.
Дiаграма F(π2(X)) є ретрактом дiаграми F(π2(Xω)). Справдi, таку властивiсть щодо дiагра-
ми π2(Xω) має дiаграма π2(X), при цьому ретракцiї вiдповiдних просторiв — це вiдображення
проектування pr1 : Xω → X на перший спiвмножник та вiдповiднi степенi цього вiдображення(
(pr1)
4 : (Xω)4 → X4 i (pr1)
2 : (Xω)2 → X2
)
. Вiдповiднi вкладення реалiзуються вiдображен-
ням i : X ↪→ Xω, i(x) = (x, x0, x0, . . .) та його вiдповiдними степенями, де x0 ∈ X — фiксована
точка. Також F, будучи слабконормальним, зберiгає тотожнi вiдображення i вкладення, тому
вiн зберiгає властивiсть дiаграми бути ретрактом iншої дiаграми.
Отже, дiаграма F
(
π2(X)
)
повинна бути бiкомутативною.
Теорему доведено.
Iз теорем 2 i 3, а також теореми 4 випливає наступне твердження.
Наслiдок 2. Функтори Ek, де k ∈ [1,∞), та EA не вiдкритi.
1. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи мат. наук. – 1981. – 36. – C. 3 – 62.
2. Bazylevych L., Repovš D., Zarichnyi M. Hyperspace of convex compacta of nonmetrizable compact convex subspaces
of locally convex spaces // Topology and its Appl. – 2008. – 155. – P. 764 – 772.
3. Camargo J. The functor of nonexpanding functionals // Rev. Integr. Temas Mat. – 2002. – 20. – P. 1 – 12.
4. Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972. – 164. – P. 287 – 293.
5. Karchevska L., Radul T. Some properties of the functor of non-expanding functionals // Mat. Stud. – 2009. – 31. –
P. 135 – 141.
6. Teleiko A., Zarichnyi M. Categorical topology of compact Hausdorff spaces. – Lviv: VNTL Publ., 1999.
Одержано 18.05.12,
пiсля доопрацювання — 08.07.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|