Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем
Установлены новые условия сохранения асимптотически устойчивого инвариантного тороидального многообразия линейного расширения динамической системы на торе при малых возмущениях на множестве неблуждающих точек. Данный подход применен к исследованию существования и устойчивости инвариантных торов лине...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165712 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем / М.О. Перестюк, П.В. Фекета // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1498–1505. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165712 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657122020-02-17T01:26:25Z Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем Перестюк, М.О. Фекета, П.В. Статті Установлены новые условия сохранения асимптотически устойчивого инвариантного тороидального многообразия линейного расширения динамической системы на торе при малых возмущениях на множестве неблуждающих точек. Данный подход применен к исследованию существования и устойчивости инвариантных торов линейных расширений динамических систем, имеющих простую структуру предельных множеств и рекуррентных траекторий. We establish new conditions for the preservation of an asymptotically stable invariant toroidal manifold of the linear extension of a dynamical system on a torus under small perturbations in a set of nonwandering points. The proposed approach is applied to the investigation of the existence and stability of the invariant tori of linear extensions of the dynamical systems with simple structures of limit sets and recurrent trajectories. 2013 Article Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем / М.О. Перестюк, П.В. Фекета // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1498–1505. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165712 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Перестюк, М.О. Фекета, П.В. Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем Український математичний журнал |
| description |
Установлены новые условия сохранения асимптотически устойчивого инвариантного тороидального многообразия линейного расширения динамической системы на торе при малых возмущениях на множестве неблуждающих точек. Данный подход применен к исследованию существования и устойчивости инвариантных торов линейных расширений динамических систем, имеющих простую структуру предельных множеств и рекуррентных траекторий. |
| format |
Article |
| author |
Перестюк, М.О. Фекета, П.В. |
| author_facet |
Перестюк, М.О. Фекета, П.В. |
| author_sort |
Перестюк, М.О. |
| title |
Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем |
| title_short |
Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем |
| title_full |
Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем |
| title_fullStr |
Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем |
| title_full_unstemmed |
Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем |
| title_sort |
про збереження інваріантного тора багаточастотних систем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165712 |
| citation_txt |
Про збереження інваріантного тора багаточастотних систем / М.О. Перестюк, П.В. Фекета // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1498–1505.
— Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT perestûkmo prozberežennâínvaríantnogotorabagatočastotnihsistem AT feketapv prozberežennâínvaríantnogotorabagatočastotnihsistem |
| first_indexed |
2025-07-14T19:36:09Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:36:09Z |
| _version_ |
1837652270594916352 |
| fulltext |
УДК 517.9
М. О. Перестюк, П. В. Фекета (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО ЗБЕРЕЖЕННЯ IНВАРIАНТНОГО ТОРА БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ
We establish new conditions for the preservation of the asymptotically stable invariant toroidal manifold of the linear
extension of a dynamical system on the torus under small perturbations in the set of nonwandering points. This approach
is applied to the investigation of the existence and stability of invariant tori of the linear extensions of dynamical systems
with simple structures of the limit sets and recurrent trajectories.
Установлены новые условия сохранения асимптотически устойчивого инвариантного тороидального многообразия
линейного расширения динамической системы на торе при малых возмущениях на множестве неблуждающих
точек. Данный подход применен к исследованию существования и устойчивости инвариантных торов линейных
расширений динамических систем, имеющих простую структуру предельных множеств и рекуррентных траекторий.
Вступ. Одним iз важливих питань якiсної теорiї багаточастотних коливань є питання грубостi
iнварiантного многовиду та його збереження при малих збуреннях [1, 7, 11]. У багатьох робо-
тах (див., наприклад, [3], §10) успiшно застосовано другий метод Ляпунова для дослiдження
грубостi iнварiантного тороїдального многовиду та доведено, що малi збурення правої частини
системи не руйнують iнварiантний тор.
У данiй роботi встановлено новi умови збереження асимптотично стiйкого iнварiантного
тороїдального многовиду, якi вимагають малостi збурення не на всьому торi Tm, а лише на
множинi неблукаючих точок динамiчної системи на торi.
Роботу побудовано таким чином. У першому пунктi наведено короткий опис систем ди-
ференцiальних рiвнянь, визначених в Tm × Rn, їх основнi властивостi та поняття функцiї
Грiна – Самойленка задачi про iнварiантнi тори. У другому пунктi доведено теорему про збе-
реження асимптотично стiйкого iнварiантного тороїдального многовиду при, в певному сенсi,
малих збуреннях правої частини. Наведено приклад застосування теореми до системи, що має
просту структуру множини неблукаючих точок, та проiлюстровано переваги пропонованого
методу.
1. Об’єкт дослiдження та основнi положення. Основним об’єктом дослiдження є система
диференцiальних рiвнянь, визначена в прямому добутку тора Tm та евклiдового простору Rn,
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= A(ϕ)x+ f(ϕ), (1)
де ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm)T ∈ Tm, x = (x1, . . . , xn)T ∈ Rn, A(ϕ), f(ϕ) ∈ C(Tm), C(Tm) — простiр
неперервних 2π-перiодичних по кожнiй компонентi ϕv, v = 1, . . . ,m, функцiй, визначених на
m-вимiрному торi Tm. Функцiя a(ϕ) належить C(Tm) та задовольняє умову Лiпшиця∥∥a(ϕ′′)− a(ϕ′)
∥∥ ≤ L∥∥ϕ′′ − ϕ′∥∥ (2)
для будь-яких ϕ′, ϕ′′ ∈ T m та деякої сталої L > 0.
Позначимо через ϕt(ϕ) розв’язок першого рiвняння з (1), який задовольняє початкову умову
ϕ0(ϕ) = ϕ. Умова Лiпшиця (2) гарантує iснування та єдинiсть такого розв’язку.
Поряд iз системою рiвнянь (1) розглянемо лiнiйну систему диференцiальних рiвнянь
dx
dt
= A
(
ϕt(ϕ)
)
x+ f
(
ϕt(ϕ)
)
, (3)
c© М. О. ПЕРЕСТЮК, П. В. ФЕКЕТА, 2013
1498 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ЗБЕРЕЖЕННЯ IНВАРIАНТНОГО ТОРА БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ 1499
яка залежить вiд ϕ ∈ T m, як вiд параметра. Систему рiвнянь (3) одержано шляхом замiни
ϕ на ϕt(ϕ) у другому рiвняннi системи (1). Пiд iнварiантним многовидом M системи рiв-
нянь (1) розумiємо множину, яка визначається функцiєю u(ϕ) ∈ C(Tm) такою, що функцiя
x(t, ϕ) = u
(
ϕt(ϕ)
)
є розв’язком системи рiвнянь (3) для будь-якого ϕ ∈ T m.
Основний пiдхiд до дослiдження iнварiантних тороїдальних многовидiв системи рiвнянь (1)
базується на поняттi функцiї Грiна – Самойленка задачi про iнварiантнi тори [6]. Розглянемо
однорiдну систему диференцiальних рiвнянь
dx
dt
= A
(
ϕt(ϕ)
)
x, (4)
яка залежить вiд ϕ ∈ T m, як вiд параметра. Позначимо через Ωt
τ (ϕ) матрицант системи рiв-
нянь (4), який перетворюється в одиничну матрицю при t = τ, тобто Ωτ
τ (ϕ) ≡ E.
Нехай C(ϕ) — матриця, що належить простору C(Tm). Покладемо
G0(τ, ϕ) =
Ω0
τ (ϕ)C
(
ϕτ (ϕ)
)
, τ ≤ 0,
−Ω0
τ (ϕ)
(
E − C
(
ϕτ (ϕ)
))
, τ > 0.
Означення 1 [7]. Функцiя G0(τ, ϕ) називається функцiєю Грiна – Самойленка системи
рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= A(ϕ)x,
якщо iнтеграл
∫ +∞
−∞
∥∥G0(τ, ϕ)
∥∥dτ рiвномiрно обмежений по ϕ, тобто
+∞∫
−∞
∥∥G0(τ, ϕ)
∥∥dτ ≤ K <∞. (5)
Тодi iнварiантний тороїдальний многовид системи рiвнянь (1) можна подати у виглядi
x = u(ϕ) =
+∞∫
−∞
G0(τ, ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ, ϕ ∈ Tm.
Умова (5) забезпечує збiжнiсть iнтеграла, а iснування функцiї Грiна – Самойленка G0(τ, ϕ) є
достатньою умовою iснування iнварiантного тороїдального многовиду системи рiвнянь (1).
2. Основнi результати. 2.1. Теорема збурення. Розглянемо збурену систему диференцiаль-
них рiвнянь, визначену в прямому добутку тора Tm та евклiдового простору Rn :
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
=
(
A+B(ϕ)
)
x+ f(ϕ), (6)
де ϕ ∈ Tm, x ∈ Rn, a(ϕ) ∈ CLip(Tm), A — стала матриця, B(ϕ), f(ϕ) ∈ C(Tm). Задача полягає
у встановленнi нових достатнiх умов iснування iнварiантного тора системи (6) у випадку, коли
незбурена система рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= Ax+ f(ϕ) (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1500 М. О. ПЕРЕСТЮК, П. В. ФЕКЕТА
має асимптотично стiйкий iнварiантний тороїдальний многовид. Як вiдомо [3] (§10), сис-
тема (6) має iнварiантний тор для будь-якої функцiї f(ϕ) ∈ C(Tm), якщо збурення B(ϕ) є
малим для всiх ϕ ∈ Tm. У данiй роботi послаблено цю умову, а саме, вимагається, щоб∥∥B(ϕ)
∥∥ ≤ δ лише для ϕ ∈ Ω, де Ω — множина неблукаючих точок динамiчної системи
dϕ
dt
= a(ϕ).
Означення 2 [4]. Точку ϕ назвемо блукаючою, якщо iснують її окiл U(ϕ) i додатне число
T такi, що
U(ϕ) ∩ ϕt
(
U(ϕ)
)
= 0 для t ≥ T. (8)
Множину блукаючих точок позначатимемо через W, а множину неблукаючих точок — через
Ω = Tm − W. З компактностi тора Tm випливає, що множина Ω є непорожньою та ком-
пактною [4] (гл. II, § 5).
Теорема 1. Нехай у системi (6) дiйснi частини всiх власних значень матрицi A є вiд’єм-
ними: Reλj(A) < 0, j = 1, . . . , n. Тодi iснує δ > 0 таке, що для будь-якої функцiї B(ϕ) ∈ C(Tm)
такої, що
∥∥B(ϕ)
∥∥ ≤ δ, ϕ ∈ Ω, i для будь-якої функцiї f(ϕ) ∈ C(Tm) система рiвнянь (6) має
асимптотично стiйкий iнварiантний тороїдальний многовид.
Доведення. Mатрицант Ωt
τ (ϕ) системи рiвнянь
dx
dt
=
(
A+B
(
ϕt(ϕ)
))
x, (9)
залежної вiд ϕ ∈ Tm, як вiд параметра, допускає зображення
Ωt
0(ϕ) = Xt
0 +
t∫
0
Xt
sB
(
ϕs(ϕ)
)
Ωs
0(ϕ)ds,
деXt
τ — матрицант однорiдної системи зi сталими коефiцiєнтами
dx
dt
= Ax.Оскiльки матрицант∥∥Xt
0
∥∥ ≤ Ke−γt, t ≥ 0, для деяких K ≥ 1, γ > 0, то
∥∥Ωt
0(ϕ)
∥∥ ≤ Ke−γt +
t∫
0
Ke−γ(t−s)
∥∥∥B(ϕs(ϕ)
)∥∥∥∥∥Ωs
0(ϕ)
∥∥ds, t ≥ 0,
eγt
∥∥Ωt
0(ϕ)
∥∥ ≤ K +K
t∫
0
∥∥∥B(ϕs(ϕ)
)∥∥∥eγs∥∥Ωs
0(ϕ)
∥∥ds, t ≥ 0.
Позначимо через Uε(Ω) ε-окiл множини Ω i покажемо, що для довiльного фiксованого ε > 0
i довiльного ϕ ∈ T m iснує скiнченний момент часу T > 0, не залежний вiд ϕ, такий, що для
моментiв часу t ≥ T пiвтраєкторiя ϕt(ϕ) ∈ Uε(Ω).
Дiйсно, оскiльки Tm — компактна, а Uε(Ω) — вiдкрита множини, то множина Tm − Uε(Ω)
компактна i складається з блукаючих точок. Тому для кожної точки ϕ ∈ Tm−Uε(Ω) знайдеться
окiлU(ϕ), який задовольняє умову (8) для t ≥ T (ϕ). Внаслiдок компактностi фазового простору
виберемо з цих околiв скiнченну кiлькiсть U1, U2, . . . , UN так, щоб
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ЗБЕРЕЖЕННЯ IНВАРIАНТНОГО ТОРА БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ 1501
N∑
k=1
Uk = Tm − Uε(Ω),
i позначимо вiдповiднi числа T (ϕ) через T1, T2, . . . , TN .
Нехай довiльна точка ϕ ∈ Tm − Uε(Ω) входить в окiл Un1 . Згiдно з (8) за час, що не
перевищує Tn1 , вона вийде з нього назавжди. Нехай вона потрапить в окiл Un2 . Його вона
покине за час, що не перевищує Tn2 , i т. д. Нарештi, за час, що не перевищує
∑N
k=1
Tk, точка
обов’язково потрапить в Uε(Ω), оскiльки повернутися в один iз околiв Ui, i = 1, . . . , N, вона
не може згiдно з (8).
Отже, час перебування точки ϕ в Tm − Uε(Ω) не може перевищувати T =
∑N
k=1
Tk.
Оскiльки матрицяB(ϕ) належить C(Tm), то для довiльного фiксованого η > 0 iснує скiнченний
момент часу T > 0, не залежний вiд ϕ i такий, що
∥∥∥B(ϕt(ϕ)
)∥∥∥ ≤ δ + η для будь-якого t ≥ T.
Тодi
eγt
∥∥Ωt
0(ϕ)
∥∥ ≤ K +K
T∫
0
∥∥∥B(ϕs(ϕ)
)∥∥∥eγs∥∥Ωs
0(ϕ)
∥∥ds+
+K
t∫
T
∥∥∥B(ϕs(ϕ)
)∥∥∥eγs∥∥Ωs
0(ϕ)
∥∥ds, t ≥ 0.
Позначивши K1 = K +K
∫ T
0
∥∥∥B(ϕs(ϕ)
)∥∥∥eγs∥∥Ωs
0(ϕ)
∥∥ds, одержимо
eγt
∥∥Ωt
0(ϕ)
∥∥ ≤ K1 +K(δ + η)
t∫
T
eγs
∥∥Ωs
0(ϕ)
∥∥ds, t ≥ 0.
Застосувавши нерiвнiсть Гронуолла – Беллмана, отримаємо
eγt
∥∥Ωt
0(ϕ)
∥∥ ≤ K1e
K(δ+η)(t−T ), t ≥ 0.
Остаточно маємо ∥∥Ωt
0(ϕ)
∥∥ ≤ K0e
−(γ−Kδ−Kη)t, t ≥ 0,
де K0 = K1e
−K(δ+η)T . Покладемо δ <
γ
K
i виберемо η так, щоб γ0 = γ−Kδ−Kη > 0. Отже,
ми довели, що iснують сталi K0 ≥ 1 i γ0 > 0 такi, що матрицант системи (9) задовольняє
нерiвностi ∥∥Ωt
0(ϕ)
∥∥ ≤ K0e
−γ0t, t ≥ 0. (10)
З (10) випливає, що функцiя
G0(τ, ϕ) =
Ω0
τ (ϕ), τ ≤ 0,
0, τ > 0,
(11)
задовольняє оцiнку
∥∥G0(τ, ϕ)
∥∥ ≤ K0e
−γ0|τ |, τ ∈ R, i є функцiєю Грiна – Самойленка задачi про
iнварiантнi тори. Отже, система рiвнянь (6) має асимптотично стiйкий iнварiантний тороїдаль-
ний многовид [11] (§ 5), який визначається спiввiдношенням
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1502 М. О. ПЕРЕСТЮК, П. В. ФЕКЕТА
x = u(ϕ) =
0∫
−∞
G0(τ, ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ, ϕ ∈ Tm.
Теорему 1 доведено.
2.2. Наслiдки з теореми збурення та застосування. З доведеної теореми випливає важ-
ливий наслiдок, який дозволяє дослiджувати якiсну поведiнку розв’язкiв складних систем, що
мають просту динамiку на множинi неблукаючих точок Ω.
Наслiдок 1. Нехай задано систему рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= A(ϕ)x+ f(ϕ), (12)
де ϕ ∈ Tm, x ∈ Rn, a(ϕ) ∈ CLip(Tm), A(ϕ), f(ϕ) ∈ C(Tm). Нехай матриця A(ϕ) є сталою на
множинi Ω i всi дiйснi частини власних значень сталої матрицi є вiд’ємними. Тодi для будь-якої
функцiї f(ϕ) ∈ C(Tm) система (12) має асимптотично стiйкий iнварiантний тороїдальний
многовид.
Доведення. Враховуючи, що матриця A(ϕ)|ϕ∈Ω = Ã = const, систему рiвнянь (12) запи-
шемо у виглядi
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= Ãx+
(
A(ϕ)− Ã
)
x+ f(ϕ). (13)
Позначивши B(ϕ) = A(ϕ)− Ã, одержимо систему рiвнянь, аналогiчну системi (6) з теореми 1.
Наслiдок 1 доведено.
Приклад 1. Нехай задано систему рiвнянь
dϕ
dt
= − sin2
(ϕ
2
)
,
dx
dt
= − cosϕ · x+ f(ϕ), (14)
де ϕ ∈ T1, x ∈ R, f(ϕ) ∈ C(T1).
Динамiчна система
dϕ
dt
= − sin2
(ϕ
2
)
на торi T1 має лише одну неблукаючу точку ϕ = 0.
Точка ϕ = 0 є нерухомою, а всi iншi траєкторiї прямують до неї при t→ +∞. Оскiльки
Reλ
(
A(ϕ)|ϕ∈Ω
)
= Reλ
(
− cos(ϕ)|ϕ=0
)
= −1 < 0,
система рiвнянь (14) має асимптотично стiйкий iнварiантний тороїдальний многовид.
У рамках класичної теорiї збурення iнварiантного тора можна довести достатнi умови
iснування асимптотично стiйкого iнварiантного тороїдального многовиду нелiнiйної системи
рiвнянь вигляду
dϕ
dt
= a(ϕ) + a1(ϕ, x),
dx
dt
= A(ϕ)x+ F (ϕ, x), (15)
де ϕ ∈ Tm, x ∈ J̄h, a(ϕ) ∈ CLip(Tm), a1(ϕ, x) ∈ CLip(Tm, J̄h), F (ϕ, x) ∈ C(0,2)(Tm, J̄h),
J̄h =
{
x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ h, h > 0
}
. Систему рiвнянь (15) можна записати у виглядi
dϕ
dt
= a(ϕ) + a1(ϕ, x),
dx
dt
= A(ϕ)x+A1(ϕ, x)x+ f(ϕ), (16)
де A1(ϕ, x) =
∫ 1
0
∂F (ϕ, τx)
∂(τx)
dτ, f(ϕ) = F (ϕ, 0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ЗБЕРЕЖЕННЯ IНВАРIАНТНОГО ТОРА БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ 1503
Наслiдок 2. Нехай у системi рiвнянь (15) матриця A(ϕ) є сталою на множинi неблукаю-
чих точок Ω i дiйснi частини всiх власних значень сталої матрицi є вiд’ємними:
A(ϕ)|ϕ∈Ω = Ã, Reλj(Ã) < 0, j = 1, . . . , n.
Тодi iснують достатньо малi сталi η i δ та достатньо малi сталi Лiпшиця L1 та L2 такi,
що для довiльних функцiй a(ϕ) ∈ CLip(Tm), a1(ϕ, x) ∈ CLip(Tm, J̄h), F (ϕ, x) ∈ C(0,2)(Tm, J̄h)
таких, що
max
ϕ∈Tm,x∈J̄h
∥∥a1(ϕ, x)
∥∥ ≤ η, max
ϕ∈Tm,x∈J̄h
∥∥A1(ϕ, x)
∥∥ ≤ δ,
∥∥a1(ϕ, x′)− a1(ϕ, x′′)
∥∥ ≤ L1
∥∥x′ − x′′∥∥, ∥∥A1(ϕ, x′)−A1(ϕ, x′′)
∥∥ ≤ L2
∥∥x′ − x′′∥∥
для будь-яких x′, x′′ ∈ J̄h, система рiвнянь (15) має асимптотично стiйкий iнварiантний
тороїдальний многовид.
Доведення аналогiчне доведенню теореми 1 з [5]. Наведемо його короткий план. З наслiд-
ку 1 випливає, що система рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= A(ϕ)x+ f(ϕ) (17)
має асимптотично стiйкий iнварiантний тор. Iнварiантний тороїдальний многовид системи рiв-
нянь (16) шукатимемо методом послiдовних наближень. За початковий многовид M0 покладемо
x = 0, за Mk — iнварiантний тор системи рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ) + a1(ϕ, uk−1(ϕ)),
dx
dt
= A(ϕ)x+A1(ϕ, uk−1(ϕ))x+ f(ϕ), (18)
де x = uk−1(ϕ) — iнварiантний тороїдальний многовид на (k−1)-му кроцi. Як вiдомо [3] (гл. 2,
§ 10), iнварiантний тор системи рiвнянь (18) iснує на кожному кроцi за рахунок мализни сталих
η та δ. Збiжнiсть послiдовностi функцiй {uk(ϕ)} забезпечується достатньою мализною сталих
Лiпшиця L1 та L2.
Наслiдок 2 доведено.
Розглянемо випадок, коли функцiя A
(
ϕt(ϕ)
)
є перiодичною по t для ϕ ∈ Ω. Зокрема, така
ситуацiя реалiзується, коли множина Ω складається з однiєї траєкторiї, що є циклом.
Наслiдок 3. Нехай задано систему рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= A(ϕ)x+ f(ϕ), (19)
де ϕ ∈ Tm, x ∈ Rn, a(ϕ) ∈ CLip(Tm), A(ϕ), f(ϕ) ∈ C(Tm). Нехай матриця A
(
ϕt(ϕ)
)
є пе-
рiодичною по t при ϕ ∈ Ω i всi мультиплiкатори лiнiйної системи
dx
dt
= A
(
ϕt(ϕ)
)
x, ϕ ∈ Ω,
мiстяться всерединi одиничного кола. Тодi для будь-якої функцiї f(ϕ) ∈ C(Tm) система рiв-
нянь (19) має асимптотично стiйкий iнварiантний тороїдальний многовид.
Доведення Для довiльної точки ϕ ∈ Tm i для довiльного фiксованого числа η > 0 iснують
точка ϕ∗ ∈ Ω та момент часу T > 0 такi, що
∥∥∥A(ϕt(ϕ)
)
− A
(
ϕt(ϕ
∗)
)∥∥∥ ≤ η для всiх t ≥ T.
Розглянемо однорiдну системи рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1504 М. О. ПЕРЕСТЮК, П. В. ФЕКЕТА
dx
dt
= A
(
ϕt(ϕ
∗)
)
x+
(
A
(
ϕt(ϕ)
)
−A
(
ϕt(ϕ
∗)
))
x, (20)
яка залежить вiд ϕ,ϕ∗ ∈ Tm, як вiд параметрiв. Оскiльки матриця A
(
ϕt(ϕ
∗)
)
є перiодичною
по t i всi мультиплiкатори системи рiвнянь
dx
dt
= A
(
ϕt(ϕ
∗)
)
x (21)
лежать всерединi одиничного кола, то матрицант Xt
τ системи рiвнянь (21) задовольняє оцiнку∥∥Xt
0
∥∥ ≤ Ke−γt для всiх t ≥ 0 i деяких K ≥ 1, γ > 0. Мiркуючи, як i при доведеннi теореми 1,
одержуємо, що для матрицанта Ωt
0 системи рiвнянь
dx
dt
= A(ϕt
(
ϕ)
)
x справедлива оцiнка∥∥Ωt
0
∥∥ ≤ K1e
−γ1t для всiх t ≥ 0 i деяких K1 ≥ 1, γ1 > 0, чого достатньо для iснування
асимптотично стiйкого iнварiантного тороїдального многовиду системи рiвнянь (19).
Наслiдок 3 доведено.
Зауважимо, що для знаходження мультиплiкаторiв перiодичної системи рiвнянь необхiдно
побудувати фундаментальну матрицю, що в загальному випадку є складною задачею. Однак
на множинi Ω матриця A(ϕt(ϕ)), ϕ ∈ Ω, може мати бiльш просту структуру i є придатнiшою
для дослiдження. Для ефективного використання наслiдку 3 можна також використати метод
наближеного вiдшукання мультиплiкаторiв [2] (§ 3.18).
Узагальнюючи наслiдки 1 та 3, можна сформулювати достатнi умови iснування асимпто-
тично стiйкого iнварiантного тора лiнiйного розширення динамiчної системи, що має просту
структуру граничних множин i рекурентних траєкторiй.
Наслiдок 4. Нехай множина неблукаючих точок Ω динамiчної системи
dϕ
dt
= a(ϕ), ϕ ∈
∈ Tm, складається лише iз скiнченної кiлькостi стацiонарних точок {ϕ̄1, . . . , ϕ̄k} = Φ та
циклiв {C1, . . . ,Cl} i дiйснi частини всiх власних значень матриць A(ϕ), ϕ ∈ Φ, є вiд’ємними,
а мультиплiкатори лiнiйних систем
dx
dt
= A
(
ϕt(ϕ)
)
x, ϕ ∈ Ci, i = 1, . . . , l, лежать всере-
динi одиничного кола. Тодi система рiвнянь (19) має асимптотично стiйкий iнварiантний
тороїдальний многовид.
Висновки. Технiка доведення теореми 1 є достатньо класичною та гнучкою. Застосовуючи
нерiвностi типу Гронуолла – Беллмана для рiзних класiв функцiй, можна одержати аналогiчнi
результати для iнших класiв диференцiальних рiвнянь, зокрема для iмпульсних систем [8, 10,
12]. Так, в роботi [9] доведено аналог наслiдку 1 для лiнiйного розширення динамiчної системи
на торi з iмпульсними збуреннями в нефiксованi моменти часу.
Доведенi в роботi теореми та наслiдки дозволяють ефективно дослiджувати поведiнку
розв’язкiв достатньо широкого класу багаточастотних систем. Зокрема, лiнiйнi розширення
динамiчної системи на торi, що має просту структуру множини неблукаючих точок, придатнi
для якiсного аналiзу без знаходження матрицанта.
1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике. – Киев: Наук. думка, 1969.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.
3. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифферен-
циальных уравнений с помощью функции Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1992. – 272 с.
4. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М.: ОГИЗ, 1947. –
448 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ЗБЕРЕЖЕННЯ IНВАРIАНТНОГО ТОРА БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ 1505
5. Перестюк М. О., Фекета П. В. Iснування iнварiантного тора одного класу систем диференцiальних рiв-
нянь // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. – 2009. – Вип. 18. – C. 106 – 112.
6. Самойленко А. М. К теории возмущения инвариантных многообразий динамических систем // Тр. V Междунар.
конф. по нелинейным колебаниям. Т. I. Аналитические методы. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970.
7. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. – М.: Наука, 1987.
8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Наук.
думка, 1987.
9. Perestyuk M., Feketa P. Invariant sets of impulsive differential equations with particularities in ω-limit set // Abstract
and Appl. Anal. – 2011. – 2011. – Article ID 970469. – 14 p.
10. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities. – Berlin: Walter de Gruyter Co, 2011.
11. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1991.
12. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. — Singapore: World Sci., 1995.
Одержано 23.05.12,
пiсля доопрацювання — 26.05.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|