Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций
Встановлено нові достатні умови абсолютної |C, α|-сумовності рядів Фур'є майже пєріодичних в сени Безиковича функцій, спектр яких має межові точки в нескінченності i в нулі при α≥1/2 ....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165726 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций / Ю.Х. Хасанов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 12. — С. 1716–1722. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165726 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657262020-02-18T01:27:10Z Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций Хасанов, Ю.Х. Короткі повідомлення Встановлено нові достатні умови абсолютної |C, α|-сумовності рядів Фур'є майже пєріодичних в сени Безиковича функцій, спектр яких має межові точки в нескінченності i в нулі при α≥1/2 . We establish new sufficient conditions for the absolute |C, α|-summability of the Fourier series of functions almost periodic in a sense of Besicovitch whose spectrum has limit points at infinity and at the origin for α≥1/2. 2013 Article Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций / Ю.Х. Хасанов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 12. — С. 1716–1722. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165726 517.512 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Хасанов, Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций Український математичний журнал |
| description |
Встановлено нові достатні умови абсолютної |C, α|-сумовності рядів Фур'є майже пєріодичних в сени Безиковича функцій, спектр яких має межові точки в нескінченності i в нулі при α≥1/2 . |
| format |
Article |
| author |
Хасанов, Ю.Х. |
| author_facet |
Хасанов, Ю.Х. |
| author_sort |
Хасанов, Ю.Х. |
| title |
Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций |
| title_short |
Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций |
| title_full |
Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций |
| title_fullStr |
Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций |
| title_full_unstemmed |
Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций |
| title_sort |
об абсолютной суммируемости рядов фурье почти периодических функций |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165726 |
| citation_txt |
Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций / Ю.Х. Хасанов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 12. — С. 1716–1722. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT hasanovûh obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T19:42:38Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:42:38Z |
| _version_ |
1837652682317234176 |
| fulltext |
УДК 517.512
Ю. Х. Хасанов (Рос.-Тадж. славян. ун-т, Душанбе, Таджикистан)
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
We establish new sufficient conditions of the absolute |C,α|-summability of fourier series of functions almost periodic in
a sense of Besicovitch whose spectrum has limiting points at infinity and at zero for α ≥ 1
2
.
Встановлено новi достатнi умови абсолютної |C,α|-сумовностi рядiв Фур’є майже перiодичних в сенсi Безиковича
функцiй, спектр яких має межовi точки в нескiнченностi i в нулi при α ≥ 1
2
.
Говорят, что числовой ряд
∑∞
n=0 an абсолютно суммируем методом Чезаро или |C(α)|-суммируем,
если
∞∑
n=1
|σαn − σαn−1| <∞,
где
σαn =
∞∑
k=0
(Aαn)−1Aαn−kak, n = 1, 2, . . . , Aαn =
(α+ 1)(α+ 2) . . . (α+ n)
n!
.
Исследованию вопросов абсолютной суммируемости методом Чезаро ортогональных рядов,
в частности тригонометрических рядов Фурье, посвящены работы [1 – 7]. С более подробной
информацией о результатах исследований в этих направлениях можно ознакомиться, например,
в работе [7].
Известно [8], что пространство Bp, 1 ≤ p ≤ ∞, почти периодических по Безиковичу
функций является замыкание множества тригонометрических полиномов t(x) =
∑n
k=1
ake
iλkx,
ak ∈ C, λk, x ∈ R, n ∈ N, по норме
‖f‖Bp =
lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
|f(x)|p dx
1/p
=
{
M [ |f(x)|p]
}1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖B∞ = sup
x∈R
|f(x)|, p =∞.
Пространство B∞ равномерных почти периодических функций обозначают через B.
Для каждой f ∈ B1 определена функция
a(λ) = M{f(x)e−iλx} = lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
f(x)e−iλxdx.
Она может отличаться от нуля не более чем на счетном множестве значений λ : λ1, . . .
. . . , λn, . . . . Числа {λn}, n = 1, 2, . . . , называются показателями (спектром) Фурье, а числа
an = a(λn) — коэффициентами Фурье функции f(x). Итак, для каждой f ∈ Bp можно записать
ряд Фурье
c©Ю. Х. ХАСАНОВ, 2013
1716 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1717
f(x) ∼
∞∑
n=1
ane
iλnx.
Определения и свойства функций из пространств Bp можно найти в [8] или [9].
В работе [7] установлены некоторые достаточные условия абсолютной чезаровской сумми-
руемости рядов Фурье функций f ∈ B2 для различных значений α (−1 < α < 1/2).
В настоящей статье найдены новые достаточные условия абсолютной чезаровской сумми-
руемости рядов вида
∞∑
n=1
an exp (iλnx) (1)
для различных значений α ≥ 1
2
.
Рассмотрим два случая.
1. Показатели Фурье Λ{λn} имеют единственную предельную точку в бесконечности:
λ0 = 0; λ−n = −λn; |λn| < |λn+1|, n = 1, 2, . . . ; lim
n→∞
|λn| =∞. (2)
В этом случае в класс функций f ∈ Bp попадают и все периодические функции и свойства
рядов таких функций во многом аналогичны свойствам рядов Фурье периодических функций.
При этом в качестве структурной характеристики используется модуль гладкости порядка k с
шагом h функции f ∈ Bp
ωk(f ;h)Bp = sup
|t|≤h
∥∥∥∆k
t f(x)
∥∥∥
Bp
,
где
∆k
t f(x) =
k∑
r=0
(−1)k−r(kr )f(x− (2r − k)t/2), h > 0, k ∈ N.
2. Показатели Фурье Λ{λn}, n→∞, имеют единственную предельную точку Λ 6=∞. Не
нарушая общности рассуждений можно принять, что Λ = 0, т. е.
λ−n = −λn, |λn| < |λn−1|, n = 1, 2, . . . , lim
n→∞
|λn| = 0. (3)
В качестве структурной характеристики применяется модуль усреднения порядка k функции
f ∈ Bp, p ≥ 1,
Wk(f ;H)Bp = sup
T≥H
‖fTk(x)‖Bp , (4)
где H > 0, k ∈ N,
fTk(x) = (2T )−k
x+T∫
x−T
dt1
t1+T∫
t1−T
dt2 . . .
tk−2+T∫
tk−2−T
dtk−1
tk−1+T∫
tk−1−T
f(tk)dtk.
В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1718 Ю. Х. ХАСАНОВ
Лемма 1. Если последовательности функций {ϕn(x)} принадлежат B1, n = 1, 2, . . . , и
почти всюду ϕn(x) ≥ 0, n = 1, 2, . . . , то из условия
∞∑
n=1
M{ϕn(x)} <∞
следует, что ряд
∑∞
n=1 ϕn(x) почти всюду сходится. Здесь
M{f(x)} =
lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
|f(x)|dx
.
Лемма 1 доказана автором в работе [7].
Лемма 2. Если ряд
∑∞
n=0
|un| сходится, то ряд
∞∑
n=0
(Aαn)−1un
суммируем методом |C,α|, 0 < α < 1.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть спектр Λ{λn} функции f ∈ B2 удовлетворяет условиям (2). Тогда
условие
∞∑
ν=0
2−ν
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 <∞ (5)
влечет
∣∣∣∣C, 1
2
∣∣∣∣-суммируемость ряда (1).
Доказательство. В силу леммы 1 достаточно установить сходимость почти всюду ряда
G(f ;α) =
∞∑
n=1
M{|σαn(x)− σαn−1(x)|}, (6)
где
σαn =
n∑
k=0
(Aαn)−1Aαn−kak, A
α
n =
(α+ 1)(α+ 2) . . . (α+ n)
n!
.
Известно [7, с. 1273], что
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=0
2−ν(α+
1
2
)
2ν−1∑
n=1
2ν+1−1∑
k=2ν
+
2ν+1−1∑
n=2ν
2ν+1−1∑
k=n
n2a2n
(n− k + 1)2(1−α)
1
2
. (7)
Пусть α =
1
2
, тогда
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=0
2−ν(
1
2
+ 1
2
)
2ν−1∑
n=1
2ν+1−1∑
k=2ν
+
2ν+1−1∑
n=2ν
2ν+1−1∑
k=n
n2a2n
n− k + 1
1
2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1719
=
∞∑
ν=0
2−ν
2ν+1−1∑
n=1
n2a2n
1
2
=
∞∑
ν=0
2−ν
ν∑
k=0
2k+1−1∑
n=2k
n2a2n
1
2
≤
≤
∞∑
ν=0
2−ν
ν∑
k=0
2k+1
2k+1−1∑
n=2k
a2n
1
2
.
Меняя порядок суммирования, получаем
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=0
2−ν · 2ν
2ν+1−1∑
n=2ν
a2n
1
2
=
∞∑
ν=0
2ν+1−1∑
n=2ν
a2n
1
2
.
Применяя неравенство (см. [11, с. 308])
∞∑
n=1
dβn ≤ cβ
∞∑
n=1
n−β
( ∞∑
ν=n
dν
)β
, 0 < β < 1, dn ≥ 0,
получаем
G(f ;α) = O
∞∑
ν=0
2−ν
2ν+1−1∑
n=2ν
a2n
1
2
. (8)
Пусть λn ≥ π и
Nν =
{
n : 2ν−1π ≤ λn < 2νπ
}
, ν ≥ 1,
m(Nν) — количество элементов в Nν . Коэффициентами Фурье функции ∆k
hf(x) будут числа
an2k sink
h
2
λn. Тогда в силу равенства Парсеваля [9]
22k
∞∑
n=1
|an |2 sin2k h
2
λn =
∥∥∥∆k
hf(x)
∥∥∥
B2
. (9)
Из равенства (9) следует, что при любом ν = 1, 2, . . . справедливо
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2 sin2k h
2
λn ≤ ω2
k(f ;h)B2 . (10)
Для h = 1/λ2ν и n = 2ν−1, . . . , 2ν − 1 будет hλn/2 ≤ 1/2, поэтому
sin
hλn
2
= sin
λn
2λ2ν
≥
(
sin
1
2
)
λn
λ2ν
.
Отсюда с учетом (10) получаем
ω2
k
(
f,
1
λ2ν
)
B2
� 1
λ2k2ν
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2 λ2kn �
(
λ2ν−1
λ2ν
)2k 2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1720 Ю. Х. ХАСАНОВ
Следовательно, 2k+1−1∑
n=2k
a2n
1
2
≤
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 . (11)
После применения этой оценки в (8) будем иметь
G(f ;α) = O
{ ∞∑
ν=0
2−ν
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2
}
.
Из последнего в силу оценки (5) следует сходимость почти всюду ряда (6), откуда согласно
лемме 2 вытекает
∣∣∣∣C;
1
2
∣∣∣∣-суммируемость ряда (1).
Дальнейшие рассуждения опираются на следующее утверждение, доказательство которого
можно найти в работе [4].
Лемма 3. Для произвольной последовательности выполняется неравенство
∞∑
n=1
2n+1∑
k=2n+1
a2k
1
2
≤ 4 ·
∞∑
n=2
(∑∞
k=n
a2k
)1
2
n(lnn)
1
2
.
Теорема 2. Если спектр Λ{λn} функции f ∈ B2 удовлетворяет условиям (2) и
∞∑
ν=0
2−ν(ln 2ν)−1/2
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 <∞, (12)
то ряд (1) почти всюду |C;α|-суммируем при любом α >
1
2
.
Доказательство. Пусть α >
1
2
. Тогда 2 − 2α < 1. Следовательно, после перестановки
порядка суммирования в (7) и в силу того, что
2m+1−1∑
ν=2m
1
(n− ν + 1)2(1−α)
= O
(
2m(α+1/2)
)
,
получим
G(f ;α) ≤
∞∑
n=0
2−n(α+1/2)2n(α+1/2)
2n+1−1∑
ν=2n
a2ν
1
2
=
∞∑
n=0
2n+1−1∑
ν=2n
a2ν
1
2
.
После применения леммы 3 будем иметь
G(f ;α) ≤
∞∑
n=2
n−1(lnn)−
1
2
2n+1−1∑
ν=2n
a2ν
1
2
.
Отсюда, используя оценки (11), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1721
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=1
2−ν(ln 2ν)−
1
2
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 .
Используя (6) и лемму 2, завершаем доказательство теоремы 2.
Теперь перейдем к рассмотрению признаков |C;α|-суммируемости почти всюду рядов Фу-
рье функции f(x) ∈ B2 для значений α ≥ 1
2
, когда показатели Фурье имеют предельную точку
в нуле. Как было отмечено, в качестве структурной характеристики используется величина (4)
— модуль усреднения порядка k функции f ∈ Bp, p ≥ 1.
Теорема 3. Пусть спектр Λ{λn} функции f(x) ∈ B2 удовлетворяет условиям (3). Тогда
условие
∞∑
ν=0
2−νWk(f ;λ−12ν )B2 <∞ (13)
влечет
∣∣∣∣C, 1
2
∣∣∣∣-суммируемость почти всюду ряда (1).
Доказательство. Пусть ряд
∑∞
n=0
ane
iλnx является рядом Фурье функции f ∈ B2. Тогда
рядом Фурье функции fTk(x) будет ряд
∞∑
n=0
ane
iλnx
{
sinλnT
iλnT
}k
.
Это следует из тождества
1
(2T )k
x+T∫
x−T
dt1
t1+T∫
t1−T
dt2 . . .
tk−2+T∫
tk−2−T
dtk−1
tk−1+T∫
tk−1−T
eiλntkdtk = eiλnx
{
sinλnT
iλnT
}k
.
В силу равенства Парсеваля
∞∑
n=1
∣∣∣∣∣an
{
sinλnT
iλnT
}k∣∣∣∣∣
2
1
2
= ‖fTk(x)‖B2
≤Wk(f ;T )B2 .
Из этого равенства следует, что при любом ν = 1, 2, . . .
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2
{
sinλnT
λnT
}2k
≤W 2
k (f ;T )B2 . (14)
Для T = λ−1
2ν−1 и n = 2ν−1, . . . , 2ν − 1 будет λnT ≤ 1, поэтому sinλnT ≥ (sin 1)λnT . Отсюда и
из (14) следует оценка
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2 �W 2
k (f ;λ−1
2ν−1)B2 . (15)
Подставляя эту оценку в (7), при α =
1
2
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1722 Ю. Х. ХАСАНОВ
G(f ;α)�
∞∑
ν=0
2−νWk(f ;λ−12ν )B2 .
Из последнего, в силу оценки (13) следует сходимость почти всюду ряда (6), откуда согласно
лемме 2 следует
∣∣∣∣C, 1
2
∣∣∣∣-суммируемость ряда (1).
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Если спектр Λ{λn} функции f(x) ∈ B2 удовлетворяет условиям (3) и
∞∑
ν=0
2−ν(ln 2ν)−1/2Wk(f ;λ−12ν )B2 <∞, (16)
то ряд (1) почти всюду |C;α|-суммируем при любом α >
1
2
.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2, но здесь вместо оцен-
ки (11) используется соотношение (15).
1. Tandori K. Über die orthogonalen Funktionen IX. (Absolute Summation) // Acta Sci. Math. – 1960. – 21. – S. 292 – 299.
2. Leindler L. Über die absolute Summierbarkeit der Оrthogonalreihen // Acta Sci. Math. – 1961. – 22. – S. 243 – 268.
3. Billard P. Sur la sommabilitie absolute des series de fonctions orthogonales // Bull. Sci. Math. – 1961. – 85. –
S. 29 – 31.
4. Грепачевская Л. В. Абсолютная суммируемость ортогональных рядов // Мат. сб. – 1964. – 65 (107), № 3. –
С. 370 – 389.
5. Грепачевская Л. В. Об абсолютной суммируемости методами Чезаро, Рисса и Зигмунда // Докл. АН СССР. –
1964. – 155, № 3. – С. 370 – 389.
6. Тиман М. Ф. Об абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье // Сообщ. АН ГССР. – 1961. – 26, № 6. –
С. 641 – 646.
7. Тиман М. Ф., Хасанов Ю. Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций
Безиковича // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 9. – С. 1267 – 1276.
8. Besicovitch. Almost periodic functions. – Cambridge, 1932.
9. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехтеориздат, 1953.
10. Sunouchi G. On the absolute summability of Fourier series //J. Math. Soc. Jap. – 1949. – 1, № 2. – P. 57 – 65.
11. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
Получено 01.10.12,
после доработки — 09.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
|