O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала
Вивчаються зображення розв'язків рівняння Дірака, властивості спектральних даних та обернені задачі оператора Дірака на скінченному інтервалі з умовами розриву всередині інтервалу....
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165732 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала / Р.Х. Амиров // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 601–613. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165732 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657322020-02-17T01:26:10Z O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала Амиров, Р.Х. Статті Вивчаються зображення розв'язків рівняння Дірака, властивості спектральних даних та обернені задачі оператора Дірака на скінченному інтервалі з умовами розриву всередині інтервалу. We study representations of solutions of the Dirac equation, properties of spectral data, and inverse problems for the Dirac operator on a finite interval with discontinuity conditions inside the interval. 2005 Article O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала / Р.Х. Амиров // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 601–613. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165732 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Амиров, Р.Х. O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються зображення розв'язків рівняння Дірака, властивості спектральних даних та обернені задачі оператора Дірака на скінченному інтервалі з умовами розриву всередині інтервалу. |
| format |
Article |
| author |
Амиров, Р.Х. |
| author_facet |
Амиров, Р.Х. |
| author_sort |
Амиров, Р.Х. |
| title |
O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала |
| title_short |
O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала |
| title_full |
O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала |
| title_fullStr |
O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала |
| title_full_unstemmed |
O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала |
| title_sort |
o системе дифференциальных уравнений дирака с условиями разрыва внутри интервала |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165732 |
| citation_txt |
O системе дифференциальных уравнений Дирака с условиями разрыва внутри интервала / Р.Х. Амиров // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 601–613. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT amirovrh osistemedifferencialʹnyhuravnenijdirakasusloviâmirazryvavnutriintervala |
| first_indexed |
2025-07-14T19:44:33Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:44:33Z |
| _version_ |
1837652801372553216 |
| fulltext |
UDK 517.9
R.�X.�Amyrov (Baku, AzerbajdΩan)
O SYSTEME DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ
DYRAKA S USLOVYQMY RAZRÁVA VNUTRY YNTERVALA
We study representations of solutions of the Dirac equation, properties of spectral data, and inverse
problems of the Dirac operator on a finite interval with conditions of discontinuity inside the interval.
Vyvçagt\sq zobraΩennq rozv’qzkiv rivnqnnq Diraka, vlastyvosti spektral\nyx danyx ta ober-
neni zadaçi operatora Diraka na skinçennomu intervali z umovamy rozryvu vseredyni intervalu.
1. Vvedenye. Rassmotrym kanonyçeskug systemu dyfferencyal\n¥x uravne-
nyj Dyraka
B y ′ + Ω ( x ) y = λ y , 0 < x < π , (1)
na koneçnom yntervale. Zdes\
B =
0 1
1 0−
, Ω ( x ) =
p x q x
q x p x
( ) ( )
( ) ( )−
, y ( x ) =
y x
y x
1
2
( )
( )
.
PredpoloΩym, çto p ( x ) y q ( x ) — dejstvytel\n¥e funkcyy yz prostran-
stva L2 ( 0 , π ) .
Oboznaçym çerez L kraevug zadaçu, poroΩdennug uravnenyem (1) s hranyç-
n¥my uslovyqmy
y1 ( 0 ) = 0, (2)
y1 ( π ) = 0, (3)
a takΩe uslovyqmy razr¥va vo vnutrennej toçke x = a yntervala ( 0 , π ) :
y ( a – 0) = A y ( a + 0) , A =
α
α
0
0 1−
, a ∈ ( 0 , π ) . (4)
Zdes\ α > 0 — dejstvytel\noe çyslo y α ≠ 1.
Yz (2) y (3) vydno, çto v toçkax x = 0 y x = π hranyçn¥e uslovyq ymegt
specyal\n¥j vyd. MoΩno rassmatryvat\ y obwye samosoprqΩenn¥e hranyçn¥e
uslovyq, a takΩe sluçaj, kohda v uslovyy (4) matryca A — lgbaq samosoprq-
Ωennaq matryca vtoroho porqdka y det A = 1.
Cel\g nastoqwej rabot¥ qvlqetsq yssledovanye prqm¥x y obratn¥x zadaç
spektral\noho analyza dlq kraevoj zadaçy L .
Dlq klassyçeskyx operatorov Íturma – Lyuvyllq, Dyraka, uravnenyq Íre-
dynhera y hyperbolyçeskyx uravnenyj prqm¥e y obratn¥e zadaçy dostatoçno
polno yzuçen¥ (sm. [1 – 6] y pryvedennug v nyx byblyohrafyg). Nalyçye uslo-
vyq razr¥va vnutry yntervala vnosyt kaçestvenn¥e yzmenenyq v yssledovanye.
Nekotor¥e aspekt¥ prqm¥x y obratn¥x zadaç dlq operatorov Íturma – Lyu-
vyllq y Dyraka s uslovyqmy razr¥va yzuçalys\ v [7 – 12].
2. Predstavlenye reßenyq. Oboznaçym çerez Y 0 ( x , λ ) matryçnoe reße-
nye uravnenyq (1) pry Ω ( x ) ≡ 0, udovletvorqgwee uslovyg Y0 ( 0 , λ ) = I ( I —
edynyçnaq matryca) . Tohda Y0 ( x , λ ) ymeet vyd
Y0 ( x , λ ) =
e x a
e A e x
B x
B x a Ba
−
− − − −
< <
< <
λ
λ λ π
, ,
, .( )
0
01
(5)
Pust\ Y ( x , λ ) — matryçnoe reßenye uravnenyq (1), udovletvorqgwee uslo-
© R.=X.=AMYROV, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 601
602 R.=X.=AMYROV
vyg Y ( 0 , λ ) = I . DokaΩem, çto reßenye Y ( x , λ ) moΩno predstavyt\ v vyde
Y ( x , λ ) = Y0 ( x , λ ) + K x t e dtBt
x
x
( , ) −
−
∫ λ . (6)
Netrudno pokazat\, çto yntehral\noe uravnenye dlq reßenyq Y ( x , λ ) ymeet vyd
Y ( x , λ ) = Y0 ( x , λ ) + Y x Y t B t Y t dt
x
0 0
1
0
( , ) ( , ) ( ) ( , )λ λ λ−∫ Ω . (7)
Dlq toho çtob¥ funkcyq vyda (6) udovletvorqla uravnenyg (7), dolΩno v¥-
polnqt\sq ravenstvo
K x t e dtBt
x
x
( , ) −
−
∫ λ = Y x Y t B t Y t dt
x
0 0
1
0
0
( , ) ( , ) ( ) ( , )λ λ λ−∫ Ω +
+ Y x Y t B t K t s e ds dtBs
t
tx
0 0
1
0
( , ) ( , ) ( ) ( , )λ λ λ− −
−
∫∫ Ω , (8)
y naoborot, esly matryca-funkcyq K ( x , t ) udovletvorqet πtomu ravenstvu, to
matryca-funkcyq Y ( x , λ ) udovletvorqet uravnenyg (7). Preobrazuem pravug
çast\ ravenstva (8) tak, çtob¥ ona ymela vyd, analohyçn¥j levoj çasty. Vvedem
sledugwye oboznaçenyq:
K± ( x , t ) = 1
2
K x t B K x t B( , ) ( , )±[ ] ( K ( x , t ) = K+ ( x , t ) + K– ( x , t ) ) .
Yz vyda matryc-funkcyj K+ ( x , t ) y K– ( x , t ) qsno, çto ony udovletvorqgt sle-
dugwym svojstvam:
B K+ ( x , t ) = 1
2
B K x t K x t B( , ) ( , )−[ ] = – K+ ( x , t ) B ,
B K– ( x , t ) = 1
2
B K x t K x t B( , ) ( , )+[ ] = K– ( x , t ) B .
Uçyt¥vaq, çto
Y x Y t0 0
1( , ) ( , )λ λ− =
e t x a
e
e t a x
e a t x
B x t
B x t
B a x t
B x t
− −
+ − −
− − − −
− −
< <
+
+
−
< <
< <
λ
λ
λ
λ
α
α
( )
( )
( )
( )
, ,
, ,
, ,
1 0
0 1
2
hde α± = 1
2
1
α
α±
, y preobrazuq pravug çast\ ravenstva (8) dlq matryc-funk-
cyj K+ ( x , t ) y K– ( x , t ) , poluçaem sledugwug systemu yntehral\n¥x uravnenyj:
K+ ( x , t ) = 1
2 2 2
B
x t
B K t x d
x t
x
Ω Ω+
+ + −−
+
∫ ( ) ( , )
( )/
ξ ξ ξ ξ , esly t < x < a ,
K– ( x , t ) = B K t x d
x t
x
Ω( ) ( , )
( )/
ξ ξ ξ ξ+
+
+ −∫
2
, esly t < x < a ,
K+ ( x , t ) = α α ξ ξ ξ ξ
+
+
−
+
+
+ − +∫2 2 2
B
x t
B K t x d
x t
a
Ω Ω( ) ( , )
( )/
+
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
O SYSTEME DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ DYRAKA … 603
+ α ξ ξ ξ ξ−
+
− −−
+ + −∫
1 0
0 1
2
2 2
B K t x a d
a x t
a
Ω( ) ( , )
( )/
+
+ B K t x d
a
x
Ω( ) ( , )ξ ξ ξ ξ− + −∫ , esly x > a , – x < t < 2a – x ,
K+ ( x , t ) = α
+ +
2 2
B
x tΩ +
+ B K t x d
x t
x
Ω( ) ( , )
( )/
ξ ξ ξ ξ−
+
+ −∫
2
, esly x > a , 2a – x < t < x ,
K– ( x , t ) = α ξ ξ ξ ξ+
+
+
− +∫ B K t x d
x t
a
Ω( ) ( , )
( )/2
+
+ α ξ ξ ξ ξ−
−
− −−
+ + −∫
1 0
0 1
2
2 2
B K t x a d
a x t
a
Ω( ) ( , )
( )/
+
+ B K t x d
a
x
Ω( ) ( , )ξ ξ ξ ξ+ + −∫ , esly x > a , – x < t < x – 2a ,
K– ( x , t ) = α
−
−
− +
2
1 0
0 1
2
2
B
t x aΩ +
+ α ξ ξ ξ ξ+
+
+
− +∫ B K t x d
x t
a
Ω( ) ( , )
( )/2
+
+ α ξ ξ ξ ξ−
−
− −−
+ + −∫
1 0
0 1
2
2 2
B K t x a d
a x t
a
Ω( ) ( , )
( )/
+
+ B K t x d
a
x
Ω( ) ( , )ξ ξ ξ ξ+ + −∫ , esly x > a , x – 2a < t < 2a – x ,
K– ( x , t ) = α
−
−
− +
2
1 0
0 1
2
2
B
t x aΩ + α
− + −
−
2
2
2
1 0
0 1
B
x a tΩ +
+ B K t x d
x t
x
Ω( ) ( , )
( )/
ξ ξ ξ ξ+
+
+ −∫
2
, esly x > a , 2a – x < t < x .
Prymenqq metod posledovatel\n¥x pryblyΩenyj (sm. [2, 5]), poluçaem sle-
dugwug teoremu.
Teorema 1. Pust\
|| ||∫ Ω( )x dx
0
π
< + ∞ .
Tohda reßenye Y ( x , λ ) uravnenyq (1), udovletvorqgwee naçal\nomu uslovyg
Y ( 0 , λ ) = I , moΩno predstavyt\ v vyde (6), pryçem evklydova norma || ||K x t( , )
udovletvorqet neravenstvu
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
604 R.=X.=AMYROV
|| ||
−
∫ K x t dt
x
x
( , ) ≤ eC xσ( ) − 1,
hde σ ( x ) = || ||∫ Ω( )t dt
x
0
, C — poloΩytel\naq postoqnnaq.
Dalee, esly funkcyq Ω ( x ) dyfferencyruema, to qdro K ( x , t ) udovletvo-
rqet sootnoßenyqm
B Kx + Ω ( x ) K = – Kt B ,
K x B( , )0
0
1−
= 0,
Ω ( x ) + B K ( x , x ) = K ( x , x ) B , esly 0 < x < a ,
α+
Ω ( x ) + B K ( x , x ) = K ( x , x ) B , esly x > a ,
B [ K ( x , 2a – x + 0 ) – K ( x , 2a – x – 0 ) ] =
= – [ K ( x , 2a – x + 0 ) – K ( x , 2a – x – 0 ) ] B , esly x < a ,
α−
−
Ω( )x
1 0
0 1
+ B [ K ( x , 2a – x + 0 ) – K ( x , 2a – x – 0 ) ] =
= – [ K ( x , 2a – x + 0 ) – K ( x , 2a – x – 0 ) ] B , esly x > a .
Otmetym, çto esly p ( x ) ∈ L2 ( 0 , π ) , q ( x ) ∈ L2 ( 0 , π ) , to πlement¥ matryc¥-
funkcyy K ( x , t ) = ( )( , ) ,K x tij i j=1
2
pry kaΩdom fyksyrovannom x ∈ [ 0 , π ] pry-
nadleΩat prostranstvu L2 ( 0 , π ) po peremennoj t .
3. Svojstva spektra. V πtom punkte yzuçagtsq svojstva spektra zadaçy L .
V=sluçae Ω ( x ) ≡ 0 zadaçu L oboznaçym çerez L0 . Netrudno pokazat\, çto
reßenye ϕ0 ( x , λ ) =
ϕ λ
ϕ λ
01
02
( , )
( , )
x
x
uravnenyq B y ′ = λ y s naçal\n¥m uslovyem
ϕ0 ( 0 , λ ) =
0
1−
y uslovyqmy (4) ymeet vyd
ϕ0 ( x , λ ) =
sin
cos
, ,
sin
cos
sin ( )
cos ( )
, .
λ
λ
α
λ
λ
α
λ
λ
π
x
x
x a
x
x
a x
a x
a x
−
< <
−
+
−
×
×
−
− −
< <
+ −
0
1 0
0 1
2
2
Oboznaçym çerez ∆0 ( λ ) xarakterystyçeskug funkcyg zadaçy L0 :
∆0 ( λ ) ≡ α+
sin λπ + α–
sin λ ( 2a – π ) .
Korny πtoho uravnenyq λn
0
qvlqgtsq sobstvenn¥my znaçenyqmy zadaçy L0 .
PredpoloΩym, çto λn
0 > 0, esly n > 0, λn
0 = 0 y λ−n
0 = – λn
0 , n = 1, 2, … .
Lemma 1. Ymeet mesto sootnoßenye inf
n m n m≠
| |−λ λ0 0 = β > 0, t .$e. korny
xarakterystyçeskoho uravnenyq ∆0 ( λ ) = 0 otdelen¥.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
O SYSTEME DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ DYRAKA … 605
Dokazatel\stvo. Dopustym protyvnoe, t.=e. pust\ suwestvugt podposle-
dovatel\nosty λnk
0{ } y λ̂nk
0{ } posledovatel\nosty λn
0{ } takye, çto λnk
0 ≠ λ̂nk
0 ,
λnk
0 , λ̂nk
0 → ∞ pry k → + ∞ y
lim ˆ
k n nk k→∞
−λ λ0 0 = 0.
Yspol\zuq ortohonal\nost\ sobstvenn¥x funkcyj ϕ λ0
0x nk
,( ) y ϕ λ0
0x nk
, ˆ( ) za-
daçy L0 v prostranstve L2 ( 0 , π ; R
2
) , poluçaem
0 = ϕ λ ϕ λ
π
0
0
0
0
0
x x dxn nk k
, , , ˆ( ) ( )∫ = ϕ λ ϕ λ
π
0
0
0
0
0
x x dxn nk k
, , ,( ) ( )∫ +
+ ϕ λ ϕ λ ϕ λ
π
0
0
0
0
0
0
0
x x x dxn n nk k k
, , , ˆ ,( ) ( ) − ( )[ ]∫ ≥
≥ ϕ λ ϕ λ0
0
0
0
0
x x dxn n
a
k k
, , ,( ) ( )∫ +
+ ϕ λ ϕ λ ϕ λ
π
0
0
0
0
0
0
0
x x x dxn n nk k k
, , , ˆ ,( ) ( ) − ( )[ ]∫ ≥
≥ sin cos2 0 2 0
0
λ λn n
a
k k
x x dx+( )∫ +
+ ϕ λ ϕ λ ϕ λ
π
0
0
0
0
0
0
0
x x x dxn n nk k k
, , , ˆ ,( ) ( ) − ( )[ ]∫ =
= a + ϕ λ ϕ λ ϕ λ
π
0
0
0
0
0
0
0
x x x dxn n nk k k
, , , ˆ ,( ) ( ) − ( )[ ]∫ .
Zdes\ çerez 〈 ⋅ , ⋅ 〉 oboznaçeno skalqrnoe proyzvedenye v evklydovom prostran-
stve R
2.
Takym obrazom, poluçym neravenstvo
0 ≥ ϕ λ ϕ λ ϕ λ
π
0
0
0
0
0
0
0
x x x dx an n nk k k
, , , ˆ ,( ) ( ) − ( ) +∫ . (9)
Yz vyda reßenyq ϕ0 ( x , λ ) sleduet, çto
lim , ˆ ,
k n n R
x x
k k→∞ ( ) − ( )ϕ λ ϕ λ0
0
0
0
2 = 0 ( || ||⋅
R2 = 〈⋅ ⋅〉, )
ravnomerno po x ∈ [ 0 , π ] . Poπtomu, perexodq k predelu pry k → ∞ v nera-
venstve (9), ymeem 0 ≥ a . Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet spravedlyvost\
lemm¥.
Oboznaçym çerez ∆ ( λ ) , { λn } y { αn } sootvetstvenno xarakterystyçeskug
funkcyg, posledovatel\nost\ sobstvenn¥x znaçenyj y normyrovoçn¥x çysel
zadaçy L . Pust\ ϕ ( x , λ ) =
ϕ λ
ϕ λ
1
2
( , )
( , )
x
x
— reßenye uravnenyq (1), udovletvorqg-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
606 R.=X.=AMYROV
wee naçal\nomu uslovyg ϕ ( 0 , λ ) =
0
1−
y uslovyqm (4). Tohda s pomow\g
vektor-reßenyj
F ( x , λ ) = Y ( x , λ ) ⋅
1
−
i
, f0 ( x , λ ) = Y0 ( x , λ ) ⋅
1
−
i
moΩno zapysat\
ϕ ( x , λ ) = 1
2i
F x F x( , ) ( , )λ λ−[ ], ϕ0 ( x , λ ) = 1
2 0 0i
f x f x( , ) ( , )λ λ−[ ].
Sledovatel\no, yspol\zuq predstavlenye (6), dlq reßenyq ϕ ( x , λ ) ymeem
ϕ ( x , λ ) = ϕ0 ( x , λ ) + K x t
t
t
dt
x
x
( , )
sin
cos
λ
λ−
−
∫ .
Tohda dlq ϕ1 ( x , λ ) — pervoj komponent¥ reßenyq ϕ ( x , λ ) — poluçaem
ϕ1 ( x , λ ) = ϕ01 ( x , λ ) + K x t t dt K x t t dt
x
x
x
x
11 12( , )sin ( , )cosλ λ
− −
∫ ∫− ,
yly
ϕ1 ( x , λ ) = ϕ01 ( x , λ ) + ˜ ( , )sin ˜ ( , )cosK x t t dt K x t t dt
x x
11
0
12
0
λ λ∫ ∫+ ,
hde
˜ ( , )K x t11 = K x t K x t11 11( , ) ( , )+ − ,
˜ ( , )K x t12 = − − −K x t K x t12 12( , ) ( , ) ,
˜ ( , ), ˜ ( , )K x K x11 12⋅ ⋅ ∈ L2 ( –x , x ) .
Takym obrazom, xarakterystyçeskoe uravnenye zadaçy L budet ymet\ vyd
∆ ( λ ) = ∆0 ( λ ) + ˜ ( , )sin ˜ ( , )cosK t t dt K t t dt11
0
12
0
π λ π λ
π π
∫ ∫+ = 0.
Lemma 2. Sobstvenn¥e znaçenyq zadaçy L prost¥e, t.$e. ∆̇( )λn ≠ 0.
Dokazatel\stvo. Poskol\ku
B ϕ′ ( x , λ ) + Ω ( x ) ϕ ( x , λ ) = λ ϕ ( x , λ ) ,
B ˙ ′ϕ ( x , λ ) + Ω ( x ) ϕ̇ ( x , λ ) = λ ϕ̇ ( x , λ ) + ϕ ( x , λ ) ,
umnoΩaq skalqrno v evklydovom prostranstve R
2
pervoe uravnenye na ϕ̇ ( x , λ ) ,
vtoroe uravnenye na ϕ ( x , λ ) y v¥çytaq yz vtoroho ravenstva pervoe, poluçaem
〈 ϕ , ϕ 〉 = B ˙ ,′ϕ ϕ – B ′ϕ ϕ, ˙ .
Yntehryruq poslednee ravenstvo na otrezke [ 0 , π ] y uçyt¥vaq, çto
αn = ϕ ϕ
π
n n dx,
0
∫ = ϕ λ ϕ λ
π
1
2
2
2
0
( , ) ( , )x x dxn n+[ ]∫ ,
posle yntehryrovanyq po çastqm poluçaem
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
O SYSTEME DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ DYRAKA … 607
αn = – ˙ ( )∆ λn ϕ2 ( π , λn ) .
Otsgda sleduet, çto ˙ ( )∆ λn ≠ 0.
Lemma dokazana.
Lemma 3. Dlq sobstvenn¥x znaçenyj zadaçy L spravedlyvo asymptoty-
çeskoe ravenstvo
λn = λn
0 + εn ,
hde { εn } ∈ l2 .
Dokazatel\stvo. Oboznaçym
Γn = λ λ λ β
: , , , , ,| | | |= + = ± ± …{ }n n0
2
0 1 2 ,
Gδ = λ λ λ δ: , , , , ,| |− ≥ = ± ± …{ }n n0 0 1 2 ,
hde δ — dostatoçno maloe poloΩytel\noe çyslo ( δ << β / 2 ) . Yz vyda ∆0 ( λ ) y
lemm¥ 1 sleduet, çto ∆0 ( λ ) qvlqetsq funkcyej typa „synusa”. Poπtomu [13,
s. 118, 119] dlq λ ∈ Gδ v¥polnqgtsq neravenstva
| ∆0 ( λ ) | > C eδ
λ π| |Im , ˙ ( )∆0
0λn ≥ γ > 0.
S druhoj storon¥ [2] (lemma 1.3.1),
lim ( ) ( )Im ( )
| |→∞
−| | −
λ
λ π λ λe ∆ ∆0 =
= lim ˜ ( , )sin ˜ ( , )cosIm Im
| |→∞
−| | −| |∫ ∫+
λ
λ π
π
λ π
π
π λ π λe K t t dt e K t t dt11
0
12
0
= 0,
t.=e. pry dostatoçno bol\ßyx n dlq λ ∈ Γn v¥polnqetsq neravenstvo
| ∆ ( λ ) – ∆0 ( λ ) | <
C
eδ λ π
2
| |Im .
Znaçyt, dlq λ ∈ Γn , hde n — dostatoçno bol\ßoe natural\noe çyslo, ymeem
| ∆0 ( λ ) | ≥ C eδ
λ π| |Im >
C
eδ λ π
2
| |Im > | ∆ ( λ ) – ∆0 ( λ ) | .
Tohda, yspol\zuq teoremu Ruße, poluçaem, çto vnutry kontura Γn pry dosta-
toçno bol\ßom n funkcyy ∆0 ( λ ) y ∆0 ( λ ) + { ∆ ( λ ) – ∆0 ( λ ) } = ∆ ( λ ) ymegt
odynakovoe çyslo nulej, t.=e. 2n + 1 nulej: λ – n , … , λ0, … , λn . Analohyçno,
yspol\zuq teoremu Ruße, moΩno dokazat\, çto pry dostatoçno bol\ßyx n v
kaΩdom kruhe | λ – λn
0
| < δ ymeetsq rovno odyn nul\ funkcyy ∆ ( λ ) . Poskol\-
ku δ — lgboe dostatoçno maloe çyslo, moΩno zapysat\ λn = λn
0 + εn , hde
lim
n n→∞
ε = 0, a tak kak çysla λ n qvlqgtsq kornqmy xarakterystyçeskoj funk-
cyy ∆ ( λ ) , to
∆ ( λn ) = ∆0 ( λn
0 + εn ) + ˜ ( , )sin( )K t t dtn n11
0
0
π λ ε
π
+∫ +
+ ˜ ( , )cos( )K t t dtn n12
0
0
π λ ε
π
+∫ = 0.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
608 R.=X.=AMYROV
S druhoj storon¥,
∆0
0( )λ εn n+ = ˙ ( )( )∆0
0 1 1λ εn no+[ ] .
Poπtomu dlq opredelenyq povedenyq εn poluçym
ε λ π λ ε
π
n n n no K t t dt˙ ( ) ( , )sin( ) ( )˜∆0
0
11
0
0
1 1+[ ] + +∫ +
+ ˜ ( , )cos( )K t t dtn n12
0
0
π λ ε
π
+∫ = 0. (10)
Dalee, sleduq rezul\tatam rabot [14, 15], ymeem
λn
0 = n + hn , sup | hn | ≤ µ .
Poπtomu [2, s. 67]
˜ ( , )sin( )K t t dtn n11
0
0
π λ ε
π
+
∫ ∈ l2 , ˜ ( , )cos( )K t t dtn n12
0
0
π λ ε
π
+
∫ ∈ l2 .
Sledovatel\no, yz (10) poluçaem, çto { εn } ∈ l2 .
Lemma dokazana.
Lemma 4. Dlq normyrovoçn¥x çysel zadaçy L spravedlyvo asymptotyçes-
koe ravenstvo
αn = αn
0 + δn ,
hde { δn } ∈ l2 .
Dokazatel\stvo. V sylu lemm¥ 3 yz predstavlenyj ∆ ( λ ) y ϕ2 ( π , λ ) ne-
trudno poluçyt\ sledugwye sootnoßenyq:
˙ ( )∆0 λn = ˙ ( )∆0
0λn + O ( εn ) ,
ϕ2 ( π , λn ) = ϕ π λ2 0
0
, ( ), n + δ̃n , δ̃n{ } ∈ l2 .
Poπtomu
αn = – ˙ ( )∆ λn ϕ2 ( π , λn ) = – ˙ ( ) , ˜( ) ( ),∆0
0
2 0
0λ ε ϕ π λ δn n n nO+[ ] +[ ] = αn
0 + δn ,
hde
δn = – ˙ ˜( )∆0
0λ δn n + O n n( ) ,, ( )ε ϕ π λ2 0
0 + O n n( ) ˜ε δ .
Oçevydno, çto { δn } ∈ l2 .
Lemma dokazana.
4. Reßenye Vejlq. Funkcyq Vejlq. Pust\ vektor-funkcyq Φ ( x , λ ) =
=
Φ
Φ
1
2
( , )
( , )
x
x
λ
λ
qvlqetsq reßenyem uravnenyq (1) y udovletvorqet uslovyqm
Φ1( 0, λ) = 1, Φ1 ( π , λ ) = 0, a takΩe uslovyqm sklejky (4). Funkcyg Φ ( x , λ )
budem naz¥vat\ reßenyem Vejlq dlq kraevoj zadaçy L .
Oboznaçym çerez ψ ( x , λ ) =
ψ λ
ψ λ
1
2
( , )
( , )
x
x
y C ( x , λ ) =
C x
C x
1
2
( , )
( , )
λ
λ
reßenyq urav-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
O SYSTEME DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ DYRAKA … 609
nenyq (1), udovletvorqgwye naçal\n¥m uslovyqm ψ ( π , λ ) =
0
1−
, C ( 0 , λ ) =
=
1
0
y uslovyqm sklejky (4). Qsno, çto funkcyy ψ ( x , λ ) y C ( x , λ ) qvlqgt-
sq cel¥my po λ . Tohda funkcyg ψ ( x , λ ) moΩno predstavyt\ v vyde
ψ ( x , λ ) = – ψ2 ( 0 , λ ) ϕ ( x , λ ) – ∆ ( λ ) C ( x , λ ) .
Oboznaçym
M ( λ ) = + ψ λ
λ
2( , )
( )
x
∆
−
ψ λ
ψ λ
2
1
0
0
( , )
( , )
. (11)
Qsno, çto
Φ ( x , λ ) = C ( x , λ ) + M ( λ ) ϕ ( x , λ ) . (12)
Funkcyg – Φ2 ( 0 , λ ) = M ( λ ) budem naz¥vat\ funkcyej Vejlq dlq zadaçy L .
Reßenye Vejlq y funkcyq Vejlq qvlqgtsq meromorfn¥my po λ funkcyqmy s
polgsamy na spektre zadaçy L . Yz (11) y (12) sleduet
Φ ( x , λ ) = − ψ λ
λ
( , )
( )
x
∆
. (13)
Teorema 2. Spravedlyvo predstavlenye
M ( λ ) = 1 1 1
0 0
0 0
0
α λ λ α λ λ α λ( ) ( ),−
+
−
+
=−∞
≠
+∞
∑
n n n nn
n
. (14)
Dokazatel\stvo. Analohyçno predstavlenyg reßenyq ϕ ( x , λ ) netrudno
poluçyt\ predstavlenye dlq reßenyq ψ ( x , λ ) :
ψ ( x , λ ) = ψ0 ( x , λ ) + N x t
t
t
dt
x
x
( , )
sin
cos( )
λ
λπ
π
−
− −
−
∫ =
= ψ0 ( x , λ ) + ˜( , )
sin
cos
N x t
t
t
dt
x λ
λ
π
−
−
∫
0
, (15)
hde πlement¥ ˜ ( , )N x tij matryc¥-funkcyy ˜( , )N x t = ˜ ( , )
,
N x tij i j
{ } =1
2
pry kaΩdom
fyksyrovannom x ∈ [ 0 , π ] prynadleΩat prostranstvu L 2 ( 0 , π ) po pere-
mennoj t ,
ψ0 ( x , λ ) =
−
−
−
−
−
×
×
− +
− +
< <
−
−
−
< <
+ −α
λ π
λ π
α
λ π
λ π
λ π
λ π
π
sin ( )
cos ( )
sin ( )
cos ( )
, ,
sin ( )
cos ( )
, .
x
x
x a
x a
x a
x
x
a x
1 0
0 1
2
2
0
Vvedem sledugwye oboznaçenyq:
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
610 R.=X.=AMYROV
M0 ( λ ) = − ψ λ
ψ λ
20
10
0
0
( , )
( , )
=
− + −
+ −
+ −
+ −
α λπ α λ π
α λπ α λ π
cos cos ( )
sin sin ( )
2
2
a
a
,
(16)
fi ( λ ) = ˜ ˜( , )sin ( , )cosN t t N t t dti i1 2
0
0 0λ λ
π
−{ }∫ , i = 1, 2.
Tohda yz (15) ymeem
ψi ( 0 , λ ) = ψi , 0 ( 0 , λ ) + fi ( λ ) .
Poskol\ku lim ( )Im
| |→∞
−| | | |
λ
λ π λe fi = 0, | ∆ ( λ ) | > C eδ
λ π| |Im
pry λ ∈ Gδ , yz ra-
venstva
M ( λ ) – M0 ( λ ) =
f f
M2 1
0
( )
( )
( )
( )
( )
λ
λ
λ
λ
λ
∆ ∆
−
sleduet
lim sup ( ) ( )
| |→∞ ∈
| |−
λ λ δ
λ λ
G
M M0 = 0. (17)
Dalee, vektor-funkcyy ϕ ( x , λn ) ( ϕ0 ( x , λn
0 ) ) y ψ ( x , λn ) ( ψ0 ( x , λn
0 ) ) qv-
lqgtsq sobstvenn¥my funkcyqmy zadaçy L ( L0 ) . Poπtomu suwestvugt kon-
stant¥ βn ( )βn
0
takye, çto
ψ ( x , λn ) = βn ϕ ( x , λn ) ψ λ β ϕ λ0
0 0
0
0( ) ( ), ,x xn n n=( ).
Otsgda poluçaem
βn = – ψ2 ( 0, λn ) = − 1
2ϕ π λ( , )n
, βn
0 = – ϕ2, 0 ( 0 , λn
0 ) = − 1
2 0
0ϕ π λ, ( , )n
.
Yspol\zuq ravenstva αn = – ˙ ( )∆ λn ϕ2 ( π , λn ) , αn
0 = − ˙ ,( ) ( ),∆0
0
2 0
0λ ϕ π λn n , ymeem
Res
λ λ
λ
= n
M( ) =
ψ λ
λ
2 0( , )
˙ ( )
n
n∆
= − 1
2
˙ ( , )( )∆ λ ϕ π λn n
= 1
αn
,
(18)
Res
λ λ
λ
= n
M
0 0( ) = 1
0αn
.
Teper\ rassmotrym konturn¥j yntehral
In ( λ ) = 1
2
0
π
µ µ
λ µ
µ
i
M M
d
n
( ) ( )−
−∫
Γ
, λ ∈ int Γn .
V sylu (17) ymeem lim ( )n nI→∞ λ = 0. S druhoj storon¥, sohlasno teoreme o
v¥çetax yz (18) ymeem
In ( λ ) = – M ( λ ) + M0 ( λ ) + 1 1
0 0
0α λ λ α λ λλ λn n n nn n n
( )int int ( )−
−
−∈ ∈
∑ ∑
Γ Γ
.
Otsgda pry n → ∞
M ( λ ) = M0 ( λ ) + 1 1
0 0α λ λ α λ λn n n nn ( ) ( )−
−
−
=−∞
+∞
∑ .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
O SYSTEME DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ DYRAKA … 611
Yz vyda (16) funkcyy M0 ( λ ) sleduet
M0 ( λ ) = 1 1 1 1
0
0 0 0α λ α λ λ λ
+
−
+
=−∞
+∞
∑
nn n n
.
Sravnyvaq dva poslednyx ravenstva, poluçaem
M ( λ ) = 1 1 1 1
0 0
0 0
0
α λ λ α λ λ α λ( ) ( ),−
+
−
+
=−∞
≠
+∞
∑
n n n nn
n
.
5. Obratnaq zadaça. V πtom punkte yssledugtsq obratn¥e zadaçy vossta-
novlenyq kraevoj zadaçy L po zadann¥m funkcyy Vejlq y dyskretn¥m spek-
tral\n¥m dann¥m. ∏ty obratn¥e zadaçy qvlqgtsq obobwenyqmy yzvestn¥x
obratn¥x zadaç dlq system¥ Dyraka (sm. [5, 6]).
Narqdu s L rassmotrym kraevug zadaçu L̃ toho Ωe vyda, no s potencyalom
˜ ( )Ω x . Uslovymsq, çto esly nekotor¥j symvol α oboznaçaet obæekt, otnosq-
wyjsq k zadaçe L , to α̃ budet oboznaçat\ obæekt, otnosqwyjsq k zadaçe L̃ .
Teorema 3. Esly M ( λ ) = ˜ ( )M λ , to L = L̃ . Takym obrazom, zadanye funk-
cyy Vejlq odnoznaçno opredelqet kraevug zadaçu L .
Dokazatel\stvo. Vvedem matrycu P ( x , λ ) = [ Pj k ( x , λ ) ]j, k =1, 2 po formule
P x( , )
˜
˜
˜
˜
λ
ϕ
ϕ
1 1
2 2
Φ
Φ
=
ϕ
ϕ
1 1
2 2
Φ
Φ
.
Yspol\zuq tot fakt, çto vronskyan reßenyj ϕ̃ =
˜
˜
ϕ
ϕ
1
2
y Φ̃ =
˜
˜
Φ
Φ
1
2
W x x˜ ( , ), ( , )˜ϕ λ λΦ{ } ≡ ˜ ( , ) ( , )˜ϕ λ λ1 2x xΦ – ˜ ( , ) ( , )˜ϕ λ λ2 1x xΦ = 1,
naxodym
P11 ( x , λ ) = ϕ λ λ1 2( , ) ,˜x xΦ ( ) – Φ1 2( , ) ˜ ( , )x xλ ϕ λ ,
P12 ( x , λ ) = Φ1 1( , ) ˜ ( , )x xλ ϕ λ – ϕ λ λ1 1( , ) ,˜x xΦ ( ),
(19)
P21 ( x , λ ) = ϕ λ λ2 2( , ) ,˜x xΦ ( ) – Φ2 2( , ) ˜ ( , )x xλ ϕ λ ,
P22 ( x , λ ) = Φ2 1( , ) ˜ ( , )x xλ ϕ λ – ϕ λ λ2 1( , ) ,˜x xΦ ( );
ϕ1 ( x , λ ) = P x x P x x11 1 12 2( , ) ˜ ( , ) ( , ) ˜ ( , )λ ϕ λ λ ϕ λ+ ,
ϕ2 ( x , λ ) = P x x P x x21 1 22 2( , ) ˜ ( , ) ( , ) ˜ ( , )λ ϕ λ λ ϕ λ+ ,
(20)
Φ1 ( x , λ ) = P x x11 1( , ) ,˜λ λΦ ( ) + P x x12 2( , ) ,˜λ λΦ ( ) ,
Φ2 ( x , λ ) = P x x21 1( , ) ,˜λ λΦ ( ) + P x x22 2( , ) ,˜λ λΦ ( ).
Yz (19), (12) y (18) sleduet
P11 ( x , λ ) = 1 + 1
1 2 2∆( )
( , ) ˜ ( , ) ( , )
λ
ϕ λ ψ λ ψ λx x x−( )( –
– ψ λ ϕ λ ϕ λ1 2 2( , ) ˜ ( , ) ( , )x x x−( )) ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
612 R.=X.=AMYROV
P12 ( x , λ ) = 1
1 1 1 1∆( )
( , ) ˜ ( , ) ( , ) ˜ ( , )
λ
ψ λ ϕ λ ϕ λ ψ λx x x x−( ) ,
P21 ( x , λ ) = 1
2 2 2 2∆( )
( , ) ˜ ( , ) ( , ) ˜ ( , )
λ
ϕ λ ψ λ ψ λ ϕ λx x x x−( ),
P22 ( x , λ ) = 1 + 1
2 1 1∆( )
( , ) ˜ ( , ) ( , )
λ
ψ λ ϕ λ ϕ λx x x−( )( –
– ϕ λ ψ λ ψ λ2 1 1( , ) ˜ ( , ) ( , )x x x−( )).
Yz predstavlenyj reßenyj ϕ ( x , λ ) y ψ ( x , λ ) qsno, çto
lim max ( , )
λ
λ
π
δ
λ
→∞
∈
≤ ≤
| |−
G
x
P x
0 11 1 = lim max ( , )
λ
λ
π
δ
λ
→∞
∈
≤ ≤
| |−
G
x
P x
0 22 1 =
= lim max ( , )
λ
λ
π
δ
λ
→∞
∈
≤ ≤
| |
G
x
P x
0 12 = lim max ( , )
λ
λ
π
δ
λ
→∞
∈
≤ ≤
| |
G
x
P x
0 21 = 0. (21)
Sohlasno (12) y (20) ymeem
P11 ( x , λ ) = ϕ λ λ λ ϕ λ1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ˜ ( , )˜x C x C x x− +
+ ˜ ( ) ( ) ( , ) ˜ ( , )M M x xλ λ ϕ λ ϕ λ−( ) 1 2 ,
P12 ( x , λ ) = C x x x C x1 1 1 1( , ) ˜ ( , ) ( , ) ( , )˜λ ϕ λ ϕ λ λ− +
+ M M x x( ) ( ) ( , ) ˜ ( , )˜λ λ ϕ λ ϕ λ−( ) 1 1 ,
P21 ( x , λ ) = ϕ λ λ λ ϕ λ2 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ˜ ( , )˜x C x C x x− +
+ ˜ ( ) ( ) ( , ) ˜ ( , )M M x xλ λ ϕ λ ϕ λ−( ) 2 2 ,
P22 ( x , λ ) = C x x C x x2 1 1 2( , ) ˜ ( , ) ( , ) ( , )˜λ ϕ λ λ ϕ λ− +
+ M M x x( ) ( ) ( , ) ˜ ( , )˜λ λ ϕ λ ϕ λ−( ) 2 2 .
Takym obrazom, esly M ( λ ) ≡ ˜ ( )M λ , to pry kaΩdom fyksyrovannom x funkcyy
Pi j ( x , λ ) qvlqgtsq cel¥my po λ . Vmeste s (21) P11 ( x , λ ) ≡ 1, P12 ( x , λ ) ≡ 1,
P22 ( x , λ ) ≡ 1, P21 ( x , λ ) ≡ 0. Podstavlqq yx v (20), naxodym ϕ1 ( x , λ ) ≡ ˜ ( , )ϕ λ1 x ,
ϕ2 ( x , λ ) ≡ ˜ ( , )ϕ λ2 x , Φ1 ( x , λ ) ≡ ˜ ,Φ1( )x λ , Φ2 ( x , λ ) ≡ ˜ ,Φ2( )x λ pry vsex x y λ ,
y, sledovatel\no, L ≡ L̃ .
Teorema 3 dokazana.
Rassmotrym teper\ obratnug zadaçu vosstanovlenyq L po dyskretn¥m spek-
tral\n¥m dann¥m { } =−∞
∞λ αn n n, . Yz formul¥ (14) dlq funkcyy Vejlq y teo-
rem¥ 3 v¥tekaet sledugwaq teorema.
Teorema 4. Esly λn = λ̃n , αn = α̃n pry vsex n ∈ Z , to L ≡ L̃ . Takym ob-
razom, zadanye spektral\n¥x dann¥x odnoznaçno opredelqet zadaçu L .
Avtor v¥raΩaet blahodarnost\ Y.=M.=Husejnovu za vnymanye k rabote y kry-
tyçeskye zameçanyq.
1. Levytan$B.$M., Sarhsqn$Y.$S. Operator¥ Íturma – Lyuvyllq y Dyraka. – M.: Nauka, 1988. –
432=s.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
O SYSTEME DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ DYRAKA … 613
2. Marçenko$V.$A. Operator¥ Íturma – Lyuvyllq y yx pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka,
1977. – 329=s.
3. Berezanskyj$G.$M. Teorema edynstvennosty v obratnoj spektral\noj zadaçe dlq uravne-
nyq Íredynhera // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1958. – 7. – S.=3 – 51.
4. NyΩnyk$L.$P. Obratn¥e zadaçy rasseqnyq dlq hyperbolyçeskyx uravnenyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1977. – 329=s.
5. Has¥mov$M.$H. Obratnaq zadaça teoryy rasseqnyq dlq system Dyraka porqdka 2n // Tr.
Mosk. mat. o-va. – 1968. – 19. – S.=41 – 112.
6. Has¥mov$M.$H., DΩabyev$T.$T. Opredelenye system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj Dyraka
po dvum spektram // Tr. ßkol¥-semynara po spektral\noj teoryy operatorov y predstavle-
nyg teoryy hrupp. – Baku: ∏lm, 1975. – S.=46 – 71.
7. Husejnov$Y.$M. O predstavlenyy reßenyj Josta system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj
Dyraka s razr¥vn¥my koπffycyentamy // Yzv. AN AzSSR. – 1999. – #=5. – S.=41 – 45.
8. Hald O. H. Discontinuous inverse eigenvalue problems // Communs Pure and Appl. Math. – 1984.
– 37. – P. 539 – 577.
9. Shepelsky D. The inverse problem of reconstruction of the medium’s conductivity in a class of
discontinuous and increasing functions // Spectral Operator Theory and Related Topics: Adv. in Sov.
Math. – Providence: Amer. Math. Soc., 1994. – 19. – P. 209 – 232.
10. Kobayashi M. A uniqueness proof for discontinuous inverse Sturm – Liouville problems with
symmetric potentials // Inverse Problems. – 1989. – 5, # 5. – P. 767 – 781.
11. Amyrov$R.$X., Grko$V.$A. O dyfferencyal\n¥x operatorax s osobennost\g y uslovyqmy
razr¥va vnutry yntervala // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, #=11. – S.=1443 – 1458.
12. Yurko V. A. Integral transforms connected with discontinuous boundary-value problems // Int.
Trans. and Spec. Funct. – 2000. – 10, # 2. – P. 141 – 164.
13. Levyn$B.$Q. Cel¥e funkcyy. – M.:Yzd-vo Mosk. un-ta, 1971. – 125=s.
14. Ûdanovyç$V.$F. Formul¥ dlq nulej polynomov Dyryxle y kvazypolynomov // Dokl. AN
SSSR. – 1960. – 135, #=8. – S.=1046 – 1049.
15. Krejn$M.$H., Levyn$B.$Q. Dokl. AN SSSR. – 1949. – 64, #=3.
Poluçeno 29.01.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
|