Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами

Нехай A є необмеженим самоспряженим оператором в сепарабельному гільбертовому просторі H₀, який оснащено H_⊐ H₀ ⊐ H₊ таким чином, що область визначення D(A)=H₊ в нормі графіка. Припустимо, що H₊ розкладено в ортогональну суму H₊= M₊ ⊕N₊ так, що підпростір M₊ є щільним в H₀. У роботі будується і вивч...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
Hauptverfasser:	Божок, Р.В., Кошманенко, В.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165734
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами / Р.В. Божок, В.Д. Кошманенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 622–632. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165734
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1657342020-02-17T01:26:09Z Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами Божок, Р.В. Кошманенко, В.Д. Статті Нехай A є необмеженим самоспряженим оператором в сепарабельному гільбертовому просторі H₀, який оснащено H_⊐ H₀ ⊐ H₊ таким чином, що область визначення D(A)=H₊ в нормі графіка. Припустимо, що H₊ розкладено в ортогональну суму H₊= M₊ ⊕N₊ так, що підпростір M₊ є щільним в H₀. У роботі будується і вивчається сингулярно збурений оператор A , асоційований з новим оснащенням H˘_⊐ H₀ ⊐ H˘₊, де H˘₊ = M₊ = D(A˘). Встановлено зв'язок між операторами A та A˘. Let A be an unbounded self-adjoint operator in a Hilbert separable space H₀ with rigging H_⊐ H₀ ⊐ H₊ such that D(A) = H₊ in the graph norm (here, D(A) is the domain of definition of A). Assume that H₊ is decomposed into the orthogonal sum H₊ = M⊕N₊ so that the subspace M₊ is dense in H0. We construct and study a singularly perturbed operator A associated with a new riggingH˘_⊐ H₀ ⊐ H˘₊, where H˘₊ = M₊ = D(A˘), and establish the relationship between the operators A and A˘. 2005 Article Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами / Р.В. Божок, В.Д. Кошманенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 622–632. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165734 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Божок, Р.В. Кошманенко, В.Д. Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами Український математичний журнал
description	Нехай A є необмеженим самоспряженим оператором в сепарабельному гільбертовому просторі H₀, який оснащено H_⊐ H₀ ⊐ H₊ таким чином, що область визначення D(A)=H₊ в нормі графіка. Припустимо, що H₊ розкладено в ортогональну суму H₊= M₊ ⊕N₊ так, що підпростір M₊ є щільним в H₀. У роботі будується і вивчається сингулярно збурений оператор A , асоційований з новим оснащенням H˘_⊐ H₀ ⊐ H˘₊, де H˘₊ = M₊ = D(A˘). Встановлено зв'язок між операторами A та A˘.
format	Article
author	Божок, Р.В. Кошманенко, В.Д.
author_facet	Божок, Р.В. Кошманенко, В.Д.
author_sort	Божок, Р.В.
title	Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами
title_short	Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами
title_full	Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами
title_fullStr	Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами
title_full_unstemmed	Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами
title_sort	сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165734
citation_txt	Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами / Р.В. Божок, В.Д. Кошманенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 622–632. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT božokrv singulârnízburennâsamosprâženihoperatorívasocíjovanízosnaŝenimigílʹbertovimiprostorami AT košmanenkovd singulârnízburennâsamosprâženihoperatorívasocíjovanízosnaŝenimigílʹbertovimiprostorami
first_indexed	2025-07-14T19:45:13Z
last_indexed	2025-07-14T19:45:13Z
_version_	1837652841957687296
fulltext	UDK 517.9 R. V. BoΩok, V. D. Koßmanenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) SYNHULQRNI ZBURENNQ SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV, ASOCIJOVANI Z OSNAWENYMY HIL\|BERTOVYMY PROSTORAMY * Let A be an unbounded self-adjoint operator in a separable Hilbert space H0 which is equipped H H H− +� �0 in such a way that the domain of definition D H( )A = + in the norm of a graph. Assume that H + is decomposed into the orthogonal sum H M N+ + += � so that the subspace M + in dense in H 0 . In the paper, we construct and investigate the singularly perturbed operator � A associated with a new rigging � � H H H− +� �0 , where � � H M D+ += = ( )A . We establish the relation between the operators A and � A . Nexaj A [ neobmeΩenym samosprqΩenym operatorom v separabel\nomu hil\bertovomu prostori H0 , qkyj osnaweno H H H− +� �0 takym çynom, wo oblast\ vyznaçennq D H( )A = + v nor- mi hrafika. Prypustymo, wo H + rozkladeno v ortohonal\nu sumu H M N+ + += � tak, wo pidprostir M + [ wil\nym v H0 . U roboti budu[t\sq i vyvça[t\sq synhulqrno zburenyj opera- tor � A , asocijovanyj z novym osnawennqm � � H H H− +� �0 , de � � H M D+ += = ( )A . Vstanov- leno zv’qzok miΩ operatoramy A ta � A . 1. Vstup. Rozhlqnemo v separabel\nomu prostori Hil\berta H 0 neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator A = A * ≥ 1 z oblastg vyznaçennq D ( A ) . Z koΩnym takym operatorom asocig[t\sq osnawenyj prostir Hil\berta [1, 2] H – � H 0 � H + , de � oznaça[ wil\ne neperervne vkladennq, H + = D ( A ) za normog hrafika, a H – — sprqΩenyj prostir ( cej prostir [ popovnennqm H 0 za normog f − : = : = A f−1 , f ∈ H 0 ) . Prypustymo, wo synhulqrne zburennq zadano operatorom T : H + → H – tak, wo mnoΩyna M + : = Ker T [ wil\nog v H 0 . Zhidno z za- hal\novyznanog v teori] synhulqrnyx zburen\ procedurog (dyv., napryklad, [3 – 20]) synhulqrno zburenyj operator Ã , qkyj vidpovida[ formal\nij sumi A T+̃ , vyznaça[t\sq qk odne iz samosprqΩenyx rozßyren\ symetryçnoho opera- tora Ȧ : = A M+ . U cij roboti proponu[t\sq novyj metod pobudovy synhulqrno zburenoho ope- ratora. Sut\ c\oho metodu polqha[ v nastupnomu. Vyxodqçy z ortohonal\noho rozkladu H + = M N+ +� , de, nahada[mo, M + = Ker T [ pidprostorom, wil\- nym u H 0 , vvodymo novyj osnawenyj prostir: � H − � H 0 � � H + , pokladagçy � H + ≡ M + . Pislq c\oho vyznaça[mo synhulqrno zburenyj operator (poznaça[- mo joho � A ) qk [dyno vyznaçenyj operator, asocijovanyj iz novym osnawennqm prostoru H 0 . Takyj operator � A fiksu[t\sq umovog D( ) � A = M + . Takym çynom, my rozßyrg[mo zvyçajnyj klas synhulqrno zburenyx opera- toriv. Okrim usi[] sim’] samosprqΩenyx rozßyren\ symetryçnoho operatora Ȧ vklgça[mo v klas synhulqrno zburenyx operatoriv we j operator � A . Vyqvlq- [t\sq, wo spektral\ni vlastyvosti operatoriv Ã ta � A [ istotno riznymy. Na dumku avtoriv, vybir operatora � A v qkosti synhulqrno zburenoho operatora * Çastkovo pidtrymano proektamy DFG 436 UKR 113/67, 113/78 ta INTAS 00-257. © R. V. BOÛOK, V. D. KOÍMANENKO, 2005 622 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 SYNHULQRNI ZBURENNQ SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV … 623 bil\ß adekvatno vraxovu[ fizyçnu ideg ideal\no tverdoho qdra (abo absolgtno neprozoroho ekrana) v teori] synhulqrnyx zburen\. Nastupni dva rozdily statti [ dopomiΩnymy. Osnovnym rezul\tatom roboty [ teoremaH4. Zokrema, v cij teoremi opysano konstrukcig operatora � A , a takoΩ vstanovleno zv’qzok miΩ operatoramy A ta � A . 2. Osnaweni prostory Hil\berta. Nahada[mo deqki zahal\ni fakty z teori] osnawenyx hil\bertovyx prostoriv (dokladniße dyv. [1, 2]). Za oznaçennqm trijka hil\bertovyx prostoriv H – � H 0 � H + (2.1) utvorg[ osnawenyj prostir Hil\berta, qkwo vykonugt\sq taky umovy: a) obydva vkladennq [ neperervnymy i wil\nymy, wo poznaça[t\sq symvo- lomHH� ; b) normy u prostorax H – , H 0 ta H + zadovol\nqgt\ nerivnosti ⋅ − ≤ ⋅ 0 ≤ ⋅ + ; (2.2) v) prostory H – ta H + [ vza[mno sprqΩenymy vidnosno H 0 . Ostannq umova oznaça[, wo dlq koΩnoho vektora ϕ ∈ H + linijnyj funkcio- nal l f fϕ ϕ( ) : ( , )= 0 , f ∈ H 0 , ma[ prodovΩennq za neperervnistg na uves\ pros- tir H – . I tomu tak zvanu pozytyvnu normu ϕ + moΩna obçyslyty za formulog ϕ + = sup ( , ) f f − =1 0ϕ , f ∈ H 0 . Zhidno z teoremog Risa l fϕ( ) = ( ),f ϕ∗ − z deqkym ϕ* ∈ H – . OtΩe, ϕ + = = ϕ∗ − i tomu vidobraΩennq D− +, : H + � ϕ → ϕ* ∈ H – [ unitarnym. Z inßoho boku, prostir H – zbiha[t\sq z popovnennqm H 0 vidnos- no tak zvano] nehatyvno] normy f − : = sup ( , ) ϕ ϕ + =1 0f , ϕ ∈ H + . Na pidstavi (2.2) skalqrnyj dobutok ( , )⋅ ⋅ 0 v H 0 moΩna prodovΩyty do dual\- noho dobutku miΩ H + ta H – , qkyj my poznaça[mo qk 〈 〉− +ω ϕ, , = 〈 〉+ −ϕ ω, , , ω ∈ H – , ϕ ∈ H + . Operatory D− +, : H + → H – , I+ −, = D− + − , 1 : H – → H + nazyvagt\sq kanoniçnymy unitarnymy izomorfizmamy miΩ H – ta H + . Vony za- dovol\nqgt\ spivvidnoßennq ( , )f ϕ 0 = 〈 〉− +f , ,ϕ = ( , ),f D− + −ϕ = ( , ),I f+ − +ϕ , f ∈ H 0 , ϕ ∈ H + . Isnu[ zv’qzok miΩ trijkamy prostoriv vyhlqdu (2.1) ta samosprqΩenymy ope- ratoramy A v H 0 . Cej zv’qzok fiksu[t\sq vidobraΩennqm D− +, ta umovog D ( A ) = H + . Spravdi, rozhlqnemo operator LA : = D− + ++, H , H++ : = D ( LA ) = { },ϕ ϕ∈ ∈+ − +H HD 0 . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 624 R. V. BOÛOK, V. D. KOÍMANENKO Oçevydno, LA [ symetryçnym u H 0 , oskil\ky dlq usix ϕ, ψ ∈ D ( LA ) ( , )LAϕ ψ 0 = ( , ),D− +ϕ ψ 0 = = 〈 〉∗ − +ϕ ψ, , = ( , )ϕ ψ + = 〈 〉∗ + −ϕ ψ, , = ( , ),ϕ ψD− + 0 = ( , )ϕ ψLA 0 , de element ϕ* buv oznaçenyj vywe. Naspravdi LA samosprqΩenyj v H 0 , oskil\ky zhidno z pobudovog joho oblast\ znaçen\ zbiha[t\sq z usim prostorom H 0 . Vyznaçymo A LA: /= 1 2 . Zrozumilo, wo D ( A ) = H + zavdqky tomu, wo ( , )LAϕ ψ 0 = ( , )/ /L LA A 1 2 1 2 0ϕ ψ = ( , )ϕ ψ + . Oçevydno takoΩ, wo A ≥ 1, oskil\ky ⋅ + ≥ ⋅ 0. Navpaky, nexaj A = A * ≥ 1 [ samosprqΩenym neobmeΩenym operatorom z oblastg vyznaçennq D ( A ) u prostori H 0 . Vyxodqçy z A , moΩna lehko pobuduvaty osnawenyj prostir Hil\berta H – � H 0 � H + . Nahada[mo cg po- budovu. Prostir H + ototoΩng[mo z D ( A ) v skalqrnomu dobutku ( , )ϕ ψ + : = : = ( , )A Aϕ ψ 0 , ϕ, ψ ∈ D ( A ) . Dali, vyxodqçy z nepovnoho lancgΩka H 0 � H + , prodovΩu[mo joho do osnawenoho prostoru (2.1) zvyçajnym çynom (qk bulo opy- sano pry analizi umovy v) ). OtΩe, spravedlyvog [ nastupna teorema. Teorema31. KoΩen osnawenyj prostir Hil\berta vydu (2.1) vza[mno odno- znaçno pov’qzanyj (asocijovanyj) z samosprqΩenym operatorom A = A * ≥ 1 v H 0 . Pry c\omu D ( A ) = H + i pozytyvnyj skalqrnyj dobutok ( , )ϕ ψ + = = ( , )A Aϕ ψ 0 , ϕ, ψ ∈ D ( A ) . U podal\ßomu nam znadobyt\sq takoΩ konstrukciq neskinçennoho lancgΩ- ka hil\bertovyx prostoriv { }( )H Hk k kA≡ ∈R , qkyj nazyva[t\sq A-ßkalog hil\bertovyx prostoriv. Za oznaçennqm H Dk kA: ( )/= 2 , k > 0, v pozytyvnij normi ⋅ k , qka vidpovi- da[ skalqrnomu dobutku ( , )ϕ ψ k : = ( )/ /,A Ak k2 2 0ϕ ψ , ϕ, ψ ∈ D( )/A k 2 . Prostir H−k z’qvlq[t\sq qk popovnennq H 0 vidnosno nehatyvno] normy f k− : = A fk− /2 0 , f ∈ H 0 . NevaΩko baçyty, wo koΩna trijka H – k � H 0 � H k , k > 0, (2.3) utvorg[ osnawenyj prostir, asocijovanyj z operatorom Ak /2 . Nexaj D k k− , : H Hk k→ − poznaça[ operator kanoniçnoho unitarnoho izomorfizmu dlq trijky (2.3). Oçevydno, wo D k k− , = ( ) ( )/ /A Ak k2 2cl ≡ D Dk k− , ,0 0 , de cl poznaça[ opera- cig zamykannq. Zokrema, dlq k = 2 ma[mo D0 2, ≡ A : H H2 0→ ta D−2 0, ≡ ≡ Acl : H H0 2→ − . 3. Wil\nist\ vkladennq. Nexaj zadano osnawenyj prostir Hil\berta H – � H 0 � H + . Prypustymo, wo pozytyvnyj prostir H + rozkladeno v or- tohonal\nu sumu pidprostoriv: H + = M + � N + . Nastupna teorema da[ prostyj kryterij wil\nosti vkladennq H 0 � M + . Teorema32 [4]. Nexaj H + = M + � N + . Pidprostir M + [ wil\nym v H 0 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 SYNHULQRNI ZBURENNQ SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV … 625 todi i til\ky todi, koly pidprostir N N− − + +=: ,D ma[ nul\ovyj pereriz z H 0 : H 0 � M + ⇔ N – ∩ H 0 = { 0 } . (3.1) Dovedennq. Nexaj N – ∩ H 0 = { 0 } . Prypustymo, wo isnu[ vektor 0 ≠ ≠ ψ ∈ H 0 takyj, wo ψ ⊥ M + . Oskil\ky M + [ pidprostorom v H + , to z ohlq- du na te, wo ψ ∈ H – , ma[mo 0 = ( ),ψ M+ 0 = 〈 〉+ − +ψ, ,M = ( ), ,I+ − + +ψ M . Tomu I+ −, ψ ∈ N + . Ce oznaça[, wo ψ ∈ N – , a ce supereçyt\ poçatkovomu pry- puwenng. Navpaky, qkwo pidprostir M + [ wil\nym v H 0 , to prypuwennq pro isnuvannq vektora 0 ≠ ω ∈ N – ∩ H 0 takoΩ pryvodyt\ do supereçnosti. Sprav- di, oskil\ky N – = D–,+ +N , ma[mo 〈 〉+ − +ω, ,M = ( ),ω M+ 0 = ( ), ,I+ − + +ω M = 0, wo supereçyt\ spivvidnoßenng M + � H 0 , bo 0 ≠ ω ∈ H 0 . Teoremu dovedeno. Lehko zrozumity, wo spivvidnoßennq (3.1) moΩna zapysaty v ekvivalentnij formi H 0 � M + ⇔ N 0 ∩ H + = { 0 } , N 0 : = D0,+ +N . (3.2) Vvedemo do rozhlqdu rozßyrenyj osnawenyj prostir H – – � H – � H 0 � H + � H + + , de H – – = H – 4 ( A ) , H + + = H 4 ( A ) = D ( A 2 ) . Nexaj H + = N + � M + . Prypus- tymo, wo H 0 � M + . Rozhlqnemo pidprostir M̃+ : = M + ∩ H + + . Vin [ zamkne- nym v H + + . Spravdi, qkwo poslidovnist\ ϕn ∈ M̃+ [ zbiΩnog v H + + : ϕn → → ϕ ∈ H + + , to vona [ zbiΩnog i v H + zavdqky ⋅ + ≤ ⋅ ++ . OtΩe, ϕ ∈ M + , oskil\ky M + [ zamknenym pidprostorom v H + . Ce dovodyt\ zamknenist\ M̃+ v H + + . Prypustymo, wo vykonu[t\sq umova ( ) ,N H− −−cl ∩ 0 = { 0 } , (3.3) de N – : = D–,+ +N , a cl, – – poznaça[ zamykannq v H – – . Teorema33. Qkwo pidprostir M + [ wil\nym v H 0 , H 0 � M + , i dodat- kovo vykonu[t\sq umova (3.3), to pereriz M̃+ : = M + ∩ H + + takoΩ [ wil\- nym v H 0 : H 0 � M̃+ . (3.4) Zokrema, pidprostir M̃+ [ wil\nym v H 0 , qkwo rozmirnist\ N + skinçenna: dim N + < ∞ . Dovedennq. Vykorystovugçy oznaçennq pidprostoru M̃+ u vyhlqdi M̃+ = { }( , ) ,ϕ ϕ ψ ψ∈ = ∈++ + +H N0 , zhidno z vlastyvostqmy A-ßkaly ma[mo ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 626 R. V. BOÛOK, V. D. KOÍMANENKO ( , )ϕ ψ + = 〈 〉+ −ϕ ω, , = 〈 〉++ −−ϕ ω, , , de ω = D− +, ψ , ψ ∈ N + . Zvidsy vyplyva[ ( ) ,N − −−cl = Ñ − : = { ˜ }, ,,ω ϕ ω ϕ∈ 〈 〉 = ∈−− ++ −− +H M0 . (3.5) Dali, oskil\ky M + [ wil\nym v H 0 , to na pidstavi (3.1) i zavdqky umovi (3.3) ma[mo Ñ H− ∩ 0 = { 0 } . Tomu H 0 � M̃+ zhidno z teoremogH2. Zaverßugçy dovedennq, zauvaΩymo, wo iz spivvidnoßennq H 0 � M + umova (3.3) vyplyva[ avtomatyçno, qkwo dim N 0 = dim N + < ∞ . Zrozumilo, wo teoremaH3 zalyßyt\sq spravedlyvog, qkwo umovu (3.3) zapy- saty u vyhlqdi ( ) ,N H− −− − cl ∩ = N – . 4. Pro operator � A. Nexaj H – � H 0 � H + poznaça[ osnawenyj hil\- bertiv prostir, qkyj [ asocijovanym z samosprqΩenym operatorom A ≥ 1 u tomu sensi, wo H + = D ( A ) v normi ⋅ + = A⋅ 0 . Pry c\omu operator A2 zbiha[t\- sq iz zvuΩennqm D–, :+ H + → H – na H + + ≡ H 4 ( A ) : A2 = D–,+ ++H . Prypu- stymo, wo pozytyvnyj prostir H + rozkladeno v ortohonal\nu sumu H + = = M + � N + u takyj sposib, wo pidprostir M + [ wil\nym v H 0 , H 0 � M + . Rozhlqnemo novyj osnawenyj prostir � H − � H 0 � � H + , (4.1) de � H+ ≡ M + . My xoçemo pobuduvaty samosprqΩenyj operator � A , qkyj aso- cijovanyj z lancgΩkom (4.1) v takyj sposib, wo oblast\ vyznaçennq D( ) � A zbi- ha[t\sq z � H+ . Nahada[mo, wo nehatyvnyj prostir � H− vyznaça[t\sq qk popovnennq H 0 v novij normi: � f − : = sup ( , ) ϕ ϕ + =1 0f , ϕ ∈ M + . (4.2) Pry c\omu dlq dovil\noho fiksovanoho f ∈ H 0 vykonu[t\sq nerivnist\ � f − ≤ f − , (4.3) de f − : = sup ( , ) ϕ ϕ + =1 0f , ϕ ∈ H + . Zrozumilo, wo prostir H 0 wil\no i neperervno vklada[t\sq qk v H – , tak i v � H− . Ale bulo b pomylkog dumaty, wo z (4.3) vyplyva[ vkladennq H – v � H− qk vlasno] pidmnoΩyny. TverdΩennq31. Zamykannq totoΩnoho vidobraΩennq O : H – � f → f ∈ � H − , f ∈ H 0 , [ neperervnym i ma[ netryvial\nyj nul\-pidprostir: Ker Ocl = N – , N – = I− + +, N , de cl poznaça[ zamykannq. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 SYNHULQRNI ZBURENNQ SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV … 627 Dovedennq. Neperervnist\ vidobraΩennq O vyplyva[ bezposeredn\o z (4.3). PokaΩemo, wo koΩen η− −∈N [ nul\-vektorom dlq Ocl. Nexaj poslidovnist\ fn ∈H0 zbiha[t\sq v H – do fiksovanoho η− −∈N . Todi zavdqky (4.3) cq poslidovnist\ bude zbiΩnog v � H − takoΩ. Ale u prostori � H − cq poslidov- nist\ zbiha[t\sq do nulq. Ce vyplyva[ z toho, wo ( , )fn ϕ 0 = 〈 〉− +fn, ,ϕ → 〈 〉− − +η ϕ, , = 0, ϕ ∈ M + , oskil\ky N – � M + i M + [ wil\nym v H 0 . OtΩe, η – ∈ Ker Ocl . ZauvaΩymo, wo Ωoden vektor 0 ≠ f ∈ H 0 ne naleΩyt\ do Ker Ocl . Prostir H 0 vklada[t\sq v � H − bez defektu. TverdΩennq32. Dlq koΩnoho 0 ≠ f ∈ H 0 � f − = P fM− − ≠ 0, (4.4) de PM− poznaça[ ortohonal\nyj proektor na M – v H – . Dovedennq. Spravedlyvist\ rivnosti v (4.4) vyplyva[ z oznaçennq normy u prostori � H − (dyv. (4.2)) ta spivvidnoßennq ( , )f ϕ 0 = 〈 〉− +f , ,ϕ = 〈 〉 − − +P fM , ,ϕ , ϕ ∈ M + , v qkomu vykorystano ortohonal\nist\ pidprostoriv M – � N + u sensi dual\no- ho skalqrnoho dobutku. Zaznaçymo, wo dlq vsix 0 ≠ f ∈ H 0 P fM− ≠ 0, (4.5) oskil\ky z P fM− = 0 vyplyva[, wo f ∈ N – , ale N – ∩ H 0 = { 0 } zavdqky H 0 � M + (dyv. teoremuH1). Z tverdΩennqH2 vyplyva[, wo zvuΩennq vidobraΩennq O cl na pidprostir M – : = D–,+ +M [ unitarnym operatorom. OtΩe, prostory � H − , M – unitarno ekvivalentni. OtΩe, nezvaΩagçy na te, wo normy u prostorax � H − i H – zadovol\nqgt\ nerivnist\ (4.3), a prostir � H + ≡ M + [ pravyl\nog çastynog prostoru H + , prostir H – ne mistyt\sq v � H − qk çastyna: � H − � H – . Nexaj � � � D–, :+ + −→H H poznaça[ kanoniçnyj unitarnyj izomorfizm v osna- wenomu prostori Hil\berta (4.1). Rozhlqnemo operator L : = � D L− +, ( )D , D ( )L : = { },ϕ ϕ∈ ∈+ − + � � H HD 0 . (4.6) NevaΩko perekonatysq (dyv. nyΩçe dovedennq teoremyH4), wo operator L [ symetryçnym i joho oblast\ znaçen\ zbiha[t\sq z usim prostorom H 0 . Tomu vin [ samosprqΩenym operatorom v H 0 z oblastg vyznaçennq D ( L ) ⊂ M + = � H + . Osnovnym rezul\tatom ci[] statti [ nastupna teorema. Teorema34. Nexaj oblast\ vyznaçennq samosprqΩenoho v H 0 operatora A ≥ 1 rozkladeno v ortohonal\nu sumu D ( A ) = H + = M + � N + . Prypusty- mo, wo pidprostir M + [ wil\nym v H 0 , a N – : = D− + +, N zadovol\nq[ ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 628 R. V. BOÛOK, V. D. KOÍMANENKO umovu (3.3). Todi operator L , vyznaçenyj u (4.6), dopuska[ nastupnyj qvnyj opys u terminax A-ßkaly ta operatora A : D ( L ) = PM H + ++ , LPM + ϕ = A2 ϕ, ϕ ∈ H ++ ≡ D ( )A2 , (4.7) de PM + — ortohonal\nyj proektor na M + v H + . Bil\ß toho, operator L [ rozßyrennqm za Fridrixsom symetryçnoho operatora L̇ : = A 2 M̃ + , M̃ + = M + ∩ H ++ . (4.8) Pry c\omu oblast\ vyznaçennq operatora � A : = L1 2/ v toçnosti zbiha[t\sq z pidprostorom M + : D ( ) � A = M + = � H + . (4.9) Dovedennq. PokaΩemo, wo vidobraΩennq L : PM + ϕ → A2 ϕ, ϕ ∈ H ++ , [ symetryçnym operatorom v H 0 . Spravdi, dlq usix ϕ, ψ ∈ H ++ ma[mo ( ),LP PM M+ + ϕ ψ 0 = ( ),A P2 0ϕ ψM + = 〈 〉− + − ++ D P, ,,ϕ ψM = = 〈 〉 − +− + − +P D PM M, ,,ϕ ψ = 〈 〉− + − ++ + D P P, ,,M Mϕ ψ = 〈 〉 + +− + + −P D PM Mϕ ψ, , , = = 〈 〉 + − − + + −P P DM Mϕ ψ, , , = 〈 〉 + − + + −P DM ϕ ψ, , , = 〈 〉 + + −P AM ϕ ψ, , 2 = = ( ),P LPM M+ + ϕ ψ 0 . Z c\oho vyplyva[, wo L [ samosprqΩenym operatorom, oskil\ky joho oblastg znaçen\ [ uves\ hil\bertiv prostir: R ( L ) = R ( A 2 ) = H 0 . Dovedemo teper, wo operator L, vyznaçenyj v (4.7), zbiha[t\sq z operatorom L u (4.6). Dlq c\oho spoçatku pokaΩemo, wo ci operatory zbihagt\sq na mno- Ωyni M̃+ , a potim perekona[mos\, wo L [ rozßyrennqm za Fridrixsom symet- ryçnoho operatora L̇ (dyv. (4.8)). Qk promiΩnyj rezul\tat dovedemo, wo vidob- raΩennq � D− +, , D–,+ zbihagt\sq na pidprostori M̃+ = M + ∩ H + + i pry c\omu ]x znaçennq naleΩat\ H 0 : � D− +, ϕ = D− +, ϕ ∈ H 0 , ϕ ∈ M̃ + . (4.10) Oçevydno takoΩ, wo PM M + + ˜ = M̃ + . Z c\oho vyplyva[ vklgçennq M̃ + ⊂ ⊂ D ( )L̇ ta rivnist\ ˙ ˜LM+ = A2 M̃+ . Dlq dovedennq (4.10) nahada[mo, wo H + + ≡ H4 ( )A = D( )A2 , a M̃+ = M + ∩ H + + . OtΩe, vektor f : = D–,+ϕ = = A2ϕ ∈ H 0 dlq koΩnoho ϕ ∈ H + + . Dali, rozhlqnemo dlq fiksovanoho ϕ ∈ M̃+ dva funkcionaly: lϕ ψ( ) : = 〈 〉− + − +D , ,,ϕ ψ , ψ ∈ H + , ta � lϕ ψ( ) : = 〈 〉− + − + � � D , ,,ϕ ψ , ψ ∈ M + . Funkcional lϕ ψ( ) [ neperervnym na H 0 ta lϕ ψ( ) = ( , )f ψ 0 = ( , )f ψ + dlq ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 SYNHULQRNI ZBURENNQ SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV … 629 usix ψ ∈ M + . Funkcional � lϕ ψ( ) takoΩ [ neperervnym na H 0 , oskil\ky M + = � H+ , ta � lϕ ψ( ) = ( , )ϕ ψ + = 〈 〉 + + ϕ ψ, ,H H0 , � lϕ ψ( ) ≤ c ψ 0 , de c = ϕ ++ . OtΩe, � lϕ ψ( ) = ( ), � f ψ 0 z deqkym � f ∈H0. My stverdΩu[mo, wo f = � f . Spravdi, zhidno z pobudovog ( , )f ψ 0 = ( , )ϕ ψ + = ( ), � f ψ 0 dlq usix ψ ∈ ∈ M + . Tomu vektory f ta � f zbihagt\sq, oskil\ky pidprostir M + [ wil\nym v H 0 . OtΩe, (4.10) vstanovleno. Dovedemo, wo operator L z (4.6) [ rozßyrennqm za Fridrixsom symetryçnoho operatora L̇ . Nahada[mo, wo oblast\ vyznaçennq D( )L̇ = M̃+ [ wil\nog v H 0 . Naspravdi z umovy (3.3) vyplyva[, wo pidprostir M̃+ [ wil\nym v M + . Spravdi, qkwo φ ∈ M + ta φ � M̃+ , to D–,+φ � N – i D–,+φ � Ñ − . OtΩe, φ ≡ 0, oskil\ky Ñ − = N – zavdqky (3.3). Dokladniße, nexaj M + = = ˜ ˜M M+ + ⊥� ta φ ∈ + ⊥M̃ . Todi ω φ: –, ˜= ∈+ − ⊥D M , de M̃− ⊥ = M M− −� ˜ . Tomu ma[mo 〈 〉+ − +ω, ˜ ,M = 0 = 〈 〉+ −− ++ω, ˜ ,M ⇒ ω ∈ Ñ − = N – . Ale ce moΩlyvo, lyße qkwo φ = 0, oskil\ky φ ∈ M + ta D–,+φ � N – . OtΩe, M M+ +� ˜ . Dali, oçevydno, wo operator L̇ z oblastg vyznaçennq D( )L̇ = M̃+ [ zamk- nenym v H 0 , tomu wo pidprostir M̃+ [ zamknenym v H + + . My stverdΩu[mo, wo joho oblast\ znaçen\ takoΩ [ wil\nog v � H− . Teper zauvaΩymo, wo na pidstavi (4.10) oblast\ znaçen\ operatora L̇ zbiha[t\sq z pidprostorom M̃− = = A2 M̃+ = A 2( )M H+ ++∩ = M – ∩ H 0 , qkyj [ wil\nym v � H− zavdqky tomu, wo � � � D–, :+ + −→H H — unitarnyj operator. Qkwo M̃+ � M + , to prostir � H+ [ popovnennqm M̃+ vidnosno skalqrno- ho dobutku ( , ) : ˙ , ( , ) ( , )( )ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ� H+ = = = +L A A0 0 , ϕ ψ, ˜∈ +M . Tomu ope- rator L [ samosprqΩenym rozßyrennqm symetryçnoho operatora L̇ . Za prove- denog pobudovog ce [ rozßyrennqm za Fridrixsom operatora L̇ , oskil\ky my vΩe vstanovyly vykonannq wil\noho i neperervnoho vkladennq: M̃+ � M + . Nareßti, rivnist\ (4.9) [ pravyl\nog, oskil\ky popovnennq mnoΩyny D(( ) ) � A 2 = D ( L ) za normog ⋅ + � : = L1 2 0 / ⋅ zbiha[t\sq z M + . Spravdi, oskil\ky M̃+ [ wil\nym u M + , to dosyt\ lyße nahadaty, wo ( ),Lϕ ψ 0 = = ( , )ϕ ψ + , ϕ ψ, ˜∈ +M . OtΩe, za oznaçennqm L ma[mo ( , )Lϕ ψ 0 = ( )/ /,L L1 2 1 2 0ϕ ψ = ( ),A2 0ϕ ψ = ( , )ϕ ψ + = (( ) ), � A2 2 0ϕ ψ dlq usix ϕ, ψ ∈ M̃+ . Takym çynom, M + = H1( )L i, otΩe, M + = H2 ( ) � A = = D( ) � A = � H+ . Ce zaverßu[ dovedennq teoremy. 5. Zahal\na konstrukciq. U c\omu punkti my pobudu[mo operator typu � A HH(qkyj budemo poznaçaty çerez � D ) u vypadku, koly wil\nyj v H 0 pidprostir ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 630 R. V. BOÛOK, V. D. KOÍMANENKO M + [ netryvial\nog çastynog prostoru H k z A-ßkaly pry dovil\nomu znaçenni k > 0. OtΩe, nexaj H + = H k , k > 0, rozkladeno v ortohonal\nu sumu H + = = M + � N + . Prypustymo, wo M + � H 0 . Porqd z H – ≡ H – k � H 0 � H k ≡ H + rozhlqda[mo osnawenyj prostir � H− ≡ ( )M+ − � H 0 � M + ≡ � H+ i asocijovanyj z nym operator � � �� D D D: ( ) ( )H D H R+ = → =0 , qkyj [ samo- sprqΩenym v H 0 . Vstanovymo zv’qzok miΩ � D ta operatorom Ak /2 , dlq qkoho H k [ oblastg vyznaçennq: A k : H k → H 0 . Lema31. Dlq koΩnoho wil\noho v H 0 pidprostoru M + iz H k vidobra- Ωennq L : PM+ ϕ → A k ϕ , ϕ ∈ H 2 k ( PM+ poznaça[ ortohonal\nyj proektor v H + na M + ) [ samosprqΩenym ope- ratorom v H 0 . Dovedennq. VidobraΩennq L [ korektno oznaçenym operatorom. Spravdi, qkwo PM+ ϕ = 0, to ϕ ∈ N + = H + � M + . Ale N + ∩ H + = N – ∩ H 0 = { 0 } , oskil\ky M + � H 0 (dyv. teoremuH1). OtΩe, ϕ = 0. Dali, perekona[mos\, wo vidobraΩennq L z oblastg vyznaçennq D ( L ) = = P kM H + 2 [ symetryçnym operatorom v H 0 . Spravdi, ( ),LP PM M+ + ϕ ψ 0 = ( ),A Pk ϕ ψM+ 0 = 〈 〉 + −Ak k kPϕ ψ, ,M 2 2 = = 〈 〉 − + −P Pk k kM MA ϕ ψ, ,2 2 = 〈 〉 + + −Ak k kP PM Mϕ ψ, ,2 2 = 〈 〉 + + + −P Pk M Mϕ ψ, ,A = = 〈 〉 + − −P P k k kM Mϕ ψ, ,A 2 2 = 〈 〉 + −P k k kM ϕ ψ, ,A 2 2 = 〈 〉 + P k M ϕ ψ, A 0 = = ( ),P LPM M+ + ϕ ψ 0 , de PM− — ortoproektor v H−2k na pidprostir M− : = D− + +, M , a Ak — za- mykannq operatora A k : H 0 → H – 2k ; tut bulo vykorystano spivvidnoßennq Ak PM + = P k M − A . Teper samosprqΩenist\ L vyplyva[ z toho, wo joho oblast\ znaçen\ R ( L ) = R ( A k ) = H 0 . Lemu dovedeno. Rozhlqnemo v H 0 porqd z L we j operator � L , porodΩenyj kanoniçnym unitarnym izomorfizmom � D− +, , qkyj vidobraΩa[ � H + v � H − : � L : = � � D L− +, ( )D , D( ) � L : = { }, � � �� ϕ ϕ∈ ∈+ − +H HD 0 . Lema32. Za umovy M + � H 0 operatory L ta � L zbihagt\sq. Dovedennq. Nexaj � ϕ ∈ D( ) � L ⊂ M + ≡ � H+ . Todi H 0 � � f = � � D− +, ϕ i ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 SYNHULQRNI ZBURENNQ SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV … 631 〈 〉− + − + � � � D , ,,ϕ ψ = ( ), � � ϕ ψ + = ( ), � f ψ 0, ψ ∈ M + . Oskil\ky M + = � H+ [ pidprostorom v H + , to ( ), � � ϕ ψ + = ( ), � ϕ ψ + = = ( )/ /,A Ak k2 2 0 � ϕ ψ . Vzahali, vektor � ϕ ne naleΩyt\ do oblasti vyznaçennq ope- ratora Ak, ale zavdqky rivnosti ( ), � ϕ ψ + = ( ), � f ψ 0 i vnaslidok wil\nosti pid- prostoru M + v H 0 isnu[ vektor ϕ ∈ H + takyj, wo � f = A k ϕ. OtΩe, ma[mo ( ), � ϕ ψ + = ( ), � f ψ 0 = ( ),Ak ϕ ψ 0 = 〈 〉− + − +D , ,,ϕ ψ = = ( , ) ,ϕ ψ − + = ( ), ,PM+ − +ϕ ψ , ψ ∈ M + . Ce oznaça[, znovu vnaslidok wil\nosti M + v H 0 , wo � ϕ = PM+ ϕ i � � L ϕ = = � � D− +, ϕ = � f = Ak ϕ = LPM+ ϕ . Lemu dovedeno. Vvedemo pidprostir M̃+ : = M H+ ∩ 2k . TverdΩennq33. Na pidprostori M̃+ operatory L ta Ak digt\ odnako- vo: L M̃+ = Ak M̃+ . Dovedennq. Cej fakt vyplyva[ z lemyH2, oskil\ky PM M + + ˜ = M̃+ . OtΩe, L M̃+ = � L M̃+ = A k M̃+ , i, bil\ß toho, za umovy M̃+ � H 0 operator L [ samosprqΩenym rozßyrennqm wil\no vyznaçenoho symetryçnoho operatora L̇ : = A k M̃+ . ZauvaΩymo, wo wil\nist\ M̃+ v H 0 harantu[ umova typu (3.3). TverdΩennq34. Qkwo M̃+ � M + , to operator L [ rozßyrennqm za Fridrixsom symetryçnoho operatora L̇ . Dovedennq. Na pidstavi poperedn\oho tverdΩennq kvadratyçna forma γ ϕ ψ( , ) : = ( )˙ ,Lϕ ψ 0 zbiha[t\sq z formog ( ),Ak ϕ ψ 0 = ( , )ϕ ψ M+ na vektorax ϕ, ψ ∈ M̃+ . Zavdqky wil\nosti pidprostoru M̃+ v M + zamykannq formy γ zbiha[t\sq iz skalqrnym dobutkom M + . Tomu � L [ rozßyrennqm za Fridrixsom operatora L̇ . Ale my vΩe vstanovyly, wo L = � L . Vvedemo operator � D : = � L1 2/ = L1 2/ . Bezposeredn\o z lemH1, 2 ta tverdΩen\H3, 4 vyplyva[ spravedlyvist\ nastupno] teoremy. Teorema35. Za umovy M̃+ � M + samosprqΩenyj v H 0 operator � D ma[ svo[g oblastg vyznaçennq pidprostir M + i zbiha[t\sq z kvadratnym ko- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 632 R. V. BOÛOK, V. D. KOÍMANENKO renem vid rozßyrennq za Fridrixsom wil\no vyznaçenoho symetryçnoho operato- ra L̇ : = A k M̃+ . Dovedennq. Lyße zaznaçymo, wo rivnist\ D ( ) � D = M + [ naslidkom wil\- nosti M̃+ v M + . Nasamkinec\ zauvaΩymo, wo znaçennq kvadratyçnyx form � γ ϕ ψ( , ) : = ( ), � Lϕ ψ 0 = ( ), � � D Dϕ ψ 0 = ( , )ϕ ψ � + , γ ϕ ψ( , ) : = ( ),Ak ϕ ψ 0 = ( )/ /,A Ak k2 2 0ϕ ψ = ( , )ϕ ψ + odnakovi na M̃+ . Ale ci formy magt\ rizni zamkneni rozßyrennq u prostori H 0 , z qkymy asocijovani rizni samosprqΩeni operatory, i tomu � D ≠ Ak /2 . Pry c\omu zrozumilo, wo ostanni operatory ne moΩut\ buty rivnymy na bud\-qkij wil\nij v H 0 mnoΩyni, nezvaΩagçy na te, wo � L ta A k zbihagt\sq na mnoΩy- ni, qka [ wil\nog v H 0 . 1. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov. – Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 798 s. 2. Berezanskyj G. M. SamosoprqΩenn¥e operator¥ v prostranstvax funkcyj beskoneçnoho çysla peremenn¥x. – Kyev: Nauk. dumka, 1978. – 360 s. 3. Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. – Berlin etc.: Springer, 1988. – 568 p. 4. Albeverio S., Karwowski W., Koshmanenko V. Square power of singularly perturbed operators // Math. Nachr. – 1995. – 173. – P. 5 – 24. 5. Albeverio S., Karwowski W., Koshmanenko V. On negative eigenvalues of generalized Laplace operator // Repts Math. Phys. – 2000. – 45, # 2. – P. 307 – 325. 6. Albeverio S., Koshmanenko V. Singular rank one perturbations of self-adjoint operators and Krein theory of self-adjoint extensions // Potent. Anal. – 1999. – 11. – P. 279 – 287. 7. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators and solvable Schrödinger type operators. – Cambridge: Univ. Press, 2000. – 265 p. 8. Albeverio S., Kurasov P. Rank one perturbations, approximations and self-adjoint extensions // J. Funct. Anal. – 1997. – 148. – P. 152 – 169. 9. Kato T. Teoryq vozmuwenyj lynejn¥x operatorov. – M.: Myr, 1972. – 740 s. 10. Karwowski W., Koshmanenko V., Ôta S. Schrödinger operator perturbed by operators related to null-sets // Positivity. – 1998. – 77, # 2. – P. 18 – 34. 11. Koshmanenko V. D. Towards the rank-one singular perturbations of self-adjoint operators // Ukr. Math. J. – 1991. – 43, # 11. – P. 1559 – 1566. 12. Koßmanenko V. D. Synhulqrn¥e bylynejn¥e form¥ v teoryy vozmuwenyj samosoprqΩen- n¥x operatorov. – Kyev: Nauk. dumka, 1993. – 176 s. 13. Koshmanenko V. Singular quadratic forms in perturbation theory. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1999. – 308 p. 14. Gesztesy F., Simon B. Rank-one perturbations at infinite coupling // J. Funct. Anal. – 1995. – 128. – P. 245 – 252. 15. Krejn M. H. Teoryq samosoprqΩenn¥x rasßyrenyj poluohranyçenn¥x πrmytov¥x operatorov y ee pryloΩenyq. I // Mat. sb. – 1947. – 20(62), #H3. – S.H431 – 495. 16. Karwowski W., Koshmanenko V. Generalized Laplace operator in L n 2( )R // Stochast. Process., Phys. and Geom.: New Interplays. II. Can. Math. Soc. (Conf. Proc.). – 2000. – 29. – P. 385 – 393. 17. Koshmanenko V. D. Singular perturbations defined by forms // Lect. Notes Phys. Appl. Self- adjoint Extens. in Quant. Phys. / Eds P. Exner, P. Seba. � – 1987. – 324. – P. 55 – 66. 18. Koshmanenko V. Singular operator as a parameter of self-adjoint extensions // Operator Theory. Adv. and Appl. (Proc. Krein Conf. (Odessa, 1997)). – 2000. – 118. – P. 205 – 223. 19. Koshmanenko V. D. Regular approximations of singular perturbations of H−2 -class // Ukr. Math. J. – 2000. – 52, # 5. – P. 626 – 637. 20. Posilicano A. A Krein-like formula for singular perturbations of self-adjoint operators and appli- cations // J. Funct. Anal. – 2001. – 183. – P. 109 – 147. OderΩano 17.01.2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5

Сингулярні збурення самоспряжених операторів, асоційовані з оснащеними гільбертовими просторами

Institution

Ähnliche Einträge