Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів
Вивчається обернена спектральна задача для точкового спектра сингулярно збурених само-спряжених операторів.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165737 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів / А.Ю. Константинов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 654–658. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165737 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657372020-02-23T13:47:39Z Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів Константинов, А.Ю. Статті Вивчається обернена спектральна задача для точкового спектра сингулярно збурених само-спряжених операторів. We study the inverse spectral problem for the point spectrum of singularly perturbed self-adjoint operators. 2005 Article Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів / А.Ю. Константинов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 654–658. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165737 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Константинов, А.Ю. Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів Український математичний журнал |
| description |
Вивчається обернена спектральна задача для точкового спектра сингулярно збурених само-спряжених операторів. |
| format |
Article |
| author |
Константинов, А.Ю. |
| author_facet |
Константинов, А.Ю. |
| author_sort |
Константинов, А.Ю. |
| title |
Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів |
| title_short |
Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів |
| title_full |
Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів |
| title_fullStr |
Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів |
| title_full_unstemmed |
Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів |
| title_sort |
точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165737 |
| citation_txt |
Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів / А.Ю. Константинов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 654–658. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT konstantinovaû točkovijspektrsingulârnozburenihsamosprâženihoperatorív |
| first_indexed |
2025-07-14T19:45:54Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:45:54Z |
| _version_ |
1837652883099615232 |
| fulltext |
UDK 517.9
O. G. Konstantinov (Ky]v. nac. un-t im.T. Íevçenka)
TOÇKOVYJ SPEKTR SYNHULQRNO ZBURENYX
SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV
*
We study an inverse spectral problem for the point spectrum of singularly perturbed self-adjoint
operators.
Vyvça[t\sq obernena spektral\na zadaça dlq toçkovoho spektra synhulqrno zburenyx samo-
sprqΩenyx operatoriv.
1. Vstup. Rozhlqnemo v separabel\nomu hil\bertovomu prostori H neobme-
Ωenyj samosprqΩenyj operator A = A
*
z oblastg vyznaçennq D( A ).. Budemo
hovoryty, wo operator à A≠ v H [ (çysto) synhulqrnym zburennqm A, qkwo
oblast\
D D D: ( ) ( ˜ ) : ˜= ∈ ={ }f A A Af Af∩ (1)
[ wil\nog v H. U c\omu vypadku moΩna vyznaçyty wil\no vyznaçenyj symet-
ryçnyj operator
ˆ : ˜A A A= =� �D D . Qkwo dodatkovo prypustyty, wo opera-
tor à [ samosprqΩenym, to A i à budut\ riznymy samosprqΩenymy rozßy-
rennqmy  .
Metog ci[] roboty [ doslidΩennq umov isnuvannq synhulqrnoho zburennq à ,
wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq
à k k kψ λ ψ= , k = 1, 2, … , (2)
dlq dovil\nyx napered zadanyx poslidovnosti dijsnyx çysel Λ : = {λk : k ≥ 1}
ta systemy ortonormovanyx vektoriv Ψ : = {ψk : k ≥ 1} takyx, wo
L ∩ D ( A ) = {0} , (3)
de
L : := ≥{ }span ψk k 1 . (4)
Tut M poznaça[ zamykannq mnoΩyny M, span {M} — linijna obolonka mno-
Ωyny M.
Zaznaçymo, wo doslidΩennq toçkovoho spektra samosprqΩenyx rozßyren\
symetryçnyx operatoriv zi skinçennymy indeksamy defektu vperße provodylos\
u roboti M. H. Krejna [1]. Spektral\ni vlastyvosti samosprqΩenyx rozßyren\
symetryçnyx operatoriv z lakunamy detal\no vyvçalysq v robotax [2 – 5]. Zo-
krema, v [2, 5] bulo rozhlqnuto symetryçni operatory z kil\koma lakunamy i v
terminax prostoriv hranyçnyx znaçen\ ta funkci] Vejlq bulo pobudovano sa-
mosprqΩeni rozßyrennq z zadanymy spektral\nymy vlastyvostqmy (v lakunax i
poza lakunamy vidpovidnoho symetryçnoho operatora). Vidmitymo takoΩ robotu
[6], de doslidΩuvalos\ pytannq pro kil\kist\ vlasnyx znaçen\ odnovymirnoho
operatora Ír\odinhera z toçkovymy vza[modiqmy.
U vypadku skinçennyx poslidovnostej Λ ta Ψ zadaçu pobudovy synhulqr-
noho zburennq à , wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2), povnistg rozv’q-
zano v [7 – 9].
U cij roboti (dyv. takoΩ [10]) my uzahal\ng[mo ta rozvyva[mo rezul\taty
*
Pidtrymano proektamy DFG 436 UKR 113/67, 436 UKR 113/78 ta DerΩavnym fondom funda-
mental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (hrant 01.07/27).
© O. G. KONSTANTINOV, 2005
654 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
TOÇKOVYJ SPEKTR SYNHULQRNO ZBURENYX SAMOSPRQÛENYX … 655
[7 – 9] na vypadok neskinçennyx Λ ta Ψ. U p. 2 navedeno kryterij isnuvannq sy-
metryçnoho synhulqrnoho zburennq à operatora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na
vlasni znaçennq (2). U p. 3 obhovorggt\sq umovy isnuvannq samosprqΩenyx roz-
ßyren\ operatora à .
Dali çerez B ( H, K ) poznaça[mo klas linijnyx neperervnyx operatoriv z H
v K , a çerez Ran T, Ker T ta ρ( T ) — obraz, qdro ta rezol\ventnu mnoΩynu ope-
ratora T. Interval ∆ ⊂ R nazyva[t\sq lakunog samosprqΩenoho operatora T,
qkwo ∆ ⊂ ρ( T ) .
2. Symetryçni synhulqrni zburennq i zadaça na vlasni znaçennq (2).
Vvedemo mnoΩynu
D D0 0 1: ( ) : , ( )= ∈ −( ) = ∀ ≥{ }x A A x kk kψ λ . (5)
Teorema 1. Nexaj A — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator u hil\berto-
vomu prostori H i Λ = {λk : k ≥ 1} — dovil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel.
Prypustymo, wo ortonormovana systema Ψ : = { ψk : k ≥ 1} zadovol\nq[
umovu (3). Todi wil\nist\ D0 v H [ neobxidnog i dostatn\og umovog dlq
isnuvannq symetryçnoho (wil\no vyznaçenoho) synhulqrnoho zburennq à o p e -
ratora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2).
Dovedennq. Prypustymo spoçatku, wo isnu[ symetryçnyj operator à ,
qkyj rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2) i [ synhulqrnym zburennqm opera-
tora A. Nexaj mnoΩyna D vyznaça[t\sq formulog (1) i
ˆ :A A= � D . Todi
ˆ ˜ ˜* *A A A⊃ ⊃ i vnaslidok (2) D ⊂ D0 . Zokrema, mnoΩyna D0 [ wil\nog v H.
Navpaky, nexaj D0 [ wil\nog v H i
A A0 0:= � D . (6)
Todi na pidstavi (5)
A k k k0
*ψ λ ψ= , k = 1, 2, … .
Rozhlqnemo samosprqΩenyj u pidprostori L (dyv. (4)) operator
B
k
k k k: ( , )= ⋅
=
∞
∑
1
λ ψ ψ (7)
i vyznaçymo operator
A A BΛ : *
( )= +0 0
�D D . (8)
Zhidno z lemog 2.2 roboty [3]
AΛ = B � C (9)
dlq deqkoho symetryçnoho operatora C v L�
. Zokrema, AΛ — symetryçnyj
operator, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2). Bil\ß toho, AΛ zbiha[t\-
sq z A na wil\nij mnoΩyni D0 .
Teoremu dovedeno.
Rozhlqnemo hil\bertove osnawennq (dyv. [11])
H– ⊃ H ⊃ H+ ,
de H+ : = D ( A ) zi skalqrnym dobutkom ( ·, · )+ = (( A + i ) ·, ( A + i ) · ) , H– — po-
povnennq H u normi || · ||– = || ( A + i )–1
· || . Operator A standartnym çynom
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
656 O. G. KONSTANTINOV
prodovΩu[t\sq do obmeΩenoho operatora A z H do H– . Poklademo
M : ( ) := − ≥{ }span A λ ψk k k 1
(zamykannq beret\sq v H–). Todi
D0 = {x ∈ D ( A ) : x � M} .
Teper lehko baçyty (dyv. [10]), wo umova wil\nosti mnoΩyny D0 v H
rivnosyl\na tomu, wo dlq deqkoho (a todi i dlq dovil\noho) λ ∈ ρ( A )
Gλ ∩ D ( A ) = {0} , (10)
de
Gλ λ λ ψ: ( )( ) := − − ≥{ }−span A A kk k
1 1 . (11)
Umova (10), oçevydno, vykonu[t\sq u vypadku skinçennyx poslidovnostej Λ =
= {λk : 1 ≤ k ≤ n} i Ψ = {ψk : 1 ≤ k ≤ n} (dyv. (3)). Navpaky, u vypadku ne-
skinçennyx Λ i Ψ mnoΩyna D0 moΩe buty newil\nog v H. Navedemo odnu
dostatng umovu wil\nosti D0 (dyv. takoΩ [10]).
Teorema 2. Nexaj A — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator u hil\ber-
tovomu prostori H i ortonormovana systema Ψ : = {ψk : k ≥ 1} zadovol\-
nq[ umovu (3). Prypustymo, wo isnu[ obmeΩenyj interval ∆ = ( a, b ) takyj,
wo dlq deqkoho k 0 ≥ 1 vykonugt\sq umovy λk k k: ≥{ } ⊂0 ∆ i { ψk : k ≥
≥ k0} ⊂ E( R \ ∆ )H. Todi D0 [ wil\nog v H .
Dovedennq. Poklademo λ : = ( a + b ) / 2 + i i rozhlqnemo operatory
′ = − ⋅
=
∞
∑B
k k
k k kλ λ λ ψ ψ: ( )( , )
0
,
′′ = − ⋅
=
−
∑B
k
k
k k kλ λ λ ψ ψ: ( )( , )
1
10
,
T x x A B B xλ λ λλ: ( )= − − ′ + ′′( )−1
, x ∈ L .
Zrozumilo, wo Tλ ∈ B ( L, H ) i Gλ λ= RanT (dyv. (11)). Na pidstavi (3) Ran Tλ∩
∩ D ( A ) = {0} . Takym çynom, dosyt\ dovesty, wo Ran Tλ — zamknena mnoΩyna
v H. Bezposeredn\o vydno, wo ( )A B− ′ <−λ λ
1 1, a ( )A B− ′′−λ λ
1
— skinçenno-
vymirnyj operator iz L u H . Zvidsy vyplyva[, wo Tλ — napivfredhol\movyj
operator z L v H (dyv. [12]). Zokrema, Ran Tλ — zamknenyj pidprostir u H.
Navedemo takoΩ pryklad newil\nosti mnoΩyny D0 .
Pryklad. Nexaj K — neskinçennovymirnyj hil\bertiv prostir i H = K �
� K . Budemo ototoΩngvaty elementy H z paramy 〈x, y〉 , x ∈ K , y ∈ K .
Prypustymo, wo S , T — neobmeΩeni samosprqΩeni operatory v K taki, wo
Ker S = {0} i D ( S ) ∩ D ( T ) = {0} . Rozhlqnemo operator
A(〈x, y〉) : = 〈0, Sy〉 , D ( A ) = K � D ( S )
i pidprostir
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
TOÇKOVYJ SPEKTR SYNHULQRNO ZBURENYX SAMOSPRQÛENYX … 657
L : = {〈Ty, y〉 : y ∈ D ( T )} .
Zrozumilo, wo A — samosprqΩenyj operator v H i L — neskinçennovymirnyj
pidprostir v H, wo zadovol\nq[ umovu (3). Nexaj {ψk : k ≥ 1} — dovil\nyj
ortonormovanyj bazys v L i λk : = 0 dlq vsix k ≥ 1. Todi
D0 = {(〈x, y〉) ∈ D ( A ) : A(〈x, y〉) � L} =
= {(〈x, y〉) ∈ D ( A ) : Sy � D ( T )} = K � {0} .
3. SamosprqΩeni synhulqrni zburennq. U c\omu punkti my navedemo do-
statni umovy, wo zabezpeçugt\ isnuvannq samosprqΩenoho synhulqrnoho zbu-
rennq à operatora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2) (dyv. takoΩ
[10]).
Teorema 3. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 2 i, bil\ß toho, pidprostir
L.⊂ E( R \ ∆ )H. Todi isnu[ samosprqΩene synhulqrne zburennq à operatora A,
wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2).
Dovedennq. Z ohlqdu na umovu na L dosyt\ dovesty teoremu u vypadku, ko-
ly ∆ [ lakunog operatora A. Nexaj operator A0 vyznaçeno formulog (6).
Rozhlqnemo v pidprostori L′ : = span ψk k k: ≥{ }0 samosprqΩenyj operator
′ = ⋅
≥
∑B k k
k k
k: ( , )λ ψ ψ
0
i symetryçnyj v H operator
′ = + ′A A BΛ : *
( )0 0
�D D . Na pidstavi lemy 2.2 [3] (por.
z (9))
′ = ′ ′A B CΛ : �
dlq deqkoho symetryçnoho operatora C′ v L ′�. ZauvaΩymo, wo ∆ — lakuna
A0 , i zhidno z lemog 2.1 roboty [3] ∆ [ lakunog operatora C′. Zokrema, ′AΛ
ma[ odnakovi indeksy defektu. Z inßoho boku, AΛ (dyv. (8)) [ skinçennovymir-
nym zburennqm operatora ′AΛ i, zokrema, AΛ takoΩ ma[ odnakovi indeksy de-
fektu. Takym çynom, dovil\ne samosprqΩene rozßyrennq AΛ rozv’qzu[ zadaçu
na vlasni znaçennq (2).
ZauvaΩennq 1. Teoremy 2, 3 zalyßagt\sq spravedlyvymy i dlq poroΩn\o]
mnoΩyny ∆. U c\omu vypadku L — skinçennovymirnyj pidprostir, wo zado-
vol\nq[ umovu (3), i Λ — dovil\na skinçenna mnoΩyna. Qvnu konstrukcig vid-
povidnoho samosprqΩenoho rozßyrennq navedeno v [7].
Inßa moΩlyvist\ zabezpeçyty isnuvannq samosprqΩenoho synhulqrnoho zbu-
rennq à operatora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2), polqha[ v
bil\ß special\nyx prypuwennqx na systemu vektoriv {ψk : k ≥ 1} . Poznaçymo
çerez Hϕ minimal\nyj invariantnyj vidnosno A pidprostir, wo mistyt\ ϕ ∈ H.
Teorema 4. Nexaj A — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator u hil\berto-
vomu prostori H i Λ = {λk : k ≥ 1} — dovil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel.
Prypustymo, wo systema Ψ = ≥{ }ψk k: 1 taka, wo dlq vsix k ≥ 1 ψ k ∉
∉ D( A ) i pidprostory
H ψ k
[ poparno ortohonal\nymy. Todi isnu[ samosprq-
Ωene synhulqrne zburennq à operatora A , wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni
znaçennq (2).
Dovedennq. Poklademo
H Hk k
:= ψ , k ∈ N , i
H H H0 1:= ( )=
∞� �k k .
Nexaj A Ak k:= � H — zvuΩennq A na Hk , k ≥ 0. Todi dlq koΩnoho k ≥ 1
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
658 O. G. KONSTANTINOV
isnu[ samosprqΩene synhulqrne zburennq ranhu odyn Ãk operatora Ak take,
wo Ãk k k kψ λ ψ= (dyv., napryklad, [7, 9]). Zalyßa[t\sq rozhlqnuty
˜ : ˜A A
k
k=
=
∞
0
� ,
de
˜ :A A0 0= .
ZauvaΩennq 2. Teorema 4 dopovng[ vidpovidnyj rezul\tat [9], de bulo do-
vedeno isnuvannq samosprqΩenoho synhulqrnoho zburennq z dovil\nym toçkovym
spektrom.
1. Krejn M. H. Teoryq samosoprqΩenn¥x rasßyrenyj poluohranyçenn¥x πrmytov¥x operato-
rov y ee pryloΩenyq. I // Mat. sb. – 1947. – 20(62), # 3. – S. 431 – 495.
2. Derkach V. A., Malamud M. M. General resolvents and the boundary-value problem for Hermitian
operators with gaps // J. Funct. Anal. – 1991. – 95. – P. 1 – 95.
3. Albeverio S., Brasche J. F., Neidhardt H. On inverse spectral theory of self-adjoint extensions:
mixed types of spectra // Ibid. – 1998. – 154. – P. 130 – 173.
4. Brasche J. F., Malamud M. M., Neidhardt H. Weyl function and spectral properties of self-adjoint
extensions // Integr. Equat. Oper. Theory. – 2002. – 43. – P. 264 – 289.
5. Albeverio S., Brasche J. F., Malamud M. M., Neidhardt H. Inverse spectral theory for symmetric
operators with several gaps: scalar-type Weyl functions. – Bonn, 2004. – 50 p. – Preprint # 166.
6. Albeverio S., Nizhnik L. On the number of negative eigenvalues of one-dimensional Schrödinger
operators with point interaction // Lett. Math. Phys. – 2003. – 65. – P. 27 – 35.
7. Dudkin M. {., Koßmanenko V. D. Pro toçkovyj spektr samosprqΩenyx operatoriv, wo
vynyka[ pry synhulqrnyx zburennqx skinçennoho ranhu // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 9.
– S. 1269 – 1276.
8. Koshmanenko V. A variant of inverse negative eigenvalues problem in singular perturbation theory
// Meth. Funct. Anal. and Top. – 2002. – 8, # 1. – C. 49 – 69.
9. Albeverio S., Dudkin M., Konstantinov A., Koshmanenko V. On the point spectrum of H −2
singular perturbations. – Bonn, 2003. – 10 p. – Preprint # 122.
10. Albeverio S., Konstantinov A., Koshmanenko V. On inverse spectral theory for singularly perturbed
operators: point spectrum. – Bonn, 2004. – 12 p. – Preprint # 182.
11. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 800 s.
12. Kato T. Teoryq vozmuwenyj lynejn¥x operatorov. – M.: Myr, 1972. – 740 s.
OderΩano 10.01.2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
|