Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам

Побудовано нові приклади операторів узагальненого зсуву та згорток за власними функціями деяких самоспряжених диференціальних операторів.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Косяк, А.В., Нижник, Л.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165738
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам / А.В. Косяк, Л.П. Нижник // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 659–668. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165738
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1657382020-02-17T01:26:28Z Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам Косяк, А.В. Нижник, Л.П. Статті Побудовано нові приклади операторів узагальненого зсуву та згорток за власними функціями деяких самоспряжених диференціальних операторів. We construct new examples of operators of generalized translation and convolutions in eigenfunctions of certain self-adjoint differential operators. 2005 Article Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам / А.В. Косяк, Л.П. Нижник // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 659–668. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165738 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Косяк, А.В. Нижник, Л.П. Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам Український математичний журнал
description	Побудовано нові приклади операторів узагальненого зсуву та згорток за власними функціями деяких самоспряжених диференціальних операторів.
format	Article
author	Косяк, А.В. Нижник, Л.П.
author_facet	Косяк, А.В. Нижник, Л.П.
author_sort	Косяк, А.В.
title	Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам
title_short	Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам
title_full	Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам
title_fullStr	Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам
title_full_unstemmed	Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам
title_sort	операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165738
citation_txt	Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам / А.В. Косяк, Л.П. Нижник // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 659–668. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kosâkav operatoryobobŝennogosdvigaigipergruppypostroennyeposamosoprâžennymdifferencialʹnymoperatoram AT nižniklp operatoryobobŝennogosdvigaigipergruppypostroennyeposamosoprâžennymdifferencialʹnymoperatoram
first_indexed	2025-07-14T19:45:58Z
last_indexed	2025-07-14T19:45:58Z
_version_	1837652887375708160
fulltext	UDK 517.9 A.�V.�Kosqk, L.�P.�NyΩnyk (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) OPERATORÁ OBOBWENNOHO SDVYHA Y HYPERHRUPPÁ, POSTROENNÁE PO SAMOSOPRQÛENNÁM DYFFERENCYAL\|NÁM OPERATORAM * We construct new examples of operators of generalized translation and convolutions in eigenfunctions of some self-adjoint differential operators. Pobudovano novi pryklady operatoriv uzahal\nenoho zsuvu ta zhortok za vlasnymy funkciqmy deqkyx samosprqΩenyx dyferencial\nyx operatoriv. V peryod s 1950 po 1953/hh. G./M./Berezanskym (çastyçno sovmestno s S./H./Krej- nom) b¥la razrabotana detal\naq obwaq teoryq hyperkompleksn¥x system so sçetn¥my y neprer¥vn¥my bazysamy (sm. [1] y pryvedennug v nej byblyohra- fyg). ∏ta teoryq pozvolyla postroyt\ hlubokye obobwenyq harmonyçeskoho analyza y teoryy poçty peryodyçeskyx funkcyj. Obæekt¥, blyzkye k hyper- kompleksn¥m systemam, — hyperhrupp¥ — naçaly yzuçat\sq za rubeΩom lyß\ v 1973/h. VaΩn¥m voprosom v teoryy hyperkompleksn¥x system y hyperhrupp qvlqetsq postroenye razlyçn¥x konkretn¥x prymerov takyx obæektov. Íyro- kyj klass prymerov osnovan na rassmotrenyy operatorov obobwennoho sdvyha, kotor¥e svqzan¥ s konkretn¥my dyfferencyal\n¥my y raznostn¥my opera- toramy [1, 2]. V nastoqwej stat\e pokazano, çto dlq πtyx celej moΩno yspol\- zovat\ takΩe samosoprqΩenn¥e dyfferencyal\n¥e operator¥ typa Udnova – Íextera [3], odnovremenno dejstvugwye kak v oblasty, tak y na hranyce. 1. Alhebrayçeskye struktur¥, svqzann¥e s operatoramy pervoho po- rqdka. 1.1. SamosoprqΩenn¥j operator. Rassmotrym v hyl\bertovom pro- stranstve H = L2 1 2 1 2 −( ), ⊕ E1 operator A , zadann¥j ravenstvom A xϕ ϕ ϕ ( ) 1 2 1 2 1 2 −   +               = − ′     − −             i x i ϕ ϕ ϕ ( ) 1 2 1 2 (1) na funkcyqx ϕ ∈ W2 1 1 2 1 2 −( ), yz prostranstva Soboleva vsex absolgtno nepre- r¥vn¥x funkcyj na yntervale −[ ]1 2 1 2 , , u kotor¥x proyzvodnaq ϕ′ yntehryrue- ma s kvadratom. Teorema 1. Operator A v hyl\bertovom prostranstve H qvlqetsq sa- mosoprqΩenn¥m operatorom s çysto dyskretn¥m spektrom. Eho sobstvenn¥e znaçenyq λn , n ∈ Z , zanumerovann¥e v porqdke vozrastanyq, s uslovyem λ0 = = 0, λ – n = – λn qvlqgtsq kornqmy xarakterystyçeskoho uravnenyq ei λ = 2 2 − + i i λ λ . (2) Pry bol\ßyx n >> 1 sobstvenn¥e çysla ymegt asymptotyku λn = π ( 2n – 1 ) + εn + O n 1 3     , εn = 4 2 1π( )n − . (3) Funkcyy ϕ n = ei xnλ , n ∈ Z , obrazugt polnug v prostranstve L2 1 2 1 2 −( ), systemu funkcyj, ortohonal\nug otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq * V¥polnena pry çastyçnoj fynansovoj podderΩke DFG (proekt 436 UKR113/72) . © A./V./KOSQK, L./P./NYÛNYK, 2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 659 660 A./V./KOSQK, L./P./NYÛNYK 〈 ϕ , ψ 〉 = ( , )ϕ ψ L2 + ϕ ψr r⋅ , ϕr = 1 2 1 2 1 2 ϕ ϕ    + −       , ϕ , ψ ∈ C −( )1 2 1 2 , . (4) Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez U = col ( u ( x ) , ur ) vektor yz H , postro- enn¥j po funkcyy u ∈ W2 1 1 2 1 2 −( ), . Vektor u prynadleΩyt oblasty opredele- nyq operatora A y A u = col ( – i u′ ( x ) , i us ) ∈ H , hde us = u 1 2 ( ) – u −( )1 2 . Poka- Ωem, çto oblast\ opredelenyq operatora A vsgdu plotna v H . Esly b¥ πto b¥lo ne/tak, to suwestvoval b¥ vektor Ψ = col ( ψ ( x ) , a ) ≠ 0, ψ ∈ L2 , a ∈ C1 , takoj, çto ( U , Ψ )H = 0 ∀u ∈ W2 1. Dlq funkcyj u ∈ C0 1 2 1 2 ∞ −( ), ravenstvo ( U , Ψ )H = 0 perexodyt v ravenstvo ( , )u Lψ 2 = 0 ∀u ∈ C0 ∞ . V sylu plotnosty prostranstva C0 ∞ v prostranstve L2 pryxodym k v¥vodu, çto ψ ≡ 0. Tohda ra- venstvo ( U , Ψ )H = 0 prevrawaetsq v u ar = 0 ∀u ∈ W2 1. Polahaq u ≡ 1, ymeem a = 0, çto protyvoreçyt uslovyg Ψ = col ( ψ ( x ) , a ) ≠ 0. Poπtomu ob- last\ opredelenyq operatora A vsgdu plotna v prostranstve H . Operator A symmetryçeskyj v hyl\bertovom prostranstve H . Dejstvytel\no, dlq vektorov U = col ( u ( x ) , ur ) y V = col ( v ( x ) , vr ) , hde u , v ∈ W2 1, v sylu opredelenyq ope- ratora A y formul¥ Hryna ( A U , V )H – ( U , A V )H = ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,− ′ + − − ′ −iu iu u i u iL s r E L r s E v v v v 2 1 2 1 = = −         − −   −       + +[ ]i u u i u us r r s 1 2 1 2 1 2 1 2 v v v v ≡ 0. PokaΩem teper\, çto operator A samosoprqΩenn¥j v H . Dlq πtoho dostatoç- no pokazat\, çto oblast\ znaçenyj operatora A ± i I sostavlqet vse prostran- stvo H , t./e. uravnenye ( A ± i I ) U = Ψ odnoznaçno razreßymo pry lgbom vek- tore Ψ = col ( ψ ( x ) , a ) ∈ H . Ukazannoe uravnenye svodytsq k dyfferencyal\- nomu uravnenyg – i u′ ( x ) ± i u ( x ) = ψ ( x ) y hranyçnomu uslovyg i us ± i ur = a . ∏ta zadaça odnoznaçno reßaetsq pry lgb¥x ψ ∈ L2 y a ∈ C, a ee reßenye u ∈ ∈ W2 1 lehko predstavyt\ v qvnom vyde. Dlq naxoΩdenyq sobstvenn¥x vektorov Φλ = col ( ϕλ , ψλ ) y sobstvenn¥x znaçenyj λ neobxodymo najty netryvyal\noe reßenye uravnenyq A Φλ = λ Φλ . ∏ta zadaça svodytsq k dyfferencyal\nomu uravnenyg − ′iϕλ = λ ϕλ y hranyçno- mu uslovyg − i sϕλ, = λϕλ,r . Poslednqq zadaça ymeet netryvyal\n¥e reßenyq ϕλ ( x ) = ei xλ tol\ko v sluçae, esly λ qvlqetsq reßenyem xarakterystyçeskoho uravnenyq (2). /Uravnenye (2) ymeet odnokratn¥e vewestvenn¥e reßenyq λn , n ∈ ∈ Z , kotor¥e moΩno zanumerovat\ v porqdke vozrastanyq, polahaq λ0 = 0. Tohda λ – n = – λn y dlq bol\ßyx n reßenyq xarakterystyçeskoho uravnenyq (2) yme- gt asymptotyku (3). Poskol\ku sobstvenn¥e funkcyy Φλn = col( ), ,ϕ ϕλ λn r samosoprqΩennoho operatora A obrazugt polnug ortohonal\nug v H syste- mu, to ( ),Φ Φλ λn m H = 0 pry n ≠ m . ∏to ravenstvo πkvyvalentno uslovyg orto- honal\nosty funkcyj { } ∈ei x n Z nλ otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq 〈 ⋅ , ⋅ 〉 , zadavaemoho ravenstvom (4). Pry πtom ( ),Φ Φλ λn m H = 〈 〉e ei x i xn mλ λ, = δn m nN, 2 , (5) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 OPERATORÁ OBOBWENNOHO SDVYHA Y HYPERHRUPPÁ, POSTROENNÁE … 661 hde Nn 2 = 1 + [ / ]λn 2 14 1+ − , a δn m, — symvol Kronekera. Teorema dokazana. Teorema 2. Dlq toho çtob¥ systema funkcyj { } ∈ei x n Z nλ , λ0 = 0, obrazo- v¥vala polnug v L2 1 2 1 2 −( ), ortohonal\nug otnosytel\no skalqrnoho proyz- vedenyq (4) systemu funkcyj, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ çysla λn b¥ly vsemy reßenyqmy uravnenyq (2). Dokazatel\stvo. Uslovye 〈 〉ei xnλ , 1 = 0 pryvodyt k xarakterystyçeskomu uravnenyg (2) dlq çysel λn . Esly çysla λn ≠ λm qvlqgtsq reßenyqmy uravne- nyq (2), to 〈 〉e ei x i xn mλ λ, = 0, t./e. ony ortohonal\n¥ otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq (2). Polnota system¥ { } ∈ei x n Z nλ sleduet yz teorem¥/1, poskol\- ku vektor¥ Φλn = col( ), cos( / )ei x n nλ λ 2 obrazugt polnug ortohonal\nug sys- temu v prostranstve H . Teorema dokazana. Zameçanye�1. Teorem¥ 1, 2 ostagtsq vern¥my, esly skalqrnoe proyzvede- nye (2) zamenyt\ na bolee obwee 〈 ϕ , ψ 〉 = ϕ ψ, , ( ) −  L2 1 2 1 2 + α ϕ ψ2 r r , operator A opredelqt\ ravenstvom A col ( u ( x ) , α ur ) = col ( – i u′ ( x ) , i α–1 us ) , a xarakterystyçeskoe uravnenye (2) zamenyt\ na ei λ = 2 2 2 2 − + i i λα λα . 1.2. ∏volgcyonnoe uravnenye y operator¥ obobwennoho sdvyha. Rassmot- rym zadaçu Koßy dlq πvolgcyonnoho uravnenyq v prostranstve H vyda dU dt = i A U, U \| t =0 = F. (6) Poskol\ku operator A qvlqetsq samosoprqΩenn¥m v prostranstve H , zadaça (6) odnoznaçno razreßyma na vsej osy – ∞ < t < + ∞ pry proyzvol\nom naçal\- nom uslovyy F ∈ H . Pust\ F = col ( f ( x ) , fr ) , hde f ∈ C −( )1 2 1 2 , . Tohda reßenye zadaçy (6) ymeet vyd U ( t ) = col u t x u t u t( , ), , ,1 2 1 2 1 2     + −            , hde funkcyq u ( t , x ) qvlqetsq reßenyem zadaçy ∂ ∂ ∂ ∂ u t u x = , ∂ ∂t u t u t u t u t, , , ,1 2 1 2 2 1 2 1 2     + −        = −    −         , (7) u ( 0 , x ) = f ( x ) , u u f f0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 , ,    + −    =     + −   . Teorema 3. Reßenye zadaçy (7) predstavymo v vyde u ( t , x ) = ˆ( )f x t+ , hde funkcyq ˆ( )f x qvlqetsq prodolΩenyem zadannoj na yntervale −[ ]1 2 1 2 , funk- cyy f na vsg os\. Pry πtom ˆ( )f x = − + + + − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − + + + + − + − − − − − − − ∫ ∫ f x e f e f d x f x x f x e f e f d x r x x x r xx ( ) ( ) , , ( ), , ( ) ( ) , ( / ) ( )/ ( / ) ( ) / 1 2 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 τ τ τ τ τ τ 11 2 3 2 ≤ ≤        x . (8) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 662 A./V./KOSQK, L./P./NYÛNYK Esly f ( x ) = ei xnλ , hde λ n — sobstvenn¥e znaçenyq operatora A , to ˆ( )f x = = ei xnλ dlq vsex x . Esly f ( x ) = f en i x n nλ∑ — rqd Fur\e funkcyy f ∈ C −( )1 2 1 2 , , to ee prodolΩenye f̂ predstavymo tem Ωe rqdom f̂ = f en i x n nλ∑ , x ∈ R 1. Dokazatel\stvo. Yz uravnenyq ∂ ∂ ∂ ∂ u t u x = sleduet u ( t , x ) = ˆ( )f x t+ . Yz na- çal\noho uslovyq u ( 0 , x ) = f ( x ) poluçaem ˆ( )f x = f ( x ) pry – 1 2 ≤ x ≤ 1 2 . Yz ostavßehosq sootnoßenyq (7) ymeem ˆ ˆ ˆ ˆ′ +    + +    = − ′ −    + −   f t f t f t f t1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 . (9) Yntehryruq (9) pry 1 2 ≤ t ≤ 3 2 y pry – 3 2 ≤ t ≤ – 1 2 s uçetom ˆ( )f x = f ( x ) , polu- çaem sootnoßenyq (8). Esly vektor naçal\n¥x uslovyj F = col( ), cos( / )ei x n nλ λ 2 ≡ Φλn v zadaçe Koßy (6) qvlqetsq sobstvenn¥m vektorom operatora A s sobstvenn¥m znaçe- nyem λn , to reßenye ymeet vyd U ( t ) = ei tn n λ λΦ . Poπtomu funkcyq u ( t , x ) = = = +e e f x ti t i xn nλ λ ˆ( ) y, sledovatel\no, ˆ( ) ( , )f x u x ei xn= =0 λ . Takym obrazom, pro- dolΩenye ei xnλ̂ = ei xnλ pry vsex x . Poπtomu ˆ( )f x = f̂ en i x n nλ∑ = f en i x n nλ∑ . Teorema dokazana. Opredelenye 1. Operator Tt obobwennoho sdvyha, sootvetstvugwyj za- daçe (7), opredelqetsq ravenstvom T t f ( x ) = u ( t , x ) = ˆ( )f x t+ , (10) hde f̂ — prodolΩenye funkcyy f yz yntervala −[ ]1 2 1 2 , na vsg os\ sohlasno teoreme 3. Teorema 4. Esly λ n — sobstvenn¥e znaçenyq operatora A , t.0e. reßenyq xarakterystyçeskoho uravnenyq (2), to T et i xnλ = e ei t i xn nλ λ . (11) Esly f ( x ) = f en i x n nλ∑ qvlqetsq rqdom Fur\e funkcyy f otnosytel\no sys- tem¥ funkcyj { } ∈ei x n Z nλ , ortohonal\n¥x otnosytel\no skalqrnoho proyz- vedenyq (4), t.0e. fn = f x e N i x n n( ), λ 1 2 , (12) to T t f ( x ) = f e en i t i x n n nλ λ∑ . (13) Semejstvo operatorov T t obrazuet unytarnug odnoparametryçeskug hruppu operatorov otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq (4): T Tt t1 2 = T t t1 2+ , T 0 = I , 〈 T t ϕ , T t ψ 〉 = 〈 ϕ , ψ 〉. (14) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 OPERATORÁ OBOBWENNOHO SDVYHA Y HYPERHRUPPÁ, POSTROENNÁE … 663 Dokazatel\stvo. Poskol\ku prodolΩenye, sohlasno teoreme 3, funkcyy ei xnλ sovpadaet s nej samoj, v sylu (10) poluçaem (11). Ravenstvo (13) poluça- etsq prymenenyem lynejnoho operatora T t k razloΩenyg v rqd Fur\e funkcyy f ( x ) po systeme { } ∈ei x n Z nλ s uçetom ravenstva (11). Poslednee ravenstvo v (14) sleduet yz ravenstva Parsevalq dlq rqdov Fur\e po polnoj ortohonal\noj systeme funkcyj 〈 f , g 〉 = f g N n n nn 1 2∑ (15) y qvnoho vyda koπffycyentov Fur\e funkcyy T t f , ( T t f )n = f en i tnλ , v¥tekag- wyx yz (13). Teorema dokazana. 1.3. Svertka. Opredelenye 2. Svertka dvux neprer¥vn¥x funkcyj f , g ∈ C −( )1 2 1 2 , opre- delqetsq çerez skalqrnoe proyzvedenye 〈 ⋅ , ⋅ 〉 (4) y operator obobwennoho sdvyha T t ravenstvom ( f ∗ g ) ( t ) = 〈 T t f , g∗ 〉, (16) hde g∗( x ) = g x( )− — ynvolgcyq. Teorema 5. Dannaq v opredelenyy 2 svertka qvlqetsq assocyatyvn¥m y kommutatyvn¥m umnoΩenyem. Dokazatel\stvo. Opredelym svertku dvux xarakterov ei xnλ y ei xmλ . Poskol\ku T et i xnλ = e ei t i xn mλ λ , a [ ]ei xmλ ∗ = ei xmλ , yz (16) sleduet e e ti x i xn mλ λ∗( )( ) = e e ei t i x i xn n mλ λ λ, = e Ni t nm n nλ δ 2 . (17) Pust\ zadan¥ funkcyy f , g ∈ C −( )1 2 1 2 , . Predstavlqq πty funkcyy rqdamy Fur\e f ( x ) = f en i x n nλ∑ , g ( x ) = g en i x n nλ∑ y uçyt¥vaq ravenstvo (17), ymeem ( f ∗ g ) ( x ) = f g N en n n i x n n−∑ 2 λ . (18) Yz predstavlenyq (18) sleduet, çto koπffycyent¥ Fur\e svertky v¥raΩagtsq çerez proyzvedenye koπffycyentov Fur\e svertoçn¥x mnoΩytelej, t./e. svertka (16) kommutatyvna. Predstavlqq koπffycyent¥ Fur\e povtorn¥x svertok ( f ∗ g ) ∗ h y f ∗ ( g ∗ h ) çerez proyzvedenyq koπffycyentov Fur\e svertoçn¥x mnoΩytelej, poluçaem [( f ∗ g ) ∗ h ]n = f g h Nn n n n −4 = [ f ∗ ( g ∗ h ) ]n . Takym obrazom, svertka (16) assocyatyvna. Teorema dokazana. Yz opredelenyq 2 svertky, qvnoho vyda skalqrnoho proyzvedenyq (4), qvnoho vyda operatora sdvyha T t f ( x ) = ˆ( )f x t+ y qvnoho vyda (8) prodolΩenyq f̂ funkcyy f lehko poluçyt\ v¥raΩenye dlq svertky dvux funkcyj ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 664 A./V./KOSQK, L./P./NYÛNYK ( f ∗ g ) ( x ) = f g c x d d( ) ( ) ( , , ) / / / / ξ η ξ η ξ η −− ∫∫ 1 2 1 2 1 2 1 2 , hde c x( , , )ξ η = ( )( )− −χ χξ η[ / , ] [ / , ]*1 2 1 2 x , a χ ξ[ / , ]−1 2 — xarakterystyçeskaq funkcyq yntervala −    1 2 , ξ . ∏tu svertku moΩno predstavyt\ takΩe v qvnom vyde ( f ∗ g ) ( x ) = f x s g s ds f x s g s ds x x ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / − − − − − − − ∫ ∫ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + + 4 2 1e f g d dx Dx − − + +∫∫ ( ) ( ) ( )ξ η ξ η ξ η + + e f g f e g d g e f dx r r r x r x − + − − + − − ⋅ + +      ∫ ∫2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2η ξη η ξ ξ( ) ( ) / / / / , hde x > 0, a Dx = { ( ξ , η ) : –1/2 ≤ ξ , η ≤ 1/2, ξ + η ≤ x – 1 }. 1.4. Strukturn¥e konstant¥. Sovokupnost\ xarakterov { } ∈ei x n Z nλ obrazuet ortohonal\nug systemu otnosytel\no svertoçnoho umnoΩenyq (17). Ob¥çnoe proyzvedenye dvux xarakterov moΩno v¥razyt\ çerez yx lynejnug kombynacyg v vyde e ei x i xn mλ λ = c en m k i x k k , , λ∑ , hde cn m k, , — strukturn¥e konstant¥. Poskol\ku dannoe predstavlenye qvlq- etsq rqdom Fur\e funkcyy e ei x i xn mλ λ , to cn m k, , = 1 2N e e e k i x i x i xn m kλ λ λ, . Pry λn + λm – λk ≠ 0 cn m k, , = ( ) ( ) ( ) / − +( ) +( ) +( )[ ] + + − + + + − 1 4 4 4 21 2 2 2 1 2 2 n m k n m k n m n m k n m kN λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ . Krome πtoho, cn k, ,0 = c n k0, , = δn k, , cn n, ,− 0 = 1. 2. Alhebrayçeskye struktur¥, svqzann¥e s dyfferencyal\n¥my ope- ratoramy vtoroho porqdka. 2.1. SamosoprqΩenn¥j operator. Rassmotrym v prostranstve H = L2 ( 0 , 1 ) ⊕ E1 operator B , opredelqem¥j ravenstvom B col ( u ( x ) , u ( 1 )) = col ( – u″ ( x ) , u′ ( 1 ) ) (19) na funkcyqx u ( x ) yz sobolevskoho prostranstva W2 2 0 1( , ) , udovletvorqgwyx hranyçnomu uslovyg u′ ( 0 ) = 0. Teorema 6. Operator B qvlqetsq samosoprqΩenn¥m operatorom v hyl\bertovom prostranstve H s çysto dyskretn¥m spektrom. Eho sobstven- n¥e znaçenyq λn 2 , zanumerovann¥e v porqdke vozrastanyq, qvlqgtsq kornqmy xarakterystyçeskoho uravnenyq tan λn = – λn , λ0 = 0, λn ≥ 0. (20) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 OPERATORÁ OBOBWENNOHO SDVYHA Y HYPERHRUPPÁ, POSTROENNÁE … 665 Funkcyy ϕn = cos λn x , n = 0, 1, … , obrazugt polnug v prostranstve H sys- temu funkcyj, ortohonal\nug otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq 〈 ϕ , ψ 〉 = ( , )ϕ ψ L2 + ϕ ψ( ) ( )1 1⋅ , ϕ , ψ ∈ C ( 0 , 1 ) . (21) Pry πtom 〈 cos λn x , cos λm x 〉 = δn m nN, 2 , (22) hde Nn 2 = 1 2 1 2+( )cos λn = 1 2 1 1 1 2+ +    λn , n > 0 y N0 2 = 2. Dokazatel\stvo teorem¥ provodytsq analohyçno dokazatel\stvu teorem¥ 1. 2.2. Obobwenn¥j sdvyh. Opredelenye 3. Lynejn¥j operator obobwennoho sdvyha T t na bazyse cos λn x , hde λ n — korny xarakterystyçeskoho uravnenyq (20), opredelqetsq ravenstvom T t cos λn x = cos λn t cos λn x . (23) Opredelenye 4. ProdolΩenye f̂ neprer¥vnoj funkcyy f ∈ C ( 0 , 1 ) na vsg os\ opredelqetsq znaçenyem rqda Fur\e funkcyy f po polnoj ortohonal\noj otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq (21) systeme funkcyj { } ≥cosλn nx 0 ˆ( )f x = f xn n n cosλ = ∞ ∑ 0 , (24) hde fn = 〈 f ( x ) , cos λn x 〉 1 2Nn — koπffycyent¥ Fur\e funkcyy f . Teorema 7. Operator obobwennoho sdvyha T t dejstvuet na proyzvol\nug neprer¥vnug funkcyg f ∈ C ( 0 , 1 ) po pravylu T t f ( x ) = 1 2 ˆ( ) ˆ( )f x t f x t+ + −[ ], (25) hde f̂ — prodolΩenye funkcyy f na vsg os\ sohlasno opredelenyg 4. Dokazatel\stvo. Pust\ f ( x ) = f xn nn cosλ= ∞∑ 0 — rqd Fur\e funkcyy f ∈ ∈ C ( 0 , 1 ) . Prymenqq k πtomu rqdu operator T t, s uçetom (23) ymeem T t f ( x ) = f t xn n n n cos cosλ λ = ∞ ∑ 0 = = 1 2 0 f x t x tn n n n cos ( ) cos ( )λ λ+ + −[ ] = ∞ ∑ = 1 2 ˆ( ) ˆ( )f x t f x t+ + −[ ]. Teorema 8. Pust\ U ( t ) = col ( u ( t , x ) , u ( t , 1)) ∈ H — reßenye zadaçy Koßy d U dt 2 2 + B U = 0, U ( 0 ) = col ( f ( x ) , f ( 1)) , dU dt t=0 = 0. (26) Tohda u ( t , x ) = T t f ( x ) , hde T t — operator obobwennoho sdvyha. Dokazatel\stvo. Esly f ( x ) = cos λn x , hde λn 2 — sobstvennoe znaçenye samosoprqΩennoho operatora B , to u ( t , x ) = cos λn t cos λn x , t./e. v¥polnqetsq ravenstvo (23). Poluçennoe metodom sobstvenn¥x funkcyj reßenye zadaçy (26) predstavymo v vyde ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 666 A./V./KOSQK, L./P./NYÛNYK u ( t , x ) = 1 2 ˆ( ) ˆ( )f x t f x t+ + −[ ], (27) çto pryvodyt k predstavlenyg (24) dlq operatorov T t. S druhoj storon¥, pod- stavlqq (27) v (26), dlq funkcyy f̂ poluçaem dyfferencyal\noe uravnenye ˆ ( ) ˆ( )′ + + +f t f t1 1 = ˆ ( ) ˆ( )′ − + −f t f t1 1 . Yntehryruq πto uravnenye, ymeem ˆ( )f x + 1 = – f ( 1 – x ) + 2e–x f ( 1 ) + 2 1 0 e f dx x − − −∫ ( ) ( )τ τ τ , 0 ≤ x ≤ 1. Teorema dokazana. 2.3. Svertka. Opredelenye 5. Opredelym svertku dvux funkcyj f , g ∈ C ( 0, 1 ) ra- venstvom ( f ∗ g ) ( x ) = f y T g xy( ), ( )− . (28) Teorema 9. Svertka (28) assocyatyvna y kommutatyvna. Dokazatel\stvo. V¥çyslym svertku xarakterov ( cos λn ( ⋅ ) ∗ cos λm ( ⋅ ) ) ( x ) = cos cos cosλ λ λn m my y x dy 0 1 ∫ + + cos λn cos λm cos λm x = δ λn m n nx N, cos ⋅ 2 . Dal\nejßee dokazatel\stvo povtorqet dokazatel\stvo teorem¥ 5. Yspol\zovav qvn¥j vyd operatorov sdvyha T t, pryvedem qvn¥j vyd dlq svertky: ( f ∗ g ) ( x ) = 1 2 0 f y g x y dy x ( ) ( )−∫ + 1 2 0 1 f x y g y f y g x y dy x ( ) ( ) ( ) ( )+ + +[ ] − ∫ – – 1 2 1 1 2 1 1 22 2 f x s g x s ds x x − +    − −    − ∫ / / + + exp( ) ( ) ( )exp( )2 − − −∫∫x f y g s x s dy ds Dx + f g x( ) ( )exp( )1 1 − + + f g y x y dy x ( ) ( )exp( )1 1 1 1 − − − ∫ + g f y x y dy x ( ) ( )exp( )1 1 1 1 − − − ∫ , hde Dx = { ( s , y ) ∈R2 \| s ≤ 1 , y ≤ 1, s + y ≥ 2 – x }. 2.4. Strukturn¥e konstant¥. Systema { } = ∞cosλn nx 0 qvlqetsq xarakte- ramy dlq obobwenn¥x sdvyhov (23). V¥razym ob¥çnoe proyzvedenye dvux xarak- terov çerez yx lynejnug kombynacyg ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 OPERATORÁ OBOBWENNOHO SDVYHA Y HYPERHRUPPÁ, POSTROENNÁE … 667 cos λn x cos λm x = c xn m k k k , , cosλ∑ s pomow\g strukturn¥x konstant cn m k, , . Poskol\ku πto predstavlenye qvlq- etsq rqdom Fur\e, to cn m k, , = 1 2Nk 〈 cos λn x cos λm x , cos λk x 〉. Yspol\zuq formulu cos a cos b cos c = 1 4 cos( ) cos( ) cos( ) cos( )a b c a b c a b c a b c+ + + + − + − + + − + +( ) , naxodym ( cos λn x cos λm x , cos λk x )H = cos cos cosλ λ λn m kx x x dx 0 1 ∫ + cos λn cos λm cos λk = = 1 4 sin( ) sin( )λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ n m k n m k n m k n m k + + + +   + + − + − + + sin( ) sin( )λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ n m k n m k n m k n m k − + − + + − + + − + +   + + cos λn cos λm cos λk . Yspol\zuq xarakterystyçeskoe uravnenye (20), pry n , m , k ≠ 0 poluçaem cn m k, , = 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ( ) / − +( ) +( ) +( )[ ] + + − + +( )[ ] + + −n m k n m k n m k k n m k n m n k m kN λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ . Krome toho, cn m, ,0 = 1 2 2δn m nN, , c cm k m k m k0 0, , , , ,= = δ . 3. V¥vod¥. V¥ße b¥ly pryveden¥ dva prymera postroenyq operatorov obobwennoho sdvyha, osnovann¥x na sobstvenn¥x funkcyqx samosoprqΩenn¥x dyfferencyal\n¥x operatorov. ∏ta konstrukcyq s abstraktnoj toçky zrenyq sostoyt v suΩenyy bazysa, na kotorom opredelen¥ operator¥ sdvyha. Pust\ Ω — topolohyçeskoe prostranstvo, a C ( Ω ) — prostranstvo neprer¥vn¥x funk- cyj na Ω y pust\ na C ( Ω ) zadan¥ operator¥ obobwennoho sdvyha T t [2]. Pust\ funkcyy χ ( x , λ ) , x ∈ Ω , λ ∈ Λ , obrazugt semejstvo xarakterov, t./e. T t χ ( x , λ ) = χ ( t , λ ) χ ( x , λ ) . Rassmotrym podprostranstvo Ω0 ⊂ Ω , y pust\ na prostranstve C ( Ω0 ) zadano skalqrnoe proyzvedenye 〈 ⋅ , ⋅ 〉 . Krome toho, pust\ suwestvuet semejstvo xarakterov { } = ∞χ λ( , )x n n 1, obrazugwee polnug ortoho- nal\nug systemu otnosytel\no πtoho skalqrnoho proyzvedenyq. Tohda kaΩdug funkcyg f ( x ) ∈ C ( Ω0 ) moΩno predstavyt\ rqdom Fur\e f ( x ) = f xn n n∑ χ λ( , ) , x ∈ Ω0 . Poskol\ku xarakter¥ opredelen¥ takΩe pry x ∈ Ω , rqd Fur\e oprede- len pry vsex x ∈ Ω y predstavlqet estestvennoe prodolΩenye f̂ funkcyy f , zadannoj na Ω0 . Poπtomu operator¥ obobwennoho sdvyha T t, opredelenn¥e na C ( Ω ) , poroΩdagt operator¥ obobwennoho sdvyha Tt 0 na C ( Ω0 ) po formule ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 668 A./V./KOSQK, L./P./NYÛNYK T ft 0 = ( )ˆ ( )T ft CÛ Ω0 , t./e. snaçala funkcyg f estestvenno prodolΩaem s Ω0 na Ω , dalee prymenq- em operator T t, a poluçennug funkcyg T ft ˆ rassmatryvaem kak funkcyg na Ω0 . Po-vydymomu, na πtom puty moΩno poluçyt\ y rqd druhyx soderΩatel\n¥x prymerov operatorov obobwennoho sdvyha. 1. Berezanskyj0G.0M., KalgΩn¥j0A.0A. Harmonyçeskyj analyz v hyperkompleksn¥x systemax. – Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 352/s. 2. Levytan0B.0M. Teoryq operatorov obobwennoho sdvyha. – M.: Nauka, 1973. – 312/s. 3. Ercolano J., Schechter M. Spectral theory for operators generated by elliptic boundary problems with eigenvalue parameter in boundary conditions, I, II // Communs Pure and Appl. Math. – 1965. – 18. – P. 83 – 105; 397 – 414. Poluçeno 03.02.2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5

Операторы обобщенного сдвига и гипергруппы, построенные по самосопряженным дифференциальным операторам

Репозитарії

Схожі ресурси