Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств

Вивчається теорія еліптичних граничних задач в уточненій двосторонній шкалі просторів Хер-мандера Hs,φ де s ∈ R, φ — повільно змінний на +∞ функціональний параметр. У випадку просторів Соболєва Hs функція φ(|ξ|)≡1. Встановлено фредгольмовість розглянутих операторів, глобальну та локальну регулярніст...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2005
Автори: Михайлец, В.А., Мурач, А.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:Український математичний журнал
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165741
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 689–696. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165741
record_format dspace
spelling irk-123456789-1657412020-02-17T01:26:17Z Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Статті Вивчається теорія еліптичних граничних задач в уточненій двосторонній шкалі просторів Хер-мандера Hs,φ де s ∈ R, φ — повільно змінний на +∞ функціональний параметр. У випадку просторів Соболєва Hs функція φ(|ξ|)≡1. Встановлено фредгольмовість розглянутих операторів, глобальну та локальну регулярність розв'язків. We study the theory of elliptic boundary-value problems in the refined two-sided scale of the Hormander spaces Hs,φ, where s ∈ R, φ is a functional parameter slowly varying on +∞. In the case of the Sobolev spaces Hs, the function φ(|ξ|)≡1. We establish that the considered operators possess the properties of the Fredholm operators, and the solutions are globally and locally regular. 2005 Article Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 689–696. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165741 517.944 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Михайлец, В.А.
Мурач, А.А.
Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств
Український математичний журнал
description Вивчається теорія еліптичних граничних задач в уточненій двосторонній шкалі просторів Хер-мандера Hs,φ де s ∈ R, φ — повільно змінний на +∞ функціональний параметр. У випадку просторів Соболєва Hs функція φ(|ξ|)≡1. Встановлено фредгольмовість розглянутих операторів, глобальну та локальну регулярність розв'язків.
format Article
author Михайлец, В.А.
Мурач, А.А.
author_facet Михайлец, В.А.
Мурач, А.А.
author_sort Михайлец, В.А.
title Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств
title_short Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств
title_full Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств
title_fullStr Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств
title_full_unstemmed Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств
title_sort эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2005
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165741
citation_txt Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 689–696. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT mihajlecva élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv
AT muračaa élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv
first_indexed 2025-07-14T19:46:39Z
last_indexed 2025-07-14T19:46:39Z
_version_ 1837652932166680576
fulltext UDK 517.944 V. A. Myxajlec (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev), A. A. Muraç (Çernyhov. texnol. yn-t) ∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX PROSTRANSTV * We study the theory of elliptic boundary-value problems in the refined two-sided scale of the Hörmander spaces H s , ϕ, where s ∈ R , ϕ is a functional parameter slowly varying on + ∞. In the case of the Sobolev spaces H s, the function ϕ ξ( ) ≡ 1. We establish that the considered operators possess the properties of the Fredholm operators, and the solutions are globally and locally regular. Vyvça[t\sq teoriq eliptyçnyx hranyçnyx zadaç v utoçnenij dvostoronnij ßkali prostoriv Xer- mandera H s, ϕ , de s ∈ R, ϕ — povil\no zminnyj na + ∞ funkcional\nyj parametr. U vypadku prostoriv Sobol[va H s funkciq ϕ ξ( ) ≡ 1. Vstanovleno fredhol\movist\ rozhlqnutyx ope- ratoriv, hlobal\nu ta lokal\nu rehulqrnist\ rozv’qzkiv. 1. Vvedenye. V nastoqwej rabote yssleduetsq operator rehulqrnoj πllypty- çeskoj zadaçy s odnorodn¥my hranyçn¥my uslovyqmy v utoçnennoj dvustoron- nej ßkale hyl\bertov¥x funkcyonal\n¥x prostranstv na ohranyçennoj oblas- ty. Hladkostn¥e svojstva funkcyj prostranstv πtoj ßkal¥ opredelqgtsq dvumq parametramy — çyslov¥m s y funkcyonal\n¥m ϕ. Parametr ϕ qvlqet- sq medlenno menqgwejsq na + ∞ funkcyej odnoj peremennoj y utoçnqet os- novnug s-hladkost\. V çastnom sluçae ϕ ≡ 1 poluçaetsq yzvestnaq ßkala bes- selev¥x potencyalov. Osnovnoj rezul\tat rabot¥ — teorema o neterovosty ukazannoho operatora v utoçnennoj ßkale pry dejstvytel\n¥x nepolucel¥x s. V kaçestve pryloΩenyq pryvodytsq utverΩdenye o lokal\nom pov¥ßenyy utoçnennoj hladkosty reßenyq πllyptyçeskoj hranyçnoj zadaçy. Otmetym, çto prostranstva funkcyonal\noj hladkosty b¥ly vperv¥e vveden¥ y rassmot- ren¥ v rabotax [1, 2]. V nastoqwee vremq πty prostranstva qvlqgtsq predmetom razlyçn¥x yssledovanyj (sm., naprymer, [3, c. 381 – 415; 4] y pryvedennug v nyx byblyohrafyg). 2. Utoçnennaq ßkala prostranstv. Napomnym, çto poloΩytel\naq funkcyq ϕ, zadannaq na dejstvytel\noj poluosy [ b, + ∞ ), naz¥vaetsq pra- vyl\no menqgwejsq na + ∞ funkcyej porqdka s ∈ R, esly ϕ yzmeryma po Bo- relg na [ b, + ∞ ) y dlq lgboho λ > 0 spravedlyvo ϕ λ ϕ ( ) ( ) t t → λ s pry t → + ∞. Pravyl\no menqgwaqsq na + ∞ funkcyq porqdka s = 0 naz¥vaetsq medlenno menqgwejsq na + ∞. Oboznaçym çerez SV sovokupnost\ vsex medlenno menqg- wyxsq na + ∞ funkcyj. Oçevydno, ϕ — pravyl\no menqgwaqsq na + ∞ funk- cyq porqdka s tohda y tol\ko tohda, kohda ϕ ( t ) = λ s ϕ0 ( t ), t ≥ b, dlq nekoto- roho ϕ0 ∈ SV. Teoryq pravyl\no menqgwyxsq funkcyj b¥la osnovana Y. Karamatoj v 30-x hodax proßloho stoletyq. ∏ty funkcyy blyzky po svojstvam k stepenn¥m y dostatoçno yzuçen¥ [5 – 7]. Ony ymegt mnohoçyslenn¥e pryloΩenyq, v osnov- nom blahodarq yx osoboj roly v teoremax tauberova typa. Pryvedem dva prost¥x prymera [6, c. 48 – 50] medlenno menqgwyxsq funkcyj. Prymer 1. Pust\ dano k dejstvytel\n¥x çysel r 1 , r2 , … , rk . PoloΩym * Çastyçno podderΩana Fondom fundamental\n¥x yssledovanyj Ukrayn¥ (hrant 01.07 / 00252). © V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ, 2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 689 690 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ ϕ ( t ) : = (ln ) (ln ln ) (ln ln )t t tr r rk1 2 … … , t >> 1. Tohda ϕ ∈ SV. Prymer 2. Dlq r < 1 poloΩym ϕ ( t ) : = exp(ln )r t , t > 1. Tohda ϕ ∈ SV. Yzvestno (sm., naprymer, [6, c. 10]), çto kaΩdaq funkcyq ϕ ∈ SV dopuskaet predstavlenye vyda ϕ ( t ) = exp ( ) ( )β α τ τ τt d b t +   ∫ , t ≥ b, (1) dlq nekotor¥x çysla b > 0, neprer¥vnoj funkcyy α : [ b, + ∞ ) → R, stremq- wejsq k nulg v + ∞, y yzmerymoj po Borelg ohranyçennoj funkcyy β : [ b, + ∞ ) → R, ymegwej koneçn¥j predel v + ∞. Obratnoe takΩe verno: lgbaq funkcyq vyda (1) prynadleΩyt klassu SV. Otsgda, v çastnosty, sleduet, çto poloΩytel\naq dyfferencyruemaq na [ b, + ∞ ) funkcyq ϕ, udovletvorqgwaq uslovyg t t t ′ϕ ϕ ( ) ( ) → 0 pry t → + ∞, prynadleΩyt klassu SV. Opyraqs\ na ponqtye medlenno menqgwejsq funkcyy, vvedem utoçnennug dvustoronngg ßkalu prostranstv raspredelenyj, zadann¥x na n -mernom dej- stvytel\nom prostranstve R n . Oboznaçym çerez M sovokupnost\ vsex takyx poloΩytel\n¥x funkcyj ϕ, opredelenn¥x na [ 1, + ∞ ), çto: a) ϕ yzmeryma po Borelg na [ 1, + ∞ ); b) funkcyy ϕ y 1 / ϕ ohranyçen¥ na kaΩdom otrezke [ 1, b ), hde 1 < b < < + ∞; v) ϕ ∈ SV. Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M . Oboznaçym çerez H s, ϕ ( R n ) sovokupnost\ vsex takyx raspredelenyj u medlennoho rosta, zadann¥x na R n , çto preobrazovanye Fur\e û raspredelenyq u qvlqetsq lokal\no summyruemoj po Lebehu na R n funkcyej, udovletvorqgwej uslovyg ∫ ( )ξ ϕ ξ ξ ξ2 2 2s u dˆ( ) < ∞. (2) Zdes\ y dalee yntehral beretsq po vsemu R n , a 〈 ξ 〉 = 1 1 2 2 1 2 + +…+( ) /ξ ξn — shlaΩenn¥j modul\ vektora ξ = ( ξ1 , … , ξn ) ∈R n . V prostranstve H s, ϕ ( R n ) v kaçestve skalqrnoho proyzvedenyq eho πlementov u, v yspol\zuem velyçynu ∫ ( )ξ ϕ ξ ξ ξ ξ2 2s u dˆ( ) ˆ( )v . ∏to skalqrnoe proyzvedenye poroΩdaet normu, ravnug korng kvadratnomu yz levoj çasty neravenstva (2). Prostranstvo H s, ϕ ( R n ) qvlqetsq çastn¥m yzotropn¥m sluçaem prost- ranstv, rassmotrenn¥x L. Xermanderom [1, c. 54], a takΩe L. R. Volevyçem y B.MP. Paneqxom [2, c. 14]. Otmetym, çto yx prostranstva sovpadagt v hyl\berto- vom sluçae. Dlq ϕ ≡ 1 prostranstvo H s, ϕ ( R n ) sovpadaet s yzvestn¥m pros- ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 ∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX … 691 transtvom H s ( R n ) besselev¥x potencyalov na R n . Yz rezul\tatov upomqnu- t¥x v¥ße rabot sleduet, çto prostranstvo H s, ϕ ( R n ) polnoe, pryçem mnoΩest- vo C n 0 ∞( )R plotno v nem. Krome toho, prostranstva H s, ϕ ( R n ) y H – s, 1 / ϕ ( R n ) dvojstvenn¥ otnosytel\no rasßyrenyq po neprer¥vnosty skalqrnoho proyzve- denyq v prostranstve L2 ( R n ) (zdes\ neobxodymo ymet\ v vydu, çto ϕ ∈ M ⇔ ⇔ 1 / ϕ ∈ M ). Dalee, poskol\ku [6, c. 24] t – ε ϕ ( t ) → 0 y t ε ϕ ( t ) → ∞ pry t → + ∞ dlq lgboho ε > 0, spravedlyv¥ neprer¥vn¥e plotn¥e vloΩenyq H s + ε ( R n ) ⊂→ H s, ϕ ( R n ) ⊂→ H s – ε ( R n ), ε > 0. (3) Takym obrazom, dlq prostranstva H s, ϕ ( R n ) çyslovoj parametr s zadaet osnov- nug hladkost\, a funkcyonal\n¥j parametr ϕ opredelqet podçynennug do- polnytel\nug hladkost\, t. e. utoçnqet osnovnug (stepennug) s-hladkost\. Pry πtom semejstvo prostranstv H ss n, ( ): ,ϕ ϕR R∈ ∈{ }M budem naz¥vat\ utoçnennoj ßkaloj (po otnoßenyg k dvustoronnej ßkale H ss n( ):R R∈{ } prostranstv besselev¥x potencyalov). Kak yzvestno [6, c. 23], dlq lgboho ϕ ∈ SV suwestvuet takaq funkcyq ϕ1 ∈ SV ∩ C∞ +∞( )( ; )0 , çto ϕ ( t ) / ϕ1 ( t ) pry t → + ∞. Sledovatel\no, pry opre- delenyy prostranstv H s, ϕ ( R n ) moΩno vmesto klassa M vzqt\ bolee uzkug so- vokupnost\ vsex poloΩytel\n¥x funkcyj ϕ ∈ SV ∩ C∞ +∞( )( ; )0 . Pry πtom s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm poluçym tot Ωe zapas prostranstv, norm¥ v kotor¥x uΩe budut v¥çyslqt\sq s pomow\g beskoneçno hladkoho vesovoho mnoΩytelq µ ( ξ ) = 〈 ξ 〉 2 s ϕ 2 ( 〈 ξ 〉 ). Vvedem teper\ analohy prostranstva H s, ϕ ( R n ) dlq zamknut¥x y otkr¥t¥x mnoΩestv v prostranstve R n . Dlq zamknutoho mnoΩestva Q ⊂ R n oboznaçym çerez HQ s n, ( )ϕ R sovokupnost\ tex raspredelenyj u ∈ H s, ϕ ( R n ), nosytel\ ko- tor¥x leΩyt v Q. Yz pervoho vloΩenyq (3) sleduet, çto HQ s n, ( )ϕ R — zamknutoe podprostranstvo v H s, ϕ ( R n ). Pust\ Ω — otkr¥toe mnoΩestvo R n y Ω : = R n \ Ω. Rassmotrym faktor- prostranstvo H s, ϕ ( Ω ) = H H s n Q s n , ˆ , ( ) ( ) ϕ ϕ R R . (4) Poskol\ku H Q s n ˆ , ( )ϕ R — zamknutoe podprostranstvo v hyl\bertovom pros- transtve H s, ϕ ( R n ), prostranstvo (4) takΩe hyl\bertovo. Skalqrnoe proyzve- denye klassov smeΩnosty v j Q s nw w H+ ∈{ }: ( )ˆ ,ϕ R , j = 1; 2, ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 692 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ yz prostranstva (4) ravno skalqrnomu proyzvedenyg v H s, ϕ ( R n ) raspredelenyj vj – Π vj , j = 1; 2, hde Π — ortoproektor v H s, ϕ ( R n ) na podprostranstvo H Q s n ˆ , ( )ϕ R . Otmetym, çto prostranstvo (4) estestvenno traktovat\ kak prostran- stvo suΩenyj na Ω vsex raspredelenyj yz H s, ϕ ( R n ). Pry πtom norma v H s, ϕ ( Ω ) suΩenyq v ravna inf :, ( )u uH s nϕ R ={ }v na Ω . Vsgdu dalee predpolahaetsq, çto Ω — otkr¥taq ohranyçennaq beskoneçno hladkaq oblast\ v R n s hranycej Γ, pryçem n ≥ 2. Pust\ Ω : = Ω ∪ Γ. Obo- znaçym çerez C∞( )Ω sovokupnost\ suΩenyj na Ω vsex funkcyj yz C ∞ ( R n ). PoloΩym C0 ∞( )Ω = u C un∈ ∈{ }∞( ):R supp Ω . Budem otoΩdestvlqt\ funkcyg yz C0 ∞( )Ω s ee suΩenyem na Ω. Otmetym sledugwye svojstva prostranstv H s, ϕ ( Ω ) y H Q s n, ( )ϕ R . PredloΩenye 1. Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M . Tohda: a) mnoΩestvo C∞( )Ω plotno v H s, ϕ ( Ω ); b) mnoΩestvo C0 ∞( )Ω plotno v H s, ϕ ( Ω ) pry s < 1 / 2 y v H Q s n ˆ , ( )ϕ R pry lgbom s; v) prostranstva H s, ϕ ( Ω ) y H Q s n− /, ( )1 ϕ R vzaymno dvojstvenn¥ otnosy- tel\no skalqrnoho proyzvedenyq v prostranstve L2 ( Ω ); h) s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm H Q s n, ( )ϕ R = H s, ϕ ( Ω ) pry | s | < < 1 / 2. Poslednee ravenstvo ponymaetsq v tom sm¥sle, çto operator suΩenyq raspre- delenyq na Ω osuwestvlqet yzomorfyzm meΩdu zapysann¥my prostran- stvamy. NyΩe m¥ budem rassmatryvat\ πllyptyçeskyj operator v dvustoronnej ßkale H ss, : ,ϕ ϕ∈ ∈{ }R M , (5) kotorug postroym sledugwym obrazom. Dlq s ≥ 0 poloΩym H s, ϕ = H s, ϕ ( Ω ). Dlq s < 0 oboznaçym çerez H s, ϕ hyl\bertovo prostranstvo, dvojstvennoe k H – s, 1 / ϕ ( Ω ) otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq v prostranstve L2 ( Ω ). Ot- metym, çto v sylu predloΩenyq 1 s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm spra- vedlyv¥ ravenstva H s, ϕ = H s, ϕ ( Ω ), s > – 1 2 , H s, ϕ = H Q s n, ( )ϕ R , s < 1 2 . (6) Dvustoronngg ßkalu (5) budem takΩe naz¥vat\ utoçnennoj. Dalee v sluçae ϕ ≡ 1 yndeks ϕ v oboznaçenyqx prostranstv (6) budem opuskat\. 3. ∏llyptyçeskyj operator v utoçnennoj ßkale. Pust\ na mnoΩestve ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 ∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX … 693 Ω zadan formal\n¥j lynejn¥j dyfferencyal\n¥j πllyptyçeskyj operator A çetnoho porqdka 2 k s koπffycyentamy klassa C∞( )Ω . Rassmotrym dlq ne- ho odnorodnug hranyçnug zadaçu A u = f na Ω, Bj u = 0 na Γ, j = 1, … , k. (7) Zdes\ y vsgdu dalee Bj , j = 1, … , k, — lynejn¥e dyfferencyal\n¥e hranyçn¥e operator¥ razlyçn¥x porqdkov ord Bj ≤ 2 k – 1 s beskoneçno hladkymy na Γ ko- πffycyentamy. Dalee predpolahaetsq, çto hranyçnaq zadaça (7) qvlqetsq re- hulqrnoj πllyptyçeskoj na Γ. ∏to oznaçaet [8, c. 167], çto operator A pra- vyl\no πllyptyçen na Ω , a systema { Bj , j = 1, … , k } normal\na y udovletvo- rqet uslovyg dopolnytel\nosty po otnoßenyg k A na Γ. Rassmotrym takΩe odnorodnug hranyçnug zadaçu A + v = g na Ω, Bj +v = 0 na Γ, j = 1, … , k, (8) formal\no soprqΩennug k zadaçe (7) otnosytel\no formul¥ Hryna [8, c. 168] ( A u, v ) + j k j jB u C = +∑ 1 , v = ( u, A + v ) + j k j jC u B = +∑ 1 , v , spravedlyvoj dlq lgb¥x u, v ∈ C∞( )Ω . Zdes\ A + — formal\no soprqΩenn¥j k A lynejn¥j dyfferencyal\n¥j πllyptyçeskyj operator porqdka 2 k s ko- πffycyentamy klassa C∞( )Ω , { Bj }, { Cj }, Cj +{ } — normal\n¥e system¥ ly- nejn¥x dyfferencyal\n¥x hranyçn¥x operatorov s beskoneçno hladkymy na Γ koπffycyentamy, pryçem porqdky πtyx operatorov udovletvorqgt uslovyg ord Bj + ord Cj + = ord Cj + ord Bj + = 2 k – 1, y, nakonec, ( ⋅, ⋅ ) y 〈 ⋅, ⋅ 〉 — skalqrn¥e proyzvedenyq v prostranstve L2 ( Ω ) y v L2 ( Γ ) sootvetstvenno. Oboznaçym mj : = ord Bj , mj + : = Bj + . Yzvestno [8, c. 168], çto zadaçy (7) y (8) qvlqgtsq odnovremenno rehulqrno πllyptyçeskymy. S zadaçamy (7), (8) svqΩem nekotor¥e funkcyonal\n¥e prostranstva. PoloΩym C ∞ ( hr ) : = u C B u j kj∈ ( ) = = …{ }∞ Ω Γ: ( , , )0 1na , C ∞ ( hr ) + : = v v∈ ( ) = = …{ }∞ +C B j kjΩ Γ: ( , , )0 1na . Dlq s ∈ R, ϕ ∈ M oboznaçym çerez H s, ϕ ( hr ) y H s, ϕ ( hr ) + zam¥kanyq sootvet- stvenno mnoΩestv C ∞ ( hr ) y C ∞ ( hr ) + v H s, ϕ . Prostranstva H s, ϕ ( hr ) y H s, ϕ ( hr ) + ymegt sledugwee konstruktyvnoe opysanye. PredloΩenye 2. Esly s > – 1 / 2 y s ≠ mj + 1 / 2 , j = 1, … , k , to H s, ϕ ( hr ) = { u ∈ H s, ϕ ( Ω ) : Bj u = 0 na Γ dlq vsex j = 1, … , k takyx, çto s > > mj + 1 / 2 }, pryçem zdes\ dlq u ∈ H s, ϕ ( Ω ) ⊂ H s – ε ( Ω ), ε > 0, raspredelenye Bj u na Γ ponymaetsq v sm¥sle teorem¥ o sledax [8, c. 82], prymenennoj k prostranstvu H s – ε ( Ω ) besselev¥x potencyalov na Ω. Dalee, esly s < 1 / 2, to s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm H s, ϕ ( hr ) = H Q s n, ( )ϕ R . Nakonec, πto ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 694 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ predloΩenye soxranqet sylu, esly v eho formulyrovke zamenyt\ (hr) na ( hr ) + , Bj na Bj + y mj na mj + . Oboznaçym takΩe N : = u C Au∈ ={ }∞( ):hr na0 Ω y N + : = { ∈ ∞ +v C ( ) :hr A + = }v 0 na Ω . Yz obwej teoryy πllyptyçeskyx hranyçn¥x zadaç [8, c. 169] sleduet, çto prostranstva N y N + koneçnomern¥. ∏to pozvolqet postroyt\ v ßkale (5) sovokupn¥e proektor¥ na podprostranstva, ortohonal\n¥e sootvet- stvenno N y N + otnosytel\no form¥ ( ⋅, ⋅ ), qvlqgwejsq rasßyrenyem po neprer¥vnosty skalqrnoho proyzvedenyq v L2 ( Ω ). A ymenno, ymeet mesto sledugwee utverΩdenye. PredloΩenye 3. Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M . Dlq proyzvol\noho u ∈ H s, ϕ ( hr ) suwestvuet takoj edynstvenn¥j πlement u0 ∈ N , çto ( u – u0 , w ) = 0 dlq lgboho w ∈ N. Pry πtom otobraΩenye P : u → u1 = u – u0 qvlqetsq proek- torom prostranstva H s, ϕ na zamknutoe podprostranstvo u H u w w Ns 1 1 0∈ = ∈{ }, : ( , )ϕ dlq lgboho takym, çto obraz P u ne zavysyt ot s , ϕ. ∏to predloΩenye soxranqet sylu, esly v eho formulyrovke zamenyt\ N na N + y P na P + . Nakonec, dlq proyzvol\n¥x σ ∈ R, ϕ ∈ M poloΩym Mσ, ϕ : = h H h w w C∈ = ∈{ }∞ +σ ϕ, : ( , ) ( )0 dlq lgboho hr . Oçevydno, πto zamknutoe podprostranstvo v prostranstve H σ, ϕ . Krome toho, v sylu pervoho ravenstva (6) Mσ, ϕ = {0} pry σ > – 1 / 2. Sformulyruem teper\ osnovnoj rezul\tat rabot¥. Predvarytel\no napom- nym sledugwee opredelenye [8, c. 109]. Lynejn¥j ohranyçenn¥j operator T : X → Y, hde X, Y — banaxov¥ prostranstva, naz¥vaetsq neterov¥m, esly eho qdro y koqdro koneçnomern¥, a oblast\ znaçenyj zamknuta v Y. Teorema 1. Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M , pryçem s ≠ mj + 1 2 y s ≠ mj + + 1 2 dlq kaΩdoho j = 1, … , k. (9) Tohda otobraΩenye u � { A u + h : h ∈ Ms – 2 k, ϕ }, zadannoe na funkcyqx u ∈ C ∞ ( hr ), prodolΩaetsq po neprer¥vnosty do lynej- noho ohranyçennoho neterovoho operatora A( hr ) : H s, ϕ ( hr ) → H s – 2 k, ϕ / Ms – 2 k, ϕ (10) s qdrom N y koqdrom N + . SuΩenye operatora na P ( H s, ϕ ( hr ) ) osuwestvlq- et yzomorfyzm A( hr ) : P ( H s, ϕ ( hr ) ) ↔ P + ( H s – 2 k, ϕ ) / Ms – 2 k, ϕ . Takym obrazom, operator A( hr ) rehulqrnoj πllyptyçeskoj odnorodnoj hra- nyçnoj zadaçy ostavlqet ynvaryantn¥m funkcyonal\n¥j parametr ϕ ∈ M , ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 ∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX … 695 utoçnqgwyj osnovnug s -hladkost\ prostranstva. Zdes\ neobxodymo ymet\ v vydu, çto H s – 2 k, ϕ / Ms – 2 k, ϕ = H s – 2 k, ϕ pry s > 2 k – 1 2 . Otmetym takΩe, çto prostranstva H s – 2 k, ϕ / Ms – 2 k, ϕ y H 2 k – s, 1 / ϕ ( hr ) + dvoj- stvenn¥ otnosytel\no form¥ ( ⋅, ⋅ ) pry lgbom dejstvytel\nom s. Teorema 1 perenosyt yzvestn¥e rezul\tat¥ G. M. Berezanskoho, S. H. Krej- na, Q. A. Rojtberha [9], [10] (§ 5.5) so ßkal¥ prostranstv besselev¥x potencya- lov (sluçaj ϕ ≡ 1) na utoçnennug ßkalu prostranstv. Otmetym, çto v ne- skol\ko ynoj odnostoronnej utoçnennoj ßkale rehulqrnaq πllyptyçeskaq za- daça (s neodnorodn¥my hranyçn¥my uslovyqmy) yssledovalas\ H. Ílenzak [11]. Pry πtom rassmatryvalys\ lyß\ dostatoçno hladkye prostranstva (prymenytel\no k dann¥m postroenyqm πto sluçaj s ≥ 2 k ). 4. Lokal\noe pov¥ßenye hladkosty. Oboznaçym çerez H – ∞ obæedynenye vsex prostranstv H s, ϕ , hde s ∈ R, ϕ ∈ M . PoloΩym M– ∞ : = h H h w w C∈ = ∈{ }−∞ +: ( , ) ( )0 dlq lgboho hr . Operator¥ (10), vzqt¥e vmeste dlq vsex s ∈ R, ϕ ∈ M , opredelqgt lynejnoe otobraΩenye A( hr ) : H – ∞ → H – ∞ / M– ∞ . Zadadymsq sledugwym voprosom. Pust\ raspredelenye u ∈ H – ∞ udovletvorq- et uravnenyg A( hr ) u = { f + h : h ∈ M– ∞ }, (11) pryçem f ymeet dannug hladkost\ na nekotorom otkr¥tom v Ω mnoΩestve. Çto tohda moΩno skazat\ o hladkosty reßenyq na πtom mnoΩestve? Sformu- lyruem otvet na πtot vopros. Pust\ U — otkr¥toe mnoΩestvo v prostranstve R n , pryçem Ω 0 = Ω ∩ U ≠ ≠ ∅. PoloΩym Γ0 : = Γ ∩ U (vozmoΩen sluçaj Γ0 = ∅ ). Vvedem sledugwye prostranstva utoçnennoj hladkosty na Ω 0 . Dlq proyzvol\n¥x s ∈ R, ϕ ∈ M oboznaçym çerez Hs loc , ( )ϕ Ω0 sovokupnost\ vsex takyx u ∈ H – ∞ , çto χ u ∈ H s, ϕ dlq lgboj funkcyy χ ∈ C∞( )Ω , nosytel\ kotoroj supp χ ⊂ Ω 0 . (Otmetym, çto zdes\ proyzvedenye χ u opredeleno, poskol\ku otobraΩenye u � χ u ( u ∈ C∞( )Ω ) prodolΩaetsq po neprer¥vnosty do lynejnoho ohranyçennoho operatora v kaΩ- dom prostranstve ßkal¥ (5).) Dalee, poloΩym Hs loc , ( , , )ϕ Ω Γ0 0hr = = u H B u j k s ms j j∈ = = … > +{ }loc , ( ): , , ;ϕ Ω Γ0 00 1 1 2 na dlq vsex . Zdes\ predpolahaetsq, çto s ≠ mj + 1 / 2, j = 1, … , k. Teorema 2. Pust\ u ∈ H – ∞ qvlqetsq reßenyem uravnenyq (11), v kotorom u ∈ Hs k loc −2 0 , ( )ϕ Ω dlq nekotoroho s ∈ R, udovletvorqgweho (9), y nekotoroho ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 696 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ ϕ ∈ M . Tohda u ∈ Hs loc , ( , )ϕ Ω0 hr . ∏to utverΩdenye — teorema o lokal\nom pov¥ßenyy utoçnennoj hladkosty reßenyq rehulqrnoj πllyptyçeskoj zadaçy s odnorodn¥my hranyçn¥my uslo- vyqmy. Zametym, çto v sluçae Ω ⊂ U (t. e. Ω 0 = Ω , Γ 0 = Γ ) „lokal\n¥e” prostranstva sovpadagt s „hlobal\n¥my”: Hs loc , ( )ϕ Ω0 = H s, ϕ y Hs loc , ( , , )ϕ Ω Γ0 hr = H s, ϕ ( hr ). Poπtomu teorema 2 soderΩyt takΩe utverΩdenye o hlobal\nom pov¥ßenyy hladkosty, t. e. vo vsej zamknutoj oblasty Ω . Nakonec, otmetym ewe sluçaj U ⊂ Ω (t. e. Γ 0 ≠ ∅ ), kotor¥j pryvodyt k utverΩdenyg o pov¥ßenyy hladkos- ty vnutry oblasty Ω. Teorema 2 perenosyt yzvestn¥j rezul\tat G. M. Berezanskoho, S. H. Krejna, Q. A. Rojtberha [9], [10] (§ 7.3) o lokal\nom pov¥ßenyy hladkosty reßenyj so ßkal¥ prostranstv besselev¥x potencyalov (sluçaj ϕ ≡ 1) na utoçnennug dvu- storonngg ßkalu prostranstv. 1. Xermander L. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e operator¥ s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Myr, 1965. – 380 s. 2. Volevyç L. R., Paneqx B. P. Nekotor¥e prostranstva obobwenn¥x funkcyj y teorem¥ vlo- Ωenyq // Uspexy mat. nauk. – 1965. – 20, # 1. – S. 35 – 74. 3. Trybel\ X. Teoryy funkcyonal\n¥x prostranstv. – M.: Myr, 1986. – 447 s. 4. Edmunds D. E., Triebel H. Function spaces, entropy numbers, differential operators // Cambridge Tracts in Math. – 1999. – # 120. – 252 p. 5. Haan L. de. On regular variation and its applications to the weak convergence of sample extremes // Math. Cent. Tracts. – 1970. – # 32. – 124 p. 6. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 142 s. 7. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p. 8. Funkcyonal\n¥j analyz / Pod obw. red. S. H. Krejna. – M.: Nauka, 1972. – 544 s. 9. Berezanskyj G. M., Krejn S. H., Rojtberh Q. A. Teorema o homeomorfyzmax y lokal\noe pov¥ßenye hladkosty vplot\ do hranyc¥ reßenyj πllyptyçeskyx uravnenyj // Dokl. AN SSSR. – 1963. – 148, # 4. – S. 745 – 748. 10. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. – 427 p. 11. Ílenzak H. ∏llyptyçeskye zadaçy v utoçnennoj ßkale prostranstv // Vestn. Mosk. un-ta. – 1974. – # 4. – S. 48 – 58. Poluçeno 03.02.2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5