Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи
Наведено огляд взаємозв'язків між кінетичними рівняннями та інтегровними системами. Обговорено загальне походження спеціальних класів розв'язків кінетичного рівняння Больцмана для максвеллівських частинок i спеціальних розв'язків інтегровних еволюційних рівнянь. Розглянуто термодинамі...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165743 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи / Є.Д. Бєлоколос, // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 6. — С. 731–741. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165743 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657432020-02-17T01:26:05Z Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи Бєлоколос, Є.Д. Статті Наведено огляд взаємозв'язків між кінетичними рівняннями та інтегровними системами. Обговорено загальне походження спеціальних класів розв'язків кінетичного рівняння Больцмана для максвеллівських частинок i спеціальних розв'язків інтегровних еволюційних рівнянь. Розглянуто термодинамічну границю та солітонне кінетичне рівняння для інтегровного рівняння Кортевега-де Фріза. Обговорено існування розпадних i вироджених законів дисперсії та виникнення додаткових інтегралів руху для взаємодіючих хвиль. A survey of interrelations between kinetic equations and integrable systems is presented. We discuss common origin of special classes of solutions of the Boltzmann kinetic equation for Maxwellian particles and special solutions for integrable evolution equations. The thermodynamic limit and soliton kinetic equation for the integrable Korteweg-de Vries equation are considered. The existence of decaying and degenerate dispersion laws and the appearance of additional integrals of motion for the interacting waves is discussed. 2005 Article Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи / Є.Д. Бєлоколос, // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 6. — С. 731–741. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165743 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бєлоколос, Є.Д. Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи Український математичний журнал |
| description |
Наведено огляд взаємозв'язків між кінетичними рівняннями та інтегровними системами. Обговорено загальне походження спеціальних класів розв'язків кінетичного рівняння Больцмана для максвеллівських частинок i спеціальних розв'язків інтегровних еволюційних рівнянь. Розглянуто термодинамічну границю та солітонне кінетичне рівняння для інтегровного рівняння Кортевега-де Фріза. Обговорено існування розпадних i вироджених законів дисперсії та виникнення додаткових інтегралів руху для взаємодіючих хвиль. |
| format |
Article |
| author |
Бєлоколос, Є.Д. |
| author_facet |
Бєлоколос, Є.Д. |
| author_sort |
Бєлоколос, Є.Д. |
| title |
Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи |
| title_short |
Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи |
| title_full |
Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи |
| title_fullStr |
Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи |
| title_full_unstemmed |
Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи |
| title_sort |
кінетичні рівняння та інтегровні гамільтонові системи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165743 |
| citation_txt |
Кінетичні рівняння та інтегровні Гамільтонові системи / Є.Д. Бєлоколос, // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 6. — С. 731–741. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bêlokolosêd kínetičnírívnânnâtaíntegrovnígamílʹtonovísistemi |
| first_indexed |
2025-07-14T19:46:54Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:46:54Z |
| _version_ |
1837652947382566912 |
| fulltext |
UDC 517.9
E. D. Belokolos
(Inst. Magnetism Nat. Acad. Sci. Ukraine and Minist. Educ. and Sci. Ukraine, Kyiv)
KINETIC EQUATIONS
AND THE INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS
КIНЕТИЧНI РIВНЯННЯ
ТА IНТЕГРОВНI ГАМIЛЬТОНОВI СИСТЕМИ
A survey of interrelations between kinetic equations and integrable systems is presented. We discuss
common origin of special classes of solutions of the Boltzmann kinetic equation for Maxvellian particles
and the special solutions for integrable evolution equations. The thermodynamic limit and the soliton
kinetic equation for the integrable Korteweg – de Vries equation are considered. The existence of decaying
and degenerate dispersion laws and the appearance of additional integrals of motion for the interacting
waves is discussed.
Наведено огляд взаємозв’язкiв мiж кiнетичними рiвняннями та iнтегровними системами. Обго-
ворено загальне походження спецiальних класiв розв’язкiв кiнетичного рiвняння Больцмана для
максвеллiвських частинок i спецiальних розв’язкiв iнтегровних еволюцiйних рiвнянь. Розглянуто
термодинамiчну границю та солiтонне кiнетичне рiвняння для iнтегровного рiвняння Кортевега – де
Фрiза. Обговорено iснування розпадних i вироджених законiв дисперсiї та виникнення додаткових
iнтегралiв руху для взаємодiючих хвиль.
1. Introduction. There are different rich, interesting and deep interrelations between
kinetic equations and integrable systems. Our aim here is to present a survey of
appropriate studies in this field. We formulate results which are related to this question
but do not prove them and give only references.
Our paper is organized as follows. The second section presents a short discussion of
a Poincaré linearization method for nonlinear equations. In the third section we describe
a construction by A. V. Bobylev the exact solutions of the Boltzmann kinetic equation
for Maxwellian particles. In the fourth section we present the inverse spectral transform
method for solution of integrable nonlinear partial differential equations as a linearization
method. In the fifth section we consider results by V. E. Zakharov and E. I. Shul’man
on the kinetic equation, integrals of motion and degenerative dispersion laws. Then we
deduce the kinetic equation for solitons of the Korteweg – de Vries equation.
2. A linearization method for nonlinear equations. According to Poincaré one
can transform any nonlinear nonresonance vector field to its linear part by means of a
formal diffeomorphism. By means of a Poincaré – Dulac transformation we can also take
in account resonance terms. If a convex hull of eigenvalues of a linear part of the vector
field does not contain a zero then this vector field is reduced to a polynomial normal
form by means of above diffeomorphism (see e.g. [1]).
2.1. Nonlinear integro-differential equation. Let us apply this theorem on the
normal form to a case of function
u(x, t), −∞ < x < +∞, 0 < t < +∞,
satisfying the nonlinear (quadratic, for simplicity) integro-differential equation
c© E. D. BELOKOLOS, 2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 731
732 E. D. BELOKOLOS
ut(x, t) +
∞∫
0
dθΛ(θ)u(x+ θ, t) =
=
∞∫
0
dθ1
∞∫
0
dθ2H(θ1, θ2)u(x+ θ1, t)u(x+ θ2, t).
Using the Poincaré theorem it is possible to transform this nonlinear equation to its linear
part. We give an exact formulation of the above statement.
Theorem 2.1. If v(x, t) is a solution of the linear equation
vt(x, t) +
∞∫
0
dθΛ(θ)v(x+ θ, t) = 0, (1)
and a following nonresonance condition for the spectrum of the linear equation is
fulfilled, ∣∣∣∆n(p1, . . . , pn)
∣∣∣ > 0, n = 2, 3, . . . , (2)
then the function
u(x, t) = R̂v(x, t) =
∞∑
n=1
∞∫
0
dθ1 . . .
∞∫
0
dθnRn(θ1 . . . θn)
n∏
j=1
v(x+ θj , t) (3)
is a formal solution of the nonlinear equation
ut(x, t) +
∞∫
0
dθΛ(θ)u(x+ θ, t) =
=
∞∫
0
dθ1
∞∫
0
dθ2H(θ1, θ2)u(x+ θ1, t)u(x+ θ2, t). (4)
Here the coefficient functions Rn(θ1 . . . θn), are expressed in terms of its Laplace images
rn(p1, . . . , pn),
rn(p1, . . . , pn) =
∞∫
0
dθ1 . . .
∞∫
0
dθnRn(θ1 . . . θn) exp
− n∑
j=1
pjθj
,
that satisfy the recurrent relations
r1(p1) = 1,
rn(p1, . . . , pn) = ∆−1
n (p1, . . . , pn)
n−1∑
k=1
h(p1 + . . .+ pk, pk+1 + . . .+ pn)×
×rk(p1, . . . , pk)rn−k(pk+1, . . . , pn), n = 2, 3, . . . ,
where
λ(p) =
∞∫
0
dθΛ(θ) exp(−pθ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
KINETIC EQUATIONS AND THE INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS 733
h(p1, p2) =
∞∫
0
dθ1
∞∫
0
dθ2H(θ1, θ2) exp (−(p1θ1 + p2θ2)) ,
∆n(p1, . . . , pn) = λ
n∑
j=1
pj
−
n∑
j=1
λ(pj).
In order to prove the theorem we have just to substitute the above expression for the
function u(x, t) in terms of the v(x, t) into the nonlinear equation (4). Obviously we
can generalize the theorem from quadratic to higher type of nonlinearity.
2.2. Special case. Let us study a special case of the functions rn(p1, . . . , pn) when
r1(p1) = 1,
〈rn(p1, . . . , pn)〉 =
〈
n−1∏
j=1
r2(pj , pj+1)
〉
, n = 2, 3, . . . ,
where 〈 〉 means averaging over all permutations of arguments. Under this assumption
we can prove the following theorem.
Theorem 2.2. The function
K(x, y) = (1−A)−1v
(
1
2
(x+ y)
)
,
with the operator A acting on the function of two variables f(x, y) in such a way,
(Af)(x, y) =
∞∫
0
dθ1f(x, x+ 2θ1)
∞∫
0
dθ2R2(θ1, θ2)v
(
1
2
(x+ y) + θ2
)
,
defines a solution of the nonlinear equation (4) as follows:
u(x) = K(x, x).
2.3. The N-mode solutions. It is possible to prove that the following solutions of
the linear equation:
vN (x, t) =
N∑
i=1
γi
Γ(αi + 1)
exp[−(αix+ λ(αi)t)], N = 1, 2, . . . ,
with real parameters
γi; αi : p0 < α1 < . . . < αi < αi+1 < . . . < αN−1,
correspond to the following solutions of the nonlinear equation:
uN (x, t) =
∞∑
n=1
N∑
m1=1
. . .
N∑
mn=1
rn(αm1 , . . . , αmn
)×
×
n∏
j=1
γmj
Γ(αmj + 1)
exp[−(αmj
x+ λ(αmj
)t)], N = 1, 2, . . . ,
or
uN (x, t) = FN (z1, . . . , zN ), zj = exp[−(αix+ λ(αi)t)], i = 1, . . . , N,
where FN (z1, . . . , zN ) is a formal power series with linear terms coinciding with
vN (x, t). These solutions are called the N-mode solutions with parameters α1, . . . , αN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
734 E. D. BELOKOLOS
3. Exact solutions of the Boltzmann equation for Maxwellian particles. By
means of the normal form theorem we can construct a class of exact solutions of the
Boltzmann kinetic equation for Maxwellian particles. These solutions were discovered
by A. V. Bobylev [2, 3] and M. Krook and T. T. Wu [4, 5].
The famous Boltzmann equation for the particle distribution function f(r, v, t) looks
as follows:
(∂t + v∇r + a∇v) f(r, v, t) =
=
∫
dw
∫
dn g σ(g, χ) [f(r, v′, t)f(r,w′, t)− f(r, v, t)f(r,w, t)].
Here g = v−w is a relative velocity, g = |g|, n is a unit vector in the scattering direction,
χ = arccos(g · n/g) is a scattering angle, σ(g, χ) is a differential cross section and
v′ =
1
2
(v + w) + n|v− w|, w′ =
1
2
(v + w)− n|v− w|.
If the interaction potential is of the form
U(r) = κr−s, κ > 0,
then transport cross section
g σ(g, χ) = g1−(4/s)α(cosχ).
For the so called Maxvellian particles
s = 4,
and therefore in this case the transport cross section gσ(g, χ) does not depend on velocity,
g σ(g, χ) = α(cosχ).
Further we study a homogeneous and isotropic distribution functions,
f(r, v, t) = f(v, t),
when the Boltzmann equation has the well known equilibrium Maxwellian solution
f0(v) = (2π)−d/2 exp
(
−v2/2
)
.
In this case the Fourier transformation of the distribution function looks as follows:
f(v, t) =
∫
φ(k, t)eikv dk
(2π)3
,
φ(k, t) =
∫
f(v, t)e−ikvdv.
The Fourier transformation of the Boltzmann equation for the Maxwellian particles
attains such a form,
φt(k, t) =
∫
dn α
(
kn
k
) {
φ
(
k + kn
2
, t
)
φ
(
k− kn
2
, t
)
− φ(k, t)φ(0, t)
}
.
Using new variables
s =
1
2
(
1− kn
k
)
, x = − ln
k2
2
,
and new functions
φ(k, t) = e−k2/2[1 + b(x, t)], b(x, t) = o(e−x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
KINETIC EQUATIONS AND THE INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS 735
ρ(s) = α(1− 2s), 0 ≤ s ≤ 1,
we can present the Boltzmann equation for the Maxwellian particles as the normal form
problem, considered above, with the following identification:
H(θ1, θ2) = ρ(e−θ1)e−(θ1+θ2)δ(e−θ1 + e−θ2 − 1),
Λ(θ) =
∞∫
0
dθ1
∞∫
0
dθ2H(θ1, θ2)[δ(θ)− δ(θ − θ1)− δ(θ − θ2)].
Using the Poincaré linearization method for this equation we can prove the following
theorem.
Theorem 3.3. The Boltzmann equation for the Maxwellian particles has exact
solutions
f(v, t) =
∫
φ(k, t)eikv dk
(2π)3
,
φ(k, t) = e−k2/2
{
1 +
∞∑
n=1
N∑
m1=1
. . .
N∑
mn=1
rn(pm1 , . . . , pmn
)×
×
n∏
j=1
γmj
(k2/2)pmj
Γ(pmj
+ 1)
e−λ(pmj
)t
}
,
where the quantities rn(pm1 , . . . , pmn
) are defined as it is described in the previous
section and
λ(p) =
1∫
0
dsρ(s)[1− sp − (1− s)p],
h(p1, p2) =
1∫
0
dsρ(s)sp1(1− s)p2 .
By means of the same theorem we can construct for the Boltzmann equation a
countable set of conserved quantities, study the Cauchy problem for general class
of initial data, consider asymptotic behavior of the distribution function at |v| → ∞
(formation of the so called Maxvellian tails) and at t→∞ (rate of relaxation) etc.
4. The linearization method and the inverse spectral transform. The normal
form theorem appears to be equivalent to the famous inverse spectral transform method
used with big success in the theory of integrable nonlinear evolution equations. This
wonderful connection was discussed by A. V. Bobylev [6], V. A. Marchenko [7],
V. E. Zakharov and E. I. Shulman [8] and others. In fact we consider often the integrable
evolution equations as special weak perturbations of the linear ones.
Here we demonstrate the equivalence of these two methods on an example of the
Korteweg – de Vries equation
wt + wxxx − 6wwx = 0.
By means of the relation w = −ux we present this equation as follows,
ut + uxxx + 3u2
x = 0, (5)
with a linearized form
vt + vxxx = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
736 E. D. BELOKOLOS
Theorem 4.4. The nonlinear evolution equation (5) for the function u(x, t) is
equivalent to the nonlinear integral equation considered in the previous section if
Λ(θ) = δ
′′′
(θ), H(θ1, θ2) = −3δ′(θ1)δ′(θ2).
Under this assumption the function
K(x, y) = (1−A)−1v
(
x+ y
2
)
,
with the operator A of the form
(Af)(x, y) =
1
2
∞∫
x
dsf(x, s)v
(
s+ y
2
)
,
satisfies the Gelfand – Levitan – Marchenko equation
K(x, y) + F (x+ y) +
∞∫
x
K(x, s)F (s, y)ds = 0, y > x,
and
u(x) = K(x, x).
The solution
uN (x, t) = −
∞∫
x
wN (s, t)ds,
where wN (x, t) is a N-soliton solution of the KdV equation, coincides with an analytic
continuation of the N-modal solution, introduced above, to a domain
γi < 0, i = 1, . . . , N.
In terms of this approach we can prove the integrability of the equation (5), construct
a countable set of integrals of motion, study the appropriate symplectic structure and
Poisson brackets (of hydrodynamic type), solve the Cauchy problem for initial data of
general type, etc. This is also valid for other integrable evolution equations.
The tight connection of the Poincaré linearizing method and the inverse spectral
transform method allows to create new approaches in the theory of integrable evolution
equations (see e.g. [9]).
5. Integrability and dispersion laws. It is interesting to understand what properties
of a nonlinear evolution equation makes it integrable. The Poincaré linearizing procedure
can help to discover these properties [8, 10 – 12].
Let us consider an arbitrary nonlinear evolution for the function u(x, t), x ∈ Rd, and
assume that this equation in terms of Fourier amplitude ak(t) of this function attains the
Hamiltonian form
i
d
dt
ak(t) =
δH
δak(t)
,
where
H = H0 +Hint,
H0 =
∫
ωk|ak|2dk,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
KINETIC EQUATIONS AND THE INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS 737
Hint =
1
3!
∑
s,s1,s2
∫
V s,s1,s2
k,k1,k2
as
ka
s1
k a
s2
k δ(sk + s1k1 + s2k2)dkdk1dk2,
s, s1, s2 = ±1, a1
k = ak, a−1
k = ak.
We can interpret these equations as the equations for scattering of classical waves.
Asymptotic expressions for the amplitudes of these waves ak(t),
a±k (t) = c±k exp(iωkt) = lim
t→±∞
ak(t),
are related by the classical scattering matrix S,
a+s
k (t) = (I + S)a−s
k (t).
Matrix elements of the scattering matrix have singularities of a type
(∆q1 . . .∆ql
)−1
on the resonance manifolds defined by a set of following equations:
∆qj :=
q∑
α
sαωkα = 0, Pq :=
q∑
α
sαkα, q :=
l∑
j=1
qj .
Properties of the classical scattering matrix are important in order to understand
what kind of restrictions we should impose on the Hamiltonian in order to get additional
integrals of motion.
A basic characteristics of the Hamiltonian is a dispersion law ωk. The dispersion law
is called decaying or nondecaying depending on whether the equation
ωk1+k2 = ωk1 + ωk2
has real solution or not. For decaying laws the above equation defines a real surface Γ.
The decaying law is called degenerate if there exists a function fk which satisfies on the
surface Γ the equation
fk1+k2 = fk1 + fk2
but is not a linear superposition of the ωk and k.
Let us mention here that the well known KP-1 equation is characterized by the
dispersion law
ωk = ωp,q = p3 + 3q2/p, k = (p, q)
which is decaying and degenerate, and the KP-2 equation is characterized by the
dispersion law
ωk = ωp,q = p3 − 3q2/p, k = (p, q)
which is nondecaying.
It appears that the above properties of dispersion laws are very important for solution
of the following the problem: do there exist any additional, besides of linear momentum
and energy, integrals of motion or not?
According to V. E. Zakharov and E. I. Shulman for the existence of an additional
motion integral of motion of the form
I[a] = I[a]0 + . . . =
∫ ∑
αj
f
αj
k |aαj
k |2dk + . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
738 E. D. BELOKOLOS
it is necessary that on each resonance manyfold
∆qj :=
q∑
α
sαωkα = 0, Pq :=
q∑
α
sαkα,
in the generic situation the following alternative occurs: 1) either the amplitude of the
scattering matrix on the manifold is equal zero, or 2) the following condition holds,
l∑
j=1
sjf
αj
k = 0.
6. Kinetic equation for solitons of the Korteweg – de Vries equation. In connection
to integrable evolution equations the kinetic equations naturally appears when one study
many-soliton solutions. As an example let us consider a solitons kinetic equation for the
Korteweg – de Vries equation.
6.1. The N-phase nonlinear wave. The N-phase solution of the KdV equation with
phases φj , wave vectors kj and frequencies ωj looks as follows (see e.g. [13]):
uN = θN (φ1, . . . , φj , . . . , φN ),
φj = kjx+ ωjt+ φ0
j , j = 1, . . . , N.
Here θN is N-dimensional theta-function,
θN (z) =
∑
m∈ZN
exp{−iπ(m, Bm) + i2π(z,m)}, z ∈ CN ,
with the N ×N period matrix Bjk. This matrix is defined by equality
Bjk =
∫
bk
ψj ,
where ψj , j = 1, . . . , N, are the normalized holomorphic differentials,
ψj =
N∑
k=1
ajk
Ek
R(E)
dE,
∫
ak
ψj = δjk, j = 1, . . . , N,
and ak, bk, k = 1, . . . , N, is a basis of cycles for the Riemann surface Γ of the genus N,
Γ : R2(E) =
2N+1∏
j=1
(E − Ej), E ∈ C,
E1 < E2 < . . . < E2N < E2N+1, Ej ∈ R.
The wave vectors and frequencies km, ωm, m = 1, . . . , N, are solutions of a system
of linear equations
Blmkm = −4πıaN−1,l,
Blmωm = −8πı
aN−1,l
2n+1∑
j=1
Ej + 2aN−2,l
.
The wave vector meromorphic differential dpN (E) and the frequency meromorphic
differential dqN (E) are defined as follows:
dpN (E) =
EN + bN−1EN−1 + . . .+ b0
R(E)
,
∫
bl
dpN (E) = 0, l = 1, . . . , N,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
KINETIC EQUATIONS AND THE INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS 739
dqN (E) = 12
EN+1 + cNEN + . . .+ c0
R(E)
,
∫
bl
dqN (E) = 0, l = 1, . . . , N.
In terms of above differentials we can present the space rotation number αN (E) and
and the time rotation number βN (E),
αN (E) = Re
1
π
E∫
−1
dpN (E′), E ∈ (−1, 0),
βN (E) = Re
1
π
E∫
−1
dqN (E′), E ∈ (−1, 0).
6.2. Slow modulations. Modulations of the N-phase waves
uN (x, t;X,T ) = θN (φ1, . . . , φj , . . . , φN |Blm(X,T )),
φj = kj(X,T )x+ ωj(X,T )t+ φ0
j (X,T ), j = 1, . . . , N,
X = εx, T = εt, ε� 1,
resulting due to modulations of the branchng points through the slow variables X and
T are formulated as a conservation law equation [14]:
∂T dpN = ∂XdqN .
6.3. The soliton limit. 6.3 Now let us consider a soliton limit of the N-phase
wave [15]
|gapE| ∼ 1
N
, |bandE| ∼ e−N , N � 1, E ∈ (−1, 0).
We shall designate further the centers of spectral bands as
−η2
j =
1
2
(E2j−1 + E2j),
and assume that
1 ' η1 > η2 > · · · ηN ' 0.
In soliton limit we obtain a following expression for the period matrix
Blm ' − ı
π
(
ln
ηl − ηm
ηl + ηm
+ nγ(ηl)δlm
)
, l,m = 1, . . . , N,
and the normalization coefficients of holomorphic differentials attains the form,
aN−1,l ' − ηl
2π
, aN−1,l
2N+1∑
j=1
Ej + 2aN−2,l '
η3
l
π
, l = 1, . . . , N.
As a result of that we can define now the wave vectors kl and frequencies ωl in
terms of the functions κ(ηl) and ω(ηl)
kl =
1
N
κ(ηl), ωl =
1
N
ω(ηl),
satisfying the following equations:
1
N
N∑
j=1
log
∣∣∣ηI − ηj
ηI + ηj
∣∣∣k(ηj) + γ(ηj)k(ηj) = −2πηi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
740 E. D. BELOKOLOS
1
N
N∑
j=1
log
∣∣∣ηI − ηj
ηI + ηj
∣∣∣ω(ηj) + γ(ηj)ω(ηj) = 8η3
i .
6.4. Thermodynamic limit and kinetic equation. Let us consider a thermodynamic
limit
N,L→∞, N/L = const,
where N is a number of solitons and L is a space length. In this case we can define the
distribution functions for the wave vectors and frequencies α(ν), β(ν) in such a way:
dα(−η2) =
1
2
φ(η)κ(η)d(η), dβ(−η2) =
1
2
φ(η)ω(η)d(η),
where
φ(ηl) '
1
N(ηl − ηl−1)
,
1∫
0
φ(η)dη = 1, η2 = −E ∈ [−1, 0],
γ(ηl) ' − 1
N
ln δl +O
(
1
N
)
, δl = E2l − E2l−1.
These distribution functions satisfy the following integral equation:
1∫
0
ln
∣∣∣η − µ
η + µ
∣∣∣µ
η
α′(−µ2)dµ+ σ(η)α′(−η2) =
π
2
,
1∫
0
ln
∣∣∣η − µ
η + µ
∣∣∣µ
η
β′(−µ2)dµ+ σ(η)β′(−η2) = −2πη2,
where
σ(η) = γ(η)/φ(η).
Let us introduce the distribution function of solitons
f(η) =
1
π
α(−η2),
1∫
0
f(η)dη = κ,
and the velocity of soliton
s(η) =
β′(−η2)
α′(−η2)
.
Then we can write down the kinetic equation for the distribution function of solitons,
s = −4η2 +
1
η
1∫
0
ln
∣∣∣η − µ
η + µ
∣∣∣f(µ)[s(µ)− s(η)]dµ.
Under assumption of small density of solitons we have [16]
s ' −4η2 − 4
η
1∫
0
ln
∣∣∣η − µ
η + µ
∣∣∣f(µ)(µ2 − η2)dµ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
KINETIC EQUATIONS AND THE INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS 741
6.5. Kinetic equation for the solitons with sources. In 1988 V. K. Mel’nikov [17]
studied for the first time the soliton equations with sources. It is possible to generalize
the kinetic equation for solitons on the case of presence of sources. In this case we
should add an additional term to the kinetic equation. This question deserves a special
consideration.
7. Conclusion. We gather in the paper a number of results on the connections of
kinetic equations and integrable systems. It appears that they are related very closely.
They have common problems and common methods to study them. We believe that
considerations of these two domains of mathematical physics from a single point of
view may be helpful for both of them.
1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
– М.: Наука, 1978. – 304 с.
2. Бобылев А. В. О точных решениях уравнения Больцмана // Докл. АН СССР. – 1975. – 225,
№ 6. – С. 1296 – 1299.
3. Бобылев А. В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория релаксации макс-
велловского газа // Теор. и мат. физика. – 1984. – 60, № 2. – С. 280 – 310.
4. Krook M., Wu T. T. Formation of Maxwellian tails // Phys. Rev. Lett. – 1996. – 36. – P. 1107 – 1109.
5. Krook M., Wu T. T. Exact solutions of the Boltzmann equation // Phys. Fluids. – 1977. – 20. –
P. 1589 – 1595.
6. Бобылев А. В. Теорема Пуанкаре, уравнение Больцмана и уравнения типа Кортевега – де Фриза
// Докл. АН СССР. – 1981. – 256, № 6. – С. 1341 – 1346.
7. Марченко В. А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. – Киев: Наук. думка, 1986. –
153 с.
8. Zakharov V. E., Shulman E. I. Degenerative dispersion laws, motion invariants and kinetic equations
// Physica D. – 1980. – 1, № 2. – P. 192 – 202.
9. Gaeta G., Walcher S. Dimension increase and splitting for Poincaré – Dulac normal forms // J.
Nonlinear Math. Phys. – 2005. – 12, № 1. – P. 327 – 342.
10. Захаров В. Е., Шульман Е. И. О матрице рассеяния и интегрируемости классических волновых
систем, обладающих дополнительным интегралом движения // Докл. АН СССР. – 1985. – 283,
№ 6. – С. 1325 – 1328.
11. Zakharov V. E., Shulman E. I. Integrability of nonlinear systems and perturbation theory // What is
Integrability? Springer Series on Nonlinear Dynamics. – Berlin: Springer, 1991. – P. 185 – 250.
12. Цхакая Д. Д., Шульман Е. И. О вырожденных многомерных законах дисперсии // Теорет. и
мат. физика. – 1997. – № 1. – С. 124 – 131.
13. Belokolos E. D., Bobenko A. I., Enolskii V. Z., Its A. R., Matveev V. B. Algebro-geometric approach
to non-linear integrable equations. – Berlin: Springer, 1994. – XIII + 320 p.
14. Flashka H., Forest M. G., Mclaughlin D. W. Multiphase averaging and the inverse spectral solution
of the Korteweg – de Vries equation // Communs Pure and Appl. Math. – 1980. – 33. – P. 739 – 784.
15. Эль Г. А. Бесконечнозонный предел уравнений Уизема // Теорет. и мат. физика. – 2003. – 137,
№ 2. – С. 176 – 187.
16. Захаров В. Е. Кинетическое уравнение для солитонов // Журн. эксперим. и теор. физики. –
1971. – 60, № 3. – С. 993 – 1000.
17. Mel’nikov V. K. Integration method of the Korteweg – de Vries equation with a self-consistent source
// Phys. Lett. A. – 1988. – 133. – P. 493 – 496.
Received 15.02.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6
|