Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій

Досліджено кінетику електромагнітного поля в гiдродинамiчному середовищі, до складу якого входять заряджені частинки. Побудовано зв'язану систему з рівнянь електромагнітного поля i рівнянь гідродинаміки з урахуванням дисипативних процесів. Для опису електромагнітного поля використано його серед...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Соколовський, О.Й., Ступка, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165752
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій / О.Й. Соколовський, А.А. Ступка // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 6. — С. 852–864. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165752
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1657522020-02-17T01:27:02Z Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій Соколовський, О.Й. Ступка, А.А. Статті Досліджено кінетику електромагнітного поля в гiдродинамiчному середовищі, до складу якого входять заряджені частинки. Побудовано зв'язану систему з рівнянь електромагнітного поля i рівнянь гідродинаміки з урахуванням дисипативних процесів. Для опису електромагнітного поля використано його середні значення, а також відповідні бінарні кореляційні функції як нові незалежні змінні. Вивчено зворотний вплив поля на середовище. Дослідження ґрунтується на квазірелятивіст-ській квантовій електродинаміці в калібровці Гамільтона і методі скороченого опису нерівноважних процесів Боголюбова. We investigate the kinetics of the electromagnetic field in a hydrodynamic medium containing charged particles. A closed system of equations of the electromagnetic field and hydrodynamic equations taking into account dissipative processes is constructed. To describe the electromagnetic field, we use its average values and the corresponding binary correlation functions as new independent variables. The reverse influence of the field on the medium is studied. The investigation is based on quasirelativistic quantum electrodynamics in the Hamilton gauge and on the Bogolyubov method of reduced description of nonequilibrium processes. 2005 Article Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій / О.Й. Соколовський, А.А. Ступка // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 6. — С. 852–864. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165752 530.1 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Соколовський, О.Й. Ступка, А.А. Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій Український математичний журнал
description	Досліджено кінетику електромагнітного поля в гiдродинамiчному середовищі, до складу якого входять заряджені частинки. Побудовано зв'язану систему з рівнянь електромагнітного поля i рівнянь гідродинаміки з урахуванням дисипативних процесів. Для опису електромагнітного поля використано його середні значення, а також відповідні бінарні кореляційні функції як нові незалежні змінні. Вивчено зворотний вплив поля на середовище. Дослідження ґрунтується на квазірелятивіст-ській квантовій електродинаміці в калібровці Гамільтона і методі скороченого опису нерівноважних процесів Боголюбова.
format	Article
author	Соколовський, О.Й. Ступка, А.А.
author_facet	Соколовський, О.Й. Ступка, А.А.
author_sort	Соколовський, О.Й.
title	Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій
title_short	Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій
title_full	Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій
title_fullStr	Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій
title_full_unstemmed	Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій
title_sort	рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165752
citation_txt	Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій / О.Й. Соколовський, А.А. Ступка // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 6. — С. 852–864. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT sokolovsʹkijoj rívnânnâelektrodinamíkiugídrodinamíčnomuseredoviŝízurahuvannâmnerívnovažnihfluktuacíj AT stupkaaa rívnânnâelektrodinamíkiugídrodinamíčnomuseredoviŝízurahuvannâmnerívnovažnihfluktuacíj
first_indexed	2025-07-14T19:48:51Z
last_indexed	2025-07-14T19:48:51Z
_version_	1837653066607755264
fulltext	УДК 530.1 О. Й. Соколовський, А. А. Ступка (Днiпропетр. нац. ун-т) РIВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМIКИ У ГIДРОДИНАМIЧНОМУ СЕРЕДОВИЩI З УРАХУВАННЯМ НЕРIВНОВАЖНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ∗ We investigate the kinetics of the electromagnetic field in hydrodynamic medium containing charged par- ticles. A closed system of equations of electromagnetic field and hydrodynamic equations taking into account dissipative processes is constructed. To describe the electromagnetic field, we use its average values and the corresponding binary correlation functions as new independent variables. The reverse influence of the field on the medium is studied. The investigation is based on quasirelativistic quantum electrodynamics in Hamilton gauge and on the Bogolyubov method of reduced description of nonequilib- rium processes. Дослiджено кiнетику електромагнiтного поля в гiдродинамiчному середовищi, до складу якого вхо- дять зарядженi частинки. Побудовано зв’язану систему з рiвнянь електромагнiтного поля i рiвнянь гiдродинамiки з урахуванням дисипативних процесiв. Для опису електромагнiтного поля вико- ристано його середнi значення, а також вiдповiднi бiнарнi кореляцiйнi функцiї як новi незалежнi змiннi. Вивчено зворотний вплив поля на середовище. Дослiдження ґрунтується на квазiрелятивiст- ськiй квантовiй електродинамiцi в калiбровцi Гамiльтона i методi скороченого опису нерiвноважних процесiв Боголюбова. Вступ. Робота ґрунтується на методi скороченого опису Боголюбова (див., напри- клад, [1]). У цьому методi стан системи описується певною системою величин — параметрiв скороченого опису (ПСО). Усi iншi спостережуванi величини виража- ються через ПСО. У цiй роботi розглядається кiнетика електромагнiтного (ЕМ) поля (система s) в гiдродинамiчному середовищi (система b) з урахуванням бiнар- них кореляцiй поля як нових незалежних ПСО. Iснує декiлька причин для такого узагальнення. По-перше, врахування нерiвноважних кореляцiй при скороченому описi дає бiльш докладний опис стану системи, нiж звичайно, i дозволяє глибше зрозумiти i докладнiше описати рiзноманiтнi явища. Не варто роз’яснювати те, що ЕМ процеси становлять переважну бiльшiсть тих процесiв, що вiдбуваються навколо нас. По-друге, йдеться про концептуальну замкненiсть теорiї. Справа в тому, що бiнарнi кореляцiї ЕМ поля виражаються через нормальну c+kαck′α′ та ано- мальну ckαck′α′ одночастинковi функцiї розподiлу фотонiв (ckα, c + kα — оператори знищення та народження фотонiв). У традицiйному описi ЕМ поля в середовищi використовуються як ПСО тiльки середнi значення поля, якi виражаються через ckα, c + kα. Це важко зрозумiти, оскiльки в кiнетичнiй теорiї насамперед слiд вра- ховувати як ПСО нормальнi одночастинковi функцiї розподiлу (див., наприклад, [2,3]), а в разi порушення симетрiї — аномальнi функцiї розподiлу ckαck′α′ та се- реднi ckα, c + kα. Необхiднiсть врахування бiнарних кореляцiй ЕМ поля при побудовi електродинамiки в гiдродинамiчному середовищi вперше було вiдмiчено в [4], але часовi рiвняння для бiнарних кореляцiй поля в нiй не побудованi. Нерiвноважнi кореляцiї поля не враховано й у роботах [5, 6], де у наближеннi самоузгоджено- го поля виведено узагальненi рiвняння Власова, тобто систему рiвнянь з рiвнянь Максвелла для поля та кiнетичного рiвняння для середовища. ∗ Пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проект 2.7/418) i частково фондом INTAS (проект 00-577). c© О. Й. СОКОЛОВСЬКИЙ, А. А. СТУПКА, 2005 852 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 РIВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМIКИ У ГIДРОДИНАМIЧНОМУ СЕРЕДОВИЩI. . . 853 Ще однiєю особливiстю даної роботи є використання калiбровки Гамiльтона, в якiй ЕМ поле описується трикомпонентним векторним потенцiалом ~A (x) , а ска- лярний потенцiал ϕ (x) вiдсутнiй. Це дозволяє розвинути послiдовний гамiльтонiв формалiзм для поля, оскiльки стандартний гамiльтонiан ЕМ поля не мiстить часо- вої похiдної ϕ̇ (x). У кулонiвськiй калiбровцi ЕМ поле описується потенцiалами ~A (x) , ϕ (x) , але поле вважається поперечним div ~A (x) = 0. Кiнетику ЕМ поля з урахуванням бiнарних кореляцiй було розглянуто в калiбровцi Кулона в [7] у рiвноважному середовищi та у [8] у гiдродинамiчному (в роботi [4] теж використа- но калiбровку Кулона). Калiбровку Гамiльтона для побудови кiнетики ЕМ поля в рiвноважному середовищi без урахування кореляцiй поля було покладено в основу роботи [9]. У нiй ЕМ поле визначається векторним потенцiалом ~A (x) та напруже- нiстю електричного поля ~E (x) . Поперечнi складовi цих полiв ~At (x) , ~Et (x) пiсля квантування описують фотони в середовищi, а поздовжнi ~Al (x) , ~El (x) — плазмо- ни. Певною мiрою в такому пiдходi розгляд вiдбувається у зворотному напрямку порiвняно з роботою [10] (див. також [11]). У нiй вивчалася система зарядiв, якi взаємодiють за законом Кулона. За рахунок далекодiйної частини кулонiвської вза- ємодiї було введено ЕМ поле, яке описується поздовжнiм векторним потенцiалом. Саме цей ступiнь волi у пiдсумку зв’язується з плазмонами в кулоновiй плазмi. Теорiя, що розробляється в цiй роботi, повинна бути калiбрувально-iнварiант- ною. Для цього необхiдно, щоб ПСО середовища були середнiми значеннями по- довжених, тобто калiбрувально-iнварiантних, операторiв фiзичних величин b̂ (див. обговорення аналогiчного питання, наприклад, у [12]). Саме такi середнi є спо- стережуваними величинами. Оператор Гамiльтона середовища Ĥb теж повинен бути подовженою величиною. Спочатку теорiя будується в термiнах середнiх вiд неподовжених величин, але потiм результати виражаються в теорiї збурень через калiбрувально-iнварiантнi гiдродинамiчнi змiннi. Цю процедуру можна назвати перенормуванням. У данiй роботi середовище вважається системою з декiлькох компонент час- тинок, яка перебуває в гiдродинамiчному станi. На фундаментальному рiвнi ЕМ взаємодiя заряджених частинок вiдбувається тiльки через фотони. У подальшому розглядi ЕМ взаємодiя вважається слабкою. Будемо вважати нижче, що зарядже- них частинок в системi небагато i їхня взаємодiя з нейтральними частинками i нейтральних частинок мiж собою обумовлює формування гiдродинамiчного стану середовища. Таким чином, йдеться про частково iонiзоване плазмове середовище, при розглядi якого нехтуємо процесами iонiзацiї. Iдея про бiльшу зрозумiлiсть перебiгу гiдродинамiчних процесiв у слабко iонiзованiй плазмi у порiвняннi з пов- нiстю iонiзованою використовується в лiтературi (див., наприклад, [13]). 1. Оператор Гамiльтона системи. Будемо вважати, що система складається з точкових частинок декiлькох сортiв та ЕМ поля i має оператор Гамiльтона Ĥ = Ĥs + Ĥb0 + Ĥsb = Ĥs + Ĥb, Ĥs = ∫ dx ~̂E2 + ~̂B2 8π , Ĥb ≡ ∫ dxε̂ (x), Ĥb0 ≡ ∫ dxε̂0 (x), Ĥsb ≡ Ĥ1 + Ĥ2, Ĥ1 = −1 c ∫ dxÂn (x) ĵn0 (x), Ĥ2 = 1 2c2 ∫ dxÂ (x)2 χ̂ (x). (1) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 854 О. Й. СОКОЛОВСЬКИЙ, А. А. СТУПКА Тут ε̂ (x) — подовжена густина енергiї частинок, ε̂0 (x) — неподовжена густина енергiї (вона включає нерелятивiстську кiнетичну енергiю частинок та потенцiаль- ну енергiю їхньої взаємодiї), ĵn0 (x) — неподовжена густина електричного струму. Тi частинки, якi мають заряд, взаємодiють з ЕМ полем, що описується векторним потенцiалом An (x) . Нами використовується калiбровка Гамiльтона, в якiй скаляр- ний потенцiал ϕ (x) = 0. Пiсля квантування ЕМ поля векторний потенцiал An (x) як узагальнена координата поля стає оператором Ân (x) , а вiдповiднi оператори узагальненого iмпульсу P̂n (x) , електричного Ên (x) та магнiтного B̂n (x) полiв задаються формулами P̂n (x) = 1 4πc2 ˆ̇An (x) , Ên (x) ≡ −1 c ˆ̇An (x) , ~̂B (x) = rot ~̂A (x) . (2) При цьому канонiчнi комутацiйнi спiввiдношення для поля можна записати у ви- глядi [ Ên (x) , Âl (x′) ] = δnl4πic~δ (x− x′) , [ Ên (x) , Êl (x′) ] = 0,[ Ân (x) , Âl (x′) ] = 0. (3) Розглядається взаємодiя поля з частинками Ĥsb, яка запроваджується стандартним шляхом як рiзниця подовженого Ĥb i неподовженого Ĥb0 операторiв Гамiльтона середовища. Подовженi оператори фiзичних величин середовища є функцiями вiд векторного потенцiалу b̂ ≡ b̂(Â), залежнiсть вiд якого вводиться замiною в неподовженiй величинi b̂0 ≡ b̂(0) похiдних вiд польових операторiв частинок середовища ψa (x) , ψ+ a (x) на подовженi ∂ ∂xn ψa (x) → ( ∂ ∂xn − i ea c~ Ân (x) ) ψa (x) , ∂ ∂xn ψ+ a (x) → ( ∂ ∂xn + i ea c~ Ân (x) ) ψ+ a (x) (a — номер компоненти). Така процедура вводить серед iншого подовженi густини енергiї ε̂ (x) та струму ĵn (x) : ε̂ (x) = ε̂0 (x)− 1 c ĵn0 (x) Ân (x) + 1 2c2 χ̂ (x) Â2 (x) , ĵn (x) = ĵn0 (x)− 1 c χ̂ (x) Ân (x) . (4) Формули (4), а тому i (1), мiстять спецiальний оператор χ̂ (x) = ∑ a e2a ma n̂a (x), (5) де n̂a (x) — оператори густини кiлькостi частинок, ea i ma — заряд i маса частинки a-ї компоненти середовища. Для подальшої побудови гiдродинамiки середови- ща важливi також подовжений π̂n (x) та неподовжений π̂n0 (x) оператори густини iмпульсу, оператори густин заряду ρ̂ (x) та маси σ̂a (x) , якi не подовжуються: π̂n(x) = π̂n0(x)− 1 c ρ̂ (x) Ân(x), ρ̂ (x) = ∑ a ρ̂a (x) = ∑ a ean̂a (x), σ̂a (x) = man̂a (x) . (6) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 РIВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМIКИ У ГIДРОДИНАМIЧНОМУ СЕРЕДОВИЩI. . . 855 Зауважимо, що далi в цiй роботi немає необхiдностi запроваджувати картину вторинного квантування для ЕМ поля. Те ж стосується i частинок середовища. Наведемо скорочений опис стану системи. Поставимо собi за мету побудову кiнетики ЕМ поля в гiдродинамiчному середовищi. ПСО визначимо формулами Spρ (t) η̂a−−−−−→ t�τ0 ηa (t, ρ0) , Spρ (t) ζ̂µ (x)−−−−−→ t�τ0 ζµ (x, t, ρ0) (ρ0 ≡ ρ (t = 0)) ; η̂a : ξ̂in (x) , { ξ̂in (x) , ξ̂i′n′ (x′) } , ξ̂in (x) : Ân (x) , Ên (x) ; (7) ζ̂µ (x) : ε̂0 (x) , π̂n0 (x) , σ̂a (x) . Тут τ0 — характерний час, пiсля проходження якого настає скорочений опис i статистичний оператор системи у вiдповiдностi з функцiональною гiпотезою Бо- голюбова має структуру ρ (t)−−−−−→ t�τ0 ρ (η (t, ρ0) , ζ (t, ρ0)) ≡ ρas (t) (8) (краще говорити про iдею функцiональної гiпотези, сформульовану М. М. Боголю- бовим у [14]; див. також [1]). Права частина цiєї формули ρ (η, ζ) є функцiоналом вiд ПСО ξin(x) = Spρ (η, ξ) ξ̂in(x), (ξinξ′i′n′) ≡ (ξin(x)ξi′n′ (x′)) ≡ Spρ (η, ζ) { ξ̂in(x), ξ̂i′n′ (x′) } , ζµ(x) = Spρ (η, ζ) ζ̂µ(x), (9) який не залежить вiд часу та початкового стану системи ρ0. Вважається, що статис- тичний оператор ρas (t) є розв’язком квантового рiвняння Лiувiлля ∂tρ as (t) = − i ~ [ Ĥ, ρas (t) ] ≡ Lρas (t) (10) (тут i далi для спрощення формул використовуються оператори Лiувiлля типу L). Функцiональна гiпотеза приводить до замкнених рiвнянь для ПСО ∂tηa (t, ρ0) = La (η (t, ρ0) , ζ (t, ρ0)) , ∂tζµ (x, t, ρ0) = Mµ (x, η (t, ρ0) , ζ (t, ρ0)) , (11) де позначено La (η, ζ) = Spρ (η, ζ) ˆ̇ηa, Mµ (x, η, ζ) = Spρ (η, ζ) ˆ̇ ζµ(x), (12) ˆ̇ηa ≡ −Lη̂a = − (Ls + Lsb) η̂a, ˆ̇ ζµ(x) ≡ −Lζ̂µ(x) = − (Lb + Lsb) ζ̂µ(x). Статистичний оператор ρ (η, ζ) окрiм рiвнянь (9) задовольняє рiвняння Лiувiлля при скороченому описi∑ a ∂ρ (η, ζ) ∂ηa La (η, ζ) + ∑ µ ∫ dx δρ (η, ζ) δζµ(x) Mµ (η, ζ) = Lρ (η, ζ). (13) Рiвняння (10), (11) за своєю побудовою справджуються для часiв t � τ0, але розв’язок рiвнянь (11) для ПСО можна продовжити на усi t ≥ 0. Тодi з (11), (13) отримаємо рiвняння Лiувiлля (10) для t ≥ 0. Зрозумiло, що пiсля цього ПСО при 0 ≤ t ≤ τ0 не мають фiзичного сенсу. Як наслiдок цього, ефективнi початковi умови не збiгаються зi справжнiми: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 856 О. Й. СОКОЛОВСЬКИЙ, А. А. СТУПКА ηa (0, ρ0) 6= Spρ0η̂a, ζµ (x, 0, ρ0) 6= Spρ0ζ̂µ(x). (14) Ще М. М. Боголюбов вiдзначив [14], що рiвняння типу (9), (13) для статис- тичного оператора ρ (η, ζ) мають декiлька розв’язкiв i для вiдбору єдиного слiд використати певну граничну умову, яка виражає собою наслiдок еволюцiї системи у фiзичному напрямку часу. З цiєю метою розглянемо умову повного ослаблення кореляцiй мiж полем та середовищем eτ(Ls+Lb0)ρ (η, ζ)−−−−−→ t�τ0 eτ(Ls+Lb0)ρsq (η) ρb (ζ) , (15) де ρb (ζ) — повний гiдродинамiчний статистичний оператор середовища, ρsq (η) — квазiрiвноважний статистичний оператор поля, ρsq (η) ≡ e F (η)− ∑ a Za(η)η̂a , Spρsq (η) ≡ 1, Spρsq (η) η̂a ≡ ηa. (16) Спiввiдношення (15) ґрунтується на принципi просторового ослаблення кореля- цiй, оскiльки вiльна еволюцiя двох систем розводить їх у просторi. При цьому середовище i поле стають статистично незалежними, що приводить до фактори- зацiї статистичного оператора системи. Наявнiсть у правiй частинi формули (15) статистичного оператора ρb (ζ) свiдчить, що вивчається поведiнка поля саме в гiдродинамiчнiй рiдинi. Одночасно використання в (15) еволюцiї у фiзичному на- прямку часу враховує сформульовану вище вимогу. ПСО електромагнiтного поля мають властивiсть, що виражається формулою Lsη̂a = −i ∑ a′ caa′ η̂a′ . (17) Таке спiввiдношення додатково характеризує структуру теорiї i було вперше ви- вчено Пелетмiнським та Яценком (див., наприклад, [11]). З урахуванням (17) рiвнiсть (15) приводить до наступної граничної умови до рiвняння Лiувiлля (13): eτ(Ls+Lb0)ρ ( e−icτη, ζ ) − ρsq (η) eτLb0ρb (ζ)−−−−−→ t�τ0 0. (18) Фактично М. М. Боголюбов у роботi [14] при виведеннi кiнетичного рiвняння теж використав умову повного ослаблення кореляцiй, записану за допомогою оператора еволюцiї газу у фiзичному напрямку часу, як граничну (див. також роботу [15]). Рiвняння Лiувiлля (13) з урахуванням граничної умови (18) звичайним шляхом приводить до наступного iнтегрального рiвняння для статистичного оператора: ρ (η, ζ) = ρsq (η) ρb (ζ) + +∞∫ 0 dτeτ(Ls+Lb0) { Lsbρ (η, ζ) +ρsq (η)Lb0ρb (ζ)− − ∑ a ∂ρ (η, ζ) ∂ηa L̃a (η, ζ)− ∑ µ ∫ dx δρ (η, ζ) δζµ(x) Mµ (x, η, ζ) } η→e−icτ η , (19) де L̃a (η, ζ) ≡ −Spρ (η, ζ)Lsbη̂a. (20) 2. Побудова теорiї збурень. Iнтегральне рiвняння (19) слiд розв’язувати у теорiї збурень. Мализна ЕМ взаємодiї дозволяє будувати теорiю збурень за малим параметром λ = e/ √ ~c, виходячи з оцiнок Ĥs ∼ λ0, Ĥb0 ∼ λ0, Ĥ1 ∼ λ1, Ĥ2 ∼ ∼ λ2 внескiв (заряд частинок a-го сорту ea = eza; za — цiле число, e — додатний елементарний заряд). Додатково будемо вважати, що малi градiєнти запроваджених ПСО ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 РIВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМIКИ У ГIДРОДИНАМIЧНОМУ СЕРЕДОВИЩI. . . 857 ∂sζµ(x) ∂xn1 ...∂xns ∼ gs, ∂sξin(x) ∂xn1 ...∂xns ∼ gs, ∂s (ξin(x)ξi′n′ (x+ x′)) ∂xn1 ...∂xns ∼ gs. (21) Перша оцiнка запроваджує звичайний у гiдродинамiцi малий параметр g = rcor r/Lh i означає, що густини адитивних iнтегралiв руху ζµ(x) повiльно змiнюються у просторi (rcor — радiус кореляцiй в системi, Lh — характерний розмiр неоднорiд- ностей у розподiлi ζµ(x)). Друга оцiнка вимагає мализни градiєнтiв векторного потенцiалу An(x) та електричного поля En (x) (це приводить i до мализни маг- нiтного поля Bn(x) ∼ g1). Остання оцiнка в (21) додатково характеризує слабку неоднорiднiсть стану ЕМ поля. Важливо пiдкреслити, що градiєнти флуктуацiй (ξin(x)ξi′n′ (x+ x′)) по x′n не є малими. Будемо вважати, що явищем просторової дисперсiї гiдродинамiчних характе- ристик середовища можна нехтувати. У той же час будемо враховувати просто- рову дисперсiю електродинамiчних характеристик середовища. Фактично йдеться про вибiркове пiдсумовування ряду теорiї збурень по градiєнтах ПСО поля. З метою отримання локальних гiдродинамiчних рiвнянь використаємо зображення Бар’яхтара – Пелетмiнського просторової залежностi змiнних середовища Spρ (η, ζ) b̂(x) = Spρ (x, η, ζ) b̂ (0) , (22) де ρ (x, η, ζ) ≡ e i ~ xnP̂b0nρ (η, ζ) e− i ~ xnP̂b0n , i ~ [ P̂b0n, b̂(x) ] = −∂b̂(x) ∂xn (23) (див. [1]). Тут i далi через b̂(x) позначається оператор довiльної трансляцiйно- iнварiантної величини середовища, а через P̂b0n — неподовжений оператор його iмпульсу. Це дозволить розрахувати статистичний оператор ρ (x, η, ζ) як функцiю величин ζµ(x) та їхнiх похiдних саме в точцi x. Одночасно це запроваджує статистичний оператор ρb (x, ζ) , який обчислено в [1] в перших порядках теорiї збурень по градiєнтах з метою побудови гiдроди- намiки при вiдсутностi ЕМ поля. Значну роль при цьому вiдiграють вирази для неподовжених операторiв потокiв енергiї q̂n0(x) та iмпульсу t̂nl0(x) середовища (оператор потоку маси a-ї компоненти середовища îna(x) = π̂n0(x)), а також пе- ретворення Галiлея. Локальна швидкiсть рiдини vn(x) в такiй теорiї визначається формулами πn0(x) = σ(x)vn(x), σ(x) ≡ ∑ a σa(x). (24) Перетворення Галiлея статистичного оператора та операторiв фiзичних величин виконується за допомогою вiдповiдного унiтарного перетворення ρ0 (x, η, ζ) = Uv(x)ρ (x, η, ζ)U+ v(x), ρ0 b (x, ζ) = Uv(x)ρb (x, ζ)U+ v(x). (25) У пiдсумку iз розрахункiв за описаною теорiєю збурень на основi (12), (19), (20) отримуємо ρ0 (x, η, ζ) = ρsq (η)w0 b (ζ(x)) + ρsq (η) ρh + ρem +O ( λ0g2, λ1g1, λ2 ) , (26) де w0 b (ζ) — рiвноважний статистичний оператор рiдини, яка перебуває у станi спокою, w0 b (ζ) = e Ωb0−Ĥb0+ ∑ a µaM̂a T ( M̂a ≡ ∫ dxσ̂a(x) ) , (27) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 858 О. Й. СОКОЛОВСЬКИЙ, А. А. СТУПКА ρh — звичайний гiдродинамiчний внесок ∼ g1 у статистичний оператор ρb (x, ζ) (див. [1]), ρem — внесок порядку в статистичний оператор ρ0 (x, η, ζ) , ρem = − i c~ 0∫ −∞ dτ ∫ dx′× × {[ ρsqw 0 b , ( ĵn0 (x′ − x, τ) + ρ̂ (x′ − x, τ) vn (x′) ) Ân (x′, τ) ] + + w0 bρ(x)vn(x) ∑ a ∂ρsq ∂ηa Spsρsq [ η̂a, Ân (x′, τ) ]} (28) (через Sps, Spb, Sp позначено вiдповiдно шпури у просторах станiв поля Hs, середовища Hb, всiєї системи H). В останнiй формулi введено оператори Дiрака ĵn0 (x, t) = e−t Lb0 ĵn0(x), Ân (x, t) = e−t LsÂn(x). (29) У побудовi гiдродинамiки значну роль вiдiграє уявлення про локальну рiвновагу рiдини (див., наприклад, [1]). Це дозволяє ввести локальнi термодинамiчнi ве- личини, що виражаються через густини адитивних iнтегралiв руху ζµ(x), якi є ПСО в гiдродинамiцi. Серед iншого це стосується температури ζµ(x), хiмiчних потенцiалiв µa0 (ζ) , тиску p0 (ζ) , якi визначаються формулами Spbw 0 b ε̂0 (0) = ε00, Spbw 0 b σ̂a (0) = σa, ε0 ≡ ε00 + σ v2 2 , Spbw 0 b t̂nl (0) = p0δnl (30) (ε00 — густина внутрiшньої енергiї). 3. Калiбрувальна iнварiантнiсть теорiї. В калiбрувально-iнварiантнiй гiдро- динамiцi ПСО повиннi бути середнiми значеннями подовжених величин або їхнiми функцiями. Це приводить до наступних виразiв для густини енергiї, iмпульсу та iнварiантної швидкостi рiдини: ε (x, η, ζ) = Spρ (η, ζ) ε̂(x), πn (x, η, ζ) = Spρ (η, ζ) π̂n(x), σ(x) = Spρ (η, ζ) σ̂(x), πn (x, η, ζ) = un (x, η, ζ)σ(x) (31) (густини маси σ̂a(x) не потребують подовження). Обчислюючи за допомогою (4), (6), (26) – (28), отримуємо πn = σvn − ρ c An +O ( λ2 ) , un = vn − ρ cσ An +O ( λ2 ) , ε = ε0 + σ u2 2 , ε0 = ε00 +O ( λ1g1, λ2 ) . (32) Подальший розгляд у цьому напрямку вимагає використання подовжених опе- раторiв потокiв енергiї q̂n(x) та iмпульсу t̂nl(x). Компактнi та зручнi формули для операторiв потокiв були отриманi в роботi [16] (див. також [11]). Визначимо оператори потокiв q̂n(x), t̂nl(x) саме цими формулами, що приведе до наступних шредiнгерiвських рiвнянь руху для подовжених густин σ̂a(x), ε̂(x), π̂n(x): ˆ̇σa(x) = −∂π̂an(x) ∂xn , ˆ̇ε(x) = −∂q̂n (x) ∂xn + 1 2 { ĵn (x) , Ên(x) } , ˆ̇πn(x) = −∂t̂nl(x) ∂xl + ρ̂(x)Êl(x) + 1 c elmnĵm(x)B̂n(x), (33) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 РIВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМIКИ У ГIДРОДИНАМIЧНОМУ СЕРЕДОВИЩI. . . 859 а також до виразiв q̂n(x) = q̂n0(x) + i c~ ∫ dx′x′n 1∫ 0 dµÂl (x+ µx′)× × [ ĵl0 (x+ µx′) , ε̂0 (x+ (µ− 1)x′) ] +O ( λ2 ) , t̂nl(x) = t̂nl0(x)− 1 c Ân(x)ĵl0(x)− 1 c Âl(x)ĵn0(x) +O ( λ2 ) (34) (детальнiше див. [8]). Усе це дозволяє послiдовно обчислити в теорiї збурень правi частини рiвнянь (11) для ПСО поля та неподовжених ПСО рiдини. Для виведення рiвнянь для подовжених ПСО будемо безпосередньо усереднювати зi знайденим статистичним оператором (26) рiвняння (33) та вiдповiднi спiввiдношення для поля ˆ̇En(x) = c∆nlÂl(x)− 4πĵn(x), ˆ̇An(x) = −cÊn(x), ∆nl ≡ ∂2 ∂xn∂xl −∆δnl, ∆nlAl = ( rot rot ~A ) n (35) i його кореляцiй. У пiдсумку одержимо систему рiвнянь електродинамiки су- цiльних середовищ у гiдродинамiчному середовищi з урахуванням нерiвноважних кореляцiй поля: ∂tEn = c∆nlAl − 4πjn, ∂tAn = −cEn, ∂t (EnE ′ l) c = c∆nm (AmE ′ l) c + c∆′lm (EnA ′ m)c − 4π { (jnE′l) c + (Enj ′ l) c} , ∂t (EnA ′ l) c = c∆nm (AmA ′ l) c − c (EnE ′ l) c − 4π (jnA′l) c , (36) ∂t (AnE ′ l) c = −c (EnE ′ l) c + c∆′lm (AnA ′ m)c − 4π (Anj ′ l) c , ∂t (AnA ′ l) c = −c (EnA ′ l) c − c (AnE ′ l) c , ∂tσa = −∂ian ∂xn , ∂tε = − ∂qn ∂xn + jnEn + 1 2 (jnEn)c , ∂tπn = −∂tnl ∂xl + { ρEn + 1 c enlmjlBm } + 1 2 { (ρEn)c + 1 c enlm (jlBm)c } , (37) де для довiльних фiзичних величин системи введено кореляцiйну функцiю (a1a ′ 2) c = Spρ (η, ζ) {â1(x), â2 (x′)} − 2Spρ (η, ζ) â1(x)Spρ (η, ζ) â2 (x′) . (38) У цих рiвняннях роль ПСО вiдiграють середнє поле En, An, його кореляцiйнi функцiї (EnE ′ l) c , (EnA ′ l) c , (AnE ′ l) c , (AnA ′ l) c та гiдродинамiчнi змiннi σa, πn, ε.До цих рiвнянь слiд додати спiввiдношення, якi виражають струм та iншi кореляцiйнi функцiї через ПСО. Безпосередньо статистичний оператор (26) виражає вказанi кореляцiйнi функцiї через середнi неподовжених гiдродинамiчних величин та їхнi рiвноважнi кореляцiйнi функцiї. Подальший крок полягає у використаннi формул типу (32) для переходу до величин, якi будуються на основi подовжених операторiв i є, таким чином, спостережуваними. Тому останню процедуру можна назвати перенормуванням. Термодинамiка спостережуваних величин i вiдповiднi рiвноважнi кореляцiй- нi функцiї слiд обчислювати за допомогою повного рiвноважного статистичного оператора поля та рiдини: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 860 О. Й. СОКОЛОВСЬКИЙ, А. А. СТУПКА w0 = e Ω−(Ĥs+Ĥb0+Ĥsb)+ ∑ a µaM̂a T , Spw0ε̂ (0) = ε0, Spw0σ̂a (0) = σa, Spw0t̂nl (0) = pδnl. (39) Останнi формули в (39) дають спостережуванi залежностi T ( ε0, σ ) , µa ( ε0, σ ) , p ( ε0, σ ) . Зрозумiло, що процедура вказаного перенормування є досить складною. Вона значно спрощується, якщо отримати тiльки внески декiлькох перших порядкiв теорiї збурень. Це пов’язано з простотою формул перерахунку, частину з яких наведено в (32). 4. Матерiальнi рiвняння теорiї. Наведемо результати обчислення середнiх у рiвняннях (36), (37), що зробить їх замкненими. Для цього зауважимо, що вiдповiдно до (28) справджуються формули Spρemb̂ (0) = ∫ dx′ {σbn (x− x′) + σbn,s (x− x′) vs}E′n+ + ∫ dx′ { λ̃bn (x− x′) + λbn,s (x− x′) vs } A′n, (40) Spρem{b̂ (0) , Âl (x′)} = ∫ dx′′ {σbn (x− x′′) + σbn,s (x− x′′) vs} (E′′nA ′ l)+ + ∫ dx′′ { λ̃bn (x− x′′) + λbn,s (x− x′′) vs } × × (A′′nA ′ l) +Rbl (x− x′) +Rbl,s (x− x′) vs, (41) Spρem{b̂ (0) , Êl (x′)} = ∫ dx′′ {σbn (x− x′′) + σbn,s (x− x′′) vs} (E′′nE ′ l)+ + ∫ dx′′ { λ̃bn (x− x′′) + λbn,s (x− x′′) vs } × × (A′′nE ′ l) + Tbl (x− x′) + Tbl,s (x− x′) vs (42) (vs ≡ vs(x), A′n ≡ An (x′) , A′′n ≡ An (x′′) i т. д.), де введено наступнi матерiальнi коефiцiєнти: σbl (x− x′) = 1 c ∞∫ −∞ dτ ∫ dx′′Gbjn (x− x′′, τ)µnl (x′′ − x′, τ), σbl,s (x− x′) = 1 c ∞∫ −∞ dτ ∫ dx′′Gbρ (x− x′′, τ)µsl (x′′ − x′, τ), λ̃bl (x− x′) = −1 c ∞∫ −∞ dτ ∫ dx′′Gbjn (x− x′′, τ) νnl (x′′ − x′, τ), λbl,s (x− x′) = −1 c ∞∫ −∞ dτ ∫ dx′′Gbρ (x− x′′, τ) νsl (x′′ − x′, τ) (43) та кореляцiйнi функцiї Rbl (x− x′) = = −4π ∞∫ 0 dτ ∫ dx′′ {Ibjn (x− x′′, τ) + Jbjn (x− x′′, τ)}µnl (x′′ − x′, τ) , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 РIВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМIКИ У ГIДРОДИНАМIЧНОМУ СЕРЕДОВИЩI. . . 861 Rbl,s (x− x′) = = −4π ∞∫ 0 dτ ∫ dx′′ {Ibρ (x− x′′, τ) + Jbρ (x− x′′, τ)}µsl (x′′ − x′, τ) , (44) Tbl (x− x′) = = −4π ∞∫ 0 dτ ∫ dx′′ {Ibjn (x− x′′, τ) + Jbjn (x− x′′, τ)}νnl (x′′ − x′, τ) , Tbl,s (x− x′) = = −4π ∞∫ 0 dτ ∫ dx′′ {Ibρ (x− x′′, τ) + Jbρ (x− x′′, τ)}νsl (x′′ − x′, τ) . У цi формули входять загаяна функцiя Грiна та кореляцiйнi функцiї, якi визначаю- ться формулами Gb1b2 (x, t) = − i ~ θ (t)Spbw 0 b [ b̂1 (x, t) , b̂2 (0) ] , Ib1b2 (x, t) = Spbw 0 bδb̂2 (0) b̂1 (x, t) , Jb1b2 (x, t) = Spbw 0 b b̂1 (x, t) δb̂2 (0) , δb̂ ≡ b̂− Spbw 0 b b̂. (45) Пiсля перенормування до виразiв (43), (44) увiйдуть вiдповiднi величини, визначенi за допомогою статистичного оператора (39) на подовжених операторах. Це можна буде зробити iз зазначеною в (49) – (52) та (53) точнiстю (див. зауваження пiсля (53)). Окрiм цього використано наступний вираз для оператора Дiрака Ân (x, t) з (29): Ân (x, τ) = ∫ dx′µnl (x− x′, τ)Êl (x′) + ∫ dx′νnl (x− x′, τ) Âl (x′) , (46) до якого входять функцiї µnl (x, τ) , νnl (x, τ) з компонентами Фур’є вигляду µnl (k, τ) = −cτ k̃nk̃l − δt nl sinωkτ k , νnl (k, τ) = k̃nk̃l + δt nl cosωkτ, k̃n = kn/k, δt nl = δnl − k̃nk̃l. (47) У позначеннях (43) – (45) для спрощення вигляду формул не вiдображено залеж- нiсть рiзних величин вiд гiдродинамiчних змiнних, тобто σbl (x− x′) ≡ σbl (x− x′, ζ(x)) , Rbl (x− x′) ≡ Rbl (x− x′, ζ(x)) (48) i т. д. Уведенi позначення дозволяють записати вирази для низки величин з правої час- тини рiвнянь (36), (37), якi зроблять цi рiвняння замкненими. Наведемо спочатку вирази для потокiв частинок, заряду, iмпульсу та енергiї: ian = i0an + σaun, i0an = ihan + iem an +O ( λ0g2, λ1g1, λ2 ) , iem an = ∫ dx′ {σπan l (x− x′) + σπan l,s (x− x′) vs}E′l + (49) + ∫ dx′ {λπan l (x− x′) + λπan l,s (x− x′) vs}A′l, λπan l (x− x′) ≡ λ̃πan l (x− x′) + 1 c ( ρ σa σ − ρa ) δ (x− x′) δnl; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 862 О. Й. СОКОЛОВСЬКИЙ, А. А. СТУПКА jn = j0n + ρun, j0n = jh n + jem n +O ( λ1g2, λ2g1, λ3 ) , jh n = ∑ a ea ma ihan, jem n = ∑ a ea ma iem an , jem n = ∫ dx′ {σjn l (x− x′) + σjnl,s (x− x′) vs}E′l + (50) + ∫ dx′ {λjn l (x− x′) + λjn l,s (x− x′) vs}A′l, λjn l (x− x′) ≡ λ̃jn l (x− x′) + 1 c ∑ a ( ρ σa σ − ρa ) δ (x− x′) δnl; tnl = t0nl + σunul, t0nl = pδnl + thnl + tem nl +O ( λ0g2, λ1g1, λ2 ) , tem nl = ∫ dx′ {σtnlm (x− x′) + σtnlm,s (x− x′) vs}E′m + (51) + ∫ dx′ { λ̃tnlm (x− x′) + λtnlm,s (x− x′) vs } A′s; qn = q0n + t0nlul + ( ε0 + σ u2 2 ) un, q0n = qh n + qem n +O ( λ0g2, λ1g1, λ2 ) , qem n = ∫ dx′ {σqn l (x− x′) + σqn l,s (x− x′) vs}E′l + (52) + ∫ dx′ {λqn l (x− x′) + λqn l,s (x− x′) vs}A′l, λqn l (x− x′) ≡ λ̃qnl (x− x′) + i c~ ∫ dx′′x′′nSpbw 0 b [ ε̂0 (0) , ĵl (x′′) ] δ (x− x′) . До цих виразiв входять звичайнi гiдродинамiчнi дисипативнi потоки в системi вiдлiку спокою рiдини ihan, t h nl, q h n, наведенi, наприклад, в [1] (див. також [8]). Правi частини рiвнянь мiстять кореляцiйнi функцiї, якi задаються формулами (jnA′l) c = ∫ dx′′ {σjnm (x− x′′) + σjnm,s (x− x′′) vs} (E′′mA ′ l) c + + ∫ dx′′ {λjnm (x− x′) + λjnm,s (x− x′) vs} (A′′mA ′ l) c +Rjn l (x− x′)+ + Rjn l,s (x− x′) vs, (jnE′l) c = ∫ dx′′ {σjnm (x− x′′) + σjnm,s (x− x′′) vs} (E′′mE ′ l) c + + ∫ dx′′ {λjnm (x− x′) + λjnm,s (x− x′) vs} (A′′mE ′ l) c + Tjn l (x− x′) + +Tjn l,s (x− x′) vs, (jnB′l) c = ∫ dx′′ {σjnm (x− x′′) + σjnm,s (x− x′′) vs} (E′′mB ′ l) c + + ∫ dx′′ {λjnm (x− x′) + λjnm,s (x− x′) vs} (A′′mB ′ l) c + +Sjn l (x− x′) + Sjn l,s (x− x′) vs, (53) (ρE′n)c = ∫ dx′′ {σρl (x− x′′) + σρl,s (x− x′′) vs} (E′′l E ′ n)c + + ∫ dx′′ { λ̃ρl (x− x′) + λρl,s (x− x′) vs } (A′′l E ′ n)c + ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 РIВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМIКИ У ГIДРОДИНАМIЧНОМУ СЕРЕДОВИЩI. . . 863 +Tρ n (x− x′) + Tρn,s (x− x′) vs, (Anj ′ l) c = ∫ dx′′ { σ′jlm (x′ − x′′) + σ′jlm,s (x′ − x′′) v′s } (AnE ′′ m)c + + ∫ dx′′ { λ′jlm (x′ − x′′) + λ′jlm,s (x′ − x′′) v′s } (AnA ′′ m)c + + R′jl n (x′ − x) +R′jl n,s (x′ − x) v′s, (Enj ′ l) c = ∫ dx′′ { σ′jlm (x′ − x′′) + σ′jlm,s (x′ − x′′) v′s } (EnE ′′ m)c + + ∫ dx′′ { λ′jlm (x′ − x′′) + λ′jlm,s (x′ − x′′) v′s } (EnA ′′ m)c + + S′jl n (x′ − x) + S′jl n,s (x′ − x) v′s, де Sjn l (x− x′) = elms ∂Rjns (x− x′) ∂x′m , Sjn l,s (x− x′) = elmp ∂Rjnp,s (x− x′) ∂x′m , (54) а також σ′bl (x ′ − x) ≡ σ′bl (x ′ − x, ζ (x′)) , R′bl (x ′ − x) ≡ Rbl (x′ − x, ζ (x′)) (55) i т. д. У (53) з метою скорочення запису не вказано оцiнку наступного внеску в наведенi вирази, що було зроблено в (49) – (52). Зауважимо, що згортки в формулах (49) – (53) описують просторову дисперсiю введених нами матерiальних коефiцi- єнтiв середовища (43). Вiдповiдно до (48) величини (43) – (45) залежать вiд гiдродинамiчних змiн- них лише параметрично. Тому їх структура додатково визначається мiркуваннями iзотропiї. Наприклад, фур’є-образ σjn l ( ~k, ζ(x) ) функцiї σjn l (x− x′, ζ(x)) з (50) описує провiднiсть системи з урахуванням просторової дисперсiї i має структуру σjn l ( ~k, ζ ) = σt (k, ζ) δt nl + σl (k, ζ) k̃nk̃l, (56) яка визначає поперечну та поздовжню провiдностi. Зазначимо, що рiвняння для ЕМ поля i його бiнарних кореляцiй (36), (53) мають структуру, яка випливає з рiвняння Ланжевена ∂tEn (x, t) = c∆nlAl (x, t) + hn (x, t) − − 4π ∫ dx′ {σjnl (x− x′, ζ (x, t)) + σjnl,s (x− x′, ζ (x, t)) vs (x, t)}El (x′, t) − − 4π ∫ dx′ {λjnl (x− x′, ζ (x, t)) + λjnl,s (x− x′, ζ (x, t)) vs (x, t)}Al (x′, t) , (57) де hn (x, t) — випадкове поле. Цей результат можна назвати узагальненим прин- ципом Онзагера, оскiльки вiн означає, що рiвняння для середнього поля xi i його кореляцiй xixi′ мають вигляд ∂txi = ∑ i′ aii′xi′ , ∂txixi′ = ∑ i′′ (aii′′xi′′xi′ + ai′i′′xixi′′) + bii′ , (58) де aii′ , bii′ — деякi матрицi. Це зауваження дозволяє спростити дослiдження отри- маних рiвнянь (36), (37), (49) – (53). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6 864 О. Й. СОКОЛОВСЬКИЙ, А. А. СТУПКА Таким чином, поставлену в цiй роботi задачу розв’язано. Для випадку гiдроди- намiчного середовища отримано нову систему рiвнянь електродинамiки суцiльних середовищ, що враховує кореляцiї ЕМ поля як новi незалежнi параметри скороче- ного опису. 1. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики. – М.: Наука, 1977. – 368 с. 2. Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. Кинетические уравнения для электронов плазмы и излучаемых ими фотонов в сильном магнитном поле // Изв. вузов. Радиофизика. – 1963. – 6, № 6. – С. 1115 – 1128. 3. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Кинетика черного излучения // Докл. АН СССР. – 1971. – 200. – С. 1317 – 1321. 4. Пелетминский С. В., Приходько В. И., Щелоков В. С. Низкочастотная асимптотика электроди- намических функций Грина // Теорет. и мат. физика. – 1975. – 25, № 1. – С. 70 – 79. 5. Морозов В. Г., Репке Г., Хелль А. Кинетическая теория квантово-электродинамической плазмы в сильном электромагнитном поле. I. Ковариантный формализм // Там же. – 2002. – 131, № 3. – С. 432 – 455. 6. Морозов В. Г., Репке Г., Хелль А. Кинетическая теория квантово-электродинамической плазмы в сильном электромагнитном поле. II. Ковариантное приближение среднего поля // Там же. – 2002. – 132, № 1. – С. 161 – 176. 7. Соколовський О. Й., Ступка А. А. Кiнетична теорiя електромагнiтних процесiв у рiвноважному середовищi // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Фiзика, радiоелектронiка. – 2003. – Вип. 10. – С. 63 – 70. 8. Соколовський О. Й., Ступка А. А. Кiнетична теорiя електромагнiтних процесiв у гiдродина- мiчному середовищi // Там же. – 2004. – Вип. 11. – С. 95 – 107. 9. Соколовський О. Й., Ступка А. А. Моди електромагнiтного поля в рiвноважнiй плазмi // Вiсн. Харк. ун-ту. Сер. фiз. – 2004. – № 628, вип. 2(24). – С. 87 – 92. 10. Bohm D., Pines D. A collective description of electron interactions: III. Coulomb interactions in degenerate electron gas // Phys. Rev. – 1953. – 92. – P. 609 – 625. 11. Бом Д. Общая теория коллективных переменных. – М.: Мир, 1964. – 152 с. 12. Ковалевский М. Ю. К микроскопической теории заряженной сверхтекучей жидкости // Физика низк. температур. – 1986. – 2, № 11. – С. 1165 – 1171. 13. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. – М.: Наука, 1979. – 528 с. 14. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – М.; Л.: Гостех- издат, 1946. – 119 с. 15. Соколовський О. Й. До питання про кiнетику броунiвської частинки у нерiвноважнiй рiдинi // Укр. фiз. журн. – 1999. – 44, № 6. – С. 721 – 729. 16. Пелетминский С. В., Соколовский А. И. Операторы потоков физических величин и метод квазисредних // Теорет. и мат. физика. – 1974. – 18, № 1. – С. 121 – 129. Одержано 05.04.2005 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 6

Рівняння електродинаміки у гідродинамічному середовищі з урахуванням нерівноважних флуктуацій

Репозитарії

Схожі ресурси