Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165753 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II / В.В. Боденчук, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1011–1018. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165753 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657532020-02-17T01:26:31Z Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. Статті 2015 Article Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II / В.В. Боденчук, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1011–1018. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165753 517.51 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. |
| author_facet |
Боденчук, В.В. Сердюк, А.С. |
| author_sort |
Боденчук, В.В. |
| title |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II |
| title_short |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II |
| title_full |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II |
| title_fullStr |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II |
| title_full_unstemmed |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II |
| title_sort |
точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. ii |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165753 |
| citation_txt |
Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. II / В.В. Боденчук, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1011–1018. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bodenčukvv točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíjii AT serdûkas točníocínkikolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívanalítičnihfunkcíjii |
| first_indexed |
2025-07-14T19:49:06Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:49:06Z |
| _version_ |
1837653082410844160 |
| fulltext |
УДК 517.51
В. В. Боденчук, А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ
КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II
It is shown that the lower bounds in the space C established in the first part of our work for the Kolmogorov widths d2n
of the functional classes representable in the form of convolutions of the kernels
Hh,β(t) =
∞∑
k=1
1
ch kh
cos
(
kt− βπ
2
)
, h > 0, β ∈ R,
with functions ϕ ⊥ 1 from the unit ball in the space L∞ coincide (for all n > nh) with the best uniform approximations
by trigonometric polynomials whose order is not greater than n − 1 for these classes. As a result, we obtain the exact
values for the widths of the indicated classes of convolutions. Moreover, for all n > nh we establish the exact values of
the Kolmogorov widths d2n−1 in the space L1 of classes of convolutions of the functions ϕ ⊥ 1 from the unit ball in the
space L1 with kernel Hh,β .
Показано, что установленные в первой части работы оценки снизу колмогоровских поперечников d2n в пространстве
C для всех n > nh функциональных классов, которые представимы свертками ядер
Hh,β(t) =
∞∑
k=1
1
ch kh
cos
(
kt− βπ
2
)
, h > 0, β ∈ R,
с функциями ϕ ⊥ 1, принадлежащими единичному шару пространства L∞, совпадают с наилучшими равномер-
ными приближениями указанных классов тригонометрическими полиномами порядка, не превышающего n − 1.
Как следствие, найдены точные значения поперечников указанных классов сверток. Найдены также точные зна-
чения поперечников d2n−1 в пространстве L1 для всех n > nh классов сверток функций ϕ ⊥ 1, принадлежащих
единичному шару пространства L1, с ядром Hh,β .
Дана робота є продовженням статтi [1] i має спiльнi з нею позначення, нумерацiю пунктiв, тео-
рем, лем та формул. У нiй розв’язується задача про знаходження точних значень найкращих на-
ближень En(Chβ,∞)C i En(Chβ,1)L та точних значень поперечникiв d2n(Chβ,∞, C), d2n−1(C
h
β,∞, C)
i d2n−1(Chβ,1, L) для довiльних h > 0, β ∈ R та всiх натуральних n, бiльших за деякий номер,
що залежить лише вiд параметра h.
4. Оцiнки найкращих наближень класiв згорток тригонометричними полiномами. По-
значивши через T2n−1 пiдпростiр тригонометричних полiномiв tn−1 порядку n− 1, розглянемо
величину найкращого наближення центрально-симетричної множини N у банаховому просторi
X ⊂ L :
En(N)X = sup
f∈N
inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖X , N ⊂ X ⊂ L. (90)
Iз означення колмогоровського поперечника i (90) випливає, що при всiх n ∈ N
d2n−1(N, X) 6 En(N)X , N ⊂ X ⊂ L. (91)
З робiт Н. I. Ахiєзера [2] та С. М. Нiкольського [3] випливає, що при β = 2l, l ∈ Z, i
довiльних h > 0 та n ∈ N виконуються рiвностi
c© В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8 1011
1012 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
4
π
∞∑
ν=0
(−1)ν
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
,
де
ϕn(t) := sign sinnt. (92)
У даному пунктi ми покажемо, що при довiльних β ∈ R точнi значення величин En(Chβ,∞)C
таEn(Chβ,1)L для всiх номерiв n, починаючи з деякого n∗h, можна одержати на основi результатiв
роботи [4]. При цьому виявляється, що для всiх зазначених n рiвностi
En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C
залишаються правильними при довiльних β ∈ R.
Для кожного фiксованого h > 0 покладемо
n∗h =
1, якщо h > ln
10
3
,
n∗∗h , якщо 0 < h < ln
10
3
,
де n∗∗h — найменше натуральне число, для якого виконується нерiвнiсть
(1− e−h)2 >
5 + 3e−2h
1− e−2h
(
1 + e−2h
2
)2n
√
1−
(
1 + e−2h
2
)2n
+ (2 + e−2nh)e−2nh. (93)
Має мiсце таке твердження.
Теорема 3. Нехай h > 0 i β ∈ R. Тодi для всiх номерiв n таких, що n > n∗h, виконуються
рiвностi
En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
1
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (94)
в яких ϕn(t) — функцiя вигляду (92), а θn = θn(h, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння
∞∑
ν=0
1
ch((2ν + 1)nh)
cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
= 0. (95)
Доведення. В роботi [4] встановлено, що якщо послiдовнiсть коефiцiєнтiв ψ(k) ядра Ψβ
вигляду
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
,
яке породжує класи Cψβ,p, p = 1,∞, задовольняє умову Даламбера Dq:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II 1013
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ (0, 1), ψ(k) > 0,
то знайдеться номер n0 такий, що для будь-якого натурального n > n0 мають мiсце рiвностi
En(Cψβ,∞)C = En(Cψβ,1)L = ‖Ψβ ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
ψ((2ν + 1)n)
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (96)
в яких θn = θn(ψ, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння
∞∑
ν=0
ψ((2ν + 1)n) cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
= 0.
При цьому (див. [4, с. 188 – 190]) номер n0 означається конструктивно як найменше натуральне
число, для якого виконуються нерiвностi
(1− q)2 > 5 + 3q2
1− q2
(
1 + q2
2
)2n
√
1−
(
1 + q2
2
)2n
+ εn(2 + εn), n = n0, n0 + 1, . . . , (97)
де
εn = εn(ψ) := sup
k>n
∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
− q
∣∣∣∣ . (98)
Крiм того, згiдно з теоремою 2 роботи [4], рiвностi (96) справджуються для всiх β ∈ R i
n ∈ N за умови, що
ψ(k + 1)
ψ(k)
< ρ∗, k = 1, 2, . . . , де ρ∗ = 0,3253678 . . . — корiнь рiвняння
2ρ+
(1 + 3ρ)ρ2
(1− ρ)
√
1− 2ρ2
= 1
на iнтервалi (0,1).
Оскiльки коефiцiєнти ψ(k) =
1
ch kh
ядра Hh,β(t) задовольняють умову Dq при q = e−h
i вiдношення
ψ(k + 1)
ψ(k)
=
ch kh
ch(k + 1)h
= q
1 + q2k
1 + q2k+2
утворює спадну послiдовнiсть, то при
q ∈
(
0,
3
10
]
ψ(k + 1)
ψ(k)
6 q
1 + q2
1 + q4
6 0,3253678, k = 1, 2, . . . .
Отже, якщо h > ln
10
3
, то рiвностi (94) виконуються для всiх n ∈ N. При ψ(k) =
1
ch kh
для
величин εn = εn(ψ) вигляду (98) мають мiсце спiввiдношення
εn = q2k+1 1− q2
1 + q2k+2
< q2k+1, q = e−h.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1014 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
Тому виконання нерiвностi (93) гарантує виконання умови (97), а отже, згiдно з [4], i рiвностей
(94) для всiх номерiв n таких, що n > n∗∗h .
Теорему доведено.
5. Точнi значення колмогоровських поперечникiв. Нагадаємо, що для кожного фiксо-
ваного h > 0 через nh ми позначали найменший iз номерiв n > 9, для якого виконується
нерiвнiсть
37
5(1− e−h)
e−h
√
n +
e−h
(1− e−h)2
min
{
160
27(n−
√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
6
6
(
1
2
+
1
(1− e−h) chh
)(
1− e−h
1 + e−h
) 4
1−e−2h
.
У прийнятих позначеннях має мiсце наступне твердження.
Теорема 4. Нехай h > 0, β ∈ R. Тодi для всiх номерiв n таких, що n > nh, справджуються
рiвностi
d2n(Chβ,∞, C) = d2n−1(C
h
β,∞, C) = d2n−1(C
h
β,1, L) =
= En(Chβ,∞)C = En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
1
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (99)
де θn = θn(h, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння (95).
Доведення. З теорем 2 та 3, а також iз спiввiдношення (91) випливає, що рiвностi (99) мають
мiсце для всiх номерiв n > max{n∗h, nh}.
Покажемо, що nh > n∗h. При h > ln
10
3
вказана нерiвнiсть є очевидною, оскiльки в цьому
випадку n∗h = 1. Тому залишилося переконатись, що при h ∈
(
0, ln
10
3
)
nh > n∗h = n∗∗h .
Покладемо, як i ранiше, q = e−h. Тодi для доведення теореми достатньо показати, що при
q ∈
(
3
10
, 1
)
i n > 9 з нерiвностi
37
5(1− q)
q
√
n +
q
(1− q)2
min
{
160
27(n−
√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
6
6
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
(100)
випливає нерiвнiсть
(1− q)2 > 5 + 3q2
1− q2
(
1 + q2
2
)2n
√
1−
(
1 + q2
2
)2n
+ (2 + q2n)q2n. (101)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II 1015
Як доведено в [5, с. 106], при n > 9 i q ∈ (0, 1) з умови (89) випливає нерiвнiсть
n >
160q
57(1− q)2
(
1 + q
1− q
)3
.
Оскiльки
160q
57(1− q)2
(
1 + q
1− q
)3
>
8q(1 + q)
3(1− q)5
,
то з урахуванням очевидної iмплiкацiї (100) ⇒ (91) одержуємо, що з умови (100) при n > 9 i
q ∈ (0, 1) випливає нерiвнiсть
n >
8q(1 + q)
3(1− q)5
. (102)
Покажемо, що при q ∈
(
3
10
, 1
)
iз (102) випливає нерiвнiсть
n >
5
1− q2
ln
2
1− q
. (103)
Розглянемо рiзницю
v(q) =
8q(1 + q)
3(1− q)5
− 5
1− q2
ln
2
1− q
, q ∈
[
3
10
, 1
)
. (104)
Похiдна цiєї функцiї зростає i має вигляд
v′(q) =
8(1 + 6q + 3q2)
3(1− q)6
− 5
(1 + q)(1− q)2
(
2q
1 + q
ln
2
1− q
+ 1
)
. (105)
Iз вiдомого розкладу (див., наприклад, [6, с. 58])
ln t =
∞∑
k=1
1
k
(
t− 1
t
)k
, t >
1
2
, (106)
при t =
2
1− q
можемо записати оцiнку
ln
2
1− q
=
∞∑
k=1
1
k
(
1 + q
2
)k
<
∞∑
k=1
(
1 + q
2
)k
=
1 + q
1− q
. (107)
З огляду на (105) i (107) одержуємо
v′(q) >
8(1 + 6q + 3q2)
3(1− q)6
− 5
(1− q)3
.
Оскiльки v′(q) зростає i v′
(
3
10
)
> 0, то v′(q) > 0, q ∈
[
3
10
, 1
)
. Отже, v(q) також зростає
на промiжку
[
3
10
, 1
)
, а тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1016 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
v(q) > v
(
3
10
)
> 0, q ∈
[
3
10
, 1
)
. (108)
Iз (104) i (108) випливає, що при q ∈
(
3
10
, 1
)
(102)⇒ (103).
Нам залишилося довести iмплiкацiю (103)⇒ (101).
Записавши ланцюжок очевидних спiввiдношень
5 ln
2
1− q
> ln
16
(1− q)5
> ln
2(5 + 3q2)
(1− q2)(1− q)
+ 3
(1− q)2
> ln
5 + 3q2
1− q2
2√
3(1− q2)
+ 3
(1− q)2
i врахувавши нерiвнiсть
ln
2
1 + q2
>
1− q2
2
,
яка безпосередньо випливає з розкладу (106) при t =
2
1 + q2
, з (103) отримуємо
n >
1
2 ln
1 + q2
2
ln
5 + 3q2
1− q2
2√
3(1− q2)
+ 3
(1− q)2
.
Остання нерiвнiсть рiвносильна нерiвностi
(1− q)2 > 5 + 3q2
1− q2
(
1 + q2
2
)2n
√
1−
(
1 + q2
2
)2
+ 3
(
1 + q2
2
)2n
. (109)
Оскiльки 3
(
1 + q2
2
)2n
> (2 + q2n)q2n, то з (109) випливає (101). Таким чином,
(100)⇒ (102)⇒ (103)⇒ (101).
Теорему доведено.
При β = 2l − 1, l ∈ Z, iз теореми 4 одержуємо наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай h > 0, β = 2l − 1, l ∈ Z. Тодi для всiх номерiв n таких, що n > nh,
виконуються рiвностi
d2n(Chβ,∞, C) = d2n−1(C
h
β,∞, C) = d2n−1(C
h
β,1, L) = En(Chβ,∞)C =
= En(Chβ,1)L = ‖Hh,β ∗ ϕn‖C =
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
1
(2ν + 1) ch((2ν + 1)nh)
∣∣∣∣∣ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
ТОЧНI ОЦIНКИ КОЛМОГОРОВСЬКИХ ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ. II 1017
З теореми 4 легко одержати асимптотичнi при n→∞ оцiнки поперечникiв d2n(Chβ,∞, C),
d2n−1(C
h
β,∞, C) та d2n−1(Chβ,1, L).
Теорема 5. Нехай h > 0 та β ∈ R. Тодi при n > nh
d2n(Chβ,∞, C) = d2n−1(C
h
β,∞, C) = d2n−1(C
h
β,1, L) = En(Chβ,∞)C =
= En(Chβ,1)L =
1
chnh
(
4
π
+ γn
e−2nh
1− e−2nh
)
, (110)
де |γn| 6
28
3π
.
Доведення. Знайдемо двостороннi оцiнки правої частини формули (99). Оскiльки∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
6
2
3(1 + q2n)
q3n
1− q2n
, n ∈ N,
то, враховуючи (54), для довiльних n ∈ N, q ∈ (0, 1) i β ∈ R одержуємо∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ >
>
2qn
1 + q2n
− 2qn
1 + q2n
(
1− | sin(θnπ −
βπ
2
)|
)
−
−
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ >
>
2qn
1 + q2n
(
1− 7
3
q2n
1− q2n
)
, (111)
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6
2qn
1 + q2n
+
2qn
1 + q2n
(
1− | sin(θnπ −
βπ
2
)|
)
+
+
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
2q(2ν+1)n
(2ν + 1)(1 + q2(2ν+1)n)
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6
2qn
1 + q2n
(
1 +
7
3
q2n
1− q2n
)
. (112)
З теореми 4 та оцiнок (111) i (112) випливає, що при n > nh виконується (110).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1018 В. В. БОДЕНЧУК, А. С. СЕРДЮК
1. Сердюк А. С., Боденчук В. В. Точнi оцiнки колмогоровських поперечникiв класiв аналiтичних функцiй. I //
Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 6. – С. 719 – 738.
2. Ахиезер Н. И. О наилучшем приближении аналитических функций // Докл. АН. – 1938. – 18, № 4–5. –
C. 241 – 245.
3. Никольский С. М. Приближения функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1946. – 10. – С. 207 – 256.
4. Сердюк А. С. Про найкраще наближення на класах згорток перiодичних функцiй // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 35. – С. 172 – 194.
5. Serdyuk A. S., Bodenchuk V. V. Exact values of Kolmogorov widths of classes of Poisson integrals // J. Approxim.
Theory. – 2013. – 173, № 9. – P. 89 – 109.
6. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений: 4-е изд. – М.: Наука,
1963. – 1100 с.
Одержано 11.08.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|