Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова
Встановлено оцінку швидкості зближення розв'язку звичайного диференціального рівняння, що зазнає впливу ергодичного випадкового процесу, зі стаціонарним розв'язком детермінованої усередненої системи на інтервалах часу порядку e¹/ᵋᵖ для деяких 0<ρ<1....
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165791 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова / Б.В. Бондарев, Е.Е. Ковтун // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 879–894. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165791 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1657912020-02-17T01:26:45Z Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова Бондарев, Б.В. Ковтун, Е.Е. Статті Встановлено оцінку швидкості зближення розв'язку звичайного диференціального рівняння, що зазнає впливу ергодичного випадкового процесу, зі стаціонарним розв'язком детермінованої усередненої системи на інтервалах часу порядку e¹/ᵋᵖ для деяких 0<ρ<1. We establish an estimate for the rate at which a solution of an ordinary differential equation subject to the action of an ergodic random process converges to a stationary solution of a deterministic averaged system on time intervals of order e¹/ᵋᵖ for some 0<ρ<1. 2005 Article Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова / Б.В. Бондарев, Е.Е. Ковтун // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 879–894. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165791 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бондарев, Б.В. Ковтун, Е.Е. Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова Український математичний журнал |
| description |
Встановлено оцінку швидкості зближення розв'язку звичайного диференціального рівняння, що зазнає впливу ергодичного випадкового процесу, зі стаціонарним розв'язком детермінованої усередненої системи на інтервалах часу порядку e¹/ᵋᵖ для деяких 0<ρ<1. |
| format |
Article |
| author |
Бондарев, Б.В. Ковтун, Е.Е. |
| author_facet |
Бондарев, Б.В. Ковтун, Е.Е. |
| author_sort |
Бондарев, Б.В. |
| title |
Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова |
| title_short |
Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова |
| title_full |
Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова |
| title_fullStr |
Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова |
| title_full_unstemmed |
Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова |
| title_sort |
некоторый стохастический аналог второй теоремы н. н. боголюбова |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165791 |
| citation_txt |
Некоторый стохастический аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова / Б.В. Бондарев, Е.Е. Ковтун // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 879–894. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bondarevbv nekotoryjstohastičeskijanalogvtorojteoremynnbogolûbova AT kovtunee nekotoryjstohastičeskijanalogvtorojteoremynnbogolûbova |
| first_indexed |
2025-07-14T20:01:21Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:01:21Z |
| _version_ |
1837653855871959040 |
| fulltext |
UDK 519.21
B. V. Bondarev, E. E. Kovtun (Doneck. nac. un-t)
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH
VTOROJ TEOREMÁ N. N. BOHOLGBOVA
An estimate is established for the rate of convergence of a solution of ordinary differential equation
under influence of ergodic stochastic process to a stationary solution of a determined averaged system
on time intervals of order e
1 / ερ
for some 0 < ρ < 1.
Vstanovleno ocinku ßvydkosti zblyΩennq rozv’qzku zvyçajnoho dyferencial\noho rivnqnnq,
wo zazna[ vplyvu erhodyçnoho vypadkovoho procesu, zi stacionarnym rozv’qzkom determinovano]
useredneno] systemy na intervalax çasu porqdku e
1 / ερ
dlq deqkyx 0 < ρ < 1.
Vvedenye. Rassmotrym uravnenye
dξ ε ( t ) = ε a ( ξ ε ( t ), η ( t ) ) dt, ξ ε ( 0 ) = ξ0 , (1)
hde ε > 0 — mal¥j çyslovoj parametr, η ( t ) — sluçajn¥j process. Esly funk-
cyq a ( x, y ) rastet ne slyßkom b¥stro [1], to na kaΩdom koneçnom yntervale
vremeny [ 0, T ] reßenye uravnenyq (1) ravnomerno sxodytsq pry ε → 0 k
ξ0 ( t ) ≡ ξ0
. Odnako ob¥çno ynteres predstavlqet povedenye ξε ( t ) na otrezkax
vremeny porqdka 1 / ε y bol\ßyx, tak kak tol\ko na vremenax porqdka 1 / ε pro-
ysxodqt znaçym¥e yzmenenyq [1]. Pust\ funkcyq a ( x, y ) neprer¥vna po x, y,
ohranyçena y udovletvorqet uslovyg Lypßyca s konstantoj, ne zavysqwej ot
y. Esly suwestvuet ravnomerno po x y po t predel
lim P ,
T
t
t T
T
a x t dt a x
→ + ∞
+
( )( ) − ( ) >
∫1 η δ = 0, (2)
to moΩno dokazat\ tot fakt, çto pry ε → 0 ravnomerno na kaΩdom koneçnom
otrezke vremeny traektoryq ξ ε ( 1 / ε ) sxodytsq k reßenyg uravnenyq
dξ0 ( t ) = a t dt( )( )ξ0 , ξ0 ( 0 ) = ξ0 ,
a ymenno, dlq lgb¥x T > 0, δ > 0 ymeet mesto
lim P sup
ε
εξ
ε
ξ δ
→ ≤ ≤
− ( ) >
0 0
0
t T
t t = 0,
pryçem normyrovannaq raznost\
ξ ε ξ
ε
ε( ) − ( )/t t0
ne stremytsq, voobwe hovorq,
ny k kakomu predelu, a tol\ko ymeet predel\noe raspredelenye, koym qvlqetsq,
kak pravylo, raspredelenye nekotoroho dyffuzyonnoho processa. Otmetym,
çto
lim P sup lim P sup
/ε
ε
ε ε
εξ
ε
ξ δ ξ ξ ε δ
→ ≤ ≤ → ≤ ≤
− ( ) >
= ( ) − ( ) >
0 0
0
0 0
0
t T t T
t t t t = 0.
Kak otmeçeno v [1, s. 289], dlq v¥polnenyq uslovyq (2) dostatoçno, çtob¥ su-
westvovala funkcyq r ( x, s, τ ) takaq, çto
| M [ a ( x, η ( s ) ) – M a ( x, η ( s ) ) ] [ a ( x, η ( s + τ ) ) – M a ( x, η ( s + τ ) ) ] | ≤
≤ r ( x, s, τ ) → 0, τ → + ∞, (3)
© B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 879
880 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
ravnomerno po x, s ( oçevydno, çto v sluçae stacyonarnosty processa η ( t )
funkcyq r ( x, s, τ ) zavysyt tol\ko ot x, τ, t. e. r ( x, s, τ ) = r ( x, τ ) ).
V sluçae a x( ) = 0 pry lgbom x yz πtoho rezul\tata sleduet [1, s. 303], çto
za vremq [ 0, T / ε ] process ξ ε ( t ) ne otojdet na zametnoe rasstoqnye ot ξ0 .
Okaz¥vaetsq, çto v πtom sluçae peremewenyq porqdka 1 proysxodqt za vremen-
n¥e ynterval¥ porqdka 1 / ε2
. Po-vydymomu, na πtot fakt vperv¥e b¥lo obra-
weno vnymanye v rabote R. L. Stratonovyça [2]. Tam Ωe na fyzyçeskom urovne
strohosty ustanovleno, çto semejstvo processov ξε ( 1 / ε2
) pry nekotor¥x uslo-
vyqx slabo sxodytsq k nekotoromu dyffuzyonnomu processu, y v¥çyslen¥ xa-
rakterystyky predel\noho processa. Strohoe obosnovanye πtoho utverΩdenyq
b¥lo dano R. Z. Xas\mynskym [3]. Pry suwestvenno menee ohranyçytel\n¥x
predpoloΩenyqx dokazatel\stvo pryvedeno v rabote A. N. Borodyna [4] (sm.
takΩe [5]).
Vmeste s tem v determynyrovannom sluçae pry opredelenn¥x uslovyqx voz-
moΩno usrednenye y na beskoneçnom yntervale vremeny. ∏tot fakt yzvesten
kak vtoraq osnovnaq teorema N. N. Boholgbova [6 – 8]. V dannoj rabote avtor¥
postavyly pered soboj zadaçu: poluçyt\ analoh vtoroj teorem¥ N. N. Boholg-
bova v stoxastyçeskom sluçae. V stoxastyçeskom sluçae rezul\tat, analohyç-
n¥j vtoroj teoreme N. N. Boholgbova, v polnoj mere poluçyt\ ne udalos\; uda-
los\ lyß\ dokazat\ sblyΩenye reßenyj ysxodnoj system¥ so stacyonarn¥m
reßenyem usrednennoj system¥ na yntervalax vremeny porqdka e1 / ερ
dlq neko-
tor¥x 0 < ρ < 1.
Postanovka zadaçy. Neobxodym¥e svedenyq. Pust\ { Ω , �, P } — polnoe
veroqtnostnoe prostranstvo, { ≥ }�0 0t t, — neub¥vagwee semejstvo σ-alhebr,
{ ≥ }W tt
t, ,�0 0 — odnomern¥j standartn¥j vynerovskyj process. Pust\
dη ( t ) = b ( η ( t ) ) dt + σ ( η ( t ) ) dWt , t ≥ 0, (4)
s naçal\n¥m uslovyem η0 .
Otnosytel\no koπffycyentov uravnenyq (2) budem predpolahat\ v¥polne-
nye uslovyq: γ ≤ σ2
( x ) ≤ 1 / γ, γ ∈ ( 0, 1 ], funkcyy b ( x ), σ ( x ) peryodyçn¥ s pe-
ryodom 1, koπffycyent¥ b ( x ), σ2
( x ) ymegt ohranyçenn¥e hel\derov¥ pro-
yzvodn¥e.
Funkcyq a ( x, y ) peryodyçna po y s peryodom 1, t. e. a ( x, y + 1 ) = a ( x, y )
dlq lgboho x, y. Budem takΩe predpolahat\, çto | a ( x, y ) | ≤ C < + ∞, çastn¥e
proyzvodn¥e pervoho porqdka funkcyy a ( x, y ) ohranyçen¥ postoqnnoj K y
ravnomerno neprer¥vn¥ po x, vtoraq çastnaq proyzvodnaq po x ohranyçena
postoqnnoj K . ∏ty ohranyçenyq nazovem uslovyem (A). Oboznaçym
ϑ ( x ) = exp
2
2
0
b y dy
y
x ( )
( )
∫ σ
,
tohda
ρ ( x ) =
ϑ ϑ ϑ
σ ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ
σ ϑ ϑ
( ) ( + ) ( )
( ) ( ) − ( + )
( ) ( + ) ( )
( ) ( ) − ( + )
−+ −+ −
∫ ∫∫[ ] [ ]
x x y dy
x x x
x x y dy
x x x
dxx
x
x
x
1
1
1
1
11
2
11
2
0
1
1
, (5)
esly
b x
x
dx
( )
( )∫ σ2
0
1
≠ 0,
y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH VTOROJ TEOREMÁ … 881
ρ ( x ) = ϑ
σ
ϑ
σ
( )
( )
( )
( )
∫
−
x
x
y
y
dy2 2
0
1 1
, (6)
esly
b y
y
dy
( )
( )∫ σ2
0
1
= 0,
budet plotnost\g πrhodyçeskoj mer¥, sootvetstvugwej reßenyg uravnenyq
(2), pryçem ρ ( x ) — reßenye peryodyçeskoj zadaçy
L*
ρ = 1
2
2 2
2
d x x
dx
d x b x
dx
( ) ( )( ) ( ) − ( ) ( )ρ σ ρ
= 0,
(7)
ρ ( x ) = ρ ( x + 1 ),
odnoznaçno opredelqetsq uslovyem normyrovky
ρ( )∫ x dx
0
1
= 1.
Rassmotrym zadaçu
1
2
2
2
2σ ( ) + ( ) = ( ) − ( )y d U
dy
b y dU
dy
a x y a x, , (8)
U ( x, y ) = U ( x, y + 1 ), ′ ( ) = ′ ( + )U x y U x yy y, , 1 ,
hde
a x a x y y dy( ) = ( ) ( )∫ , ρ
0
1
, (9)
a ρ ( x ) opredeleno v (5) lybo v (6). Zametym, çto pry v¥polnenyy uslovyq (A)
suwestvuet plotnost\ veroqtnosty perexoda u processa η ( s ) [9, s. 371] y ymeet
mesto πksponencyal\no b¥straq sxodymost\ k πrhodyçeskomu raspredelenyg [9,
s. 373]. Kak yzvestno [10, s. 466], πtoho dostatoçno dlq toho, çtob¥ ymelos\
πksponencyal\no b¥stroe ravnomerno syl\noe peremeßyvanye u processa η ( s ),
çto v svog oçered\ vleçet za soboj v¥polnenye uslovyq (2) (sm., naprymer, [10,
s.P392]), a | a ( x, y ) | ≤ C < + ∞.
Pust\ snaçala
b y
y
dy
( )
( )∫ σ2
0
1
≠ 0,
tohda a x( ) naxodytsq po formule (9), hde ρ ( x ) opredeleno v (5). Poskol\ku
[ ]( ) − ( ) ( )∫ a x y a x y dy, ρ
0
1
= 0,
v sylu teorem Fredhol\ma [11] reßenye U ( x, y ) zadaçy (8) suwestvuet.
Kak netrudno zametyt\, v πtom sluçae
ψ ( x, y ) = ∂
∂
( ) =
( ) ( ) − ( )
( )
( + ) − ( )
[ ]+
∫U
y
x y
z
a x z a x
z
dz
y y
y
y
,
,ϑ
σ
ϑ ϑ
2
1
2
1
.
Esly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
882 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
b y
y
dy
( )
( )∫ σ2
0
1
= 0,
to reßenyem zadaçy (8) budet
ψ ( x, y ) = C ϑ–
1
( y ) + ψ0 ( x, y ),
hde ψ0 ( x, y ) — nekotoroe çastnoe peryodyçeskoe reßenye zadaçy (8).
Pust\ | ψ ( x, y ) | ≤ D1 < + ∞. Zametym, çto esly
ψ( )∫ x y dy,
0
1
≡ 0,
to naxoΩdenye v qvnom vyde funkcyy U ( x, y ) neobqzatel\no, dostatoçno znat\
lyß\ ocenku ee modulq, kotoraq neposredstvenno sleduet yz neravenstva
sup sup , sup ,
x y x
U x y x y dy
< + ∞ ≤ ≤ < + ∞
( ) ≤ ( )∫
0 1 0
1
ψ ≤ D1 < + ∞. (10)
Postroenye πksponencyal\n¥x neravenstv. PokaΩem, çto spravedlyva
ocenka vyda
P sup ,
0
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
[ ]( ( )) − ( ) > + +
∫
t R T t
t T
T
a x t a x ds
C D
T
η δ ≤
≤ 2
2
2
1
2R T
T
D
( ) −
exp
δ γ
.
Pust\ U ( x, y ) — reßenye zadaçy (8). Yzvestno [11], çto funkcyq U ( x, y )
ymeet dostatoçnug hladkost\ po y. Prymenqq formulu Yto [12] k processu
U ( x, η ( t ) ), poluçaem
dt U ( x, η ( t ) ) = L U ( x, η ( t ) ) dt + σ ( η ( t ) )
dU x t
dy
dWt
( )( ), η
. (11)
Yz (11) v sylu (8) sleduet
dt U ( x, η ( t ) ) = [ ] ( ) ( )( ( )) − ( ) + ( ) ( )
a x t a x dt t
dU x t
dy
dWt,
,η σ η η
. (12)
Yntehryruq (12), ymeem
1
T
a x t a x ds
t
t T
[ ]( ( )) − ( )
+
∫ , η =
=
− ( + ) + ( ) − ( ) ( )( ) ( ) ( )+
∫U x t T U x t
T T
dU x s
dy
dW
t
t T
s s
, , ,η η σ ξ η1
.
Dalee, pust\ R ( T ) → + ∞, T → + ∞, [ R ( T ) ] — celaq çast\. Tohda
P sup ,
0
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
[ ]( ( )) − ( ) > + +
∫
t R T t
t T
T
a x t a x ds
C D
T
η δ ≤
≤ P sup sup ,
0 1 1
11 2 2
≤ ≤[ ( )]− ≤ ≤ +
+
[ ]( ( )) − ( ) > + +
∫
k R T k t k t
t T
T
a x t a x ds
C D
T
η δ ≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH VTOROJ TEOREMÁ … 883
≤ P sup ,
0 1
11 2
≤ ≤[ ( )]−
+
[ ]( ( )) − ( ) > +
∫
k R T k
k T
T
a x t a x ds
D
T
η δ ≤
≤ P sup
,
0 1
1
≤ ≤[ ( )]−
+
( ) ( )( ) ( ) >
∫
k R T
s
k
k T
T
s
dU x s
dy
dWσ η η δ ≤
≤ P
,1
0
1
T
s
dU x s
dy
dWs
k
k T
k
R T
σ η η δ( ) ( )( ) ( ) >
+
=
[ ( )]−
∫∑ . (13)
Dalee netrudno ubedyt\sq v tom, çto
M exp
, ,± ( ) ( ) − ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )++
∫∫z
T
s
dU x s
dy
dW z
T
s
dU x s
dy
dss
k
k T
k
k T
σ η η σ η η2
2
2
2
= 1.
. (14)
Dejstvytel\no, pust\
ξ σ η η σ η η
k s
k
t
k
t
t
z
T
s
dU x s
dy
dW z
T
s
dU x s
dy
ds±( ) = ± ( ) ( ) − ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ , ,2
2
2
2
.
Po formule Yto posle yntehryrovanyq ymeem
l l s
dU x s
dy
dWk kk s
s
k
k
ξ ξ σ η η± ±( + ) ( )
+
= ± ( ) ( )( ) ( )∫1
1
1
,
,
otkuda y sleduet (14). Dalee,
P
,1
T
s
dU x s
dy
dWs
k
k T
σ η η δ( ) ( )( ) ( ) >
+
∫ ≤
≤ P
,1
T
s
dU x s
dy
dW Ts
k
k T
σ η η δ( ) ( )( ) ( ) >
+
∫ +
+ P
,− ( ) ( ) >
( ) ( )+
∫1
T
s
dU x s
dy
dW Ts
k
k T
σ η η δ ≤
≤ P
,
( ) ( )
+
∫ ( ) ( )z
T
s
dU x s
dy
dW
k
k T
sσ η η
–
– z
T
s
dU x s
dy
ds z T
z D
k
k T2
2
2 2
1
2
2 2
σ η η δ
γ
( ) ( )( ) ( )
> −
+
∫ ,
+
+ P
,
− ( ) ( )
+
∫ ( ) ( )z
T
s
dU x s
dy
dW
k
k T
sσ η η
–
– z
T
s
dU x s
dy
ds z T
z D
k
k T2
2
2 2
1
2
2 2
σ η η δ
γ
( ) ( )( ) ( )
> −
+
∫ ,
≤
≤ 2
2
2
1
2
exp − +
z T
z Dδ
γ
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
884 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
Mynymyzyruq pravug çast\ posledneho neravenstva po z > 0, pry z =
δγ T
D1
2
poluçaem
P
,
exp1 2
2
2
1
2T
s
dU x s
dy
dW
T
D
s
k
k T
σ η η δ δ γ( ) ( )( ) ( ) >
≤ −
+
∫ . (15)
Yz (13) y (15) sleduet
P sup , exp
0
1
2
1
2
1 2 2
2
2≤ ≤ ( )
+
[ ]( ( )) − ( ) > + +
≤ ( ) −
∫
t R T t
t T
T
a x t a x ds
C D
T
R T
T
D
η δ δ γ
.
(16)
Ocenka pryblyΩenyq reßenyq ysxodnoj system¥ stacyonarn¥m reße-
nyem usrednennoj. Pust\ ξ0 ( t ) — reßenye zadaçy
dξ0 ( t ) = a t dt( )( )ξ0 , ξ0 ( 0 ) = ξ0 . (17)
V sylu uslovyj, naloΩenn¥x na a ( x, y ), dlq a x( ) ymeem [8, s. 72] lypßyce-
vost\ y ohranyçennost\ s temy Ωe postoqnn¥my. PredpoloΩym, çto uravnenye
(17) ymeet „kvazystatyçeskoe” reßenye [8], t. e.
ξ0 ( t ) ≡ ξ0 , a t( )( )ξ0 = 0.
Pust\
da x
dx x
( )
= ξ0
= H < 0,
ξε ( t ) = ξ0 + b ( ε, t ).
Tohda uravnenye (1) moΩno perepysat\ v vyde [8, s. 91]
db
dt
Hb B b t= + ( )( )ε ε η, , (18)
hde
B b t Z b t a b
da x
dx
b
x
( ) ( )( ) = + ( ) + ( + ) − ( )
=
, ,η ξ η ξ
ξ
0 0
0
,
Z b t a b t a b( ) ( )+ ( ) = + ( ) − ( + )ξ η ξ η ξ0 0 0, , .
Yz (16) ymeem
P sup ,
0
0 0
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
[ ( ) ]+ ( ) − ( + ) > + +
∫
t R T t
t T
T
a b t a b ds
C D
T
ξ η ξ δ ≤
≤ 2
2
2
1
2R T
T
D
( ) −
exp
δ γ
.
Otsgda, oboznaçaq
B b a b a
da x
dx
b
x
( ) = ( + ) − ( ) − ( )
=
ξ ξ
ξ
0 0
0
,
∂ ( )
∂
= ∂ ( + )
∂
− ( )
=
B b
b
a b
b
da x
dx x
ξ
ξ
0
0
,
poluçaem ocenky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH VTOROJ TEOREMÁ … 885
P sup ,
0
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
[ ( ) ]( ) − ( ) > + +
∫
t R T t
t T
T
B b t dt B b ds
C D
T
η δ ≤
≤ 2
2
2
1
2R T
T
D
( ) −
exp
δ γ
,
P sup
,
0
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
∂ ( )
∂
− ∂ ( )
∂
> + +
( )∫
t R T t
t T
T
B b t
b
B b
b
ds
C D
T
η δ ≤
≤ 2
2
2
1
2R T
T
D
( ) −
exp
δ γ
.
Poskol\ku [8, s. 92] pry b = 0 B ( 0 ) = 0,
∂ ( )
∂
=
B b
b b 0
= 0, to
| B ( b1 ) – B ( b2 ) | ≤ η ( δ ) | b1 – b2 |,
hde η ( δ ) → 0, δ → 0, esly | b1 | ≤ δ, | b2 | ≤ δ.
Rassmotrym funkcyy
B1 ( b, η ( t ) ) = B ( b, η ( t ) ) – B ( b ),
∂ ( )
∂
= ∂ ( )
∂
− ∂ ( )
∂
( ) ( )B b t
b
B b t
b
B b
b
1 , ,η η
.
Oçevydno, çto
P sup , exp
0
1
1
2
1
2
1 2 2
2
2≤ ≤ ( )
+
( )( ) > + +
≤ ( ) −
∫
t R T t
t T
T
B b t ds
C D
T
R T
T
D
η δ δ γ
, (19)
P sup
,
exp
0
1 1
2
1
2
1 2 2
2
2≤ ≤ ( )
+
∂ ( )
∂
> + +
≤ ( ) −
( )∫
t R T t
t T
T
B b t
b
ds
C D
T
R T
T
D
η δ δ γ
. (20)
Pust\
B1θ ( t, b ) = e B b dt
t
− ( − ) ( )( )∫ θ τ η τ τ1
0
, ,
(21)
∂ ( )
∂
= ∂ ( )
∂
− ( − ) ( )∫
B t b
b
e
B b
b
dt
t
1 1
0
θ θ τ η τ τ, ,
,
θ — poka proyzvol\n¥j poloΩytel\n¥j parametr.
Yz (21) ymeem
dB t b
dt
B t b B b t1
1 1
θ
θθ η( ) = − ( ) + ( )( ),
, , , (22)
otkuda
dB s b
dt
ds B s b ds B b s ds
t
t T
t
t T
t
t T
1
1 1
θ
θθ η( ) = − ( ) + ( )
+ + +
∫ ∫ ∫ ( ),
, , . (23)
Poskol\ku
dB s b
dt
ds d
dt
B s b ds
t
t T
t
t T
1
1
θ
θ
( ) = ( )
+ +
∫ ∫
,
, ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
886 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
yz (23) poluçaem
d
dt
B s b ds B s b ds B b s ds
t
t T
t
t T
t
t T
1 1 1θ θθ η( ) = − ( ) + ( )
+ + +
∫ ∫ ∫ ( ), , , .
Dalee, tak
e d
dt
B s b ds B s b ds e B b s dst
t
t T
t
t T
t
t
t T
θ
θ θ
θθ η1 1 1( ) + ( )
= ( )
+ + +
∫ ∫ ∫ ( ), , , ,
t. e.
d
dt
e B s b ds e B b s dst
t
t T
t
t
t T
θ
θ
θ η1 1( ) = ( )
+ +
∫ ∫ ( ), , ,
to
e B s b ds e B b d dst
t
t T t
s
t
t T
θ
θ
θ η τ τ1 1( ) = ( )
+
− ∞
+
∫ ∫ ∫ ( ), , .
Sohlasno teoreme o srednem
θ θ η τ τθ
θ θB s b e
T
B b d ds
t
s t
s
s T
1
0
1
1( ) = ( )∫ ∫−
+
( )˜, , . (24)
Yz (24) s uçetom (19) sleduet ocenka
P sup , exp
0
1
1
2
1
2
2 2
2
2≤ ≤ ( )
( ) > + +
≤ ( ) −
t R T
B t b
C D
T
R T
T
D
θ δ δ γ
θ .
Dejstvytel\no,
P sup ,
0
1
12 2
≤ ≤ ( )
( ) > + +
t R T
B t b
C D
T
θ δθ =
= P sup ,
( ) > + +
≤ ≤ ( )0
1
12 2
t R T
B t b
C D
T
θ δθ ,
sup ,
0
1
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
( )( ) ≤ + +
∫
t R T t
t T
T
B b t ds
C D
T
η δ +
+ P sup ,
( ) > + +
≤ ≤ ( )0
1
12 2
t R T
B t b
C D
T
θ δθ ,
sup ,
0
1
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
( )( ) > + +
∫
t R T t
t T
T
B b t ds
C D
T
η δ ≤
≤ P sup ,
( ) > + +
≤ ≤ ( )
+
( )∫
0
1
11 2 2
t R T t
t T
T
B b t ds
C D
T
η δ , (25)
tak kak
P sup ,
( ) > + +
≤ ≤ ( )0
1
12 2
t R T
B t b
C D
T
θ δθ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH VTOROJ TEOREMÁ … 887
sup ,
0
1
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
( )( ) ≤ + +
∫
t R T t
t T
T
B b t ds
C D
T
η δ ≤
≤ P
+ +
( − ) > + +
− ( )δ δθ2 2
1
2 21 1C D
T
e
C D
T
R T ,
sup ,
0
1
11 2 2
≤ ≤ ( )
+
( )( ) ≤ + +
∫
t R T t
t T
T
B b t ds
C D
T
η δ = 0.
Analohyçno tomu, kak b¥la poluçena ocenka (25), ymeem
P sup
,
0
1 12 2
≤ ≤ ( )
∂ ( )
∂
> + +
t R T
B t b
b
C D
T
θ δθ ≤
≤ P sup ,
( ) > + +
≤ ≤ ( )
+
( )∫
0
1
11 2 2
t R T t
t T
T
B b t ds
C D
T
η δ . (26)
Yz (25) y (26) s uçetom (19), (20) poluçaem
P sup , exp
0
1
1
2
1
2
2 2
2
2≤ ≤ ( )
( ) > + +
≤ ( ) −
t R T
B t b
C D
T
R T
T
D
θ δ δ γ
θ ,
P sup
,
exp
0
1 1
2
1
2
2 2
2
2≤ ≤ ( )
∂ ( )
∂
> + +
≤ ( ) −
t R T
B t b
b
C D
T
R T
T
D
θ δ δ γθ
.
Dal\nejßye rassuΩdenyq provodqtsq sohlasno sxeme yz [8].
Oboznaçym b = h + ε ϑ ( t, h ), hde ϑ ( t, h ) = B1θ ( t, h ). Tohda uravnenye (18)
prymet vyd
dh
dt h
dh
dt t
Hh H B h t+ ∂
∂
= − ∂
∂
− − + + ( )( )ε ε ε ε ε ε ηϑ ϑ ϑ ϑ2 , . (27)
Yz (22) ymeem
∂
∂
= − + ( ) − ( )( )ϑ ϑ
t
B b t B bθ η, .
Podstavlqq znaçenye
∂
∂
ϑ
t
v uravnenye (27), poluçaem
dh
dt h
dh
dt
t h Hh H t h+ ∂
∂
= ( ) − − ( )ε εθ ε εϑ ϑ ϑ, ,2 +
+ ε ε η ε η εB h t B h t B h( ) ( )+ ( ) − ( ) + ( )ϑ, , . (28)
Pust\ θ = ε,
L ( t, h, ε ) = ε ϑ ( t, h ) – ε H ϑ ( t, h ) + B ( h + ε ϑ, η ( t ) ) – B ( h, η ( t ) ),
tohda
1 + ∂
∂
ε ϑ
h
dh
dt
dt = – ε H h + ε L ( t, h, ε ) + ε B ( h ).
PoloΩym T = 1 / ε, tohda
P sup
,
exp
0
1
2
1
22 2 2 1
2≤ ≤ ( )
∂ ( )
∂
> + ( + )
≤
−
t R T
t h
h
C D R
D
ε δ ε
ε
δ γ
ε
ϑ
.
Yz (28) ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
888 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
dh
dt h
= + ∂
∂
−
1
1
ε ϑ
[ – ε H h + ε L ( t, h, ε ) + ε B ( h ) ]. (29)
Perexodq v (29) k b¥stromu vremeny, poluçaem
hε ( t ) = 1
1
0
+ ∂
∂
−
∫ ε ϑ
h
t
[ – H hε ( s ) + L ( s, hε ( s ), ε ) + B ( hε ( s ) ) ] ds. (30)
Uravnenye (30) moΩno zapysat\ v vyde
hε ( t ) = − ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ∂
∂
+ ∂
∂
( ) ( )
−
∫ Hh s L s h s B h s h s H
h h
ds
t
ε ε ε εε ε ε, , ϑ ϑ1
1
0
.
(31)
Pust\
Q ( t, h, ε ) = L s h B h hH
h h
( ) + ( ) + ∂
∂
+ ∂
∂
−
, , ε ε εϑ ϑ1
1
y sob¥tye A ( δ, ε ) opredeleno kak
A ( δ, ε ) =
∂ ( )
∂
≤ ( ) + ( + )
≤ ≤ ( )
sup
,
0
12 2
t R T
t h
h
C Dε δ ε εϑ
,
sup ,
0
12 2
≤ ≤ ( )
( ) ≤ ( ) + ( + )
t R T
t h C Dε δ ε εϑ ,
hde
δ ( ε ) → 0, ε → 0, δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) < 1, ε ≤ ε0 .
Poskol\ku
∂ ( )
∂
= ( + ) ∂ ( )
∂
+ ∂ ( )
∂
( )( )L t h
h
H
t h
h
B h t
h
t h
, , , ˜,
,
ε ε η ε1
ϑ ϑ ,
na A ( δ, ε ) ymeem
∂ ( )
∂
L t h
h
, , ε
≤ 2 ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ),
Q t
h
L t B( ) = + ∂
∂
( ) + ( )( )
−
, , , ,0 1 0 0
1
ε ε εϑ ≤
≤ [ 1 – ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ]
–
1 ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) = α ( ε )
v sylu toho, çto
L t B t H B t t B t( ) + ( ) = ( ) ( + ) + ( )
−
, , , , , ,0 0 0 1 0 0ε ε ε η
ε
η
ε
ϑ ϑ ≤
≤ | ε ϑ ( t, 0 ) | ( 1 + H + K ).
Dalee,
| Q ( t, h, ε ) – Q ( t, 0, ε ) | ≤ λ ( ε, h ) | h |,
hde
λ ( ε, h ) =
∂ ( )
∂
Q t h
h
, , ε
≤ ( 2 ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) +
+ K | h |
2
+ δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) + 2 K H | h | +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH VTOROJ TEOREMÁ … 889
+ ( ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) + K | h | +
+ H | h | ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ) 2 K ) [ 1 – ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ]
–
2
→ 0,
ε → 0, | h | → 0.
Zdes\
d a x y
dx
2
2
( ),
≤ K < + ∞.
Dejstvytel\no,
ε ε η τ τθ ε τ∂
∂
= ∂ ( )
∂
= ∂ ( )
∂
− ( − ) ( )∫
2
2
2
1
2
2
1
2
0
ϑ
h
B t h
h
e
B h
h
dt
t
, ,
=
= ε η τ τε τe
a h a h
h
dt
t
− ( − ) ∂ ( ) − ( )
∂
[ ( ) ]∫
2
2
0
,
,
otkuda
ε ∂
∂
≤
2
2 2ϑ
h
K ,
∂ ( )
∂
= ∂ ( )
∂
+ ∂ ( )
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
−Q t h
h
L s h
h
B h
h
H
h
hH
h h
, , , ,ε ε ε ε εϑ ϑ ϑ2
2
2
1 –
– L s h B h hH
h h h
( ) + ( ) + ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
−
, , ε ε ε εϑ ϑ ϑ2
2
2
1 ,
∂ ( )
∂
Q t h
h
, , ε
≤ ( 2 ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) +
+ K | h |
2
+ δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) + 2 K H | h | +
+ ( ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) + K | h | +
+ H | h | ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ) 2 K ) [ 1 – ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ]
–
2
= λ ( ε, h ).
Rassmotrym klass F RD 0 1,
ε
zadann¥x na 0 1, R
ε
ohranyçenn¥x ne-
prer¥vn¥x funkcyj, f ∈ F RD 0 1,
ε
: sup
/0 1≤ ≤ ( )t R
f
ε
≤ D < + ∞. Budem ras-
smatryvat\ preobrazovanye S , perevodqwee funkcyg f ∈ F RD 0 1,
ε
:
sup
/0 1≤ ≤ ( )t R
f
ε
≤ D < + ∞ v funkcyg
S ( f ) = e e Q s f dsHt Hs
t
− ( )∫ , , ε
0
. (32)
Yz preobrazovanyq (32) sleduet
| S ( f ) | = e e Q s f dsHt Hs
t
− ( )∫ , , ε
0
≤
≤ e e ds e e D D ds
H
D DtH sH
t
tH sH
t
− −( ) + ( ) ≤ ( ) + ( )∫ ∫ [ ]α ε λ ε α ε λ ε
0 0
1, , .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
890 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
V¥byraq ε > 0, D dostatoçno mal¥my, poluçaem
sup
/0 1≤ ≤ ( )
( )
t R
S f
ε
≤ D < + ∞.
Poslednee budet ymet\ mesto, esly, naprymer,
1
H D
D
α ε λ ε( ) + ( )
, ≤ 1.
Takym obrazom, ustanovleno, çto preobrazovanye S dejstvuet yz F RD 0 1,
ε
v F RD 0 1,
ε
.
Dalee,
| S ( f1 ) – S ( f2 ) | ≤ e e Q s f Q s f dsHt Hs
t
− ( ) − ( )∫ , , , ,1 2
0
ε ε ≤
≤ e e D f s f s dsHt Hs
t
s R
−
≤ ≤ ( )
( ) ( ) − ( )∫ λ ε
ε
, sup
/0 0 1
1 2 =
= 1 1
20 1
1 2
0 1
1 2H
D f s f s f s f s
s R s R
λ ε
ε ε
( ) ( ) − ( ) ≤ ( ) − ( )
≤ ≤ ( ) ≤ ≤ ( )
, sup sup
/ /
,
t. e. pry
1 1
2H
Dλ ε( ) ≤,
ymeem
| S ( f1 ) – S ( f2 ) | ≤ 1
2 0 1
1 2sup
/≤ ≤ ( )
( ) − ( )
s R
f s f s
ε
.
Yz posledneho neravenstva sleduet, çto preobrazovanye S ( f ) — sΩymagwyj
operator, otobraΩagwyj polnoe normyrovannoe prostranstvo na sebq. V sylu
teorem¥ Banaxa uravnenye
f = S ( f )
ymeet edynstvennoe reßenye. Oboznaçym πto reßenye çerez f . PokaΩem, çto
f t( ) = hε ( t ). Dejstvytel\no, tak kak
f t e e Q s f dsHt Hs
t
( ) = ( )− ∫ , , ε
0
, (33)
prodyfferencyrovav (33), poluçym
f t Hf s L s f s B f s f s H
h h
ds
t
( ) = − ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ∂
∂
+ ∂
∂
( ) ( )
−
∫ , , ε ε εϑ ϑ1
1
0
,
t. e. f t( ) qvlqetsq reßenyem uravnenyq (31). Yz (33) sleduet, çto
sup
/0 1≤ ≤ ( )
( )
t R
h t
ε
ε = sup
/0 1≤ ≤ ( )
( )
t R
f t
ε
≤ D < + ∞.
V¥byraq D = D ( ε ) tak, çto
α ε
ε
λ ε ε( )
( )
+ ( )
( )
D
D, ≤ H,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH VTOROJ TEOREMÁ … 891
ymeem
sup
/0 1≤ ≤ ( )
( )
t R
h t
ε
ε ≤ D ( ε ).
Zdes\
λ ( ε, D ( ε ) ) = ( 2 ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) +
+ K D
2
( ε ) + δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) + 2 K H D ( ε ) +
+ ( ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) + K D ( ε ) +
+ H D
2
( ε ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ) 2 K ) [ 1 – ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ]
–
2
.
Takym obrazom, çtob¥ najty D ( ε ), nado dokazat\ neravenstvo
[ 1 – ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ] ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) )
1
D( )ε
+
+ ( 2 ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) + K D
2
( ε ) + δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) +
+ 2 K H D ( ε ) + ( ( 1 + H + K ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) + K D ( ε ) +
+ H D
2
( ε ) ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) ) 2 K ) + 2 ( δ ( ε ) + ε ( 2C + 2D1 ) ) H ≤ H. (34)
UkaΩem podxodqwyj varyant. Pust\ δ ( ε ) = ε4
, D ( ε ) = ε8
, tohda dostatoç-
n¥m dlq v¥polnenyq (34) budet v¥polnenye neravenstva
ε8 ( 2 ( 4 + 5 K H + 2K ) ( 4 + ( 2C + 2D1 ) ) ≤ H, (35)
t. e. ε > 0 nastol\ko malo, çto v¥polneno (35). Tohda v kaçestve D ( ε ) moΩno
yspol\zovat\ D ( ε ) = ε8
. V sylu toho, çto pry ε → 0
2 1
2 1
2R
Dε
εγ
ε
−
exp → 0,
v kaçestve R 1
ε
moΩno yspol\zovat\
R o
D
1
2 1
2ε
γ
ε
=
exp → + ∞, ε → 0.
Naprymer,
R
D
1 2
28
1
2ε
γ
ε
=
exp → + ∞, ε → 0.
Na osnovanyy yzloΩennoho v¥ße netrudno poluçyt\ ocenku
P sup
exp /0 2 2
0
8 4
1
8
1
2
2 2
≤ ≤ ( ){ }
( ) − > + + ( + )
t D
t C D
γ ε
εξ ξ ε ε ε ≤
≤ P sup ,
exp /0 2 2
8 4
1
8
1
2
2 2
≤ ≤ ( ){ }
( ) + ( ) > + + ( + )
t D
h t t h C D
γ ε
ε ε ε εϑ =
=
P sup , ,
exp /0 2 2
8 4
1
4
8
1
2
2 2
≤ ≤ ( ){ }
( ) + ( ) > + + ( + )
( )
t D
h t t h C D A
γ ε
ε ε ε ε ε εϑ ∩ +
+ P , P , exp expA A
D D
( ){ } = ( ){ } ≤ −
ε ε ε ε γ
ε
γ
ε
4 4
1
2 4
1
28
2 2
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
892 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
= 8
2
1
1
2
4exp − −[ ]
γ
ε
ε
D
.
Poslednyj rezul\tat moΩno sformulyrovat\ v vyde sledugweho utverΩdenyq.
Teorema. Pust\ dana systema uravnenyj (1) y (2). Otnosytel\no koπf-
fycyentov uravnenyq (2) budem predpolahat\ v¥polnenn¥my uslovyq (A).
Pust\
ρ ( x ) =
ϑ ϑ ϑ
σ ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ
σ ϑ ϑ
( ) ( + ) ( )
( ) ( ) − ( + )
( ) ( + ) ( )
( ) ( ) − ( + )
−+ −+ −
∫ ∫∫[ ] [ ]
x x y dy
x x x
x x y dy
x x x
dxx
x
x
x
1
1
1
1
11
2
11
2
0
1
1
,
esly
b x
x
dx
( )
( )∫ σ2
0
1
≠ 0, (36)
lybo
ρ ( x ) = ϑ
σ
ϑ
σ
( )
( )
( )
( )
∫
−
x
x
y
y
dy2 2
0
1 1
,
esly
b y
y
dy
( )
( )∫ σ2
0
1
= 0, (37)
hde
ϑ ( x ) = exp
2
2
0
b y dy
y
x ( )
( )
∫ σ
.
Pust\ a x( ) — srednee po πrhodyçeskomu raspredelenyg, t. e.
a x a x y y dy( ) = ( ) ( )∫ , ρ
0
1
.
PredpoloΩym, çto suwestvuet ξ0 ( t ) ≡ ξ0 — stacyonarnoe reßenye usrednen-
noj zadaçy, t. e.
a t( )( )ξ0 = 0,
pryçem spravedlyvo
da x
dx x
( )
= ξ0
= – H < 0.
Pust\
ψ ( x, y ) = ∂
∂
( ) =
( ) ( ) − ( )
( )
( + ) − ( )
[ ]+
∫U
y
x y
z
a x z a x
z
dz
y x y
y
y
,
,
,
ϑ
σ
ϑ ϑ
2
1
2
1
,
esly ymeet mesto (36), lybo
ψ ( x, y ) = C ϑ–
1
( y ) + ψ0 ( x, y ),
esly ymeet mesto (37). PredpoloΩym, çto yntehral po peryodu raven nulg,
t.+e.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NEKOTORÁJ STOXASTYÇESKYJ ANALOH VTOROJ TEOREMÁ … 893
ψ( )∫ x y dy,
0
1
≡ 0
y D1 takoe, çto | ψ ( x, y ) | ≤ D1 ≤ + ∞. Budem predpolahat\, çto parametr
ε > 0 nastol\ko mal, çto v¥polnqetsq neravenstvo
ε8 ( 2 ( 4 + 5 K H + 2K ) ( 4 + ( 2C + 2D1 ) ) ≤ H.
Tohda spravedlyva ocenka
P sup
exp /0 2 2
0
8
1
8
1
2
2 2 2
≤ ≤ ( ){ }
( ) − > + ( + )
t D
t C D
γ ε
εξ ξ ε ε ≤
≤ 8
2
1
1
2
4exp − −[ ]
γ
ε
ε
D
.
V¥vod¥. Ytak, esly rassmotret\ uravnenye
dξ ε ( t ) = ε a ( ξ ε ( t ), η ( t ) ) dt, ξ ε ( 0 ) = ξ0 ,
hde ε > 0 — mal¥j çyslovoj parametr, η ( t ) — sluçajn¥j process, ymegwyj
πrhodyçeskye svojstva, pry uslovyy, çto funkcyq a ( x, y ) rastet ne slyßkom
b¥stro, to na kaΩdom koneçnom yntervale vremeny [ 0, T ] reßenye πtoho urav-
nenyq ravnomerno sxodytsq pry ε → 0 k ξ0 ( t ) = ξ0 y tol\ko na vremenax po-
rqdka 1 / ε proysxodqt znaçym¥e yzmenenyq. Pust\ funkcyq a ( x, y ) nepre-
r¥vna po x, y, ohranyçena y udovletvorqet uslovyg Lypßyca s konstantoj, ne
zavysqwej ot y.
Esly suwestvuet ravnomerno po x y po t predel
lim P ,
T
t
t T
T
a x t dt a x
→ + ∞
+
( )( ) − ( ) >
∫1 η δ = 0,
to pry ε → 0 ravnomerno na kaΩdom koneçnom otrezke vremeny traektoryq
ξ ε ( 1 / ε ) sxodytsq k reßenyg uravnenyq
dξ0 ( t ) = a t dt( )( )ξ0 , ξ0 ( 0 ) = ξ0 ,
a ymenno, esly
sup M ,
t
a x t( )( )η 2
< + ∞,
to
lim P sup lim P sup
/ε
ε
ε ε
εξ
ε
ξ δ ξ ξ ε δ
→ ≤ ≤ → ≤ ≤
− ( ) >
= ( ) − ( ) >
0 0
0
0 0
0
t T t T
t t t t = 0.
V sluçae a x( ) = 0 pry lgbom x za vremq [ 0, T / ε ] process ξ ε ( t ) ne otojdet na
zametnoe rasstoqnye ot ξ0 ; v πtom sluçae peremewenyq porqdka 1 proysxodqt
za vremenn¥e ynterval¥ porqdka 1 / ε2
. Vmeste s tem v determynyrovannom slu-
çae pry opredelenn¥x uslovyqx vozmoΩno usrednenye y na beskoneçnom ynter-
vale vremeny, t. e. ymeet mesto sblyΩenye reßenyj ysxodnoj zadaçy so stacyo-
narn¥m reßenyem usrednennoj zadaçy na beskoneçnom vremennom yntervale.
∏tot fakt yzvesten kak vtoraq osnovnaq teorema N. N. Boholgbova [6 – 8]. V
dannoj rabote avtor¥ postavyly pered soboj zadaçu: poluçyt\ analoh vtoroj
teorem¥ N. N. Boholgbova v stoxastyçeskom sluçae. V stoxastyçeskom sluçae
rezul\tat, analohyçn¥j vtoroj teoreme N. N. Boholgbova, v polnoj mere polu-
çyt\ ne udalos\; udalos\ lyß\ ocenyt\ skorost\ sblyΩenyq reßenyj ysxodnoj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
894 B. V. BONDAREV, E. E. KOVTUN
system¥ so stacyonarn¥m reßenyem usrednennoj system¥ na yntervalax vre-
meny porqdka e1 / ερ
dlq nekotor¥x 0 < ρ < 1, a ymenno, pry nekotor¥x predpo-
loΩenyqx ustanovlena ocenka skorosty sblyΩenyq reßenyj uravnenyj vyda
P sup
exp /0 2 2
0
8
1
8
1
2
2 2 2
≤ ≤ ( ){ }
( ) − > + ( + )
t D
t C D
γ ε
εξ ξ ε ε ≤
≤ 8
2
1
1
2
4exp − −[ ]
γ
ε
ε
D
,
t. e. postroena ocenka skorosty sblyΩenyq po veroqtnosty v ravnomernoj met-
ryke na yntervale vremeny 0 ≤ t ≤ 2
28
1
2exp
γ
ε D
.
1. Ventcel\ A. D., Frejdlyn M. Y. Fluktuacyy v dynamyçeskyx systemax pod dejstvyem ma-
l¥x sluçajn¥x vozmuwenyj. – M.: Nauka, 1979. – 424 s.
2. Stratonovyç R. L. Uslovn¥e markovskye process¥ y yx prymenenye k teoryy optymal\no-
ho upravlenyq. – M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 1966. – 319 s.
3. Xas\mynskyj R. Z. O sluçajn¥x processax, opredelqem¥x dyfferencyal\n¥my uravnenyq-
my s mal¥m parametrom // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenye. – 1966. – 11, # 2. – S. 240 –
259.
4. Borodyn A. N. Predel\naq teorema dlq reßenyq dyfferencyal\n¥x uravnenyj so sluçaj-
noj pravoj çast\g // Tam Ωe. – 1977. – 22, # 3. – S. 498 – 511.
5. Skoroxod A. V. Asymptotyçeskye metod¥ teoryy stoxastyçeskyx dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1987. – 328 s.
6. Boholgbov N. N. O nekotor¥x statystyçeskyx metodax v matematyçeskoj fyzyke. – Kyev:
Yzd-vo AN USSR, 1945. – 137 s.
7. Boholgbov N. N. Teoryq vozmuwenyj v nelynejnoj mexanyke // Sb. Yn-ta stroyt. mexanyky
AN USSR. – 1950. – V¥p. 14. – S. 9 – 34.
8. Mytropol\skyj G. A. Metod usrednenyq v nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka,
1971. – 440 s.
9. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structures. – North-
Holland Publ. Co., 1978. – 700 p.
10. Ybrahymov Y. A., Lynnyk G. V. Nezavysym¥e y stacyonarno svqzann¥e sluçajn¥e velyçy-
n¥. – M.: Nauka, 1965. – 524 s.
11. Bers L., DΩon F., Íexter M. Uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Myr, 1966. –
351Ps.
12. Safonova O. A. Ob asymptotyçeskom povedenyy yntehral\n¥x funkcyonalov ot dyffu-
zyonn¥x processov s peryodyçeskymy koπffycyentamy // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 2.
– S.P245 – 252.
13. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V. Stoxastyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq y yx prylo-
Ωenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1982. – 611 s.
Poluçeno 28.11.2003,
posle dorabotky — 28.10.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
|