О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием

Доведено, що стохастичне диференціальне рівняння для еволюційного потоку зі взаємодією з коефіцієнтами, що не задовольняють глобальну умову Ліпшиця, має слабкий розв'язок....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Карликова, М.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165792
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием / М.П. Карликова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 895–903. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165792
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1657922020-02-17T01:27:17Z О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием Карликова, М.П. Статті Доведено, що стохастичне диференціальне рівняння для еволюційного потоку зі взаємодією з коефіцієнтами, що не задовольняють глобальну умову Ліпшиця, має слабкий розв'язок. We prove that a stochastic differential equation for an evolution flow with interaction whose coefficients do not satisfy the global Lipschitz condition has a weak solution. 2005 Article О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием / М.П. Карликова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 895–903. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165792 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Карликова, М.П. О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием Український математичний журнал
description	Доведено, що стохастичне диференціальне рівняння для еволюційного потоку зі взаємодією з коефіцієнтами, що не задовольняють глобальну умову Ліпшиця, має слабкий розв'язок.
format	Article
author	Карликова, М.П.
author_facet	Карликова, М.П.
author_sort	Карликова, М.П.
title	О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием
title_short	О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием
title_full	О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием
title_fullStr	О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием
title_full_unstemmed	О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием
title_sort	о слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165792
citation_txt	О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием / М.П. Карликова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 895–903. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT karlikovamp oslabomrešeniiuravneniâdlâévolûcionnogopotokasovzaimodejstviem
first_indexed	2025-07-14T20:01:28Z
last_indexed	2025-07-14T20:01:28Z
_version_	1837653863314751488
fulltext	UDK 519.21 M. P. Karlykova (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) O SLABOM REÍENYY URAVNENYQ DLQ ∏VOLGCYONNOHO POTOKA SO VZAYMODEJSTVYEM We prove that a stochastic differential equation for an evolutionary flow with interaction whose coefficients do not satisfy the global Lipschitz condition possesses a weak solution. Dovedeno, wo stoxastyçne dyferencial\ne rivnqnnq dlq evolgcijnoho potoku zi vza[modi[g z,koefici[ntamy, wo ne zadovol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq, ma[ slabkyj rozv’qzok. 1. Vvedenye. V nastoqwej stat\e rassmatryvaetsq sledugwee uravnenye [1] dlq potoka so vzaymodejstvyem: d x ( u, t ) = a ( x ( u, t ), µ t ) d t + b ( x ( u, t ), µ t ) d w ( t ), (1) x ( u, 0 ) = u, t ≥ 0, u ∈ R d , hde µ t = µ 0 ° x ( ⋅, t ) – 1 — sluçajnaq mera, opredelqemaq ravenstvom µ t ( ∆ ) = µ 0 ( u : x ( u, t ) ∈ ∆ ), ∆ ∈ B ( R d ), dlq naçal\noj veroqtnostnoj mer¥ µ 0 . Zdes\ B ( R d ) — borelevskaq σ-alheb- ra v R d . ∏to uravnenye moΩno rassmatryvat\ kak opysanye dvyΩenyq kontynu- al\noj system¥ çastyc v sluçajnoj srede, kohda traektoryy otdel\n¥x çastyc zavysqt ot poloΩenyj ostal\n¥x çastyc. Oboznaçym çerez � prostranstvo veroqtnostn¥x mer v R d y opredelym na nem metryku Vasserßtejna γ ( µ, ν ) = inf ( , ) ( , )κ µ ν κ ∈ ∫∫ − + −Q d u u du d R v v v 1 . Zdes\ Q ( µ, ν ) — mnoΩestvo veroqtnostn¥x mer v R d × R d , ymegwyx µ y ν svoymy proekcyqmy. Yzvestno [2], çto metryka γ sootvetstvuet slaboj sxody- mosty y ( �, γ ) — polnoe separabel\noe metryçeskoe prostranstvo. V [1] dokazan sledugwyj fakt. Teorema 1. Pust\ dlq nekotoroho L > 0 y dlq lgb¥x u1 , u2 ∈ R d , ν1 , ν2 ∈ � \|\| a ( u1 , ν1 ) – a ( u2, ν2 ) \|\| + \|\| b ( u1 , ν1 ) – b ( u2, ν2 ) \|\| ≤ L u u1 2 1 2− +( )γ ν ν( , ) . Tohda uravnenye (1) ymeet edynstvennoe syl\noe reßenye. Dlq stoxastyçeskyx dyfferencyal\n¥x uravnenyj bez vzaymodejstvyq (kohda a y b ne zavysqt ot µ ) suwestvuet druhoe obweprynqtoe uslovye su- westvovanyq y edynstvennosty syl\noho reßenyq [3]: suwestvugt C > 0 y posledovatel\nost\ { LN , N ≥ 1 } takye, çto ∀ u ∈ R d : \|\| a ( u ) \|\| + \|\| b ( u ) \|\| ≤ C u1 +( ) , ∀ u, v ∈ B ( 0, N ) : \|\| a ( u ) – a ( v ) \|\| + \|\| b ( u ) – b ( v ) \|\| ≤ LN \|\| u – v \|\|. V dannoj stat\e sdelana pop¥tka perenesty πto uslovye na sluçaj uravne- nyj so vzaymodejstvyem. Pry πtom vaΩnug rol\ budet yhrat\ meroznaçn¥j © M. P. KARLYKOVA, 2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 895 896 M. P. KARLYKOVA process { µ t , t ≥ 0 }, kotor¥j v sootvetstvyy s [1] budem naz¥vat\ πvolgcyon- n¥m processom. 2. Slabaq kompaktnost\ semejstva πvolgcyonn¥x meroznaçn¥x pro- cessov. PreΩde vseho ustanovym nekotor¥e svojstva reßenyj uravnenyq (1). Lemma 1. Pust\ { a α, b α, α ∈ � } udovletvorqgt uslovyg ∃ C > 0 ∀ u ∈ R d, µ ∈ � : ,\|\| a α ( u, µ ) \|\| + \|\| b α ( u, µ ) \|\| ≤ C u1 +( ) , { x α, α ∈ � } udovletvorqgt uravnenyqm d x α ( u, t ) = a x u t dtt α α αµ( , ),( ) + b x u t dw tt α α αµ( , ), ( )( ) , x α ( u, 0 ) = u, µα t = µα 0 ° x α ( ⋅, t ) – 1 , pryçem semejstvo µ αα 0 , ∈{ }� slabo kompaktno. Tohda: ∀ p > 1 ∃ Cp > 0 : ∀ t ∈ [ 0, 1 ] 1) E sup ( , ) 0 1≤ ≤t p x u tα ≤ C up p1 +( ); 2) E sup ( , ) ( , ) t s t p x u t x u s ≤ ≤ + − δ α α ≤ C up p p1 2+( ) /δ . Dokazatel\stvo. 1. Yspol\zuq neravenstvo Burkxol\dera [3], poluçaem E sup ( , ) 0≤ ≤s t p x u sα ≤ ≤ ′ + ( ) + ( )      ∫ ∫ ≤ ≤ C u a x u s ds b x u dwp p t s p s t t p E E 0 0 0 α α α α α τ αµ τ µ τ( , ), sup ( , ), ( ) ≤ ≤ ′′ + +( ) + −     +( )           ∫ ∫ / C u x u s ds p p x u s dsp p t p p t p E E 0 0 2 2 1 1 1α α( , ) ( , ) ≤ ≤ ′′′ + +         ∫ ≤ ≤ C u x u dsp p t s p 0 0 1E sup ( , ) τ α τ , otkuda sohlasno lemme Hronuolla E sup ( , ) 0 1 ≤ ≤ +( ) s t p x u sα ≤ ′′′ +( ) ′′′ C u ep p C tp1 . Tohda E sup ( , ) 0 1≤ ≤t p x u tα ≤ C up p1 +( ). 2. Analohyçno, E sup ( , ) ( , ) t s t p x u t x u s ≤ ≤ + − δ α α ≤ ≤ ′ ( ) + ( )      − + ≤ ≤ + ∫ ∫C a x u d b x u dwp p t t p t s t t s p δ τ µ τ τ µ τ δ α α τ α δ α α τ α1 E E( , ), sup ( , ), ( ) ≤ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 O SLABOM REÍENYY URAVNENYQ DLQ ∏VOLGCYONNOHO POTOKA … 897 ≤ ′′ +( ) + −     +( )        − + + ∫ ∫ / C x u d p p x u dp p t t p p t t p δ τ τ τ τ δ α δ α1 2 2 1 1 1E E( , ) ( , ) ≤ ≤ ′′′ +( )/ − + ∫C x u dp p t t p δ τ τ δ α2 1 1 ( , ) ≤ C up p p1 2+( ) /δ . Lemma dokazana. Nam potrebuetsq kryteryj slaboj kompaktnosty semejstva sluçajn¥x πle- mentov v C ( [ 0, 1 ], � ) yz [1]. Rassmotrym dve posledovatel\nosty funkcyj { fn , n ≥ 1 } y { gN , n ≥ 1 } v Cb ( R d ) takye, çto: 1) f1 ≡ 1 ∀ n ≥ 2 : fn ∈ C0 ( R d ); 2) ∀ n ≥ 1 : max R d fn ≤ 1; 3) ∀ ϕ ∈ C0 ( R d ) : max R d ϕ ≤ 1 ∃ f knk , ≥{ }1 : max R d k fnϕ − → 0, k → ∞; 4) ∀ x ∈ R d , n ≥ 1 : 0 ≤ gn ( x ) ≤ 1; 5) ∀ x ∈ R d , \|\| x \|\| ≤ n : gn ( x ) = 0 ; 6) ∀ x ∈ R d , \|\| x \|\| ≥ n + 1 : gn ( x ) = 1. Lemma 2 [1]. Semejstvo { ξα , α ∈ � } sluçajn¥x πlementov v C ( [ 0, 1 ], � ) slabo kompaktno tohda y tol\ko tohda, kohda: 1) dlq kaΩdoho k ≥ 1 semejstvo sluçajn¥x processov ξ αα , ,fk ∈{ }� slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ] ); 2) semejstvo ξ αα , , ,g kk ∈ ≥{ }� 1 slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ] ); 3) ∀ t ∈ [ 0, 1 ] ∀ ε > 0 : sup ( ), α αξ ε ∈ >{ } � P t gk , k → ∞. Zdes\ yspol\zovano oboznaçenye 〈 µ, f 〉 = R d f u du∫ ( ) ( )µ . Dalee budem v¥byrat\ fk udovletvorqgwymy uslovyg Lypßyca s postoqn- n¥my Ak, gk — s obwej postoqnnoj A. Pryvedenn¥j kryteryj pozvolqet ustanovyt\ slabug kompaktnost\ semej- stva πvolgcyonn¥x processov, sootvetstvugwyx uravnenyg (1), v termynax eho koπffycyentov. Teorema 2. V uslovyqx lemm¥ 1 semejstvo meroznaçn¥x processov { µα ⋅ , α ∈ � } slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ], � ). Dokazatel\stvo. Proverym uslovyq lemm¥ 2. 1. Dlq slaboj kompaktnosty semejstva sluçajn¥x processov { ξ α, α ∈ � } v C ( [ 0, 1 ] ) dostatoçno, çtob¥ [4] ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 898 M. P. KARLYKOVA sup ( ) α αξ ∈ ≥{ } � P 0 N → 0, N → ∞, sup sup ( ) ( ) α δ α α δ ξ ξ ε ∈ ≤ ≤ + − >     � 1 P t s t t s → 0, δ → 0 +. V rassmatryvaemom sluçae P µα 0 , f Nk ≥{ } = ÷ µα 0 , f Nk ≥{ } → 0, N → ∞, ravnomerno po α, tak kak µα 0 , fk ≤ sup R d fk ≤ 1. Ocenym teper\ s pomow\g lemm¥ 2 dlq p > 2 E sup , , t s t s k t k p f f ≤ ≤ + − δ α αµ µ = = E sup ( , ) ( , ) ( ) t s t k k p d f x u s f x u t du ≤ ≤ + ∫ ( ) − ( )( ) δ α α αµ R 0 ≤ ≤ E EA x u t x u s duk K t s t p k ∫ ≤ ≤ + −      sup ( , ) ( , ) ( ) δ α α αµ0 ≤ ≤ A C u duk p K p p p k ∫ +( ) /1 2 0δ µα ( ) ≤ A uk p u K p p k sup ∈ +( ) /1 2δ , hde Kk — kompakt, na kotorom sosredotoçena fk . Otsgda sup sup , , α δ α α δ µ µ ε ∈ ≤ ≤ + − >     � 1 P t s t s k t kf f ≤ ≤ 1 1 2 δ ε δ A uk p u K p p pk sup ∈ +( ) / → 0, δ → 0. Sledovatel\no, µ αα ⋅ ∈{ }, ,fk � slabo kompaktn¥ v C ( [ 0, 1 ] ). 2. Ymeem µα 0 , gk ≤ 1, poπtomu pervoe uslovye slaboj kompaktnosty v C ( [ 0, 1 ] ) dlq µ αα ⋅ ∈ ≥{ }, , ,g kk � 1 v¥polneno. Dalee, sup , , t s t s k t kg g ≤ ≤ + − δ α αµ µ ≤ A x u s x u t du Kε α α αµ∫ −( , ) ( , ) ( )0 + ε 2 , hde Kε — takoj kompakt, çto ∀ α ∈ � : µα ε0 R d K\( ) < ε 2 . Tohda, kak y v pred¥duwem punkte, 1 δ µ µ ε δ α αP sup , , t s t s k t kg g ≤ ≤ + − >      ≤ ≤ 1 20δ µ ε δ α α α ε P sup ( , ) ( , ) ( ) t s t K x u s x u t du ≤ ≤ + ∫ − >         → 0, δ → 0, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 O SLABOM REÍENYY URAVNENYQ DLQ ∏VOLGCYONNOHO POTOKA … 899 ravnomerno po α. Sledovatel\no, µ αα ⋅ ∈ ≥{ }, , ,g kk � 1 slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ] ). 3. Proverym tret\e uslovye lemm¥ 2: P µ εα t kg, >{ } ≤ P µ εα α 0 u x u t k: ( , ) ≥( ) >{ } ≤ ≤ P µ εα α 0 2 u u N x u t k: , ( , )≥ ≥( ) >{ } + + P µ εα α 0 2 u u N x u t k: , ( , )≤ ≥( ) >{ } ≤ ≤ P µ εα 0 2 u u N: ≥( ) >{ } + P u N x u t du k ≤∫ >         α αµ ε( , ) ( ) 2 0 2 2 ≤ ≤ ÷ µ εα 0 2 u u N: ≥( ) >{ } + C u du k u N2 2 0 2 1 ≤∫ +( )µ ε α ( ) . Poslednee neravenstvo sleduet yz lemm¥ 1. V¥byraq N tak, çtob¥ dlq vsex α ∈ � v¥polnqlos\ µα 0 u u N: ≥( ) < ε 2 , poluçaem sup , α αµ ε ∈ >{ } � P t kg → 0, k → ∞. Teorema dokazana. Teorema 3. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq lemm¥ 1. Tohda dlq lgboho nabora { u1 , u2 , … , uN } ⊂ R d semejstvo x u x u x uN α α α α( , ), ( , ), , ( , ),1 2⋅ ⋅ … ⋅ ∈{ }� slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ], R d N ). Dokazatel\stvo sleduet yz ocenok lemm¥ 1 analohyçno dokazatel\stvu teorem¥ 2. 3. Suwestvovanye slaboho reßenyq. Pust\ a y b udovletvorqgt uslo- vyg A): ∃ C > 0, { LN , n ≥ 1 }, ∀ u ∈ R d, µ ∈ � : \|\| a ( u, µ ) \|\| + \|\| b ( u, µ ) \|\| ≤ C u1 +( ) , ∀ u, v ∈ R d, µ, ν ∈ � : \|\| a ( u, µ ) – a ( v, ν ) \|\| + \|\| b ( u, µ ) – b ( v, ν ) \|\| ≤ ≤ L uN − +( )v γ µ ν( , ) . Lemma 3. Pust\ a, b udovletvorqgt uslovyg A). Pust\, krome toho, { x α, α ∈ � } udovletvorqgt uravnenyg (1) s naçal\n¥my meramy µα 0 , pryçem semejstvo µ αα 0 , ∈{ }� slabo kompaktno. Tohda dlq lgboho kompakta K ⊂ R d ∀ ε > 0 ∃ C ( ε ) > 0 ∀ u, v ∈ K, t ∈ [ 0, 1 ] : E x u t x tα α( , ) ( , )− v ≤ ε + C u( )ε − v . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 900 M. P. KARLYKOVA Dokazatel\stvo. Pust\ N > 0. Oboznaçym σα u = inf t x u t≥{ 0: ( , )α ≥ ≥ N u1 +( )}, σ α u,v = σα u ∧ σα v . Tohda v sylu lemm¥ 1 P σα u,v ≤{ }1 ≤ P sup ( , ) 0 1 1 ≤ ≤ ≥ +( )     t x u t N uα + + P sup ( , ) 0 1 1 ≤ ≤ ≥ +( )     t x t Nα v v ≤ C u N u 2 2 2 2 1 1 +( ) +( ) + C N 2 2 2 2 1 1 +( ) +( ) v v ≤ 2 2 2 C N . Dalee E x u t x tu u α α α ασ σ, ,, ,∧( ) − ∧( )v vv 2 ≤ ≤ 3 Eu a x u s a x s ds t s s u − +    ( ) − ( ) ∧ ∫v v v 2 0 2 σ α α α α α µ µ , ( , ), ( , ), + + E 0 2t s s u b x u s b x s dw s ∧ ∫ ( ) − ( )( )    σ α α α α α µ µ , ( , ), ( , ), ( ) v v ≤ ≤ 3 22 2 0 2 u L x u s x s dsN t u u− + ∧ − ∧( )     ∫v vv vE α α α ασ σ( , ) ,, , , otkuda sohlasno lemme Hronuolla E x u t x tu u α α α ασ σ, ,, ,∧( ) − ∧( )v vv 2 ≤ C N u eC N t( ) ( )− v 2 . Tohda E x u t x tα α( , ) ( , )− v ≤ E x u t x tu u u α α α α ασ σ σ, ,, , ,∧( ) − ∧( ) >{ }v v vv ÷ 1 + + E x u t x t u α α ασ( , ) ( , ) ,− ≤{ }v v÷ 1 ≤ ≤ C N u eC N t( ) ( )− v 2 + C u C N 2 2 2 2 22 2+ +( )v ≤ ≤ C N e uC N( ) ( ) − v + C N u1 + +( )v . V¥byraq N tak, çtob¥ v¥polnqlos\ C N u1 + +( )v < ε, poluçaem trebuemoe neravenstvo. Lemma dokazana. Lemma 4. Pust\ µ0 = k N k uc k=∑ 1 δ , hde ck > 0, k = 1, … , N, k N kc=∑ 1 = 1. Pust\, krome toho, a, b udovletvorqgt uslovyg A). Tohda uravnenye (1) ymeet edynstvennoe reßenye. Dokazatel\stvo. Uravnenye (1) v dannom sluçae ymeet vyd d x u tk( , ) = a x u t c dtk i N i x u ti ( , ), ( , ) = ∑   1 δ + b x u t c dw tk i N i x u ti ( , ), ( )( , ) = ∑   1 δ , (2) k = 1, … , N; ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 O SLABOM REÍENYY URAVNENYQ DLQ ∏VOLGCYONNOHO POTOKA … 901 d x u t( , ) = a x u t c dt i N i x u ti ( , ), ( , ) = ∑   1 δ + b x u t c dw t i N i x u ti ( , ), ( )( , ) = ∑   1 δ , u ∈ R d . (3) Na x ( uk , t ), k = 1, … , N, ymeem systemu uravnenyj (2), koπffycyent¥ ko- toroj ˜ ( , , , )a u u uk N1 2 … = a u ck i N i ui , = ∑   1 δ , ˜ ( , , , )b u u uk N1 2 … = b u ck i N i ui , = ∑   1 δ udovletvorqgt uslovyg lynejnoho rosta y lokal\nomu uslovyg Lypßyca. Sledovatel\no, πta systema ymeet edynstvennoe reßenye. Krome toho, yz ne- prer¥vnosty x ( ui , ⋅ ) sleduet, çto µ⋅ = i N i x uc i = ⋅∑ 1 δ ( , ) ∈ C ( [ 0, 1 ], � ). Dlq ostal\n¥x u ∉ { u1 , … , un } koπffycyent¥ uravnenyq (3) takΩe budut udovletvorqt\ lokal\nomu uslovyg Lypßyca y uslovyg lynejnoho rosta, a krome toho, budut neprer¥vn¥ po t. Sledovatel\no, (3) takΩe budet ymet\ reßenye. Lemma dokazana. Lemma 5. Pust\ � 1 , �2 , … , �N — poln¥e metryçeskye prostranstva. Semejstvo sluçajn¥x πlementov ξ ξ ξ αα α α 1 2, , , ,…( ) ∈{ }N � slabo kompaktno v,,,,�1 × �2 × … × �N tohda y tol\ko tohda, kohda ξ αα 1 , ∈{ }� , … … , ξ αα N , ∈{ }� slabo kompaktn¥ v �1 , … , �N sootvetstvenno. Dokazatel\stvo standartno y poπtomu ne pryvodytsq. Analohyçno sluçag uravnenyq bez vzaymodejstvyq vvedem sledugwee opredelenye. Opredelenye. Uravnenye ( 1 ) ymeet slaboe reßenye, esly najdutsq: veroqtnostnoe prostranstvo ( Ω , F, P ), neub¥vagwee semejstvo σ-alhebr Ft t, ,∈[ ]{ }0 1 , F t-sohlasovann¥j neprer¥vn¥j po ( u, t ) sluçajn¥j process ˜( , )x u t y vynerovskyj Ft-martynhal w̃ takye, çto v¥polneno (1). Teorema 4. Pust\ koπffycyent¥ a, b udovletvorqgt uslovyg A ). Toh- da uravnenye (1) ymeet slaboe reßenye. Dokazatel\stvo. Pust\ µ0 n — dyskretn¥e mer¥ y µ0 n ⇒ µ0 , n → ∞ . So- hlasno lemme 4 dlq nyx suwestvugt reßenyq uravnenyq (1). Oboznaçym yx x n ( ⋅, t ). V sylu teorem¥ 2 semejstvo meroznaçn¥x processov µ⋅ ≥{ }n n, 1 slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ], � ), a sohlasno teoreme 3 semejstvo x u x un n( , ), ( , )1 2⋅ ⋅{ , … … , x u nn N( , ),⋅ ≥ }1 slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ], R d N ) dlq lgb¥x { u1 , u2 , … … , uN } ⊂ R d . Pust\ (ne bolee çem sçetnoe) mnoΩestvo U — mnoΩestvo toçek v R d , v kotor¥x sosredotoçen¥ µ0 n , n ≥ 1. Tohda sohlasno lemme 5 dlq lgboho nabora { u1 , u2 , … , uN } ⊂ U semejstvo µ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅{ n n n n Nx u x u x u, ( , ), ( , ), , ( , )1 2 , w n⋅ ≥ }, 1 slabo kompaktno v C ( [ 0, 1 ], � × R d N× R d ). Yspol\zuq dyaho- nal\n¥j metod Kantora, moΩno v¥brat\ podposledovatel\nost\ yndeksov nk , k ≥ 1, takug, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 902 M. P. KARLYKOVA µ⋅ ⋅⋅ … ⋅( ) ≥{ }n n n N k k kx u x u w n, ( , ), , ( , ), ,1 1 slabo sxodytsq dlq lgboho nabora { u1 , u2 , … , uN } ⊂ U. Oboznaçym ee tak Ωe, kak ysxodnug. Rassmotrym predel πtoj posledovatel\nosty µ t tt y u t u U t w t, , , ˜( , ), , , , ˜ , ,∈[ ] ∈ ∈[ ] ∈[ ]( )0 1 0 1 0 1 . PreΩde vseho pokaΩem, çto w̃⋅ — vynerovskyj martynhal otnosytel\no potoka σ -alhebr Ft = σ µ˜ ( ), , ˜( , ), ,w s y u s u U s ts ∈ ≤{ }. Dlq lgboj ϕ ∈ ∈ Cb ( R d k ( 1 + m ) × � k ) y τ1 , τ2 , … , τk ≤ s, u1 , … , um ∈ U rassmotrym Ee w w y u y ui w t w s k m kk λ τ τϕ τ τ µ µ τ τ˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( ), , ˜ ( ), , , , ˜( , ), , ˜( , )−( ) … … …( )1 1 11 = = lim ( ), , ( ), , , , ( , ), , ( , )( ) ( ) n i w t w s k n n n n m ke w w x u x u k→∞ −( ) … … …( )E λ τ τϕ τ τ µ µ τ τ1 1 11 = = e w w x u x ut s n k n n n n m kk − − →∞ / … … …( )λ τ τϕ τ τ µ µ τ τ 2 1 2 1 1 1 ( ) lim ( ), , ( ), , , , ( , ), , ( , )E = = e w w y u y ut s k m kk − − / … … …( )λ τ τϕ τ τ µ µ τ τ 2 1 2 1 1 1 ( ) ˜ ( ), , ˜ ( ), , , , ˜( , ), , ˜( , )E , s ≤ t, otkuda sleduet, çto w̃ — vynerovskyj Ft - martynhal. Rassmotrym uravnenye dlq x̃ : dx u t˜( , ) = a x u t dtt˜( , ), µ( ) + b x u t dw tt˜( , ), ˜ ( )µ( ) , (4) ˜( , )x u 0 = u. Otmetym, çto πto uravnenye bez vzaymodejstvyq, tak kak process µt{ } sejças yzvesten. V sylu uslovyq A) ono ymeet edynstvennoe reßenye, neprer¥vnoe po u, t [3]. Dlq u ∈ U v¥raΩenyq x n ( u, t ) – u – 0 t n s na x u s ds∫ ( )( , ), µ – 0 t n s nb x u s dw s∫ ( )( , ), ( )µ slabo sxodqtsq k ˜( , )y u t – u – 0 t sa y u s ds∫ ( )˜( , ), µ – 0 t sb y u s dw s∫ ( )˜( , ), ˜ ( )µ . S druhoj storon¥, πty v¥raΩenyq ravn¥ 0, poπtomu v sylu edynstvennosty re- ßenyq (4) dlq u ∈ U ˜( , )y u t = ˜( , )x u t p. n. Zametym dalee, çto tak kak µ0 n ⇒ µ0 , n → ∞, to γ µ µt x t, ˜( , )0 1� ⋅( )− = lim , ˜( , ) k t k x t →∞ −⋅( )γ µ µ0 1� s veroqtnost\g 1. V svog oçered\ yz-za sovmestnoj slaboj sxodymosty µ n y x n na πlementax yz U E γ µ µt k x t, ˜( , )0 1� ⋅( )− = E γ µ µt k y t, ˜( , )0 1� ⋅( )− = lim , ( , ) k t n k nx t →∞ −⋅( )E γ µ µ0 1� . Ocenym E γ µ µt n k nx t, ( , )0 1� ⋅( )− ≤ ε + E K n nx u t x t du d ε κ 2 ∫∫ −( , ) ( , ) ( , )v v , hde Kε — takoj kompakt, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 O SLABOM REÍENYY URAVNENYQ DLQ ∏VOLGCYONNOHO POTOKA … 903 ∀ n : µ0 n d KR \( ) < ε 2 , κ ∈ Q n kµ µ0 0,( ) . V¥berem κ tak, çtob¥ Rd u u du d∫∫ − + − v v v 1 κ( , ) ≤ 2 0 0γ µ µn k,( ). Tohda sohlasno lemme 3 E γ µ µt n k nx t, ( , )0 1� ⋅( )− ≤ 2 ε + 2 1 0 0C u u K n k( ) sup , , ε γ µ µ εv v ∈ + −( ) ( ). V¥byraq snaçala ε, zatem k, a zatem n, poluçaem E γ µ µt x t, ˜( , )0 1� ⋅( )− = 0, otkuda sleduet, çto µt = µ0 1� ˜( , )x t⋅ − , t. e. x̃ qvlqetsq slab¥m reßenyem uravnenyq (1). Teorema dokazana. 1. Dorogovtsev A. A., Kotelenez P. Stochastic flows with interaction and random measures. – Kluwer Acad. Publ., 2004. – 186 p. 2. Dudley R. M. Real analysis and probability. – Cambridge Univ. Press, 2002. – 566 p. 3. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge Univ. Press, 1997. – 360 p. 4. Byllynhsly P. Sxodymost\ veroqtnostn¥x mer. – M.: Nauka, 1977. – 352 s. Poluçeno 30.04.2004 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7

О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием

Репозитарії

Схожі ресурси