O переносе обобщенных функций эволюционным потоком
Досліджуються властивості розв'язку стохастичного диференціального рівняння із взаємодією в залежності від просторової змінної. Показано, що за певних умов на коефіцієнти x(u,t) − u ∈ S і, крім того, неперервно залежить від початкової міри як елемент S. Також вивчається питання існування розв&#...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165814 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | O переносе обобщенных функций эволюционным потоком / М.П. Карликова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1020 – 1029. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165814 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658142020-02-17T01:26:03Z O переносе обобщенных функций эволюционным потоком Карликова, М.П. Статті Досліджуються властивості розв'язку стохастичного диференціального рівняння із взаємодією в залежності від просторової змінної. Показано, що за певних умов на коефіцієнти x(u,t) − u ∈ S і, крім того, неперервно залежить від початкової міри як елемент S. Також вивчається питання існування розв'язку рівняння, керованого узагальненою функцією. We investigate properties of a solution of a stochastic differential equation with interaction and their dependence on a space variable. It is shown that x(u,t) − u belongs to S under certain conditions imposed on the coefficients, and, furthermore, it depends continuously on the initial measure as an element of S. We also study the problem of the existence of a solution of the equation governed by a generalized function. 2005 Article O переносе обобщенных функций эволюционным потоком / М.П. Карликова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1020 – 1029. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165814 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Карликова, М.П. O переносе обобщенных функций эволюционным потоком Український математичний журнал |
| description |
Досліджуються властивості розв'язку стохастичного диференціального рівняння із взаємодією в залежності від просторової змінної. Показано, що за певних умов на коефіцієнти x(u,t) − u ∈ S і, крім того, неперервно залежить від початкової міри як елемент S. Також вивчається питання існування розв'язку рівняння, керованого узагальненою функцією. |
| format |
Article |
| author |
Карликова, М.П. |
| author_facet |
Карликова, М.П. |
| author_sort |
Карликова, М.П. |
| title |
O переносе обобщенных функций эволюционным потоком |
| title_short |
O переносе обобщенных функций эволюционным потоком |
| title_full |
O переносе обобщенных функций эволюционным потоком |
| title_fullStr |
O переносе обобщенных функций эволюционным потоком |
| title_full_unstemmed |
O переносе обобщенных функций эволюционным потоком |
| title_sort |
o переносе обобщенных функций эволюционным потоком |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165814 |
| citation_txt |
O переносе обобщенных функций эволюционным потоком / М.П. Карликова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1020 – 1029. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT karlikovamp operenoseobobŝennyhfunkcijévolûcionnympotokom |
| first_indexed |
2025-07-14T20:03:15Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:03:15Z |
| _version_ |
1837653972122337280 |
| fulltext |
UDK 519.21
M. P. Karlykova (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
O PERENOSE OBOBWENNÁX FUNKCYJ
∏VOLGCYONNÁM POTOKOM
*
Depending on a space variable, properties of a solution of stochastic differential equation with
interaction are investigated. It is shown that x ( u, t ) – u belongs to S under certain conditions on
coefficients and, in addition, continuously depends on the initial measure as an element of S. The
problem of the existence of a solution of equation guided by a generalized function is also studied.
DoslidΩugt\sq vlastyvosti rozv’qzku stoxastyçnoho dyferencial\noho rivnqnnq iz vza[modi[g
v zaleΩnosti vid prostorovo] zminno]. Pokazano, wo za pevnyx umov na koefici[nty x ( u, t ) – u ∈
∈ S i, krim toho, neperervno zaleΩyt\ vid poçatkovo] miry qk element S. TakoΩ vyvça[t\sq py-
tannq isnuvannq rozv’qzku rivnqnnq, kerovanoho uzahal\nenog funkci[g.
1. Vvedenye. Osnovn¥m obæektom yssledovanyq v stat\e qvlqetsq uravnenye so
vzaymodejstvyem
d x ( u, t ) =
R d
f x u t x t d dt∫ ( )( , ), ( , ) ( )v vµ + b x u t dw t( , ) ( )( ) ,
(1)
x ( u, 0 ) = u, u ∈ R
d
, t ≥ 0.
Zdes\ w — d-mern¥j vynerovskyj process, µ — veroqtnostnaq mera. Yzvestno
[1], çto esly f y b udovletvorqgt uslovyg Lypßyca y ohranyçen¥, to uravne-
nye (1) ymeet reßenye. V rabote yssledugtsq svojstva reßenyq x v zavysymos-
ty ot prostranstvennoj peremennoj. Budet pokazano, çto pry opredelenn¥x
uslovyqx na koπffycyent¥ x ( ⋅, t ) – ⋅ ∈ S dlq lgboho t ∈ [0, 1] y, krome toho,
x ( ⋅, t ) – ⋅ neprer¥vno zavysyt ot naçal\noj mer¥ µ.
Pust\ � — prostranstvo veroqtnostn¥x mer na R
d
, γ — metryka Vasser-
ßtejna na � [2]:
γ ( µ, ν ) =
inf ( , )
( , )κ µ ν
κ
∈ ∫∫ −
+ −Q
d
u
u
du d
R
v
v
v
1
,
hde Q ( µ, ν ) — mnoΩestvo mer na R
d × R
d
, dlq kotor¥x µ y ν qvlqgtsq pro-
ekcyqmy. Yzvestno [2], çto sxodymost\ v metryke γ πkvyvalentna slaboj sxo-
dymosty veroqtnostn¥x mer.
Pust\ S — prostranstvo osnovn¥x funkcyj na R
d
s metrykoj
ρ ( ϕ, ψ ) =
k
k
k
k
=
∞
∑ −
+ −
⋅
0 1
2
ϕ ψ
ϕ ψ
,
hde ϕ ψ− k = sup ( ) ( )
u
k
d u u u∈ +( ) −( )
R
1 Dα ϕ ψ — metryka v prostranstve Sk ,
α = ( α1 , … , αd ), | α | =
i
d
i=∑ 1
α .
Dalee m¥ modyfycyruem uravnenye (1), zamenqq v nem meru obobwennoj
funkcyej κ ∈ S
*
( R
d
), ymegwej porqdok m. Krome toho, budem rassmatryvat\
determynyrovann¥j sluçaj. Dlq uravnenyq
d x ( u, t ) = κ( ), ( , ), ( , )v vf x u t x t dt( ) ,
(2)
x ( u, 0 ) = u,
*
Çastyçno podderΩana Mynysterstvom obrazovanyq y nauky Ukrayn¥ (proekt GP / F8 / 86).
© M. P. KARLYKOVA, 2005
1020 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O PERENOSE OBOBWENNÁX FUNKCYJ ∏VOLGCYONNÁM POTOKOM 1021
reßenyem na otrezke [ 0, T ] nazovem funkcyg x : R
d × [ 0, T ] → R
d
takug, çto
x ( u, t ) – u ∈ C T Sm0, ,[ ]( ) y (2) v¥polneno dlq vsex u ∈ R
d
, t ≤ T. Budet poka-
zano, çto pry opredelenn¥x uslovyqx na f (2) ymeet reßenye na nekotorom
otrezke [ 0, T0 ].
2. PrynadleΩnost\ x ( u, t ) – u prostranstvu S. Pust\ f ∈ S ( R
2d
),
b ∈ S ( R
d
). Tohda x ( ⋅, t ) ymeet vse proyzvodn¥e [3]. Krome toho, lehko poka-
zat\, çto mnoΩestvo, na kotorom x ( ⋅, t ) – ⋅ ∈ S, qvlqetsq sluçajn¥m sob¥tyem.
Dalee pod prynadleΩnost\g x ( u, t ) – u prostranstvu S budem ponymat\ v¥-
polnenye πtoho vklgçenyq poçty navernoe.
Teorema 1. Pust\ f ∈ S ( R
2d
), b ∈ S ( R
d
). Tohda dlq lgboho t ∈ [ 0, T ] re-
ßenye uravnenyq (1) udovletvorqet uslovyg x ( ⋅, t ) – ⋅ ∈ S.
Dokazatel\stvo. Çtob¥ yzbeΩat\ hromozdkyx texnyçeskyx v¥kladok,
rassmotrym sluçaj d = 1. Sluçaj d > 1 analohyçen. Rassmotrym dlq t ∈ [ 0, T ]
E x u t u x t p( , ) ( , )− − −( )v v ≤
≤ 2
0
p
t
pf x u s x z s f x s x z s dz dsE ∫ ∫ ( ) − ( )
R
( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( )v µ +
+
2
0
p
t p
b x u s b x s d w sE ∫ ( ) − ( )( )( , ) ( , ) ( )v .
Lehko pokazat\, çto dlq lgboho m ≥ 1 spravedlyv¥ ocenky
f u u f( , ) ( , )1 2 1 2− v v ≤
≤ C u um 1 2 1 2− + −( )v v
1
1
1
1
1
1
1
11 1 2 2+
+
+
+
+
+
u um m m mv v
, (3)
b u b( ) ( )− v ≤
C u
um m m−
+
+
+
v
v
1
1
1
1
, (4)
hde Cm — postoqnnaq. Yspol\zuq (3), (4), a takΩe neravenstvo Burkxoldera
[3] , poluçaem
E x u t u x t p( , ) ( , )− − −( )v v ≤
C x u s x sp m
t
p
, ( , ) ( , )E
0
∫ − v ×
×
1
1
1
1+
+
+
x u s x s
dsm m( , ) ( , )v
.
Ocenym
E x u t x t p( , ) ( , )− ( )v
2 ≤ u p− v
2 +
′ −∫C x u s x s dsp
t
pE
0
2( , ) ( , )v ,
otkuda
E x u t x t p( , ) ( , )− ( )v
2 ≤ Cp u p− v
2
.
Dalee, po formule Yto
E
1
1 2+ x u t m( , )
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1022 M. P. KARLYKOVA
=
1
1 2+ u m + E
0
2 1
2 2
2
1
t m
m
mx u s
x u s
f x u s x s d ds∫ ∫−
+( )
( )
−( , )
( , )
( , ), ( , ) ( )
R
v vµ +
+ 1
2
E
0
2 2
2 3
2 1 2
2 3
22 2 1
1
2 2
1
t m
m
m
m
m m x u s
x u s
mx u s
x u s
b x u s ds∫ − −
+( )
+
( )
+( )
( )
− −
( ) ( , )
( , )
( , )
( , )
( , ) ≤
≤
1
1 2+ u m + E
0
2
1
1
t
m mC
x u s
ds∫ ′
+ ( , )
,
otkuda sohlasno lemme Hronuolla
E 1
1 2+ x u t m( , )
≤ C
um m
1
1 2+
. (5)
Tohda
E x u t u x t p( , ) ( , )− − −( )v v ≤
≤
C C u
x u s x s
dsp m
t
p
p
m m, ( , ) ( , )
0
2
2
1
1
1
1∫ −
+
+
+
v
v
E ≤
≤ ′ −
+
+
+
C u
up m
p
m m, v
v
1
1
1
1
. (6)
Pust\ n ∈ Z. Tohda yz (6) sleduet [3]
E sup ( , )
n u n
px u t u
≤ ≤ +
−
1
≤ C x n t n
nm p
p
m, ( , )E − +
+
1
1
≤ ′′
+
C
np m m,
1
1
,
hde yspol\zovana ocenka
E x u t u p( , ) − ≤ C
up m m,
1
1 +
, (7)
kotoraq sleduet yz (5). Dalee poluçaem
E sup ( , )
u
p lx u t u u
∈
− +( )
R
1 ≤
≤
n n u n
p l lx u t u m n
∈ ≤ ≤ +
∑ − + + +( )
Z
E sup ( , )
1
1 1 ≤
≤ ′′ + + +
+∈
∑C
n n
np m
n
l l
m,
Z
1 1
1
. (8)
Esly m ≥ l + 2, to rqd sxodytsq, t. e.
E sup ( , )
u
p lx u t u u
∈
− +( )
R
1 < ∞.
Rassmotrym teper\ proyzvodnug
x ′ ( u, t ) – 1 =
0
1
t
f x u s x s x u s d ds∫ ∫ ′( ) ′
R
( , ), ( , ) ( , ) ( )v vµ +
+
0
t
b x u s x u s dw s∫ ′( ) ′( , ) ( , ) ( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O PERENOSE OBOBWENNÁX FUNKCYJ ∏VOLGCYONNÁM POTOKOM 1023
Snaçala yz ohranyçennosty ′f1 y b ′ poluçaem ocenku
E ′x u t p( , ) 2 ≤ Cp ,
zatem ocenyvaem
E ′ −x u t p( , ) 1 2 ≤
0
1
2
t
p
pC f x u s x s d ds∫ ∫ ′( )
R
E ( , ), ( , ) ( )v vµ +
+
0
2
t
p
pC b x u s ds∫ ′( )E ( , ) ≤
C
u
p m
m
,
1 +
,
y, analohyçno,
E ′ − ′x u t x t p( , ) ( , )v ≤
C u
up m
p
m m, −
+
+
+
v
v
1
1
1
1
,
otkuda sleduet
E sup ( , )
u
p mx u t u
∈
′ − +( )
R
1 1 < ∞.
Uravnenye dlq k-j proyzvodnoj ymeet vyd
d x u tk( )( , ) =
=
R
∫ ′( ) +…+ ( ) ′( ){ }f x u t x t x u t f x u t x t x u t d dtk k k
1 1( , ), ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( )( ) ( )v v vµ +
+ ′( ) +…+ ( ) ′( ){ }b x u t x u t b x u t x u t dw tk k k( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )( ) ( )
.
Otsgda, yspol\zuq lemmu Hronuolla y ocenky dlq mladßyx proyzvodn¥x,
poluçaem neravenstvo, analohyçnoe (6), otkuda, v svog oçered\,
E sup ( , )( )
u
k p mx u t u
∈
+( )
R
1 < ∞.
V sylu proyzvol\nosty p y m poluçaem utverΩdenye teorem¥.
Teorema dokazana.
Sledstvye 1. V uslovyqx teorem¥ 1
lim
( , )
u
x u t
u→∞
= 1. (9)
Dokazatel\stvo. Poskol\ku x ( ⋅, t ) – ⋅ ∈ S, to
lim
( , )
u
x u t u
u→∞
−
= 0,
otkuda sleduet (9).
Zametym, çto standartn¥m qvlqetsq utverΩdenye o suwestvovanyy predela
lim
( , )
u
x u t
u→∞ +1 β = 0,
hde β > 0 [3], çto slabee, çem (9).
Sledugwyj prymer pokaz¥vaet, çto v obwem sluçae moΩet v¥polnqt\sq
lim
( , )
u
x u t
u→∞
= + ∞ p. n. (10)
Prymer 1. Pust\ b1 = 1, bn + 1 = 2 bn ( 2 + n ). Rassmotrym uravnenye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1024 M. P. KARLYKOVA
d x ( u, t ) = h ( x ( u, t ), t ) d w ( t ), t ∈ [ 0, 2 π ]. (11)
Pust\ dlq u ∈
b
b nn
n2
2, ( )+
h ( u, t ) =
i
k
i n n n i
k
i
k
n
n n
g u k t t
=
−
+
∑
0
1
2 2 1
α π π,
,
( )
( )sin ( )÷ ,
hde kn — posledovatel\nost\
1 1 2 2 2 2 3 3 3
2 2 2
1 2 3
, , , , , , , , , ,
raza raza raza
� ��� �� � �� ��… … ,
gn ( u ) = bn , u ∈
3
4
1b b nn n, ( )+
, g
b
n
n
2
= g b nn n( )2 +( ) = 0,
lynejnaq na
b
bn
n2
3
4
,
y na b n b nn n( ), ( )1 2+ +[ ], α i, n = ± 1, pryçem rassmat-
ryvagtsq vse vozmoΩn¥e nabor¥. Oçevydno, çto h udovletvorqet uslovyg
Lypßyca po u y neprer¥vna po t.
Oboznaçym
Bkn
= ω
π π π
: sup sin ( ) , , , ,
,
( )
t
i
k
i
k
i k
n n
n n
n
k s dw s i k
∈ +
/
∫ < = … −
2 2 1 2
1
4
0 1 1 ,
An = Bkn
∩ ω α
π
π
: sin ( ) , , , ,
( )
,sign
2
2 1
0 1 1
i k
i k
n i n n
n
n
k sdw s i k
/
/+
∫ = = … −
.
Ocenym
P Bkn( ) = 1 – P Bkn( ) = 1 –
i
k
t
i
k
i
k
i k
t
n
n
n n
n
k s dw s
=
−
∈ +
∏ ∫
/
<
0
1
2 2 1 2
1
4
P sup sin ( )
,
( )π π π
=
= 1 – 1
1
4
0
2 0
− ≥
∈
∫P sup sin ( )
,t
k
t
n
n
k s dw s
π
≤
≤ 1 –
E sup sin ( )
,t k
t
n
k
n
n
k dw s
∈[ ]/
∫
/( )
0 2 0
6
61 4
π
≤
≤ 1 – 1
1 4
0
2
2
3
6−
( )
/
∫
/
c k s ds
k
n
k
n
nπ
sin
≤ 1 – 1 1
3−
C
kn
kn
.
Poskol\ku rqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O PERENOSE OBOBWENNÁX FUNKCYJ ∏VOLGCYONNÁM POTOKOM 1025
k n
k
n
nC
k=
∞
∑ − −
1
1
31 1 < ∞,
sohlasno lemme Borelq – Kantelly sob¥tyq Bkn
proysxodqt naçynaq s neko-
toroho kn s veroqtnost\g 1. Na mnoΩestve An
x ( bn , 2 π ) = bn +
i
k
n
i k
i k
n
n
n
n
b k s dw s
=
− +
∑ ∫
/
/
0
1
2
2 1
π
π( )
sin ( ) ,
tak kak x ( bn , t ) poluçagtsq metodom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj.
0
2π
∫ sin ( )ks dw s pry razn¥x k — nezavysym¥e sluçajn¥e velyçyn¥, ymegwye
raspredelenye N ( 0 , π ), poπtomu
lim sin ( )
( )
k i
k
i k
i k
n
n
n
n
n
k s dw s
→∞ =
− +
∑ ∫
/
/
0
1
2
2 1
π
π
= + ∞ p. n.
Pust\ dlq ω ∈ Ω nl ( ω ) — posledovatel\nost\, dlq kotoroj
sign
2
2 1
π
π
i k
i k
n
n
n
l
l
l
k s dw s
/
/+
∫
( )
sin ( ) = αi nl, , i = 0, 1,…, knl
– 1.
Tohda naçynaq s nekotoroho l
x bnl
, 2π( ) = bnl
+ b k s dw sn
i
k
i k
i k
nl
n
n
n
l
l
l
l
=
− +
∑ ∫
/
/
0
1
2
2 1
π
π( )
sin ( ) ,
poπtomu
lim
( , )
n
n n
n
x b t b
b→∞
−
= + ∞,
otkuda sleduet (10).
3. Neprer¥vnaq zavysymost\ potoka ot naçal\noj mer¥.
Lemma 1. Pust\ semejstvo sluçajn¥x πlementov { x
α, α ∈ � } ⊂ S udov-
letvorqet uslovyqm
∀ k = ( , , )k kd1 … ∀ m ≥ 1:
sup sup ( )
α
α
∈ ∈
+( ) >
�
P
u
m k
d
u x u N
R
1 D → 0, N → ∞.
Tohda semejstvo { x
α, α ∈ � } kompaktno po raspredelenyg v S.
Dokazatel\stvo standartno y poπtomu ne pryvodytsq.
Pust\ x
µ
oboznaçaet reßenye (1) dlq naçal\noj mer¥ µ.
Teorema 2. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq teorem¥ 1. Tohda y
µ
( ⋅, t ) = x
µ
( ⋅, t ) –
– ⋅, kak πlement S, qvlqetsq stoxastyçesky neprer¥vnoj funkcyej naçal\noj
mer¥ µ, t. e.
∀ ε > 0 : P ρ εµ νy t y t( , ), ( , )⋅ ⋅( ) >{ } → 0, γ ( µ, ν ) → 0.
Dokazatel\stvo. Rassmotrym dlq t ∈ [ 0, T ] y proyzvol\noj mer¥
κ ∈ Q ( µ, ν ) sootnoßenye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1026 M. P. KARLYKOVA
E x u t x t
pµ ν( , ) ( , )− v ≤ C up
p−
v +
+
E
0
1 2 1 2
t
p
f x u s x s f x s x s d d ds∫ ∫∫ ( ) − ( )
R
µ µ ν ν κ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )v v v v v +
+
E
0
t
p
b x u s b x s ds∫ ( ) − ( )
µ ν( , ) ( , )v ≤
≤ ′ − + − ∧( )
∫ ∫∫C u x z s x z s dz dz dsp
p
t
p
v E
0
1 2 1 21
R
µ ν κ( , ) ( , ) ( , ) +
+
E
0
1
t
p
x u s x s ds∫ − ∧( )
µ ν( , ) ( , )v , (12)
hde yspol\zovana ohranyçennost\ funkcyj f y b, a takΩe yx proyzvodn¥x.
Oboznaçym
ϕ ( κ, t ) = E
R
∫∫ − ∧( )x u t x t du d
pµ ν κ( , ) ( , ) ( , )v v
2
1 .
Yz (12) poluçaem
ϕ ( κ, t ) ≤
′′ − ∧( ) +
∫C u du d s dsp
p
t
v v1
0
κ ϕ κ( , ) ( , ) ,
otkuda sohlasno lemme Hronuolla
ϕ ( κ, t ) ≤ ′′ − ∧( )∫∫
′′
C u du d ep
p C tp
R
v v1 κ( , ) .
V¥brav κ tak, çtob¥ v¥polnqlos\
R
∫∫ −
+ −
u
u
du d
v
v
v
1
κ( , ) < 2 γ ( µ, ν ),
poluçym
sup ( , )
,t T
t
∈[ ]0
ϕ κ → 0, γ ( µ, ν ) → 0.
Podstavym v (12) v = u. Tohda, vospol\zovavßys\ lemmoj Hronuolla, poluçym
E x u t x u t
pµ ν( , ) ( , )− ≤ ′ ′
∫C e s dsp
C t
t
p
0
ϕ κ( , ) ,
çto sxodytsq k 0 pry γ ( µ, ν ) → 0.
Pust\ teper\ µ n ⇒ µ . DokaΩem, çto semejstvo x t x t nnµ µ( , ) ( , ),⋅ − ⋅ ≥{ }1
slabo kompaktno v S. Dlq πtoho proverym v¥polnenye uslovyq lemm¥ 2 dlq
kaΩdoho yz semejstv y t nnµ ( , ),⋅ ≥{ }1 y y tµ( , )⋅{ }. Dlq vtoroho semejstva πto
uslovye, oçevydno, v¥polneno, poskol\ku ono sostoyt yz odnoj toçky. Pro-
verym v¥polnenye uslovyq dlq pervoho semejstva.
V¥raΩenye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O PERENOSE OBOBWENNÁX FUNKCYJ ∏VOLGCYONNÁM POTOKOM 1027
sup sup ( , )
n u
m k p
d
nu x u t
≥ ∈
+( )
1
1E
R
D µ
ocenyvaetsq summoj rqda, analohyçnoho (8), çlen¥ kotoroho ne zavysqt ot mer¥
µ n . V sylu addytyvnosty uslovyq lemm¥ 1 poluçym slabug kompaktnost\ se-
mejstva x t x t nnµ µ( , ) ( , ),⋅ − ⋅ ≥{ }1 v S. Yz ocenky (12) sleduet, çto koneçno-
mern¥e raspredelenyq x tnµ ( , )⋅ – x tµ( , )⋅ sxodqtsq k koneçnomern¥m rasprede-
lenyqm toΩdestvennoho nulq. Poπtomu
x tnµ ( , )⋅ – x tµ( , )⋅
d → 0, n → ∞, v S.
Otsgda sleduet, çto x tnµ ( , )⋅ – x tµ( , )⋅ → 0, n → ∞, po veroqtnosty, çto y tre-
bovalos\ dokazat\.
Teorema dokazana.
Prymer 1. Pust\ µε
=
1
2ε ε ε÷ −[ ], , µ = δ0 . Oçevydno, çto µε
⇒ µ, ε → 0.
Rassmotrym uravnenye
d xε
( u, t ) =
R
∫ − −e d dtx u t x tε ε
µε( , ) ( , ) ( )
2 2v v ,
xε
( u, 0 ) = u.
Oboznaçym
hε
( t ) =
0
2
t
x se d ds∫ ∫ −
R
ε
µε( , ) ( )v v .
Tohda xε
( u, t ) = Φ Φ− +( )1 ( ) ( )u h tε
, hde Φ ( x ) =
0
2
x
te dt∫ .
hε
( t ) udovletvorqet uravnenyg
dh t
dt
ε ( )
=
R
∫
− +( ){ }−
e du
u h tΦ Φ1 2
( ) ( )
( )
ε
µε
.
PreΩde vseho, oçevydno, çto 0 ≤ hε
( t ) ≤ t. Funkcyq g ( u, h ) = e
u h− +( )( )−Φ Φ1 2
( )
lypßyceva po obeym peremenn¥m na mnoΩestve R × [ 0, t ], poπtomu hε
( t ) →
→ h ( t ), ε → 0. Otsgda sleduet, çto xε
( u, t ) – u → x ( u, t ) – u v S.
4. O perenose obobwenn¥x funkcyj potokom so vzaymodejstvyem.
Teorema 3. Pust\ κ ∈ S
*
( R
d
) — obobwennaq funkcyq porqdka m ,
f ∈ S ( R
2
d
). Tohda uravnenye (2) ymeet reßenye na nekotorom otrezke [ 0, T0 ].
Dokazatel\stvo. Rassmotrym posledovatel\n¥e pryblyΩenyq
x0 ( u, t ) = u,
xn + 1 ( u, t ) = u +
0
t
n nf x u s x s ds∫ ( )κ( ), ( , ), ( , )v v .
Lehko proveryt\, çto ony opredelen¥ korrektno y xn ( u, t ) – u ∈ Sm . Ocenym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1028 M. P. KARLYKOVA
x u t un m+ −1( , ) =
sup ( ), ( , ), ( , )
u
m
m
t
u n nu f x u s x s ds
∈
≤ ≤
+( ) ( )∫
R
0 0
1
α
ακ v vD ≤
≤ C u f x u s x s ds
t
u
m m
m m
u n n
0
0 0
1 1∫
∈ ∈
≤ ≤ ≤ ≤
+( ) +( ) ( )sup ( , ), ( , )
,
,
R Rv
vv v
α β
α βD D ≤
≤
′ +( ) +( ) ( )∫ ∑
∈
∈
≤ ≤
≤ ≤
C u f x u s x s
t
u
m m
m
m
n n
0 0
0
1 1sup ( , ), ( , )( )( )
R
Rv
v v
α
β
α β
×
×
1 1
1 1
+
+
= =
∑ ∑
i
m
n
i
m
j
m
n
j
m
x u s x s( ) ( )( , ) ( , )v ≤ ′′ + −( )∫C x u s u ds
t
n m
m
0
21 ( , ) .
Zdes\ uçteno, çto f ( )( )α β
ohranyçen¥. Pry T ≤ 1 / 2C ′′ po yndukcyy proverqem,
çto x u t un p( , ) − ≤ 1, t ≤ T.
Teper\
x u t x u tn n m+ −1( , ) ( , ) =
= sup ( ), ( , ), ( , ) ( , ), ( , )
u
m
m
t
u n n n nu f x u s x s f x u s x s ds
∈
≤ ≤
− −+( ) ( ) − ( )( )∫
R
0 0
1 11
α
ακ v v vD ≤
≤
′ +( ) +( ) ( )
∈
∈
≤ ≤
≤ ≤
∫ ∑C u f x u s x s
u
m m
t
m
m
n nsup ( , ), ( , )( )( )
R
Rv
v v1 1
0 0
0
α
β
α β
–
– f x u s x s x u s x sn n
i
m
n
i
m
j
m
n
j
m
( )( ) ( ) ( )( , ), ( , ) ( , ) ( , )α β
− −
= =
( ) +
+
∑ ∑1 1
1 1
1 1v v +
+
i
m
n
i
n
i m
x u s x u s
=
−∑ −
1
1
( ) ( )( , ) ( , ) ×
×
j
m
n
j
n
j m
m
m
n nx s x s f x u s x s ds
=
−
≤ ≤
≤ ≤
∑ ∑− ( )
1
1
0
0
( ) ( ) ( )( )( , ) ( , ) ( , ), ( , )v v v
α
β
α β ≤
≤ ′′ − + −( )∫ − −C x u s x u s x u s x u s ds
t
n n m n n m
m
0
1 1
2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
Dalee, poskol\ku dlq lgboho n ≥ 0 x u s un m( , ) − ≤ 1, to x u sn( , ) –
– x u sn m−1( , ) ≤ 2. Otsgda poluçaem
x u t x u tn n m+ −1( , ) ( , ) ≤ ′′ +( ) −∫ −
−C x u s x u s ds
t
m
n n m
0
2 1
12 1 ( , ) ( , ) .
V sylu polnot¥ Sm poluçaem suwestvovanye predela x ( u , t ) – u =
= lim ( , )n nx u t u→∞ −( ) v Sm .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O PERENOSE OBOBWENNÁX FUNKCYJ ∏VOLGCYONNÁM POTOKOM 1029
Dlq proverky toho, çto x — reßenye (2), dostatoçno ubedyt\sq, çto
lim ( ), ( , ), ( , )
n
t
n nf x u s x s ds
→∞ ∫ ( )
0
κ v v =
0
t
f x u s x s ds∫ ( )κ( ), ( , ), ( , )v v .
Poslednee ravenstvo sleduet yz ocenok
x u t un m( , ) − ≤ 1, x u t u m( , ) − ≤ 1.
Teorema dokazana.
Sledugwyj prymer pokaz¥vaet, çto uvelyçenye dlyn¥ otrezka v obwem
sluçae nevozmoΩno.
Prymer 2. Rassmotrym uravnenye
d x ( u, t ) = ′ ( ) ( )δ ϕ0( ), ( , ) ( , )v vh x u t x t dt , (13)
hde h ∈ S, ϕ ∈ S takye, çto:
1) h ( u ) = u, u ∈ [ – 1, 1 ],
2) ϕ ′ ( 0 ) > 0.
PokaΩem, çto reßenye na [ 0, + ∞ ) ne suwestvuet. Perepyßem (13) v vyde
d x ( u, t ) = h x u t x t x t dt( , ) ( , ) ( , )( ) ′( ) ′ϕ 0 0 .
Oboznaçym g ( t ) = ′( ) ′ϕ x t x t( , ) ( , )0 0 . PredpoloΩym, çto suwestvuet reßenye na
vsej poluosy. Tohda sohlasno opredelenyg reßenyq dlq lgboho T > 0 g ne-
prer¥vna na [ 0, T ], a poπtomu ohranyçena. PoloΩym
CT = sup ( )
,t T
g t
∈[ ]0
.
Tohda dlq | u | ≤ e C TT−
x ( u, t ) = ue
t
g s ds
0∫ ( )
.
Poπtomu
x ′ ( 0, t ) = e
t
g s ds
0∫ ( )
,
otkuda
ϕ ′ ( 0 )e
t
g s ds
0∫ ( )
= g ( t ).
Reßenye πtoho uravnenyq
g ( t ) =
′
− ′
ϕ
ϕ
( )
( )
0
1 0 t
suwestvuet ne na vsej poluosy. Sledovatel\no, y uravnenye (13) ne ymeet
reßenyq na [ 0, + ∞ ).
1. Dorogovtsev A. A., Kotelenez P. Smooth stationary solutions of quasilinear differential equations.
Finite mass. – Ohio, 1997. – Preprint No. 97-145, CWRU.
2. Dorogovtsev A. A. Properties of the random measures // Theory Stochast. Process. – 2000. – 6(22),
issue 1-2. – P. 26 – 33.
3. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1990. – P. 352.
4. Byllynhsly P. Sxodymost\ veroqtnostn¥x mer. – M.: Nauka, 1977. – 352 s.
Poluçeno 24.11.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
|